DISERTACION PËRAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TË OPERATORËVE UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Transcript

1 UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR DISERTACION PËR MARRJEN E GRADËS DOKTOR I SHKENCAVE Me temë PËRAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TË OPERATORËVE Kadidati: M.Sc.Behar BAXHAKU Udhëheqësit Shkecorë: Prof. Dr. Xhezair TELITI Prof. Dr. Fevzi BERISHA Tiraë, 17

2 UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR DISERTACION PËR MARRJEN E GRADËS DOKTOR I SHKENCAVE Me temë PËRAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TË OPERATORËVE Kadidati: M.Sc.Behar BAXHAKU Mbrohet më datë / /17 para jurisë Udhëheqësit Shkecorë: Prof. Dr. Xhezair TELITI Prof. Dr. Fevzi BERISHA 1. Kryetar. Opoet 3. Opoet 4. Aëtar 5. Aëtar Tiraë, 17

3 Falëderime dhe Mirëjohje Për të arritur deri ë hartimi e këtij disertacioi përveç puës dhe përpjekjeve përsoale jë kotribut të rëdësishëm kaë edhe udhëheqësit e mi shkecorë Prof.Dr. Xhezair Teliti dhe Prof.Dr. Fevzi Berisha të cilëve ju shpreh mirëjohje dhe falëderimet e mia. Falederoj Departameti e Matematikës të Fsh-së, për mudësië që më dha, përkahje që më ofroi dhe sygjerimet me vlerë, pa të cilat puimi i doktoratës uk do të mud të realizohej. Gjithashtu, falëderoj familje time që ë çdo momet më ka përkrahur, me ka mirëkuptuar dhe më ka itur akoma më shumë për të fializuar këto studime. Së fudi dua të falëderoj të gjithë miqtë, shokët, kolegët që më kaë ikurajuar dhe mbështetur gjatë kësaj pue të lodhshme. i

4 Parathëie Në këtë disertacio, jaë përkufizuar disa tipe të ri të operatorëve liearë pozitivë, si dhe jaë studiuar disa veti për këta operatorë. Veçaërisht, jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve, vetitë e përafrimeve statistikore, si dhe vetitë e përafrimeve me peshë. Shpejtësia e kovergjecës së këtyre operatorëve kah fuksioi është shqyrtuar përmes modulit të lëmueshmërisë, moduleve të pjesëshme të vazhdueshmërisë për rasti e fuksioeve me dy variabla, si dhe Peetre K-fuksioalit. Në veçati, jaë vërtetuar disa teorema të tipit Voroovskaya dhe Gruus-Voroovskaya. Po ashtu jaë bërë disa përgjithësime të operatorëve liearë pozitivë ë hapësirë e të gjithë fuksioeve të vazhdueshme sipas Bögel-it. Për të parë më mirë përafrimi e këtyre operatorëve kah fuksioi jaë dhëë disa shembuj të ilustrimit grafik dhe është llogaritur vlerësimi i gabimit. Abstract I this thesis we have itroduced ew type of liear positiv operators ad some properties of these operators are studied. Specifically, approimatio properties, statistical approimatio properties ad weighted approimatio properties are ivestigated. Speed of the covergece for these operators to the fuctio are elaborated usig modulus of smothess, partial modulus of cotiuity for the case of bivariate fuctios ad Peetre K-fuctioal. I particular, some theorems of Vorooskaya ad Gruus-Voroovskaya type are proved. Furthermore, some geeralizatios of liear positive operators i the space of all cotious fuctios give by Bogel are composed. To better see the approimatio of these operators to the fuctio some graphical eamples ad error estimatio are preseted. Fjalë kyçe: Operatorët e Szász-Jai-Breke-s, operatorët e Szász-Gould-Hopper-it, GBS-operatorët, moduli i vazhdueshmërisë, Peetre K-fuksioali, operatorët e Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich, q-umrat e plotë, shpejtësia e kovergjecës, moduli i përzier i vazhdueshmërisë. Fusha AMS subject classificatio: 6A15, 41A1, 41A5, 41A8, 41A35, 41A63 ii

5 Lista e Tabelave 3.1 Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f = Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f = Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f iii

6 Lista e figurave iv

7 Lista e Përmbajtjes Moduli i lëmueshmërisë Moduli i vazhdueshmërisë dhe K-fuksioali Moduli i uifikuar i vazhdueshmërisë Hapësirat me peshë dhe modulet përkatëse të vazhdueshmërisë Operatorët liearë pozitivë Operatorët e Berstei-it Operatorët e Katorovich-it Operatorët e Szász-it Disa Kuptime ga q-kalkulusi Kovergjeca Statistikore dhe A-statistikore Vetitë e përafrimeve të operatorëve të tipit Szász-Breke dhe Szász-Gould- Hopper Përkufizimi i operatorëve të tipit Szász-Breke Vetitë e përafrimeve Përafrimi i fuksioeve me peshë Teoremat e tipit Voroovskaya dhe Gruss-Voroovskaya Shpejtësia e kovergjecës për fuksioet me variacio të kufizuar Kostruktimi i operatorëve të tipit Szasz-Gould-Hopper Vetitë e përafrimeve lokale Përafrimet me peshë Vetitë e përafrimeve A-statistikore Operatorët e tipit Szász-Jai-Charlier Kostruktimi i operatorëve të tipit Szasz-Jai-Charlier Vetitë e përafrimeve Vetitë e përafrimeve me peshë Moduli i uifikuar i vazhdueshmërisë Shpejtësia e kovergjecës për fuksioet me variacio të kufizuar v

8 LISTA E PËRMBAJTJES Përafrimet me aë të operatorëve të tipit Chlodowsky-Szász-Katorovich- Charlier për fuksioi me dy variabla Kostruktimi i operatorëve të tipit Chlodowsky-Szász-Katorovich-Charlier për fuksioi me dy dryshore Përafrimet ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme sipas Bögel-it Përafrimet Statistikore ë hapësirë e fuksioeve B- të vazhdueshme Vetitë e përafrimet të disa tipeve të kombiuara të operatorëve me operatorët e tipit Chlodowsky Kostruktimi i operatorëve të tipit Chlodowsky Përafrimet statistikore të tipit Korovki Operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich Vetitë e përafrimeve me peshë Gjeeralizimi i operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei- Stacu- Katorovich Përafrimet e fuksioeve të vazhdueshme ë hapësirë e Bögel-it Literatura 11 vi

9 Hyrje Teoria e përafrimeve është jë dër disipliat më të rëdësishme dhe më përmbajtësore të matematikës, e cila ka lidhje të gushtë si me shkecat matematike ashtu edhe me ato tekike. Për jë lidhje të tillë a bid fakti se me zhvillimi e teorisë së përafrimeve jaë zhvilluar edhe shkecat e tjera e ë të shumtë e rasteve ky zhvillim ka çuar edhe ë përkufizimi e kuptimeve të reja ë matematikë. Me jë potecial të madh të aplikimit të kësaj fushe ë probleme të dryshme, kjo para se gjithash paraqet jë dër fushat më të vjetra kërkimore ë matematikë. Një rol të rëdësishëm ë teorië e përafrimeve kaë operatorët liearë pozitivë, të cilët gjejë zbatim mjaft të madh ë procesim të imazheve si për shembull, imazhe biomjekësore apo lloje të tjera të imazheve mud të ridërtohe dhe të zgjerohe me dihmë e operatorëve liearë pozitivë, për të zgjidhur probleme të dryshme praktike. Si bazë e teorisë së përafrimeve siç theksoi A. F. Tima, është teorema e zbuluar ga K. Weierstrass më 1885, që poho se për secili fuksio të vazhdueshëm ë dojë segmet ekzisto vargu i poliomeve që kovergjo uiformisht te ky fuksio ë segmeti e dhëë. Vërtetimi i kësaj teoreme me poliomet algjebrike ose poliome trigoometrike ishte mometi kyç i zhvillimit të kësaj teorie. Meqëëse ky vërtetim ishte mjaft i komplikuar dhe shumë i gjatë, u bëë përpjekje të mëdha ga shumë matematikaë të dryshëm që të gjejë vërtetime më të thjeshta dhe iduktive të kësaj teoreme. Disa prej matematikaëve që kotribua ë vërtetimi sa më të thjeshtë të kësaj teoreme jaë edhe: Carl Ruge 1885, Heri Lebesgue 198, Edmud Ladau 198, Lipot Fejér dhe Sergej N. Berstei 191. Më 191, S.N. Berstei [8] jep jë vërtetim të thjesht të teoremës së Weirestrass-it, ku vargu i poliomeve të cilët kovergjojë uiformisht kah fuksioi që duhet përafruar kostruktohet me metoda probabilitare. Nga ky rast u kostruktua edhe poliomet e Berstei-it: k B,k f ; := k 1 k f, k k= ku f C[,1], [,1] dhe N. Teorema e Weirestrass-it trego se, me saktësi sado të madhe, mud të përafrojmë fuksioet e vazhdueshme me poliome. Por jo më pak e rëdësishme është të përcaktohe poliomet që me saktësië e caktuar më parë e përafrojë fuksioi e dhëë ë jë segmet. Këto poliome jaë poliomet e Berstei-it. Rëdësia e këtyre operatorëve bëhet e qartë kur Paul de Faget Casteljau dhe Pierre Bézier ga kompaia automobilistike Reault fusi ë përdorim poliomet e Berstei-it për të gjetur modele që shërbejë si metoda për dizaj idustrial. Veçaërisht, ë vitet e 195-ta, teoria e përafrimit të fuksioeve me aë të operatorëve liearë pozitivë mori hov të madh kur T. Popovicious [88], H. Bohma [45] dhe P.P. Korovki [76, 77] zbulojë jë kriter vii

10 LISTA E PËRMBAJTJES të thjeshtë dhe lehtë të aplikueshëm për të kotrolluar ëse jë varg i operatorëve liearë pozitivë kovergjo ë mëyrë uiforme kah fuksioi që duhet përafruar. Ky kriter trego se kusht i evojshëm dhe i mjaftueshëm për kovergjecë uiforme të vargut të operatorëve liearë pozitivë A ë fuksioi e vazhdueshëm f ë dojë iterval kompakt [a,b], është kovergjeca uiforme e vargut A f kah fuksioi f për vetëm tri fuksioet e k = k, k =,1,. Nëse itervali i përkufizimit të fuksioit f është e pakufizuar për shembull [,, atëherë rezultati mbetet i vlefshem vetëm për fuksioet të cilat ka limiti e fudëm ë ifiit. Në këtë rast, test-fuksioet k, k =,1, zëvedësohe me tri fuksioet e tjera p.sh. e k, k =,1,. Z. Didzia ë [98] vuri ë dukje se për ta zgjeruar teoremë e Popovic-Bohma-Korovki-it për fuksioet e vazhdueshme dhe të pakufizuara të defiuara ë [,, kërkohe disa kufizime të fuksioeve. Më 1974, A. D. Gadijev [17] përkufizoi hapësirë me peshë weighted space C ρ I, e cila paraqet bashkësië e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme f ë itervali I R, për të cili ekzisto umri pozitiv M i tillë që f M ρ për çdo I, ku ρ është fuksio pozitiv i vazhdueshëm e që quhet pesha weight. C ρ I është hapësirë lieare e ormuar e pajisur me ormë f ρ = sup I f ρ. Teorema e llojit Korovki, e vërtetuar ga Gadijev, poho: ëse ϕ : [, [, fuksio rritës i pakufizuar, i vazhdueshëm dhe ρ = 1 ϖ, atëherë ëse vargu i operatorëve liearë pozitivë A : C ρ [, C ρ [, plotëso barazimet: lim A ϖ i ρ =, i =,1,, atëherë për çdo fuksio f C ρ [,, për të cili ekzisto lim f ρ dhe është i fudmë vle: lim A f f ρ =. Për shkak të rëdësisë shumë të madhe të poliomeve të Berstei-it jaë bërë gjeeralizime dhe aplikime të shumta që mud të gjedë ë [19,, 1, 31, 5, 91]. Në këtë tezë doktorature jaë përkufizuar disa tipe të ri të operatorëve të tipit diskret si dhe atyre itegralë dhe jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve statistikore, vetitë e përafrimeve, si dhe vetitë e përafrimeve me peshë. Teza përbëhet ga pesë kapituj, prej të cilëve ë katër kapitujt e fudit shumica e rezultateve jaë puë origjiale. Kapitulli i parë përmba istrumete të evojshme që do të përdore më tej për jerrje e rezultateve toa, siç jaë modulet e lëmueshmërisë, K-fuksioali dhe lidhja me modulet e vazhdueshmërisë, hapësira e fuksioeve me peshë, si dhe moduli përkatës i vazhdueshmërisë. Në fud jaë shqyrtuar disa tipe të operatorëve liearë pozitivë si dhe jaë dhëë disa ocioe e përkufizime ë lidhje me q-kalkulusi dhe kovergjecë statistikore. Në kapitulli e dytë së pari jaë përkufizuar jë tip i ri i operatorëve liearë pozitivë që jaë kombiim i operatorëve të Szasz-Jai-it dhe poliomeve Breke, si dhe jaë shqyrtuar vetitë e përafrimit të tyre. Po ashtu është është bërë përgjithësimi i këtyre operatorëve me aë e poliomeve të Gould-Hopper-it. Për me tepër, jaë dhëë teoremat e tipit kuatitativ Voroovskaya dhe Gruss-Voroovskaya. Në veçati, është shqyrtuar shpejtësia e viii

11 LISTA E PËRMBAJTJES kovergjecës së operatorëve të Szasz-Jai-Breke-s për fuksioet që kaë derivati me variacio të kufizuar dhe jaë dhëë disa shembuj grafikë për të ilustruar këtë shpejtësi të kovergjecës. Në fud jaë marrë vetitë e përafrimeve statistikore me peshë për operatorët e tipit Szasz-Gould-Hopper. Në kapitulli e tretë jaë përkufizuar jë tip i ri i operatorëve liearë pozitivë që jaë kombiim i operatorëve Szasz-it me operatorët e Jai-it dhe poliomeve të Charlier-it. Pastaj jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve me aë të modulit të vazhdueshmërisë me peshë dhe klasës së fuksioeve Lipschitz. Për me tepër, jepet shpejtësia e përafrimeve për fuksioet që kaë derivati me variacio të kufizuar, si dhe ë fud merre disa shembuj të ilustrimit grafik të kovergjecës së këtyre operatorëve kah fuksioi f. Në kapitulli e katërt jaë përkufizuar operatorët e tipit Szasz-Katorovich-Chlodowski, duke u bazuar ë poliomet e Charlier-it, si kombiim i operatorëve të tipit Szasz-Charlier dhe Katorovich-Chlodowsky. Pastaj jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve lokale, shpejtësia e kovergjecës së këtyre operatorëve përmes moduleve të pjesshme, si dhe Peetre K- fuksioalit dhe po ashtu jaë marrë disa shembuj të ilustrimit grafik të kovergjecës së këtyre operatorëve kah fuksioi. Veçaërisht, është dhëë lidhja e këtyre operatorëve me GBS-operatorët. Dhe ë fud jaë marrë disa rezultate të përafrimeve statistikore ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme sipas Bogel-it. Në kapitulli e pestë jaë përgjithësuar disa tipe të operatorë liearë pozitivë ë hapësira të dryshme. Në fillim jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve statistikore me peshë për operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-schurer-stacu-katorovich, pastaj jaë përkufizuar operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei- Stacu -Katorovich për rasti dydimesioal me domeë të pakufizuar dhe kemi studiuar shpejtësië e kovergjecës ë terma të klasës së fuksioeve Lipschitz dhe modulit komplet të vazhdueshmërisë. Veçaërisht, kemi shqyrtuar vetitë e përafrimeve me peshë për këta operatorë. Pastaj kemi bërë jë gjeeralizim tjetër të këtyre operatorëve, të cilët mud të përdore për të përafruar fuksioet e vazhdueshme ë hapësirat më të përgjithshme me peshë. Në fud jaë shqyrtuar GBS operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei -Stacu-Katorovich dhe jaë marrë disa rezultate me dihmë e modulit të përzier të lëmueshmërisë. i

12 LISTA E PËRMBAJTJES QËLLIMI I STUDIMIT DHE METODOLOGJIA Qëllimi ë këtë disertacio është, studimi i vetive të përafrimeve, përafrimeve statistikore, dhe përafrimeve me peshë me disa tipe të rijë të operatorëve liearë pozitivë. Në veçati aalizimi dhe hulumtimi i rezultateve ë këtë teori pas vitit 195 dhe krijimi i parakushteve për zbatime jo vetëm ë teori matematikore por edhe ë probleme kokrete si: itelegjecë artificiale, metoda për disaj idustrial, procesim të imazheve, ihiieri të dërtimit etj. Një tjetër qëllim që përshko fud e krye këtë disertacio është: trajtimi i përafrimit më të mirë të fuksioeve posaqërisht me rasti e trajtimit të shpejtësisë së kovergjecës së operatorëve kah fuksioi me jë dhe dy variabla, si dhe gjetja e shembujve që japi jë pasqyrë më të qartë të shpejtësisë së përafrimeve. Rezultatet që do të merre gjatë shqyrtimit të përafrimit më të mirë, pastaj do të përgjithësohe për rasti e fuksioeve me shumë variabla, por mbetet për tu studiuar ë të ardhme. Objektivi kryesor ë këtë disertacio është gjetja e disa tipeve të reja të operatorëve të kombiuar si dhe modifikimi i atyre ekzistues. Metodologjia që kemi përdorur ë këtë studim ë lidhje me teorië e përfrimeve me operatorë, mbështetet së pari ë rezultatet bazë të cilat jaë marrë ë kosultim me literaturë e huaj si atë klasike ashtu edhe atë të viteve të fudit ë lidhje me teorië toë duke studiuar, aalizuar dhe vlerësuar rezultatet shume të rëdësishme të hasura ë puime ga studiues të dryshëm të botuara ë revista më prestigjioze. Në veçati, jaë bërë aalizime krahasuese dhe hulumtime të sitetizuara duke u bazuar ë arritjet e fudit për të përgjithësuar të gjitha rezultatet, si dhe duke bërë jë lidhje me rezultatet toa. Gjithashtu ëpërmjet aalogjisë dhe përgjithësimit kemi arritur ti formulojmë disa përkufizime të reja ë lidhje me përgjithësimi e këtyre operatorëve ë hapësira të dryshme. Korrospodecat e dryshme me akter të dryshëm si vedor ashtu edhe ata dërkombëtar ka sjellë kokretizimi me disa puime shkecore ë lidhje me teorië e përafrimeve [,, 3]. Vërtetimi rigoroz dhe shembujt e gjetur pas rezultateve të marra sigurojë saktësië e puimit dhe a bëjë të besojmë se kemi realizuar qëllimi toë dhe kemi hedhur bazat për puime të reja ë këtë fushë.

13 Kapitulli Moduli i lëmueshmërisë Për të matur shpejtësië e kovergjecës së operatorëve liearë pozitivë daj operatorit idetik a evojitet moduli i redit të parë dhe moduli i redit ë dytë të lëmueshmërisë. Pradaj ë këtë paragraf rikujtojmë përkufizimet e moduleve të lëmueshmërisë, të cilat do të a shërbejë gjatë gjithë kësaj teze. Në këtë puim jaë dhëë disa vlerësime me aë e modulit të lëmueshmërisë së redeve të larta, pradaj do të japim përkufizimi e modulit të lëmueshmërisë së redeve të larta. Përkufizim [78] Për N, t R dhe f C[a,b] moduli i lëmueshmërisë së redit përkufizohet me relacioi: ω f ;t = sup{ h f :, h [a,b], h t}, ku h f = i= 1 i f ih = j= 1 j f jh. Për = 1 fitohet moduli i lëmueshmërisë së redit të parë të cili e përkufizoi D. Jackso ë tezë e vet të doktoratës [3]. Rrjedhim [78] Për moduli e lëmueshmërisë së redit të parë vlejë vetitë vijuese: 1 ω f ; = ; ω f ; ; është fuksio pozitiv, i vazhdueshëm dhe jozvogëlues ë R ; 3 ω f ; ; është subaditiv, d.m.th. ω f ;t 1 t ω f ;t 1 ω f ;t,t i,i = 1,; 4 δ,ω k1 f ;δ ω k f ;δ. 5 Në qoftë se f C 1 [a,b] atëherë ω k1 f ;δ δω k f ;δ,δ >. 6 δ > dhe për N, ω k f ;δ k ω k f ;δ. 7 δ > dhe r >, ω k f ;rδ 1 [r] k ω k f ;δ. 8 δ, ω f ; është semiorm ë C[a,b]. 9 Në qoftë se f C r [a,b], atëherë ω r f ;δ δ r sup f r δ. δ [a,b] 1

14 1.. MODULI I VAZHDUESHMËRISË DHE K-FUNKSIONALI 1. Moduli i vazhdueshmërisë dhe K-fuksioali Duke trajtuar përafrimi më të mirë të fuksioeve pasaçërisht ë rasti e trajtimit të shpejtësisë së kovergjecës së operatorëve, është kostatuar që sa më të mira të jeë fuksioet aq me shpejtë kovergjo procesi i përafrimit të fuksioit. Fuksioi do të jetë aq i mirë varësisht prej redit të diferecimit të tij. Është e evojshme të vërejmë edhe klasifikimi e fuksioeve të vazhdueshme por jo të diferecueshme. Karakteristikë e përshtatshme e këtyre fuksioeve është i ashtuquajturi moduli i vazhdueshmërisë si dhe K-fuksioali. Në viti 1968 J. Peetre ë [5] përkufizoi jë fuksioal, i cili sot jihet me emri Peetre K-fuksioali, i cili gjeti zbatim mjaft të madh për të matur lëmueshmërië e jë fuksioi ë kuptimi që sa më mirë të përafrohet me fuksioe të lëmueshme. Në vazhdim po japim përkufizimi e modulit të vazhdueshmërisë, moduleve të pjesshme të vazhdueshmërisë si dhe K fuksioalit ë dojë bashkësi kompakte I ab = [,a] [,b]. Përkufizim [18] Le të jetë f CI ab dhe δ >. Atëherë moduli i vazhdueshmërisë së fuksioit f,y përkufizohet me ω f ;δ 1,δ = sup{ f u,v f,y : u,v,,y I ab, u δ 1, v y δ }, kurse modulet pjesshme ë varësi të dhe y respektivisht jepe me ω 1 f ;δ = sup ω f ;δ = sup Moduli i vazhdueshmërisë ka këto veti: sup y b 1 δ sup a y 1 y δ { f 1,y f,y }, { f,y 1 f,y }. i Nëse f CI ab, atëherë ω f ;δ 1,δ për δ 1 dhe δ. ii f u,v f,y ω f ; u δ 1, v y δ ω f ;δ 1,δ u δ 1 1 v y δ 1. Përkufizim 1... [4] Le të jetë C I ab hapësira e të gjithë fuksioeve f të tillë që i f, i f i CI i ab,i = 1,. Norma ë hapësirë C I ab përkufizohet me f C I ab = f CI ab i f CIab i i f y CIab i. i=1 Për aplikimi e K-fuksioalit ë këtë tezë do të marrim përkufizimi vijues Përkufizim [98] Për f CI ab dhe δ >, Peetre s K-fuksioalit përkufizohet me { } K f ;δ = if f g CIab δ g CIab, g c I ab ku CIab është sup-orma. Në [71], faqe 19 tregohet se ekzisto kostata pozitive L e cila uk varet ga δ dhe f e tillë që K f ;δ L { ω f ;δ mi1,δ f CIab }.

15 1.3. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMËRISË 1.3 Moduli i uifikuar i vazhdueshmërisë Për të përshkruar rezultatet toa të ardhshme, rikujtojmë përkufizimet e modulit të të uifikuar të redit të parë si dhe dhe K-fuksioalit. Le të jetë φ = 1 dhe f C B [,, hapësira e të gjithë fuksioeve të kufizuara dhe të vazhdueshme ë [,. Moduli ω φ τ f,t, τ 1, jepet me ω φ τ f,t = sup sup f hφ τ f hφ τ, h t ± hφτ [, dërsa K-fuksioali për të jepet me: K φ τ f,t = if g W τ { f g t φ τ g }, ku, W τ = {g : g AC loc [,, φ τ g < }, AC loc [, përkufizojmë hapësirë e të gjithë fuksioeve absolutisht të vazhdueshme ë [,. Nga [98], mud të gjedet kostata M > e tillë që M 1 ω φ τ f,t K φ τ f,t Mω φ τ f,t. 1.4 Hapësirat me peshë dhe modulet përkatëse të vazhdueshmërisë Më 1974, A. D. Gadijev [17] përkufizoi hapësirë me peshë weighted space. Le të jetë D ψ [, hapësira e të gjithë fuksioeve f të përkufizuar ë [, që plotëso kushti f M f ψ, ku M f është kostate pozitive e cila varet ga fuksioi f dhe le të jetë ψ = 1 fuksio peshë. Me C ψ [, përkufizojmë ëhapësirë e të gjitha f 1 dhe fuksioeve të vazhdueshme f D ψ [, të pajisur me ormë f ψ = sup [, { } Cψ[, f = f C ψ [, : lim <. 1 Në [15] Gadjiev dhe Aral përkufizua moduli e vazhueshmërisë me peshë për fuksioi f Cψ[,, si ë vijim: Ω ψ f ;δ = sup ψ ψt <δ,,t [, f f t [ ψ ψt 1]ψ Ispir ë [64] dha jë përkufizim tjetër të modulit të vazhdueshmërisë me peshë për fuksioi f C ψ[,, që jepet me barazimi Fuksioi Ω f ;δ plotëso vetitë vijuese: f h f Ω f ;δ = sup h <δ, [, 1 h Lemë [64]. Për fuksioi Ω f, δ, kemi 3

16 1.5. OPERATORËT LINEARË POZITIVË 1. Ω f, δ është mootoo rritës,. lim δ Ω f,δ = ; 3. për çdo λ [, dhe δ >,Ω f,λδ 1 λ1 δ Ω f,δ. Në vazhdim të shohim moduli e vazhdueshmërisë me peshë për rasti e fuksioit me dy variabla. Le të jetë R = {,y :,y } dhe B ρ R hapësira e të gjitha fuksioeve me vetië që f,y M f ρ,y, ku,y R dhe M f është kostate që varet ga fuksioi f. Me C ρ R përkufizojmë ëhapësirë e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme ë B ρ R. Qartazi C ρ R është hapësirë lieare e ormuar e pajisur me ormë f ρ = f,y sup ρ,y. Për më tepër, le të jetë C ρr ëhapësira e të gjithë fuksioeve f,y R C ρ R, e tillë që lim,y f,y 1 y = k f <. Moduli i vazhdueshmërisë me peshë për fuksioi me dy variabla f shih [64] jepet me barazimi: Ω f ;δ,δ m = sup,y R 1.5 Operatorët liearë pozitivë f h 1,y h f,y sup, f C h 1 δ 1, h δ ρ, yρh1, h ρr Në këtë paragraf e do të japim disa përkufizime themelore dhe disa veti elemetare ë lidhje me operatorët pozitivë liearë. Përkufizim [78] Le të jeë X dhe Y hapësira lieare të fuksioeve reale. Pasqyrimi L : X Y quhet operator liear ëse plotëso kushti: f,g X dhe α,β R. Lα f βg = αl f βlg, Operatori L f ; quhet pozitiv ë bashkësië X, ëse ga f rrjedh se L f ;, X. Pohim [78] Le të jetë L : X Y operator liear pozitiv. i Operatori L është mooto, ëse për çdo f,g X ga f g, rrjedh se L f Lg. ii f X vle L f L f. Përkufizim [78] Le të jetë L : X Y, ku X jaë dy hapësira lieare të ormuara të fuksioeve reale. Për operatori L përkufizojmë umri joegativ L me L = sup L f = sup L f. f X, f =1 f X, f =1 Është e qartë se, i plotëso kushtet e jë orme, për këtë arsye quhet edhe ormë e operatorit. 4

17 1.6. OPERATORËT E BERNSTEIN-IT Përkufizim [78] Le të jetë L : X Y operator liear. Thuhet se operatori L f ; është i kufizuar ëse ekzisto umri real m i tillë që L f ; Y M f X. Nëse X = Y = C[a,b], atëherë për vazhdueshmëri dhe ormë e operatorit vleë: Rrjedhim Në qoftë se L : C[a,b] C[a,b] është operator liear pozitiv atëherë L është i vazhdueshëm dhe L f ; = L1;. Në vazhdim do të shohim teoremë mbi kushti e evojshëm dhe të mjaftueshëm që vargu i operatorëve kovergjo kah operatori idetik. Kjo teoremë është vërtetuar ë mëyrë të pavarur ga tre Matematikaë: T. Popovic-i ë viti 1951, H. Bohma-i ë viti 195 dhe P.P. Korovki ë viti Ky rezultat klasik i teorisë së përafrimeve është i johur kryesisht me emri teorema Bohma-Korovki, sepse kotriubuti i T. Popovic-it mbeti i pajohur për jë kohë të gjatë. Teoremë Bohma-Korovki [78] Supozojmë se L f ; është varg i operatorëve liearë pozitivë dhe le të jetë e i = t i. Nëse lim L e i = e i,i =,1,, kovergjo uiformisht ë [a,b], atëherë lim L f = f, kovergjo uiformisht ë [a,b], për çdo f C[a,b]. Duke pasur parasysh këtë rezultat, shumë Matematikaë këtë teoremë e përgjithësua ë hapësira të dryshme. Në këtë drejtim teorema Korovki u da si degë e veçatë e teorisë së përafrimit. 1.6 Operatorët e Berstei-it Në viti 1885, Karl Weierstrass vërtetoi teoremë e mirëjohur mbi përafrimi e fuksioeve me poliome algjebrike ose trigoometrike dhe ishte çelësi i zhvillimit të teorisë së përafrimit. Meqë vërtetimi ishte shumë i komplikuar, shumë matematikaë të famshëm fillua të merrë për të gjetur vërtetime më të thjeshta. Në viti 191 S.N. Berstei [8] prezetoi operatorët e ri të përkufizuar me relacioi: ku p,k = k B f ; = p,k f k= k k 1 k. Operatorët e Berstei-it plotësojë vetitë vijuese: 1 B e ; = 1,B e 1 ; =,B e ; = 1 ; lim B f ; = f, kovergjo uiformisht ë [,1], f C[,1]; 3 B = 1; 4 B f ; f Cω 1, [,1]. 5

18 1.7. OPERATORËT E KANTOROVICH-IT 1.7 Operatorët e Katorovich-it Në rasti e përgjithshëm poliomet e Berstei-it uk jaë të përshtatshme për përafrimi e fuksioeve jo të vazhdueshme. Duke zëvedësuar ë ved të f k ë përkufizimi e poliomeve të Berstei-it me mesatare itegrale g = 1 1 k1 k f tdt ë dojë rrethië 1 të vogël të k, mud të marrim rezultatet më të mira. Në viti 193 L.V. Katorovich përkufizoi dhe studioi operatorët K : L 1 [,1] C[,1], të përkufizuar me barazimi K f ; = 1 k= k1 1 p,k k 1 f tdt. Këta operatorë jaë liearë dhe pozitivë dhe për f L 1 [,1], kemi reprezetimi: K f ; = d d B 1F;, ku F = f tdt dhe B 1 është operatori i Berstei-it i redit 1. Operatorët e Katorovich-it i plotësojë kushtet vijuese: K e ; = 1; K e 1 ; = 1 1 ; K e ; = Operatorët e Szász-it Në viti 195 Otto Szász ë [68] përkufizoi jë tip të ri të operatorëve liearë pozitivë që më voë morrë emri e tij. Operatorët liearë pozitivë: k S f ; = s,k f k= ku s,k = e k k!, [, dhe N thuhet se jaë operatorët e Szász-it. Shihet se bërthama e operatorëve të Szasz është desiteti i shpërdarjes së Poisso-it. Këta operatorë jaë përgjithësim i operatorëve të Berstei-it ë iterval të pafudmë. 1.9 Disa Kuptime ga q-kalkulusi Në teorië e përafrimeve paraqite edhe kuptime të reja siç është q-kalkulusi. q-kalkulusi dato që ga koha e Leohard Euler-it dhe Carl Gustav Jakobi , kohët e fudit po gjeë zbatim shumë të madh ë Mekaikë kuatike. Përveq kësaj ka gjetur aplikime të shumta edhe ë fusha të tjera matematike si për shembull ë: teori të umrave, kombiatorikë, poliome ortogoale, fuksioe hipergjeometrike etj. Në fillim, le të japim disa kuptime të q-kalkulusit të cilat do të a evojite e kapitulli e pestë. Detaje ë lidhje me q-kalkulusi mud të gjede ë [15]. Për çdo umër real të fiksuar q > dhe për çdo umër të plotë joegativ, q-umri i plotë [] q dhe q-faktorieli [] q! defiohe me { 1 q [] q = 1 q, if q 1 if q = 1, 6

19 1.1. KONVERGJENCA STATISTIKORE DHE A-STATISTIKORE dhe [] q! = { [] q [ 1] q...[] q [1] q, if N 1 if =, respektivisht. Atëherë, për çdo dy umra të plotë dhe k që plotësojë kushtet k, dhe q >, koeficieti q-biomial përkufizohet me [ ] [] q! = k [k] q![ k] q!. q- itegrali i tipit Jackso ë itervali [,a] përkufizohet me a f sd q1 s = 1 q 1 a q f aq j 1 1 q j 1 1, < q 1 < 1, j 1 = dhe provohet që shuma kovergjo absolutisht. Supozojmë se q 1 >,q >, atëherë q- itegrali i tipit Jackso për fuksioi me dy variabla ë [,a] [,b] jepet me a b f t 1,t d q1 t 1 d q t = 1 q 1 1 q ab ku q i,1 for i = 1,. j 1 = f aq j 1 1,bq j q j 1 1 q j, j = 1.1 Kovergjeca Statistikore dhe A-statistikore Kovergjeca statistikore është jë teori e re dhe shumë e rëdësishme ë aalizë reale, fuksioale dhe ë teorië e Operatorëve. Ideja e kovergjecës statistikore u shfaq ë edicioi e parë të moografisë së Zigmud-it, e cila erdhi jo ga statistika por ga problemet e shumave të serive. Kuptimi i kovergjecës statistikore së pari është paraqitur ë vitet e 5 ta ga Stehausi, si dhe Fast [48] ë puimi e tij ë viti Mirëpo aplikimi i saj ë Teorië e operatorëve filloi ë viti ku A.D.Gadijev dhe C. Orha [14] provua teoremë Korovki-it për kovergjecë statistikore. Rikujtojmë se: Nëse A është ëbashkësi e N dhe ℵ A është fuksio karakteristik, atëherë desiteti i bashkësisë A përkufizohet me barazimi 1 δa = lim ℵ A j, j=1 dhe mud të provohet se ky limit ekzisto. Thuhet se vargu i umrave real = 1 kovergjo ë mëyrë statistikore ë L ëse për çdo ε > vle δ{ N : L ε} =. Në këtë rast shkruajmë st lim = L. Ngjashëm me teoremë klasike Korovki, të dhëë ë [14] autoret morë kushtet e mjaftueshme që garatojë që vargu i operatorëve liearë pozitivë A 1 plotëso kushtet st lim A f f =, për çdo fuksio f që është i 7

20 1.1. KONVERGJENCA STATISTIKORE DHE A-STATISTIKORE vazhdueshëm ë [a,b] dhe i kufizuar ë drejtëzë reale. Le të jetë A = [a j ], j, N matricë e pafudme e shumueshme. Për vargu, A- trasformati i, shëohet me A j, dhe jepet me A j = a j. =1 Provohet se seria kovergjo për çdo j N. Thuhet se matrica A është regulare ë qoftë se lim j A j = L saherë që lim = L. Vargu thuhet se kovergjo ë mëyrë A- statistikore kah L ëse, për çdo ε >, lim a j =. Ky limit shëohet me st A j : L ε lim = L. Nëse zëvedësohet matrica A me matricë Cesaro C 1, të redit jë ë relacioi 6, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë statistikore. Ng- jashëm, ëse marrim A = I matrica jësi, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë të zakoshme. Në [33] Kolk tregoi se ëse limma =, kovergjeca A- j statistikore është më e fortë se sa kovergjeca e zakoshme. 8

21 Kapitulli.1 Vetitë e përafrimeve të operatorëve të tipit Szász-Breke dhe Szász-Gould-Hopper Në këtë kapitull jaë shqyrtuar operatorët e tipit Szász-it, si kombiim me operatorët e Jaiit, si dhe me poliomet e Breke-s, po ashtu është bërë jë gjeeralizim tjetër i operatorëve të tipit Szász-it, ku bërthama e operatorit është përkufizuar përmes poliomeve të Gould- Hopper-it. Jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve me aë e modulit të lëmueshmërisë, Peetre K-fuksioalit dhe klasës së fuksioeve Lipschitz. Po ashtu jaë marrë dy teorema të tipit Voroovkaya dhe Gruus-Voroovskaya si dhe shpejtësia e kovergjecës së këtyre operatorëve për fuksioet që kaë derivati me variacio të kufizuar. Jaë marrë disa teorema ë lidhje me vetitë e përafrimeve statistikore si dhe vetitë e përafrimeve me peshë. Dhe ë fud me aë të disa shembujve është bërë ilustrimi grafik i kovergjecës së këtyre operatorëve.. Përkufizimi i operatorëve të tipit Szász-Breke Në viti 197 Jai përkufizoi jë tip të ri të operatorëve të gjashëm me operatorët e tipit Szász, që më voë fillua të jihe me emri operatorët e Jai-it. Operatorët e Jai-it jepe me aë e shumës: J [β] f ; = c β k,k f k=, [,,..1 ku, β [, 1 dhe bërthama e operatorit jepet përmes shpërdarjes së modifikuar të Poissoit me c β,k = kβk 1 e kβ. k! Rast i veçatë ëse β =, operatorët e propozuar ga Jai J [β] f ;, shdërrohe ë operatorë të tipit Szász-Myrakya, të cilët jaë dhëë ë [68]. Duke u motivuar ga kjo puë, shumë autorë shqyrtua dhe vërtetua veti të dryshme të operatorëve të përkufizuar ë..1 shih puimet [5, 6, 7, 59, 6, 81, 96]. Kohëve të fudit, Gupta dhe Greubel [97] përkufizua dhe modifikua operatorët e tipit të Durrmeyer-it të përkufizuar ë..1 dhe provua shumë rezultate të drejtpërdrejta. Më pas, Jakimovski dhe Leviata [4], propozua 9

22 .. PËRKUFIZIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZÁSZ-BRENKE jë gjeeralizim të operatorëve të Szász me aë të poliomeve të Appell-it p k. Le të jetë gz = k= a kz k a fuksio aalitik ë disku z < R,R > 1 dhe g1. Poliomet e Appellit p k përkufizohe me aë e fuksioit gjeerues gte t = p k t k... k= Së fudmi, Varma dhe të tjerë ë [83] përkufizua dhe gjeeralizua operatorët e Szász-it, me aë e poliomeve të tipit Breke. Supozojmë se At = a k z k,a,bt = b k z k,b...3 k= k= jaë fuksioe aalitike ë z < R,R > 1 ku a k dhe b k jaë reale. Fuksioi gjeerues për poliomet e Breke-s ka formë: AtBt = dërsa formula eksplicite e p k jepet me shprehje: p k = k l= Gjatë gjithë këtij paragrafi do të supozojmë se: p k t k..4 k= a k l b l l,k =,1,, B r y lim = 1, për r {1,,...,k}...6 y By Le të jetë C E [, bashkësia e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme me vetië që f t Ae Bt t, për disa kostate të fudme A,B >. Përkufizojmë jë varg të ri të operatorëve liearë pozitivë që jaë kombiim i operatorëve të përkufizuar ga Jai [44] dhe poliomeve të tipit të Brekes, si ë vijim: S [β] f ; = 1 A1B = 1 A1B c β,k t f tdt p k k= c β,k tdt k= p k < cβ,k t, f t > Operatori e përkufizuar ë..7 mud ta rishkruajmë ë formë ku, M [β] ;t = k= S [β] f ; = p k c β,k t A1B c β,k tdt. M [β] ;t f tdt, < c β...7,k t,1 > Qëllimi i këtij kapitulli është që të formulojë disa teorema të drejtpërdrejta për operatorët e dhëë ë relacioi..7, duke përdorur kufizimet e mëposhtme: 1

23 .. PËRKUFIZIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZÁSZ-BRENKE i A1, a k lb l A1 1,k =,1,,..., ii B : [,,, iii 1.3 dhe 1.4 kovergjojë për t < R,R > 1. Për të vërtetuar rezultatet kryesore a evojite lemat vijuese: Lemë..1. Për operatorët S [β] t s ;, s =,1,,3,4, vlejë relacioet i S [β] 1; = 1; ii S [β] t; = 1 β B B 1 β A 1 A1 ; 1 βa1 iii S [β] t ; = 1 β B B A 1 A 1 iv S [β] 1 β A1 t 3 ; = 1 β3 B B 1 β3 B A1B 1 β3 A 1 3A 1 A 1 3 A1 v S [β] t 4 ; = 1 β4 B 4 4 B 1 β4 B A1B 57 4βA1 1 β 4 1 β 3A 1 1 β A1 1 β β3 B B B A 1 A1 B A1 ; A 1 A1 A1 3A 1 6A 1 A1 6A 1 A1 1 β 6A 1 A 1 A11 β 1 β4 B 3 A1B 3 1 β 1 β 11 8βA1 1 β β 1 β 4 A 1 A1 3! 1 β 4 A 1 3A1 6A 1 18A 1 7A1 3A 1 A1 1 β 1 β4 B 3 A1B 5A1 1 β 4A 1 18A 1 14A 1 A1 13A 1 6A 1 A1 1 β 57 4βA 1 A1 15 3βA1 1 β 4 1 β 5 1 β4 4 A 4 1 6A 1 7A 1 A 1 1A 1 3A 1 A 1 A1 1 β 57 4βA 1 A 1 1 β βA 1 4!A1 1 β ;

24 .. PËRKUFIZIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZÁSZ-BRENKE Në vijim, supozojmë që: β = β, kur, lim β = l R dhe lim y B y By y By =, lim B y B yby y By =, lim y B 4 y 4B y6b y 4B yby y By =, lim y B4 y 3B y3b y B y y By =, lim y B y 3B y3b y By y By =, lim y B y B yb y y By =, ad lim y 5B y 1B y9b y By y By = Si rrjedhim marrim lemë e mëposhtme: Lemë... Në qoftë se η,s [β] = S [β] t s ;, është mometi qëdror i redit të -të atëherë: i lim η [β],1 = l A 1 A1 ; A1 ii lim η [β], = 3; iii lim η [β],4 = 44l3 56. Nga Lema.., për çdo [, dhe për mjaft të madh, kemi η [β] A1,1 C 1 l A 1A1 ku C 1 ad C jaë kostate që vare ga l. Rrjedhimisht,, η [β], C S β t ; {η [β], } 1 C...8 Duke shfrytëzuar Lemë..1, ekuacioi..6 dhe formulë rekurete të prezetuar ë [66], me iduksio matematik provohet lehtë se vle: η [β],s = O s, kur...9 Që të shqyrtohet shpejtësia e përafrimit të fuksioeve, derivati i parë i të cilave është me variacio të kufizuar, a evojitet Lema e mëposhtme: Lemë..3. Le të jetë β = β, kur dhe lim β = l R. Nëse > atëherë për mjaft të madh, kemi i ρ [β],y = y M[β],udu C, y <, y ii 1 ρ [β],z = M [β],udu C z <. z Proof. Duke marrë mjaft të madh, ga Lema.. rrjedh: η [β],s C. 1

25 .3. VETITË E PËRAFRIMEVE Duke shfrytëzuar Lemë..1, marrim ρ [β], y = y M [β],udu t η[β], t C y. u M [β], udu y Mosbarazimi ii vërtetohet ë mëyrë të gjashme..3 Vetitë e përafrimeve Paraqesim disa veti të përafrimeve ë formë të teoremave. Teoremë.3.1. [4] Le të jetë f C E [,, dhe supozojmë se kushti..6 plotësohet për r = 1,. Atëherë lim f ; = f, S[β] kovergjo uiformisht ë çdo ëbashkësi kompakte të [,. se Vërtetim. Nga Lemma..1, dhe duke marrë ë kosiderim relacioi..6, rrjedh lim S[β] e i ; = i, i =,1, kovergjo uiformisht ë çdo ëbashkësi kompakte të [,. Në këtë mëyrë, sipas Lemës..1, duke aplikuar Teoremë e Bohma-Korovki, drejtpërdrejt rrjedh vërtetimi i teoremës. Le të jetë C B [, klasa e të gjitha fuksioeve f me vlera reale, të kufizuara ë [, dhe uiformisht të vazhdueshme, të pajisur me ormë f = dhe δ >, Peetre K- fuksioali përkufizohet me relacioi sup [, K f ;δ = if g W { f g δ g }, f. Për f C B [, ku CB = {g C B [, : g,g C B [, }, dhe orma ë CB jepet me barazimi f C B = f CB f CB f CB, kurse moduli i redit të dytë të lëmueshmërisë së fuksioit përkufizohet me shprehje ω f ; δ = sup sup < h <δ [, f h f h f. Sipas [8], Teorema.4 mud të gjedet kostata C > e tillë që K f ;δ Cω f ; δ

26 .3. VETITË E PËRAFRIMEVE Teoremë.3.. Në qoftë se f C E [,, atëherë për çdo [,a], plotësohet mosbarazimi: S [β] f ; f ω f ; δ a, ku δ a = η [β],s a. Vërtetim. Nga vetia e liearitetit të operatorit S [β], dhe duke shfrytëzuar vetië e modulit të vazhdueshmërisë si dhe mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, fitojmë rezultati vijues S [β] f ; f { 1 1 δ 1 A1B { η [β] δ, ; k= p k < cβ,k t,t > < c β,k t,1 > 1 } ω f ;δ } ω f ;δ..3. Sipas Lemës..1 për a, kemi η [β], η[β], a. Pastaj, duke shfrytëzuar Lemë..1 dhe duke marrë δ = δ a ë.3., mejëherë rrjedh vërtetimi i teoremës. Teoremë.3.3. Në qoftë se f CB 1 [,, atëherë për çdo [,, kemi S [β] f ; f f 1 βb B B ω f ;δ η [β],. 1 β A 1 A1 1 βa1 Vërtetim. Le të jetë f CB 1 [,. Atëherë për çdo t, [,, kemi t f t f = f t f u f du. Aplikojmë operatori S [β],a ë relacioi e mësipërm, dhe marrim S [β] f t f ; = f S [β] t ; S [β] t f u f du;. Duke shfrytëzuar vetitë e modulit të vazhdueshmërisë dhe pastaj duke aplikuar mosbarazimi Cauchy-Schwarz-it, fitojmë: S [β] Pastaj duke zgjedhur δ = f ; f f [β] η,1 1 ω f ;δ δ η [β], η [β], 1 η [β],., mejëherë rrjedh vërtetimi i teoremës. 14

27 .3. VETITË E PËRAFRIMEVE Teoremë.3.4. Le të jetë < r 1, dhe f C B [,. Në qoftë se f Lip M α, atëherë plotësohet kushti t r f t f M f t r ;t,, >. Kështu që, për çdo, kemi: [β] φ S,a β r f ; f M f, ku φ [β] = η [β],, dhe M f > është kostate që varet ga fuksioi f. Vërtetim. Le të jetë p,q > 1 : p = r dhe q = gjejmë: S [β],a f ; f { 1 A1B k= { 1 M f A1B M f r { 1 A1B [β] φ r M f. Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. r, atëherë ga mosbarazimi i Hölder-it p k < cβ,k t, f t f r > < c β,k t,1 > k= k= p k < cβ t,k t, } r t > < c β,k t,1 > p k < cβ,k t,t > < c β,k t,1 > } r } r Teoremë.3.5. Le të jetë f C B [,, atëherë për çdo, marrim vlerësimi: S [β] f ; f 5ω f ;η [β], 1/ 13 ω f ;η [β],. Vërtetim. Le të jetë f h fuksio i Steklov-it i redit të dytë për fuksioi f C B [,, pra f h = 4 h h h f u v f u v dudv,h >. Në [91] provohet se vlejë: f h 5 ω f ;h; f h h 9 h ω f ;h dhe f h f ω f ;h..3.3 Duke pasur parasysh fakti që S [β] 1; = 1, mud të shkruajmë S [β] f ; f S [β] f f h ; f h f S [β] f h f h ;

28 .3. VETITË E PËRAFRIMEVE Në aë tjetër vleë: S [β] f ; 1 A1B k= p k < cβ,k t, f t > < c β,k t,1 > f. Duke shfrytëzuar relacioi.3.3, kemi S [β] f f h ; f f h ω f ;h..3.5 Nga Teorema e Taylor-it dhe mosbarazimi Cauchy-Schwarz, kemi S [β] f h ; f h f h η [β], 1 f h η[β],. Nga Lema..1 dhe mosbarazimi.3.3, fitojmë S [β] f h ; f h 5 h ω f ;h η [β], 9 h ω f ;hη [β],..3.6 Tai duke marrë h = η [β], dhe duke zëvedësuar ë.3.6 dhe pastaj duke zëvedësuar relacioet.3.5 dhe.3.6 ë.3.4 mejëherë rrjedh vërtetimi i teoremës. Teoremë.3.6. Le të jetë f CB [,, dhe supozojmë se kodita..6 plotësohet për r {1,,3,4}. Atëherë lim S[β] f ; f = l A 1 A1 f 3 A1 f..3.7 kovergjo uiformisht për çdo [a,b], ku a < b <. Vërtetim. Aplikojmë operatori liear dhe pozitiv S [β] S [β] ë formulë e Taylor-it, kemi: f ; f = S [β] t ; f 1 S[β] t ; f Në bazë të Lemës.. dhe relacioi..7, kemi lim S[β] S [β] ξ t,t ;..3.8 f ; f = l A 1 A1 f 3 A1 f lim S [β] ξ t,t ;..3.9 Duke zbatuar mosbarazimi Cauchy-Schwarz-it, ë aë e djathtë të relacioit.3.9, kemi S [β] ξ t,t ; S [β] ξ t,; S [β] t 4 ;

29 .3. VETITË E PËRAFRIMEVE Provohet lehtë se ξ, =, dhe ξ, C E [,. Nga Teorema.3.1 rrjedh se lims [β] ξ t,; =.3.11 kovergjo uiformisht për çdo [a, b]. Tai ga relacioet.3.1 dhe.1.7 si dhe Lema.., rrjedh se lim S[β] ξ t,t ; =,.3.1 kovergjo uiformisht për çdo [a, b]. Duke zëvedësuar relacioi.3.1 ë.3.9 kemi lim S[β] f ; f = l A 1 A1 f 3 A1 f,.3.13 që kovergjo uiformisht për çdo [a,b]. Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Teoremë.3.7. Për çdo f CB [,, dhe për [, vle relacioi vijues: S [β] f ; f λ f C B [,, ku λ = 1 β B 1 βb B B 1 β B A 1 A1 3 B A1 1 β 1 β A 1 A1 1 β A 1 A 1 1 βa1 A1 = η [ϑ],1 η[ϑ], 1 βb B B 1 β A 1 A1 1 βa1 3A 1 1 β A1 1 β 3 Vërtetim. Nga lieariteti i operatorit S [β], duke shfrytëzuar zbërthimi e Taylor-it për fuksioi f CB [,, kemi S [β] f ; f = η [β],1 f 1 η[β], f ξ,ξ t, Duke marrë parasysh fakti që η [β],1 për t, dhe po të zbatojmë Lemë..1 për relacioi.3.14 kemi S [β] f ; f η [β],1 f CB [, η [ϑ], f CB [, η [β],1 η[β], f C B [,. Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës.. 17

30 .4. PËRAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHË Teoremë.3.8. Për çdo fuksio f C B [,, dhe për [, vleë: ku λ jepet ë Teoremë.3.7. Vërtetim. Meqëëse S [β] f ; f Cω f ; δ, f t f = f t gt g f gt g, atëherë ga vetitë e liearitetit të operatorit S [β], marrim f ; f S [β] f g; S [β] g; g f g. S [β] Le të jetë g CB [,. Atëherë ga Teorema.3.7 mud të shkruajmë S [β] f ; f f g CB [, S [β] g; g f g CB [, λ f C B [, Tai duke marrë ifimumi ë aë e djathtë të relacioit.3.15 sipas të gjithë g CB [,, dhe duke shfrytëzuar relacioi.3.1, mejëherë vijmë te vërtetimi i teoremës..4 Përafrimi i fuksioeve me peshë Për shkak të paraqitjes së disa problemeve të përafrimeve të drejtëpërdrejta të fuksioeve përkufizohe të ashtuquajturit fuksioet me peshë. Le të jetë ξ = 1 fuksio { peshë dhe M f jë kostate që varet vetëm ga f. Atëherë, përkufizojmë B ψ [, = f } C[, : f M f ψ. Me C ψ [,, përkufizojmë ëhapësirë e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme ë B ψ [,. Për më tepër, C ψ[, = { f C ψ [, : lim K f < }. Norma ë Cψ[, f jepet me f ψ = sup. 1 f = 1 Teoremë.4.1. Le të jetë f C ψ [,, dhe supozojmë se vle kodita..6 për r = 1, dhe ψ = 1. Atëherë kemi: lim S[β] f f ψ =. Vërtetim. Nga [17], është e mjaftueshme të provohe se: lim S[β] t m ; m ψ =,m =,1,. 18

31 .4. PËRAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHË Meqeëse, S [β] S [β] t; ψ = sup Kështu, lim S [β] 1; = 1, atëherë kushti i mësipërm vleë për m =. Nga Lema..1, kemi 1 < 1 1 β B B 1 1 β A 1 A1 1 βa1 1 β B B 1 1 β A 1 A1. 1 βa1 t; ψ =, kur. Në mëyrë të gjashme, kemi S [β] t ; ψ = sup < β B B 1 1 β B A 1 A1 B A1 1 β A 1 A 1 A1 1 β B B 1 1 β B A 1 A1 B A1 1 β A 1 A 1 A1 3 1 β 3A 1 1 β A1 1 β β 3A 1 1 β A1 1 β 3 gjë që impliko se lim S [β] t ; ψ =. Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Nga [65] për f C ψ[,, moduli i vazhdueshmërisë me peshë të fuksioit f përkufizohet me shprehje: f h f Ω f ;δ = sup h <δ, [, 1 h Fuksioi Ω f ;δ plotëso kushtet e mëposhtme: dhe lim Ω f,δ = ; δ për çdo λ [, dhe δ >. Ω f,λδ 1 λ1 δ Ω f,δ,.4. Teoremë.4.. [5] Le të jetë f C ψ[,, β = β, kur dhe lim β = l R, atëherë ekzisto kostata C = Cl >, e tillë që sup [, S [β] f ; f CΩ f ;

32 .4. PËRAFRIMI I FUNKSIONEVE ME PESHË Vërtetim. Për f Cψ[,, δ > dhe t, R, ga.4.1 dhe.4., mud të jerrim se f t f 1 t δ 1 1 δ 1 1 t Ω f ;δ. Meqeëse operatori S [β] mësipërm fitohet: është liear dhe pozitiv, duke aplikuar këtë ë mosbarazimi e [ ] S [β] f ; f S 1 t [β] δ 1 1t ; 1δ Ω f ;δ1 { 1 δ Ω f ;δ1 S [β] 1; S [β] t ; 1 δ S[β] t ; 1 } δ S[β] t t ;..4.4 Sipas Lemës.., kemi, C 1l1,.4.5 η [β] Duke zbatuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, ë mosbarazimi.4.4 kemi { S [β] f ; f 1 δ Ω f ;δ1 1 η [β], 1 η [β] δ, 1 η [β] δ, η [β],4 }..4.6 Nga Lema.. ekzisto kostata C l që varet ga l e tillë që η [β],4 C l Kështu, zëvedësojmë koditë.4.5 dhe.4.7 ë mosbarazimi.4.6 kemi { f ; f 1 δ Ω f ;δ1 1 C 11 S [β] C1 δ 1 1 C1 C 1 δ 1 1 Po të marrim C = 41 C 1 C 1 C 1 C, dhe δ = 1, mejëherë rrjedh relacioi.4.3. }.

33 .5. TEOREMAT E TIPIT VORONOVSKAYA DHE GRUSS-VORONOVSKAYA.5 Teoremat e tipit Voroovskaya dhe Gruss-Voroovskaya Në këtë paragraf vërtetojmë teoremë e tipit Gruus Voroovskaya, që trego jomultiplikativiteti e operatorit S [β] f ;. Në [41] jepet vlerësimi dërmjet itegralit të prodhimit të dy fuksioeve me prodhimi e itegrimit të atyre dy fuksioeve. Shumë studiues kaë dhëë kotribute të çmuara ë këtë drejtim [41, 49, 84, 85, 86]. Në vijim paraqesim teoremë e tipit Voroovskaya: Teoremë.5.1. Le të jetë f Cψ[, i tillë që f, f Cψ[,. Më pastaj, le të jetë β = β varg i tillë që β, kur dhe lim β = l l R atëherë për mjaft të madh dhe [,, është i vërtetë relacioi: 1 βb B [S[β] f ; f ] 1 β A 1 A1 f B 1 βa1 [ 1 β B 1 β B A 1 A1 f! B 3 1 β 1 βb 1 B {1 β A 1 A1} 1 βa1 Vërtetim. Nga teorema e Taylor-it, kemi 3A 1 1 β A1 1 β 3 B A1 1 β A 1 A 1 A1 ] = O1Ω f ; 1/. f t = f f t f ξ t! = f f t f t h t,.5.1! ku ξ është umër i tillë, i cili dodhet dërmjet t dhe dhe h t, = f ξ f! t. Aplikojmë operatori S [β] ë barazimi e mësipërm.5.1 dhe shfrytëzojmë Lemë.., kemi f ; f f S [β] t ; f! S [β] t ; S[β] f! = 1 βb B [S[β] f ; f ] 1 β A 1 A1 f B 1 βa1 [ 1 β B 1 βb 1 β 1 B A 1 A1 B B B A1 3 1 β {1 β A 1 A1} 1 β A 1 A 1 1 βa1 A1 ] 3A 1 1 β A1 1 β 3 S [β] h t, ;. Duke shfrytëzuar relacioi.4.1 dhe vetië.4. të modulit të vazhdueshmërisë me peshë, fitojmë f ξ f 1 Ω f ; ξ 1 ξ 1 1

34 .5. TEOREMAT E TIPIT VORONOVSKAYA DHE GRUSS-VORONOVSKAYA Kështu, f ξ f Tai zgjedhim < δ < 1, dhe kemi Në këtë mëyrë, f ξ f 1 Ω f ; t 1 t 1 1 t δ 1 δ Ω f,δ1 t 1. { 1 δ 1 Ω f ;δ, t < δ, 1 δ 1 t 4 Ω f ;δ, t δ. δ 4 1 δ 1 Ω f t 4 ;δ 1 δ 4 81 Ω f t 4,δ 1 δ 4. h t;, 81 Ω f,δ t t 6 δ 4. Me aplikimi e Lemës.., për mjaft të madh dhe për [, jerrim S [β] h t; 81 Ω f ;δ{s [β] t ; = 81 Ω f,δ{o 1 δ 4 O δ 4 S[β] 3 }. Zgjedhim δ = 1/, dhe fitojmë S [β] 1 h t,; = 81 Ω f ; O 1/. Si rrjedhim, për mjaft të madh dhe për [,, kemi S [β] h t, ; = O1Ω f ;, 1/ me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Rezultati ë vijim jep teoremë e tipit, Grüss Voroovskaya. t 6 ;} Teoremë.5.. Le të jeë f, g C ψ[, të tilla që f, g, f, g, f g C ψ[, dhe β = β, kur dhe lim β = l l R atëherë vle: lim {S[β] f g S [β] f S [β] g} = 3 f g.

35 .6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR Vërtetim. Në fillim shfrytëzojmë ekuacioi f g = f g g f g f g f dhe pastaj me disa llogaritje të thjeshta, kemi f g S [β] f S [β] g} = {S [β] η[β], f g S [β] f ; S [β] g η[β]! g S [β] S [β] f g f g f g η [β],1 f ; f f η [β] η[β],,1, g; g g η [β] η[β],1, f S [β] f g η [β], f g f ; g η [β] f S[β],1 f ;..5. Duke shfrytëzuar Teoremë.3.1, për fuksioi f Cψ[, rrjedh që S [β] f ; f kur. Po ashtu për f Cψ[, dhe për [, ga Teorema.3.1, kemi S [β] f f f η [β] η[β],,1 f, kur. Kështu, duke shfrytëzuar Lemë.., kemi lim {S[β] Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. f g S [β] f S [β] g} = 3 f g..6 Shpejtësia e kovergjecës për fuksioet me variacio të kufizuar Në këtë paragraf paraqesim vlerësimi e shpejtësisë së kovergjecës së operatorëve S [β] f ; për fuksioet që kaë derivatet me variacio të kufizuar. Në vitet e fudit, shumë studiues jaë marrë me këtë problematikë për vargje të dryshme të operatorëve liearë pozitivë [5, 6, 7]. Në vazhdim do të tregojmë se ë pikat ku f dhe f ekzisto, vargu i operatorëve që kovergjo kah fuksioi f. Le të jetë f DBV [, klasa e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme ë [, të cilët kaë derivati me variacio të kufizuar ë çdo ëiterval të fudëm të [, dhe f t = Ot s,t. Një fuksio i tillë f DBV [, ka këtë formë f = gtdt f, ku me g përkufizojmë jë fuksio me variacio të kufizuar ë çdo ëiterval të [,. Në vijim shëojmë: 1 = f f dhe = f f. 3

36 .6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR Përkufizojmë fuksioi dihmës f, me shprehje: f t f, < t f t =, t = f t f, t <. Atëherë, marrim rezultati vijues: Teoremë.6.1. Le të jetë f DBV [,, β = β, kur dhe lim β = l R. Nëse >, s > 1 dhe f t = Ot s,t atëherë për mjaft të madh, kemi F f C 1 1 l A 1 A1 A1 f C O s C [ ] k f f k=1 C f f f f. k ku b a f është variacioi total i f ë [a,b]. Vërtetim. Për f DBV [,, dhe,, mud të shkruajmë f t = 1 f t sgt δ t f t ku δ t = { 1, t =, t. Shfrytëzojmë ekuacioi 4.3.4, si dhe duke pasur parasysh se S [β], është operator liear pozitiv, kemi S [β] f ; f f t f M [β],tdt = f udu M [β],tdt t 1 t M [β],tdt t M [β],tdt f udu M [β],tdt t f t 1 δ udu M [β],tdt.6. Meqëëse t δ udu =, përfudojmë S [β] f ; f 1 [β] η,1 [β] S,a t ; f udu M [β],tdt t 4 t

37 .6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR Sipas relacioit..8 rrjedh që t f udu M [β],tdt..6.3 ku P [β] f, = t f udu S [β] f ; f 1 [β] η,1 C f, Q [β] f,..6.4 M [β] P[β],tdt, dhe Q [β] f, = t f udu Në këtë mëyrë, duhet vlerësuar P [β] f, dhe Q [β] f,. Nga përkufizimi i ρ [β] ë Lemë.., duke itegruar ë pjesë, mud të shkruajmë Kështu që, P [β] f, = P [β] t f udu f, d t ρ [β],t = f t ρ [β],tdt. Meqeëse f t f t f dhe ρ [β],t 1, kemi f t ρ [β],tdt f tρ [β],tdt. f Duke shfrytëzuar Lemë..3 dhe duke marrë zëvedësimi t = u, fitojmë. M [β],tdt. i dhëë f t ρ [β],tdt C = C C f t f 1 u f t dt t dt t du C [ ] k=1 k f. Pradaj, P [β] f, C [ ] f k=1 k f..6.5 Në vazhdim vlerësojmë Q [β] f, si ë vijim: Q [β] f, t f udu M [β] t,tdt f udu M [β],tdt 5

38 .6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR = Q [β],1 f, Q [β], f,..6.6 Së pari vlerësojmë Q [β],1 f,. Mud të tregohet që Q [β],1 f, t f udu M [β],tdt t = f u f du M [β],tdt f t f M [β],tdt f t M [β],tdt f t M [β],tdt f M [β],tdt f t M [β],tdt = I 1 I I 3 respektivisht..6.7 Vlerësojmë I 1,I dhe I 3. Meqeëse t, kemi t,t t, dhe ga supozimi se ekzisto umri i plotë s > 1 i tillë që f t = Ot s,t, ga relacioet..8 dhe..9 përfudojmë se I 1 M t s M [β],tdt M s µ [β],s = O s as,.6.8 I f f f M [β],tdt t M [β],tdt f C = C..6.9 Duke shfrytëzuar relacioi..8 kemi I 3 = f t M [β],tdt f t M [β],tdt f C..6.1 Me kombiimi e relacioeve , fitojmë Q [β],1 f f, O s C f C Për vlerësimi e Q [β], f,, aplikojmë itegrimi ë pjesë dhe kemi: Q [β], f, t = f udu M [β],tdt 6

39 .6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR f udu [β] 1 ρ, 1 ρ [β],t f tdt..6.1 Tai ga Lema..3, kemi Q [β], f, C f u f du 1 ρ [β],t f t dt C f f f J,.6.13 ku J = f t 1 ξ,a [β],tdt = f t 1 ρ [β],tdt f t 1 ρ [β],tdt = J 1 J respektivisht Vlerësojmë ë fillim J 1. Meqeëse f t f t f dhe ρ [β],t 1, rrjedh se J 1 = f t f ρ [β],tdt f. Duke shfrytëzuar Lemë..3 dhe duke zëvedësuar t = u ë itegrali e mësipërm, kemi J C C C [ ] k=1 f t f dt t k1 k t f u dt t = C Duke i zëvedësuar J 1 dhe J ë.6.14, fitojmë Pradaj, J = f du C f t 1 ξ,a [β],tdt Q [β] 1 u [ ] k f k=1 f C, f, C f f f 7 f C f. du [ ] k f. k=1 [ ] k f k=1

40 .7. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZASZ-GOULD-HOPPER Me zëvedësimi e relacioeve.6.11 dhe.6.13 ë.6.6 kemi Q [β] f f, O s C f C C f f f f C [ ] k f k=1 Dhe ë fud duke kombiuar relacioet.6.4,.6.5 dhe.6.16, fitojmë rezultati e dëshiruar..7 Përkufizimi i operatorëve të tipit Szasz duke u bazuar ë poliomet Gould-Hopper Në [4], Jakimovski dhe Leviata përkufizua dhe shqyrtua disa veti të përafrimeve për operatorët e tipit Favard-Szasz: J f ; = e k g1 p k f k= b, [,,.7.1 ku p k jaë poliomet e Appell-it që plotësojë idetiteti... Varma dhe të tjerë ë [83] bëë lidhje e këtyre operatorëve me poliomet ortogoale. Kohëve të fudit, Büyükyazıcı dhe të tjerë ë [9], përkufizua variati Chlodowsky për operatorët e tipit Szasz-Breke të përkufizuar ga Varma ë [83]. Të ispiruar ga kjo puë, përkufizojmë operatorët e tipit Szasz-Chlodowsky duke u bazuar ë poliomet e Gould-Hopper-it. Fuksioi gjeerues për këto poliome jepet me formulë: e htd1 e t = k= kurse formula eksplicite për këta operatorë është g d1 k,h tk k!.7. [k/d1] g d1 k! k,h = k= s!k d 1s! hs k d1s.7.3 ku, [ ] është pjesa e plotë. Tai, ë [4], me dihmë e fuksioit gjeerues.7. jaë përkufizuar operatorët e tipit Szász-Chlodowsky, që jaë gjeeralizim i operatorëve Szászit, siç vijo: G d,h f ; = e b h k= g d1 k b,h k f k! b, [,,.7.4 ku h dhe b është varg jozvogëlues i umrave që ka këto veti lim b b =, lim =. Jaë bërë shumë gjeeralizime dhe jaë studiuar mjaft shumë operatorët e Szász-it ga autorë të dryshëm duke u bazuar ë poliomet ortogoale [4, 5, 6, 7, 35]. 8

41 .8. VETITË E PËRAFRIMEVE LOKALE.8 Vetitë e përafrimeve lokale Në këtë paragraf jaë dhëë disa rezultate të drejtpërdrejta ë lidhje me moduli e redit të parë dhe të dytë të vazhdueshmërisë, kovergjecës së derivatit të operatorëve kah fuksioet e derivueshme, si dhe shpejtësia e përafrimit të operatorëve G d,h kah fuksioit f. Në vijim marrim kuptime dhe Lema të cilat a shërbejë për pjesë tjetër të këtij paragrafi. Le të jetë e i t = t i,i N test fuksio. Lemë.8.1. [4] Nga fuksioi gjeerues.7. kemi: g d1 k b,h i = e b h = κ 1 ; k= k! kg d1 k b,h ii = e b h hd 1 = κ ; k= k! b k g d1 k b,h iii iv v k= k= 3 b k= k! k 3 g d1 k b,h = e b h b hd 1 1 hd 1 h 1 = κ 3 ; b = e b h 3 3 b 3 k! hd 1hd 1 d 1 3 k 4 g d1 k b,h k! 3 hd 1 1 b = e b h 4 4 b b 3 hd 1 3 h 3h 1 = κ 4 ; hd h d 1 hd 1d 3 7/6 3h d 1 d 3 hd 1d 7d 7 b h 3 d 1 3 1/ hd 1 4 h 3 6h 7h 1 = κ 5. Lemë.8.. [4] Për operatorët G d,h, vlejë: i G d,h e ; = 1; ii G d,h e 1; = b hd 1; iii G d,h e ; = b hd 1 1 b hh 1d 1 ; iv G d,h e 3; = 3 3b hd 1 1 3b 3b3 3 hd 1 d 1h 1 hd 1 ; 9 b hd 1hd 1 d 1 3

42 .8. VETITË E PËRAFRIMEVE LOKALE v G d,h e 4; = 4 b 3 hd 1 3 6b h d 1 hd 1d 3 7/6 b3 3h 3 d 1 d 3 hd 1d 7d 7 h 3 d 1 3 1/ b4 4 hd 1 4 h 3 6h 7h 1. Teoremë.8.3. [4] Le të jetë f C E [,. Atëherë lim uiformisht ë çdo ëbashkësi kompakte të [,. G d,h f ; = f, kovergjo Në vazhdim po japim dy shembuj të kovergjecës së këtyre operatorëve kah fuksioi. Shembulli.8.4. Për = 5,1,5, d =.5,dheb =, kovergjeca G d,h f ; kah f uksioi f = cos 1 është paraqitur ë Figurë a. Shembulli.8.5. Për = 5,1,5, d =.5,dheb =, kovergjeca G d f ; kah f uksioi f = është paraqitur ë Figurë b. 1,h a b Teoremë.8.6. [4] Le të jetë f C E [,, atëherë për çdo [,c] kemi G d,h f ; f {1 c b } b hh 1d 1 ω f ;. Vërtetim. Duke shfrytëzuar Lemë.8. dhe vetitë e mirëjohura të modulit të vazhdueshmërisë, kemi G d,h f ; f d k G,h f b f ; { 1 1 δ G d k,h b }ω ; f ;δ

43 .8. VETITË E PËRAFRIMEVE LOKALE Zbatojmë mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, dhe marrim mosbarazimi vijues: G d,h f ; f = G d,h Nga Lema.8. për c, fitojmë k b ; 1/ 1 1 δ { 1 1 G d δ,h t ; ω f ;δ }..8. G d,h e 1 ; b c b hh 1d Më pastaj, duke shfrytëzuar relacioi.8.3 dhe duke marrë δ = b / ë relacioi.8., mejëherë vijmë tek vërtetimi i teoremës. Teorema e mëposhtme trego se derivati d dr r G d,h f ; është gjithashtu proces i përafrimit për dr f d r. Teoremë.8.7. [4] Le të jetë f C E [,. Nëse f r ekzisto ë pikë,, atëherë kemi d r d r G d dr,h f ; d r f {1 r! c b } b dr hh 1d 1 ω f ; ω d r f ;rb, ku ω dr f d r, është moduli i vazhdueshmërisë së dr f d r. Vërtetim. Me jësime të thjeshta, shohim se vle formula d r d r G d,h f ; = b r G d,h r b f ;.8.4 ku r b f k b është difereca e redit r për fuksioi f të cilit i korrospodohet vargut jozvogëlues b. Duke shfrytëzuar relacioet dërmjet diferecës së fudme dhe diferecave të dara, derivati i redit r për operatorët, ka paraqitje vijuese: ku µ = d r r d r G d b f d,h f ; = r!g,h r! b ; r = r!e b h k= g d1 k b,h [ k k! b, k 1 b,..., k r ] b ; f = r!g d,h µ;..8.5 [ ], b,..., r b ; f. Atëherë, duke u bazuar ë Teoremë.8.6, kemi 31

44 .9. PËRAFRIMET ME PESHË d r d r G d dr,h f ; d r f G r! d,h µ; µ r!µ dr d r f { r! 1 c b } b hh 1d 1 ω f ; dr r!µ d r f..8.6 Në bazë të teoremës mbi vlerë mesatare dhe disa veti të modulit klasik të vazhdueshmërisë të dhëë ë puimi [34], kemi [ µ δ µ = δ, δ b ] [,..., δ rb ; f, b ],..., rb ; f 1 d r r! d r f δ rb φ 1 dr d r f rb φ 1 dr ω r! d r f ;δ rb φ 1 φ 1 dr ω r! d r f ;δ rb ku φ 1,φ,1. Në këtë mëyrë, fitojmë ωµ,δ 1 dr ω r! d r f ;δ rb..8.7 Nga aa tjetër, [ dr r!µ d r f r!, b ],..., rb ; f dr d r f d r d r f rb φ 3 dr d r f ω dr d r f ;φ 3r b ω dr d r f ;rb.8.8 ku φ 3,1. Duke zëvedësuar vlerësimet.8.7 dhe.8.8 ë mosbarazimi.8.6, mejëherë rrjedh vërtetimi i Teoremës..9 Përafrimet me peshë Në vazhdim jepe disa rezultate për vargu e operatorëve G d,h ë hapësirë e fuksioeve me peshë. Teoremë.9.1. [4] Le të jetë f C ψ [,, dhe ψ = 1 jë fuksio peshë, atëherë vle mosbarazimi G d,h ψ; ψ 1 M f. 3

45 .9. PËRAFRIMET ME PESHË Vërtetim. Nga Lema.8., marrim { G d,h ψ; 1 ψ = sup 1 1 b } hd 1 1 b hh 1d 1 { 1 b } hd 1 1 b hh 1d 1. b Meqëëse lim =, atëherë ekzisto kostata M f e tillë që G d,h ψ; ψ 1 M f. Që është dashur të tregohet. Në rasti kur fuksioi f uk është uiformisht i vazhdueshëm ë [,, atëherë moduli i vazhdueshmërisë së redit të parë ω f ;δ uk teto ë zero, kur δ. Pradaj për të fituar rezultatet toa a duhet përkufizimi i modulit të vazhdueshmërisë me peshë. Në [15] për f C ψ[,, moduli i vazhdueshmërisë me peshë për fuksioi f përkufizohet me Ω ψ f ;δ = sup ψ ψt <δ,,t [, f f t [ ψ ψt 1]ψ,.9.1 ku ψ është fuksio me derivat të vazhdueshëm ë [,, ψ = dhe if ψ 1. Tai, me dihmë e operatorëve G d,h të përkufizuar ë.7.4 përkufizojmë vargu e operatorëve P d,h me: P d,h f ; = e b h ψ k= g d1 k,h b 1 k ψ f k b k! b, [,..9. Teoremë.9.. [15] Le të jetë L varg i operatorëve liearë dhe pozitivë si dhe ψ η k,k = 1,,3. Në qoftë se L 1 1 η1 = α, L ψ ψ η = β, L ψ ψ η3 = γ, ku η = ma{η 1,η,η 3 } dhe α, β dhe γ teto ë zero kur, atëherë për çdo fuksio f C ψ[,, dhe për mjaft të madh vle mosbarazimi L f ; f ψη Ω ψ f ; α β γ f ψ α. Teoremë.9.3. [4] Le të jetë P d,h varg i operatorëve liearë dhe pozitivë i përkufizuar ë.9. dhe η = 1. Nëse f Cψ[,, atëherë plotësohet mosbarazimi P d,h f ; f ψ 4 η 16Ω ψ f ; α β f ψ α, ku α = hd 1 1 b b hh 1d 1 dhe β = b hd 1. 33

46 .9. PËRAFRIMET ME PESHË Vërtetim. Pas disa kalkulimeve jerrim: [ P d,h 1; 1 = ψ e b h g d1 k k= P d,h t; = ψ [ e b h g d1 k k=,h b,h b ] 1 ψ 1 k b k! ψ,.9.3 ] 1 ψ 1,.9.4 k b k! ψ P d,h ψ ; ψ =..9.5 Nga Lema.8., kemi lim e lim e b h k= b h k= g d1 k,h b g d1 k,h b 1 ψ 1 k b k! 1 ψ 1 k b k! ψ =, η =, ψ η duke u bazuar ë Lemë.8. dhe relacioi.9.3 fitojmë P d,h 1; 1 ψ η = lim e g d1 k,h b b h k= ψ 1 ψ 1 k b k! η hd 1 1 b b hh 1d 1 = α. Me aë e Lemës.8. dhe relacioit.9.4, shohim se P d,h ψ; ψ ψ η = lim e b h k= b hd 1 = β. Në fud ga relacioi.9.5, fitojmë P d,h ψ ; ψ ψ η = = γ. g d1 k,h b Vërtetimi i teoremës mbaro me aplikimi e Teoremës.9.. ψ 1 ρ 1 k b k! η 34

47 .1. VETITË E PËRAFRIMEVE A-STATISTIKORE.1 Vetitë e përafrimeve A-statistikore Le të jetë A = [a j ], j, N matricë e pafudme e shumueshme. Për vargu, A- trasformati i, shëohet me A j, dhe jepet me A j = a j. =1 Mud të provohet se seria kovergjo për çdo j N. Thuhet se matrica A është regulare ë qoftë se lim j A j = L sa herë që lim = L. Vargu thuhet se kovergjo ë mëyrë A-statistikore kah L ëse, për çdo ε >, lim a j =. Ky limit shëohet j : L ε me st A lim = L. Nëse zëvedësohet matrica A me matricë Cesaro C 1, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë statistikore. Ngjashëm, ëse marrim A = I matrica jësi, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë të zakoshme. Në [33] Kolk, tregoi se ëse limma =, kovergjeca A-statistikore është më e fortë se j kovergjeca e zakoshme. Në vijim japim Teoremë e përafrimit me peshë të Korovki-it me aë e kovergjecës A-statistikore. Teoremë.1.1. [4] Le të jetë a k matricë regulare e shumueshme joegative dhe [,. Le të jetë ψ γ 1 fuksio i vazhdueshëm që plotëso kushti: lim ψψ 1 γ =. Atëherë, për çdo fuksio f C ψ[,, kemi st A lim G d,h f ; f ψ γ =. Vërtetim. Nga [1], për çdo fuksio f C ψ[,, duhet provuar se: st A lim G d,h e i; e i ψ =, f or e i = t i,i =,1,. Kështu, ga Lema.8., shohim se vleë poashtu, ga Lema.8., kemi st A lim G d,h e ; e ψ =.,h e 1; e 1 ψ = b 1 hd 1 sup [, 1 b hd 1. G d Tai për ε >, të dhëë le të përkufizojmë bashkësitë: S = { : G d,h e 1; e 1 ψ ε} 35

48 .1. VETITË E PËRAFRIMEVE A-STATISTIKORE S 1 = { : b hd 1 ε}. Është e qartë se S S 1. Kështu për çdo N marrim Pradaj, st A lim Ngjashëm, kemi a k a k. k S k S 1 G d,h e 1; e 1 ψ =. G d,h e b ; e ψ = sup [, 1 hd 1 1 b hh1d 1 sup Tai, përkufizojmë bashkësitë vijuese: [, 1 1 hd 1 1 b b hh 1d U = { : G d,h e ; e ψ ε} U 1 = { : hd 1 1 b ε/}, U = { : b hh 1d 1 ε/}. Nga relacioi.1.1, është e qartë se U U 1 U, prej ga a k a k a k. k U k U 1 k U Kështu, fitojmë st A lim,h e ; e ψ =. Ngjashëm, ga Lema.8., kemi G d st A lim η d,s ψ =,s = 1,,3,4..1. Në vazhdim japim teoremë e tipit Voroovskaya për operatorët G d,h. Teoremë.1.. [4] Le të jetë A = a k matricë e pafudme e shumueshme regulare joegative. Atëherë, për çdo f C ψ[, të tillë që f, f C ψ[,, rrjedh se st A lim G d b,h f ; f = hd 1 f f. kovergjo uiformisht ë [, E],E >. Vërtetim. Le të jetë, dhe f, f Cψ[,. Përkufizojmë fuksioi θ me f t f t f 1 t f ëse t t θt, = ëse t =. 36

49 .1. VETITË E PËRAFRIMEVE A-STATISTIKORE Atëherë ga supozimi rrjedh se θ, = dhe θ, Cψ[,. Duke aplikuar operatori liear dhe pozitiv G d,h ë barazimi e mësipërm, fitojmë G d b,h f ; f = η d b,1 f 1 Në bazë të Lemës.8., marrim η d b, f b G d,h θt,t ;..1.3 st A lim η d b,1 = hd st A lim η d b, =.1.5 st A lim b η d,4 = Duke zbatuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, ë termi e fudit të relacioit.1.3, kemi G d b,h θt,e 1 ; G d,h θ t,; b η d,4. Mud të provohet që θ, =, dhe θ, C γ [,. Në bazë të Teoremës.8.3 rrjedh st A lim G d,h θ t,; = θ, =..1.7 Nga.1.7 rrjedh se st A lim G d b,h θt,e 1 ; =.1.8 kovergjo uiformisht për çdo [a, b]. Me kombiimi e relacioeve 17, 18 dhe 1, mejëherë fitohet rezultati i teoremës. Teoremë.1.3. [4] Le të jetë f. Atëherë kemi: st A lim G d,h f ; f C B [, = Vërtetim. Nga vetia e liearitetit të operatorëve G d,h, dhe duke shfrytëzuar formulë e Taylorit për fuksioi f, kemi Prej ga fitojmë G d,h f ; f = ηd,1 f 1 ηd, f ξ,ξ t,..1.9 G d,h f ; f C B [, = f CB [, η d,1 C B [, 37

50 .1. VETITË E PËRAFRIMEVE A-STATISTIKORE Në bazë të.1. për ε >, kemi 1 f CB [, η d, C B [,..1.1 lim a k =, k N:I 1 ε lim a k =. k N:I ε Nga relacioi.1.1, ë vijim mud të shkruajmë k N: G d,h f ; f C B [, a k k N:I 1 ε a k k N:I ε a k =. Vërtetimi i teoremës rrjedh mejëherë duke vepruar me limit kur. Teorema vijuese jep vlerësimet kuatitative me aë të Peetre s K-fuksioalit. Teoremë.1.4. [4] Le të jetë f C B [,, atëherë kemi vlerësimi ku δ = η d,1 C B [, η d, C B [,. G d,h f ; f C B [, Mω f ; δ, Vërtetim. Le të jetë g, ga relacioi.1.1 kemi G d,h f ; f C B [, = f CB [, η d,1 C B [, 1 f CB [, η, CB [, { η d,1 C B [, 1 } ηd, C B [, f. Duke u bazuar ë mosbarazimi e mësipërm për f C B [,, dhe g, fitojmë G d,h f ; f C B [, = G d d,h f ; G,h g C B [, G d,h g; g C B [, g f CB [, g f CB [, G d,h g; g C B [, g f CB [, δ g W. Duke marrë ifimumi ë aë e djathtë të mosbarazimit të mësipërm sipas g, fitojmë G d,h f ; f C B [, K f ;δ. Nga lidhja dërmjet Petree s K-fuksioalit dhe modulit të redit të dytë të lëmueshmërisë, të dhëë ë [8] kemi G d,h f ; f C B [, M{ω f ; δ mi1,δ g CB [, } Nga.1., rrjedh se st A lim δ =, kështu st A lim ω f ; δ =. Pradaj, marrim shpejtësië e kovergjecës A-statistikore për vargu G d,h kah f ë hapësirë C B[,. 38

51 Kapitulli Operatorët e tipit Szász-Jai-Charlier Në këtë kapitull, së pari është shqyrtuar jë tip i ri i operatorëve liearë pozitivë, të cilët jaë kombiim i operatorëve të përkufizuar ga Jai-i [44] dhe poliomeve të Charlier-it. Pastaj, shqyrtohet shpejtësia e kovergjecës përmes modulit të vazhdueshmërisë me peshë dhe klasës së fuksioeve të Lipschitz-it. Po ashtu, jaë fituar disa rezultate ë lidhje me shpejtësië e kovergjecës përmes modulit të uifikuar të vazhdueshmërisë së përkufizuar ga Guo dhe të tjerë ë [81], si dhe fuksioeve derivati i të cilëve është me variacio të kufizuar. 3. Përkufizimi i operatorëve të tipit Szasz-Jai-Charlier si dhe disa Rezultate dihmse Në viti 1 Varma dhe Tasdele [94] kostruktua jë tip të ri të operatorëve liearë pozitivë duke u bazuar ë poliomet ortogoale, më kokretisht përmes fuksioit gjeerues të poliomeve të Charlier. Fuksioi gjeerues për këto poliome jepet me barazimi: ku, m j = j k=1 e t 1 t a u = k= k r= k r m k 1, j N, ad m = 1. 1 r t k u r, t < a, 3..1 a k! Për γ >, le të jetë C γ [, := { f C[, : f t Me γt, për disa M > dhe t [, }. Për fuksioi f C γ [,, ë [94] autorët dhaë jë përgjithësim të operatorëve të tipit të Szász-it duke u bazuar ë poliomet e Charlier-it si ë vijim: L f ;,a = k= Θ a k k f, 3.. a 1 ku Θ a k 1 = e 1 a 1 a C k a 1 k!, [, dhe a > 1. Në veçati, ëse zëvedësojmë 1, dhe duke marrë a, fitojmë operatorët e tipit të Szász-it. Më pas, Kajla dhe Agrawal, ë [6] studiua vetitë e përafrimeve me peshë për këta operatorë 39

52 3.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZASZ-JAIN-CHARLIER dhe shpejtësi e kovergjecës për fuksioet që kaë derivati me variacio të kufizuar. Po ashtu, Kajla dhe Agrawal, ë [7] dhe [5] modifikua operatorët e tipit Katorovich dhe Durrmeyer përkatësisht. Kohëve të fudit, Gupta dhe Greubel, [97] përkufizua variati e operatorëve të tipit Durrmeyer për operatorët e përkufizuar ë [44] dhe provua disa rezultate iteresate të cilat më voë i shfrytëzua shumë autorë ë puimet e tyre. Për fuksioi e kufizuar dhe të itegrueshëm ë [,, a dhe β [,1, Gupta dhe Malik [96] propozua operatorët hibrid të përzier të tipit Durrmeyer dhe vërtetua shumë rezultate direkte p.sh. teorema e tipit Voroovskaya, teoremat e përafrimeve lokale dhe globale si dhe disa rezultate direkte ë lidhje me moduli e vazhdueshmërisë dhe lëmueshmërisë. Në vazhdim, për γ >, le të shëojmë me D γ [, := { f C[, : f t M1 t γ, t [, } dhe orma e idukuar ë të, jepet me f t f γ = sup t [, 1 t γ. Për f D γ [, përkufizizojmë jë varg të ri të operatorëve liearë pozitivë, që jaë kombiim i operatorëve të përkufizuar ga Jai [44] dhe poliomeve të Charlier si ë vijim: S [β],a f ; = k= Θ a k bβ <,k t, f t > < b β. 3..3,k t,1 > ku b β,k = kβk 1 e kβ k! dhe < f,g >= f tgtdt. Qëllimi i këtij paragrafi është që të formulojë disa teorema të drejtpërdrejta për operatorët e dhëë me relacioi Lemë Operatorët S [β],a të përkufizuar ë 3..3 plotësojë kushtet: i S [β],a1; = 1; ii S,at; [β] = 1 β 1 β 1 ; 1 β iii S,at [β] ; = 1 β 1 β 3 1 a β 1 β3 31 β! 1 β ; iv S,at [β] 3 ; = 1 β β3 1 β3 1 β a 1 6 a 1 6 a β [ β 1 β 1 β 4 3! 1 β 4 1 β 3 1 ] a 1 ; 11 8β 1 β 4 4

53 3.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT SZASZ-JAIN-CHARLIER v S,at [β] 4 ; = 1 β β4 3 1 a 1 11 a 1 1 a β 6 3 a 1 6 a 1 3 ] 1 β 15 3β 1 β4 1 β a 1 a β 1 β4 31 [ 57 4β 1 β 4 1 β a β 1 β a 1 1 a 1 3 a β 1 β 1 β β 4! 1 β 5 Vërtetim. Nga fuksioi gjeerues 3..1 si dhe duke aplikuar Lemë të dhëë ë [97], marrim idetitetet i-v. Detajet lidhur me vërtetimi e këtyre idetiteteve po i lëmë aash. Mometi qëdror i redit m për operatorët S,a [β] jepet me barazimi: µ [β],m,a = S [β],at m ; Lemë 3... Le të jetë β = β, kur dhe lim β = l R. Për fuksioi µ [β],m,atë dhëë ë 3..4, kemi i lim µ [β],1,a ; = l ; ii lim µ [β],,a ; = a 1 ; iii lim S [β],aµ [β],3,a ; = 18l a 1 1 a 1 18 ; iv lim µ [β],4,a ; = 3 a 1 8 a 1 3. Që të vërtetojmë teoremë ë lidhje me përafrimi e fuksioeve derivati i parë i të cilëve është me variacio të kufizuar, fillimisht a evojitet rezultati vijues: Lemë Le të jetë β = β, kur dhe lim β = l R. Nëse > dhe për mjaft të madh, kemi i ξ [β],a,t = t K [β],a,udu Nl,a1 t, t <, ii 1 ξ [β],a,t = K [β],a,udu Nl,a1 t t <. Vërtetim. Nga Lema 3.. duke marrë mjaft të madh rrjedh S [β],au ; Nl,a

54 3.3. VETITË E PËRAFRIMEVE Tai duke shfrytëzuar Lemë 3..1, kemi ξ [β],a,t = t K [β],a, udu t u K,a, [β] udu t S[β],au ; t Nl,a1 t. Mosbarazimi ii provohet ë mëyrë të gjashme. Gjatë gjithë këtij puimi, do të supozojmë se δ = µ [β],,a. 3.3 Vetitë e përafrimeve Teoremë [4] Le të jetë f D γ [,, dhe β = β kur. Atëherë lim S[β],a f ; = f, kovergjo uiformisht ë çdo ëbashkësi kompakte të [,. Vërtetim. Nga Lema 3..1, rrjedh se lim S [β],ae i ; = i, i=,1, kovergjo uiformisht ë çdo ëbashkësi kompakte të [,. Vërtetimi i teoremës rrjedh mejëherë ëse zbatojmë teoremë e Korovki-it. Me ω b f ;δ, δ > përkufizojmë moduli e vazhdueshmërisë së fuksioit f ë [,b]. Teorema vijuese jep shpejtësië e kovergjecës me aë e modulit të vazhdueshmërisë së derivatit të fuksioit. Teoremë Nëse f është fuksio i derivueshëm [,, dhe f L për disa kostate L >, atëherë vleë: [ ] S,a [β] f ; f L β 1 β 1 δ ω f ;δ, 1 β ku δ = µ [β],,a. Vërtetim. Nga teorema Lagrage-it mbi vlerë mesatare, kemi f t f = t f ξ = t f t f ξ f, ku ξ është pikë dërmjet dhe t. Nga lieariteti dhe mootoia e operatorit S [β],a, relacioit 3.3.1, si dhe ga vetitë e mirëjohura të modulit të vazhdueshmërisë së fuksioit kemi: S,a [β] f ; f L β 1 β 1 S,a t [β] ; ω f ;δ 1 β ω f ;δ S,at [β] ; δ 4

55 3.3. VETITË E PËRAFRIMEVE Duke zbatuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it ë mosbarazimi e mësipërm, fitojmë S,a [β] f ; f L β 1 β 1 { S [β] 1/,at ;} ω f ;δ 1 β ω f ;δ S,at [β] ; L β 1 β 1 δ 1 β ω f ;δ S,at [β] ; ω f ;δ S,at [β] ;. δ Zgjedhim δ = δ = S,at [β] ;, dhe përfudimisht marrim: S,a [β] f ; f L β 1 β 1 δ ω f ;δ. 1 β Teoremë Le të jetë f D γ [,, β = β, kur dhe lim β = l R, atëherë ekzisto f ë pikë [,, dhe vleë lim S[β],a f ; f = l f a 1 f Veçaërisht, ëse ekzisto f dhe është i vazhdueshëm ë a η,b η, η > atëherë vleë dhe kovergjo uiformisht për çdo [a,b], ku a < b <. Vërtetim. Nga zbërthimi i Taylor-it për fuksioi f, kemi f t = f k t k ξ t,t, k= k! ku ξ t, është mbetja dhe lim t ξ t, =. Aplikojmë operatori S [β],a ë të dy aët e ekuacioit të mësipërm dhe duke shfrytëzuar Lemë 3.., rrjedh se lim S[β],a f ; f = l f f a 1 lim S [β],aξ t,t ;, kovergjo uiformisht ë [a,b]. Nëse shfrytëzojmë mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it ë aë e djathtë të relacioit 3.3.4, dhe ë bazë të, Teoremës dhe Lemës 3..3 rrjedh se: lim S[β],aξ t,t ; =, kovergjo uiformisht sipas [a, b]. Me kombiimi e relacioeve dhe 3.3.5, fitojmë rezultati e dëshiruar. 43

56 3.3. VETITË E PËRAFRIMEVE Teoremë [5] Le të jetë f D [,. Atëherë, vle S [β],a f ; f 4M f 1 δ ω b1 f ;δ. Vërtetim. Për çdo [,b] dhe t, kemi f t f 4M f 1 t 1 t ω b1 f ;δ,δ >. δ Kështu duke aplikuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, fitojmë S,a [β] f ; f 4M f 1 δ ω b1 f ;δ 1 δ δ Tai ëse zgjedhim, δ = δ, mejëherë rrjedh vërtetimi i Teoremës. Shëojmë me C B [, hapësirë e të gjitha fuksioe f të kufizuara me vlera reale dhe të cilat jaë uiformisht të vazhdueshme ë [,, të idukuara me ormë f = sup f. [, Teorema ë vazhdim jep vlerësimi e shpejtësisë së përafrimit të jë fuksioi f me aë të operatorëve liearë pozitivë S,a, [β] duke përdorur moduli e redit të parë dhe të dytë të vazhdueshmërisë. Teoremë Le të jetë f C B [, dhe β = β, kur. Atëherë për çdo >, kemi S,a [β] f ; f Cω f ; δ ω f ; β 1 β 1 1 β, ku C është kostatë pozitive dhe δ = β 1 3a β a β β 1[1 1 β ] 1 β 3 31 β4 51 β 1 β 1 1 β. Vërtetim. Për fuksioi f C B [,, le të marrim ë kosiderim operatori e modifikuar të përkufizuar me: S,a [β] = S,a [β] f ; f f 1 β 1 β β Duke shfrytëzuar Lemë 3..1, rrjedh S,a1; [β] = 1; S,at; [β] =. Le të jetë g W. Nga formula e Taylor-it, mud të shkruajmë t gt = g t g t ug udu. 44.

57 3.3. VETITË E PËRAFRIMEVE Duke aplikuar operatori S [β],a ë të dy aët e ekuacioit të mësipërm, fitojmë t t S,ag; [β] = g S,a [β] t ug udu; = S,a [β] t ug udu; g 1 β 1 β 1 1 β 1 β 1 β 1 1 β u g udu, prej ga rrjedh se [β] t S,ag; g S,a [β] t u g udu ; Meqeëse { S,a [β] f ; 1 β 1 β 1 1 β S [β],at ; Θ a k k= f 1 β 1 β 1 u g u du 1 β } 1 β 1 β 1 1 β bβ,k t, f t b β,k t,1 Θ a k k= bβ,k t,1 b β f.,k t,1 Nga relacioi 3.3.6, për çdo f C B [, kemi g. S [β],a f ; S [β],a f ; f 3 f Duke shfrytëzuar relacioet dhe 3.3.7, për f C B [, dhe për g W, fitojmë S,a [β] [β] [β] f ; f S,a f g; S,ag; g g f f 1 β 1 β 1 f 1 β f 1 β 1 β 1 f 1 β 4 f g δ g C{ f g δ g } ω f ; β 1 β 1 1 β

58 3.4. VETITË E PËRAFRIMEVE ME PESHË Duke marrë ë aë e djathtë ifimumi sipas të gjithë g W dhe duke shfrytëzuar përkufizimi e Peetre K-fuksioalit, kemi S,a [β] f ; f CK f ;δ ω f ; β 1 β 1 1 β. Në bazë të relacioit.3.1, kemi S,a [β] f ; f Cω f ; δ ω f ; β 1 β 1 1 β, me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Në vazhdim japim jë vlerësim për operatorët e përkufizuar ë 3..3 duke shfrytëzuar fuksioi maksimal Lipschitz të redit r ë lidhje me fuksioi f, të përkufizuar ga Leze [6] me: ω r f, = sup t,t [, f t f t r, [, ad r,1] Teoremë [6] Le të jetë f C B [,. Atëherë, për çdo [, vleë mosbarazimi: ku < r 1. Vërtetim. Nga Përkufizimi 3.3.9, kemi S [β],a f ; f ω r f,δ r, S [β],a f ; f S [β],a t r ; ω r f,. Duke aplikuar mosbarazimi e Hölder-it për p = r dhe q = r, përfudojmë se S [β],a f ; f ω r f,s [β],at ; r ωr f,δ r. Me këtë kompletohet edhe vërtetimi i teoremës. 3.4 Vetitë e përafrimeve me peshë Le të jetë D [, ëhapësirë e D [, e përbërë ga fuksioi f i tillë që të ekzistojë limiti lim f 1. Në vijim duke zbatuar Teoremë e Korovki-it, sipas peshës të përkufizuar ë [17] marrim rezultati vijues: Teoremë Le të jetë f D [, dhe β = β, kur. Atëherë, kemi lim S[β],a f f =. 46

59 3.4. VETITË E PËRAFRIMEVE ME PESHË Vërtetim. Nga [17], mjafto të provojmë që: lim S[β],at m ; m =,m =,1,. Meqeëse, S,a1; [β] = 1, relacioi i mësipërm është i vërtetë për m =. Tai, S,at; [β] = sup 1 1 β 1 β 1 1 β < β 1 β 1. 1 β Kështu, lim S [β],at; =, kur. Ngjashëm, marrim { S,at [β] ; 1 = sup < 1 1 β β β 1 β 1 } β3 31 β 1 β 1 β 3 1 a β 3 1 a β 1 β3 31 β 1 β, prej ga rrjedh se lim S [β],at ; =. Kjo e kompleto vërtetimi e teoremës. Teoremë [6] Për çdo f D [, dhe β = β, kur dhe α >, kemi lim sup [, S [β],a f ; f 1 1α =. Vërtetim. Le të jetë >, jë pikë arbitrare e fiksuar, atëherë sup [, S [β],a f ; f 1 1α sup [β] S Meqeëse f f 1, shihet lehtë se,a f ; f 1 1α sup [β] S > S [β],a f ;. f C[, ] f sup,a f ; f 1 1α [β] S >,a1 t ; 1 1α f sup > 1 1α = E 1 E E 3, respektivisht. f E 3 = sup > 1 1α f 1. α Le të jetë dhëë ε >. Në bazë të Teoremës 3.3.1, mud të gjedet 1 N i tillë që S [β],a1 t ; 1 < 47 ε 3 f, 1,

60 3.4. VETITË E PËRAFRIMEVE ME PESHË rrjedhimisht, Në këtë mëyrë, Pradaj, Kështu, S [β],a1 t ; < 1 ε 3 f, 1. f S [β],a1 t ; 1 1α < f sup [β] S > < f 1 1α 1 ε 3 f f 1 ε α 3, 1.,a1 t ; 1 1β < f 1 ε α 3, 1. E E 3 < f 1 α ε 3, 1. Tai, ëse zgjedhim mjaft të madh të tillë që Atëherë, f 1 α < ε 6. Nga Teorema 3.4.1, ekzisto N i tillë që E E 3 < ε 3, E 1 = S [β],a f f C[, ] < ε 3, Le të jetë = ma 1,. Atëherë, me kombiimi e relacioeve dhe 3.4. kemi sup [, S [β],a f ; f 1 1α < ε,. Me këtë kompletohet vërtetimi i teoremës. Për f D [,, Ispir ë [65] përkufizoi moduli e vazhdueshmërisë së fuksioit f si ë vijim Fuksioi Ω f ;δ plotëso vetitë vijuese: f h f Ω f ;δ = sup h <δ, [, 1 h

61 3.4. VETITË E PËRAFRIMEVE ME PESHË Lemë [65]. Për fuksioi Ω f, δ, kemi i Ω f, δ është mootoo rritës, ii lim δ Ω f,δ = ; iii për çdo λ [, dhe δ >,Ω f,λδ 1 λ1 δ Ω f,δ. Teorema ë vazhdim jep vlerësimi e gabimit të përafrimit të operatorëve S [β],a me aë të Ω f,δ. Teoremë Le të jetë f D [,, β = β, kur dhe lim β = l R, atëherë mud të gjedet kostata C = Cl,a >, e tillë që S,a [β] f ; f sup CΩ f ; 1 [, 1 5. Vërtetimi i teoremës bëhet ë mëyrë aaloge sikur Teorema.4.1. Pradaj detajet po i lëmë aash. Në vijim për < r 1, klasa e fuksioeve Lipschitz e dhëë ë [59] përkufizohet me: { Lip t r } Mr := f C[, : f t f M f t r ;t,, >, për disa kostate M f >. Teoremë Le të jetë f Lip M r dhe r,1]. Atëherë për çdo >, vle: S β,a f ; f M f δ r. Vërtetim. Le të jetë p,q > 1 : p = r dhe q = e Hölder-it, gjejmë S [β],a f ; f { M f { Θ a k k= M f r r, atëherë duke aplikuar mosbarazimi bβ <,k t, f t f r > < b β,k t,1 > } Θ a k k= { Θ a k k= M f δ r. bβ <,k t t, t > < b β,k t,1 > } r bβ <,k t,t > < b β,k t,1 > } r r Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. 49

62 3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMËRISË 3.5 Moduli i uifikuar i vazhdueshmërisë Në vijim shqyrtojmë shpejtësië e kovergjecës me aë e modulit të uifikuar të vazhdueshmërisë ω φ τ f,t, τ 1. Do të shfrytëzojmë moduli e uifikuar të përkufizuar ga Guo dhe të tjerë ë [81]. Le të jetë φ = 1 dhe f C B [,, hapësira e të gjitha fuksioeve të kufizuara dhe të vazhdueshme ë [,. Moduli ω φ τ f,t, τ 1, jepet me ω φ τ f,t = sup sup h t ± hφτ [, dhe K-fuksioali për të jepet me: f hφ τ f hφ τ, K φ τ f,t = if g W τ { f g t φ τ g }, ku, W τ = {g : g AC loc [,, φ τ g < }, dhe me AC loc [, përkufizojmë hapësirë e të gjitha fuksioeve absolutisht të vazhdueshme ë [,. Nga [98], mud të gjedet kostata M > e tillë që M 1 ω φ τ f,t K φ τ f,t Mω φ τ f,t. Teoremë Le të jetë f C B [,, atëherë për mjaft të madh kemi S,a [β] f ; f Cω φ τ f ; φ 1 τ, ku C është kostate që uk varet ga f dhe. Vërtetim. Le të jeë, τ pika të çfarëdoshme të fiksuara. Atëherë ga relacioi 3.5.1, rrjedh se ekzisto g = g,,τ W τ i tillë që f g φ 1 τ φ τ g K φ τ f ; φ 1 τ. Mud të shkruajmë S [β],a f ; f S [β],a f g, S [β],ag; g g f Meqëëse g W τ, kemi f g S [β],ag; g atëherë t gt = g g udu t S,ag; [β] g S,a [β] g udu. ;

63 3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMËRISË Duke aplikuar mosbarazimi e Hölder-it, kemi: t g udu φ τ g t du φ τ u t φ τ g t 1 τ du τ φu. Nga aa tjetër mud të shkruajmë t du φu du 1 1 t u 1 1 t = t t t 1 = 1 t 1 1 t t t. Kështu duke aplikuar mosbarazimi a b r a r b r, r 1 kemi t g udu τ φ τ g t 1 τ 1 τ / 1 1 t τ φ τ g t 1 τ / 1 τ/ 1 1 t τ/, Në këtë mëyrë, ga relacioet dhe dhe duke zbatuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, marrim S,ag; [β] g τ φ τ g τ/ S,a [β] 1 t 1 τ/ 1 1 t τ/ ; τ φ τ g 1 τ/ 1 τ/ η,a [β] η,a [β] S,a1 [β] t τ ;. Por, S [β],a1 t τ ; S [β],a1 τ ; kur. Kështu, për çdo ε >, N, të tillë që S [β],a1 t τ ; S [β],a1 τ ; < ε,, vleë S [β],a1 t τ ; 1 τ < ε,. 51

64 3.5. MODULI I UNIFIKUAR I VAZHDUESHMËRISË Le të jetë ε = 1 τ >, atëherë S [β],a1 t τ ; < 1 τ. Duke aplikuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, kemi S,a1 [β] t τ ; < 1 τ 1. Për mjaft të madh vle: S [β],ag; g τ φ τ g C φ Pradaj, me kombiimi e relacioeve 3.5. dhe 3.5.5, gjejmë {φ τ 1 τ 1 τ } S [β],a f ; f f g τ1 φ τ g Cφ 1 τ C{ f g φ 1 τ φ τ g } f ; φ 1 τ CK τ φ Cω τ φ f ; φ 1 τ. Prej ga, përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Në vijim japim disa shembuj të ilustrimit grafik të kovergjecës së operatorëve S,a [β] f ; kah fuksioi f si dhe jepet vlerësimi i gabimit të këtyre operatorëve për fuksioi f. Shembulli Le të shqyrtojmë fuksioi f =. Për = 5,1,5, a =, dhe β = kovergjeca e operatorit 4 S[β] 1,a f ; kah f uksioi f, është paraqitur ë Figurë 3.1 A. Për më tepër, ë tabelë 3.1 kemi llogaritur vlerësimi e gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f. Shembulli Për = 5,1, dhe 5, a =,dheβ = 1, kovergjeca e 6 S[β],a f ; kah f uksioi f = është paraqitur ë Figure 3.1 B. Në fud, ë tabelë kemi marrë vlerësimi e gabimit të operatorit S,a [β] f ; për fuksioi f. Table 3.1: Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f = = = =

65 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR a b Figure 3.1 Table 3.: Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f = = = = Shpejtësia e kovergjecës për fuksioet me variacio të kufizuar Në vijim jepet shpejtësia e kovergjecës së operatorëve S,a.; [β] për fuksioet që kaë derivati me variacio të kufizuar ë [,. Tregojmë se ë pikë ku f dhe f ekzistojë, operatorët S,a [β] f ; kovergjojë kah fuksioi f. Le të jetë DBV [, klasa e të gjithë fuksioeve f D [, që kaë derivati me variacio të kufizuar e çdo ëiterval të fudëm të [,. Një fuksio i tillë f DBV [, ka këtë paraqitje: f = gtdt f ku, g është jë fuksio me variacio të kufizuar ë çdo ëiterval të fudmë të [,. Teoremë Le të jetë f DBV [,, β = β, kur dhe lim β = l R. Nëse > dhe mjaft i madh, atëherë kemi,a f ; f λ f f l { f f }{ Nl,a1 f S [β] 53 } 1/

66 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR 1 Nl,a f f f [ 4M f M f f Nl, a 1 ] k=1 f k k, f ku λ > 1, f t f, < t f t =, t = f t f, t <., ba f është variacioi total i f ë [a,b] dhe Nl,a është kostate që varet ga l dhe a. Vërtetim. Për çdo f DBV [,, provohet lehtë se vle f t = 1 f f f t 1 f f sgt δ t f t 1 f f, ku δ t = { 1, t =, t. Zbatojmë Lemë 3..3, kemi S [β],a f ; f = K [β],a,t f tdt f = = f t f K,a,tdt [β] = f udu = I 1 I, say. t K [β],a,tdt f t f K [β],a,tdt f t f K,a,tdt [β] t f udu K [β],a,tdt Duke shfrytëzuar relacioi 3.6.1, fitojmë 1 I 1 = t f f f u 1 f f sgu δ u f u 1 f f duk,a,tdt. [β] Meqeëse t δ udu =, kemi I 1 = 1 f f t K,a,tdt [β] 54 t f udu K,a,tdt [β]

67 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR 1 f f tk,a,tdt. [β] 3.6. Me procedura të gjashme, mud të gjejmë se I = 1 f f 1 f f t K [β],a,tdt t f udu K,a,tdt [β] t K [β],a,tdt Nga kombiimi i relacioeve 3.6. dhe 3.6.3, kemi S,a [β] f ; f = 1 f f t K,a,tdt [β] 1 f f t K,a,tdt [β] t f udu K,a,tdt [β] f udu K,a,tdt. [β] t Kështu S,a [β] f ; f f f S[β],at ; f f S[β],a t ; f udu K,a,tdt [β] t f udu K,a,tdt [β] t Tai, le të jetë A [β],a f, = t f udu K,a,tdt, [β] dhe B [β],a f, = t f udu K,a,tdt. [β] Në këtë mëyrë, e duhet të vlerësojmë A,a [β] f, dhe B,a [β] f,. Nga përkufizimi i ξ,a [β] f, i dhëë ë Lemë 3.3.1, duke aplikuar itegrimi ë pjesë, mud të shkruajmë A [β],a f, = f udu d t ξ,a [β],t = f tξ,a [β],tdt. Kështu, A [β],a f, f t ξ,a [β],tdt t f t ξ,a [β],tdt f t ξ,a [β],tdt. 55

68 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR Meqeëse f = dhe ξ [β],a,t 1, kemi f t ξ,a [β],tdt = f t f ξ [β] = t f f,a,tdt dt f dt Duke shfrytëzuar Lemë 3..3 dhe duke marrë ë kosiderim se t = u, kemi f t ξ,a [β] 1,tdt Nl,a f dt t t 1 dt Nl,a f t t 1 1 = Nl,a f [ ] du Nl,a 1 f. k=1 u. k Pradaj, A [β],a f, Nl,a 1 [ ] f k=1 k f Përsëri duke aplikuar itegrimi ë pjesë për B [β],a f, dhe pastaj duke pasur parasysh Lemë 3..3, fitojmë B [β],a f, Nga aa tjetër, kemi t f t 1 ξ,a [β],tdt = f udu [β] 1 ξ t t,a,tdt f udu [β] 1 ξ,a, f t f K,a,tdt [β] f f t 1 ξ [β],a,tdt f t 1 ξ [β],a,tdt f udu K [β] t K,a,tdt [β].,a,tdt f t 1 ξ,a [β],tdt = J 1 J respektivisht

69 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR Meqëëse f = dhe ξ [β],a,t 1, fitojmë J 1 Nga Lema 3..3 dhe duke marrë ë kosiderim se t = u, fitojmë 1 J Nl,a f t f dt t 1 Nl, a 1 [ ] Nl, a k=1 t f k1 k u f. dt t = Nl,a f du Nl,a Duke i zëvedësuar vlerat e J 1 dhe J ë 3.6.6, gjejmë f t 1 ξ,a [β],tdt Në këtë mëyrë, B [β],a f, M f t 1K [β] 1 f Nl, a f f Nl,a,a,tdt f Nl,a Nl,a K [β],a,tdt 1 1 u f [ ] k f. k=1 [ ] k f. k=1 du f f f [ ] k f k=1 Për t, ë bazë të mosbarazimeve t t dhe t, marrim M f t 1K,a,tdt [β] f K,a,tdt [β] M f f M f f K [β] 4M f M f f,a,tdt 4M f t K,a,tdt [β] t K,a,tdt [β] 4M f t K,a,tdt [β] 1 Nl, a Me kombiimi e relacioeve , rrjedh B [β],a f, 4M f M f f 1 Nl, a

70 3.6. SHPEJTËSIA E KONVERGJENCËS PËR FUNKSIONET ME VARIACION TË KUFIZUAR 1 f Nl, a Nl,a f Nl,a 1 1 f f f [ ] k f k=1 Tai ga 3.6.4, dhe 3.6.9, mejëherë rrjedh vërtetimi i teoremës. Shembulli ë vijim trego shpejtësië e kovergjecës së operatorëve kah fuksioi i cili është me variacio të kufizuar. Shembulli Le të jetë a =, β =, dhe fuksioi f : [,1] R, i përkufizuar me 3 1 si 1 ëse f = ëse =. Fuksioi f është i diferecueshëm dhe me variacio të kufizuar ë [, 1]. Për = 5, 1, dhe, kovergjeca e operatorëve S,a [β] f ; tek f është paraqitur ë Figurë 3.. Në fud, ë Tabelë 3.3 kemi marrë vlerësimi e gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f. Figure 3. Table 3.3: Vlerësimi i gabimit të operatorëve 3..3 për fuksioi f = = =

71 Kapitulli Përafrimet me aë të operatorëve të tipit Chlodowsky- Szász-Katorovich-Charlier për fuksioi me dy variabla Në këtë kapitull jaë përkufizuar operatorët e tipit Katorovich si kombiim i operatorëve të Szász-it dhe Chlodowsky-it, duke u bazuar ë poliomet e Charlier-it. Pastaj, jaë studiuar vetitë e përafrimeve lokale për këta operatorë. Po ashtu, është vlerësuar shpejtësia e kovergjecës ë terma të moduleve të pjesëshme së vazhdueshmërisë, si dhe Peetre K-fuksioelës. Për më tepër, është dhëë lidhja e këtyre operatorëve me GBS Geeralized Boolea Sum operatorët si dhe është studiuar shpejtësia e përafrimit me aë e klasës Lipschitz-it, për fuksioet e vazhdueshme sipas Bögel-it. Në fud, jaë dhëë disa shembuj të ilustrimit grafik me aë e të cilëve shihet shpejtësia e kovergjecës së këtyre operatorëve ë shqyrtim. 4. Kostruktimi i operatorëve të tipit Chlodowsky-Szász- Katorovich-Charlier për fuksioi me dy dryshore Në [94], Varma dhe Taşdele bëë lidhje dërmjet poliomeve ortogoale dhe operatorëve liearë pozitivë. Ata përkufizua jë tip të ri të operatorëve si kombiim të operatorëve të tipit Szász-it dhe poliomeve të Charlier-it si ë vijim L f ;,a = Π,k,a f k= k, ku Π,k,a = e a a 1 C j a 1 a k!, a > 1 dhe [,. Disa gjeeralizime të operatorëve të tipit Szász, duke u bazuar ë poliomet e Charlier, jaë studiuar ë [5, 6, 7]. Po ashtu, jaë bërë shumë gjeeralizime për operatorët e Berstei-Chlodowsky-it: k B f ; = p,k f k= a a 59

72 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE ku p a,k = k k k a 1 a, a dhe a varg i umrave pozitivë të tillë a që lim a = ad lim =. Agrawal dhe Ispir ë [73] përkufizua operatorët e tipit Szász-Chlodowsky-Charlier me S m f ;,a = Π m, j b m y,a f j= j c m ;a > 1 ku b m,c m jaë vargje të umrave pozitivë të tillë që c m 1, b m 1 dhe lim 1/c m =,b m /c m = 1 O1/c m. Në veçati, Agrawal dhe Ispir [73] përkufizua rasti dydimesioal për këta operatorë si kombiim të operatorëve të tipit Berstei-Chlodowsky dhe Szász-Charlier si më poshtë: S a,m f ;,y = k= k p,k Π m, j b m y,a f j= a a, j c 4..1 ku,m N, f CI, I a = {,y : a,y } dhe CI a = { f : I a R është i vazhdueshëm }. Përafrimet e fuksioeve me peshë për rasti dydimesioal me aë të operatorëve të modifikuar të Szász-it, jaë studiuar ë [16, 58, 67]. Qëllimi i këtij paragrafi është shqyrtimi i operatorëve të përkufizuar ë [5], që jaë kombiim i operatorëve të tipit Katorovich dhe operatorëve të dhëë ë 4..1 si ë vijim: C a,m f ;,y = a c m k= p,k Π m, j b m y,a j= a j1 c m j cm k1 a ku a > 1, dhe vargjet a, b m,c m jaë të përkufizuara si më poshtë: k a f t, sdtds 4.. lim a / = ad lim 1/c m =, b m /c m = 1 O1/c m m Në vazhdim, do të shqyrtojmë përafrimi e operatorëve C,m a të dhëë ë 4.. ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme ë bashkësië kompakte I de = [,d] [,e] I a. Për I de = [,d] [,e], le të jetë CI de, hapësira e të gjithë fuksioeve me vlera reale ë I de, të pajisur me ormë f CIde = sup f,y.,y I de Le të jetë e i j : I a R, e i j,y = i y j, test-fuksio, ku,y I a, i, j N N të tillë që i j 4. Për të vërtetuar rezultatet kryesore të këtij kapitulli marrim: Lemë [5] Vlejë relacioet vijuese: i C a,me ;,y = 1; ii C a,me 1 ;,y = a ; iii C a,me 1 ;,y = b my c m 3 c m ; 6

73 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE iv C a,me ;,y = 1 1 a a 3 ; v C a,me ;,y = b my c m vi C a,me 3 ;,y = b3 my 3 c 3 m vii C a,me 4 ;,y = b4 my 4 b my c 4 m c 4 m b my c m b my c 3 m b3 my 3 c 4 m 1 ; 3c m a 1 4 a 1 6 a a 1 b m y c 3 m 1 6 b a 1 my c 4 m c 4 m a 1 4 a 1 45 a a 1 37 ; 4c 3 m Rrjedhim 4... [5] Nga lieariteti i operatorëve C,m, a si dhe duke zbatuar Lemë 4..1, kemi C,m a e1 ;,y = a a 3 ; C,m a e1 y ;,y bm = 1 y bm c m c y 1 m a 1 c m 3c. m Kështu, për çdo,y I a, dhe për dhe m mjaft të mëdha, duke marrë ë kosiderim Lemë 4..1, Rrjedhimi 4.., si dhe relacioi 4..3, mud të shkruajmë dhe C a,m e1 ;,y = O C a,m e1 4 ;,y = O a a C,m a e1 y ;,y τa c m C,m a e1 y 4 ;,y ωa c m i= i= 4 i= 4 i= i ; 4..4 i ; 4..5 y i ; 4..6 y i ; 4..7 ku τa dhe ωa jaë kostate që uk vare ga a > 1. Për,y I de dhe ga relacioet 4..4 dhe 4..6 mud të shkruajmë C,m a e1 ;,y a a 3 a d d a a 3 = ρda 4..8 C,m a e1 y ;,y τa y y 1 τa b b 1 = γa 4..9 c m c m c m ku ρd është kostate që varet ga d dhe γa është kostate që varet ga a > 1. Në veçati, le të jetë δ = C,m a e 1 ;,y, δ m y = C,m a e1 y ;,y dhe δ,m,y = O a i τa c m 1/. y i i= i= 61

74 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE Përkufizim [3] Për f CI de dhe δ >, moduli i vazhdueshmërisë së fuksioit f,y përkufizohet me shprehje: ω f ;δ,δ m = sup{ f t,s f,y : t,s,,y I de, t δ, s y δ m }, kurse modulet e pjesëshme ë lidhje me dhe y jepe me relacioet: ω 1 f ;δ = sup ω f ;δ = sup sup y e 1 δ sup d y 1 y δ { f 1,y f,y }, { f,y 1 f,y }. Përkufizim [9] Për f CI de dhe δ >, Peetre K-fuksioali dhe moduli i redit të dytë të lëmueshmërisë së fuksioit f përkufizohe me ifimumi: { } g K f ;δ = if f g δ C, g C I de CI de I de dhe suprimumi: ω f ;δ = sup t s δ t,s f,y, respektivisht, ku t,s f,y = 1 j j f jt,y js. Në këtë rast, C I de është j= hapësira e të gjitha fuksioeve f të tilla që i f i, i f y i CI de, i = 1,. Norma ë hapësirë C I de përkufizohet me f C I de = f CI de i f i i=1 CIde i f y i CIde. Nga [71], faqe 19 ekzisto kostata pozitive, e pavarur ga δ dhe f e tillë që K f ;δ L { ω f ;δ mi1,δ f CIde }. Për të studiuar kovergjecë e vargut operatorëve { C a,m f ;,y } do të zbatojmë teoremë e tipit Korovki, të dhëë ga Volkov [95]. Teoremë [5] Në qoftë se f CI de, atëherë vargu i operatorëve C a,m i dhëë me relacioi 4.. kovergjo uiformisht kah fuksioi f ë bashkësië kompakte I de, kur,m. Vërtetim. Duke u bazuar ë Lemë 4..1, dhe duke pasur parasysh relacioi 4.., gjejmë lim C a,m,me i j ;,y e i j =, i, j =,1,, CIde 6

75 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE dhe lim,m C,me a e ;,y e e CIde =. Vërtetimi i teoremës kompletohet me zbatimi e teoremës Volkov të dhëë ë puimi [95]. Në vijim japim disa shembuj të ilustrimit grafik të kovergjecës së operatorëve C a,m f ;,y kah fuksioi f,y. Shembulli Le të marrim ë shqyrtim fuksioi f : R R, të dhëë me f,y = y e y. Për = m = 5, dhe a =, a =, b m = m, c m = m 1 m kovergjeca e operatorëve Chlodowsky-Szász-Katorovich-Charlier C a,m f ;,y gjyra e zezë kah fuksioi f,y gjyra e gjelbër, është ilustruar ë figurë a. Shembulli Le të marrim ë shqyrtim fuksioi f : R R të përkufizuar me f,y = e cosπy. Për = m = 5, dhe a =, a =, b m = m, c m = m 1 m kovergjeca e operatorëve Chlodowsky-Szász-Katorovich-Charlier C,m a f ;,y gjyra e zezë kah fuksioi f,y gjyra e gjelbër, është ilustruar ë figurë b. a b Në vijim shqyrtojmë, teoremë mbi përafrimi e operatorëve të përkufizuar ë 4.. kah fuksioi f, me aë e modulit të vazhdueshmërisë së fuksioit. Teoremë 4... [5] Le të jetë f CI de, atëherë vlejë mosbarazitë vijuese: C,m a f ;,y f,y ω 1 f ;δ ω f ;δ m C,m a f ;,y f,y ω f ;δ,m ku δ = δ, δ m = δ m y dhe δ,m = δ,m,y. Vërtetim. Nga relacioi 4.., duke shfrytëzuar Lemë 4..1 si dhe përkufizimi e modulit të pjesshëm të vazhdueshmërisë së fuksioit f,y, mud të shkruajmë 63

76 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE C,m a f ;,y f,y C,m a f t,s f,y ;,y C,m a f t,s f,s ;,y C,m a f,s f,y ;,y C,m a ω 1 f ; t ;,y C,m a ω f ; s y ;,y ω 1 f ;δ 1 δ 1 C,m t a ;,y ω f ;δ m 1 δm 1 C,m s a y ;,y. Në këtë mëyrë, duke aplikuar mosbarazimi Cauchy-Schwarz-it, ë mosbarazimi e mësipërm, fitojmë C,m a f ;,y f,y ω 1 f ;δ ω f ;δ m 1 1 { C a δ,m e 1 ;,y } 1/ 1 1 { C a δ,m e 1 y ;,y } 1/. Në fud, për,y I de, duke marrë δ = δ dhe δ m = δ m, mejëherë vijmë te vërtetimi i teoremës. Vërtetojmë pjesë e dytë të teoremës. Në bazë të relacioeve 4..3 dhe 4..5 si dhe vetive të johura të modulit të vazhdueshmërisë, kemi C,m a f ;,y f,y C,m a ω f ; ω f ;δ,m t s y ;,y 1 1 δ,m C a,m t s y ;,y. Aplikojmë sërish mosbarazimi Cauchy-Schwarz-it dhe marrim mosbarazimi vijues: C,m a f ;,y f,y ω f ;δ,m 1 1 Duke marrë δ,m = ω f ;δ,m 1 1 δ,m δ,m O C a,mt s y ;,y a i= i τa c m i= y i 1/ 1/ O a i= i τa c m i= yi 1/, mejëherë vijmë deri te vërtetimi i teoremës. Në vijim përkufizojmë klasë e fuksioeve Lipschitz, për rasti e fuksioit me dy variabla. Për < γ 1 1 dhe < γ 1 le të jetë ku t,s,,y I de. Lip L f ;γ 1,γ = { f : f t,s f,y L t γ 1 s y γ }. 64

77 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE Teoremë [5] Supozojmë se f Lip L f ;γ 1,γ. Atëherë, për çdo,y I de, kemi C,m a f ;,y f,y Lδ γ1/ δ m γ/, ku δ = δ dhe δ m = δ m y. Vërtetim. Duke pasur parasysh se f Lip L f ;γ 1,γ, ga lieariteti dhe mootoia e operatorit C a,m f ;,y, kemi C,m a f ;,y f,y C,m a f t,s f,y ;,y LC a,m t γ 1 s y γ ;,y L C t γ 1 ;,y ys a m s y γ ;,y. Për u 1,v 1 = γ 1, 1 γ 1 dhe u,v = γ, 1 γ, aplikojmë mosbarazimi e Hölder-it, dhe fitojmë C,m a f ;,y f,y L C t ;;y γ 1 / y S s y ;;y γ / δ γ 1/ δ m γ /, prej ga rrjedh edhe vërtetimi i teoremës. Teoremë [5] Le të jetë f CI de. Marrim ë kosiderim operatori e modifikuar Ĉ,m a f ;,y = C,m a f ;,y f,y f a, b my c m c m Atëherë, për çdo g C I de, marrim vlerësimi C,m a f ;,y f,y L {ω f ; χ,m,y } mi{1, χ,m,y} f CIde ω f ; a b my c m c 3 m y, ku χ,m,y = O a 1 a τa c m y y 1 b m c m y3. Vërtetim. Nga relacioi 4..1 dhe ga Lema 4..1, kemi Ĉ a,m1;,y = 1, Ĉ a,mu ;,y =, dhe Ĉ a,mv y;,y =. Nga zbërthimi i Taylor-it, për fuksioi g C I de, mud të shkruajmë: gu,v g,y = g,y u u u η gη,y η dη g,y v v y v ζ g,ζ y ζ dζ y 65 c m

78 4.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY-SZÁSZ-KANTOROVICH-CHARLIER PËR FUNKSIONIN ME DY NDRYSHORE Duke aplikuar operatori Ĉ a,m f ;,y ë të dy aët e barazimit të mësipërm si dhe duke shfrytëzuar Lemë 4..1 marrim Ĉ,mgu,v;,y a g,y = Ĉ,m a Ĉ a,m = C,m a C a,m v y v y u u v ζ g,ζ ζ u η gη,y η v ζ gζ, ζ u η gη,y η dζ ;,y dη;,y dζ ;,y dη;,y a bmy cm cm 3 y a η g,η η dη b my c m 3 c m ζ g,ζ ζ dζ. Në aa tjetër, meqeëse u u η gη,y dη η u u η gη,y dη η u g C I de u η gη,y dη g η C I de u, dhe a a η gη,y dη η a g C I de, ë mëyrë të gjashme v v ζ g,ζ dζ ζ y g C I de v y, dhe bmy cm 3 cm b my c m c 3 m ζ g,ζ dζ ζ y b my përfudojmë se c m 3 c m y g C I de, Ĉ,m a g;,y g,y u C a,m u η gη,y η dη ;,y a a η g,η η dη C,m a v v ζ g,ζ ζ dζ ;,y y 66

79 4.3. PËRAFRIMET NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME SIPAS BÖGEL-IT y { b my 3 ζ g,ζ c m c m ζ dζ ysm v y ;,y bm y 3 } y c m c m bmy cm cm 3 { O { C u ;,y g C Ide a 1 a τa y y 1 b m c m y 3 c m c m a } g C Ide } g C I de = χ,m,y g C I de Përveç kësaj, ga relacioet 4.. dhe 4..1 si dhe ga Lema 4..1, kemi Ĉ,m a f ;,y C,m a f ;,y f,y f a, b my 3 c m c m 3 f CIde Në këtë mëyrë, ga relacioet 4.. dhe 4..1, kemi C a,m f ;,y f,y = Ĉ a,m f ;,y f,y f a, b my c m 3 c m f,y Ĉ,m a f g;,y Ĉ a,m g;,y g,y g,y f,y f a, b my 3 f,y c m c m 4 f g CI de Ĉ,m a g;,y g,y f a, b my 3 f,y c m c m 4 f g CIab χ,,y g CIde ω a bm y f ; 3 y 4K f ; χ,m,y c m c m ω a bm y f ; 3 y L {ω f ; χ,m,y c m c m } mi{1, χ,m,y} f CIde ω Me këtë kompletohet edhe vërtetimi i teoremës. f ; a bm y 3 y. c m c m 4.3 Përafrimet ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme sipas Bögel-it Në këtë paragraf jaë përgjithësuar operatorët e përkufizuar me relacioi 4.. për fuksioet B-të vazhdueshme. Në fillim, jaë përkufizuar GBS-operatorët ë lidhje me oper- 67

80 4.3. PËRAFRIMET NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME SIPAS BÖGEL-IT atorët e tipit Chlodowsky-Szasz-Katorovich-Charlier, me aë të cilëve pastaj jaë shqyrtuar vetitë e lëmueshmërisë për këta operatorë. Kuptimet e B-vazhdueshmërisë dhe B- diferecueshmërisë së pari jaë iicuar ga Bogel ë [55, 56]. Për të shqyrtuar përafrimi uiform të fuksioeve B-të vazhdueshme përdorë GBS-operatorët. Për herë të parë kuptimi i GBS-operatorëve është përkufizuar ga Badea dhe të tjerë ë [8, 3]. Teoremat e përafrimit të fuksioeve B-të vazhdueshme dhe B-të diferecueshme jaë përkufizuar dhe vërtetuar ga Bogel dhe të tjerë ë [56]. Kohët e fudit, Agrawal dhe Ispir ë [73] shqyrtua shpejtësië e përafrimit për operatorët dydimesioal të tipit Chlodowsky-Szasz- Charlier, dërsa ë [74] autorët përkufizua GBS-operatorët e tipit Lupas-Durrmayer, dhe shqyrtua shpejtësië e përafrimit të këtyre operatorëve me aë të modulit të përzier të lëmueshmërisë, si dhe K-fuksioelës. Në veçati, ë [75] Agrawal dhe Sidhard shqyrtua përafrimi e fuksioeve të vazhdueshme sipas Bogel-it me aë të klasës së fuksioeve të Lipschitz-it, modulit të përzier të lëmueshmërisë si dhe K-fuksioelës. Kotribut të madh ë teorië e përafrimeve kaë dhëë autorët ë puimet [7, 9, 51, 58, 6, 69, 71]. Duke u ispiruar ga pua e mësipërme, përkufizojmë GBS-operatorët ë lidhje me operatorët e dhëë me relacioi 4... Për të paraqitur rezultatet toa ë fillim a duhe disa kuptime dhe përkufizime. Detaje ë lidhje me këto përkufizime mud të gjede ë [55, 56]. Le të jeë I dhe J itervale reale kompakte dhe A = I J. Për çdo fuksio f : A R dhe për çdo u,v,,y A, le të jetë u,v f,y operatori i përzier i diferecës i përkufizuar me u,v f,y = f u,v f u,y f,v f,y. Fuksioi f : A R është i vazhdueshëm sipas Bögel B-i vazhdueshëm ë pikë,y A atëherë dhe vetëm atëherë, ëse vleë: lim u,v f,y =. u,v,y Nëse f është B-i vazhdueshëm ë pikë,y A atëherë f është B-i vazhdueshëm ë A. Përkufizojmë me C b A = { f f : A R, f është B i ku f izuar ë A}, hapësirë e të gjitha fuksioeve B-të vazhdueshme ë A. Fuksioi f : A R thuhet se është B-i diferecueshëm ë pikë,y A ëse ekzisto dhe është i fudmë limiti: lim u,v,y u,v f,y u v y. Shkurtimisht shëohet me D B f,y. Përkufizojmë me D b A = { f f : A R, f është B i diferecueshëm ë A}. Fuksioi f : A R është B-i kufizuar ë D ë qoftë se ekzisto kostata K > e tillë që për çdo u,v,,y A vle u,v f,y K. Pradaj, meqëëse A është ëbashkësi kompakte, çdo fuksio B-i vazhdueshëm është edhe B-i kufizuar ë A R. Shëojmë me B b A, bashkësië e të gjithë fuksioeve B-të kufizuara ë A të pajisur me ormë f B = sup u,v f,y. Për të vlerësuar shpejtësië e përafrimit të jë fuksioi B-,y,u,v A të vazhdueshëm, duke përdorur operatorët liearë pozitivë jë elemet i rëdësishëm është moduli i përzier i vazhdueshmërisë së operatorit. Le të jetë f B b I de. Moduli i përzier i vazhdueshmërisë së fuksioit f është fuksioi ω B : [, [, R, i përkufizuar me 68

81 4.3. PËRAFRIMET NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME SIPAS BÖGEL-IT suprimumi: ω B f ;δ 1,δ = sup{ u,v f,y : u δ 1, v y δ, për çdo u,v,,y A}. Për I de = [,d] [,e], le të jetë C b I de hapësira e të gjithë fuksioeve B-të vazhdueshme ë I de, dërsa CI de hapësira e fuksioeve të vazhdueshme ë mëyrë të zakoshme ë I de. Për çdo f CI de dhe,m N, përkufizojmë GBS operatorët me dihme operatorëve C a,m me formulë: S a,m f t,s;,y = C a,m f t,y f,s f t,s;,y, për çdo,y I de. Me fjalë tjera, për çdo f CI de, GBS operatori i tipit Chlodowsky-Szász-Katorovich- Charlier, jepet me barazimi: S a,m f ;,y = a c m k= j1 c m j cm p,k Π m, j b m y,a j= a k1 a k a f t,y f,s f t,s;,ydtds. Teoremë [5] Në qoftë se f C b I de, atëherë për çdo,y I de, dhe m, N, kemi Sm, a f t,s;,y f,y 4ω B f ;δ,δ m, ku δ = ρa a 1/ dhe δm = ςa 1/ c m. Vërtetim. Nga vetitë e modulit të përzier të vazhdueshmërisë ω B kemi,y f t,s ωb f ; t, s y 1 1 t δ s y δ m ω B f ;δ,δ m, 4.3. ku,y,t,s I de dhe δ,δ m >. Në këtë mëyrë, ga mootoia dhe lieariteti i operatorit S a,m f t,s;,y, duke shfrytëzuar mosbarazimi Cauchy-Schwarz-it, sipas relacioit 4.3. rrjedh S,m a f t,s;,y f,y C,m a,y f t,s ;,y C,m a e ;,y 1 C a,m e1 ;,y 1/ δ 1 C a,m e1 y ;,y 1/ 1 C a,m e1 ;,y 1/ δ m δ 69

82 4.3. PËRAFRIMET NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME SIPAS BÖGEL-IT 1 C a,m e1 y ;,y 1/ ω B f ;δ,δ m. δ m Tai ga mosbarazimet 4..8 dhe 4..9, kemi S a,m f t,s;,y f,y {1 1δ ρa a 1 ρa a δ δ m 1/ 1 δ m ςa 1/ ςa c m c m 1/ 1/ }. Duke marrë δ = ρa a 1/ dhe δm = ςa 1/ c m drejtpërdrejtë rrjedh vërtetimi i teoremës. Përafrimet e fuksioeve B-të vazhdueshme ë klasë Lipschitz. Për < γ 1, le të jetë Lip L γ = { f CI a :,y f [t,s;,y] L r s γ}, { } 1/ ku r = u,v,s =,y I a dhe r s = u v y orma Euklidiae. Duke shfrytëzuar përkufizimi Lipschitz të dhëë më sipër marrim rezultati: Teoremë [5] Në qoftë se f Lip L γ, atëherë për çdo,y I de, kemi S a,m f t,s;,y f,y L{δ δ m y} γ/, ku L >, dhe γ,1]. Vërtetim. Duke shfrytëzuar përkufizimi e operatorëve S a,m f t,s;,y mud të shkruajmë: S a,m f t,s;,y = C a,m f,s f t,y f t,s;,y = = C a,m f,y,y f t,s;,y = f,yc a,m e ;,y C a,m,y f t,s;,y. Nga supozimi i teoremës, kemi S a,m f t,s;,y f,y C a,m,y f t,s ;,y LC a,m r s γ ;,y. Duke zbatuar mosbarazimi e Hölder-it për u 1 = γ ad v 1 = gjejmë S a,m f t,s;,y f,y L { C a,m r s,,y } γ/ γ L { C,m u,,y C a,m v y,,y } γ/, prej ga përfudo edhe vërtetimi i teoremës. 7, dhe Rrjedhimi 4..,

83 4.3. PËRAFRIMET NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME SIPAS BÖGEL-IT Teoremë [5] Nëse f D b I de dhe D B f BI de, atëherë për çdo,y I de, kemi { S,m a f ;,y f,y C 3 D B f ω mied f ;δ,δ m } y y 1 δ δ m { ω mied f ;δ,δ m δ m 4 3 y y 1 } δ y 4 y 3 y y 1, ku δ = ga,m. a, δ m = ηa c m, ηa = ma{τa,ωa} dhe C është kostate që varet vetëm Vërtetim. Nga supozimi se f D b I de, ë [55] faqe 6 tregohet se vleë: Qartazi,,y f t,s = t s yd B f α,β, ku < α < t ; y < β < s. D B f α,β =,y D B f α,β D B f α,y D B f,β D B f,y. Meqëëse D B f BI de, ga barazimi i mësipërm, kemi S a,m,y f t,s;,y = S a,mt s yd B f α,β;,y S a,m t s y,y D B f α,β ;,y S a,m t s y D B f α,y D B f,β D B f,y ;,y S a,m t s y ω mied D B f ; α, β y ;,y 3 D B f S a,m t s y ;,y Nga vetitë e modulit të përzier të lëmueshmërisë ω mied, mud të shkruajmë ω mied D B f ; α, β y ω mied D B f ; t, s y 1 δ 1 t 1 δm 1 s y ω mied D B f ;δ,δ m Me kombiimi e relacioeve dhe si dhe duke zbatuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it, gjejmë S a,m f ;,y f,y = S a,m,y f t,s;,y 3 D B f S a,mt s y ;,y δ 1 δ 1 S a,m t s y ;,y S,mt a s y ;,y δm 1 S,m t a s y ;,y δ 1 S,mt a s y ;,y ω mied D B f ;δ,δ m m 3 D B f S a,mt s y ;,y S a,mt s y ;,y 71

84 4.4. PËRAFRIMET STATISTIKORE NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE B- TË VAZHDUESHME δ 1 S,mt a 4 s y ;,y δm 1 S,mt a s y 4 ;,y δ 1 δm 1 S,mt a s y ;,y ω mied D B f ;δ,δ m Prej ga për,y,t,s I de dhe i, j {1,}, kemi S a,mt i s y j ;,y = B t i ; yp m s y j ;y, dhe sipas Rrjedhimit 4.., vlejë: B t ; a = O, B t 4 ; a = O 4 3, ypm s y ;y τa y y 1 c m ypm s y 4 ;y ωa y 4 y 3 y y 1, c m a duke kombiuar relacioet dhe 4.3.6, si dhe duke zgjedhur δ =,δ m = ηa dhe ηa = maτa,ωa, mejëherë vijmë deri të vërtetimi i teoremës. c m 4.4 Përafrimet Statistikore ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme sipas Bögel Në këtë paragraf është shqyrtuar shpejtësia e kovergjecës A-statistikore me aë të GBS operatorëve të tipit Chlodowsky-Szász-Katorovich-Charlier, ë hapësirë e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme sipas Bogel-it ë dojë ëbashkësi kompakte të drejtëzës reale. Japim disa kuptime dhe përkufizime të evojshme të cilat a duhe për të fituar rezultatet kryesore të këtij paragrafi. Thuhet se vargu i dyfishtë = { m, }, ku m, N, kovergjo sipas Prigsheim-it ë, ë qoftë se, për çdo ε >, ekzisto N = Nε N i tillë që m, L < ε saherë që m, > N. Fakti se L është limit i Prigsheim të vargut = { m, } e shëojmë me P lim = L shih [9]. Në këtë rast, themi se = { m, } P-kovergjo kah L. Për më tepër, ëse ekzisto umri pozitiv M i tillë që m, M për çdo m, N = N N, atëherë vargu = { m, } thuhet se është i kufizuar. Thuhet se vargu i jëfishtë është kovergjet, ëse ai është i kufizuar. Por ë rasti, e vargut të dyfishtë kjo uk është e vërtetë d.m.th. ga kovergjeca e vargut dyfishtë sipas Prigsheim-it uk rrjedh se ai është i kufizuar. Tai le të jetë A = [a j,k,m, ], j,k,m, N, matricë katër-dimezioale e shumueshme. Për vargu e dyfishtë = { m, }, A-trasformati i it, shëohet me A := {A j,k }, dhe përkufizohet 7

85 4.4. PËRAFRIMET STATISTIKORE NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE B- TË VAZHDUESHME me barazimi: A j,k = m, N a j,k,m, m,, j,k N. Mud provohet se seria e dyfishtë kovergjo sipas Prigsheim-it për çdo j,k N. Në teorië e shumueshmërisë trasformati i matricës dydimesioale thuhet se është regular ëse çdo varg kovergjet, e pasqyro ë jë varg kovergjet, tek i jëjti limit. Një karakterizim i regularitetit për trasformimet e matricës dy dimesioale jihet si kodita e Silverma-Toeplitz shih [53]. Në viti 196, Robiso [43] prezetoi ë mëyrë aaloge regulariteti për matricë katërdimesioale ë supozimi e disa kushteve shtesë mbi kufizueshmërië. Ky supozim u bë për arsye se vargu i dyfishtë P-kovergjet domosdo uk është i kufizuar. Defiimi dhe karakterizimi i regularitetit për matricat katërdimesioale jihe si kushtet e Robiso-Hamilto-it apo shkurtimisht RH-regulariteti shih [46], [43]. Thuhet se matrica katërdimesioale A = [a j,k,m, ] është RH-regulare ëse çdo varg të kufizuar P-kovergjet e pasqyro ë jë varg P-kovergjet tek i jëjti P-limit. Kodita e Robiso-Hamilto trego se matrica katër dimesioale A = [a j,k,m, ] është RH-regulare atëherë dhe vetëm atëherë i Për çdo m, N, vle P lim j,k a j,k,m, =, ii P lim j,k a j,k,m, = 1, m, N iii për çdo N vle, P lim j,k iv për çdo m N, P lim j,k v për çdo j,k N seria N m N a j,k,m, =, a j,k,m, =, a j,k,m, është P kovergjete, m, N vi ekzistojë umrat e plotë dhe të fudmë A dhe B të tillë që për çdo j,k N, të vlejë a j,k,m, < A m,>b Tai, le të jetë A = [a j,k,m, ] matricë joegative e shumueshme dhe RH-regulare, dhe le të jetë K N. Atëherë, vargu i dyfishtë real = { m, } thuhet se kovergjo A-statistikisht kah umri L ëse, për çdo ε >, vle ku P lim j,k m, Kε a j,k,m, =, Kε := {m, N : m, L ε}. Në këtë rast shkruajmë st A lim m, m, = L. Provohet se, vargu i dyfishtë i cili është P- koverget, është po ashtu A-statistikisht kovergjet dhe kovergjo tek e jëjta vlerë, 73

86 4.4. PËRAFRIMET STATISTIKORE NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE B- TË VAZHDUESHME mirëpo e aasjellta uk është e vërtetë. Duhet theksuar se ëse marrim matricë e dyfishtë A = C1, 1, atëherë kovergjeca C1, 1-statistikore kthehet ë kovergjecë statistikore për vargu e dyfishtë. Detaje më të hollësishme mud të gjede ë [36], [61]. Në fud, ëse ë ved të matricës A marrim matricë idetitet katërdimezioale, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë sipas Prigsheim-it. Përkufizim [37] Let A = [a j,k,m, ] matricë joegative e shumueshme RH-regulare dhe le të jetë {α m, } varg i dyfishtë jozvogëlues i umrave pozitivë. Thuhet se vargu i dyfishtë = { m, } është A-statistikisht kovergjet tek umri L me shkallë oα m,, ëse për çdo ε >, P lim j,k 1 α j,k ku Kε = {m, N : m, L ε}. Në këtë rast shkruajmë a j,k,m, =, m, Kε m, L = st A oα m, kur. Përkufizim [37] Le të jetë A = [a j,k,m, ] matricë joegative e shumueshme RHregulare dhe{α m, } varg i dyfishtë jozvogëlues i umrave pozitivë. Atëherë, vargu i dyfishtë = m, kovergjo A- statistikisht kah umri A me shkallë o m, α m, ëse për çdo ε >, P lim a j,k,m, =, j,k m, Mε ku Kε = {m, N : m, L ε}. Në këtë rast shkruajmë m, L = st A o m,α m, as m,. Le të jeë e t,s = 1, e 1 t,s = t,e t,s = s,e 3 t,s = t s, test fuksioe. Teorema ë vijim trego përafrimi statistikor me aë të operatorëve liearë pozitivë ë hapësirë e të gjitha fuksioeve B-të vazhdueshme ë dojë ëbashkësi kompakte të drejtëzës reale. Teoremë [38] Le të jetë A = [a j,k,m, ] matricë joegative e shumueshme RH-regulare dhe le të jetë {L,m } varg i operatorëve liearë pozitivë ga C b D ë B b D. Supozojmë se plotësohe koditat: dhe Atëherë, për çdo f C b D, kemi δ A { m, N : L m, e ;,y = 1 për çdo,y I ab } st A lim L m, e i e i CD =, përi =,1,,3. m, lim L m, m, f f =, ku L m, f t,s;,y = L,m f t,y f,s f t,s;,y. 74

87 4.4. PËRAFRIMET STATISTIKORE NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE B- TË VAZHDUESHME Se kjo teoremë është me e fuqishme se sa rezultatet klasike të përkufizuar ga Badea dhe të tjerë ë [8] tregohet ë [38] Vërejtja.3. Nëse ë Teoremë 4.4.1, matrica A zëvedësohet me matricë dyfishtë idetitet fitohe rezultatet klasike të dhëa ë [8]. Nga [37] teorema.7 mud të jerrim rezultati: Teoremë Le të jetë A = [a j,k,m, ] matricë joegative e shumueshme RH-regulare dhe le të jetë {S a,m} varg i operatorëve liearë pozitivë i përkufizuar me relacioi Le të jeë {α m, } dhe {β m, } vargje jozvogëluese. Supozojmë se plotësohet kodita: 1 P lim j,k α j,k a j,k,m, = 1, m,k K ku K = {m, N : S a,me ;,y = 1 për çdo,y I ab } dhe ku γ m, = ω f ;γ m,,δ m, = st A Oβ m, kur, 4.4. S,mt a ; dhe δ m, = S,ms a y ;. Atëherë, për çdo f C B I a b, vle S,m a f ; f = st A oc m, kur m,, ku c m, = {α m,,β m, } për çdo m, N. Vërtetim. Le të jeë,y I a,b dhe f C B I ab. Atëherë ga relacioi 4.4. kemi: Në Teoremë 4.3.1, vërtetuam se ku δ = ρa a 1/ dhe δm = ë vijim: 1 P lim j,k α j,k a j,k,m, = m,k N \K S a m, f t,s;,y f,y 4ω B f ;δ,δ m, ςa c m 1/. Tai, le të jetë ε >, përkufizojmë bashkësitë si T = {m, N : S a m, f t,s;,y f,y ε} T 1 = {m, N : ω B f ;δ,δ m ε/ Atëherë, ga Teorema 4.4.1, lehtë provohet se vleë: kështu që për, j,k N, kemi 1 c j,k a j,k,m, 1 c m,k T K j,k T K T 1 K, a j,k,m, 1 β m,k T 1 j,k m,k T 1 a j,k,m,, ku c m, = ma{α m,,β m, }. Nëse veprojmë me limit ë të relacioi 4.4.5, kur j,k, dhe duke shfrytëzuar 4.4., mud të përfudojmë se 1 P lim j,k α j,k a j,k,m, = m,k T K 75

88 4.4. PËRAFRIMET STATISTIKORE NË HAPËSIRËN E FUNKSIONEVE B- TË VAZHDUESHME Veçaërisht, duke shfrytëzuar mosbarazimi rrjedh që a j,k,m, m,k T 1 c j,k a j,k,m, m,k T K m,k T K a j,k,m, a j,k,m, m,k T N \K m,k N \K a j,k,m, 1 c m,k T j,k a j,k,m, m,k T K 1 c j,k m,k T K a j,k,m, a j,k,m,, m,k N \K a j,k,m, Tai, veprojmë me limit kur j,k ë 4.4.8, atëherë ga dhe kemi: 1 P lim j,k α j,k a j,k,m, = 1. m,k N \K Që duhej të vërtetohet. Rast i veçatë ëse matrica A zëvëdësohet me matricë e dyfishtë idetitet dhe duke marrë α m, = β m, = 1 për çdo m, N, atëherë kovergjeca A-statistikore kthehet ë kovergjecë të zakoshme. Kjo trego se kovergjeca A-statistikore është më e fortë se kovergjeca e zakoshme. 76

89 Kapitulli Vetitë e përafrimet të disa tipeve të kombiuara të operatorëve me operatorët e tipit Chlodowsky Në këtë kapitull jaë përkufizuar operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-schurer-stacu -Katorovich si dhe jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve statistikore me peshë. Po ashtu jaë bërë disa modifikime të operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich ë domeë e pakufizuar dhe është studiuar shpejtësia e kovergjecës ë terma të klasës së fuksioeve Lipschitz si dhe modulit komplet të vazhdueshmërisë. Sidomos jaë shqyrtuar vetitë e përafrimeve me peshë për këta operatorë. Gjithashtu, është bërë jë gjeeralizim tjetër i cili mud të përdoret për të përafruar fuksioet e vazhdueshme me peshë ë hapësirat më të përgjithshme. Jaë marrë disa shembuj të ilustrimit grafik që tregojë kovergjecë e këtyre operatorëve kah fuksioi. Në fud jaë përkufizuar GBS operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich, dhe është shqyrtuar shpejtësia e kovergjecës së këtyre operatorëve me dihmë e modulit të përzier të lëmueshmërisë. 5. Kostruktimi i operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei-schurer-stacu-katorovich Në dekadë e fudit aplikimi i q-kalkulusit është bërë jë fushë shumë e rëdësishme e kërkimeve ë teorië e përafrimeve [1]. Në viti 1987 Lupas ë [11] përkufizoi jë modifikim të operatorëve të Berstei-it, dërsa dhjetë vite me voë ishte Phillips ë [39] që gjeeralizoi këta operatorë duke u bazuar ë q-umrat e plotë. Poliomet me dy dryshore të tipit q-berstei ë lidhje me përafrimet e llojit Korovki jaë studiuar ë [3, 7]. Kohët e fudit, Karsli dhe Gupta [47] përkufizua operatorët e tipit q-berstei-chlodowsky që jaë gjeeralizim i operatorëve të tipit q-berstei-it ë jë domeë të pakufizuar dhe që jepe me barazimi: C f,q, = [ [k]q f a k= [] q k ] q a k k 1 1 q s s= ku a dhe {a } është varg i umrave pozitivë të tillë që lim a = dhe lim. a, a [] q = 77

90 5.. KONSTRUKTIMI I OPERATORËVE TË TIPIT CHLODOWSKY Më pastaj, Vedi dhe Ozarsla ë [87] përkufizua dhe shqyrtua vetitë e operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich. Ata vërtetua teoremë e përafrimit Korovki si dhe shqyrtua shpejtësië e kovergjecës përmes modulit të redit parë dhe dytë të vazhdueshmërisë si dhe klasës së fuksioeve Lipschitz. Për 1 N, p 1 N dhe a 1, operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei Stacu-Katorovich jaë të përkufizuar ë [87] me barazimi C α 1,β 1 1 p 1 f ;q 1,= [ 1p 1 1 p 1 k 1 = k 1 p k= ] q 1 s= k1 a p 1 k 1 1 a 1 q 1 f q k 1 1 t 1 [k 1 ] q 1 α 1 [ 1 1] q 1 β 1 a 1 dq 1 t 1 ku α 1,β 1 R jaë të tillë që < α 1 β 1 dërsa < q < 1. Li ë [89] përkufizoi operatorët e tipit q-berstei-schurer-stacu-kotorovich K,p α,β f ;q; : C[,1 p] C[,1], që jepe me barazimi: [ ] K,p α,β p f ;q; = k p k q s t f q[k α] q d q t, k [ 1 β] q [ 1 β] q ku 1, dhe α β. Le të jetë b varg rritës i umrave realë pozitivë i cili plotëso kushti lim b =, atëherë vargu b [] kovergjo ë zero kur, ku {q q } është varg i umrave realë i tillë që < q 1 për çdo dhe lim q = 1. Në [3] jaë kostruktuar operatorët e tipit Chlodowski q-berstei-schurer-stacu-katorovich për fuksioi f siç vijo: T,p α,β p f ;q, = k= ku p p,k q; = [ p k ] 1 p p,k q; f t b [ 1 β] q q [k α] q b [ 1 β] q d q t, 5..1 k p k 1 b 1 q s b, b, N, p N dhe α,β jaë s= parametra që plotësojë kushti α β. Është e qartë se, T,p α,β f ; q, jaë operator liear pozitiv. Për të fituar rezultatet kryesore të paragrafit vijues a evojitet formulimi i lemave të mëposhtme: Lemë [3] Për operatori T,p α,β f ;q, ku f t = t i, i =,1, vlejë: i T α,β,p 1;q; = 1, ii T α,β,p t;q, = [p] qq α1 [1β] q iii T α,β,p b [1β] q 1 [] q q [α] q, t ;q, = qα3 [p] q [p 1] q [p] q [1β] [ q ] [] q q α1 q α [α] q q α Lemë 5... [3] Për operatorët T α,β,p [1β] q b b [1β] q 1 [3] q q [α] q [] q q [α] q. e përkufizuar me relacioi 5..1, vleë sup T α,β,p t ;q; b{ [p]q [1β] q q α1 1 1α[p] q b q [1β] q 1α [1β] q }. 78

91 5.3. PËRAFRIMET STATISTIKORE TË TIPIT KOROVKIN 5.3 Përafrimet statistikore të tipit Korovki Kocepti e kovergjecës statistikore ë teorië e përafrimeve me operatorët liearë pozitivë së pari e futë Gadijev dhe Orha [14]. Ata provua teoremë e tipit Bohma-Korovki për kovergjecë statistikore. Le të jetë R bashkësia e umrave realë. Fuksioi real ρ thuhet se është fuksio peshë ëse është i vazhdueshëm ë R dhe lim ρ =, ρ 1 për çdo R. Le të përkufizojmë B ρ R hapësirë me peshë të të gjithë fuksioeve f me vlera reale me vetië që f M f ρ për çdo R, ku M f është kostate që varet vetëm ga fuksioi f. Kosiderojmë ëhapësirë me peshë C ρ R = { f B ρ R : f i vazhdueshëm ë R } të hapësirës B ρ R të pajisur me ormë f ρ = sup B ρ R dhe C ρ R jaë hapësira të Baach-ut. R f ρ. Mud të provohet që Teoremë [14]. Në qoftë se vargu i operatorëve liearë pozitivë A : C[a,b] C[a,b], plotëso koditat: st A lim A e i ; e i C[a,b] =, për e i t = t i, i =,1,, atëherë për çdo f C[a,b], vle st A lim A f ; f C[a,b] =. Duke shfrytëzuar kovergjecë A-statistikore, Duma dhe Orha provua ë vijim teoremë e tipit Bohma-Korovki [7], teorema 3.1. Teoremë Le të jetë A = a j j, matricë joegative e shumueshme regulare dhe le të jetë L varg i operatorëve liearë pozitivë ga C ρ1 R ë B ρ R, ku ρ 1 dhe ρ plotësojë kushti: ρ 1 lim = ρ Atëherë st A lim L F v F v ρ1 =, v =,1, ku F v = v ρ 1, v =,1,. Në veçati, 1 duke marrë ë ved të matricës Cesaro A, matricë jesi, ga Teorema 5.3. rrjedh: Rrjedhim [7] Për çdo varg T 1 të operatorëve liearë pozitivë ga C ρ R ë C ρλ R, λ > vle atëherë dhe vetëm atëherë kur st A lim T f f ρλ =, f C ρ R, 5.3. st A lim T e i e i ρ =, i =,1,, ku ρ = 1. Le të jetë q = q, < q < 1, varg i umrave realë që plotëso kushtet: st A lim q = 1, st A lim q = a a < 1, st A lim b [] q =

92 5.3. PËRAFRIMET STATISTIKORE TË TIPIT KOROVKIN Teoremë [3] Nëse q = q plotëso koditë 5.3.4, atëherë për çdo fuksio f C ρ R, kemi: st A lim T,p α,β f ;q; f ρ =. Vërtetim. Për çdo f C ρ R, operatori T,p α,β f ;q, është i përkufizuar ë [,b ]. Le të zgjerojmë operatori ë R, pradaj po e përkufizojmë operatori T,p α,β me { T,p α,β α,β f,q, = T,p f ;q; ëse I b f, ëse R \I a. Norma T,p α,β f ;q; f ρ kosisto me ormë e elemetit T,p α,β f ;q; f ë hapësirë B ρλ [,b ] ku ρ λ = 1 λ, për λ. Duke aplikuar Rrjedhimi për operatori T T,p α,β, vërtetimi i teoremës kompletohet. Në këtë mëyrë e duhet provuar se operatori i plotëso koditat e relacioit Nga Teorema 5.3.1, duhet provuar që st A lim T,p α,β e i ;q, e i ρ = ku e i = t i për i =,1,. Është e qartë se Nga Lema 5..1 rasti ii kemi st A lim T α,β,p 1;q, 1 ρ =. T,p α,β T α,β α,β t;q, T t;q, t;q, ρ = sup [, 1 sup b 1 = { 1 q α1 } [ p] q = sup b 1 1 [ 1 β] q b 1 q[α] q [ 1 β] q [] q q α1 [ p] q 1 [ 1 β] q b b 1 q[α] q [ 1 β] q [] q q α1 [ p] q 1 [ 1 β] q b b 1 α [] q Shëojmë θ = q α1 [p] q [1β] q 1 b, dhe γ = b [] q 1α. Nga relacioi 5.3.4, rrjedh st A lim θ = st A lim γ =. Tai, për ε >, { le të përkufizojmë bashkësitë: } T 1 = : T,p α,β t;q; ρ ε, { } q T = : α1 [p] q [1β] q 1 b ε/, { } T 3 = : α1b [] q ε/. Atëherë, ga 5.3.5, tregohet lehtë se vleë T 1 T T 3, prej këtu rrjedh që a k a k. Rrjedhimisht, k T 1 k T a k k T 1 8

93 5.3. PËRAFRIMET STATISTIKORE TË TIPIT KOROVKIN st A lim K,p α,β t;q, ρ =. Nga Lema 5..1 rasti iii kemi T,p α,βt ;q; T α,β t ;q, α,β T t ;q, ρ = sup [, 1 sup b 1 { 1 q α3 [ p] q [ p 1] q sup b 1 [ 1 β] 1 q [ p] q b [ 1 β] q q α1 q α [α] q q α b 1 [] q [ 1 β] q[α] } q q [α] q q [3] q [] q q α [ p] q [ 1 β] 1 q [ p] q q α b [ 1 β] α[ p] q b q [ 1 β] 1 α b q [ 1 β] q [ p] q q α [ 1 β] 1 q 3 αb 1 [p] q 1 α [] q [] q [] b = α β γ. q Nga relacioi dhe ga idetitetet [ p] q = [] q q [p] q, [ 1 β] q = [] q q [β 1], kemi st lim α = st limβ = st lim γ =. Le të ε >. Atëherë, përkufizojmë { bashkësitë: } U = k : T,p α,β t ;q; ρ ε, U 1 = {k : α k ε/3}, U = {k : β k ε/3}, U 3 = {k : γ k ε/3}. Është e qartë, U U 1 U U 3, prej ga rrjedh se a k a k a k a k. k U k U 1 k U k U 3 Në këtë mëyrë, kemi: st A lim T,p α,β t ;q, ρ =. Teoremë [3] Në qoftë se f C B [,, dhe q = q është varg i umrave realë i tillë që < q < 1, atëherë kemi: T,p α,β f ;q; f ω f ; δ,p, ku, δ,q = T,p α,β t,q,. Vërtetim. Nga fakti që T,p α,β f ;q; është operator liear dhe pozitiv, duke aplikuar vetitë e mirëjohura të modulit të vazhdueshmërisë: kemi t f t f ω f,δ 1, përδ >, δ T α,β,p f ;q; f T α,β f t f ;q,,p 81

94 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH ω f ;δt α,β,p 1,q, 1 δ T α,β t ;q,. Duke aplikuar mosbarazimi e Hölder-it, për p = q = fitojmë: T α,β,p,p f ;q; f ω f ;δt,p α,β 1 1 δ {T α,β,p t ;q,} 1/. Duke zgjedhur δ = δ,q = {T,p α,β t ;q,} 1/, atëherë drejtpërdrejt rrjedh: T α,β,p f ;q; f ω f ;δ,p. Nga kodita tregohet që vle st lim δ =, prej ga rrjedh që st lim ω f ;δ =. 5.4 Kostruktimi i operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei- Stacu-Katorovich Në këtë paragraf jaë përkufizuar operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-stacu- Katorovich për fuksioi me dy variabla dhe është studiuar shpejtësia e kovergjecës ë terma të klasës së fuksioeve të Lipschitz dhe modulit të vazhdueshmërisë, pastaj është shqyrtuar shpejtësia e përafrimeve të këtyre operatorëve ë terma të moduleve pjesëshme së vazhdueshmërisë si dhe Peetre K- fuksioelës. Kohët e fudit, Agrawal dhe të tjerë ë [7] përkufizua dhe shqyrtua vetitë e operatorëve të tipit q-berstei Schurer Katorovich për rasti dy dimezioal. Büyükyazıcı ë [5] kostruktoi operatorët e tipit q-berstei Chlodowsky për rasti dydimezioal të përkufizuar me barazimi: B q,q m,m f ;,y = k= m [k]q f α, [ j] q m y β m Ω k,,q Ω j,m,qm j= [] q [] qm α β m [ ] ku [,α ], y [,β m ], dhe Ω k,,q u = u k k k 1 1 q s u. q s= Në vazhdim, le të jeë {q 1 } dhe {q } varg i umrave realë të tillë që < q i < 1, dhe lim q i i = 1 për i = 1,, dhe le të jeë {a 1 } dhe {b } vargje të umrave realë pozitivë që plotësojë kushtet: lim a 1 1 = lim b =, ad lim 1 a 1 [] q1 b = lim =. [ ] q Le të marrim ë kosiderim parametrat realë α 1,β 1,α ad β që plotësojë kushtet α 1 β 1, α β. Në [] për f CI a1 b dhe < q 1,q < 1, jaë kostruktuar operatorët e tipit Chlodowski q-berstei-stacu-katorovich sikur ë vijim: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y = 8

95 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH = 1 p 1 k 1 = p k = p k 1 1 p 1 p k p y ku,y I a1 b, Ψ 1 t 1 = qk 1 1 t 1 [k 1 ] q 1 α 1 [ p k 1 1 p ] 1 p 1 = 1 k f Ψ 1 t 1,Ψ t d q1 t 1 d q t k t [k ] q α [ 1 1] q β a 1, Ψ 1 1 t = q [ 1] q β b, dhe q 1 a 1 k1 1 1 p 1 k 1 a 1, q 1 [ p k p ] k p y = y k q b 1 y p k b. q Provohet lehtë se operatorët e përkufizuar me relacioi jaë liearë dhe pozitivë. Lemë [] Për operatorët e përkufizuar më sipër vlejë relacioet i C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y = C α 1,β 1 1 p 1 C α,β p f ;q ;,y ; ii C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y = C α,β p C α 1,β 1 1 p 1 f ;q 1 ;,y ; Për të vërtetuar Lemë vijuese së pari marrim test-fuksioet e i j : I a1 b R, e i j,y = i y j,,y I a1 b,i, j N N ku i j 4. Vleë lema vijuese. Lemë [] Operatorët e tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich të përkufizuar ë relacioi plotësojë barazimet: i C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p 1;q 1,q,,y = 1. ii C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p e 1 ;q 1,q,,y = q 1 [ 1 p 1 ] q1 1 [] q1 α 1 a 1, [] q1 [ 1 1] q1 β 1 iii C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p e 11 ;q 1,q,,y = q 1 [ 1 p 1 ] q1 1 [] q1 α 1 a 1 [] q1 [ 1 1] q1 β 1 q [ p ] q y 1 [] q α b, [] q [ 1] q β iv C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p e ;q 1,q,,y = [ 1 p 1 ] q1 [ 1 p 1 1] q1 4q [ 1 1] q1 β q 3 1 q 1 [3] q1 [] q1 [ 1 p 1 ] q1 a 1 [ 1 1] q1 β 1 4q α 1 q 1 4α 1 5 q 1 4α 1 3 [3] q1 [] q1 83

96 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH a 1 [ 1 1] q1 β 1 [4]q1 α 1 α 1[3] [] q1 q 1 q 1 1 α1 [3] q1 [] q1 v C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p e 1 ;q 1,q,,y = q [ p ] q y 1 [] q α b, [] q [ 1] q β vi C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p e ;q 1,q,,y = [ p ] q [ p 1] q 4q [ 1] q β y 4 q 3 q [3] q [] q [ p ] q b y 4q 3 1 α q 4α 5 q 4α 3 [ 1] q β [3] q [] q b [4]q α α [3] [] q q 1 q α [ 1] q β. [3] q [] q Në vazhdim shqyrtojmë shpejtësië e kovergjecës së operatorëve C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p të dhëë ë 5.4.1, ë hapësirë e fuksioeve të vazhdueshme ë dojë bashkësi kompakte I ab = [,a] [,b] I a1 b. Përkufizim [18] Le të jetë f CI ab dhe δ >. Atëherë moduli i vazhdueshmërisë së fuksioit f,y përkufizohet me ω f ;δ 1,δ = sup{ f u,v f,y : u,v,,y I ab, u δ 1, v y δ }, kurse modulet pjesshme ë varësi të dhe y respektivisht jepe me ω 1 f ;δ = sup ω f ;δ = sup sup y b 1 δ sup a y 1 y δ { f 1,y f,y }, { f,y 1 f,y }. Teoremë [] Le të jetë f CI a1 b. Atëherë, për,y I ab, marrim vlerësimi C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y 4ω f ; δ 1, δ y. ku δ 1 = C α 1,β 1 1 p 1 u,q 1, dhe δ y = C α,β p v y,q,y. Në vijim përkufizojmë klasë e fuksioeve Lipschitz për rasti e fuksioit me dy dryshore. Le të jetë r = u,v, s =,y ga I ab dhe < γ 1, përkufizojmë klasë e fuksioeve të Lipschitz-it: Lip L γ := { f : f u,v f,y L r s γ }, ku r s = { u v y } 1/ është orma Euklidiae. 84

97 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH Teoremë [] Supozojmë që f Lip L γ. Atëherë, për çdo,y I ab, vle: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y L{δ 1 δ y} γ/, ku δ 1 dhe δ y jaë dhëë si ë Teoremë Vërtetim. Nga mootoia dhe lieariteti i operatorëve C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p, si dhe ga supozimi se f Lip L γ, kemi C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f u,v f,y ;q 1,q,,y LC α 1,α,β 1,β 1 p 1, p r s γ ;q 1,q,,y,, si dhe Lemë 5.4., fi- ku r = u,v dhe s =,y. Duke zbatuar mosbarazimi e Hölder-it për u 1 = γ dhe v 1 = tojmë: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y L γ { C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p r s,q 1,q,,y } γ/ { L C α 1,β 1 1 p 1 u,q 1, C α,β p v y,q,y } γ/, me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Teoremë [] Supozojmë që f C 1 I a1 b. Atëherë, për çdo,y I ab, vle C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y f CIab δ 1 f y CIab δ y, ku δ 1 dhe δ y jaë të përkufizuara si ë Teoremë Vërtetim. Le të jetë,y I ab jë pikë e fiksuar, atëherë vleë relacioi: f u,v f,y = u v f t t,vdt y f z,zdz, për u,v I ab. Tai, aplikojmë operatori C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p ë barazimi e mësipërm dhe fitojmë, 1 p 1, p f u,v;q 1,q,,y f,y = C α 1,α,β 1,β C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p Duke shfrytëzuar sup-ormë ë I ab, kemi: u f u t t,vdt f t t,vdt du f CIab u 85 v y u t t,vdt;q 1,q,,y f f z,zdz;q 1,q,,y.

98 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH dhe v y f z,zdz v y f z,z dz f y CIab v y. Duke përdorur këto mosbarazime, rrjedh se: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f u,v;q 1,q,,y f,y C α 1,α,β 1,β u 1 p 1, p f t t,vdt ;q 1,q,,y C α 1,α,β 1,β v 1 p 1, p f z,zdz ;q 1,q,,y f Iab C α 1,β 1 1 p 1 u ;q 1, y f y Iab C α,β p v y ;q,y Aplikojmë mosbarazimi e Hölder-it, dhe duke pasur parasysh që C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p 1;q 1,q,,y = 1 si dhe Lemë 5.4. kemi C α 1,β 1 1 p 1 u ;q 1, Në mëyrë aaloge, kemi { } C α 1,β 1 1 p 1 u ;q 1, C α 1,β 1 1/ 1 p 1 1;q 1, {δ 1 } 1/ { } C α,β p v y ;q,y C α,β p v y ;q,y C α,β 1/ p 1;q,y {δ y} 1/ Me kombiimi e relacioeve , fitojmë C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y f CIab δ 1 f y CIab δ y. Me këtë përfudo edhe vërtetimi i teoremës. Le të jetë C I ab hapësira e të gjithë fuksioeve f të tillë që i f, i f CI i i ab,i = 1,. Në [7] orma ë hapësirë C I ab përkufizohet me barazimi: f C I ab = f CI ab i f CIab i i f y CIab i. i=1 Për f CI ab dhe δ >, ë [54, 9] Peetre K-fuksioali dhe moduli i lëmueshmërisë së redit të dytë përkufizohet me ifimumi: { K f ;δ = if f g CIab δ g CIab} g c I ab dhe suprimumi: ω f ;δ = sup f u,y v f u,y v f,y CIab, u v δ 86

99 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH respektivisht, ku CIab është sup-orma. Në [71], faqe 19 tregohet se ekzisto kostata pozitive L, e cila uk varet ga δ dhe f e tillë që të vleë: K f ;δ L { ω f ;δ mi1,δ f CIab }. Teorema ë vazhdim jep shpejtësië e kovergjecës së përafrimeve të operatorëve të përkufizuar ë me aë të modulit të vazhdueshmërisë së fuksioit. Teoremë [] Le të jetë f CI a1 b. Marrim ë kosiderim operatori e modifikuar: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y = C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y Atëherë, për çdo g C I ab, vle: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y L mi { 1,λ 1,,p 1,p q 1,q,,y } f CIab f,y f u 1,v {ω f ; λ1,,p 1,p q 1,q,,y } ω f ; u 1 v y, ku u 1 = q 1 [ 1 p 1 ] q 1 1[] q 1 α 1 a 1 [] q 1 [ 1 1] q 1 β 1, v = q [ p ] q y1[] q α b [] q [ 1] q β. Vërtetim. Nga relacioi si dhe duke shfrytëzuar Lemë 5.4., kemi C α 1,α,β 1,β 1p 1, p 1, q 1,q ;,y = 1, C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p u ;q 1,q,,y =, dhe C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p v y;q 1,q,,y =. Duke shfrytëzuar teoremë e Taylor-it për fuksioi g C I ab, mud të shkruajmë: gu,v g,y = g,y u u u α gα,y α dα g,y v v y v β g,β y β dβ y Aplikojmë operatori C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y ë të dy aët e ekuacioit të mësipërm fitojmë: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p gu,v;q 1,q,,y g,y = C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p u u α gα,y α dα;q 1,q,,y 87

100 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p =C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p u v y v y v β g,β β u α gα,y α v β gβ, β dβ;q 1,q,,y dα;q 1,q,,y dβ;q 1,q,,y u 1 v y u 1 α g,α α dα v β g,β β dβ. Në aë tjetër, meqeëse u u α gα,y dα α u u α gα,y dα α u g C I ab u α gα,y dα g α C I ab u, dhe ë mëyrë të gjashme u 1 u 1 α gα,y dα α u 1 g C I ab, përfudojmë: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p g;q 1,q,,y g,y C α 1,α,β 1,β u 1 p 1, p u α gα,y α dα ;q 1,q,,y u 1 u 1 α g,α α dα Cα 1,α,β 1,β v 1 p 1, p v β gβ, β dα ;q 1,q,,y y v v β g,β { β dβ C α 1,β 1 1 p 1 u ;q 1, u 1 } g C Iab y { C α,β p v y ;q,y v y } g C Iab { δ 1 δ u 1 v y } g C I ab = λ 1, f ;q 1,q,,y g C I ab Përveç kësaj, ga Lema 5.4. dhe ga relacioet dhe 5.4.5, kemi: C α 1,α,β 1,β f ;q 1,q,,y C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y 1 p 1, p f,y f u 1,v 3 f CIab Pradaj, ga Lema 5.4. dhe ga relacioet dhe 5.4.8, fitojmë: 88

101 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y = C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y f u 1,v f,y C α 1,α,β 1,β f g;q 1,q,,y C α 1,α,β 1,β g;q 1,q,,y g,y 1 p 1, p 1 p 1, p g,y f,y f u 1,v f,y 4 f g CIab C α 1,α,β 1,β g;q 1,q,,y g,y 1 p 1, p f u 1,v f,y 4 f g CIab λ 1, f ;q 1,q,,y g CIab ω f ; u 1 v y 4K f ;λ 1,,p 1,p q 1,q,,y ω f ; u 1 v y L {ω f ; λ 1,,p 1,p q 1,q,,y } mi{1,λ 1,,p 1,p q 1,q,,y} f CIab ω f ; u 1 v y. Me këtë merr fud vërtetimi i Teoremës. Teoremë [] Le të jeë f dhe f y derivatet e pjesshme të fuksioit f,y dhe ω 1 f ;δ dhe ω f y;δ modulet e vazhdueshmërisë të derivateve të pjesëshme f dhe f y respektivisht. Atëherë vle: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y M 1 λ 1 M λ y ω 1 f ;δ 1 1 δ 1 ω f y;δ 1 δ, ku M 1,M jaë kostate pozitive të tilla që f M 1, f y M, a, y b, q dhe λ 1 = 1 [ 1 p 1 ] q 1 [] q [ 1 1 1] q β [] q α 1 1 a 1 [] q [ 1 1 1] q β 1 1, q λ y = [ p ] q [] q [ 1] q β 1 y 1[] q α b [] q [ 1] q β. Vërtetim. Nga teorema mbi vlerë mesatare kemi f Ψ 1 t 1,Ψ t f,y = f Ψ 1 t 1,y f,y f Ψ 1 t 1,Ψ t f Ψ 1 t 1,y = Ψ 1 t 1 f ξ 1,y Ψ t y f,ξ y Ψ 1 t 1 f ξ1,y f,y = Ψ 1 t 1 f,y Ψ t y f,y y Ψ t y f,ξ y f,y y, ku < ξ 1 < Ψ 1 t 1 dhe y < ξ < Ψ t. Duke shfrytëzuar idetiteti e mësipërm, rrjedh barazimi: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y = 89

102 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH = f,y 1 p 1 k 1 = f,y y 1 p 1 k 1 = p k = p k = 1 p 1 k 1 = p 1 k 1 = 1 1 Në këtë mëyrë, p k = p k = p k 1 1 p 1 p k p y 1 1 f ξ1,y Ψ 1 t 1 f,y 1 1 Ψ 1 t 1 d q1 t 1 d q t Ψ t yp k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t f,ξ Ψ t y y C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y f,y 1 p 1 k 1 = p k = 1 p 1 k 1 = 1 1 f,y y 1 p 1 k 1 = p k = 1 p 1 k 1 = 1 1 M 1 C α 1,β 1 1 p 1 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = p k = p k = p k = Ψ 1 t 1 p k = p k 1 1 p 1 p k p y 1 1 Ψ t y f ξ 1,y p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t f,y p k 1 y 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t. 1 1 f,y Ψ 1 t 1 d q1 t 1 d q t pk 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ t yp k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t f,ξ y f,y y pk 1 C α e 1,q 1, M,β e 1 y,q,y p 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ 1 t 1 ω 1 f ;δ Ψ1 t p k 1 δ 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t 1 Ψ t y ω f y;δ Ψ t y 1 p k 1 δ 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t. Duke shfrytëzuar mosbarazimet e mësipërme, kemi C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y M 1 C α 1,β 1 1 p 1 C α e 1,q 1, M,β e 1 y,q,y 9 p

103 5.4. OPERATORËT E TIPIT CHLODOWSKY Q-BERNSTEIN-STANCU-KANTOROVICH ω 1 f ;δ 1 ω1 f ;δ 1 δ 1 ω f y;δ ω f y;δ δ 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = p k = p k = p k = p k = Ψ 1 t 1 p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ 1 t 1 p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ t y p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ t y p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t. Tai, duke aplikuar mosbarazimi e Cauchy-Schwarz-it fitojmë: C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y C α M 1,β 1 C α 1 1 p 1 e 1,q 1, M,β e 1 y,q,y ω 1 f ;δ 1 ω1 f ;δ 1 δ 1 ω f y;δ ω f y;δ δ = M 1 C α 1,β 1 1 p 1 ω 1 f ;δ 1 ω f y;δ { 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = { 1 p 1 k 1 = 1 p 1 k 1 = p k = p k = p k = p k = p Ψ 1 t 1 p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t } 1/ Ψ 1 t 1 p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t Ψ t y p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t } 1/ Ψ t y p k 1 1 p 1 p k p yd q1 t 1 d q t C α e 1,q 1, M,β p e 1 y,q,y { C α 1,β 1 1 p 1 u,q 1, } 1/ C α 1,β 1 1 p 1 u,q 1, { C α,β p v y,q,y } 1/ C α,β p v y,q,y. Në fud zgjedhim δ 1 = δ 1 dhe δ = δ y, kemi C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y f,y M 1 λ 1 M λ y ω 1 f ;δ 1 1 δ 1 ω f y;δ 1 δ. Në vijim marrim disa shembuj umerikë të paraqitjes grafike, që tregojë kovergjecë e operatorëve të tipit Chlodowsky q-berstei-stacu-katorovich kah fuksioi f,y. 91

104 5.5. VETITË E PËRAFRIMEVE ME PESHË Shembulli Le të marrim ë kosiderim fuksioi f : R R, të përkufizuar me f,y = y y. Për 1, = 1, p 1, p =, α 1 = α = 3.86, β 1 = β = 1.96, q 1 = 1 1/ 1, q = 1 1/ dhe a 1 = a = l 1, b 1 = b = l, kovergjeca e operatorëve C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y gjyra e kaltërt tek fuksioi f,y gjyra portokalli, është paraqitur ë Figurë 5.1 a. Shembulli Për 1, = 5, p 1, p = 3, α 1 = α = 1.5, β 1 = β = 1.6, q 1 = 1 1/ 1, q = 1 1/ dhe a 1 = a = l 1, b 1 = b = l, atëherë kovergjeca e operatorëve C α 1,α,β 1,β 1 p 1, p f ;q 1,q,,y gjyra e kaltërt kah fuksioi f,y = y y gjyra portokalli, është paraqitur ë Figurë 5.1 b. a b Figure Vetitë e përafrimeve me peshë Në rasti rasti kur fuksioi f uk është uiformisht i vazhdueshëm ë [,, atëherë moduli i vazhdueshmërisë së redit të parë ω f ;δ uk kovergjo ë zero, kur δ. Pradaj, për të marrë rezultatet toa a duhet përkufizimi i fuksioeve me peshë. Le të jetë R = {,y :,y } dhe I a1 b = {,y : a 1, y b }. Le të jetë CR hapësira e të gjitha fuksioeve të vazhdueshme f ë R e tillë që plotëso koditë f,y M f ρ,y, ku ρ,y = 1 y dhe M f është kostate që varet vetëm ga fuksioi f. Është e qartë se CR është hapësirë lieare e ormuar e pajisur me ormë f ρ = sup,y R f,y ρ,y. Lemë [1, 13] Koditë e evojshme dhe e mjaftueshme që vargu i operatorëve liearë pozitivë {A 1, } 1, 1 të jetë ga C ρr ë B ρ R, është që të plotësohet mosbarazimi: A 1, ρ;,y ρ k 9