II. MEKANIKA. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1

Transcript

1 II.1. Lëvizja mekanike Mekanika është pjesë e fizikës e cila i studion format më të thjeshta të lëvizjes së materies, të cilat bazohen në zhvendosjen e thjeshtë ose kalimin e trupave fizikë prej një pozite në një pozitë tjetër. Mekanika e cila e studion lëvizjen e trupave të vegjël me shpejtësi shumë më të vogël se shpejtësia e dritës në vakum quhet mekanikë klasike. Mekanika klasike ndahet në tri pjesë, edhe atë: 1. statikë pjesë e mekanikës e cila i studion trupat në gjendje të qetësisë derisa ato janë nën ndikim të forcave,. kinematikë pjesë e mekanikës e cila i studion lëvizjet e trupave, dhe 3. dinamikë pjesë e mekanikës e cila i studion lëvizjen e trupave nën ndikimin e forcave. Për të gjitha llojet e lëvizjeve shenjë e përbashkët e tyre është ndryshimi i pozitës së një trupi në krahasim me trupin tjetër. Ndryshimi i pozitës së një trupi në krahasim me ndonji trup tjetër, dhe ndryshimi i pozitës së disa pjesëve të një trupi në krahasim me pjesën tjetër të atij trupi, quhet lëvizje mekanike. Detyra themelore e mekanikës është të përcaktojë pozitën e trupit të dhënë në çdo moment kohor, gjegjësisht të dihen ligjet për lëvizjen e trupit. Që të zgjidhen detyra themelore në kinematikë, janë futur disa nocione: trup referues, sistem referues, pozita e trupit, zhvendosja, vija rrugore, rruga e kaluar, shpejtësia mesatare, shpejtësia momentale dhe nxitimi. Trupi i palëvizshëm në krahasim me të cilin vëzhgohet lëvizja e trupit tjetër, quhet trup referues. Në krahasim me trupin referues disa trupa lëvizin, ndërsa disa të tjerë janë në qetësi, dhe kjo tregon se lëvizjet mekanike janë relative. Me eksperimente dhe me vrojtime gjat të studiuarit të lëvizjeve mekanike është arritur deri në tre rezultate vijuese: 1. trupat gjat kohës mund të ndryshojnë pozitën e tyre njëri ndaj tjetrit,. pjesët e një trupi gjat kohës mund të ndryshojnë pozitën në krahasim me pjesën tjetër të trupit, 3. një trup në të njejtën kohë mund të kryejë lëvizje të ndryshme në krahasim me trupin referues. Trupi referues, së bashku me sistemin koordinativ të lidhur në mes veti dhe kohës, quhet sistem referues. Ekzistojnë dy lloje të lëvizjeve mekanike, edhe atë: lëvizja translatore (drejtëvizore) dhe lëvizja rrotative (rrotulluese) e trupit të ngurtë rreth boshtit të palëvizshëm. Lëvizja e trupave gjat së cilës të gjithë pikat e tij janë në lëvizje në mënyrë të njejtë, quhet lëvizje translatore (drejtëvizore). Gjat lëvizjes translatore të trupit, çdo drejtëz e lidhur me të mbetet paralele me vetveten, prandaj në rast të lëvizjes translatore të trupit ajo mund të zëvendësohet me pkië materiale. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1

2 Gjat lëvizjes rrotative (rrotulluese) të gjithë pikat e trupit përshkruajnë rrathë të cilët shtrihen në rrafshe paralele, gjat së cilës qendrat e këtyre rrathëve shtrihen në një drejtëz të njejtë, e cila quhet bosht i rrotacionit (rrotullimit). Boshti i rrotacionit mund të gjenet edhe jashtë trupit që rrotullohet dhe pikat që shtrihen në boshtin e rrotullimit mbeten të palëvizshme. Gjat rrotullimit të trupit, pikat e ndryshme lëvizin në mënyrë të ndryshme, me çka traektoret e tyre, shpejtësitë dhe nxitimi nuk janë të njejta. Nga gjeometria është e njohur se pozita e një pike përcaktohet me një rrezevektor (vektori i pozitës) ose, në krahasim me sistemin koordinativ drejtëkëndësh me koordinatat e tij. Rrezevektor quhet segmenti i kahëzuar që e lidh fillimin referues me pozitën e pikës materiale. Për përcaktimin e pozitës së ndryshuar të trupit, është futur madhësia fizike që quhet vektori i zhvendosjes (zhvendosja). Vektori i zhvendosjes i lidh pozitën fillestare dhe përfundimtare të pikës materiale, dhe ka kahje prej fundit të vektorit të parë kah fundi i vektorit të dytë. Vektori i zhvendosjes është madhësi e parë kinematike. Me lidhjen e pikave nëpër të cilën kalon trupi në hapësirë gjat lëvizje së tij, fitohet traektorja e trupit. Gjatësia e traektores ndërmjet dy pikave që shtrihen në traektore quhet rrugë e kaluar (rrugë). FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek.

3 II.. Lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshme Gjat lëvizjes drejtëvizore të pikës materiale, traektorja e saj është pjesë e drejtëzës. Prandaj, lloji më i thjeshtë i lëvizjes mekanike është lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshme. Për trupin i cili lëviz në vijë të drejtë dhe i cili për kohë të barabartë kalon rrugë të barabartë themi se bën lëvizje drejtëvizore të njëtrajtshme. Për të analizuar lëvizjen drejtëvizore të një trajtshme, supozojmë se jemi duke lëvizur me automjet në një rrugë të drejtë. Shtyllat elektrike të cilat gjenden në skaje të rrugës janë të vendosura në distancë të njejtë, dhe njërën prej tyre e marrim si pikë fillestare dhe me ndihmën e orës ose kronometrit masim kohën që do kalojmë nga njëra shtyllë tek tjetra. Nëse koha është e njejtë atëherë themi se bëjmë lëvizje drejtëvizore të njëtrajtshme. Lëvizja drejtvizore është ajo lëvizje që kryen trupi në një traektore vijëdrejtë, ku raporti ndërmjet hapësirës dhe kohës është i pandryshueshëm, pra shpejtësia është e pandryshueshme. Trupi në lëvizjen drejtvizore kryen rrugë të barabarta në interval kohe të barabartë. Rruga te lëvizja drejtëvizore e njëtrajtshem është e barabartë me prodhimin midis shpejtësisë dhe kohës: s = v t Kjo formulë vlen vetëm për lëvizjen e njëtrajtshme, gjegjësisht nëse shpejtësia është konstante. Nëse në një bosht numerik kemi dy pika të cilat janë të përcaktuara me numra, p.sh. koordinata x e pikës A është e barabartë me 3m, ndërsa e pikës B është 5m, dhe nëse e vëzhgojmë lëvizjen e pikës materiale që kryhet nëpër gjatësinë e boshtit koordinativ OX, do të vërejmë se në çdo moment të kohës pika e lëvizshme do të ketë koordinatë plotësisht të caktuar. Segmenti që është i barabartë me ndryshimin e koordinatave është i barabartë me modulin e vektorit të zhvendosjes së pikës materiale: x = x x 1 Zhvendosja është vektor, sepse ajo ka drejtim, kahje dhe gjatësi (modul, madhësi), ku vlera e saj mund të jetë pozitive, negative ose e barabartë me zero. Nëse pika materiale lëviz në një kahje, atëherë rruga e kaluar është e barabartë me zhvendosjen: x = s Lëvizja e pikës materiale kryhet në vijë të drejtë dhe kahje e pikës materiale e vargojmë si kahje pozitive në boshtin koordinativ OX, atëherë koordinatat e pikës M1, M, M3, M4, M5, etj., do të jenë: x 1, x, x 3, x 4, x 5, etj., prej ku mund të nxirret përfundimi: x x 1 t = x 3 x t = x 4 x 3 t = x 5 x 4 t = = const Ky raport konstant (v = const), e përcakton shpejtësinë e lëvizjes drejtëvizore të njëtrajtshme të pikës materilae: v = x t Shpejtësia e pikës materiale është madhësi e dytë kinematike. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 3

4 II.3. Lëvizja drejtëvizore e ndryshueshme Shumica e lëvizjeve drejtëvizore nuk janë të njëtrajtshme. Kështu që ekzistojnë trupa të cilët për intervale të barabarta të kohës përshkruajnë rrugë më të gjatë dhe pastaj përshkruajnë rrugë më të shkurtër. Shembull i thjeshtë për lëvizjen drejtëvizore të ndryshueshme është lëvizja e trenit kur niset nga stacioni dhe kur arrin në stacionin tjetër. Lëvizja drejtëvizore, gjat së cilës trupi për intervale të barabarta të kohës kryen zhvendosje të ndryshme, quhet lëvizje drejtëvizore e ndryshueshme. Lëvizja drejtëvizore e ndryshueshme, karakterizohet me këto madhësi: shpejtësinë mesatare, shpejtësinë momentale (e çastit), nxitimin mesatar dhe nxitimin momental (i çastit). Shpejtësia mesatare: Gjat lëvizjes së ndryshueshme nuk mund të flitet për ndonjë shpejtësi të caktuar, meqenëse raporti i rrugës së kaluar ndaj intervalit kohor përkatës nuk është i njejtë për pjesë të ndryshme të traektores, siç është rasti te lëvizja e njëtrajtshme. Për raste të këtilla në kinematikë është futur madhësia e quajtur shpejtësi mesatare. Shpejtësia mesatare quhet herësi nga zhvendosja r që ka kryer trupi për intervalin kohor të dhënë t: V mes = r t Shpejtësia momentale (e çastit): Në shumë raste, është shumë me rëndësi të dihet shpejtësia me të cilën lëviz trupi në mëmentin e dhënë të kohës. Prandaj në makina të ndryshme janë të montuar shpejtësi matësit, të cilët tregojnë shpejtësinë në çdo moment të kohës. Shpejtësia momentale është shpejtësia e trupit në momentin e dhënë të kohës ose në pikë të dhënë të traektores së pikës materiale. Shpejtësia momentale ose shpejtësia në pikën e dhënë të traektores është e barabartë me herësin ndërmjet zhvendosjes tepër të vogël të pjesës së traektores, që qfrohet deri te ajo pikë, dhe intervalit të kohës tepër të shkurtër në rrjedhje të të cilit ka ndodhur zhvendosja: V t = r t, t është shumë e vogël Shpejtësia momentale e lëvizjes së njëtrajtshme është e vijueshme, kurse e asaj të ndryshueshme është madhësi e ndryshueshme dhe ka vlerë të ndryshme në çaste të ndryshme të kohës. Shpejtësia momentale gjat lëvizjes së ndryshueshme ndryshon gjat kohës në mënyrë të vazhdueshme, prandaj ajo mund të jetë karakteristikë për lëvizje e ndryshueshme të trupit. Nxitimi mesatar: Gjat lëvizjes së ndryshueshme, shpejtësia momentale vazhdimisht ndryshon nga një pikë në tjetrën, nga një moment në tjetrin. Për të caktuar sa shpejtë ndryshon shpejtësia momentale, në kinematikë është pranuar një karakteristikë e re (madhësi tjetër fizike), e cila quhet nxitim (a). FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 4

5 Nxitimi është madhësi e tretë kinematike. II. MEKANIKA Shembull konkret për nxitimin është lëvizja e automjetit në një autostradë të drejtë, ku gjat shtypjes së pedalit të gazit fillon të ritet shpejtësia momentale dhe në shpejtësimatësin (spidometrin) fillon të zhvendoset shigjeta e cila tregon shpejtësinë momentale në çdo çast dhe në çdo vent të traektores, prandaj thuhet se nxitimi është i madh. Shtypja e pedalit të frenave sjell deri te efekti i njejtë, mirëpo kjo tani është nxitim negativ. Në pjesë të ndryshme të traektores për intervale të barabarta të kohës ndodhin ndryshime të ndryshme të shpejtësisë me të cilën lëviz trupi, prandaj mund të flitet për nxitim mesatar. Nxitimi mesatar është i barabartë me raportin (herësin) e ndryshimit të shpejtësisë në interval kohe të dhënë, për të cilin ka ndodhur ai ndryshim: a mes = v v 1 t t 1 = v t Nxitimi momental (i çastit): Në rast të përgjithshëm gjat lëvizjes së ndryshueshme, nxitimi mesatar varet nga intervali kohor. Për përshkrimin me të mirë të pikës materiale duhet të dihet nxitimi i pikës materiale në moment të dhënë të kohës ose në pikë të dhënë të traektores. Për këtë qëllim futet nxitimi momental (i çastit). Nxitimi momental a t caktohet me të njejtin barazim: a t = v v 1 t t 1 = v t, kur t = t t 1 është shumë e vogël II.4. Lëvizja drejtëvizore njëtrajtësisht e nxituar Ekzistojnë lloje të ndryshme të lëvizjeve të ndryshueshme: njëtrajtësisht të nxituara dhe jo njëtrajtësisht të nxituara. Forma më e thjeshë e lëvizjes së ndryshueshme është lëvizja drejtëvizore njëtrajtësisht e nxituar. Në këtë rast, nitimi mesatar është i barabartë me nxitimin momental (të çasti): a mes = a t Nëse me v 0 e shënojmë shpejtësinë e pikës materiale në momentin e kohës t 0 = 0, ndërsa, me v t shpejtësinë në momentin e kohës t, atëherë vektori i nxitimit gjat lëvizjes drejtëvizore njëtrajtësisht të nxituar do të jepet me formulën: a = v t v 0 t Nëse është e njohur shpejtësia fillestare v 0 dhe nxitimi a, atëherë mund të caktohet shpejtësia momentale e pikës materiale: v t = v o + a t Ky barazim jep mundësi të caktohet shpejtësia në çdo moment të kohës t, nëse janë të njohura nxitimi dhe shpejtësia fillestare. Ky barazim quhet ligji i shpejtësisë së lëvizjes njëtrajtësisht të nxituar të pikës materiale (trupit). FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 5

6 Nëse krahasojmë boshtin OX përgjat kahjes së lëvizjes, atëherë për projektimin e shpejtësisë mund të shkruhet barazimi: v x = v 0x + a x t Meqenëse të tre vektorët (v 0, v, a ) shtrihen në një drejtëz (janë kolinear), vlerat absolute të projeksioneve të tyre janë të barabarta me modulet e këtyre vektorëve në raport me boshtin koordinativ të zgjedhur. Nëse kahjet e vektorëve të shpejtësisë fillestare dhe vektorit të nxitimit janë të njejta (përputhen me kahjen pozitive të boshtit OX), atëherë moduli i shpejtësisë së pikës materiale gjat kohës zmadhohet (ritet): v = v 0 + a t dhe thuhet se ajo nxiton. Nëse kahja e nxitimit është e kundërt me kahjen e shpejtësisë fillestare, atëherë moduli i shpejtësisë së pikës materiale gjat kohës zvogëlohet: v = v 0 a t dhe thuhet se pika materiale ngadalësohet ose frenohet. Në këtë kuptim lëvizjet njëtrajtësisht të dryshuara në vijë të drejtë ndahen në: të nxituara dhe të ngadalësuara. II.5. Rënia e lirë Çdo trup që nuk është i varur ose i mbështetur bie në tokë. Nëse një gurë dhe një copëz letre i lëshojmë të bien nga një lartësi e njejtë njëkohësisht, guri do të bjerë më shpejtë në tokë se sa fleta. Nëse e shikojmë nga ky këndvështrim këtë dukuri mund të vijmë deri në përfundim të gabuar, duke menduar se trupat më të rëndë bien më shpejtë në tokë se sa ato më të lehtit. Me këtë dukuri është marrë Galileo Galilei i cili ka treguar faktin se gjat rënies së trupave ndikim të madh ka edhe rezistenca e ajrit. Ai ka bërë eksperimentin e tij me dy trupa te cilët kanë pasur peshë të ndryshme dhe i ka lëshuar nga një lartësi e njejtë në të njejtën kohë. Praktikisht ako kanë rënë me shpejtësi të njejtë, por dallimi i vogël që është paraqitur, Galilei ia ka përshkruar rezistencës së ajrit. Hulumtimet e para eksperimentale që i ka bërë, i ka filluar me studimin e lëvizjes së sferave nëpër një rrafsh të pjerët. Nga ky eksperiment ka konstatuar se rrokullisja e sferës pa shpejtësi fillestare nëpër rrafshin e pjerët është lëvizje njëtrajtësisht e nxituar. Kjo provë tregon se me zmadhimin e këndit të pjertësisë së rrafshit deri kur ai do të arrijë 90, lëvizja do të kalojë në rënie të lirë. Në këtë mënyrë Galilei ka konstatuar se edhe rënia e lirë është lëvizje njëtrajtësisht e nxituar. Për të vërtetuar ligjin e Galileit do të sqarojmë provën e thjeshtë të Njutnit. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 6

7 Ai ka përdorur një gyp prej qelqi me një gjatësi rreth 1m, ku njëri skaj ka qenë i mbyllur kurse skaji tjetër i paisur me tapë. Në të ka futur një sferë të vogël metalike, copëz plutoje, dhe një pendël. Gjat rrotullimit të gypit nga ana e kundërt sfera ka rënë më shpejtë, pastaj plutoja dhe në fund penda. Mirëpo nëse nga i njejti gyp nxirret ajri me ndihmën e vakum pompës, atëherë të tre trupat bien njëkohësisht. Nga kjo provë Njutni ka vërtetuar se në vakum (hapësirë pa ajër) të gjithë trupat bien me nxitim të njejtë, dhe nga kjo mund të thuhet se: Rënia e lirë e trupave është vetëm një shembull konkret i lëvizjes drejtëvizore njëtrajtësisht të nxituar. Që të bëhet dallimi ndërmjet rënies së lirë dhe të gjithë lëvizjeve tjera të nxituara, është pranuar që nxitimi i rënies së lirë të shënohet me g në vend se me a. Moduli i nxitimit të rënies së lirë në gjerësinë gjeografike 45 është 9,81 m/s, në pole është 9,83 m/s, kurse në ekuador është 9,78 m/s. Barazimet për shpejtësinë dhe zhvendosjen gjat rënies së lirë të trupit kanë këto forma: v = v 0 + g t r = v 0 t + gt v y = v 0y + g y t r y = y y 0 = v 0y t + g yt Vektori i nxitimit të rënies së lirë g çdoherë ka kahje vertikalisht teposhtë. Rënia e lirë pa shpejtësi fillestare: Trupi lëshohet të bie nga lartësia h mbi sipërfaqen e tokës, ku kahja pozitive e boshtit numerik OY e kahëzojmë teposhtë, ndërsa fiilimin e sistemit koordinativ e vendosim në vendin prej ku është lëshuar trupi të bie. Në këtë rast barazimi për shpejtësinë dhe koordinatën do të kenë këtë fotmë: v = gt ; y = gt Meqë shpejtësia fillestare është e barabartë me zero, për koordinatën y në këtë rast fitohet: y = gt Kur do të zgjidhet ky barazim në raport me kohën t, fitohet: t = y g FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 7

8 Shpejtësia e sferës e cila bie lirshëm, në momentin e kohës t do të jetë: v = gt = g y g = gy Kur një trup bie prej pozitës së qetësisë nga një lartësi h, shpejtësia e tij përfundimtare është e barabartë me v = gh. Rënia e lirë me shpjetësi fillestare: Pjesa më kreative e zgjidhjes së detyrave në kinematikë është zgjidhja e sistemit referues dhe sistemit koordinativ (kahjet e boshteve koordinative dhe fillimit të sistemit koordinativ). Nëse nuk është e theksuar ndryshe, atëherë më e natyrshme është që fillimi i sistemit koordinativ të vendoset në pozitën fillesatare të trupit, kurse kahja e boshtit koordinativ të vendoset përgjat kahjes së lëvizjes së trupit. Projektimi o boshtit OY do të jetë: y = v 0y t + g yt Boshtin koordinativ OY do ta kahëzojmë vertikalisht teposhtë, ndërsa fillimin e sistemit koordinativ do ta vendosim në tokë, dhe në këtë rast fitohet: Për trupin i cili gjendet në lartësi H, kemi: Për trupin i cili gjendet në lartësi h, kemi: y = y 0 v 0 t gt y 1 = H v 0 t gt 1 y = h gt Në tokë të dy trupat do të bien për kohë të njejtë, t 1 = t = t. Kur do të bien në tokë koordinatat e të dy trupave janë të barabartë me zero y 1 = y = 0. Prandaj mund të shkruhet barazimi: H v 0 t gt 1 = h gt Me zëvendësimin e kohës në barazimin: ; H h = v ot ; t = H h v 0 h = gt për shpejtësinë fillestare, që duhet ti përshkruhet trupit i cili bie lirisht nga lartësia H, fitohet: v 0 = (H h) gh h FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 8

9 II.6. Hedhja vertikale dhe horizontale Lëvizja e trupit të hedhur vertikalisht përpjetë me shpejtësi fillestare v 0, quhet hedhje vertikale. Hedhja vertikale është vetëm një shembull tjetër i lëvizjes njëtrajtësisht të nxituar, ku nxitimi i trupit a është i barabartë me nxitimin e rënies së lirë: a = g. Në vijim përdoren barazimet e njejta si edhe te lëvizja drejtëvizore njëtrajtësisht e nxituar, në formë vertikale: v = v 0 + g t r = v 0 t + g t Në qoftë se trupi hidhet vertikalisht përpjetë me shpejtësi fillestare v 0, ai do të bëjë një lëvizje drejtëvizore njëtrajtësisht të ngadalsuar. Shpejtësia e çastit, pas kalimit të kohës t, nga fillimi i lëvizjes do të jetë: v = v 0 g t ku g është nxitimi i rëndimit të Tokës (g=9,81 m/s ). Lartësia e ngritjes së trupit pas kohës t, nga fillimi i lëvizjes do të jetë: h = v 0 t gt Nëse eliminohet parametri kohor t nga të dy ekuacionet e mësipërme do të gjendet shpejtësia e çastit të trupit kur ndodhet në lartësinë h nga pika e hedhjes: v = v 0 gh Lëvizja e trupit të hedhur në mënyrë horizontale është e njohur me emrin hedhje horizontale. Në këtë rast trupi bën lëvizje të ndërlikuar e cila përbëhet prej komponentit horizontal dhe vertikal. Pas kohës t, komponenti horizontal i rrugës është: x = v 0 t Ndërsa komponenti vertikal i rrugës është: y = y 0 g t Nëse eliminohet parametri i kohës t nga të dy ekuacionet e mësipërme do të fitohet ekuacioni i hedhjes horizontale: g x y = y 0 v 0 Shpejtësia te hedhja horizontale po ashtu përbëhet prej komponentës horizontale të shpejtësisë v x që është konstante: v x = v 0x = v 0 = const FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 9

10 dhe komponentës vertikale të shpejtësisë: II. MEKANIKA v y = g t Shpejtësia rezultante, pas kohës t nga fillimi i lëvizjes është: v = v x + v y = v 0 + (g t) Nxitimi teposhtë i trupit të hedhur me shpejtësi fillestare në drejtim horizontal është i barabartë me nxitimin e trupit që kryen rënie të lirë dhe nuk varet nga lëvizja e tij në drejtim horizontal. Ndryshe hedhja horizontale mund të definohet si lëvizje dydimensionale. Ajo mund të trajtohet si kombinim i dy lëvizjeve njëdimensionale, njëra në drejtim horizontal dhe tjetra në drejtim vertikal. Gjat të gjithë hedhjeve (vertikale, horizontale dhe të pjerët) trupi kryen rënie të lirë. II.7. Lëvizja e njëtrajtshme rrethore Traektorja më e thjeshtë (rruga) nga traektoret e lakuara është vija rrethore, ndërsa lëvizja e lakuar më e thjeshtë është lëvizja e njëtrajtshme rrethore. Lëvizja e pikës materiale në vijë rrethore me modul konstant të shpejtësisë quhet lëvizje e njëtrajtshme rrethore. Në figurë është paraqitur lëvizja e pikës materiale në vijë rrethore me rreze R. Ligji i lëvizjes së pikës materiale nëpër vijë rrethore shprehet me varshmërinë funksionale të dhënë: s = s(t) ku s është rruga e kaluar për kohën t përgjat vijës rrethore. Si pozitë fillestare do të marrim pikën Mo, ndërsa si kahje pozitive të lëvizjes së pikës materiale do ta llogarisim kahjen e kundërt të akrepave të orës. Në momentin e kohës t1 pika materiale ka arritur në pikën M1, ndërsa në momentin e kohës t ka arritur në pikën M. Për intervalin kohor t = t t 1, pika materiale duke lëvizur nëpër gjatësinë e vijës rrethore ka kaluar rrugën e barabartë me gjatësinë e harkut M 1, gjegjësisht s = s s 1. Herësi i rrugës elementare s dhe intervali kohor për të cilin është kaluar kjo rrugë elementare është e barabartë me modulin e shpejtësisë momentale: v = s t kur ky interval kohor t është mjaft i vogël (tenton kah zeroja). Gjat lëvizjes së njëtrajtshme nëpër vijën rrethore ndryshon vetëm kahja e shpejtësisë. Prandaj barazimi për caktimin e shpejtësisë momentale do të jetë i njejtë edhe për interval kohor më të gjatë të paramenduar t, p.sh: për interval kohor t = t 0 = t, për të cilin pika materiale ka kaluar rrugën e barabartë me gjatësinë e traektores s = M 1 : FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 10

11 v = s t prej ku rrugën e kaluar s, për kohën t përgjat gjatësisë së vijës rrethore, fitohet: s = v t ku v quhet shpejtësi lineare. Me atë formulë është dhënë ligji i rrugës gjat lëvizjes së njëtrajtshme të pikës materiale nëpër vijë rrethore. Ligji i lëvizjes së pikës materiale nëpër vijë rrethore mund të shprehet edhe në mënyrë tjetër, nëse vëzhgojmë figurën do të shohim se kur pika materiale M lëviz nëpër vijë rrethore, atëherë rrezevektori R përshkruan një kënd φ. Prandaj ligjin për lëvizjen e pikës materiale nëpër vijë rrethore mund ta paraqesim edhe me anë të funksionit : φ = φ(t) Raporti i ndryshimit (rritjes) të këndit të rrotullimit φ ndaj intervalit kohor për të cilin ka ndodhur ky ndryshim, quhet shpejtësi këndore mesatare (shenja ω). ω mes = φ φ 1 t t 1 = φ t Meqë lëvizja e njëtrajtshme nëpër vijën rrethore është lëvizje me shpejtësi këndore konstante (ω = const.), nëse këndi fillon të matet në momentin e kohës to = 0, atëherë shpejtësia këndore në momentin e dhënë të kohës caktohet me formulën: ω = φ t Nëse këndi φ matet në radian, atëherë gjatësia e harkut s, të prerë nga ai kënd i vijës rrethore me rreze R do të jetë i barabartë me: s = φ R Nga ky barazim dhe nga barazimi i rrugës s = v t, fitohet lidhëshmëria e shpejtësisë lineare të pikës materiale, e cila lëviz njëtrajtësisht nëpër vijën rrethore, me shpejtësi këndore ω të rrotullimit të rrezevektorit, moduli i së cilës është i barabartë me rrezen e vijës rrethore: v = ω R Perioda e rrotullimit: Çdo lëvizje që përsëritet në interval të barabartë të kohës quhet lëvizje periodike. Lëvizja periodike më e thjeshtë është lëvizja e njëtrajtshme e pikës materilae nëpër vijën rrethore. Koha për një rrotullim të plotë të pikës materiale përgjat vijës rrethore quhet periodë (T), dhe ka dimensionin e kohës e cila matet njejtë si koha sekondë (s). Frekuenca e rrotullimit: Numri i rrotullimeve i pikës materiale, që i kryen në njësi të kohës quhet frekuencë e rrotullimit (n). Njësia e saj në SI është sekonda në fuqi minus (s -1 ). Për vlera numerike shprehet në sekondë, p.sh: 10s -1 lexohet dhjetë në sekondë. Mund të përdoret edhe njësia minutë në fuqi minus një (min -1 ), p.sh: 1000 min -1, dhe lexohet një mijë në minut. Frekuenca e rrotullimit n dhe perioda T janë vlera reciproke: T = 1 n Ndërmjet frekuencës së rrotullinit n, shpejtësisë këndore ω dhe periodës T gjat lëvizjes së njëtrajtshme nëpër vijën rrethore, ekziston varshmëri e caktuar, e cila është dhënë me anë të formulës: FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 11

12 ω = π T ; ω = π n Numri i përgjithshëm i rrotullimeve N për kohë të caktuar t, llogaritet sipas barazimit: N = n t II.8. Nxitimi centripedal Gjat lëvizjes së njëtrajtshme të pikës materiale nëpër vijën rrethore, moduli i shpejtësisë nuk ndryshon, por ndryshon vetëm vektori i shpejtësisë i cili ndërron drejtim. Drejtimi i vektorit të shpejtësisë ndryshon pandërprerë prej pike në pikë dhe përputhet me tangjentën e vijës rrethore në pikën e dhënë. Prandaj edhe lëvizja e pikës materiale, me modul konstant të shpejtësisë nëpër vijën rrethore është lëvizje e nxituar. Nxitimi i lidhur me ndryshimin e drejtimit të shpejtësisë së pikës materiale që lëviz nëpër vijë rrethore quhet nxitim centripedal (qendërsynues). Nxitimi centripedal çdoherë është i orientuar kah qendra e vijës rrethore, dhe moduli i tij është i barabartë me: a = v R Pika materiale që lëviz njëtrajtësisht në vijën rrethore me rreze R në momentin e kohës t = t1 është gjendur në pikën M1. Në momentin e kohës t = t ajo ka arritur në M. Prë kohën Δt = t t1 rrezevektori është rrotulluar për këndin Δφ. Gjat kësaj ka ndryshuar edhe vektori i shpejtësisë prej v1 në v. Meqë koha Δt është shumë e vogël, pikat M1 dhe M janë shumë afër njëra tjetrës. Kjo do të thotë se harku M 1 dhe këndi Δφ që i takon atij harku, gjithashtu do të jenë shumë të vegjël. Nëse vektorin e shpejtësisë v 1 e zhvendosim paralel me vetveten, ashtuqë fillimi i tij të përputhet me fillimin e vektorit v (në pikën M) duke përdorur rregullën e zbritjes së vektorëve, do të fitojmë vektorin e ndryshimit të shpejtësisë v = v v 1. Trekëndëshat M1OM dhe MAB janë të ngjashëm, pasi këndet e tyre M1OM dhe AM1B janë të barabartë (kënde me krah reciprokisht normal). Nga ngjashmëria e trekëndëshave vijon: v v = R R, ose v = v R R ku R është moduli i vektorit të zhvendosjes R. Pasi koha t është shumë e vogël, moduli i zhvendosjes mund të zëvendësohet me rrugën elementare të kaluar s, të barabartë me harkun e rrethit M 1 dhe fitohet: v = v S R FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1

13 Nëse të dy anët e barazimit pjestohen me kohën t, fitohet: v t = v R S t, S t = v v t = a ose nga definicioni i nxitimit a, barazimi i fundit do të marrë këtë formë: a = v R Meqë shpejtësia lineare, shpejtësia këndore dhe rrezja e vijës rrethore janë të lidhura me anë të barazimit v = ω R, nxitimi i pikës materiale gjat lëvizjes së njëtrajtshme të saj nëpër vijë rrethore, fitohet: a = ω R Kahja e vektorit të nxitimit a përputhet me kahjen e vektorit të ndryshimit të shpejtësisë v. Kur pikat M1 dhe M janë shumë afër njëra tjetrës, atëherë këndi Δφ është shumë i vogël (pothuajse i barabartë me zero). Meqë këndet M1AB dhe M1BA janë të barabartë, ndërsa shuma e këndeve të brendshme të trekëndëshit është e barabartë me 180, rrjedh se: M 1 AB = M 1 BA = 90 o Gjat këndit të vogël Δφ ndërmjet vektorëve, vektori i ndryshimit të tyre është normal me çdonjërin prej tyre. Vektori i nxitimit ka kahje normale të tangjentës (respektivisht drejtimin e shpejtësisë lineare), ndërsa kahja e tij do të jetë nëpër rrezen kah qendra O e vijës rrethore (fig.). Prandaj edhe quhet nxitim centripedal (qendërsynues). II.9. Ligji i I i Njutnit Në fillim Aristoteli ka llogaritur se të gjithë trupave u takon vend i caktuar, gjegjësisht trupat e lehtë lëvizin lartë, kurse trupat e rëndë lëvizin poshtë. Sipas këtij parimi ai ka thënë se këto janë lëvizje natyrore, ku ka analizuar lëvizjen e yjeve dhe trupave qiellorë në gjithësi. Lëvizjet tjera që nuk bëjnë pjesë në lëvizjet natyrore i ka quajtur lëvizje të dhunshme. Arsyen për të cilën trupat kryejnë lëvizje të dhunshme e ka quajtur forcë. Poashtu ai ka llogaritur se trupat munden vetëm të rruajnë gjendjen e tyre të qetësisë, ndërsa lëvizjet i bëjnë vetëm nën ndikim të forcës. Me përfundimet e këtilla nuk është pajtuar Galileo Galilei duke e mohuar formulimin e Aristotelit, për një nga ligjet e natyrës i cili thotë se trupat e lehtë lëvizin lartë kurse trupat e rëndë lëvizin poshtë (rënia e lirë). Që nga atëherë e deri më sot pyetjet e pazgjidhura në shkencën natyrore zgjidhen me vëzhgim dhe me eksperimente. Galilei shumë qartë ka treguar se nuk ka arsye që të sqarohet ruajtja e shpejtësisë së trupave gjat lëvizjes së tyre, por ndryshimi i saj. Kështu Galilei kuptimin forcë e ka lidhur me kuptimin nxitim dhe jo me shpejtësinë e trupave. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 13

14 Gjat kryerjes së eksperimenteve ka arritur në përfundim se: në të gjithë rastet e lëvizjes së trupave nëpër rrafsh të pjerët teposhtë, ekziston arsye e cila e shkakton nxitimin e trupave. Pas përgjithësimit të rezultateve ka arritur të zbulojë ligjin për inercion të trupave i cili thotë: Çdo trup në të cilin nuk veprojnë trupa tjerë, ai lëviz njëtrajtësisht dhe në mënyrë drejtëvizore, ose ndodhet në gjendje të qetësisë. Lëvizja e tillë ideale quhet lëvizje sipas inercionit. Isak Njutni ka bërë përgjithësimin dhe sintezën e gjithë asaj që ka qenë e njohur në dinamikë, duke themeluar tri parime të cilat janë të njohura si ligjet e Njutnit. Ligji i parë i Njutnit, në realitet është ligji i Galileit për inercion, i cili thotë: Çdo trup mbetet në pozitë të qetësisë ose të lëvizjes drejtëvizore të njëtrajtshme, deri atëherë kur në atë trup nuk do të ndikojnë trupa tjerë që të ndryshojnë pozitën e tyre. Të gjithë sistemet referuese për të cilat vlen ligji i parë i Njutnit quhen sisteme referuese inerciale. Sistemi referues në krahasim me të cilin trupi gjat kompensimit të ndikimeve të jashtme lëviz në mënyrë të njëtrajtshme drejtëvizore quhet sistem referues inercial. Sisteme të tilla janë: Toka si sistem referues inercial, sistemi referues gjeocentrik, sistemi referues heliocentrik (sistemi i Kopernikut). Sistemi referues gjeocentrik: Merret për studimin e lëvizjeve të satelitëve, ku qendra koordinative e të cilit është vendosur në qendrën e Tokës, boshti OZ është i kahëzuar kah ylli Polar, ndërsa dy boshtet tjera koordinative shtrihen në rrafshin e ekuadorit, ndërsa janë të kahëzuar kah dy yje të largëta të palëvizshme. Sistemi referues heliocentrik: Fillimi koordinativ gjendet në qendrën e Diellit, ndërsa tre boshtet koordinative janë të kahëzuar kah tre yjet e largëta të palëvizshme. Rëndësia thelbësore e ligjit të parë të Njutnit qëndron në atë se ai pohon se ekzistojnë sisteme referuese inerciale, në krahasim me të cilët pika materiale e lirë, e cila nuk është nën ndikim të asnjë trupi tjetër, bën lëvizje drejtëvizore të njëtrajtshme ose lëvizje sipas inercionit. Sistemet referuese të cilat lëvizin me nxitim në krahasim me sistemet referuese inerciale quhen sisteme referuese joinerciale (p.sh: vagoni që tërhiqet nga lokomotiva, etj.). FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 14

15 II.10. Forca dhe masa, ligji i II i Njutnit Ligji i parë i Njutnit tregonte faktin se në trupat në të cilët nuk veprojnë trupa tjerë (forca), lëviznin me shpejtësi konstante. Në rast se ndryshohet shpejtësia e trupit, vijmë në përfundim se në trup vepron ndonjë forcë. Nga kjo mund të konstatojmë se: Madhësia fizike që e karakterizon veprimin e një trupi ndaj një trupi tjetër quhet forcë. Pas lëshimit në gjendje të lirë të trupave ato menjiherë fillojnë që të bien vertikalisht teposhtë kah sipërfaqja e Tokës. Nga kinematika na është e njohur lloji i tillë i lëvizjes me të cilin trupi kryen rënie të lirë. Meqë trupi bie në Tokë, mund të përfundojmë se Toka vepron në trupa. Forca me të cilën Toka i tërheq trupat quhet forcë e rëndimit (ose rëndim Tokësor) dhe ajo gjithmonë ka kahje vertikalisht teposhtë. Para se të kalojmë më tej, do të përkujtohemi nga kinematika në formulën me të cilën është dhënë nxitimi: a = v v 0 t Nga kjo mund të konstatojmë se sa më e vogël të jetë koha, aq më pak ndryshon shpejtësia e trupit për kohë të caktuar. Nga dy trupa që bashkëveprojnë, më inert është ai trup i cili më ngadalë e ndryshon shpejtësinë e vetë. Me këtë kuptojmë se nga inercioni i trupit varet nxitimi që e fiton ai trup nën veprimin e trupave tjerë. Masa për inercionin është madhësi fizike e cila quhet masë e trupave. Nëse me m 1 dhe me m i shënojmë masat e trupave që bashkëveprojnë, atëherë mund të supozohet se nxitimet që i fitojnë janë në proporcion të zhdrejtë me masat e tyre: a 1 a = m m 1 Masa është madhësi e parë dinamike, kurse forca është madhësi e dytë dinamike. Lidhja ndërmjet nxitimit të trupit si madhësi kinematike dhe masës së trupit dhe forcës si madhësi dinamike, jepet me anë të ligjit të dytë të Njutnit, i cili thotë: Forca që vepron në trup, është e barabartë me prodhimin e masës së trupit dhe nxitimit që ia jep ajo forcë atij trupi. F = m a Prej ku për nxitimin e trupit fitohet: a = F m Në sistemin SI njësia për matjen e forcës është quajtur Njutën (N), dhe forca është një njutën kur trupit me masë prej 1kg i jepet nxitim prej 1m/s. 1N = 1 kg m s FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 15

16 II.11. Ligji i III i Njutnit Në natyrë nuk mund të ekzistojnë veprime të njëanshme të trupave. Çdo veprim i një trupi ndaj një trupi tjetër, çon kah veprimi i trupit të dytë ndaj të parit, gjegjësisht, bëhet fjalë për bashkëveprim ndërmjet trupave. Ligji i tretë i Njutnit definohet në atë se forcat çdoherë paraqiten në çifte, ku zakonisht njëra forcë quhet veprim (aksion), kurse tjetra frocë quhet kundërveprim (reaksion). Ligji i tretë i Njutnit thotë: Veprimi është i barabartë me kunderveprimin ose aksioni i barabartë me reaksionin. F 1 = F Nëse dy trupa A dhe B bashkëveprojnë me forcat F 1 dhe F 1, atëherë ato dy forca janë të barabarta sipas madhësisë (modulit), të kundërta sipas kahjes, të kahëzuara përgjat një drejtëze dhe afrohen kah trupa të ndryshëm: F 1 = F 1 Ligji i tretë i Njutnit vlen për sistemet referuese inerciale. Sipas ligjit të tretë të Njutnit vijon se: nëse ndonjë trup vepron me ndonjë forcë, atëherë me siguri ekziston edhe ndonjë trup tjetër në të cilin trupi i parë vepron me forcë të njejtë sipas modulit, por me kahje të kundërt. Shembull: Një trup A me masë m është i vendosur, i shtrirë në bazën B. Forca me të cilën vepron trupi në bazën horizontale quhet rëndim i trupit G. Rëndimi i trupit A ëahtë i afruar kah baza. Forca me të cilën vepron baza B, është e afruar kah trupi A. Kjo forcë quhet forcë e reaksionit normal të bazës F p. Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, kemi: F 1 = F 1, G = F p, G = F p FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 16

17 II.1. Forca centripedale Gjat studimit të lëvizjes së lakuar në kinematikë, në rastin kur ndryshohet shpejtësia në kahje me modul, nxitimi me të cilin lëviz pika materiale është i përbërë nga dy komponenta: nxitimin normal (centripedal) a n dhe nxitimin tangjencial a τ : a = a n + a τ Forca nën veprimin e së cilës pika materiale fiton nxitim, përbëhet nga dy komponenta: njëra është tangjenciale, e cila vepron nëpër tangjentën e traektores së pikës së dhënë dhe tjetra është normale në tangjentën, por me kahje kah qendra e lakores dhe quhet forcë centripedale. prej ku rrjedh se: F = F n + F τ F τ = m a τ F n = m v R n Moduli i forcës normale (centripedale) është dhënë me barazimin: F n = m v R ku: R është rrezja e vijës rrethore, moduli (madhësia) i forcës së pikës materiale. Lëvizja e pikës materiale nëpër vijë rrethore me modul konstant të shpejtësisë quhet lëvizje e njëtrajtshme nëpër vijën rrethore. Meqë moduli i shpejtësisë nuk ndryshon, nxitimi tangjencial është i barabartë me zero (a τ = 0), prandaj gjat lëvizjes së njëtrajtshme nëpër vijë rrethore të pikës materiale, vepron vetëm forca normale (centripedale), e cila është shkaktare për ndryshimin e kahjes së shpejtësisë v. Forca centripedale mund të shprehet me anë të shpejtësisë këndore: F n = m ω R Nga kjo formulë shihet se me zmadhimin e shpejtësisë këndore edhe forca centripedale zmadhohet (rritet) shpejtë, e cila është e nevojshme për mbajtjen e lëvizjes së njëtrajtshme të pikës materiale nëpër vijë rrethore. Kjo dukuri është përdorur për konstruktimin e disa llojeve të tahometrave. Tahometrat janë instrumente të cilët shërbejnë për caktimin e frekuencës së rrotullimit të makinave. Rol të forcës centripedale mund të kenë disa forca të ndryshme, si p.sh: forca elastike, forca e fërkimit, forca e gravitetit të tokës, forcat elastike dhe magnetike, etj. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 17

18 II.13. Impulsi i trupit, ligji për ruajtjen e impulsit Me ndihmën e barazimit themelor të dinamikës F = m a, mund të zgjidhet çdo detyrë ose çdo lloj lëvizje që i përket një pike materiale ose trupi të caktuar. Nëse në një trup me masë të caktuar m, vepron forca konstante F = const, atëherë ajo forcë i jep edhe nxitim konstant a = const : prej ku fitohet: F = m a F = m v v 1 t F t = m (v v 1 ) Barazimi i fundit paraqet formën e re të ligjit të dytë të Njutnit, ku prodhimi i masës së trupit dhe shpejtësisë së trupit është madhësi e re dinamike e cila quhet impuls i trupit. p = m v Prodhimi i forcës F dhe intervalit kohor të veprimit të saj Δt, është madhësi e re dinamike që quhet impulsi i forcës. Këto madhësi dinamike nëse zbatohen në ligjin e dytë të Njutnit, barazimi do të merr formën: F t = (m v ) F t = p Nga barazimi i fundit mund të themi se ligji i dytë i Njutnit mund të formulohet edhe ndryshe, gjegjësisht: Impulsi i forcës është i barabartë me ndryshimin e impulsit të trupit. Ligji për ruajtjen e impulsit: Madhësitë dinamike të fituara më sipër impuls i trupit dhe impuls i forcës, mund t i shprehim në një formë të re të ligjit të tretë të Njutnit. Për këtë qëllim do të shqyrtojmë një detyrë të thjeshtë: ndeshjen e dy sferave elastike me masa m 1 dhe m. Në momentin e dhënë të kohës, të dy sferat kanë shpejtësi v 1 dhe v. Gjat intervalit kohorë t, ato veprojnë njëri ndaj tjetrit me forcat F 1 dhe F, të cilat në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit kanë module të barabarta, drejtim të njejtë por kanë kahje të kundërta. Që të zgjedhim këtë problematikë, do të shfrytëzojmë formën e re të ligjit të tretë të Njutnit: F t = p ku: Për sferën e parë do të kemi: Për sferën e dytë do të kemi: F 1 t = p 1 = p 1 p 1 F t = p = p p Meqenëse forcat F 1 dhe F veprojnë në interval kohor rë njejtë t, atëherë në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit F 1 = F, mund të shkruhet barazimi: F 1 t = F t p 1 p 1 = (p p ) FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 18

19 prej ku vijon: p 1 + p = p 1 + p Nga barazimi i fundit dhe nga barazimi themelor i dinamikës (ligji i dytë i Njutnit), dhe me madhësitë e reja impuls i trupit dhe impuls i forcës, arrijmë në një rezultat shumë të rëndësishëm i cili thotë: Shuma e impulseve të trupave para bashkëveprimit të tyre është e barabartë me shumën e impulseve pas bashkëveprimit të tyre. Ky barazim mund të shkruhet edhe në formën tjetër: p 1 + p = const. ose m 1 v 1 + m v = const. që do të thotë se, shuma e impulseve të trupave është madhësi konstante (e pandryshueshme). Kjo formë e re e ligjit të tretë të Njutnit nuk i lidh forcat, por e themelon lidhjen ndërmjet rezultateve fillestare dhe atyre përfundimtare nga veprimi i atyre forcave. Në këtë mënyrë arrihet deri tek një ligj i përgjithshëm i natyrës, ligji për ruajtjen e impulsit të përgjithshëm të trupave në një sistem të mbyllur (izoluar). Nëse sitemi i mbyllur përmban më shumë trupa, ligji për ruajtjen e impulsit të sistemit shkruhet në këtë formë: p 1 + p + p p n = const. m 1 v 1 + m v + m 3 v m n v n = const. II.14. Lëvizja reaktive Një rast shumë i rëndësishëm në aplikimin praktik të ligjit për ruajtjen e impulsit është lëvizja reaktive e trupave. Lëvizja e trupit e cila kryhet kur prej saj ndahet ndonjë pjesë me shpejtësi të caktuar quhet lëvizje reaktive. (rrjedhja e substancës si produkt i ndezjes së ndonjë lënde djegëse) Si rezultat i bashkëveprimit të trupit me substancën që derdhet nga ai, trupi lëviz nën veprimin e forcës, e cila quhet forcë reaktive. Shembull: Nëse në një karrocë kemi të përforcuar në mënyrë horizontale një epruvetë të mbushur me ujë deri në gjysëm dhe e ekmi mbyllur me një tapë gome ose kallami. Gjat nxehjes së epruvetës uji do fillojë të vlojë. Kur do të fitohet sasi e mjaftueshme e avujve të ujit (rritja e presionit të brendshëm), tapa do të hudhet në të majtë kurse karroca do lëviz në të djathë. Në parim të kësaj dukurie janë të ndërtuara raketat dhe anijet kozmike të sodit, të cilat përdoren për lundrime në hapësirë dhe për vendosje të satelitëve artificial për vëzhgim të planeteve të sistemit Diellor, si dhe për komunikime të ndërmjetme në planetin tonë. Çdo raketë është e ndërtuar nga dy pjesë: mbështjellësja dhe lënda djegëse për oksidim. Në raketat me lëndë djegëse të ngurtë përdoret një lloj special i pluhurit. Në raketat me lëndë djegëse të lëngët, si lëndë djegëse përdoren kerozini, hidrogjeni i lëngët, ndërsa si oksidues më së shpeshti përdoret oksigjeni në gjendje agregate të lëngët. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 19

20 Mbështjellësja e raketës ka formë të gypit, e cila nga njëra anë është e mbyllur, kurse nga ana tjetër ka reaktiv special me një ose më shumë hapje. Shembull: Lëvizjen e raketës me masë të ndryshueshme M do ta analizojmë duke e krahasuar me Tokën. Për kohën Δt, masa e gazrave të derdhura është ΔM. Gazrat derdhen nga raketa me shpejtësi u në krahasim me raketën. Shpejtësia e raketës në krahasim me Tokën është e barabartë me v + u. Ndërkohë zmadhohet edhe shpejtësia e raketës për v. Impulsi i përgjithshëm i sistemit (raketa dhe gazrat e derdhur), do të jetë: para derdhjes së gazrave: pas hudhjes së gazrave: p 1 = (M + M) v p = M (v + v ) + M (v + u ) Impulsi i forcës (rezultanta e të gjithë forcave të jashtme), është i barabartë me ndryshimin e impulsit të përgjithshëm të sistemit (raketa dhe gazrat e derdhur). Prej ku fitohet: F t = M (v + v ) + M (v + u ) (M + M) v F = M v t + M t u Anëtari i dytë nga ana e majtë e barazimit e paraqet forcën e cila është forcë reaktive: Barazimi i lëvizjes së raketës ka formën: F R = M t u M a = F F R Ku: M masa e raketës, a nxitimi i raketës. Forca reaktive vepron me kahje të kundërt nga kahja e derdhjes së gazrave dhe varet nga masa e gazrave rrjedhës në njësi të kohës dhe nga shpejtësia e tyre. Lansimet praktike të raketave tregojnë se rëndimi i Tokës P = m g dhe rezistenca e ajrit F r nuk mund të anashkalohen, prandaj këto forca të jashtme veprojnë në raketë dhe duhet të merren parasysh gjat përllogaritjeve. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 0

21 II.15. Puna mekanike dhe fuqia Në jetën e përditshme me fjalën punë shënohet procesi në të cilin kryhet ndonjë veprimtari fizike ose mendore. Në fizikë kuptimi punë ka krejtësisht domethënie tjetër nga ajo në jetën e përditshme. Në fizikë puna është e lidhur me forcën dhe zhvendosjen e trupit. Për ta pasur më të thjeshtë kuptimin e punës, në fillim do të sqarojmë rastin kur forca konstante (F=const), vepron në një trup të vendosur në një rrafsh horizontal. Nën veprimin e kësaj force trupi zhvendoset (lëviz) në drejtim të veprimit të forcës. Prodhimi i forcës dhe i rrugës quhet punë e forcës. A = F s Njësia për punën në sistemin SI është njutën metër, e cila quhet xhul dhe shënohet me J. Një xhul (1J) është puna e kryer prej një njutni (1N) në rrugëm prej një metri (1m). 1J = 1N 1m = 1Nm Puna që e kryen forca që ka kahje të njejtë me kahjen e vektorit të zhvendosjes quhet punë pozitive, kurse puna që e kryen forca e cila ka kahje të kundërt me kahjen e vektorit të zhvendosjes quhet punë negative. Nëse forca vepron në një trup nën një kënd α, me kahjen e lëvizjes së trupit (fig.), forca do të zbërthehet në dy komponenta F 1 dhe F, ku njëra është me kahje në boshtin Ox dhe tjetra në kahje me boshtin Oy. Projektimi i forcës F në të dy boshtet koordinative është i barabartë me: Komponenta F x = F i, përputhet me kahjen e zhvendosjes (lëvizjes së trupit), prandaj puna e kësaj komponente të forcës F, do të jetë: F x = F cosα, F y = F sinα A = F r x = F x cos α Nëpër boshtin Oy nuk ka zhvendosje prandaj r y = y = 0, dhe sipas kësaj komponente F 1 = F y j, nuk kryen punë. Nga kjo paraqitet nevoja e një definicioni me të theksuar: puna e forcës është prodhim i komponentës së forcës në kahjen e zhvendosjes dhe modulit (madhësisë) të zhvendosjes së trupit të shkaktuar nga veprimi i asaj force: A = F r cos α ku këndi α është këndi ndërmjet vektorit të forcës F dhe vektorit të zhvendosjes r. Nga barazimi shihet se forca F nuk do të kryejë punë për këto dy raste: a) kur trupi nuk lëviz (r = const, r = 0), b) kur α = π/, respektivisht kur forca F ka kahje nëpër normale kah traektorja e pikës materiale në moment të dhënë të kohës. Nëse cos α > 0, atëherë puna e forcës është pozitive dhe nëse cos α < 0 (α = 180 o ), atëherë puna e forcës është negative (fig.3). FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1

22 Puna mekanike është madhësi e tillë të cilën e karakterizon procesi i kalimit të trupit prej një gjendje mekanike në tjetrën. Procesi i tillë është i mundshëm vetëm nëse ekziston forcë e cila vepron në trup dhe trupi do të znvendoset nën veprimin e asaj force. II. MEKANIKA Fuqia: Madhësia fizike që cakton sa punë do të kryhet në njësi të kohës quhet fuqi, dhe shënohet me P. Kur puna A do të kryhet për kohën t, fuqia është: P = A t Njësia për fuqinë në sistemin SI është xhul për sekondë dhe quhet vat (W): 1W = 1J 1s = 1 J s Fuqi prej një vati (1W) kemi atëherë nëse për kohën prej një sekonde (1s) do të kryhet punë prej një xhuli (1J). Rekomandohet edhe përdorimi i njësive më të mëdhaja dhe më të vogla se vat: kilovat (kw), megavat (MW), milivat (mw) dhe mikrovat (μw): 1kW = 1000W, 1mW = 0, 001W, 1MW = W 1μW = 0, W Nëse mjetet e udhëtimit lëvizin me shpejtësi konstante,atëherë në këto raste forcat që veprojnë në këto mjete, duke u bazuar në motorët e tyre janë të barabartë nga moduli, ndërsa të kundërt për nga kahja me forcat e fërkimit (forcat rezistente të mjedisit). Në raste të tilla shpejtësia e lëvizjes së tyre përcaktohet nga fuqia e motorit. Sipas përcaktimit, fuqia është dhënë me formulën: A = P t Meqenëse puna është A = F s, ku F është moduli i forcës rezistente të mjedisit. Nëse bëhet zëvendësimi i tyre do të fitohet: Për shkak se: P = F s t = F v v = s t, ose v = P F Në shumë raste forca e rezistencës nuk është konstante, por ajo zmadhohet me zmadhimin e shpejtësisë. Prandaj gjat konstruktimit të automjeteve duhet të llogarisim për zmadhimin e shpejtësisë së tyre. Një makinë që të mund të kryejë punë të dobishme duhet të harxhojë energji. Punën që e kryen makina çdoherë është më e vogël se energjia e harxhuar, poashtu edhe fuqia e dobishme çdoherë është më e vogël se ajo e harxhuar. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek.

23 Herësi i fuqisë së dobishme P D dhe i asaj të harxhuar P H, quhet koeficienti i veprimit të dobishëm i makinës (η): η = P D P H Shpeshherë koeficienti i veprimit të dobishëm (η) shprehet në përqindje: η = P D P H = 100% II.16. Energjia potenciale Trupat mund të posedojnë energji, jo vetëm pse lëvizin, por edhe për shkak të pozitës së tyre ose të konfiguracionit të hapësirës. Ky lloj i energjisë quhet energji potenciale. Do të shqyrtojmë dy shembuj konkret të energjisë potenciale: 1) energjia potenciale e trupit të ngritur në një lartësi mbi sipërfaqen e Tokës, dhe ) energjia potenciale e spirales elastike të deformuar. Formulat me të cilat caktohet energjia potenciale në të dy rastet do t i fitojmë nëse llogarisim punën e forcave në të dy rastet konkrete. 1) Energjia potenciale e trupit të ngritur në jë lartësi të caktuar nga Toka forca e rëndimit: Nëse një trup me masë m gjendet në një lartësi h nga sipërfaqja e Tokës dhe ai trup lirohet të bjerë lirisht pa shpejtësi fillestare, duhet të caktohet puna e forcës së rëndimit. Në trupin i cili gjendet në afërsi mbi sipërfaqen e Tokës, vepron forca e rëndimit e cila mund të llogaritet si konstante dhe caktohet me formulën P = mg. Rëndimi tokësor vepron verikalisht teposhtë, dhe nëse trupi nuk është i mbështetur, ai fillon të lëviz vertikalisht teposhtë. Forca e rëndimit dhe vektori i zhvendosjes r kanë kahje të njejtë (fig.1). me: Pna A e forcës së rëndimit P do të jetë e barabartë A = P r = mg y y = mg(y y 1 ) Meqenë se y 1 = h 1 dhe y = h, puna e forcës së rëndimit do të jetë e barabartë me: A = (mgh mgh 1 ) Prodhimi i masës së trupit (m), modulit të nxitimit të rënies së lirë (g) dhe lartësisë (h) në të cilën gjendet trupi quhet energji potenciale e trupit: E p = mgh Puna e forcës së rëndimit është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale me shenjë të kundërt, gjegjësisht puna e forcës së rëndimit është e barabartë me zvogëlimin e energjisë potenciale: A = (Ep Ep 1 ) FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 3

24 Nëse me forcën e njejtë për nga moduli, një trup do të ngritej në një lartësi nga sipërfaqja e Tokës me forcën e rëndimit, atëherë energjia potenciale e sistemit Tokë trup do të zmadhohet. Nëse trupi lëviz nëpër traektore teposhtë, atëherë puna e forcës së rëndimit është pozitive, në të kundërtën është negative. Puna e forcës së rëndimit në traektore të mbyllur është e barabartë me zero. Forcat, puna e të cilave nuk varet nga forma e traektores quhen forca konservatore. Në grupin e forcave konservatore bëjnë pjesë: forca e rëndimit, forca e elasticitetit (forca elastike), forca e gravitacionit. ) Energjia potenciale e spirales elastike të deformuar: Kur forca e jashtme F vepron në spiralen elastike, ajo deformohet (zgjatet ose shkurtohet). Kjo forcë është proporcionale me deformimin e spirales elastike: F = k Δx. Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit edhe spiralja elastike vepron me forcë elastike e cila sipas modulit është e barabartë me forcën e jashtme, por me kahje të kundërt: F el = k x. Le të jetë susta elastike e zgjatur, ashtuqë pozita e saj fillestare është e barabartë me x 1. Fillimi koordinativ i boshtit të abshisës do të vendoset në vendin e spirales së padeformuar (fig.). Forca elastike është proporcionale me deformimin e spirales elastike, d.m.th. ajo është e ndryshueshme. Prandaj duhet të merren vlerat mesatare të saj: A = F mes x = F mes (x 1 x ) = 1 (F 1 + F ) (x 1 x ) A = kx 1 kx Puna e forcës elastike të spirales është e barabartë me dallimin (ndryshimin) e madhësisë kx /. Kjo madhësi fizike e ka marrë emrin energji potenciale e spirales elastike të deformuar: E p = kx Puna e forcës elastike është e barabartë me zvogëlimin e energjisë potenciale të siprales elastike të deformuar: A = ( kx kx 1 ) A = (E p E p1 ) FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 4

25 II.17. Energjia kinetike Energjia e trupit definohet si aftësi e trupit për të kryer punë. Trupi që lëviz mund të kryejë punë sepse ka shpejtësi. Energjinë që e posedon trupi i cili lëviz quhet energji kinetike. Si llogaritet energjia kinetike e trupit? Puna e forcës së energjisë kinetike: Do të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë: nëse një trup me masë m, lëviz me shpejtësi v, vepron forcë konstante (F = const ) në kahjen e lëvizjes së trupit (fig.1). Nën veprimin e kësaj force trupi do të kalojë distancën r = x x 1. Të gjendet me çka është e barabartë puna e forcës. Meqenë se vektorët v 1 dhe F janë kolinear, lëvizja e trupit do të jetë drejtëvizore. Nën veprimin e forcës konstante (F = const ), trupi lëviz njëtrajtësisht i nxituar. Distanca x që do të kalojë trupi mund të shprehet nëpërmjet shpejtësisë mesatare e cila është e barabartë me vlerën mesatare aritmetike ndërmjet shpejtësisë fillestare dhe të fundit: v mes = v 1 + v, gjegjësisht x = v mes t = v 1 + v Nëse i shumëzojmë të dy anët e barazimit (që e paraqesin ligjin e dytë të Njutnit F = m a) me distancën e zhvendosjes x që e ka kaluar trupi në kahjen e veprimit të forcës F, do të fitohet: F x = m a x Pas zëvendësimit të modulit të nxitimit të trupit e cila është e barabartë me : t Nga kjo do të fitohet: a = v v 1 t F x = m v m v 1 Shprehja në anën e majtë të barazimit paraqet punën e forcës (A = F Δx), ndërsa ana e djathtë paraqet dallimin (zmadhimin) e një madhësie e cila është e quajtur energji kinetike (E k = mv /). Me futjen e madhësive fizike (puna e forcës dhe energjia kinetike e trupit), kjo formulë do të merr formën: A = m v m v 1 A = E k E k1 = E k Me futjen e madhësive fizike (puna e forcës dhe energjia kinetike e trupit), ligji i dytë i Njutnit mund të formulohet me sa vijon: Ndryshimi i energjisë kinetike i trupit është i barabartë me punën e forcës që vepron në trup për kohën e lëvizjes së tij. Ky pohim është i njohur si teorema e energjisë kinetike. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 5

26 II.18. Ligji për ruajtjen e energjisë mekanike Trupat që lëvizin mbi sipërfaqen e Tokës kanë edhe energji kinetike edhe potenciale. Shuma e përgjithshme e energjisë kinetike dhe potenciale quhet energji mekanike: E = E p + E k Përveç ligjit për ruajtjen e impulsit të përgjithshëm të trupit në një sistem të mbyllur, ekziston edhe një ligj tjetër shumë i rëndësishëm i cili është ligji për ruajtjen e energjisë të përgjithshme mekanike. Për të shqyrtuar këtë ligj do të marrim dy shembuj konkret për analizim: 1). Në majën e një rrafshi me pjertësi të dyfishtë (fig.1), nga pika A lëshohet që të rrokulliset një sferë prej çeliku. Do të vërejmë se gjat lëvizjes teposhtë të sferës nëpër rrafshin e pjerët shpejtësia e tij zmadhohet, kurse gjat lëvizjes përpjetë shpejtësia e tij zvogëlohet. Poashtu do të vërejmë se sfera ngjitet pothuajse deri në lartësinë e njejtë prej ku ka qenë e lëshuar që të lëviz. ). Nëse një sferë prej gone ose prej kauçuku e lëshojmë që të bie në një sipërfaqe elastike (beton, dysheme derase, etj.), gjat rënies së sferës do të zvogëlohet lartësia e tij, ndërsa do të rritet shpejtësia. Kur sfera do të prekë bazën elastike ajo do të dëbohet prej sajdhe do të fillojë të lëvizë përpjetë, ndërsa do të fillojë ti zvogëlohet shpejtësia kurse lartësia do të rritet, derisa nuk do të arrijë në lartësinë e njejtë prej nga është lëshuar. Kjo dukuri do të përsëritet disa herë derisa sfera të pushojë mbi sipërfaqen e bazës elastike. Toka dhe sfera janë dy trupa të cilët bashkëveprojnë në mes veti dhe formojnë një sistem të mbyllur. Gjat bashkëveprimit të tyre mund të ndryshojë shpejtësia e tij dhe pozita e tyre, gjegjësisht koordinatat e tyre. Sipas kësaj mund të thuhet se ndryshon energjia kinetike dhe potenciale e tyre. Kur trupi bie lirisht, puna e forcës së rëndimit është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale me shenjë negative: A = (E p E p1 ) Kur në trup vepron forcë konstante, nën veprimin e së cilës ndryshon shpejtësia e trupit, atëherë puna e asaj force është e barabartë me ndryshimin e energjisë kinetike: A = E k E k1 Meqë anët e majta të të dy barazimeve janë të njejta, atëherë vijon se edhe anët e djathta do të jenë të barabarta: E k E k1 = (E p E p1 ) E k1 + E p1 = E k + E p, ose E k + E p = const Në sistemin e mbyllur konservativ, energjia e përgjithshme mekanike e sistemit nuk ndryshon. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 6

27 Ligjin për ruajtjen e energjisë mekanike do ta aplikojmë në sistemin Tokë sferë. Do ti shqyrtojmë të tre pozitat e sferës: A, B dhe C. Në pozitën fillestare A (të përcaktuar me lartësinë H, të matur nga sipërfaqja e Tokës), sfera është në qetësi (v A = 0). Në pozitën B (të përcaktuar me lartësinë h) shpejtësia e sferës është v B, kurse gjat goditjes shpejtësia e sferës është v C. Të llogaritet energjia e përgjithshme e sistemit: Në pikën A: E k + E p = 0 + mgh = mgh E k + E p = mgh Në pikën B: E k + E p = mv B + mgh = m E k + E p = mgh g(h h) + mgh = mgh mgh + mgh = mgh Në pikën C: E k + E p = mv B + 0 = m E k + E p = mgh (gh) = mgh Energjia kinetike dhe potenciale e sistemit mund të ndryshohet, mirëpo energjia e përgjithshme mbetet konstante, ruhet (E = const). II.1. Ligjet e Keplerit Modeli i propozuar për sistemin Diellor nga ana e Nikolla Kopernikut, i ka hedhur të gjitha paragjykimet për gjithësinë, të cilat ishin krijuar që në kohën e Aristotelit. Kozmologjia e tërë e mesjetës dhe Fizika, kanë qenë të bazuara në idetë se Toka është e palëvizshme dhe se gjendet në qendër të gjithësisë. Prandaj, punët e Kopernikut kanë qenë të nënshtruara nga kritikat e rrepta. Teoria e Kopernikut ka qenë e mohuar si e rrejshme dhe në kundërshtim me shkrimin e shenjtë. Një ndër luftëtarët më të dalluar dhe më human, për pranimin e ideve të reja për gjithësinë dhe botën, ka qenë filozofi italian Xhordano Bruno, i cili i ka përhapur idetë e Kopernikut, duke pohuar se Dielli nuk është qendra e gjithësisë, por gjithësia është e pafund dhe është e mbushur me yje. Për shkak të ideve të këtilla ka qenë i dënuar nga inkuizicioni dhe pas burgimit është djegur. Për pranimin përfundimtar të sistemit heliocentirk kontribut të madh ka dhënë fizicienti dhe astronomi italian Galileo Galilei, i cili ka konstruktuar teleskopin dhe ka bërë zbulime të rëndësishme. Ai ka zbuluar katër satelitët e Jupiterit dhe ka vëzhguar lëvizjen e tyre rreth tij. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 7

28 Me këtë ka qenë i rrëzuar pohimi se çdo gjë patjetër duhet të lëviz (rrotullohet) rreth Tokës. Planeti i Jupiterit me katër satelitët e tij ka qenë një shembull i një sistemi të vogël Diellor. Galilei me anë të teleskopit ka shikuar në drejtim të kah Kashta e Kumtrit (Byku i Kumbarës) dhe ka zbuluar se ajo është e ndërtuar nga miliona yje, të cilët janë shumë larg. Me këtë e ka përmbajtur supozimin e Bruno-s, se Gjithësia është e pafund. Meritë të madhe për zhvillimin e mëtejshëm të shkencës ka astronomi danez Tiho Brahe, i cili duke punuar në observatoriumin e ishullit Hven afër Kopenhagës, i ka themeluar tabelat e mirënjohura për lëvizjen imagjinare të planeteve. Pas ikjes së tij në Pragë si rezultat i përndjekjes nga trashëgimtari i fronit, dhe ndihmës të tij ka pasur Johan Kepler-in. Sipas vëzhgimeve të Brahe-s, është treguar se orbitat e planeteve të parapara nga Nikolla Koperniku nuk janë të sakta, prandaj Brahe ka kërkuar mënyrën për përshkrim më të saktë të orbitave të planeteve. Detyrën e parashtruar më mirë dhe më saktë i përshkruan orbitat e planeteve e ka zgjidhur astronomi gjerman Johan Kepler. Në krahasim me Brahe-n, Kepler-i ka qenë personalitet krejtësisht tjetër, derisa Brahe ka qenë mjeshtër i pakapërcyeshëm eksperimantator, aq më tepër Kepler-i ka besuar në mundësitë e mëdha të matematikës. Kepler-i me padurim ka pritur ti shikojë shënimet astronomike të Brahe-s, ku nga ai ka qenë e sugjeruar lëvizja e Marsit. Kepleri-i e ka parashtruar pyetjen: Nëpër çfarë lakore lëviz Marsi për kohën e vëzhguar që i ka kryer Tiho Brahe, të cilat kanë zgjatur njëzet vite? Vëzhgimet janë kryer nga Toka. Si lëviz Marsi? Nëpër lakore të thjeshtë, e përcaktuar sipas postulateve për palëvizshmërinë e Tokës, ose sipas postulatit të Kopernikut? Gjat kësaj analize ka marrë parasysh numër të madh të lakoreve vezake, dhe pas disa muajsh ka aplikuar një formulë për elipsën, e cila burimisht ka qenë e përmendur në bibliotekën e Aleksandrisë nën emrin e zbuluesit të saj Apolnij, dhe menjëherë e ka kuptuar se ato shumë mirë përputhen me zbulimet e Brahe-s gjat vëzhgimeve të tij. Kështu u realizua ideja e Kepler-it dhe ai ka konstatuar se Marsi lëviz rreth Diellit jo në orbita rrethore por eliptike, kurse planetet tjera kanë orbita të cilat janë dukshëm më pak eliptike se ajo e Marsit. Duke i gjeneruar rezultatet e fituara për të gjitha planetet, Kepler-i në mënyrë empirike ka themeluar tri ligje të kinematikës së lëvizjes së planeteve: Ligji i parë i Kepler-it (ligji për orbitat) Çdo planet lëviz nëpër elipsë, në të cilën në njërën nga fokuset gjendet Dielli. Ligji i dytë i Kepler-it (ligji për sipërfaqet) Rreze vektori që e lidh planetin me Diellin, për kohëra të barabarta përshkruan sipërfaqe të barabartë. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 8

29 Ligji i tretë i Kepler-it (ligji për periodat) Katrorët e kohërave gjat një rrotullimi të planeteve rreth Diellit qëndrojnë sikurse kubet e mëdha të gjysmëboshteve të dhiareve eliptike të tyre. T 1 3 T = a 1 3 a Ligji i parë dhe i dytë i Kepleri-it kanë qenë të publikuar në vitin 1600, kurse i treti më Ligji i tretë i Kepler-it është publikuar me titullin Pajtueshmëria e botës. Tre ligjet e Kepler-it e paraqesin përshkrimin e lëvizjeve kinematike të planeteve të sistemit Diellor. Edhe metoda e llogaritjes së lëvizjes orbitale të planeteve që ka përdorur Ptolomeu është metodë e pastër kinematike e përshkrimit të lëvizjes së planeteve. Në realitet bëhet fjalë për dy metoda të barabarta kinematike të përshkrimit të lëvizjes së planeteve: Ptolomeu për përshkrimin e lëvizjes së planeteve për trup referues ka marrë Tokën. II.19. Ligji i Njutnit për Gravitacionin Në krahasim me sistemin referues heliocentrik, Toka hulumtohet si planet, i ngjashëm me të gjithë planetet tjera. Kjo d.t.th. se nuk ka nevojë për themelimin e dinamikës gjeocentrike të posaçme. Sistemi referues heliocentrik jep mundësi për aplikimin e dinamikës së Galileit dhe Njutnit. Ëndra jetësore e Keplerit, që ta kuptojë lëvizjen e planeteve, ta kuptojë pajtueshmërinë e qiellit, ka qenë e realizuar 36 vite pas vdekjes së tij, nga ana e Isak Njuton, njëri ndër shkencëtarët gjenial më të mëdhenj i cili ka jetuar në këtë botë. Ai i ka bashkuar zbulimet e Kopernikut, Keplerit, Galileit she shkencëtarëve tjerë, si në fizikë, ashtu edhe në astronomi. Duke ua bashkangjitur edhe zbulimet e veta kështu ka themeluar një sistem, i cili në kohën e sotme paraqet një ndër të arriturat më të mëdha në shkencë. Që para kohës paraikonike, ka qenë e njohur se trupat bien në Tokë, nëse nuk janë të mbështetur ose të varur. Gjat gjithë historisë së njerëzimit nuk ka pasur hamendje se Hëna lëviz rreth Tokës. Isak Njuton ishte i pari i cili e kuptoi, se shkaku i rënies së trupave në Tokë dhe shkaku i lëvizjes së Hënës rreth Tokës, është e njejta gjë Toka. Në këtë mënyrë e ka zbuluar ligjin për gravitacionin e përgjithshëm. Njutni mirë e ka ditur se Hëna rrotullohet rreth Tokës, me periodë T = 7d 7h43 min 1s. duke vëzhguar natyrën përreth, ai i ka kushtuar vëmendje rënies së mollës në Tokë, në ndërkohë ai e ka parashtruar pyetjen: Nëse molla e lirë dhe e papërforcuar bie në drejtim kah Toka, a thua edhe Hëna, e cila gjithashtu është trup i lirë dhe e cila gjithashtu nuk është askund e përforcuar, nuk bie në drejtim të Tokës?!. Prej këtu Njutni ka arrdhë në përfundim se Hëna do të duhej të lëvizë nëpër vijë të drejtë, nëpër tangjentën në pikë të dhënë të orbitës eliptike të vet, nëse në të nuk vepron ndonjë forcë e cila ndikon ashtu që sistematikisht do ta kalojë dhiarenë, prandaj Hëna rrotullohet rreth Tokës pothuajse nëpër vijë rrethore. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 9

30 Këtë forcë tërheqëse Njutini e ka quajtur forcë të Gravitacionit. Për forcën e Gravitacionit Njutni ka supozuar se vepron në largësi. Hëna nuk lëviz drejt kah Toka, por shmangia e çdohershme e kahjes së lëvizjes nga vija e drejtë paraqet rënien e saj. Para Njutin u parashtrua problemi: si ndryshon forca, që vepron në planetet në rast kur ndryshon rrezja e orbitës? Që ta zgjidh këtë problem ka përdorur ligjet e Keplerit. Ligji i parë i Keplerit those se planetet lëvizin rreth Diellit nëpër orbita eliptike. Meqenë se ato orbita janë shumë të afërta me vijën rrethore, në fillim për ta thjeshtësuar do ta pranojmë se dhiaretë e planeteve janë vija rrethore dhe se Dielli gjendet në qendrën e këtyre vijave rrethore. Në kushte të tilla, nxitimi i planeteve gjat lëvizjes së tyre të njëtrajtshme nëpër vijën rrethore me rreze R është dhënë me formulën: a R = ω R = 4π T R Në pajtim me ligjin e tretë të Keplerit, për planetet që lëvizin nëpër vija rrethore rreth Diellit, mund të shkruhet: T 1 T T 3 = R 3 1 R 3 R 3 3, ose R3 = K T ku K është konstanta një dhe e njejtë për të gjithë planetet e sistemit Diellor. Kjo konstantë quhet konstanta e Keplerit. Që ta anashkalojmë periodën T të planeteve dhe të fitojmë shprehje për nxitimin a R vetëm si funksion nga rrezja e vijës rrethore e orbitës së planetit, Njutini e ka përdorur ligjin e tretë të Keplerit: T = R3 K Në ndërkohë, për nxitimin e planeteve gjat lëvizjes së saj nëpër vijën rrethore, fitohet: a R = 4π K R Në pajtim me ligjin e dytë të Njutnit, forca me të cilën vepron Dielli në planet masa e së cilës është m, do të jetë: F = ma R = 4π Km R Koeficienti i proporcionalitetit 4π K, që hyn në barazimet është një dhe i njejtë për të gjithë planetet, prandaj ky koeficient nuk mund të varet nga masa e planetit përkatës. Sipas kësaj, nëse forca që e shpreh bashkëveprimin ndërmjet planeteve dhe Diellit është proporcionale me masën e planetit, atëherë ajo forcë e njejtë patjetër duhet të jetë proporcionale me masën e Diellit: 4π K = γm ; K = γm 4π FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 30

31 Prej ku për forcën me të cilën Dielli i tërheqë planetet, fitohet: F = γ Mm R ku γ është konstanta e re, e cila më vonë e merr emrin konstanta e Kevendishit, M masa e diellit, m masa e planetit, R distanca prej qendrës së diellit deri tek qendra e planetit. Në bazë të këtyre ideve Njutni përsëri i është kthyer problemit që kishte parashtruar: llogaritja e forcës nën veprimin e së cilës Hëna lëviz rreth Tokës. Përputhshmëria e rezultateve të fituara për nxitimin e Hënës ka qenë dëshmi e fortë se është i arsyeshëm paragjykimi për natyrë të njejtë të forcave që veprojnë ndërmjet Tokës dhe Hënës dhe ndërmjet Diellit dhe planeteve. Këto forca janë quajtur forca të gravitacionit dhe janë të ngjashme me forcën e rëndimit, që vepron në trupin që bie në Tokë. Meqë Dielli dhe planetet dallohen vetëm për nga madhësia e masave të tyre, prandaj është e arsyeshme që Njutni ka supozuar se forcat tërheqëse (të gravitacionit) ekzistojnë jo vetëm ndërmjet Diellit dhe planeteve, por edhe ndërmjet planeteve. Sipas kësaj forca F 1, me të cilën trupi me masë m 1 e tërheq trupin me masë m i cili gjendet në distancë R, është e barabartë me: F 1 = (4π K 1 ) m = γ m 1m R R Nga ana tjetër, në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, forca F 1 me të cilën trupi me masë m, e tërheq trupin e parë me masëm 1, meqenëse (4π K ) = γm, do të jetë e barabartë me : Në këtë mënyrë mund të shkruhet : F 1 = (4π K ) m = γ m 1m R R F 1 = F 1 = γ m 1m r 0 ; r 0 = r 1 r 1 R F 1 = F 1 = γ m 1m r 1 Njutni nuk e ka ditur vlerën numerike të masës së asnjë trupi qiellor, por nuk e ka ditur as vlerën numerike të konstantës γ. Vlerën numerike të konstantës së gravitacionit i pari e ka caktuar fizicienti anglez Henri Kevendish në vitin Sipas tij është quajtur konstanta e Kevendishit, e cila ka vlerën: γ = 6, N m kg Ligji i Njutnit për gravitacionin e përgjithshëm nuk është në gjendje ta sqarojë rrotullimin e perikelit të planeteve. Ky rrotullim i perikelit të Merkurit jep sqarime të kënaqshme në kuadër të teorisë së Ajnshtajnit për gravitacionin. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 31

32 II.0. Forca e rëndesës, pesha e trupit që lëviz me nxitim në drejtim vertikal Forca e rëndimit: Forca me të cilën Toka i tërheq trupat që gjenden në rrethin e saj (afër sipërfaqes së saj) quhet forcë e rëndimit (rëndimi Tokësor). Ajo caktohet me formulën: P = m g ku m është masa e trupit, kurse g është nxitimi i rënies së lirë. Në pajtim me ligjin për gravitacionin e përgjithshëm, forca e gravitacionit me të cilën Toka e tërheq trupin me masë m, është dhënë me formulën: F = γ Mm R ku M është masa e Tokës, kurse R është rrezja e Tokës (R=6370km). Meqenëse bëhet fjalë për bashkëveprimin e Tokës me një trup të njejtë, vijon: ku për nxitim të rënies së lirë fitohet: mg = γ Mm R g = γ M R Kjo d.t.th. se nxitimi i rënies së lirë nuk varet nga masa e trupit. Nxitimi i rënies së lirë g është i njejtë për të gjithë trupat. Vlera e llogaritur e nxitimit të rënies së lirë, sipas formulës përafërsisht është e barabartë me: g = γ M = 9, 83 m/s R Kur trupi gjendet në një lartësi h mbi sipërfaqen e Tokës, atëherë nxitimi i rënies së lirë llogaritet me formulën: g = γ Mm (R + h) Sipas rezultateve eksperimentale, nxitimi i rënies së lirë në gjerësi të ndryshme gjeografike ka vlera të ndryshme. Shkak për këtë është rotacioni i Tokës rreth boshtit të vet dhe forma e veçantë e Tokës, e cila quhet gjeoid. Në gjerësinë gjeografike 45 o, nxitimi i rënies së lirë është g = 9,8060 m/s. Në pole është g = 9,83 m/s, kurse në ekuador është g = 9,78 m/s. Gjat llogaritjeve si vlerë mesatare merret g = 9,81 m/s, kurse ndonjëherë është edhe g = 10 m/s. Pesha e trupit: Të gjithë trupat që gjenden në sipërfaqen e Tokës ose në afërsi të saj, ajo i tërheq në vete. Për shkak të veprimit të forcës së gravitacionit të Tokës, trupat bëjnë shtypje në bazën në të cilën janë të vendosur, ose nëse i lëshojmë, ato bien kah Toka. Forca me të cilën trupi bën shtypje në bazën horizontale, ose e tërheq perin në të cilin është i varur, quhet peshë e trupit. Pesha e trupave është e barabartë me forcën e rëndimit vetëm atëherë, kur baza në të cilën është vendosur trupi ose varësja në të cilën është varur trupi, janë në qetësi ose lëvizin me shpejtësi konstante (v = const ). Ekziston dallim esencial ndërmjet forcës së rëndimit dhe peshës së trupit. Forca e rëndimit ka natyrë gravituese, kurse pesha e trupit ka natyrë elastike. Pesha e trupit është e barabartë me forcën e FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 3

33 reaksionit normal të bazës (mbi të cilën shtrihet trupi), ose me forcën e elasticitetit të tërheqjes së perit (në të cilin është varur) por me kahje të kundërt: P T = F B ; P T = F B gjegjësisht P T = F el ; P T = F el Forca e rëndimit dhe pesha e trupave nuk duhet të barazohen edhe për shkak të shkaqeve që vijojnë: 1. Forca e rëndimit dhe pesha e trupit veprojnë në dy trupa të ndryshëm: forca e rëndimit vepron në trupin që është i shtrirë kurse pesha e trupit vepron në bazën ku është shtrirë trupi.. Pesha e trupit mund të mos përputhet me forcën e rëndimit si për nga moduli poashtu edhe për nga kahja, p.sh. gjat lëvizjes së trupit me nxitim, pesha e trupit ndryshon dhe mund të fitojë vlerën zero, kurse forca e rëndimit nuk është ky rast. Pesha e trupit që është në lëvizje me nxitim në drejtimin vertikal: Në jetën e përditshme shpesh hasen lëvizje të trupave nëpër vertikale. Lëvizja e këtillë është lëvizja e ashensorit. Do ta hulumtojmë forcën me të cilën trupi vepron në bazën (dyshemenë e ashensorit), d.m.th. sa do të jetë pesha e trupit në këto kushte. Nëse bazohemi në figurën vijuese, atëherë në vizatim e paraqesim ashensorin në pozitë të caktuar, kurse në dysheme të ashensorit e vendosim trupin. Lëvizjen e ashensorit e vëzhgojmë në krahasim me sistemin referues inercial (SRI) të lidhur me përdhesën prej ku niset ashensori. Në trup veprojnë dy forca: forca e rëndimit P = m g dhe forca e reaksionit normal të shtypjes F sh. Ligji themelor i dinamikës (ligji i dytë i Njutnit), mund të shkruhet: m g + F R = m a Kahja e lëvizjes së ashensorit nuk ndikon në kahjen e nxitimit, prandaj do të shqyrtojmë dy raste: 1. Nxitimi me kahje vertikalisht përpjetë. I projektojmë forcat dhe nxitimin në boshtin OY: prej ku firohet: m g + F R = m a F R = m(g + a) Në pajtim me ligjin e tretë të Njutnit, forca me të cilën dyshemeja e ashensorit vepron në trup është e barabartë me forcën me të cilën trupi vepron në dysheme, gjegjësisht me peshën e trupit: F R = G ; F R = G ; G = m(g + a) FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 33

34 . Nxitimi me kahje vertikalisht teposhtë. I projektojmë forcën dhe nxitimin në boshtin OY, fitojmë: m g = F R = m a prej ku fitohet: F R = m(g a) Pesha e trupit do të jetë: G = g a Nëse a = g, atëherë pesha e trupit është e barabartë me zero. Në këtë rast trupi i cili është i shtrirë në dyshemenë e ashensorit aspak nuk do të bëjë shtypje në të, ose nëse është i varur në tavan të ashensorit në spirale elastike (dinamometër), spiralja nuk do të zgjatet. Gjat rënies së lirë, trupat gjenden në gjendje pa peshë. Pesha e trupit që është i shtrirë në dyshemenë e ashensorit i cili lëviz me nxitim mund të jetë më e madhe ose më e vogël nga pesha e trupit, kur baza në të cilën është i shtrirë është në qetësi ose lëviz me shpejtësi konstante. Pesha e trupit mund të jetë edhe e barabartë me zero, në këtë rast trupi është në gjendje pa peshë. II.. Lëvizja e satelitëve artificial Me zbulimin e ligjit për gravitacionin është mundësuar të sqarohen ligjëshmëritë e lëvizjes së planeteve rreth Diellit, të cilat janë zbuluar nga Johan Kepler. Pas caktimit eksperimental të konstantës së gravitacionit nga ana e Henri Kevendish, ligji i dytë i Njutnit dhe ligji i Njutnit për gravitacionin e përgjithshëm, japin mundësinë që të caktohet traektorja e lëvizjes së planeteve dhe satelitëve të tyre, poashtu të llogariten edhe traektoret e anijeve kozmike dhe koordinatat e tyre në çdo moment të kohës. Në bazë të mekanikës së Njutnit, ligjin e gravitacionit, masa dhe rrezja e Tokës dhe konstantën e gravitacionit (Kevendishit), me ndihmën e së cilave mund të llogariten shpejtësitë e nevojshme për lansimin që të mundet njdonjë satelit të hudhet në kozmos normalisht nga sipërfaqja e Tokës, ose ndonjë satelit tjetër të lansohet në orbitë rrethore rreth Tokës. Trupat e hedhur nga sipërfaqja e Tokës, që të mund të lëvizin nëpër orbita rreth Tokës, ose rreth ndonjë trupi tjetër qiellor, quhen satelitë artificial. Që të mundet një trup të shndërrohet në trup kozmik, ai duhet të nxirret jashtë atmosferës së Tokës, dhe t i jepet shpejtësi fillestare të mjaftueshme. Në kozmonautikë kjo është e njohur si lansim i trupit në orbitë. Shpejtësia më e vogël fillestare v 0 = v 1, që duhet t i komunikohet një trupi, që të bëhet satelit artificial i Tokës, quhet shpejtësia e parë kozmike. Shpejtësia e parë kozmike është e njohur me emrin shpejtësia rrethore. Ermin e ka marrë për shkak se ajo është e barabartë me shpejtësinë e satelitit artificial, i cili rrotullohet rreth Tokës, në mungesë të rezistencës së atmosferës, nëpër orbitë rrethore vetëm nën ndikimin e forcës së gravitacionit të Tokës (forcës së rëndimit). Që të mundet rezistenca e ajrit të anashkalohet, lartësia e trupit duhet të jetë e madhe. Kështu p.sh. gjat llogaritjeve mund të merret se rrezja e orbitës r është e barabartë me 6700 km. Nëse masa e Tokës merret se është M = kg dhe γ = 6, N m kg, për shpejtësinë e parë kozmike fitohet v = 8km/s. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 34

35 Nëse shpejtësia është më e vogël sateliti do të bjerë në Tokë. Dhe nëse shpejtësia është më e madhe, atëherë traektorja më nuk do të jetë vijë rrethore por do të jetë eliptike. Shpejtësia me të cilën duhet të lansohet një trup, që ta braktis Tokës ta mbizotërojë forcën e gravitacionit të Tokës dhe të bëhet satelit artificial i Diellit quhet shpejtësia e dytë kozmike. Kjo shpejtësi ndryshe quhet edhe si shpejtësi parabolike, sepse kjo shpejtësi o përshtatet traektores parabolike të trupit në fushën e gravitacionit të Tokës (në mungesë të rezistencës së atmosferës). Vlerën e shpejtësisë së dytë kozmike do ta shënojmë pa llogaritur: v = g R = 11, km/s Me krahasimin e formulave për shpejtësinë e parë dhe të dytë kozmike, fitohet: v = v 1 = 11, km/s Për shkak të vlerave të mëdhaja të shpejtësisë së parë dhe të dytë kozmike, gjat lansimit të anijeve kozmike përdoren raketa shumë shkallëshe. Prej lansimit të satelitit të parë artificial të Tokës më 4 Tetor 1957 e deri më sot, teknika e lansimit dhe e drejtimit me satelitë artificial dhe stacionet kozmike është në rritje të dukshme. Stacionet interplanetare ruse Venera, Mars, Vega, si dhe stacionet amerikane Vojazher dhe Pionir kanë mundësuar që të hulumtohet atmosfera dhe sipërfaqja e planeteve Venera dhe Mars, duke i fotografuar të gjitha planetet dhe satelitët e tyre. Nëse perioda e satelitit artificial të Tokës është e barabartë me periodën e rrotullimit të Tokës rreth boshtit të vet (4h), atëherë sateliti i tillë në krahasim me vëzhguesin e palëvizshëm në Tokë duket statik (i palëvizshëm). Gjat kësaj duhet të plotësohet kushti: të gjendet mbi një punkt (pikë) të ekuatorit të Tokës. Ndryshe, sateliti që lëviz në rrafshin e ekuatorit të Tokës, rri i varur mbi ndonjë pikë mbi sipërfaqen e Tokës. Satelitët e tillë quhen satelitë sinkron ose gjeostacionar. Satelitët sinkron mund të shërbejnë dhe të mundësojnë translacione interkontinentale shumëshkallëshe. II.3. Njohuri nga Astronomia Astronomia, që nga etimologjia do të thotë "ligji i yjeve" (greq.: astro + nomos), e cila është shkencë që përfshin vrojtimin dhe shpjegimin e dukurive që ndodhin jashtë Tokës dhe atmosferës së saj. Ajo studion prejardhjen, zhvillimin, vetitë fizike dhe kimike të të gjitha trupave jashtë tokësorë që mund të vrojtohen në qiell, së bashku me të gjitha proçeset (ecuritë) në të cilat ato përfshihen. Me ndryshimin e kohërave kanë ndryshuar dhe degët e saj të studimit. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 35

36 Astronomia është ndër të paktat shkenca ku amatorët luajnë ende një rol, sidomos në zbulimin dhe vëzhqimin e dukurive qiellore. Astronomia nuk duhet ngatërruar me astrologjinë, apo pseudoshkencat të cilat përpiqen të zbulojnë fatin e njerëzve duke vrojtuar lëvizjen e trupave qiellorë. Megjithëse të dyja bazohen tek të njëjtat parime (vrojtimin e qiellit), ato janë të ndryshme: astronomia bazohet në studimin sipas metodave shkencore, ndërsa astrologjia nuk ka baza në metoda të tilla. Astronomia në vete ka përfshirë më shumë pjesë: mekanikën qiellore, kozmogoninë, kozmonautikën dhe astrofizikën. Pjesa e astonomisë e cila e studion themelimin dhe zhvillimin e trupave qiellorë quhet kozmogoni (gr. cosmo + genos = gjithësi + krijim). Kozmonautika e studion lëvizjen e anijeve kozmike në hapësirën kozmike. Astorifizika është degë e astronomisë e cila merret me natyrën dhe ndërtimin e gjithësisë, duke përfshirë vetitë fizike (ndriçimin, dendësinë, temperaturën, dhe përbërjen kimike) të trupave qiellore si yjet, galaktikë dhe mjedisit ndëryjor, si edhe ndërveprimeve të tyre. Planetet e sistemit Diellor Astronomia përbehet nga disa degë. Ndarja e parë bëhet në astronomi teorike, dhe astronomi vrojtuese. Vrojtuesit përdorin mënyra të ndryshme për të marrë të dhëna mbi dukuri të ndryshme, të dhëna që përdoren nga teoricienët për ndërtimin e modeleve, shpjegimin e këtyre dukurive dhe parashikimin e të tjerëve të ngjashëm. Kjo nuk do të thotë që vrojtuesit dhe teoricienët janë persona të ndryshëm. Degët e studimit mund të ndahen edhe sipas dy kritereve: sipas subjektit (p.sh planetët ose galaktikat) ose problematikave (formimi i yjeve ose i planetëve), sipas zonës së spektrit elektromagnetik të studiuar. Ndarja sipas subjektit ose problematikës: Astrometria: Mat vendosjen dhe zhvendosjen e objekteve (sendeve) qiellore. Nevojitet të përcaktojë sistemin e përdorur të vend-ndodhjes dhe lëvizje-matjen e objekteve në galaksinë tonë. Kozmologjia: Studimi i gjithësisë në tërësi dhe zhvillimin e saj. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 36

37 Astronomia galaktikore: Ishte studimi i ndërtimtarisë dhe përbërësve të galaktikës sonë. Tani përfshin studimin e galaktikave të tjera që mund të vëzhgohen me hollësi. Astronomia Tejgalaktikore: Studimi i objekteve (kryesisht galaksive) jashtë galaksisë sonë. Formimi dhe zhvillimi i galaktikave: Studimi i formimit të galaksive, dhe zhvillimit të tyre në gjendjen e vëzhguar të tashme. Shkenca planetare: Studimi i planetëve të sistemit diellor është (në kohët e fundit), nganjëherë i menduar një disiplinë e ndryshme; e quajtur gjithashtu planetologji. Astronomia yjore: Studimi i yjeve në përgjithësi. Zhvillimi i yjeve: Studimi dhe zhvillimi i yjeve nga formimi i tyre deri në fundin e tyre si mbetje yjore. Formimi i yjeve: Studimi i kushteve dhe proceseve (ecurive) që kanë çuar në formimin e yjeve në brendësinë e reve të gazta, dhe vetë ecurinë e formimit. Gjithashtu, ka edhe disiplina të tjera që mund të mendohen pjesë e astronomisë, ose janë shkenca ndërdisiplinore në lidhje me astronominë si: Arkeoastronomia: është studimi se si njerëzit në të kaluarën, kanë kuptuar fenomenet në qiell, si ata i kanë përdorur këto fenomene dhe çfarë roli ka luajtur qielli në kulturat e tyre. Astrobiologjia: është studimi i origjinës, evolucionit, shpërndarjes, dhe të ardhmen e jetës në univers, jetës jashtëtokësore dhe jetës në Tokë. Astrokimia: është studimi i begatisë dhe reagimet e elementeve kimike dhe molekulave në gjithësi, dhe ndërveprimin i tyre me rrezatim. Galaksioni Andromeda FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 37