PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS

Transcript

1 SHOQATA E MATEMATIKANËVE TË KOSOVËS PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS Kls 9 Armend Sh Shbni Prishtinë, 009

2 Bshkësitë numerike Të vërtetohet se numri është ktror i një numri të plotë Çfrë mund të konkludoni? A mund të përgjithsoni pohimin? Pr, vlen pohimi vijues: Kur prodhimit të ktër numrve të njëpsnjëshëm të plotë i shtojmë numrin merret ktrori i një numri të plotë S numr të plotë k bshkësi e zgjidhjeve të mosbrzimit n ? 3 Të cktohet numri më i vogël ntyror n për të cilin vler e shprehjes n 004 n është numër ntyror 4 Numri dhjetor periodik të shkruhet në trjtë të 004 thyesës Le të jenë dhënë numrt,,,,,, A mund të ndhen kët numr në dy bshkësi p elemente të përbshkët, shtu që shum e numrve në njërën bshkësi të jetë e brbrtë me shumën e numrve në bshkësinë tjetër? 6 Të cktohen të gjithë numrt ntyror n për të cilët numri n + 6n+ 646 është ktror i një numri ntyror 7 Të cktohen të gjithë numrt ntyror bc,, të tillë që + + = b bc 8 Le të jetë p numër i thjeshtë i tillë që p dhe 3p 3 të jenë ktror të numrve të plotë Të vërtetohet se 5p është ktror i një numri ntyror për të pktën një numër të thjeshtë p 9 Të cktohen të gjithë numrt rcionl pozitiv bc,, të tillë që b ( + bc+ ) 7 = b+ bc+ c+

3 Bshkësitë numerike 0 Të cktohet vler më e vogël e herësit që merret kur numri i çfrëdoshëm treshifror pjesëtohet me shumën e shifrve të tij Të vërtetohet se shifr e fundit e numrit, n n nuk mund të jetë zero Të vërtetohet se çdo numër ntyror (në sistemin dhjetor) që përmbn vetëm shifrt dhe 6 mund të shkruhet në trjtën 4k +, për ndonjë k numër të plotë jonegtiv Pstj të tregohet se numri që k vetëm shifrt dhe 6 nuk mund të shprehet si ndryshim i ktrorëve të dy numrve ntyror 3 Le të jetë τ ( n) numri i pjesëtuesve të numrit n (këtu përfshihen edhe dhe n) Të cktohet numri më i vogël ntyror n për të cilin vlen τ ( n) =τ (004) 4 Të vërtetohet se numrin nn ( + )(n+ ) plotëpjestohet me 6, për çdo n 5 Të vërtetohet se numri i plotë i trjtës 4k + nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë Pstj të tregohet se shum e ktrorëve të dy numrve tek nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë 6 të vërtetohet se numri 3n+, n nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë 7 Trekëndëshi kënddrejtë, gjtësitë e brinjëve të të cilit jnë numr të plotë quhet trekëndësh i Pitgorës Të vërtetohet se në trekëndëshin e Pitgorës gjtësi e së pku njërës brinjë plotëpjestohet me 3 8 Le të jenë bc,, numr të plotë pozitiv tek Të vërtetohet se vlen + b + c b+ c ( bc,, ) =,,

4 Elementet e gjeometrisë Cili trekëndësh me brinjët dhe b k syprinën më të mdhe? Jnë dhënë n pik ( n ), çdo tri prej të cilve jnë jokolinere S drejtëz të ndryshme përcktohen prej tyre? 3 S rrfshe përcktojnë n pik ( n 3) çdo ktër prej të cilëve jnë jokomplnre? 4 Të vërtetohet se: i) Drejtëz k pmbrimisht shumë pik ii) Rrfshi k pmbrimisht shumë drejtëz 5 Të vërtetohet se kusht i nevojëshm dhe i mjftueshëm që dy vektorë dhe b të jenë kolinerë është që të ekzistojnë numrt relë m, n, të tillë që së pku njëri prej tyre të jetë i ndryshëm ng zero dhe të plotësohet kushti m + nb = 0 6 Është dhënë prlelogrmi ABCD dhe pik e çfrëdoshme M Nëse O është pikëprerj e digonleve, të vërtetohet se MO= ( MA+ MB+ MC+ MD ) 4 7 Në ktrorin me brinjë jnë vendosur në mënyrë të çfrëdoshme 8 pik të ndryshme Të tregohet se ekziston rrethi me rreze më të vogël se 4 i cili përmbn së pku 6 pik ng pikt e dhën 8 Drejtëzt dhe b priten dhe formojnë ktër kënde: dy kënde të ngushtë α dhe γ dhe dy kënde të gjerë β dhe δ Të njehsohen këndet αβγ,, dhe δ nëse ( α +γ ) = 7( β+δ ) 9 Le të jenë h, hb, h c gjtësitë e lrtësive të trekëndëshit ABC, kurse r le të jetë gjtësi e rrezës së rrethit të brendshkrur në trekëndëshin ABC Të vërtetohet se vlen + + = h h h r b c 0 Le të jetë h gjtësi e lrtësisë AD të trekëndëshit këndngusht ABC dhe le të jenë b, dhe c gjtësitë e brinjëve BC, CA dhe AB Të vërtetohet se vlen

5 4 Elementet e gjeometrisë h = ( + b+ c)( b+ c )( b+ c)( + c b) Le të jenë r dhe r rrezet e rrthëve R, R të cilët tkohen ng jshtë dhe të cilët i tkojnë khët e këndit të dhënë Le të jetë r 3 rrezj e rrethit R 3 i cili i tkon krhët e këndit të dhënë Qendr e rrethit R3 është pikëprerj e rr rrthëve R, R Të vërtetohet se r = 3 r + r 9R Të vërtetohet se në çdo trekëndësh vlen mosbrzi m mb m, ku + + c R është rrezj e rrethit të jshtëshkrur, kurse m, mb, m c jnë segmentet e medineve 3 Të vërtetohet se në çfrëdo shumëkëndëshi ekzistojnë dy brinjë rporti i të cilve është më i vogël se

6 Trnsformimet lgjebrike 4 Kur polinomi Pxy (, ) = ( x + x( y) + ( y) + y) pjesëtohet me 3 polinomin Qxy (, ) merret herësi s gjysm e polinomit Qxy (, ) dhe mbetj s një e ktërt e polinomit Pxy (, ) Të cktohet Qxy (, ) Të cktohen kushtet që duhet të plotësojnë numrt relë x, yz, shtu që vler e polinomit Pxyz (,, ) = x + y + z xy yz xztë jetë pozitive 3 Le të jenë x, yz, numr relë të tillë që x > y> z Nëse x y+ z x y z = x + y+ z x+ y z tëherë të pktën njëri ng numrt yz, është zero 4 Le të jenë bcd,,, numr relë të tillë që + b 0, b 0 Nëse vlen relcioni ( b+ c ) = c( + b+ c)(b c bc+ c ), të vërtetohet se c = + b b 5 Të zbërthehet në fktor polinomi 4 3 P( x) = x 3x + 3x 3x+ 5 6 Nëse + = të vërtetohet se + = 5 x + 7 Shprehj të shprehet në trjtë të shumës së dy shprehjeve rcionle x Të thjeshtohet shprehj x + x+ x ( x ) 9 Nëse b, jnë numr relë, të vërtetohet se vlen b = ( + b) ( b+ b + b b + b ) Pstj të vërtetohet tregoni se shum me plotëpjestohet Të cktohet vler e polinomit Pxyz (,, ) = x + 004y+ 004 z nëse dihet se vlen x + y + z ( x+ 4 y) + 7 = 0

7 6 Trnsformimet lgjebrike Të vërtetohet se numri A = është ( 6) numër rcionl Të cktohet vler e tij numerike Shprehj 4 n 4 4 n x + y të shprehet si prodhim i dy polinomeve Pstj të tregohet se numri është numër i përbërë 3 Të tregohet se për x=, y =, z = 3 polinomi Pxyz x y z x y z merr vlerën më të vogël (,, ) = + + ( ) Të cktohen të gjith treshet e numrve ntyror ( x, yz, ) për të cilët vlen xyz+ xy+ xz+ yz+ x+ y+ z+ = 004 shtu që x > y dhe x > z 5 Të vërtetohet se shum e të gjithë numrve ntyror ng deri në n nuk mund të jetë numër ktërshifror me të gjith shifrt e njëjt 6 Nëse bcjnë,, numr relë të tillë që + = b + = c +, bc 0, b c b c tëherë tregoni se bc = 7 Të vërtetohen identitetet: ) nn 3 = nn ( + ) ( ) n, n ) nn ( + ) n = 8 Le të jenë bcd,,, numr relë të tillë që + b+ c+ d = 0 Të vërtetohet identiteti b c d b c b d c d = 3( + )( + )( + )

8 Brzimet dhe mosbrzimet Të zgjidhet brzimi x + x = Të zgjidhet brzimi x x+ + x = x 3 Le të jetë x numër relë pozitivë Të cktohet së pku një zgjidhje e x brzimit = x + x + x + x 3 Të zgjidhen brzimet 4 x + 8x+ 8 + x + x+ = x+ 4 x 4 + x 4 x 4 = x x x x = 0 + = + x x+ 7 x+ 4 x+ 3 8 x x x 5 7 x + + = 9 Të zgjidhet dhe të diskutohet brzimi + = + x + m+ n x+ m n m n x m+ n x ku mn, jnë numr rel 0 Të zgjidhet në bshkësinë e numrve ntyror brzimi x + y = 004 Të cktohen të gjith dyshet ( x, y ), ku x, y jnë numr ntyror, të tillë që x+ + y+ = 800 Të zgjidhet brzimi + =, ku xy, x y 6 3 Të zgjidhet brzimi = 4( + 3), ku xy, x y y 4 Të zgjidhet mosbrzimi x < x 4

9 8 Brzimet dhe mosbrzimet 5 Të zgjidhet mosbrzimi x+ + x+ + x+ x Të vërtetohet mosbrzi ( )( b)( c) 8bc, nëse + b+ c=, > 0, b> 0, c> 0 7 Le të jenë bc,, numr relë të tillë që, b, c dhe b+ c= Të vërtetohet se vlen b+ + 4c+ 5 8 Të tregohet se se për çdo n vlen < < n+ n+ n 9 Të vërtetohet mosbrzi < Le të jenë bc,, numr relë pozitiv Të vërtetohet mosbrzi b c + + ( + c)( + b) ( b+ )( b+ c) ( c+ )( c+ b) Le të jenë bc,, gjtësitë e brinjëve të trekëndëshit të dhënë Të vërtetohet b c b c mosbrzi + + < b c b c 3

10 Brzimet linere me dy ndryshore Është dhënë drejtëz me brzimin 5x + y =, ku \{} Lrges normle e drejtëzës së dhënë ng origjin e sistemit koordintiv është e brbrtë me b, ku b \{} Nëse syprin e sipërfqes së trekëndëshit që formon drejtëz me boshtet koordintive është e brbrtë me 3 6, të vërtetohet se njëri ng numrt b, është i thjeshtë Të tregohet se nuk ekziston drejtëz me brzimin x + by = (, b ) me vetinë që lrges normle e sj l ng origjin e sistemit koordintiv të jetë, kurse syprin e sipërfqes së trekëndëshit që drejtëz formon me boshtet koordintive të jetë 3 Në sistemin koordintiv kënddrejtë është dhënë drejtëz me brzimin 3x+ y = 09 S pik në drejtëzën e dhënë i knë koordintt numr të plotë që i tkojnë kudrntit të prë? 3 4 Në sistemin koordintiv është dhënë drejtëz me brzimin y = x+ 4 Të tregohet se snjë pikë e drejtëzës nuk i k të dy koordintt numr të plotë 5 Jnë dhënë drejtëzt me brzimet d:3 y = ( x+ ) m+ x d:( m ) y = x+ 4m 4 Të cktohet prmetri relë m shtu që drejtëzt të jenë prlele 6 Të cktohen të gjith vlert n për të cilt funksioni liner ( x + y) = n( x+ y 4) + ( 3 x) është rritës 7 Të tregohet se për çdo numër të plotë n të ndryshëm ng 0,, y funksioni liner = ( n+ ) x është rritës n 8 Drejtëz y = mx+ n, klon nëpër pikën T (4,0) nuk klon në kudrntin e dytë dhe me boshtet koordintive formon trekëndësh me perimetër cm Të cktohet brzimi i drejtëzës (Të cktohen m dhe n)

11 0 Brzimet linere me dy ndryshore x y 9 Jnë dhënë drejtëzt me brzimet y = ; y= x+ ; + = Të 9 4 njehsohet syprin e trekëndëshit që formojnë drejtëzt 0 Le të jetë dhënë funksioni f ( x) = x+ ) Të zgjidhet brzimi b) Të cktohen koordintt e pikës f ( x) f( f( x )) x + + = ( x, f ( x )) c) Të shkruhet brzimi i drejtëzës i cili klon nëpër pikën y është prlel me drejtëzën =, x x x Është dhënë funksioni y = x+ x ) Të prqitet grfikisht funksioni i dhënë b) A i tkojnë pikt A (,0) dhe B(,) grfikut të funksionit? ( x, f ( x )) dhe Të prqitet grfikisht funksioni y x x x x = Të cktohen të gjith funksionet linere f ( x) = mx+ n të till që f(x+ 3) + f(3x+ ) = f((x+ 3) + (3x+ )) 4 Është dhënë drejtëz me brzimin y = (k + 5) x+ k 5 Të cktohet prmetri k në mënyrë që grfiku të pret boshtin y nën origjinën e sistemit koordintiv dhe me këtë rst funksioni të jetë rritës

12 Sistemet e brzimeve Të zgjidhen sistemet e brzimeve: ( x+ y+ z)( x+ y) = 00 ( x+ y+ z)( y+ z) = 300 ( x+ y+ z)( x+ z) = Të cktohet f ( x ) dhe g( x ) nëse x f + g(3x + ) = x x x f g(x+ ) = x x xy x + y yz y + z xz x + z = 5 8 = 5 35 = 3 4 Të cktohet vler e prmetrve relë ABCD,,, shtu që të vlejë brzimi A B Cx+ D = x x x+ x + Të zgjidhen sistemet e brzimeve: x + y = x+ y y + z = y+ z z + x = z+ x x+ x y = 8 y x + y = 4 ( x + y)( x+ z) = ( x + z)( z+ y) = b ( z+ y)( y+ x) = c 0 = x + y = 6 ( x y )( x y) x y x y = 33( ) 0 + 7( + ) = x y x y y+ z = x + z+ x = y + x+ y = z + ( ) 3 ( ) 4 ( ) 9

13 Është dhënë sistemi liner sips x, y Sistemet e brzimeve x y + = m m+ n m n x y = 4 mn ku mn, jnë prmetr relë Të vërtetohet se sistemi k zgjidhje pozitive, nëse mn 0 dhe m ± n n Të zgjidhet mosbrzimi i dyfishtë < < 4 n + 3 Është dhënë sistemi i brzimeve ( m+ ) x+ my= 5 x 3y = m Të cktohet prmetri relë m shtu që zgjidhjet e sistemit të plotësojnë 3 relcionin x y m 4 Të zgjidhet sistemi i mosbrzimeve x y+ > 0 x + y 4 < 0 x y 3 < 0 5 Të zgjidhet sistemi i mosbrzimeve x + x+ > x < 0

14 Bshkësitë numerike Numrin e dhënë e shkrujmë si vijon: = (006 ) (006 + ) (006 ) = ( ) ( ) + = ( ) ( ) + = ( ) = ( ), gjë që duhej tregur Le të tregojmë se kur prodhimit të ktër numrve të njëpsnjëshëm të plotë u shtojmë numrin merret ktrori i një numri të plotë Le të jenë nn, +, n+, n+ 3 ktër numr të plotë të njëpsnjëshëm Atëherë n ( n+ ) ( n+ ) ( n+ 3) + = = + + = ( n 3 n) ( n 3n ) ( n 3 n) ( n 3 n) ( n 3n ) Detyr për ushtrime Vërtetoni ose mohoni pohimet vijuese: Kur prodhimit të tre numrve të njëpsnjëshëm ntyror i shtojmë numrin merret kubi i një numri ntyror Kur prodhimit të ktër numrve të njëpsnjëshëm ntyror tek i shtojmë numrin merret ktrori i një numri ntyror 3 Kur prodhimit të ktër numrve të njëpsnjëshëm ntyror çift i shtojmë numrin merret ktrori i një numri ntyror Në bzë të vetisë së vlerës bsolute kemi 004 n Dmth n 40 Zgjidhim rstin n Në këtë rst kemi n dhe n Pse? Në nën tjetër n n 40

15 4 Bshkësitë numerike - zgjidhjet Dmth zgjidhje jnë to vler n për të cilt vlen 40 n dhe n 40 () Pr, gjithsejtë jnë 40 = 804 numr të plotë n që e plotësojnë mosbrzimin e dhënë dhe t jipen me () 3 Shprehjen e dhënë e shkrujmë në trjtën n n k + = = = +, 004 n 004 k k n 004 ku me k kemi zëvendësur shprehjen n Meqë numri i dhënë duhet të jetë ntyror mbetet që k {,}, dmth k {,3} Për k =, kemi n = 3 + = 3 = 004 n n n n Ng relcioni i fundit merret n = 50 Nxënësi, ngjshëm si më sipër le të tregojë se për k = 3 merret që n nuk është numër ntyror Përfundojmë se n = 50 është numri më i vogël ntyror për të cilin n n është numër ntyror Detyrë për ushtrime 4 A ekziston numri ntyror n për të cilin shprehj ntyror? n n është numër 4 Le të shënojmë me x numrin e dhënë Pr x = Relcionin e fundit e shumëzojmë me 0 dhe 0 dhe mrrim:

16 Bshkësitë numerike - zgjidhjet x = () x = () Duke zbritur në për në brzimin () ng brzimi () merret x 0 x= 004 x = 004 = (0 ) Dmth Supozojmë se një ndrje e tillë e numrve të dhënë është e mundur Le të shënojmë me S shumën e elementeve në cilëndo bshkësi (S do të jetë edhe shum e elementeve të bshkësisë tjetër) Qrtë se S është numër çift sepse fitohet si shumë e numrve çift (secili ng numrt n, n,,,004 është çift) Në nën tjetër S = Dmth 003 S = Pr S n prqitet të jetë numër tek Pse? Por, më sipër pmë se S është numër çift Pr, kemi rritur në kontrdiksion Dmth supozimi ynë qenk i gbur Me fjlë të tjer, numrt e dhënë nuk mund të ndhen në dy bshkësi me vetinë që të kenë shumën e njëjtë Detyrë për ushtrime A është e mundur që numrt 3,3,3,,3 të ndhen në dy bshkësi p elemente të përbshkët në mënyrë që prodhimi i numrve në njërën bshkësi të jetë i brbrtë me prodhimin e numrve në bshkësinë tjetër 6 Le të n + 6n+ 646= m Atëherë n + 6n = m Dmth m ( n+ 3) = 637, përktësisht ( m n 3) ( m+ n+ 3) = 9 7 m n 3= 7 Merret sistemi Pse? m + n + 3 = 9 Duke mbledhur në për në të dy brzimet e sistemit të mësipërm merret m = 49 Pr ( n+ 3) = n= 39 Përfundojmë se n = 39 është numri i vetëm ntyror për të cilin shprehj n + 6n+ 646 është ktror i një numri ntyror

17 6 Bshkësitë numerike - zgjidhjet 7 Së pri vërejmë se të tre të mbledhëshmit,, nuk mund të jenë b bc njëkohësishtë më të vegjël se Pse? Pr së pku njëri prej tyre duhet të 3 jetë më i mdh ose brz me 3 Do të shqyrtojmë tri rste: ) 3 ) b 3 3) bc 3 Rsti ) Nëse 3 tëherë 3 Dmth {,,3} Për = kemi + b + bc = dmth + = b bc 0 pr në këtë rst detyr nuk k zgjidhje Pse? Për = kemi + + = + = b bc b bc Duke trnsformur shprehjen e fundit merret = c ( b ) prej ng kemi c=, b = Pr =, b=, c= është një zgjidhje e detyrës Për = 3 kemi + + = + = 3 3b 3bc b bc Ps trnsformimit të shprehjes së fundit kemi c (b ) =, dmth c=, b = Pr = 3, b=, c= është një zgjidhje tjetër e detyrës Rsti ) Nëse b 3 Këtu n prqiten këto nënrste: i) =, b= ii) =, b= iii) =, b= iv) =, b= 3 v) = 3, b= Nxënësi lehtë mund të tregojë se në snjërin ng nënrstet i) iv) detyr nuk k zgjidhje Në nënrstin v) merret zgjidhj = 3, b=, c= që u prqit gjtë shqyrimit të rstit )

18 Bshkësitë numerike - zgjidhjet 7 Rsti 3) Nëse bc 3 tëherë bc 3 Duhet shqyrtur nënrstet vijuese: i) =, b=, c= ii) =, b=, c= iii) =, b=, c= 3 iv) =, b=, c= iv) =, b= 3, c= vi) =, b=, c= vii) = 3, b=, c= Nxënësi lehtë mund të tregojë se në nënrstet i) vi) detyr nuk k zgjidhje kurse në nënrstin vii) k zgjidhje e cil u prqit në rstin ) Detyr për ushtrime 6 Të cktohen të gjithë numrt ntyror bcd,,, të tillë që = b bc bcd 7 Të cktohen të gjithë numrt ntyror bcdtë,,, tillë që = bc bd cd bcd 8 Le të jetë p = k dhe 3p 3= m Atëherë duke i mbledhur në për në dy shprehjet e fundit merret 5p k m 3 Poshtu 5 p = 4( p ) (3p 3), pr = + + () 5p 4k m = () Ng () dhe () merret k + m + 3= 4k m, përktësisht 3( k ) = m 3( k ) ( k + ) = m Dllojmë rstet: 3( k ) = ) k + = m ) 3( k ) = m k + = 3) 3( k ) = m k + = m 4) 3( k ) = m k + = m 3( k + ) = 5) k = m 6) 3( k + ) = m k =

19 8 Bshkësitë numerike - zgjidhjet 3( k + ) = m 3( k + ) = m 7) 8) k = m k = m Përveç rstit të tretë, me zgjidhjen e të cilit merret k = 5, m= 6 rstet tjer nuk knë zgjidhjetregoni Për k = 5 ose m = 6 merret p = 3 Pr, përfundojmë se për p = 3, 5p është ktror i një numri ntyror (numrit 8) 9 Së pri vërejmë se n e mjtë mund të shkruhet si vijon b ( + bc+ ) = = = b+ bc+ c+ b+ bc+ + c+ c+ + b+ bc+ b+ bc+ = = () + + b( + c) + b + c+ c+ Kurse n e djthtë mund të shkruhet në formën: 7 = = = = = Ng () dhe () merret + b + c + Kjo është e mundur vetëm nëse = =, b=, c= 0 Është e qrtë se çdo numër treshifror n, mund të shprehet si vijon = , n b c ku bc,, jnë shifr e qindësheve, dhjetësheve dhe njësheve, përktësisht Atëherë duhet cktur vlerën më të vogël të numrit (herësit) ()

20 Bshkësitë numerike - zgjidhjet b+ c H = + b+ c 99+ 9b Numrin e dhënë e shkrujmë në trjtën H = + + b + c Shprehj e dhënë e k vlerën më të vogël kur c merr vlerën më të mdhe Pse? Dmth c = 9 + b Pr kemi H = + 9 = b 9 + b 9 = b+ 9 Ngjshëm si më prë konkludojmë se shprehj e dhënë k vlerën më të vogël kur b merr vlerën më të mdhe Pr b = Kemi H = Tni, në këtë rst shprehj k vlerën më të vogël kur merr vlerën më të vogël Pse? Dmth = Pr H = = 0 + = Përfundojmë se vler më e vogël merret për =, b= 9, c= 9 Detyr për ushtrime 8 Të cktohet vler më e mdhe e herësit që merret kur numri çfrëdoshëm ktërshifror pjesëtohet me shumën e shifrve të tij 9 Të cktohet vler më e mdhe e herësit që merret që merret kur numri i çfrëdoshëm treshifror pjesëtohet me prodhimin e shifrve të tij 0 Të cktohet vler më e vogël e herësit që merret kur numri i çfrëdoshëm treshifror pjesëtohet me prodhimin e shifrve të tij Supozojmë se për ndonjë n, shifr e fundit e numrit n është zero Atëherë numri n plotëpjestohet me 0, dmth ekziston numri i plotë n pozitiv k i tillë që = 0 k n Pr = 5 k, prej ng rrjedh që = k n 5 Vërejmë se k duhet të jetë numër çift Pse? Le të jetë k = k

21 0 Bshkësitë numerike - zgjidhjet n Atëherë n = 5 k, dmth = 5 k Ngjshëm si më sipër konkludojmë se k duhet të jetë numër çift dhe me këtë rst merret n 3 5 = k n n 0 Duke vzhdur këtë proces merret = = = 5 k n, ku kn është numër i plotë pozitiv, gjë që nuk është e mundur Pse? Përfundojmë se shifr e fundit e numrit n për snjë n nuk mund të jetë 0 Detyrë për ushtrime Le të jetë n! = n ( n ) ( n ) 3 Psh 5! = 543 = 0 Tregoni m se për snjë m dhe snjë n, n 5 brzimi = n! nuk k zgjidhje Së pri përkujtojmë se numri i çfrëdoshëm ntyror n në sistemin dhjetor shprehet si vijon n = () n n n n 0 ku, 0, jnë shifr e njësheve, dhjetësheve, qindësheve etj Pr 0,,, n {0,,,, n} 3 Psh 97 = , 004 = etj Tni numri ntyror që përbëhet vetëm ng shifrt dhe 6 shkruhet në formën () por në këtë rst 0,,, n {,6} Psh 6666 = po 3 66= Poshtu vërejmë se numrt 6 dhe jnë të trjtës 4k +, ku k është numër i plotë jonegtiv Pse? Pr të gjithë numrt k, k {0,,, n} jnë të trjtës 4k + Atëherë numrin n e shkrujmë si vijon: n = n n n n 0 n = (4k + ) 0 + (4k + ) (4k + ) 0 + (4k + ) n n n 0 = 4( k 0 + k k 0 + k ) n n n n n n 0 n n n n = 4( kn 0 + kn k 0 + k0)

22 Bshkësitë numerike - zgjidhjet ( ) = 4( k 0 + k k 0 + k ) n n n n n n n n 0 = 4( A+ B) + = 4k +, ku k = A+ B kurse n A = k 0 + k k 0 + k, B n n n 0 n n n n = Pr, tregum se numri ntyror që përmbn vetëm shifrt dhe 6 mund të shkruhet në trjtën 4k + Le të tregojmë tni se numri që k vetëm shifrt dhe 6 nuk mund të shprehet si ndryshim i ktrorëve të dy numrve ntyror Supozojmë të kundërtën, pr se ekzistojnë numrt ntyror mn, të tillë që m n = 4k Atëherë ( m n) ( m+ n) = (k + ) Dmth njëri ng numrt m n dhe m+ n është çift, kurse tjetri është tek Por kjo nuk është e mundur sepse numrt m n, m+ n jnë njëkohësisht ose çift ose tek Pse? Pr, supozimi ynë n solli në kundërshtim Me këtë kemi përfundur vërtetimin Detyrë për ushtrime Vërtetoni ose mohoni: Asnjë numër ntyror që përmbn shifr tek nuk mund të shprehet si ndryshim i ktrorëve të dy numrve të njëpsnjëshëm ntyror 3 Së pri do të prqesim dis sqrime Le të shqyrtojmë për shembull numrin 4 Provohet lehtë se pjesëtuesit e numrit 4 jnë:,, 3, 4, 6, 8,, 4 Pr τ (4) = 8 Nëse shqyrtojmë numrin 30, tëherë pjesëtuesit e numrit 30 jnë,, 3, 5, 6, 0, 5, 30 Pr τ (30) = 8 Pr, vërejmë se τ (4) =τ (30) = 8, por 4 është më i vogël se 30 Dmth 4 është numri më i vogël ntyror n i tillë që τ ( n) = 8 Por për të përcktur numrin e pjesëtuesve të numrve të mëdhenjë nuk është detyrë e lehtë Në vijim do të shohim një metodë për të përcktur numrin e pjesëtuesve të numrit të dhënë

23 Bshkësitë numerike - zgjidhjet Përkujtojmë se çdo numër ntyror n, mund të shkruhet në mënyrë të vetme k k ks në formën n= p p p s, ku p, p,, p s jnë numr të thjeshtë të ndryshëm mes veti, kurse k, k,, k s jnë numr ntyror Psh = 3 5 = 3 5; 360 = 3 5 k Kështu nëse p është numër i thjeshtë tëherë pjesëtuesit e numrit p, k k jnë:, p, p,, p, p k Dmth τ ( p ) = k + k k k ks Atëherë meqë n= p p p s do të kemi Tni meqë, pr gjithsejtë jnë k + pjesëtues të numrit τ ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) n k k k s 004 = 3 67 kemi τ (004) = ( + ) ( + ) ( + ) = 3 = k p Dmth numri 004 k gjithsejtë pjesëtues Detyr e jonë është që të cktojmë numrin më të vogël ntyror që k pjesëtues, pr që τ ( n) = Meqë = = 6 = 34 = 43 = 6 = 3 = 3 = 3 tëherë numrt që knë pjesëtues jnë të trjtve vijuese: p, pq, p q, p q, p q, pqr, p qr, pq r Pse? Numrt më të vegjël të këtyre trjtve jnë: ,3, 3, 3, 3,35, 35,3 5, përktësisht 048,486,08,7,96,50,60,90 Përfundojmë se numri më i vogël ntyror me pjesëtues qenk numri 60 4 Numri n mund të shkruhet në njërën ng trjtt: ) n= 6k ) n= 6k + 3) n= 6k + 4) n= 6k + 3 5) n= 6k + 4 6) n= 6k + 5 Shqyrtojmë veçms rstet ) 6) ) Nëse n= 6k tëherë është e qrtë se n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 Pse? ) Nëse n= 6k + tëherë n+ = 6k + + = 6k + = (3k + ), kurse n+ = (6k + ) + = k + 3 = 3(4k + ) Pr n+ = (3k + )

24 Bshkësitë numerike - zgjidhjet 3 plotëpjestohet me dhe n+ = 3(4k + ) plotëpjestohet me 3 Dmth n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 3) Nëse n= 6k + = (3k + ) tëherë n+ = 6k + 3 = 3(k + ) Pr n= (3k + ) plotëpjestohet me dhe n+ = 3(k + ) plotëpjestohet me 3 Dmth n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 4) Nëse n= 6k + 3 = 3(k + ) Atëherë n+ = 6k + 4 = (3k + ) Pr n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 5) Nëse n= 6k + 4 = (3k + ) Atëherë n+ = (6k + 4) + = 3(4k + 3) Pr n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 6) Për n= 6k + 5, n+ = 6( k + ) Pr n ( n+ ) (n+ ) plotëpjestohet me 6 Detyrë për ushtrime 3 Vërtetoni ose mohoni: Për snjë n numri n + nuk plotëpjestohet me 3 5 Tregojmë së pri pjesën e prë të detyrës të cilën do t zgjidhim me dy mënyr Mënyr e prë Është e qrtë se numri 4k + nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë tek sepse 4k + është numër çift kurse ktrori i një numri të plotë tek është numër tek Le të tregojmë se 4k + nuk mund të jetë s ktror i një numri të plotë çift Supozojmë të kundërtën, pr se k + = s s 4 ( ), Atëherë 4k + = 4s = 4( s k) = s k, gjë që nuk është e mundur sepse në nën e mjtë kemi numër të rregulltë rcionl e në nën e djthtë kemi numër të plotë Pr, supozimi ynë qenk i gbur Përfundojmë se 4k + nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë çift Mënyr e dytë Për n çift, pr nëse n= k tëherë n Nëse n tek, pr nëse n= k + tëherë n = 4k = 4 k( k + ) +

25 4 Bshkësitë numerike - zgjidhjet Pr, kur ktrori i një numri n pjesëtohet me 4 jep mbetjen 0 (nëse n çift) dhe (nëse n tek) (e sesi si në rstin 4k + ), pr 4k + nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë Vërtetojmë tni pjesën tjetër të detyrës Le të jenë m = s+, m = s +, s, s dy numr tek Atëherë m + m = (s + ) + (s + ) = 4( s + s + s + s ) + = 4k +, ku = k s s s s Në pjesën e prë të detyrës pmë se 4k + nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë e me këtë s m + m nuk mund të jetë ktror i një numri të plotë, gjë që kompleton vërtetimin 6 Shënim Duhet të tregojmë se nuk ekziston numri i plotë pozitiv m i tillë që m = 3n+ Dmth duhet të tregojmë se kur ktrori i numrit ntyror m (pr kur m ) pjesëtohet me 3 snjëherë nuk e jep mbetjen Rikujtojmë fktin se çdo numër ntyror n mund të shprehet në një ng formt: 3 k,3k +,3k +, k ) Nëse m= 3k tëherë m = (3 k) = 9k = 3(3 k ) ) Nëse m= 3k + tëherë 3) Nëse m= 3k + tëherë m k k k k = = 3(3 + ) + m k k k k = = 3( ) + Pr, vërejmë se ktrori i numrit ntyror gjtë pjesëtimit me 3 jep mbetjen 0 (rsti ) ose (rstet, 3) e snjëherë, gjë që kompleton vërtetimin 7 Supozojmë se snjër ng ktetet b, nuk plotëpjestohet me 3 Atëherë b, jnë të njërës ng formt 3k +,3k + Dllojmë rstet: ) = 3k +, b= 3k + = 3k +, b= 3k + ( = 3k +, b= 3k + ) ) 3) = 3k +, b= 3k + Shqyrtojmë ndrs rstet e mësipërme ) + b = (3k + ) + (3k + ) = 9k + 6k + + 9k + 6k +

26 Bshkësitë numerike - zgjidhjet 5 = 3(3k + k + 3k + k ) + = 3n+ ku n= 3k + k + 3k + k ) + b = (3k + ) + (3k + ) = 9k + 6k + + 9k + k + 4 = 3(3k + k + 3k + 4k + ) + = 3n+ ku n= 3k + k + 3k + 4k + 3) + b = (3k + ) + (3k + ) = 9k + k k + k + 4 ku n= 3k + 4k + 3k + 4k + = 3(3k + 4k + 3k + 4k + ) + = 3n + Por dijmë se c = + b Dmth në të tri rstet morëm që c = 3n+ Në detyrën 6 tregum se ktrori i snjë numri ntyror nuk mund të jetë i trjtës 3n + Pr së pku njëri ng numrt b, duhet të plotëpjestohet me 3 8 Përkujtojmë se me ( b, ) kemi shënur pjesëtuesin më të mdh të përbshkët të numrve b, Përkujtojmë përkufizimet vijuese: Përkufizimi : Themi se ( b, ) ) d dhe d b = dnëse plotësohen kushtet vijuese: ) Nëse k dhe k b tëherë k d Me ( bc,, ) prqesim pjesëtuesin më të mdh të përbshkët të numrve bc,, Përkufizimi i pjesëtuesit më të mdh të përbshkët për tre numr zgjerohet në bzë të përkufizimit për dy numr Për këtë mrrim përkufizimin vijues: Përkufizimi : Themi se ( bc,, ) = dnëse plotësohen kushtet vijuese: ) d, d b, d c ) Nëse k, k b, k c tëherë k d Le t i kthehemi zgjidhjes së detyrës Le të jenë = k +, b= l+, c= n+

27 6 Bshkësitë numerike - zgjidhjet Le të shënojmë d = (, b, c) = (k +,l+,n+ ) Tni + b k + l+ = = k + l+, + c b k n + c = + +, = l + n + + b + c b+ c Le të shënojmë d =,, = ( k + l+, k + n+, l+ n+ ) Duhet tregur se d = d Ng relcioni d = (k +, l+, n+ ) merret: d (k + ), d (l+ ), d (n+ ) Dmth ekzistojnë numrt e plotë x, yz, të tillë që dx = k +, dy = l +, dz = n + Pr d( x+ y+ z) = k + l+ n+ 3 () Ng relcioni d = ( k + l+, k + n+, l+ n+ ) merret: d ( k + l+ ), d ( k + n+ ), d ( l+ n+ ) Pr ekzistojnë numrt e plotë x, y, z të tillë që dx = k+ l+, dy = k+ n+, dz = l+ n+ Pr d ( x + y + z ) = k + l+ n+ 3 () Ng () dhe () merret d( x+ y+ z) = d ( x + y + z ) Meqë, dd,, x+ y+ zx, + y+ z jnë numr të plotë mbetet që: d = d, x+ y+ z = x + y + z ose ) d = x + y + z, d = x+ y+ z ) Është e qrtë se ng të dy rstet rrjedhë që d = d, gjë që duhej tregur

28 Elementet e gjeometrisë Le të jetë dhënë trekëndëshi ABC shtu që BC =, AC = b (shih figurën) Le të jetë AA Atëherë B S Δ ABC = h (pr AA h = A h A b C BC ) Sips supozimit mdhësi dihet, pr syprin e trekëndëshit ABC ndryshon me ndryshimin e lrtësisë h Tni është e qrtë se trekëndëshi k syprinën më të mdhe kur h të rrij vlerën më të mdhe Ng trekëndëshi AA C kemi h< b (sepse h është ktetë kurse b është hipotenuzë) Pr h rrin vlerën më A përputhet me pikën C kështu që = të mdhe kur h= b Në këtë rst trekëndëshi ABC shndërrohet në trekëndësh kënddrejtë me ktete BC dhe AC = b Përfundojmë se ng të gjithë trekëndësht me brinjë, b syprinën më të mdhe e k trekëndëshi kënddrejtë me ktete, b Le të mrrim në fillim një shembull më të thjeshtë Le të supozojmë se kemi 5 pik, çdo tri prej të cilve jnë jokolinere Duhet të cktojmë s drejtëz të ndryshme përcktohen prej A tyre A Le të jenë A, A, A 3, A 4, A 5 pikt me vetinë e përshkrur më sipër (shih A 5 figurën) A 3 Pik A me pikt tjer formon 4 drejtëz A ( d( AA ), d( AA 3), d( AA 4), d( AA 5)) 4 Ngjshëm pik A me pikt tjer formon 4 drejtëz ( d( AA), d( AA 3), d( AA 4), d( AA 5)) Ngjshëm merret edhe për pikt A3, A4, A 5

29 8 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet Pr, pesë pik përcktojnë 0 drejtëz, por meqë secil prej drejtëzve është numërur dy herë përfundojmë se 5 pik (çdo tri prej të cilve jnë jokolinere) përcktojnë 0 drejtëz të ndryshme Le të përgjithsojmë detyrën për n pik Është e qrtë se secil prej n pikve të dhën me pikt e tjer përckton n drejtëz dhe të gjith së bshku (pr n pik) përcktojnë nn ( ) drejtëz Meqenëse secil prej drejtëzve është numërur dy herë përfundojmë se numri i përgjithshëm i drejtëzve të përcktur ng n nn ( ) pik (çdo tri prej të cilve jnë jokolinere) është Detyr për ushtrime S pik të ndryshme n ( n ) ekzistojnë, nëse çdo tri prej tyre jnë jokolinere dhe numri i drejtëzve që to përcktojnë është 0 herë më i mdh se numri i pikve? Jnë dhënë n ( n ) pik të ndryshme, çdo tri prej të cilve jnë jokolinere Ato përcktojnë 3k drejtëz të ndryshme, kurse k pik të ndryshme, çdo tri prej të cilve jnë jokolinere përcktojnë 5n drejtëz të ndryshme A ekzistojnë numrt e tillë k, dhe n? Nëse po të cktohen 3 Bshkësi e n pikve (n numri çift) k 7 treshe piksh kolinere S drejtëz përcktohen prej pikve të kësj bshkësie 3 Ngjshëm si në detyrën e dytë do të mrrim një shembull më të thjeshtë Le të supozojmë se kemi 5 pik ( A, A, A3, A4, A 5) çdo ktër prej të cilve jnë jokomplnre Le të fillojmë me pikën A Atëherë secil ng 4 pikt tjer me pikën A dhe me tri pikt e tjer përckton tri rrfshe (psh pik A me pikën A dhe me njërën ng pikt A3, A4, A 5 përckton rrfshet AAA 3, AAA 4, AAA 5) Në këtë mënyrë do të mrrim 43 = rrfshe: AAA 3, AAA 4, AAA 5 AAA 3, AAA 3 4, AAA 3 5 AAA 4, AAA 4 3, AAA 4 5 AAA 5, AAA 5 3, AAA 5 4 Meqë secili ng rrfshet prqitet dy herë kemi : 6 = 6 rrfshe: AAA 3, AAA 4, AAA 5 AAA 3 4, AAA 3 5, AAA 4 5 Ngjshëm veprohet edhe me 4 pikt tjer

30 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet 9 Pr, gjithsej kemi 5 6 = 30 rrfshe Meqenëse secili prej tyre prqitet 3 herë (psh AAA 3, AAA 3, AAA 3 ) gjithsej do të kemi 30:3 = 0 rrfshe Le të përgjithësojmë detyrën për n pik ( n )( n ) Duke fiksur secilën prej n-pikve të dhën do të fitojmë rrfshe Pse? Meqë kemi n pik dhe meqë secili ng rrfshet prqitet tri ( n )( n ) ( )( ) herë kemi nn n n = rrfshe 3 6 Detyr për ushtrime 4 Jnë dhënë n pik ( n 3), çdo ktër prej të cilve jnë jokomplnre Të cktohet numri n nëse numri i rrfsheve që to përcktojnë është 0 herë më i mdh se numri i pikve 5 Jnë dhënë 5 pik S drejtëz dhe rrfshe më së shumti mund të përcktohen prej tyre? 4 Do të prqesim në vijim dis ksiom Dis prej tyre do t i përdorim gjtë zgjidhjes së detyrës së dhënë Aksiom : Nëpër dy pik të ndryshme klon një drejtëz e vetme Aksiom : Në qoftë se drejtëz k dy pik të përbshkët me rrfshin, tëherë të gjith pikt e drejtëzës i tkojnë tij rrfshi Aksiom 3: Nëpër tri pik të ndryshme ABC,, jokolinere klon një rrfsh i vetëm (të cilit to i tkojnë) Aksiom 4: Në qoftë se dy rrfshe të ndryshme knë një pikë të përbshkët, tëherë to knë së pku edhe një pikë tjetër të përbshkët Aksiom 5: Nëpër një pikë që nuk i tkon drejtëzës së dhënë, në rrfshin e përcktur prej tyre klon vetëm një drejtëz prlele më drejtëzën e dhënë Aksiom 6: Në qoftë se pik B ndodhet ndërmjet pikve A dhe C, tëherë, ABC,, jnë tri pik të ndryshme të një drejtëze dhe pik B poshtu ndodhet ndërmjet pikve C dhe A Aksiom 7: Për çdo dy pik të ndryshme A dhe B, në drejtëzën d( AB ) ekziston së pku një pikë C e tillë që A B C dhe së pku një pikë D e tillë që A B D

31 30 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet Aksiom 8: Në qoftë se A, BC, jnë tri pik të ndryshme të një drejtëze, tëherë vetëm njër prej tyre ndodhet ndërmjet dy pikve të tjer Aksiom 9: (Aksiom e Pshit) Le të jenë A, BC, tri pik jokolinere dhe d drejtëz, që i tkojnë një rrfshi shtu që pikt ABC,, nuk i tkojnë drejtëzës d Nëse drejtëz d ndërpren njërin prej segementeve ( AB), ( BC ) dhe ( AC ) jo gjithshtu e ndërpren njërin prej dy segmenteve tjer Në fillim do të tregojmë se çdo segment k pmbrimisht shumë pik Le të jetë AB një segment i çfrëdoshëm Në bzë të ksiomës 7 ndërmjet pikve A dhe B ekziston të pktën edhe një pikë C Për të njëjtt rsye ndëmjet pikve A dhe C ekziston të pktën edhe një pikë D Ng A D C dhe A C B kemi A D B Pse? Kështu mund të gjejmë s të dum pik të segmentit AB Kthehemi tek zgjidhj e detyrës i) Në bzë të ksiomës kemi se drejtëz k të pktën dy pik, kurse ng pohimi i vërtetur, ndërmjet dy pikve k pmbrim shumë pik Pr, çdo drejtëz k pmbrimisht shumë pik ii) Çdo rrfsh k të pktën tripik jokolinere, psh A, BC, Çdo drejtëz e përcktur ng pik A dhe cildo pikë e drejtëzës BC i tkon këtij rrfshi Meqë drejtëz BC k pmbrimisht shumë pik tëherë ng i) edhe rrfshi k pmbrimisht shumë rrfshe 5 Supozojmë se vektorët dhe b jnë kolinerë Atëherë ekziston numri α i tillë që = α b, prej ng α b = 0 Për m = dhe n = α merret m + nb = 0 Ansjellts Supozojmë se vlen m + nb = 0 Supozojmë se m 0 m m Atëherë = b = kb, ku k = n n Pr, vektorët dhe b jnë kolinerë Detyr për ushtrime 6 Të tregohet se vektorët = 4m + pn 7 p, b = 4 m+ 6 n p jnë prlel 7 Të cktohen numrt relë x, y shtu që vektorët = m + ( + x) n + p ; b = 3 m+ ( x+ y) n+ yp të jenë prlel

32 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet 3 6 M D MO= MA+ AO C MO= MB+ BO O MO= MC+ CO A B MO= MD+ DO 4MO= MA+ MB+ MC+ MD+ AO+ BO+ CO+ DO = MA + MB + MC + MD Prndj MO= ( MA+ MB+ MC+ MD ) 4 7 Ktrorin e dhënë e ndjmë në 6 ktror me gjtësi të brinjës 4 (shih figurën) Në bzë të primit të Dirileut së pku njëri ktror përmbn 6 pik Le të njehsojmë rrezen e rrethit të jshtëshkrur në të ktror 4 4 d = Atëherë d = d r = = = = < = d Qrtë se r =, ku r është rrezj e rrethit të jshtëshkrur në ktror dhe d është digonlj e ktrorit Meqë brinjët e ktrorit knë gjtësinë 4, ng teorem e Pitgorës kemi Pr, ekziston rrethi me rreze më të vogël se 4 i cili përmbn 6 pik ng 8 pikt e dhën Detyr për ushtrime 8 Në ktrorin me brinjë jnë vendosur 65 pik të ndryshme Të tregohet se ekziston segmenti që formohet ng prej pikve të dhën, gjtësi e të cilit nuk është më e mdhe se 4

33 3 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet 9 Në rrethin me rreze jnë vendosur 0 pik të ndryshme Të tregohet se ekziston ktrori me syprinë 4 i cili përmbn së pku 6 pik ng pikt e dhën 8 Le të jenë, b drejtëzt e dhën dhe α, βγδ,, këndet që to formojnë Vlen α=γ, β=δ sepse këndet α dhe γ (poshtu këndet β dhe δ ) jnë kënde kryqëzore δ Atëherë ng relcioni α γ ( α +γ ) = 7( β+δ ) merret β α= 7 β α= 7β Është e qrtë se α+β= 80 Pse? Atëherë α = 80 β Kemi α= 7(80 β) 8α= 7 80 α= 70, β= 80 α= 0 Përfundojmë se α=γ= 70, β=δ= 0 Detyr për ushtrime 0 Drejtëzt dhe b priten dhe formojnë 4 kënde α, βγδ,, Të vërtetohet se nëse njëri kënd është i dretë tëherë të tillë jnë edhe tri këndet e tjer Drejtëzt dhe b priten dhe formojnë 4 kënde: dy kënde të ngusht α dhe γ dhe dy kënde të gjer β dhe δ Të cktohen këndet αβγδ,,, nëse 4( α +β ) = 5( γ+δ ) 9 Le të jetë dhënë trekëndëshi ABC Le të shënojmë me S qendrën e rrethit të brendshkrur në trekëndëshin ABC (shih figurën) Atëherë C SΔ ABC = SΔ ABS + SΔ BCS + SΔ CAS SΔ ABS = AB DS = c r E F b S SΔ BCS = BC ES = r D A c B SΔ CAS = AC FS = b r Pr SΔ ABC = ( + b+ c ) r S = ( + b+ c) r () ΔABC

34 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet 33 Poshtu vlen SΔ ABC = h = b hb = c hc Atëherë SΔ ABC = h = b h b = c h c () Ng () dhe () kemi ( + b+ c) r = h = b hb = c hc Dmth b,, c = = = h r + b+ c hb r + b+ c hc r + b+ c Duke mbledhur brzitë e fundit kemi: b c + + = h hb hc r + + = b c b c b c, r gjë që duhej tregur 0 Le t i referohemi figurës A B c h D Ng zbtimi i teoremës së Pitgorës në trekëndësht ABD dhe ADC kemi: Pr Duke zbritur brzitë e mësipërme merret + c b BD = Atëherë ng () kemi b h = c BD () h = b ( BD ) () = h = b + BD + BD h c BD + c b + c b + c b h = c = c c+ C b ( c) ( + c) b = ( b + c)( b+ c)( + c b)( + b+ c) =, prej ng 4 h = ( + b+ c)( b+ c )( b+ c)( + c b), gjë që duhej tregur

35 34 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet Le të jenë Q, Q qendrt e rrthëve të dhënë dhe Q Q = { Q3} (pr Q 3 është pik e tkimit të rrthëve R dhe R R R 3 R Q Q Q3 L K M M 3 M Le të jenë M, M dhe M 3 pikt e tkimit të rrthëve R, R, R 3 me njërin krh të këndit të dhënë, përktësisht Atëherë QM = r; QM r, QM 3 3 = r3, r > r Le të jetë K pikë e segmentit QM e tillë që QK MM kurse pikëprerj e segmenetve QK dhe QM 3 3 le të jetë L Është e qrtë se trekëndësht QQ K dhe QQ 3L jnë të ngjshëm Pse? Atëherë QL 3 QQ 3 = () QK QQ Meqë QQ 3 = r, QQ = r+ r, QK = r r r r Ng () mrrim QL 3 = r r + r r r rr Përfundimisht kemi r3 = Q3M3 = Q3L + LM = r + r =, gjë r+ r r + r që duhej tregur Le të vërtetojmë së pri relcionet: ( m = b + c ) () 4 ( mb = + c b ) () 4 ( mc = + b c ) (3) 4 Le të jetë dhënë trekëndëshi ABC (shih figurën) A Le të jetë AA = m dhe AA0 = h - lrtësi e lëshur ng kulmi A Supozojmë se këndet prnë kulmeve B B c b h dhe C jnë të ngushtë dhe AC > AB m Me zbtimin e teoremës së Pitgorës në B A 0 x A C

36 trekëndësht ABA 0 dhe AA0C merret: c = h + x = h + x + x 4 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet 35 b = h + + x = h + x + + x (5) 4 Ng trekëndëshi AA0A kemi h + x = m (6) Ng (4), (5) dhe (6) merret b + c = h + x + = m + 4m = b + c m = (b + c ) 4 Ngjshëm tregohen () dhe (3) 3 Atëherë m + mb + mc = ( + b + c ) 4 7 Në bzë të mosbrzisë + b + c 9R merret m + mb + mc R e 4 në bzë të një detyre të zgjidhur më prë (detyr 5 tek mosbrzimet) kemi: 8 ( m + mb + mc) 3( m + mb + mc) R 4 9 9R m + mb + mc R m + m + m b c 3 Së pri do të tregojmë se gjtësi e brinjës më të mdhe e shumëkëndëshit është më e vogël se shum e gjtësive e A A n brinjëve të tjer të shumëkëndëshit A n A 3 Le të jetë është brinj më e gjtë e n 3 shumëkëndëshit A, A,, A n dhe An 5 A 5 4 A 4 (4),, n brinjët e tjer Duhet të tregojmë se < + +< n Zbtojmë fktin se gjtësi e brinjës së trekëndëshit është më e vogël se shum e gjtësive të dy brinjëve të tjer Kemi: < + AA 3

37 36 < AA 4 Elementet e gjeometrisë - zgjidhjet < AA 5 < n + AA n < AA 3 4 n n n = n n n Pr < n, gjë që duhej tregur Tregojmë tni pohimin e detyrës Supozojmë se për brinjët,, n të shumëkëndëshit AA A n vlen n > 0 Supozojmë të kundërtën, pr se nuk ekzistojnë dy brinjë, rporti i gjtësive të të cilve është më i vogël se Dmth, 3,, n n Atëherë n + n > n + n, gjë që nuk është e mundur Përfundojmë se ekzistojnë dy brinjë rporti i gjtësive të të cilve është më i vogël se

38 Trnsformimet lgjebrike Ng kushtet e detyrës kemi Pxy (, ) = Qxy (, ) Qxy (, ) + Pxy (, ) () 4 Trnsformojmë relcionin () Pxy Pxy Q xy 4 (, ) (, ) = (, ) 3 Pxy Q xy 4 (, ) = (, ) Në nën tjetër vërejmë se: 3 (, ) Pxy Q ( xy, ) = x + x ( y) + ( y) + y = x + x x y+ y+ y 4 4 = = + ( x ) ( x ) y y ( x y) Dmth Pxy (, ) ( x y) 3 = + 3 (, ) Pxy Q ( xy, ) Pr = ( x + y) = Q ( x, y) Përfundojmë se Qxy (, ) = x + yose Qxy (, ) = y x Detyrë për ushtrime A ekziston polinomi Px ( ) i shkllës së tretë i cili kur pjesëtohet me x jep mbetjen 3 kurse plotëpjesëtohet me ( x ) Trnsformojmë polinomin e dhënë si vijon: Pxyz (,, ) = x + y + z xy yz xz ( x y z xy yz xz ) = + + ( ) = x xy y x xz z y yz z

39 38 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet ( ) ( ) ( ) = x y + x z + y z Vërejmë se nëse x = y= z tëherë Pxyz (,, ) = 0 Në të gjith rstet tjer vler e polinomit Pxyz (,, ) është pozitive 3 Së pri vërejmë se për x > y> z vlen x+ y+ z 0 dhe x+ y z 0 Pse? Trnsformojmë shprehjen e dhënë dhe mrrim: ( x y+ z)( x+ y z) = ( x+ y+ z)( x y z) ( x ( y z))( x+ ( y z)) = ( x+ ( y+ z))( x ( y+ z)) x ( y z) = x ( y+ z) y yz+ z = y + yz+ z Pr 4yz = 0 y = 0 ose z = 0, gjë që duhej tregur Detyr për ushtrime Nëse numrt relë x, yz, plotësojnë kushtin x > y > z dhe nëse x y + z x y z = tëherë të pktën njëri ng numrt yz, është x + y + z x + y z zero Por veç kushtit të mësipërm numrt x, yz, duhet të plotësojnë edhe një kusht tjetër Cili është i kusht? Nëse b, b c dhe + 3b + 3bc + c + = c + 3b+ 3bc+ c tëherë = b = c Vërtetoni 4 Relcionin fillestr e trnsformojmë si vijon: b+ c = c + b+ c b c bc+ c ( ) ( )( ) b+ c = c + b+ c b c + b c ( ) ( )( ( )) ( b + c ) = bc( + b + c) c ( + b + c)( + b c) b + c + c + b c = bc + b + c + c ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( b + c ) + c ( + b + b 4 c ) = bc( + b + c) + bc ( b + c ) + c ( + b 4 c ) + bc = bc( + b + c) + bc b + c + c + b c c = bc + b + c 4 ( ) 4 ( ) b + 4bc + 4c + c + b c 4c = bc + b c + bc 4 4

40 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet 39 b + bc + c + bc = bc+ bc b bc c bc bc bc = 0 b b c bc + b c + c + bc = 0 ( b) b( bc + c) + ( bc + c) = 0 ( b ( bc c)) 0 + = Pr b ( bc + c) = 0 b = c( b + ) c Përfundimisht =, gjë që duhej tregur + b b 5 Detyrën do t zgjidhim në dy mënyr Mënyr e prë Shprehjen 3x do t shkrujmë në trjtën Trnsformojmë polinomin Px ( ) si vijon: 3x = x + x P x x x x x x x x x x x ( ) = = = x x + x x + + x + = x + x x+ ( ) 3 ( ) ( ) ( )( 3 ) = + + = + ( x )( x x x ) ( x )( x( x ) ( x )) = ( x + )( x )( x ) Mënyr e dytë Gjymtyr e lirë e polinomit Px ( ) është Është e qrtë se fktorët e gjymtyrës së lirë jnë ±, ± Meqë 4 3 P( ) = ( ) 3( ) + 3( ) 3( ) + =, përfundojmë se nuk është rrënjë e polinomit 4 3 Provojmë vlerën P () = = 0 Dmth numri është rrënjë e polinomit Pr Px ( ) = ( x ) Qx ( ) Është e qrtë se për të përcktur polinomin Qx ( ) duhet pjesëtur Px ( ) me x Merret:

41 40 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet ( ):( ) = + x x x x x x x x 4 3 ± x x x + x x x ± x x 3x+ ± x x x + x ± 0 Dmth 3 Qx ( ) = x x + x Tni vërejmë se polinomin Qx ( ) mund t fktorizojmë si vijon: 3 Qx ( ) = x x + x = x( x ) + ( x ) = ( x + )( x ) Përfundojmë se Px ( ) = ( x + )( x )( x ) Shënim Në këtë detyrë pmë se ishte e lehtë të fktorizohet polinomi Qx ( ) Në rstet kur fktorizimi i polinomit Qx ( ) nuk është i lehtë tëherë veprohet si në fillim të mënyrës së dytë të zgjidhjes, dmth cktohen fktorët e gjymtyrës së lirë dhe provohen nëse ndonjëri prej tyre prqet rrënjë të polinomit Pstj zbërthimi i polinomit Qx ( ) vzhdon si në rstin e zbërthimit të polinomit Px ( ) tek mënyr e dytë Detyrë për ushtrime 4 Të zbërthehet në fktor polinomi 3 Px ( ) = 3x x 5x+ 4 6 Le të trnsformojmë shprehjen = =

42 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet 4 3 = = = Pr = = (sepse + = ) = + = + = ( ) = + =, gjë që duhej tregur Detyrë për ushtrime 5 Vërtetoni se nëse + = tëherë 9 + = Le të trnsformojmë së pri emëruesin e shprehjes së dhënë x + 4= x + 4x x = ( x + ) ( x) 4 4 = ( x + x)( x + + x) Atëherë do të kemi x + A B 4 = + x 4 x x x x Duke shumëzur të dy nët e relcionit () me merret x + = Ax + + x + Bx + x ( ) ( ) () ( x + x)( x + + x) x + = ( A+ B) x + A+ B+ (A B) x x + x+ = A+ B x + A B x+ A+ B 0 ( ) ( ) ( )

43 4 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet Duke brzur koeficientët e nës së mjtë me t të nës së djthtë merret A+ B= A B = 0 Duke zgjidhur sistemin () merret A= B= x + Përfundojmë se 4 = + x + 4 x + x x + + x 8 Së pri është e qrtë se x 0 dhe x Pse? Meq ë shprehjet x dhe x + prqiten në vler bsolute tëherë to shprehje i brzojmë me zero dhe pstj cktojmë intervlet në të cilt duhet shqyrtur detyrën Nxënësi e k të lehtë të rsyetojë se duhet shqyrtur tri rste: ) x (, ] ) x (,0) 3) x (0, )\{} Shqyrtojmë veçms rstet e mësipërme: ) Nëse x (, ], tëherë në bzë të përkufizimit të vlerës bsolute kemi x = x, x+ = x Atëherë kemi x x x x x x x x + + ( )( + ) + ( ) ( + )( ) + = = = x ( x ) x( x ) x( x ) x ) Nëse x (,0) kemi x + > 0 prndj x + = x +, kurse x = x Atëherë kemi x + x+ ( x )( x+ ) + ( x+ ) ( x+ )( x + ) x+ = = = x ( x ) x( x ) x( x ) x 3) Nëse x (0, ) \{} tëherë x + = x+, x = x () Pr x x x x x x x x + + ( )( + ) + ( + ) ( + ) + = = = x ( x ) xx ( ) xx ( ) x Detyr për ushtrime 6 Të thjeshtohet shprehj 7 Të thjeshtohet shprehj 3 x ( x 7x + 4x 8) 3 ( x 5x + 6 x) x x 4x+ 4 x x 4

44 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet 43 9 Nëse trnsformojmë nën e djthtë merret: ( + b) ( b+ b + b b + b ) = b+ b + b b + b b b + + b b + b = + b Tregojmë tni pjesën tjetër të detyrës Ng jo që vërtetum pmë se 0 0 b ( b) S + = +, ku S b b b b b = Anëtrët e shumës i grupojmë si vijon: = ( 00 ) ( 99 ) (50 5 ) = ( + 00) S + ( + 99) S + + (50 + 5) S 50 = 0S + 0 S + + 0S 50 = 0( S + S + + S50) = 0S, që tregon se shum e dhënë plotëpjestohet me 0 Është e qrtë se S = S+ S + + S50, kurse S = , S = e kështu me rdhë Detyr për ushtrime 8 Le të jenë b, numr relë Vërtetoni se vlen b = ( b) ( + b+ + b + b ) 9 Vërtetoni se plotëpjestohet me 9 0 Së pri trnsformojmë shprehjen x y z x y + + ( + 4 ) + 7 = 0 Merret x y z x y = 0

45 44 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet x x+ + y 8y+ 6+ z = 0 ( x ) ( y 4) z = Kjo është e mundur vetëm kur x=, y = 4, z = 0 Dmth 004 z Pxyz (,, ) = x + 004y+ 004 = = 808 Detyrë për ushtrime y x 0 Të cktohet vler e polinomit Pxy (, ) = x + y nëse dihet se x + y plotëpjestohet me 0, ku x është numri më i vogël me këtë veti kurse y numër i thjeshtë Së pri numrin dhjetor do t prqesim në trjtë të thyesës Le të jetë x = 444 Atëherë 00x = 4444 Kështu merret 00x x= 99x= = Dmth x = 99 Në vijim, nxënësi e k të lehtë të tregojë se + 3 = Po shtu + 3 = (3 + 3), dmth = (5 3) Dmth = 5 3 Në vzhdim le t trnsformojmë emëruesin si vijon: ( 6) = ( 3) = ( 3) = = (7 33) = = 6 = 4= 8 Pr A = = = Përfundojmë se A është numër rcionl dhe k vlerën Shënim Pk më prë shfrytëzum fktin që + 3 = (3 + 3) Shtrohet pyetj: si rritëm në rezulttin e mësipërm?

46 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet 45 Shprehjen + 3 do t brzojmë me + b 3,, b Një brzim i tillë është i kuptueshëm sepse psi të ngriten në ktror, në të dy nët e brzimit do të prqitet 3 Le të shohim këtë në vijim + 3 = + b = ( + b 3) + = = b 3 3b 3 3b b 3 b = 6 prej ng merret sistemi + 3b = 6 Ng b = 6 = Këtë e zëvendësojmë në shprehjen e dytë dhe merret b b = + 3b = + b = 7 b b b Brzimin e fundit e shkrujmë si vijon: 4 4 b 7b + = 0 b 3b 4b + = 0 b ( b 3) 4( b 3) = 0 ( b 3)( b 4) = 0 Meqë b, jnë numr të plotë tëherë mbetet që b = ± Atëherë =± 3 Përfundimisht merret = 3, b= Pse? Dmth + 3 = Ngjshëm tregohet se = 5 3 Në mënyrë që të merret ndryshimi i ktrorëve shprehjes 4 n 4 4 n x + y i shtojmë dhe i zbresim 4x n y n x + 4y = x + 4x y + 4y 4 x y = ( x + y ) ( x y ) 4 n 4 n 4 n n n 4 n n n n n n n = n n n n n n n n ( x y x y )( x y x y ) Tregojmë tni pjesën tjetër të detyrës: = = ( )( ) = ( )( ) që tregon se numri është numër i përbërë

47 46 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet Detyr për ushtrime Shprehj x + 64y të shprehet si prodhim i dy polinomeve 6n 3n Shprehj x 6n të shprehet si prodhim i pesë polinomeve 3 Trnsformojmë shprehjen e dhënë si vijon: Pxyz x y z x y z (,, ) = + + ( ) + 4 = x x+ + y y+ + z z ( x ) ( y ) ( z 3) Meqë ( x ) + ( y ) + ( z 3) 0, mbetet që 0 është vler më e vogël që merr polinomi Pxyz (,, ) e kjo rrihet për x=, y =, z = 3, gjë që duhej tregur Detyr për ushtrime 3 Të cktohen numrt më të vegjël ntyror x, yz, për të cilët polinomi y z Pxyz (,, ) = x + y + z x rrin vlerën më të vogël 64 4 Të cktohen x, yz, për të cilët polinomi Pxyz (,, ) = y+ z y z x 4 rrin vlerën më të mdhe 5 Të cktohet vler minimle e polinomit Pxyz (,, ) = x + y + z + x+ y+ 3z 4 Trnsformojmë shprehjen në nën e mjtë të brzimit xyz + xy + xz + yz + x + y + z + = xyz + xy + xz + x + yz + y + z + = xy( z + ) + x( z + ) + y( z + ) + ( z + ) = ( xy + x + y + )( z + ) = ( x( y + ) + ( y + ))( z + ) = ( x+ )( y+ )( z+ ) 5 Në nën tjetër në bzë të detyrës 3 të kpitullit të prë kemi 004 = 3 67 Pr ( x+ )( y+ )( z+ ) = 3 67 Meqë x > yx, > ztëherë x+ = 67 x= 66

48 Për yz, kemi këto mundësi: Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet 47 y+ = 4, z+ = 3, y+ = 3, z+ = 4, y+ =, z+ = 6, y+ = 6, z+ = Përfundimisht merren këto treshe: (66,3,),(66,,3),(66,,5),(66,5,) Detyrë për ushtrime 6 Të cktohen të gjith treshet e numrve ntyror ( x, yz, ) për të cilët xyz+ 3xy+ xz+ yz+ 6x+ 3y+ z+ 6= 80 dhe që z të jetë numër i thjeshtë 5 Le të jetë n shum e n numrve të prë ntyror Trnsformojmë shumën e dhënë: ( n ) + ( n ) + n = ( + n) + ( + ( n )) + (3 + ( n )) + n = ( n+ ) + ( n+ ) + ( n+ ) + = ( n+ ) n here Le t i kthehemi vërtetimit Supozojmë të kundërtën, pr se shum e të gjithë numrve ntyror ng deri në n mund të jetë numër ktërshifror me të gjith shifrt e njëjt n Atëherë kemi ( n+ ) = k n ( n+ ) = k, k {,,,9} Numri ps zbërthimit në fktor të thjeshtë mund të shkruhet në trjtën = 0 Pr nn ( + ) = k 0 Meqë në nën e mjtë kemi prodhim të dy numrve të njëpsnjëshëm mbetet që k = 00 ose k = 0 Në të dy rstet merret që k nuk është numër ntyror Pr, supozimi ynë qenk i gbur Me këtë përfundum vërtetimin Detyrë për ushtrime 7 A është e mundur që shum n + + +, për ndonjë n numër ntyror të përfundojë me shifrt 45?

49 48 6 Ng + b b = + c merret Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet b c b= = c b bc Ng b + c c = + merret c b c= = c c Ng + c b = + merret b c= = b b b c c b ( b c)( c )( b ) Atëherë ( b)( b c)( c) = = bc c b b c ( b c)( c )( b ) Dmth ( b)( b c)( c) = 0 bc ( b)( b c)( c) = 0 bc Meqë b c tëherë ( b)( b c)( c) 0 ( bc) Mbetet që = 0 = 0 ( bc) ( bc) Dmth ( bc )( bc + ) = 0 bc = ose bc = Përfundojmë se bc =, gjë që duhej tregur Detyrë për ushtrime 8 Nëse bc,, jnë numr relë të tillë që + = b + = c +, bc 0, b c b c tëherë tregoni se bc = ose = b ose b= c ose = c 7 ) Trnsformojmë nën e mjtë si vijon: = (( n+ ) ( n ) ) nn ( + ) nn ( ) n 4 n n 4 4 tregur ) Ng identiteti i vërtetur kemi: 3 = (( n+ ) ( n ))(( n+ ) + ( n )) = ( n) = n, gjë që duhej

50 Trnsformimet lgjebrike - zgjidhjet = 3 3 = = nn ( + ) nn ( ) 3 = n Duke i mbledhur në për në relcionet ng () merret () nn ( + ) = n, gjë që duhej tregur 8 Ng + b+ c+ d = 0 = b c d Dmth ( b c d) + b + c + d = ( b+ c) 3( b+ c) d 3( b+ c) d d + b + c + d = b 3b c 3bc c 3( b+ c) d 3( b+ c) d + b + c = 3 bc( b+ c) 3( b+ c) d 3( b+ c) d = ( b c)( bc bd cd d ) = ( b c)( bc bd cd d ) = 3( b+ c)( b( c+ d) + d( c+ d)) = 3( b+ c)( b+ d)( c+ d), gjë që duhej tregur Detyrë për ushtrime 9 Nëse bc,, jnë numr relë të tillë që + b+ c = 0, tëherë tregoni se vlen b + c + b + c + b + c = 7 3