Cilat nga bashkësitë = {(1, ), (1, ), (2, )},

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cilat nga bashkësitë = {(1, ), (1, ), (2, )},"

Κόρη Λειβαδάς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 RELACIONET. RELACIONI BINAR Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta shënojmë me ρ. Shembulli. Le të jenë A= {,,3}, B= { a, b}. Cilat nga bashkësitë = {(, ), (, ), (, )}, Y = {(,), (, ), (,3) }, Z = {(, a), (3,3)} X b a a paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Së pari caktojmë A B = {(, a),(, b),(, a),(, b),(3, a),(3, b) }. Prandaj, meqë X A B dhe Y A B, Z A B përfundojmë se bashkësia X paraqet relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B. Nëse ( ab, ) ρ themi se a është në relacion me b dhe këtë mund ta shënojmë aρ b. Nëse ( ab, ) ρ themi se a nuk është në relacion me b dhe këtë mund ta shënojmë ajoρ b(apo aρ b ). Nëse shqyrtojmë bashkësitë e mësipërme A= {,, 3}, B= { a, b} dhe nëse ρ = {(, a),(, b),(3, a) } është relacion i bashkësisë A në bashkësinë B kemi ρa, ρb,3ρ a por 3 jo ρ b, jo ρ. Relacioni i bashkësisë A në bashkësinë A quhet relacion në bashkësinë. A Përkufizimi. Relacioni invers i relacionit ρ A B është bashkësia ρ B A që jepet me: ρ {(, ba) (,) ab ρ. } = Vërejmë se nëse ρ paraqet relacion të bashkësisë A në bashkësinë B atëherë ρ paraqet relacion të bashkësisë B në bashkësinë A. Shembulli. Le të jenë dhënë bashkësitë A= {,,3}, B= {,3} si dhe relacionet:

2 ρ = b) ρ = A B. a) {(,),(,3)} ; Atëherë ρ = { } (,),(3,) ; ρ = B A. RELACIONET A ekziston relacioni ρ i cili është i barabartë me relacionin invers ρ? Le të jetë A= {,,, a b c d}, B = {,, a c d} si dhe relacioni ρ = {( aa, ),( cc, ),( dd, )}. Është e qartë se ρ = ρ. Shembulli 3. Le të jenë dhënë bashkësitë A= {,,3,4}, B = {,3,5}. Të caktohen relacionet: a) ρ = {( xy, ): y= x+ } b) ρ = {( xy, ): x= y } c) ρ = {( x, y): y = x } a) Meqë 3 ;5 3 = + = + përfundojmë se ρ = { } y x y x b) ρ = {(,3),(4,5)}. (,3),(3,5). c) Meqë katrori i numrave të bashkësisë A është: =, = 4,3 = 9,4 = 6 dhe asnjëri nga numrat,4,9,6 nuk i takon bashkësisë B përfundojmë se ρ =. Një gjë e tillë ka kuptim në bazë të faktit se A, A. Shembulli 4. Është dhënë bashkësia A = {,, 3, 4, 5} dhe relacioni { xy y x } ρ = (, ) = +. Të caktohen elementet e relacionit ρ dhe të paraqitet grafikisht në bashkësinë A. ρ = {(,3),(,4),(3,5)}. y x

3 ALGJEBRA 3 Shembulli 5. Në bashkësinë A = {,, 3, 4, 5} relacioni ρ është paraqitur në mënyrë grafike. Të caktohen elementet e relacionit ρ Së pari vërejmë se (,),(,),(3,3),(4,4) ρ. Por (5,5) ρ. Duke përcjellur shigjetat që dalin nga elementi vërejmë se (,),(,3),(,5) ρ. Duke vepruar ngjashëm me elementet,3,4,5 merret: (,4) ρ,(3,) ρ,(3,4) ρ,(4,3) ρ,(5,4) ρ. Përfundojmë se: ρ = {(,),(,),(,3),(,5),(,),(,4),(3,),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,4)}. Vërejmë se paraqitja në mënyrë grafike në disa raste të relacioneve mund të jetë shumë e komplikuar dhe nga një paraqitje të tillë nuk mund të vërejmë pothuajse asgjë. Për këtë arsye e përdorim paraqitjen matricore të relacioneve: Shembulli 6. Në bashkësinë A = {,,3,4,5,6} është dhënë relacioni { xy x y } ρ = (, ) + > 3. a) Të caktohen elementet e relacionit të dhënë. b) Të paraqitet në mënyrë grafike dhe matricore relacioni ρ. a) ρ = {(,3),(, 4),(,5),(,6),(, ),(,3),(, 4),(,5),(,6), (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,),(4,),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,),(6,),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

4 4 RELACIONET b) Paraqiten grafikishik relacionin e dhënë. Në vijim le të paraqesim në mënyrë matricore relacionin e dhënë A( ρ ) =. Le të sqarojmë se si është plotësuar tabela: Vërejmë se elementi aij i matricës merr vlerën nëse elementi (, i j) ρ. Në të kundërtën elementi aij i matricës merr vlerën 0. P.sh. meqë (,) ρ atëherë elementi a merr vlerën 0. Meqë (, 3) ρ atëherë elementi a3 merr vlerën.. RELACIONI I EKUIVALENCËS Përkufizimi. Le të jetë ρ relacion binar në bashkësinë X. ) Relacioni ρ është refleksiv nëse xρ x, x X. ) Relacioni ρ është simetrik nëse xρ y yρ x, x, y X. 3) Relacioni ρ është transitiv nëse xρ y yρz xρz, x, y, z X. 4) Relacioni ρ është jorefleksiv nëse x jo ρ x, x, X. (( x, x) ρ, x, X) 5) Relacioni ρ është antisimetrik nëse xρ y yρ x x= y. Shembulli. Le të jetë X = {,, 3}. Atëherë relacioni ρ = {(,),(,),(3,3)} është relacion refleksiv, sepse për çdo x X,(, x x) ρ. Por relacionet ρ = {(,),(3,3)} dhe ρ = {(,),(, ),(,),(3,3)} nuk janë relacione refleksive sepse (në të dy rastet) X por (,) ρ, (,) ρ.

5 ALGJEBRA 5 Shembulli. Le të jetë X si në shembullin. Relacioni ρ = {(,),(, ),(,3),(,),(3,),(3,3)} është relacion simetrik (pse?) por relacioni ρ = {(,),(,3),(3,)} nuk është simetrik, sepse sipas përkufizimit të relacionit simetrik meqë (, ) ρ do të duhej që (,) ρ, gjë që shihet qartë se nuk vlen. Shembulli 3. Relacioni " < " në bashkësinë e numrave natyrorë është transitiv sepse x < y y< z x< z, x, y, z N. Por p.sh. relacioni ρ = {( xy, ) x y } në bashkësinë Z nuk është relacion transitiv sepse p.sh. për x= 4; y = 3; z =, vërtetë x y dhe y z por nuk vlen x z sepse 4 3, 3 por nuk është e saktë që 4. Shënimi. Duhet të kemi kujdes gjatë shqyrtimit të relacionit refleksiv dhe jorefleksiv. Nëse një relacion nuk është refleksiv kjo nuk do të thotë se ai doemos është jorefleksiv. P.sh. në shembullin treguam se relacioni ρ = {(, ),(, ), (, ), (3, 3)} nuk është refleksiv por relacioni ρ nuk është as relacion jorefleksiv. Pse? Shënimi. Po ashtu nëse relacioni nuk është simetrik, nuk do të thotë se ai doemos duhet të jetë antisimetrik. P.sh. në bashkësinë X = {,,3,4} relacioni binar ρ = {(, ), (, ), (, 3), (3, )} nuk është simetrik sepse (, ) ρ por (,) ρ. Megjithatë relacioni ρ nuk është as antisimetrik sepse (, 3) ρ, (3, ) ρ por nuk vlen = 3. Shembulli 4. Në bashkësinë N, përkufizojmë relacionin e pjesëtueshmërisë a b ( n N), b= an Relacioni është refleksiv, sepse ( a N) a a ( a= a). Relacioni nuk është simetrik, seps p.sh. 4 (4 = ) por 4 jo (nuk ekziston numri natyror n ashtu që = 4 n). Por relacioni është antisimetrik sepse nëse a b dhe b a atëherë mn, N b= am, a= n b prej nga b= n b m, d.m.th. m n=, e kjo është e mundur vetëm nëse m= n=. Pra a= b. Relacioni është transitiv sepse nëse a b dhe b c atëherë mn, N b= am dhe c= bn, prandaj c= amn, pra, ekziston numri natyror n = mn ashtu që c = an, prandaj a c.

6 6 RELACIONET Përkufizimi. Relacioni që është refleksiv, simetrik dhe transitiv quhet relacion ekuivalence. Shembulli 5. Në bashkësinë e numrave racional Q është dhënë relacioni ρ si vijon aρb a b Q. Të vërtetohet se relacioni ρ është relacion ekuivalence. Provojmë vetitë ) 3) të përkufizimit. ) aρa a a = 0 Q (0 është numër racional) ) aρb a b Q ( b a) Q b a Q 3) aρb bρc a b Q b c Q ( a b) + ( b c) Q a c Q, gjë që duhej treguar. Le të jetë ρ relacion i ekuivalencës në X dhe le të jetë x X. Bashkësia e të gjitha elementeve y nga X, të cilët janë në relacion ρ me elementin x quhet klasë e ekuivalencës e elementit x dhe shënohet me C. x Pra C = { y X xρ y}. x Meqë x X, xρ x atëherë x Cx D.m.th. çdo element i takon klasës së vet të ekuivalencës, pra asnjë klasë e ekuivalencës nuk është bashkësi boshe. Tregohet se dy klasë të ekuivalencës ose janë disjunkte ose përputhen. Për këtë, relacioni i ekuivalencës e zbërthen bashkësinë X në nënbashkësi joboshe disjunkte (klasë të ekuivalencës) unioni i të cilave është X. Pra X = C (ose X = { Cx x X}.) x x X Faktor bashkësia është bashkësia e klasëve të ekuivalencës. Shembulli 6. Në bashkësinë Z, relacioni i kongruencës sipas modulit definohet si vijon: a b (mod ) ( k Z) a b= k. a) Të vërtetohet se relacioni i mësipërm është relacion i ekuivalencës. b) Të caktohen klasët e ekuivalencës. c) Të caktohet faktor bashkësia.

7 ALGJEBRA 7 a) Provojmë vetitë ) 3) të përkufizimit. ) a Z, a a (mod) a a = 0 a= 0. ) ab, Z, a b(mod ) k Z a b= k b a= k b a= k, k = k b a (mod). 3) a, b, c Z, a b (mod ) b c (mod ) kk, Z a b= kb, c= k ( a b) + ( b c) = k+ k a c= ( k+ k ) a c= k, k = k + k a c (mod ). b) Kemi dy klasë të ekuivalencës C0 = { k: k, C = {k+ ; k sepse C0 = { y Z y 0 (mod)} = { y Z y 0= k, k = { y Z y = k, k = { kk, C = { y Z y (mod)} = { y Z y = k, k = { y Z y = k +, k = {k +, k Çfarë ndodhë me C, C 3,...? c) Do të shënojmë faktor bashkësinë Z (mod ). Z = { C, C} = {{ k: k,(k +, k }. Atëherë (mod ) 0 3. RELACIONI I RENDITJES Përkufizimi. Relacioni që është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv quhet relacion i renditjes. Shembulli. Të vërtetohet se relacioni " " i definuar si vijon: a b a b, a, b N

8 8 RELACIONET është relacion i renditjes. Duhet provuar vetitë ), 3), 5) të përkufizimit të njësisë paraprake. ) a a a a, ) a b b c a b b c k, k N a= k b b k C a = k k C a = k C, k = k k a c a c. a b b a a b b a a = kb, b= k a, k, k N a= b. Pse? 3)

Σχετικά έγγραφα

paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Prandaj, meqë X A B dhe Y A B,

paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Prandaj, meqë X A B dhe Y A B, Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta shënojmë me. Shembulli. Le të