Shpërndarjet e mostrave dhe intervalet e besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe përpjesën. Ligjërata e shtatë

Transcript

1 Shërdarjet e mostrave dhe itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike dhe ërjesë Ligjërata e shtatë Shërdarja e mostrave dhe itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike dhe roorcio/ërqidje Qëllimet Pas kësaj ore të ligjëratave ju duhet të jei ë gjedje që të : Defioi dhe kostruktoi shërdarje e mesatareve të mostrave Sjegoi Teoremë Qedrore Kufitare. Llogariti itervali e besimit ër mesatare dhe roorcioe/ërqidje të tërësisë së ërgjithshme. Përcaktoi madhësië e mostrës ër mesatare aritmetike 2 1

2 Procesi i xjerrjes së kokluzioeve ga mostra Vlerësimet & Testet Poulacioi Statistikat e mostrës X m, P m Mostra 3 Gabimi i rastësishëm i mostrës Statistikat e mostrës ërdore ër të vlerësuar X Parametrat e Poulacioit.sh: X është jë vlerësim ër mesatare e oulacioit, μ Probleme: Mostra të dryshme ofrojë vlerësime të dryshme të arametrave të oulacioit Rezultatet e mostrës kaë variabilitet otecial, dhe ër këtë ekzisto gabimi i mostrës. 4 2

3 Llogaritja e gabimit të mostrës Gabimi i rastësishëm i mostrës: Dallimi ë mes të vlerës (statistikës) të llogaritur ga mostra dhe vlerës korresoduese (arametrit) të llogaritur ga oulacioi. Shembull: (ër mesatare) Gabimi i mostres x - μ ku: x mesatarja e mostres μ mesatarja e oulacioit 5 Rishikim Mesatarja e oulacioit: Mesatarja e mostrës: μ ku: N x i x x μ = Mesatarja e oulacioit x = Mesatarja e mostrës x i = Vlerat ë oulacio ose mostër. N = madhësia e oulacioit = madhësia e mostrës i 6 3

4 Shembull Nëse mesatarja e oulacioit është μ = 98.6 shakllë dhe mostra rej = 5 elemete me mesatare aritmetike x= 99.2 shkallë, atëherë gabimi i mostrës është x μ shkalle 7 Gabimet e mostrës Mostrat e dryshme do të keë gabime të dryshme të mostrës. Gabimi i mostrës mud të jetë egativ dhe ozitiv ( x mud të jetë më e vogël ose më e madhe se μ) Gabimi i ritur i mostrës do të zvogëlohet me rritje e madhësisë së mostrës. 8 4

5 Distribucioi (shërdarja) i mesatareve artimetike të mostrës/zgjedhjes Shërdarja e mesatareve aritmetike X të mostrave araqet shërdarje e robabiliteteve të gjitha vlerave të mudshme që variabla e rastësishme X mud të marrë, e të cilat fitohe ërmes llogaritjes ga të gjitha mostrat me madhësi, të zgjedhura rastësisht ga oullimi i vrojtuar. 9 Krijimi i distribucioit të mesatareve artimetike të mostrës Suozojmë se kemi jë oulacio Madhësia e oulacioit N=4 Variabla e rastësishme, x, është mosha e idividëve Vlerat ër x: 18, 20, 22, 24 (vjet) A B C D 10 5

6 Krijimi i shërdarjes së oullimit Treguesit ërmbledhës ër distribucioi e oulacioit: (vazhdim) x i μ N (x μ) 2 i σ N P(x) A B C D Distribuimi uiform/ i jëtrajtshëm 11 x Krijimi i shërdarjes së mostrës Tai marrim ë kosiderim të gjitha mostrat e mudshme me madhësi =2 (vazhdim) 1 -rë Vrojtimi i 2 të Vroj ,18 18,20 18,22 18, ,18 20,20 20,22 20, ,18 22,20 22,22 22, ,18 24,20 24,22 24,24 16 mostra të mudshme (mostra me ërsëritje) 16 mesatare të mostrave 1-rë Vrojtimi i 2-të Vroj

7 Krijimi i shërdarjes së mostrës Distribucioi samig i të gjitha mesatareve të mostrës 16 Mesatare të mostrës 1rë Vrojtimi i 2-të Vroj P(x) (vazhdim) Shërdarja e mesatareve të mostrës (jo më i jëtrajtshëm) 13 _ x Krijimi i distribucioit të mesatareve të mostrave Treguesit ërmbledhës të distribucioit samlig (të mesatareve të mostrës): x i μ 21 x N 16 (vazhdim) σ x 2 (xi μ) x N (18-21) (19-21) (24-21)

8 μ 21 P(x).3.2 Krahasimi i shërdarjes së oulacioit dhe shërdarjes së mostrave Poullimi N = 4 σ Shërdarja e mesatareve të mostrës = 2 P(x).3.2 X X A B C D x _ x 15 Shërdarja e mesatareve të mostrës: Gabimi stadard i mesatares Mostra të dryshme me madhësi të jëjtë dhe ga oullimi i jëjtë do të keë mesatare të dryshme. Variabiliteti i mesatares ga jë mostër ë tjetrë matet me Gabimi Stadard të mesatares: (Ky suozim vle ër mostra me ërsëritje dhe a ërsëritje ga jë oulacioi a fud/a kufi) σ X Me rritje e umrit të elemeteve ë mostër gabimi stadard i mesatares zvogëlohet. σ 16 8

9 Nëse oulacioi është ormal Nëse oulacioi është ormal me mesatare μ dhe devijim stadard σ, shërdarja e mostrave të mesatareve gjithashtu ka shërdarje ormale me μ x μ dhe σ x σ x 17 Kur Poulacioi është Normal Shërdarja e oulacioit Mesatarja aritmetike X Variacioi X Mostra me ërsëritje 4 X 5 Shërdarja e mostrave X X 2.5 X 18 9

10 Kur oulacioi uk është ormal Shërdarja e oulacioit Mesatarja aritmetike X Variacioi X Mostra me ërsëritje 4 X 5 Shërdarja e mostrave X X 1.8 X 19 Nëse oulacioi uk është ormal Mud të alikojmë Teoremë Qedrore Kufitare Edhe ëse oulacioi uk është ormal, mesataret e mostrës ga oulacioi do të jeë ërafërsisht ormale ëse madhësia e mostrës është më e madhe dhe shërdarja e mesatareve të mostrës do të ketë μ x μ dhe σ x σ 20 10

11 Teorema Qedrore Kufitare Me rritje e madhësisë së mostrës Shërdarja e mesatareve të mostrës bëhet othuajse ormale si forma e oulacioit. x 21 Nëse oulacioi uk është ormal (vazhdim) Vetitë e shërdarjes së mesatareve: Mesatarja aritmetike Variacioi μ x μ σ x σ (Mostra me ërsëritje) Shërdarja e oulacioit Shërdarja e mostrës (bëhet ormale me rritje e ) Mostra më e vogël μ μ x Mostra më e madhe x 22 x 11

12 Sa është mjaft e madhe mostra? Për shumicë e shërdarjeve, 30 do të ja shërdarje e mesatareve gati ormale. Për shërdarjet gati simetrike, 15 Për shërdarje e oulacioit ormal, shërdarja e mostrave të mesatareve gjithmoë ka shërdarje ormale. 23 Itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike dhe ërjesë/ërqidje 24 12

13 Parametrat e oulacioit vlerësohe me iterval besimi Vlerësimi i arametrave të oulacioit... Mesatarja Proorcioi Me statistika të Mostrës Variaca 2 s 2 Dallimet 1 2 X 1 X 2 X 25 Procesi i vlerësimit të itervalit të besimit Poulacioi Mesatarja,, është e ajohur Mostra e rastësshme Mesatarja X = 50 Uë jam 95% i sigurt/kofi det se është ë mes të 40 &

14 Vlerësimi i itervalit të besimit Siguro jë gamë të vlerave. Merr ë kosiderim variacioet ë statistikat e mostrës ga jë mostër ë tjetrë Bazohet ë vrojtimet ga jë mostër Je iformata rreth afërsisë së arametrave të ajohur të oulacioit. Jeet ë kutimi e ivelit të kofidecës/besueshmërisë Kurr 100% i sigurt 27 Elemetet e vlerësimit të itervalit të besimit Probabiliteti se arametri i oulacioit gjidet diku breda itervalit të besimit Itervali i besimit Statistikat e mostrës Kufiri i kofidecës /besueshmërisë (I ulëti) Kufiri i kofidecës /besueshmërisë (I lartë) 28 14

15 Itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike Itervali i besimit të mesatares aritmetikedërtmi: 1. Pikëisje është vlerësimi ikësor, ra mesatarja e zgjedhjes; 2. Gjidet gabimi mesatar i x zgjedhjes/mostrës ër mesatare 3. Caktohet siguria ao robabiliteti sias ivelit të cilit itervali i besimit mud të zgjerohet ao të gushtohet 29 Itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike Gjatë dërtimit të itervalit të besimit deshemi me dy situata: Kur dihet devijimi stadard i oullimit Kur uk dihet devijimi stadard i oullimit 30 15

16 Itervalet e besueshmërisë ër mesatare aritmetike të oulacioit kur dihet devijimi stadard i oulacioit Itervalet e besueshmërisë ër mesata re aritmetike të oulacioit kur dihet devijimi stadard i oulacioit Gabimi stadard i mesatareve të mostrës është gabimi stadard i distribucioit të mesatareve aritmetike të mostrave të Llogaritet ërmes : x është simboli ër gabimi stadard të mesatareve të mostrës. është devijimi stadard i oulacioit. - është madhësia e mostrës x 32 16

17 8-17 Gabimi stadard i mesatareve të mostrës Nëse është i ajohur dhe 30,devijimi stadard i mostrës i shëuar me shfrytëzohet ër të vlerësuar ërafërsisht devijimi stadard të oulacioit. Formula ër gabimi stadard të mesatares merr këtë formë: s x s s X Itervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të oulcioit ë ërgjithësi Në ërgjithësi, itervali i besueshmërisë ër mesatare aritmetike të oulacioit llogaritet me formulë vijuese: X Z ose X Z X Z 34 17

18 Itervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të oulacioit ë ërgjithësi X Z X Z X - Mesatarja e mostres Z -Variabla e stadardizuar-ër iveli e dhëë të sigifikacës - Gabimi stadard i mesatares aritmetike - Mesatarja aritmetike e oullimit 35 Niveli i kofidecës/besueshmërisë Probabiliteti që arametri i ajohur i oulacioit gjidet ë mes të itervalit të besueshmërisë. Niveli i Besueshmerise/kofide ces Vlerat korresoduese të Z (ër të dy aët e lakores ormale) 90% % % %

19 8-14 Vlerësimi i itervalit Një iterval i vlerësimit trego vargu breda të cilit ka gjasë të gjedet arametri i oulacioit. Itervali breda të cilit ritet të gjedet arametri i oulacioit quhet iterval i besueshmërisë. Dy itervale të besueshmërisë që shfrytëzohe më së shumti jaë 95% dhe the 99% Shembull 1. Dekai i shkollës së bizesit dëshiro të vlerëso umri mesatar të orëve që jë studet uo gjatë javës. Mostra rej 49 studetëve ka treguar mesatare ër 24 orë breda javës me devijim stadard 4 orë. Pika e vlerësimit është 24 orë (mesatarja e mostrës). Cili është itervali i besueshmërisë me 95% ër umri mesatar të orëve të uës gjatë javës të studetëve të shkollës së bizesit? 38 19

20 8-21 SHEMBULL 1 vazhdim Duke shfrytëzuar 95% itervali i besueshmërisë ër mesatare e oulacioit kemi: (4 / 7) gjer te Përfudimet e itervalit të besimit jaë kufijtë e besueshmërisë. Kufiri i ulët i besueshmërisë është orë dhe Kufiri i lartë i besueshmërisë është orë Vlerësimi i itervalit Itervali i besueshmërisë 95% ëkuto se 95% e itervaleve të kostruktuara do të ërmbajë arametri e vlerësuar të oulacioit, ose 95% e mesatareve të mostrave ër jë mostër me madhësi të caktuar do të gjidet breda 1.96 devijime stadarde ër mesatare aritmetike të suozuar të oulacioit. Itervali i besueshmërisë 99% ëkuto se 99% e mesatareve të mostrës ër madhësi të caktuar të mostrës do të jetë ë mes të 2.58 devijime stadarde ër mesatare e suozuar të oulacioit

21 Itervali i besueshmërisë ër mesatare e oulimit 95% Iterali i besueshmerise er mesatare e oulimit : x 1.96, x 1.96 zakoisht shkruhet x 1.96 Shembull 60, x 30.4, % Itervali i besueshmerise er (29.995, ) Ne jemi 95% kofidet se itervali rej deri te ermba vlere e mesatares aritmetike te oulimit 21

22 98% Itervali i besueshmërisë Per x 2.33, x 2.33 E shkruar zakoisht x Itervalet e besueshmërisë 99% ër mestare e oulacioit ( µ ) Për 99% kur 30, itervali i besueshmërisë ër mesatare e oulacioit ( µ ) është: X m

23 Shembull Shembull: Të dhëat e mëoshtme rezatojë moshë e uëtorëve ë jë mostër të rastit rej 36 uëtorëve të zgjedhur ga umri i gjithëmbarshëm i uëtorëve të jë firmë që merret me tregti me shumicë dhe akicë. Vlera e devijimit stadard të moshës dihet dhe është 2.55 vjet a. Sa është ika e vlerësimit ër mesatare aritmetike të oullimit, gjegjësisht ër moshë mesatare të uëtorëve të firmës së caktuar? b. Formoi itervali e besueshmërisë ër 90%, 95% dhe 98% c. Sa është gabimi margjial (kufiza e gabimit) ër secili iterval. 45 Zgjidhje Iformata ga shembulli jaë: 2.55 =36; 2.55 vjet; X 36 Pikë e vlerësimit ër mesatare aritmetike të oullimit është mesatarja aritmetike e mostrës së zgjedhur që është e barbartë me : X X 38.2vjet 36 X 38.2 vjet 46 23

24 Zgjidhje Itervalet e besimit ër ivele të dryshme të besueshmësisë jaë si vijo: Nëse aalizojmë itervalet e kostruktuara ër mesatare e oullimit, do të shohim se me rritje e ivelit të besueshmërisë ër umër të jejtë të elemeteve ë mostër, gjerësia e itervalit të vlerësimit do të jetë më e gjerë, gjegjësisht marzha e gabimit (gabimi kufi) do të rritet ga ë ë Itervali besueshmërisë ër mesatare aritmetike të oulacioit µ kur uk dihet devijimi stadard i oulacioit Në situatat reale, gjegjësisht ë kushtet raktike të zgjedhjes së mostrave, johja e devijimit stadard të oullimit është rast shumë i rrallë. Ashtu siç,zakoisht, uk dihet mesatarja e oullimit, ashtu uk dihet edhe devijimi stadard i oullimit. Për këtë, ër të kostruktuar itervali e besimit ër mesatatre aritmetike të oullimit e duhet të ërdorim mesatare aritmetike të llogaritur ga mostra dhe devijimi stadard ga mostra

25 Itervali besueshmërisë ër mesatare aritmetike të oulacioit µ kur uk dihet devijimi stadard i oulacioit Në kushtet raktike të kostruktimit të itervalit të besimit ku uk dihet devijimi stadard i oullimit mud të hasim ë situata kur: Mostra është e vogël ( <30) dhe oullimi ka shërdarje ormale dhe Mostra është e madhe (>30) dhe uk dihet devijimi stadard i oullimit. Në këto raste ërdorim Shërdarje Studeti (t) ë ved të Shërdarjes ormale Stadarde (Z). 49 SHPËRNDARJA STUDENTI t Në fud të shekullit jëzet statisticieti me emri William S. Gosset, jë i uësuar ë Guiess Breweries ë Irladë, ka qeë i iteresuar ë bërje e vlerësimeve rreth mesatares aritmetike të oullimit kur uk dihet devijimi stadard i oullimit. Meqeëse të uësuarit ë Guiess uk i është lejuar që të ublikojë uimet e tyre me emri e vet, Gosset ka ërshtatur me seudoimi Studeti. Shërdarje të cilë ai e ka kostruktuar është quajtur Shërdarja t Studeti 50 25

26 KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-studenti Në dukje, Shërdarja t është shumë e gjashme me shërdarje ormale stadarde. Të dy shërdarjet jaë simetrike ë formë të kambaës. Megjithatë, Shërdarja Studeti ka më shumë siërfaqe ë të dy skajet e lakores dhe më ak ë qedrë e lakores se sa lakorja e shërdarjes ormale stadarde. Shërdaja t është simetrike rreth zeros (0) që araqet mesatare aritmetike të çdo shërdarje t.shih figurë vijuese: 51 KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-studenti Shërdarja Stadarde ormale Z dhe Shërdarja t ër 6 shkallë lirie 52 26

27 KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-studenti Përhaja e shërdarjes t është e dhëë me umri e shkallëve të lirisë të cilat shëohe me df ose shkalle të lirisë (Sh.l) Për jë mostër me madhësi shkallët e lirisë jaë: Me rritje e elemeteve ë mostër, shkallët e lirisë gjithashtu rrite. Me rritje e elemeteve ë mostër dhe me rritje e shkallëve të lirisë, ërhaja e lakores t zvogëlohet. Me rritje e shkallëve të lirisë, lakorja ë mëyrë graduale i afrohet lakores së shërdarjes ormale derisa këto të dyja të bëhe idetike. Nëse 30, atëherë df = 1 = 29, lakorja t është shumë e gjashme me lakore ormale stadarde 53 df 1 KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-studenti Vlerat kritike të shërdarjes t, ër shkallë të caktuara të lirisë mud të gjide ga Tabela e Shërdarjes Studeti. Tabela e Shërdarjes Studeti është e ërbërë ga disa koloa dhe disa rreshta. Koloat i korresodojë robabilitetit ë skajet e lakores, kurse rreshtat tregojë umri e shkallëve të lirisë që është më i vogël ër 1 ga madhësia e mostrës, gjegjësisht

28 Tabela e shërdarjes Studeti 55 Procedura ër ërdorimi e Tabelës së shërdarjes Studeti është si ë vijim: Së ari, ërcaktojmë vlerë e α, gjegjësisht iveli e sigifikacës dhe e dajmë me 2, gjegjësisht /2 (sh, Nëse 0.05, atehere / / Së dyti, gjejmë koloë ë shërdarje t që i ërgjigjet t Së treti, Gjejmë umri e shkallëve të lirisë duke llogaritur -1 dhe e ërdorim rreshti që i ërgjigjet shkallëve të lirisë korresoduese. (P.sh. Nëse 20, , df 19 Së katërti, lexojmë vlerë e t ë rerje e rreshtit dhe koloës që kemi idetifikuar. Në rasti toë kemi t dhe df=19, vlera e t është e barabartë me

29 Pjese e shërdarjes Studeti 57 Paraqitja grafike t Meqeëse shërdarja është simetrike, atëherë ëse vlera e t ë aë e djathtë është 2.093, atëherë vlera e ë aë e majtë do të jetë Kjo do të thotë se robabiliteti që do të tejkalojë vlerë është ose 2.5%

30 KONSTRUKTIMI I INTERVALIT TË BESIMIT PËR MESATARE TË POPULLIMIT KUR NUK DIHET DEVIJIMI STANDARD Për të kostruktuar itervali e besimit ër mesatare të oullimit µ i bazuar ë shërdarje t të Studetit, e thjesht zëvedësojmë vlerat tabelore të Shërdarjes stadarde ormale Z me vlerat tabelore të Shërdarjes t. 59 Shembull: Koha ër kryerje e jë ue e shrehur ë miuta është si vijo. 3.6; 4.2; 4.0; 3.5; 3.8; 3.1.miuta. Sa është itervali i besimit me 90% ër kohë mesatare ër të kryer uë? Zgjidhje: Iformatat ga shembulli jaë: =6; shkallët e lirisë -1=6-1=5, df=5 Niveli i besueshmërisë është 90%, gjegjësisht (1-α) 100% =90%, rej këtu, α=10%, si koeficiet α=0.10, kurse α/2= 0.10/2=0.05. Vlera tabelore e Shërdarjes t ër t 0.05 dhe df=5 është: Për të kostruktuar itervali e besimit ër µ duhet të llogarisim mesatare aritmetike si ikë e vlerësimit, ga të dhëat e mostrës rej 6 elemeteve, si dhe devijimi stadard S ga mostra, gjegjësisht: 60 30

31 Pika e vleresimit, gjegjesisht mesatrja aritmetike e mostres X i i1 X 3.7 ( X ) 2 i X ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 i 1 S

32 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Koceti i ërjesës është i jëjtë me koceti e frekuecave relative ose frekuecave ë ërqidje. Përjesa e oullimit që shëohet me fitohet duke vëë ë raort umri e elemeteve të oullimit me karakteristikë gjegjëse dhe umrit të tërësishëm të elemeteve ë oullim. Përjesa e mostrës, e cila shëohet me (lexohet - bar) fitohet ga raorti i jëjtë or tai ë mostër. 63 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Përjesa e oullimit që shëohet me dhe ërjesa e mostrës që shëohet me jaë të dhëa me formulat vijuese: N1 m dhe N Ku: N umri i të gjitha elemeteve ë oulacio N 1 umri i elemeteve ë oulacio me karakteristikë gjegjëse - umri i elemeteve ë mostër m- umri i elemeteve ë mostër me karakteristikë gjegjëse 64 32

33 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Shembull: Suozojmë se firma që rodho automobila gjatë jë viti kaledarik ka rodhuar 3400 automobila ku 66 rej tyre jaë me defekt. Është zgjedhur jë mostër e rastit rej 162 automobilave dhe ka dalë që ë mesi e tyre 3 jaë me defekt. Përcaktoi ërjesë e automobilave që jaë me defet ë oulacio dhe ërjesë e automobilave që jaë me defekt ë mostër. 65 Zgjidhje Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Nëse oulacio e kosiderojmë rodhimi e automobilave gjatë jë viti kaledarik, atëherë kemi këto të iformata: N=3400- umri i gjithëmbarshëm i automobilave të rodhuar breda vitit N 1 =66 umri i automobilave me defekt ë oulacio Në bazë të formulës. ërjesa e automobilave me defet do të jetë: N N 3400 Prej këtu mud të themi se ërjesa e automobilave me defet është Nëse ërjesë e shdërrojmë ë ërqidje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi ( %) Mud të themi se gjatë jë viti kaledarik ë mesi e automobilave të rodhuar, 1.94% e tyre jaë me defekt. ( Kutimi dhe iterretimi i ërjesës gjithmoë është më i qartë ëse e shrehim ë ërqidje)

34 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Nëse e kemi zgjedhë mostrë rej 162 automobilave dhe kemi a se 3 rej tyre jaë me defekt, gjegjësisht: =162, umri i automobilëve të zgjedhur ë mostër m= 3, umri i automobilave ë mostër që jaë me defekt. Prej këtu ërjesa e mostrës është si vijo: m Prej këtu mud të themi se ërjesa e automobilave me defekt ë mostër është Nëse ërjesë e llogaritur e shdërrojmë ë ërqidje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi 1.85%. Në mesi e automobilave të rodhuar, 1.85% e tyre jaë me defekt. 67 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Nëse aalizojmë ërjesë e llogaritur ga oulacioi, dhe ërjesë e llogaritur ga mostra, do të shohim se kemi dy rezultate që jaë të dryshme, që othuajse gjithmoë dodhë kështu, që statistika e llogaritur ga mostra drysho ga arametri i oullimit. Dallimi ë mes të këtyre të dyjave ( dhe ) araqet gabimi e rastësishëm të mostrës, gjegjësisht: Gabimi i rastit i mostr ës Përjesa e mostrës është ikë e vlerësimit të ërjesës së oulacioit dhe ashtu si mesatarja e mostrës është variabël e rastit e cila mud të marrë vlera të dryshme rej ë mostre ë mostrë tjetër

35 Itervalet e besueshmërisë ër roorcioi e oulacioit. Teoria dhe rocedura e ërcaktimit të itervalit të besimit ër ërjesë është e jejte sikurse te itervali i mesatares aritmetike. Pika e vlerësimit ër roorcioi e oullimit gjidet duke vëë ë raort umri e rasteve të volitshme me umri ërgjithshëm ë mostër. m Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. Itervali i besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit vlerësohet ërmes : ose z z z 70 35

36 Itervalet e besueshmërisë ër ërjesë e oulacioit. z z - Përjesa e mostrës Z - Variabla e stadardizuar ër iveli e dhëë të besueshmërisë - Gabimi stadard i ërjesës - Përjesa e oullimit i oullimit Gabimi stadard i ërjesës q erjesa e mostres m q1 umri i elemeteve e moster m umri i rasteve te volitshme 72 36

37 8-23 SHEMBULL Nga 900 kosumatorë, 414 kaë deklaruar se jaë të këaqur me rodukti e ri. Përcaktoi itervali e besimit të ërjesës së oulacioit me koeficiet të robabilitetit 99%. m m 414 0, 46, q (0.46)(0.54) ose , P 0, , 872% P 50,128% 73 Shembull Një studim është bërë ër të ër të ërcaktuar ërjesë e votuesve që medojë se qeveria e tyre lokale është duke bërë uë të mirë. Nga 200 votues të itervistuar, 150 kaë deklaruar se qeveria e tyre lokale është duke uuar mirë. Kalkuloi itervali e besimit me ivel të besueshmërisë 99% ër oulacioi ë tërësi që medojë se qeveria e tyre është duke bërë uë të mirë

38 Zgjidhje Së ari gjejme ikë e vleresimit të ërjesës: m Së dyti: Gjejmë gabimi stadard të ërjesës: q 0.75x Se treti gjemë vlerë e z ër ivel te besueshmerisë 99% Z= 2.58 Se katerti zëvedësojmë ë formulë e itervalit te besimit ër ërjesë: z z Zgjidhje z z / % 83% 76 38

39 Shembull ër itervali e besimit ër ërjesë Në jë mostër të rastit rej 60 roarëve të baesave të zgjedhur ë jë qytet, 25 rej tyre kaë deklaruar se kaë robleme me zhurmë e madhe që vje ga fqijët e tyre. Kostruktoi itervali e besueshmërisë rej 99% ër të gjithë roarët e baesave që kaë robleme me zhurmë. Itervali e besimit e shrehi ë ërqidje dhe kometoi rezultati Faktori korrigjues i oulacioit të fudëm- te mesatarja Poulacioi që e ka kufiri e siërm të fiksuar /të ditur, thuhet se është oulaco i fudëm. Për oulacioi e fudëm, ku umri total i objekteve është N dhe madhësia e mostrës është, duhet të bëhet ërshtatja e gabimit stadard të mesatareve të mostrës dhe të roorcoeve: Gabimi stadard i mesatareve të mostrës: x N N 1 Faktori korrigjues 39

40 8-25 Faktori korrigjues i oulacioit të fudëmte roorcioet Gabimi stadard i roorcioeve të mostrës: (1 ) N N 1 Faktori korrigjues Kjo ërshtatje quhet Faktori korrigjues i oulacioit të fudëm. Vërejtje: Nëse /N < 0.05, faktori korrigjues i oullimit të fudëm ijorohet./uk ërdoret 8-26 Shembull Duke marrë ë kosiderim të dhëat ga shembulli I arë kostruktoi itervali e besueshmërisë ër mesatare artimetike me ivel të kofidecës 95% ër umri mesatar të sudetëve breda javës ëse ë kamus ka 500 studetë. Meqë /N = 49/500 = 0.098>0.05, dhe oulacioi është i fudëm N=500, e duhet të ërdorim faktori korrigjues të oulacoit të fudëm ( )( ) [ , ]

41 8-27 Zgjedhja e madhësisë së mostrës Jaë tre faktorë që determiojë madhësië e mostrës: Shkalla e zgjedhur e besueshmërisë; Kjo zakoisht është 0.95 ose 0.99, or mud të jetë çfardo iveli. Gabimi maksimal i lejuar; Duhet të vedoset ër këtë. Është gabimi maksimal që mud të tolerohet ë jë ivel të dhëë të besueshmërisë. Variacioi ë oulacio. Matet me devijimi stadard (Natyrisht, oulacioi me variacio më të vogël kërko mostra më të vogla) Zgjedhja e madhësisë së mostrës ër mesatare aritmetike Madhësia e mostrës ër mesatare: Formula e ërshtatshme ër llogaritje e madhësisë së mostrës është: ku : E- gabimi i lejuar, Z S E Z -është vlera që është e lidhur me shkallë e zgjedhur të besueshmërisë dhe S - devijimi i mostrës ga aketa ilot

42 8-29 Shembull Një gru i kosumatorëve dëshiro të vlerësojë hargjmet mesatare të rrymës elektrike ër jë famillje ë muaji korrik. Bazuar ë studimet e mëhershme devijimi stadard është vlerësuar të jetë $20. Me ivel të sigifikacës rej 99%, me gabimi maksimal të lejuar rej $5.00. Sa duhet të jetë e madhe mostra? Zgjidhje 2 2 ZS 2, E Madhësia e mostrës ër roorcioe Formula ër ërcaktimi e madhësisë së mostrës ë rasti e roorcioeve është: Z ( 1 ) E - është roorcioi i vlerësuar i bazuar ë ërvojë e kaluar ose ga aketa ilot; Z është vlera e lidhur me shkallë e besueshmërisë së zgjedhur; E maksimumi i gabimit të lejuar që mud të toleroj hulumtuesi. 2 42

43 8-31 Shembull Një klub ër kafshë shtëiake dëshiro të vlerësojë roorcioi e fëmijëve që kaë qe ë shtëi. Nëse klubi dëshiro që vlerësimi të jetë ë mes 3% të roorcioit të oulacioit sa fëmijë duhet të ërfshihe ë mostër? Suozojmë se iveli i sigifikacës është 95% dhe se klubi ka vlerësuar se 30% e fëmijëve kaë qe ë shtëi. 2 2 Z 1.96 (1 ) (0,3 0.7) 897 E 0.03 Shërdarja e mostrave Kocetet kyçe Shërdarja mesatareve të mostrës Gabimi i rastësishëm i mostrës Mesatarja e mesatareve të mostrës Devijimi (gabimi ) stadard i mesatareve të mostrës; Pika e vlerësimit të arametrave të oulacioit Itervali i besimit ër mesatare dhe ërjesë e oulacioit Vlerësimi madhësisë së mostrës ër mesatare dhe ërjesë