ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

Transcript

1

2 David J. Griffiths ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Β αναθεωρημένη έκδοση Μετάφραση: Στράτος Αρβανιτίδης - Αναστάσιος Λαυρέντζος Επιστημονική επιμέλεια: Πέτρος ήτσας - Χριστίνα Κουρκουµέλη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 2012

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ίδρυµα Τεχνολογίας & Έρευνας Αθήνα: Κλεισόβης 3, Τηλ , Fax Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών Τηλ Fax ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΦΥΣΙΚΗ ιευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς Τίτλος πρωτοτύπου: c 1981, 1989, 1999: c για την ελληνική γλώσσα: Μετάφραση α έκδοσης: Επιστηµονική επιµέλεια α έκδοσης: Προσαρµογή στη β έκδοση: Επιστηµονική επιµέλεια β έκδοσης: Προσαρµογή LATEX: Μακέτα εξωφύλλου: Introduction to Electrodynamics, 3rd edition Prentice-Hall, Inc Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης Στράτος Αρβανιτίδης, Αναστάσιος Λαυρέντζος Πέτρος ήτσας, Χριστίνα Κουρκουµέλη Ιωάννης Παπαδόγγονας, Ιωάννα Χιτζανίδη Πέτρος ήτσας David J. McClurkin Βάσω Αβραµοπούλου ISBN

4 Περιεχόµενα Πρόλογος στην ελληνική έκδοση Πρόλογος Προαγγελία xi xiii xv 1 ιανυσµατική ανάλυση ιανυσµατικήάλγεβρα Πράξειςµεδιανύσµατα Ηδιανυσµατικήάλγεβραυπόµορφήσυνιστωσών Τριπλάγινόµενα ιανύσµατα θέσης, µετατόπισης, και απόστασης Πώςµετασχηµατίζονταιταδιανύσµατα ιαφορικόςλογισµός «Συνήθεις»παράγωγοι Κλίση Ο τελεστής Ηαπόκλιση Οστροβιλισµός Κανόνεςγινοµένων εύτερεςπαράγωγοι Ολοκληρωτικόςλογισµός Επικαµπύλια, επιφανειακά, και χωρικά ολοκληρώµατα Τοθεµελιώδεςθεώρηµατηςανάλυσης Τοθεµελιώδεςθεώρηµαγιατιςκλίσεις Τοθεµελιώδεςθεώρηµαγιατιςαποκλίσεις Το θεµελιώδες θεώρηµα για τους στροβιλισµούς Ολοκλήρωσηκατάµέρη Καµπυλόγραµµεςσυντεταγµένες Σφαιρικέςσυντεταγµένες Κυλινδρικέςσυντεταγµένες ΗσυνάρτησηδέλτατουDirac v

5 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Η απόκλιση της ˆr/r ΗµονοδιάστατησυνάρτησηδέλτατουDirac Ητριδιάστατησυνάρτησηδέλτα Ηθεωρίατωνδιανυσµατικώνπεδίων ΤοθεώρηµαHelmholtz υναµικά Ηλεκτροστατική Τοηλεκτροστατικόπεδίο Εισαγωγή ΟνόµοςτουCoulomb Τοηλεκτρικόπεδίο Συνεχείςκατανοµέςφορτίου Απόκλιση και στροβιλισµός των ηλεκτροστατικών πεδίων υναµικές γραµµές, ροή, και ο νόµος του Gauss Η απόκλιση του E ΕφαρµογέςτουνόµουτουGauss Ο στροβιλισµός του E Ηλεκτρικόδυναµικό Εισαγωγήστοδυναµικό Σχόλιαστοδυναµικό ΗεξίσωσηPoissonκαιηεξίσωσηLaplace Το δυναµικό µιας εντοπισµένης κατανοµής φορτίου Σύνοψη: Ηλεκτροστατικές συνοριακές συνθήκες Έργοκαιενέργειαστηνηλεκτροστατική Το έργο που δαπανάται κατά την κίνηση ενός φορτίου Η ενέργεια µιας κατανοµής σηµειακών φορτίων Η ενέργεια µιας συνεχούς κατανοµής φορτίου Σχόλιαστηνηλεκτροστατικήενέργεια Αγωγοί Βασικέςιδιότητεςτωναγωγών Επαγόµεναφορτία Το επιφανειακό φορτίο και η δύναµη πάνω σ έναν αγωγό Πυκνωτές Ειδικές τεχνικές υπολογισµού δυναµικού ΗεξίσωσηLaplace Εισαγωγή ΗεξίσωσηLaplaceσεµίαδιάσταση ΗεξίσωσηLaplaceσεδύοδιαστάσεις ΗεξίσωσηLaplaceσετρειςδιαστάσεις Συνοριακές συνθήκες και το πρώτο θεώρηµα µοναδικότητας Αγωγοί και το δεύτερο θεώρηµα µοναδικότητας Ηµέθοδοςτωνειδώλων...134

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii Τοκλασικόπρόβληµαειδώλου Τοεπαγόµενοεπιφανειακόφορτίο ύναµηκαιενέργεια Άλλαπροβλήµαταειδώλων Οχωρισµόςτωνµεταβλητών Καρτεσιανέςσυντεταγµένες Σφαιρικέςσυντεταγµένες Τοπολυπολικόανάπτυγµα Προσεγγιστικά δυναµικά σε µεγάλες αποστάσεις Οµονοπολικόςκαιοδιπολικόςόρος Η αρχή των αξόνων στα πολυπολικά αναπτύγµατα Τοηλεκτρικόπεδίοενόςδιπόλου Ηλεκτροστατικά πεδία στην ύλη Πόλωση ιηλεκτρικά Επαγόµεναδίπολα Ηευθυγράµµισητωνπολικώνµορίων Πόλωση Τοπεδίοενόςπολωµένουαντικειµένου έσµιαφορτία Φυσικήερµηνείατουδέσµιουφορτίου Το πεδίο στο εσωτερικό ενός διηλεκτρικού Ηηλεκτρικήµετατόπιση Ο νόµος του Gauss παρουσία διηλεκτρικών Μίαπαραπλανητικήαντιστοιχία Συνοριακέςσυνθήκες Γραµµικάδιηλεκτρικά Επιδεκτικότητα, δεκτικότητα, διηλεκτρική σταθερά Προβλήµατα συνοριακών τιµών µε γραµµικά διηλεκτρικά Ηενέργειασταδιηλεκτρικάσυστήµατα Οιδυνάµειςσταδιηλεκτρικά Μαγνητοστατική ΟνόµοςτηςδύναµηςLorentz Μαγνητικάπεδία Μαγνητικέςδυνάµεις Ρεύµατα ΟνόµοςBiot-Savart Σταθεράρεύµατα Τοµαγνητικόπεδίοενόςσταθερούρεύµατος Η απόκλιση και ο στροβιλισµός του B Ευθύγραµµαρεύµατα Η απόκλιση και ο στροβιλισµός του B...244

7 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕφαρµογέςτουνόµουτουAmpère Σύγκριση της µαγνητοστατικής και της ηλεκτροστατικής Τοµαγνητικόδιανυσµατικόδυναµικό Τοδιανυσµατικόδυναµικό Σύνοψη: Μαγνητοστατικές συνοριακές συνθήκες Το πολυπολικό ανάπτυγµα του διανυσµατικού δυναµικού Μαγνητοστατικά πεδία στην ύλη Μαγνήτιση ιαµαγνητικά, παραµαγνητικά και σιδηροµαγνητικά υλικά Ροπέςκαιδυνάµειςσεµαγνητικάδίπολα Οι επιπτώσεις ενός µαγνητικού πεδίου στις ατοµικές τροχιές τωνηλεκτρονίων Μαγνήτιση Τοπεδίοενόςµαγνητισµένουαντικειµένου έσµιαρεύµατα Ηφυσικήερµηνείατωνδέσµιωνρευµάτων Τοµαγνητικόπεδίοστοεσωτερικότηςύλης Το βοηθητικό πεδίο H ΟνόµοςτουAmpèreσεµαγνητικάυλικά Μίαπαραπλανητικήαντιστοιχία Συνοριακέςσυνθήκες Γραµµικάκαιµηγραµµικάµέσα Μαγνητική επιδεκτικότητα και διαπερατότητα Σιδηροµαγνητισµός Ηλεκτροδυναµική Ηλεκτρεγερτικήδύναµη ΟνόµοςτουOhm Ηλεκτρεγερτικήδύναµη ΚινησιακέςΗΕ Ηλεκτροµαγνητικήεπαγωγή ΟνόµοςτουFaraday Τοεπαγόµενοηλεκτρικόπεδίο Επαγωγή Ηενέργειασταµαγνητικάπεδία ΕξισώσειςMaxwell ΗηλεκτροδυναµικήπριναπότονMaxwell ΠώςοMaxwellδιόρθωσετονόµοτουAmpère ΟιεξισώσειςMaxwell Μαγνητικόφορτίο Οι εξισώσεις Maxwell στο εσωτερικό της ύλης Συνοριακέςσυνθήκες...365

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 8 Νόµοι διατήρησης Φορτίοκαιενέργεια Ηεξίσωσησυνέχειας ΤοθεώρηµατουPoynting Ορµή Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα στην ηλεκτροδυναµική Ο τανυστής ηλεκτροµαγνητικής τάσης του Maxwell Ηδιατήρησητηςορµής Στροφορµή Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα Κύµατασεµίαδιάσταση Ηκυµατικήεξίσωση Ηµιτονοειδήκύµατα Συνοριακές συνθήκες: ανάκλαση και µετάδοση Πόλωση Ηλεκτροµαγνητικάκύµαταστοκενό Η κυµατική εξίσωση για το E και B Μονοχρωµατικάεπίπεδακύµατα Ενέργεια και ορµή των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων Ηλεκτροµαγνητικάκύµαταστηνύλη ιάδοσησεγραµµικάµέσα Ανάκλασηκαιµετάδοσηγιακάθετηπρόσπτωση Ανάκλασηκαιµετάδοσηγιαπλάγιαπρόσπτωση Απορρόφησηκαιδιασπορά Ηλεκτροµαγνητικάκύµατασεαγωγούς Ανάκλασησεµίααγώγιµηεπιφάνεια Η εξάρτηση της δεκτικότητας από τη συχνότητα Καθοδηγούµενακύµατα Κυµατοδηγοί ΕΗκύµατασ ένανορθογώνιοκυµατοδηγό Ηοµοαξονικήγραµµήµεταφοράς υναµικά και πεδία Ηδιατύπωσηµέσωδυναµικών Βαθµωτόκαιδιανυσµατικόδυναµικό Μετασχηµατισµοίβαθµίδας Η βαθµίδα Coulomb και η βαθµίδα Lorentz Συνεχείςκατανοµές Καθυστερηµέναδυναµικά ΕξισώσειςτουJefimenko Σηµειακάφορτία υναµικάliénard-wiechert Τα πεδία ενός κινούµενου σηµειακού φορτίου

9 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 Ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία Ακτινοβολίαδιπόλου Τιείναιηηλεκτροµαγνητικήακτινοβολία; Ακτινοβολίαηλεκτρικούδιπόλου Ακτινοβολίαµαγνητικούδιπόλου Η ακτινοβολία µιας τυχαίας κατανοµής φορτίων και ρευµάτων Σηµειακάφορτία Η ισχύς που ακτινοβολείται από ένα σηµειακό φορτίο Ανάδρασηακτινοβολίας Η φυσική προέλευση της ανάδρασης ακτινοβολίας Ηλεκτροδυναµική και σχετικότητα Ηειδικήθεωρίατηςσχετικότητας ΟιυποθέσειςτουΑϊνστάιν Ηγεωµετρίατηςσχετικότητας ΟιµετασχηµατισµοίLorentz Ηδοµήτουχωροχρόνου Σχετικιστικήµηχανική Ιδιόχρονοςκαιιδιοταχύτητα Σχετικιστικήενέργειακαιορµή Σχετικιστικήκινηµατική Σχετικιστικήδυναµική Σχετικιστικήηλεκτροδυναµική Οµαγνητισµόςωςσχετικιστικόφαινόµενο Μετασχηµατισµόςτωνπεδίων Οτανυστήςπεδίου Ηλεκτροδυναµικήσετανυστικόσυµβολισµό Σχετικιστικήδιατύπωσηµέσωδυναµικών Α ιανυσµατική ανάλυση σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 607 Α.1 Εισαγωγή Α.2 Συµβολισµός Α.3 Κλίση Α.4 Απόκλιση Α.5 Στροβιλισµός Α.6 Λαπλασιανή Β Το θεώρηµα Helmholtz 616 Γ Συστήµατα µονάδων 619 Ευρετήριο 623

10 Πρόλογος στην ελληνική έκδοση Παρουσιάζοντας στο ελληνικό κοινό το βιβλίο αυτό, θέλουµε να συνοψίσουµε τους βασικούς λόγους για τους οποίους προτείναµε στις Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης την ελληνική του έκδοση, αναλαµβάνοντας στη συνέχεια και την επιστηµονική επιµέλειά της: (α) Θεµατικά και µεθοδολογικά το βιβλίο υπηρετεί µε συνέπεια έναν σαφή εκπαιδευτικό στόχο: απευθυνόµενο σε φοιτητές που έχουν τελειώσει το µάθηµα της Γενικής Φυσικής, αποσκοπεί στην ολοκληρωµένη «µύησή» τους στην Ηλεκτροδυναµική σε προπτυχιακό πανεπιστηµιακό επίπεδο, µε έµφαση στην πλήρη αποσαφήνιση των σηµαντικών αρµών της όµορφης αυτήςθεωρίας, που εκτόςαπό τις αµέτρητες εφαρµογές της αποτέλεσε και ένα βασικό πρότυπο για την ανάπτυξη ολόκληρης της σύγχρονης Φυσικής. (β) Χάρη στην παιδαγωγική και επιστηµονική ικανότητα του συγγραφέα, ο στόχος αυτός επιτυγχάνεται. Η συνολική σύλληψη της θεωρίας παρουσιάζεται µε αξιοση- µείωτη διαύγεια. Στα επιµέρους θέµατα δίνεται ισορροπηµένη βαρύτητα, ανάλογη µε τη σηµασία και τη δυσκολία τους, και αναδεικνύονται µε σαφήνεια τα «κλειδιά» για την κατανόησή τους, αλλά και για τη θέση και το ρόλο τους στο συνολικό οικοδόµηµα της Ηλεκτροδυναµικής. Ο συγγραφέας καταφέρνει να επιχειρηµατολογεί µε έναν ελκυστικό, και ταυτόχρονα ακριβολόγο και απέριττο, τρόπο. (γ) Από την άλλη πλευρά, ο συγγραφέας επιδιώκει διαρκώς να διαγείρει τον αντίλογο και τη διερευνητική στάση του αναγνώστη, οδηγώντας τον έτσι να συνειδητοποιήσει έµπρακτα πράγµα που θεωρούµε θεµελιώδες στη διδασκαλία το πολύπλευρο της γνωστικής διαδικασίας. Ταυτόχρονα τον προκαλεί να εµπεδώσει την κατανόησή του µε την εµπειρία επίλυσης µεγάλου αριθµού λυµένων και προτεινόµενων προβληµάτων, που παρεµβάλλονται για τον σκοπό αυτό µετά από κάθε βήµα ανάπτυξης της θεωρίας: ελπίζουµε οι φοιτητές µας να αξιοποιήσουν αυτή την καλοσχεδιασµένη προσπάθεια να ενσωµατωθεί η επίλυση προβληµάτων στην εκπαιδευτική ροή του βιβλίου. Χριστίνα Κουρκουµέλη Τµήµα Φυσικής Παν/µίου Αθηνών Πέτρος ήτσας Τµήµα Φυσικής Παν/µίου Κρήτης

11 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι ένα εγχειρίδιο ηλεκτρισµού και µαγνητισµού, σχεδιασµένο για ένα προπτυχιακό µάθηµα σε εισαγωγικό ή προχωρηµένο επίπεδο. Μπορεί να καλυφθεί άνετα σε δύο εξάµηνα µάλιστα, ίσως ο χρόνος αυτός να επαρκεί και για να επεκταθεί κανείς σε πιο ειδικά θέµατα (κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης, αριθµητικές µεθόδους, φυσική πλάσµατος, γραµµές µεταφοράς, θεωρία κεραιών, κ.λπ.) Ένα εξα- µηνιαίο µάθηµα θα µπορούσε λογικά να ολοκληρωθεί στο Κεφάλαιο 7. Αντίθετα από την κβαντική µηχανική ή τη φυσική της θερµότητας, π.χ., σχετικά µε τη διδασκαλία της ηλεκτροδυναµικής υπάρχει αρκετά ευρεία συναίνεση τα θέµατα που θα πρέπει να συµπεριληφθούν, και ακόµη και η σειρά της παρουσίασής τους, δεν είναι ιδιαίτερα αµφιλεγόµενα, ενώ τα διάφορα εγχειρίδια διαφέρουν µόνο ως προς το ύφος και τον τόνο. Η δική µου προσέγγιση είναι ίσως λιγότερο φορµαλιστική απ ό,τι συνηθίζεται πιστεύω ότι αυτό κάνει τις δύσκολες έννοιες πιο ενδιαφέρουσες και προσιτές. Για αυτήν την τρίτη έκδοση έκανα πολλές µικρές αλλαγές, µε γνώµονα τη σαφήνεια και τη γλαφυρότητα του κειµένου. Επιπλέον, τροποποίησα τις επιλογές µερικών συµβόλων προκειµένου να αποφευχθούν ασυνέπειες ή αµφισηµίες. Έτσι, τα καρτεσιανά µοναδιαία διανύσµατα î, ĵ, καιˆk αντικαταστάθηκαν από τα ˆx, ŷ, καιẑ, ούτως ώστεόλαταδιανύσµατανααναπαρίστανταιαπό«παχιά»σύµβολα,ενώόλαταµοναδιαία διανύσµατα κληρονοµούν το γράµµα της αντίστοιχης συντεταγµένης. (Με τον τρόπο αυτό αποδεσµεύεται επίσης το k για να χρησιµοποιηθεί ως διάνυσµα διάδοσης για τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα.) Ένα πράγµα που µε ενοχλούσε πάντοτε ήταν η χρήση τουίδιου γράµµατοςr για τη σφαιρική συντεταγµένη (απόστασηαπό τηναρχή των αξόνων) και για την κυλινδρική συντεταγµένη (απόσταση από τον άξονα z). Ένα σύνηθες υποκατάστατο για την κυλινδρική συντεταγµένη είναι το ρ, αλλά αυτό έχει πιο σηµαντική χρήση στην ηλεκτροδυναµική, οπότε µετά από εξαντλητική έρευνα κατέληξα στο σχετικά «υποχρησιµοποιούµενο» γράµµα s. Ελπίζωαυτήηανορθόδοξη χρήσηναµηδηµιουργήσεισύγχυση. Ορισµένοι αναγνώστες µε έχουν παρακαλέσει να αντικαταστήσω τον τυπογραφικό χαρακτήρα r (το διάνυσµα από κάποιο σηµείο πηγής r µέχρι το σηµείο πεδίου r) µε τη σαφέστερη έκφραση r r. Αυτή η επιλογή, όµως, αποπροσανατολίζει τον αναγνώστη περιπλέκοντας πολλές εξισώσεις, ιδιαίτερα όταν υπεισέρχεται σε αυτές το µοναδιαίο διάνυσµα Or. Γνωρίζω από προσωπική διδακτική πείρα ότι οι απρόσεκτοι φοιτητές τείνουν να διαβάζουν το r σαν r σίγουρα αυτό κάνει τα ολοκληρώµατα πιο εύκολα! Προσέθεσα ένα εδάφιο στο Κεφάλαιο 1 όπου εξηγώ λεπτοµερώς τον συµβολισµό αυτό, και ελπίζω ότι αυτές οι εξηγήσεις θα φανούν χρήσιµες. Επισηµαίνω

12 xiv ΠΡΟΛΟΓΟΣ λοιπόν και πάλι για τους φοιτητές αναγνώστες ότι r r r,τοοποίοδεν συµπίπτει µε το r. Θα παρακαλούσα επίσης τους διδάσκοντες να προειδοποιήσουν τους φοιτητές τους να είναι ιδιαίτερα προσεκτικοί µε τη σηµασία του συµβόλου r. Νοµίζωότιείναι µια καλή επιλογή συµβόλου, αλλά πρέπει πράγµατι να αντιµετωπίζεται προσεκτικά. Η κύρια «δοµική» αλλαγή είναι ότι αφαίρεσα τους νόµους διατήρησης και τα δυναµικά από το Κεφάλαιο 7, δηµιουργώντας δύο νέα µικρά κεφάλαια (8 και 10). Η αναδιάρθρωση αυτή µάλλον ταιριάζει καλύτερα µε τα µονοεξαµηνιαία µαθήµατα, ενώ επίσης δίνει πιο «συµπαγή» χαρακτήρα στο Κεφάλαιο 7. Προσέθεσα επίσης ορισµένα προβλήµατα και παραδείγµατα (και αφαίρεσα κάποια που δεν ήταν ιδιαίτερα χρήσιµα). Επιπλέον, συµπεριέλαβα περισσότερεςπαραποµπές στην προσιτή βιβλιογραφία (ιδιαίτερα στο American Journal of Physics). Αν και αντιλαµβάνοµαι ότι οι περισσότεροι αναγνώστεςδενθαέχουντονχρόνοήτηδιάθεσηνα ανατρέξουν σε αυτές τις πηγές, ωστόσο πιστεύω ότι είναι µια χρήσιµη προσθήκη, αν µη τι άλλο για να τονιστεί ότι η ηλεκτροδυναµική παρά την αξιοσέβαστη ηλικία της παρουσιάζει ιδιαίτερη ζωντάνια, όπως φαίνεται από τις διεγερτικές νέες ανακαλύψεις που γίνονται κάθε τόσο στον κλάδο αυτό. Ελπίζω ότι, έστω περιστασιακά, κάποια προβλήµατα θα διεγείρουν την περιέργειά σας, και θα σας παρακινήσουν να ανατρέξετε στις σχετικές παραποµπές κάποιες από αυτές είναι πραγµατικά εξαιρετικές. Όπως και στις προηγούµενες εκδόσεις, τα προβλήµατα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Ορισµένα εξυπηρετούν κάποιον ειδικό παιδαγωγικό σκοπό, και θα πρέπει να επιλυθούν αµέσως µετά τη µελέτη του αντίστοιχου τµήµατός τους αυτά έχουν τοποθετηθεί στα κατάλληλα σχετικά σηµεία εντός του κάθε κεφαλαίου. (Σε λίγες περιπτώσεις, η λύση ενός προβλήµατος χρησιµοποιείται παρακάτω στο κείµενο τα προβλήµατα αυτά υποδεικνύονται µε µια κουκκίδα ( ) στο αριστερό περιθώριο.) Τα µακροσκελέστερα προβλήµατα, ή τα προβλήµατα γενικότερου χαρακτήρα, βρίσκονται στο τέλος του κάθε κεφαλαίου. Όταν διδάσκω το αντίστοιχο θέµα, αναθέτω στους φοιτητές κάποια από αυτά ως «εργασία για το σπίτι», και λύνω ορισµένα στην τάξη. Τα ιδιαίτερα δύσκολα προβλήµατα επισηµαίνονται µε ένα θαυµαστικό (!) στο περιθώριο. Πολλοί αναγνώστες έχουν ζητήσει να συµπεριληφθούν οι απαντήσεις των προβληµάτων στο τέλος του βιβλίου δυστυχώς, εξίσου πολλοί έχουν εναντιωθεί σθεναρά σε αυτό το αίτηµα. Για τον λόγο αυτό, επέλεξα µια συµβιβαστική λύση, παραθέτοντας απαντήσεις στις περιπτώσεις όπου αυτό φαίνεται πιο ενδεδειγµένο. Οι διδάσκοντες µπορούν να προµηθευτούν από τον εκδότη ένα εγχειρίδιο µε όλες τις λύσεις. Πολλοί συνάδελφοι διατύπωσαν σχόλια που φάνηκαν χρήσιµα. Αν και δεν είναι δυνατόν να τους αναφέρω όλους, θα ήθελα να ευχαριστήσω για υποδείξεις που συνέβαλαν ιδιαίτερα στην τρίτη έκδοση τους: Burton Brody (Bard), Steven Grimes (Ohio), Mark Heald (Swarthmore), Jim McTavish (Liverpool), Matthew Moelter (Puget Sound), Paul Nachman (New Mexico State), Gigi Quartapelle (Milan), Carl A. Rotter (West Virginia), Daniel Schroeder (Weber State), Juri Silmberg (Ryerson Polytechnic), Walther N. Spjeldvik (Weber State), Larry Tankersley (Naval Academy), και Dudley Towne (Amherst). Σχεδόν οτιδήποτε γνωρίζω για την ηλεκτροδυναµική και σίγουρα για τη διδασκαλία της το οφείλω στον Edward Purcell. David J. Griffiths

13 Προαγγελία Τι είναι η ηλεκτροδυναµική και πώς εντάσσεται στο συνολικό οικοδόµηµα της Φυσικής; Οι τέσσερις επικράτειες της µηχανικής Στο διάγραµµα που ακολουθεί έχω σχεδιάσει τις τέσσερις µεγάλες επικράτειες της Μηχανικής: Κλασική Μηχανική (Νεύτωνας) Ειδική Σχετικότητα (Αϊνστάιν) Κβαντική Μηχανική (Bohr, Heisenberg, Schrödinger, et al.) Κβαντική Θεωρία Πεδίου (Dirac, Pauli, Feynman, Schwinger, et al.) Από τα πρώτα κιόλας χρόνια του εικοστού αιώνα η Νευτώνεια µηχανική αποδείχθηκε ανεπαρκής ερµηνεύει ικανοποιητικά τα φαινόµενα της «καθηµερινής ζωής», αποτυγχάνει όµως όταν εφαρµόζεται σε αντικείµενα που κινούνται µε πολύ µεγάλες ταχύτητες (κοντά στην ταχύτητα του φωτός) και πρέπει να αντικατασταθεί από την ειδική σχετικότητα (που προτάθηκε το 1905 από τον Αϊνστάιν) αποτυγχάνει επίσης, για άλλους λόγους, όταν εφαρµόζεται σε εξαιρετικά µικρά αντικείµενα (περίπου ατοµικών διαστάσεων) και αντικαθίσταται από την κβαντοµηχανική (που την ανέπτυξαν κυρίως οι Bohr, Schrödinger, Heisenberg, αλλά και αρκετοί άλλοι, στη δεκαετία του 1920). Για αντικείµενα που και κινούνται ταχύτατα και πολύ µικρά είναι (πράγµα πολύ συνηθισµένο στη σύγχρονη φυσική των στοιχειωδών σωµατίων), χρειαζόµαστε µια µηχανική που να συνδυάζει τη σχετικότητα µε τις κβαντικές αρχές: η σχετικιστική αυτή κβαντοµηχανική είναι γνωστή ως κβαντική θεωρία πεδίου αναπτύχθηκε κυρίως στις δεκαετίες του 1930 και του 1940, αλλά ακόµη και σήµερα δεν µπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι αποτελεί ένα πλήρως ικανοποιητικό σύστηµα. 1 Στο βιβλίο αυτό, µε εξαίρε- 1 Λόγω δυσκολιών στην κβάντωση των βαρυτικών δυνάµεων (Σ.τ.Ε.).

14 xvi ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ ση το τελευταίο κεφάλαιο, θα εργαστούµε αποκλειστικά στην περιοχή της κλασικής µηχανικής, µολονότι η ηλεκτροµαγνητική θεωρία εκτείνεται µε µια µοναδική απλότητα και στις υπόλοιπες τρεις περιοχές. (Πράγµατι, αξίζει να επισηµανθεί ιδιαίτερα ότι η θεωρία αυτή ικανοποιεί αυτόματα την ειδική σχετικότητα, της οποίας υπήρξε, ιστορικά, το κύριο ερέθισµα.) Τα τέσσερα είδη δυνάµεων Η µηχανική µας λέει πώς θα συµπεριφερθεί ένα σύστηµα αν ασκηθεί επάνω του µία δεδοµένη δύναμη. Αυτή τη στιγµή γνωρίζουµε τέσσερις βασικέ ς δυνάµεις στη φύση: Τις παραθέτω κατά σειρά µειούµενης ισχύος: 1. Ισχυρή 2. Ηλεκτροµαγνητική 3. Ασθενής 4. Βαρυτική Η συντοµία του παραπάνω καταλόγου µπορεί να σας εκπλήσσει. Πού είναι η τριβή; Πού είναι η «κάθετη» δύναµη που µε συγκρατεί να µην πέσω διαπερνώντας το πάτωµα; Πού είναι η χηµική δύναµη που συγκρατεί µαζί οµάδες µορίων; Πού είναι η ωστική δύναµη όταν συγκρούονται δύο κινούµενες µπάλες µπιλιάρδου; Η απάντηση είναι ότι όλες αυτές οι δυνάµεις είναι ηλεκτρομαγνητικές. Πράγµατι, δεν είναι υπερβολή να πούµε ότι ζούµε µέσα σ έναν ηλεκτροµαγνητικό κόσµο γιατί σχεδόν κάθε δύναµη που συναντούµε στην καθηµερινή ζωή, µε εξαίρεση τη βαρύτητα, έχει ηλεκτροµαγνητική προέλευση. Οι ισχυρές δυνάµεις, που συγκρατούν µαζί τα πρωτόνια και τα νετρόνια στον ατοµικό πυρήνα, έχουν εξαιρετικά µικρή εµβέλεια, µε αποτέλεσµα να µην τις «αισθανόµαστε», παρά το γεγονός ότι είναι περίπου εκατό φορές ισχυρότερες από τις ηλεκτρικές δυνάµεις. Οι ασθενείς δυνάµεις, που ευθύνονται για πολλά είδη ραδιενεργών διασπάσεων, όχι µόνο έχουν εξαιρετικά µικρή εµβέλεια, αλλά είναι και πολύ ασθενέστερες από τις ηλεκτροµαγνητικές. Όσο για τη βαρύτητα, είναι τόσο πολύ ασθενής (συγκρινόµενη µε όλες τις άλλες) που µόνο όπου υπάρχουν τεράστιες συγκεντρώσεις µάζας (όπως στη Γη ή τον Ήλιο) µπορούµε να την παρατηρήσουµε. Η ηλεκτρική άπωση µεταξύ δύο ηλεκτρονίων είναι φορές µεγαλύτερη από τη βαρυτική τους έλξη, και αν οι δυνάµεις που συγκροτούν τα άτοµα ήταν βαρυτικές (αντί για ηλεκτρικές), ένα και µόνο άτοµο υδρογόνου θα είχε ακτίνα πολύ µεγαλύτερη απ την ακτίνα του γνωστού σύµπαντος. Οι ηλεκτροµαγνητικές δυνάµεις όχι µόνο δεσπόζουν συντριπτικά στην καθηµερινήµαςζωή,αλλά,προςτοπαρόν,είναικαιοιμόνες που έχουµε κατανοήσει πλήρως. Υπάρχει, βέβαια, µια κλασική θεωρία της βαρύτητας (ο νόµος του Νεύτωνα για την παγκόσµια βαρύτητα), καθώς επίσης και µια σχετικιστική θεωρία της βαρύτητας (η γενική σχετικότητα του Αϊνστάιν), δεν έχει όµως ακόµα διατυπωθεί µια ικανοποιητική κβαντική θεωρία του πεδίου βαρύτητας (παρ όλο που πολλοί εργάζονται προς

15 ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ xvii αυτή την κατεύθυνση). Υπάρχει σήµερα µια επιτυχηµένη (αλλά άκοµψα πολύπλοκη) θεωρία για τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις, καθώς και µία αναπάντεχα όµορφη και µε πολύ καλές προοπτικές υποψήφια θεωρία (που ονοµάζεται χρωµοδυναµική) για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Πηγή έµπνευσης και για τις δύο αυτές θεωρίες ήταν η ηλεκτροδυναµική προς το παρόν όµως, καµιά από τις δύο δεν µπορεί να επιδείξει πειραµατικές επαληθεύσεις που η ακρίβεια τους να πλησιάζει την καταπληκτική ακρίβεια των επαληθεύσεων της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. Για τον λόγο αυτό η ηλεκτροδυναµική, µια θεωρία όµορφα ολοκληρωµένη και επιτυχής, έγινε κάτι σαν σηµείοαναφοράςγιατουςφυσικούς:έναιδεώδεςπρότυποπουόλεςοιάλλεςθεωρίες αγωνίζονται να µιµηθούν. ιάφορα τµήµατα της κλασικής ηλεκτροδυναµικής επεξεργάστηκαν οι Franklin, Coulomb, Ampère, Faraday, και άλλοι, αλλά ο άνθρωπος που συνένωσε όλα αυτά τα τµήµατα στο περιεκτικό και µε εσωτερική συνέπεια οικοδόµηµα της σηµερινής θεωρίας ήταν ο James Clerk Maxwell. Η θεωρία έχει ηλικία κάπως µεγαλύτερη των εκατό ετών. Η ενοποίηση των φυσικών θεωριών Στο ξεκίνηµά τους ο ηλεκτρισµός και ο µαγνητισµός ήταν εντελώς ξεχωριστά αντικείµενα. Ο ένας ασχολούνταν µε γυάλινες ράβδους, µε το τρίχωµα της γάτας, πειρα- µατικά σφαιρίδια, µπαταρίες, ρεύµατα, ηλεκτρόλυση και µε τον κεραυνό ο άλλος µε µαγνητικές ράβδους, ρινίσµατα σιδήρου, τη βελόνα της πυξίδας και τον βόρειο πόλο. Στα 1820, όµως, ο Oerstedπαρατήρησε ότιτοηλεκτρικό ρεύµα µπορούσε να εκτρέψει µια μαγνητική βελόνα. Λίγο αργότερα ο Ampère διατύπωσε τη σωστή υπόθεση ότι ό- λα τα µαγνητικά φαινόµενα δηµιουργούνται από κινούµενα ηλεκτρικά φορτία. Μετά, το 1831, ο Faraday ανακάλυψε ότι ένας κινούµενος μαγνήτης προκαλεί ηλεκτρικό ρεύ- µα. Απότον καιρό που οι Maxwell και Lorentz πρόσθεσαν τις τελευταίες λεπτοµέρειες ολοκλήρωσης της θεωρίας, ο ηλεκτρισµός και ο µαγνητισµός παραµένουν αξεδιάλυτα ενωµένοι. εν µπορούν πλέον να θεωρούνται ξεχωριστά αντικείµενα µελέτης, αλλά µάλλον ως δύο όψεις ενός και μόνον αντικειµένου: του ηλεκτροµαγνητισµού. Ο Faraday είχε υποθέσει ότι και η φύση του φωτός, επίσης, ήταν ηλεκτρική. Η θεωρία του Maxwell επιβεβαίωσε πανηγυρικά αυτή την υπόθεση και σύντοµα η οπτική η µελέτη των φακών, κατόπτρων, πρισµάτων, της συµβολής και της περίθλασης ενσωµατώθηκε στον ηλεκτροµαγνητισµό. Ο Hertz, που παρουσίασε την αποφασιστική πειραµατική επιβεβαίωση της θεωρίας του Maxwell το 1888, το έθεσε ως εξής: «Η συσχέτιση φωτός και ηλεκτρισµού έχει πια αποδειχθεί... Σε κάθε φλόγα, σε κάθε φωτεινό σώµα, βλέπουµε µια ηλεκτρική διαδικασία... Εποµένως, η επικράτεια του ηλεκτρισµού απλώνεται σ ολόκληρη τη φύση. Επηρεάζει ακόµα και εµάς τους ίδιους: διαπιστώνουµε πως το σώµα µας διαθέτει...ένα ηλεκτρικό όργανο το µάτι.» Από το 1900, λοιπόν, τρεις µεγάλοι κλάδοι της φυσικής, ο ηλεκτρισµός, ο µαγνητισµός και η οπτική συγχωνεύτηκαν σε µία ενιαία θεωρία. (Και σύντοµα έγινε φανερό ότι το ορατό φως αντιπροσωπεύει µόνο ένα στενό «παράθυρο» στο αχανές φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, που συµπεριλαµβάνει τα ραδιοκύµατα, συνεχίζει µε τα µικροκύµατα, το υπέρυθρο και το υπεριώδες, και φτάνει τις ακτίνες Χ και την

16 xviii ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ πυρηνική ακτινοβολία γάµµα.) Ο Αϊνστάιν οραµατίστηκε µια πιο προχωρηµένη ενοποίηση, που θα συνδύαζε τη βαρύτητα και την ηλεκτροδυναµική, ακριβώς όπως ο ηλεκτρισµός και ο µαγνητισµός είχαν συγχωνευθεί έναν αιώνα νωρίτερα. Η ενοποιηµένη θεωρία πεδίου που πρότεινε δεν ήταν επιτυχής, αλλά τα τελευταία χρόνια το ίδιο κίνητρο ενεργοποίησε την κατασκευή µιας ιεραρχίας όλο και πιο φιλόδοξων (αλλά και πιο υποθετικών) σχηµάτων ενοποίησης, αρχίζοντας τη δεκαετία του 1960 µε την ηλεκτρασθενή θεωρία των Glashow, Weinberg, και Salam (που ενώνει τις ασθενείς και τις ηλεκτροµαγνητικές δυνάµεις), προχωρώντας τη δεκαετία του 1970 µε τις µεγαλοενοποιηµένες θεωρίες (που συγχωνεύουν και τις ισχυρές δυνάµεις) και φθάνοντας στην κορύφωση τη δεκαετία του 1980 µε τη θεωρία των υπερχορδών (που, κατά τους εισηγητές της, ενσωµατώνει και τις τέ σσερις δυνάµεις σε µια µοναδική«θεωρία των πάντων»). Στο κάθε βήµα αυτής της ιεραρχίας οι µαθηµατικές δυσκολίες διογκώνονται, και το χάσµα ανάµεσα στην εµπνευσµένη θεωρητική υπόθεση και την πειραµατική επαλήθευση πλαταίνει είναι σαφές, ωστόσο, ότι η ενοποίηση των δυνάµεων που υποκινήθηκε από την ηλεκτροδυναµική έγινε θέµα µείζονος σηµασίας στην εξέλιξη της φυσικής. Η διατύπωση της ηλεκτροδυναµικής ως θεωρίας πεδίου Το θεµελιώδες πρόβληµα που µια ηλεκτροµαγνητική θεωρία ευελπιστεί να λύσει, είναι το εξής: Έχοντας συγκεντρώσει εδώ έναν αριθµό ηλεκτρικών φορτίων (που ίσως τα κινώ πέρα-δώθε), τι θα συµβεί σε κάποιο άλλο φορτίο κάπου αλλού; Η κλασική λύση του παίρνει τη µορφή µιας θεωρίας πεδίου: Λέµεότιοχώροςγύρωαπόένα ηλεκτρικό φορτίο διαποτίζεται από ηλεκτρικά και µαγνητικά πεδία (το ηλεκτροµαγνητικό «άρωµα», ας πούµε, του φορτίου). Αν ένα δεύτερο φορτίο βρεθεί µέσα στην περιοχή αυτών των πεδίων, θα αισθανθεί µία δύναµη τα πεδία λοιπόν µεταδίδουν την επίδραση από το ένα φορτίο στο άλλο «διαµεσολαβούν» κατά την αλληλεπίδραση. Όταν ένα φορτίο υφίσταται επιτάχυνση, ένα µέρος του πεδίου «αποσπάται», κατά κάποιο τρόπο από αυτό, και αποµακρύνεται µε την ταχύτητα του φωτός, µεταφέροντας µαζί του ενέργεια, ορµή και στροφορµή. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία, και µας προτρέπει (ή σχεδόν µας υποχρεώνει)ναθεωρούµετα πεδία αυτά καθεαυτά ως ανεξάρτητες δυναµικές οντότητες, εξίσου «πραγµατικές» µε τα άτοµαή τις µπάλες τουµπιλιάρδου. Έτσι το ενδιαφέ ρον µας µετατοπίζεται, από τη µελέτη των δυνάµεων µεταξύ φορτίων, προς τη θεωρία των ίδιων των πεδίων. Χρειάζεται όµως ένα φορτίο για να δημιουργηθεί ένα ηλεκτροµαγνητικό πεδίο, όπως επίσης χρειάζεται και ένα άλλο φορτίο για να ανιχνευθεί γι αυτό καλύτερα να ξεκινήσουµε εξετάζοντας τη φύση του ηλεκτρικού φορτίου. Οι ιδιότητες του ηλεκτρικού φορτίου 1. Υπάρχουν δύο είδη ηλεκτρικού φορτίου που τα αποκαλούµε «συν» και «πλην», επειδή το ένα τείνει να εξουδετερώσει το άλλο (αν έχουµε στο ίδιο σηµείο ένα φορτίο +q και ένα φορτίο q, από την άποψη του ηλεκτρισµού είναι σαν να µην υπάρχει εκεί καθόλου φορτίο). Αυτό µπορεί να φαίνεται τόσο αυτονόητο ώστε να µη χρειάζεται

17 ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ xix σχολιασµό, προσπαθήστε όµως να σκεφθείτε για λίγο άλλες δυνατότητες: τι θα συνέβαινε αν υπήρχαν 8 ή 10 διαφορετικά είδη φορτίου; (Πράγµατι, στη χρωµοδυναµική υπάρχουν τρείς ποσότητεςανάλογεςµε τοηλεκτρικό φορτίο, καιη κάθεµία από αυτές µπορεί να είναι ή θετική ή αρνητική.) Ή, τι θα συνέβαινε αν τα δύο είδη φορτίου δεν είχαν την τάση να αλληλοεξουδετερώνονται; Το καταπληκτικό γεγονός είναι ότι τα θετικά και αρνητικά φορτία απαντώνται σε ακριβώς ίσες ποσότητες, µε φανταστική ακρίβεια, σ όλα τα υλικά, µε αποτέλεσµα να αλληλοεξουδετερώνονται σχεδόν πλήρως όλες οι δράσεις τους και να ζούµε σ έναν ουδέτερο κόσµο. Αν αυτό δεν συνέβαινε, θα ήµασταν εκτεθειµένοι σε τεράστιες δυνάµεις: µία πατάτα θα ανατιναζόταν βίαια αν έστω κι ένα σε κάθε φορτία της δεν εξουδετερωνόταν επακριβώς. 2. Το φορτίο διατηρείται. εν µπορεί να δηµιουργηθεί ή να καταστραφεί ό,τι υπάρχει τώρα, υπήρχε πάντοτε. (Ένα θετικό φορτίο µπορεί να «εξαϋλώσει» ένα ισόποσο αρνητικό φορτίο παράγοντας ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία, είναι αδύνατον όµως να εξαφανιστεί απλώς από µόνο του.) Έτσι το συνολικό φορτίο του σύµπαντος ήταν και είναι πάντα σταθερό. Το φαινόµενο αυτό το χαρακτηρίζουµε ως συνολική διατήρηση του φορτίου. Μπορώ, ωστόσο, να πω κάτι πολύ ισχυρότερο: ενώ η συνολική διατήρηση του φορτίου θα επέτρεπε να εξαφανιστεί ένα φορτίο στη Νέα Υόρκη και να επανεµφανιστεί ταυτόχρονα στο Σαν Φρανσίσκο (κάτι τέτοιο δεν θα επηρέαζε καθόλου το ολικό φορτίο), γνωρίζουµε µε σιγουριά ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να συµβεί. Αν το φορτίο βρισκόταν στη Νέα Υόρκη, πρέπει να μετακινηθεί στο Σαν Φρανσίσκο διανύοντας κάποια συνεχή διαδροµή από το ένα µέρος στο άλλο. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται τοπική διατήρηση του φορτίου. Θα δούµε αργότερα την ακριβή µαθη- µατική διατύπωση που εκφράζει την τοπική διατήρηση του φορτίου δηλαδή την εξίσωση της συνέχειας. 3. Το φορτίο είναι κβαντωμένο. Μολονότι τίποτα στην κλασική ηλεκτροµαγνητική θεωρία δεν απαιτεί να συµβαίνει κάτι τέτοιο, το φορτίο εµφανίζεται πάντα σε διακριτές ποσότητες ακέραια πολλαπλάσια της βασικής µονάδας φορτίου. Αν ονοµάσουµε το φορτίο του πρωτονίου +e, τότετοηλεκτρόνιοφέρειφορτίο e, τονετρόνιοφορτίο µηδέν, τα πι µεσόνια +e, 0,και e, ο πυρήνας του άνθρακα +6e, και ούτω καθ εξής (ποτέ 7,392e, ήέστω1/2e). 2 Η θεµελιώδης αυτή µονάδα φορτίου είναι πάρα πολύ µικρή, οπότε στην πράξη συνήθως µπορούµε να αγνοήσουµε την ύπαρξη της κβάντωσης. (Και το νερό αποτελείται από διακριτά µέρη (τα µόρια), όταν όµως έχουµε να κάνουµε µε αρκετά µεγάλες ποσότητες νερού, µπορούµε να το πραγµατευτούµε σαν ένα συνεχές ρευστό.) Κάτι τέτοιο, µάλιστα, πλησιάζει πολύ περισσότερο τις αντιλήψεις του ίδιου του Maxwell δεν είχε ιδέα για πρωτόνια και ηλεκτρόνια πρέπει να φανταζόταν το φορτίο σαν ένα είδος «ζελέ» που µπορούσε να χωριστεί σε κοµµάτια οποιουδήποτε µεγέθους και να απλωθεί στο χώρο καθ οιονδήποτε συνεχή τρόπο. Αυτές είναι, λοιπόν, οι τρεις γενικές ιδιότητες του φορτίου. Πριν όµως συζητήσου- µε για τις δυνάµεις που ασκούνται μεταξύ φορτίων, χρειαζόµαστε κάποια απαραίτητα 2 Στην πραγµατικότητα, τα πρωτόνια και τα νετρόνια αποτελούνται από τρία κουάρκ, που φέρουν κλασµατικά φορτία (± 2 3 e και ± 1 e). Ελεύθερα όµως κουάρκ δε φαίνεται να υπάρχουν στη φύση, και εν πάση 3 περιπτώσει κάτι τέτοιο δεν αναιρεί το γεγονός ότι το φορτίο είναι κβαντωµένο απλώς αλλάζει το µέγεθος της βασικής µονάδας φορτίου και γίνεται πιο µικρό.

18 xx ΠΡΟΑΓΓΕΛΙΑ µαθηµατικά εργαλεία η εισαγωγή τους θα µας απασχολήσει στο Κεφάλαιο 1. Μονάδες Η ηλεκτροδυναµική µαστίζεται από διάφορα ανταγωνιστικά συστήµατα µονάδων, που κάνουν µερικές φορές δύσκολη την επικοινωνία µεταξύ φυσικών. Το πρόβληµα είναι πολύ χειρότερο από εκείνο της µηχανικής (όπου µόνο οι Νεαντερντάλιοι µιλούν ακόµα για πάουντ και πόδια) ο λόγος είναι ότι οι εξισώσεις της µηχανικής τουλάχιστον έχουν την ίδια εμφάνιση, ανεξάρτητα από τις µονάδες που χρησιµοποιούνται για τη µέτρηση ποσοτήτων. Η F = ma παραµένει F = ma είτε πρόκειται για πάουντ-πόδιαδευτερόλεπτα είτε για κιλά-µέτρα-δευτερόλεπτα ή για οποιοδήποτε άλλο σύστηµα. εν συµβαίνει όµως το ίδιο στον ηλεκτροµαγνητισµό, όπου ο νόµος του Coulomb µπορεί να έχει διάφορες µορφές: q 1 q 2 r 2 Or (Γκαουσιανό), ή 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 Or (SI), ή 1 4π q 1 q 2 Or (HL). r2 Από τα συστήµατα που χρησιµοποιούνται συνήθως, τα δύο πιο δηµοφιλή είναι το Γκαουσιανό (cgs) σύστηµα και το SI (ή «ορθολογισµένο» mks σύστηµα). (Οι θεωρητικοί των στοιχειωδών σωµατίων προτιµούν συχνά ένα τρίτο σύστηµα: το Heaviside- Lorentz). Παρ όλο που το Γκαουσιανό σύστηµα µονάδων έχει κάποια θεωρητικά πλεονεκτήµατα, οι περισσότεροι προπτυχιακοί δάσκαλοι προτιµούν το SI, ίσως επειδή περιέχει κάποιες µονάδες οικείες σε κάθε σύγχρονο νοικοκυριό (το βολτ, το αµπέρ και το βατ). Στο βιβλίο αυτό, εποµένως, θα χρησιµοποιώ µονάδες του SI. Στο Παράρτηµα Β υπάρχει ένα «λεξικό» που µετατρέπει όλα τα σηµαντικά αποτελέσµατα σε Γκαουσιανές µονάδες.

19 Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια, αλλά δεν θα βρεθείτε σε 7 µίλια απόστασηαπό το σηµείο που ξεκινήσατε θα βρεθείτε µόνο σε 5. Χρειαζόµαστε µία άλγεβρα που να περιγράφει τέτοια µεγέθη, τα οποία, προφανώς, δεν προστίθενται µε τον συνηθισµένο τρόπο. Ο λόγος, φυσικά, που κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, είναι ότι οι µετατοπίσεις (τα ευθύγραµµα τµήµατα που συνδέουν ένα σηµείο µε ένα άλλο) έχουν όχι µόνο μέγεθος (µήκος ή µέτρο) αλλά και κατεύθυνση, και είναι ουσιώδες και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά να λαµβάνονται υπ όψη όταν τις προσθέτετε. Τέτοιου είδους αντικείµενα ονοµάζονται διανύσµατα: άλλα παραδείγµατα είναι η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η δύναµη και η ορµή. Αντιθέτως, ποσότητες που έχουν µέγεθος αλλά όχι κατεύθυνση ονοµάζονται βαθµωτά: Παραδείγµατα είναι η µάζα, το φορτίο, η πυκνότητα και η θερµοκρασία. Τα διανύσµατα θα τα συµβολίζω µε παχιά γράµµατα (A, B κ.λπ.) ενώ τα βαθµωτά 3 mi 4 mi 5 mi A A Σχήµα 1.1 Σχήµα 1.2 1

20 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ θα τα συµβολίζω µε πεζά γράµµατα. Το µέγεθος του διανύσµατος A γράφεται A ή, πιο απλά, A. Στα διαγράµµατα, τα διανύσµατα συµβολίζονται µε βέλη: το µήκος του βέλους αντιστοιχεί στο µέγεθος του διανύσµατος και η µύτη του βέλους δείχνει την κατεύθυνσή του. Το μείον A ( A) είναι ένα διάνυσµα µε µέγεθος ίσο µε του A αλλά µε αντίθετη κατεύθυνση (Σχ. 1.2). Σηµειώστε ότι τα διανύσµατα έχουν µέγεθος και κατεύθυνση αλλά δεν έχουν συγκεκριμένη θέση: µία µετατόπιση 4 µιλίων βόρεια της Ουάσιγκτον παριστάνεται από το ίδιο διάνυσµα µε µία µετατόπιση 4 µιλίων βόρεια της Βαλτιµόρης (αν αγνοήσουµε, βέβαια, την καµπυλότητα της επιφάνειας της Γης). Σ ένα διάγραµµα, λοιπόν, µπορείτε να µετατοπίζετε το βέλος όπως θέλετε, από τη στιγµή που δεν αλλάζετε το µήκος του ή την κατεύθυνσή του (παράλληλη µετατόπιση). Ορίζουµε τέσσερις πράξεις µε διανύσµατα: την πρόσθεση και τα τρία είδη του πολλαπλασιασµού. (i) Πρόσθεση δύο διανυσµάτων: Τοποθετήστε την ουρά του B στη µύτη του A το άθροισµα A + B είναι το διάνυσµα που δείχνει από την ουρά του A στη µύτη του B (Σχ. 1.3). (Ο κανόνας αυτός αποτελεί γενίκευση της ευνόητης διαδικασίας συνδυασµού δύο µετατοπίσεων.) Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική: A + B = B + A. 3 µίλια ανατολικά µετά από 4 µίλια βόρεια σας οδηγούν στο ίδιο σηµείο µε 4 µίλια βόρεια µετά από 3 µίλια ανατολικά. Η πρόσθεση είναι, επίσης, προσεταιριστική: (A + B)+C = A +(B + C). Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσµα (Σχ. 1.4), προσθέστε το αντίθετό του: A B = A +( B). B A (A+B) (B+A) B A (A B) B A Σχήµα 1.3 Σχήµα 1.4 (ii) Πολλαπλασιασµός µε ένα βαθµωτό: Ο πολλαπλασιασµός ενός διανύσµατος µε ένα θετικό βαθµωτό µέγεθος a, πολλαπλασιάζει το μέτρο του, αφήνει όµως την κατεύθυνσή του ανέπαφη (Σχ. 1.5). (Αν το a είναι αρνητικό, η φορά αντιστρέφεται.) Ο πολλαπλασιασµός µε βαθµωτό είναι επιμεριστικός: a(a + B) =aa + ab.

21 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3 A 2A A θ B Σχήµα 1.5 Σχήµα 1.6 (iii) Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται από την A B AB cos θ, (1.1) όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα αν ενωθούν οι ουρές τους (Σχ. 1.6). Παρατηρήστε ότι το A B είναι ένα βαθμωτό µέγεθος (εξ ου και η εναλλακτική ονο- µασία βαθµωτό γινόµενο).τοβαθµωτόγινόµενοείναιαντιμεταθετικό, A B = B A, και επιμεριστικό, A (B + C) =A B + A C. (1.2) Γεωµετρικά, το A B είναι το γινόµενο του A επί το µήκος της προβολής του B στον άξονα του A (ή το γινόµενο του B επί το µήκος της προβολής του A στον άξονα του B). Αν τα δύο διανύσµατα είναι παράλληλα, τότε A B = AB. Συγκεκριµένα, για κάθε διάνυσµα A, A A = A 2. (1.3) Αν τα A και B είναι κάθετα, τότε A B =0. Παράδειγµα 1.1 Θέστε C = A B (Σχ. 1.7), και υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο του C µε τον εαυτό του. Λύση: ή C C =(A B) (A B) =A A A B B A + B B, C 2 = A 2 + B 2 2AB cos θ. Η ισότητα αυτή ονοµάζεται νόµος των συνηµιτόνων. (iv) Εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: Το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται από την A B AB sin θ ˆn, (1.4)

22 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ A C A θ B Σχήµα 1.7 θ B Σχήµα 1.8 όπου το ˆn είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα (διάνυσµα µε µήκος 1) µε διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα A και B. (Θα χρησιµοποιώ ένα καπελάκι (ˆ)γιανασυµβολίζω τα µοναδιαία διανύσµατα.) Υπάρχουν, φυσικά, δύο κατευθύνσεις που είναι κάθετες σε οποιοδήποτε επίπεδο: η «προς ταµέσα»καιη«προςταέξω».ηκατεύθυνση του ˆn αποσαφηνίζεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού: τοποθετήστε τα δάχτυλά σας κατά µήκος της κατεύθυνσης του πρώτου διανύσµατος και κλείστε την παλάµη σας (µέσω της µικρότερης γωνίας) προς το µέρος του δεύτερου ο αντίχειράς σας τότε δείχνει την κατεύθυνση του ˆn. (Στο Σχ.1.8 το A B δείχνει προς τα μέσα στη σελίδα, ενώ το B A δείχνει έξω από τη σελίδα.) Παρατηρήστε ότι το A B είναι και αυτό ένα διάνυσμα (εξουκαιηεναλλακτικήονοµασίαδιανυσµατικό γινόµενο). Το εξωτερικό γινόµενο είναι επιμεριστικό, A (B + C) =(A B)+(A C), (1.5) αλλά όχι αντιμεταθετικό. Πράγµατι, (B A) = (A B). (1.6) Γεωµετρικά, το A B είναι το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου µε πλευρές τα A και B (Σχ. 1.8). Αν δύο διανύσµατα είναι παράλληλα, το εξωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν. Συγκεκριµένα, για κάθε διάνυσµα A. A A =0! Πρόβληµα 1.1 Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς των σχέσεων (1.1) και (1.4) και κατάλληλα σχήµατα, δείξτε ότι το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόµενο είναι επιµεριστικά (α)όταντατρίαδιανύσµαταείναισυνεπίπεδα (β) στη γενική περίπτωση. Πρόβληµα 1.2 Είναι το εξωτερικό γινόµενο προσεταιριστικό; (A B) C ; = A (B C). Αν είναι, αποδείξτε το αν όχι, δώστε ένα αντιπαράδειγµα.

23 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 5 z z x x z y (α) y x A x x A y y A A z z (β) y Σχήµα Η διανυσµατική άλγεβρα υπό µορφή συνιστωσών Στην προηγούµενη παράγραφο όρισα τις τέσσερις διανυσµατικές πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασµό µε βαθµωτό, εσωτερικό γινόµενο και εξωτερικό γινόµενο) χωρίς αναφορά σε κάποιο συγκεκριµένο σύστηµα συντεταγµένων. Στην πράξη, είναι συχνά ευκολότερο να χρησιµοποιούµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες x, y, z και να εργαζό- µαστε µε τις «συνιστώσες» των διανυσµάτων. Έστω ότι τα ˆx, ŷ, και ẑ είναι µοναδιαία διανύσµατα, παράλληλα µε τους άξονες x, y, καιz αντίστοιχα (Σχ. 1.9(α)). Κάθε διάνυσµα A µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει αυτών των µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης (Σχ. 1.9(β)) ως εξής: A = A xˆx + A y ŷ + A z ẑ. Οι αριθµοί A x, A y,καιa z ονοµάζονται συνιστώσες του A. Γεωµετρικά, είναι οι προβολές του A πάνω στους τρεις άξονες συντεταγµένων. Μπορούµε τώρα να επαναδιατυπώσουµεκάθεµίααπότιςτέσσεριςδιανυσµατικέςπράξειςµεκανόνεςπράξεων µεταξύ των συνιστωσών: A + B =(A xˆx + A y ŷ + A z ẑ)+(b xˆx + B y ŷ + B z ẑ) = (A x + B x )ˆx +(A y + B y )ŷ +(A z + B z )ẑ. (1.7) (i) Κανόνας: Για να προσθέσετε διανύσματα, προσθέστε τις αντίστοιχες συνιστώσες. aa =(aa x )ˆx +(aa y )ŷ +(aa z )ẑ. (1.8) (ii) Κανόνας: : Για να πολλαπλασιάσετε με ένα βαθμωτό, πολλαπλασιάστε με αυτό την κάθε συνιστώσα. Επειδή τα µοναδιαία διανύσµατα ˆx, ŷ,καιẑ είναι κάθετα το ένα στο άλλο, Κατά συνέπεια, ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ =1, ˆx ŷ = ˆx ẑ = ŷ ẑ =0. (1.9) A B = (A xˆx + A y ŷ + A z ẑ) (B xˆx + B y ŷ + B z ẑ) = A x B x + A y B y + A z B z. (1.10)

24 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (iii) Κανόνας: Για να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο, πολλαπλασιάστε τις αντίστοιχες συνιστώσες και προσθέστε τα γινόμενα. Ειδικότερα, A A = A 2 x + A2 y + A2 z, οπότε A = A 2 x + A 2 y + A 2 z. (1.11) (Αυτή είναι, αν προτιµάτε, η τριδιάστατη γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος.) Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό γινόµενο του A µε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσµα ισούται µε τη συνιστώσα του A κατά µήκος της κατεύθυνσης του µοναδιαίου διανύσµατος (έτσι, A ˆx = A x, A ŷ = A y, και A ẑ = A z ). Παροµοίως, 1 Εποµένως, ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ =0, ˆx ŷ = ŷ ˆx = ẑ, ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆx, ẑ ˆx = ˆx ẑ = ŷ. (1.12) A B = (A xˆx + A y ŷ + A z ẑ) (B xˆx + B y ŷ + B z ẑ) (1.13) = (A y B z A z B y )ˆx +(A z B x A x B z )ŷ +(A x B y A y B x )ẑ. Η έκφραση αυτή, που είναι δύσκολο να τη θυµάται κανείς, µπορεί να γραφτεί πιο νοικοκυρεµένα υπό µορφή ορίζουσας: ˆx ŷ ẑ A B = A x A y A z B x B y B z. (1.14) (iv) Κανόνας: Για να βρείτε το εξωτερικό γινόμενο, υπολογίστε την ορίζουσα που η πρώτη γραμμή της είναι τα ˆx, ŷ, ẑ, η δεύτερή της γραμμή αποτελείται από τις συνιστώσες του A, και η τρίτη της γραμμή από τις συνιστώσες του B. Παράδειγµα 1.2 Βρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν δύο διαγώνιοι διαδοχικών εδρών ενός κύβου. Λύση: Μπορούµε να θεωρήσουµε έναν κύβο που η πλευρά του έχει µήκος 1 (χωρίς απώλεια της γενικότητας), και να τον τοποθετήσουµε όπως φαίνεται στο Σχ. 1.10, µε τη 1 Τα πρόσηµα αυτά χαρακτηρίζουν ένα δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων. (Σ ένα τέτοιο σύστηµα, όταν ο άξονας x δείχνει έξω από τη σελίδα, ο άξονας y δείχνει προς τα δεξιά και ο άξονας z προς τα πάνω. Κάθε άλλο δεξιόστροφο σύστηµα προκύπτει µε µια σειρά διαδοχικών περιστροφών του συστήµατος αυτού γύρω από κάποιους άξονες στο χώρο.) Σε οποιοδήποτε αριστερόστροφο σύστηµα τα πρόσηµα αντιστρέφονται: ˆx ŷ = ẑ και ούτω καθ εξής. Θα χρησιµοποιούµε αποκλειστικά δεξιόστροφα συστήµατα.

25 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 7 µια γωνία του στην αρχή των αξόνων. Οι διαγώνιοι A και B των εδρών του σχήµατος είναι A =1ˆx +0ŷ +1ẑ, B =0ˆx +1ŷ +1ẑ. z (0, 0, 1) B θ A (0, 1, 0) y x (1, 0, 0) Σχήµα 1.10 Έτσι, υπό µορφή συνιστωσών A B = =1. Εξάλλου, από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου έχουµε Εποµένως, A B = AB cos θ = 2 2cosθ =2cosθ. cos θ =1/2, ή θ =60. Μπορείτε, φυσικά, να βρείτε την απάντηση και µε ευκολότερο τρόπο, σχεδιάζοντας τη διαγώνιο της πάνω έδρας του κύβου, οπότε σχηµατίζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Σε περιπτώσεις όµως που η γεωµετρία του σχήµατος δεν είναι τόσο απλή, το τέχνασµα της σύγκρισης των δύο σχέσεων υπολογισµού του εσωτερικού γινοµένου µπορεί να βοηθήσει πολύ αποτελεσµατικά στην εύρεση γωνιών. Πρόβληµα 1.3 Βρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν οι εσωτερικές διαγώνιοι ενός κύβου. Πρόβληµα 1.4 Χρησιµοποιήστε το εξωτερικό γινόµενο για να βρείτε τις συνιστώσες του µοναδιαίου διανύσµατος ˆn που είναι κάθετο στο επίπεδο του Σχ Τριπλά γινόµενα Αφού το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι και αυτό ένα διάνυσµα, µπορού- µε να ορίσουµε το εσωτερικό ή το εξωτερικό του γινόµενο µε ένα τρίτο διάνυσµα, σχηµατίζοντας έτσι ένα τριπλό γινόµενο.

26 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ z 3 n x 1 2 y n A θ C B Σχήµα 1.11 Σχήµα 1.12 (i) Το βαθµωτό τριπλό γινόµενο: A (B C). Γεωµετρικά, το A (B C), είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε πλευρές τα A, B, καιc, αφού B C είναι το εµβαδόν της βάσης και A cos θ είναι το ύψος (Σχ. 1.12). Προφανώς, λοιπόν A (B C) =B (C A) =C (A B), (1.15) αφού όλα αντιστοιχούν στο ίδιο σχήµα. Παρατηρήστε ότι τηρείται «αλφαβητική» σειρά τα τριπλά γινόµενα που δεν τηρούν την αλφαβητική σειρά, A (C B) =B (A C) =C (B A), λόγω της Εξίσωσης (1.6), έχουν αντίθετο πρόσηµο. Υπό µορφή συνιστωσών A x A y A z A (B C) = B x B y B z C x C y C z. (1.16) Παρατηρήστεότι τοεσωτερικό καιτο εξωτερικό γινόµενο µπορούν να αντιµετατίθενται: A (B C) =(A B) C (αυτό συνάγεται άµεσα από την (1.15)) η τοποθέτηση των παρενθέσεων, εν τούτοις, είναι πολύ σηµαντική: η έκφραση (A B) C δεν έχει κανένα απολύτως νόηµα δεν µπορείτε να σχηµατίσετε το εξωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος και ενός βαθμωτού. (ii) Το ιανυσµατικό Τριπλό Γινόµενο: A (B C). Ο τύπος του διανυσµατικού τριπλού γινοµένου γίνεται πιο ευκολοµνηµόνευτος µε τον λεγόµενο κανόνα BAC CAB: A (B C) =B(A C) C(A B). (1.17) Παρατηρήστε ότι το (A B) C = C (A B) = A(B C)+B(A C) Οι ισότητες στην (1.15) προκύπτουν µε κυκλική µετάθεση των διανυσµάτων (Σ.τ.Μ.).

27 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 9 είναι ένα τελείως διαφορετικό διάνυσµα. Παρεµπιπτόντως, όλα τα ανώτερα διανυσµατικά γινόµενα µπορούν να απλοποιηθούν µε παρόµοιο τρόπο, συνήθως µε κατ επανάληψη εφαρµογή της (1.17), έτσι ώστε να µην είναι αναγκαίο µια έκφραση να περιέχει περισσότερα του ενός διανυσµατικά γινόµενα σε κάθε όρο. Για παράδειγµα, (A B) (C D) = (A C)(B D) (A D)(B C) A (B (C D)) = B(A (C D)) (A B)(C D). (1.18) Πρόβληµα 1.5 Αποδείξτε τον κανόνα BAC CABγράφοντας και τα δύο µέλη υπό µορφή συνιστωσών. Πρόβληµα 1.6 Αποδείξτε ότι [A (B C)] + [B (C A)] + [C (A B)] = 0. Κάτω από ποιες συνθήκες είναι A (B C) =(A B) C; ιανύσµατα θέσης, µετατόπισης, και απόστασης Η θέση ενός σηµείου στις τρεις διαστάσεις µπορεί να προσδιοριστεί από τις καρτεσιανές του συντεταγµένες (x, y, z). Τοδιάνυσµαπουέχειωςαρχήτηναρχήτωναξόνων και τέλος το εν λόγω σηµείο (Σχ. 1.13) λέγεται διάνυσµα θέσης: r x ˆx + y ŷ + z ẑ. (1.19) Για το διάνυσµα θέσης θα χρησιµοποιήσω το σύµβολο r σε όλο το βιβλίο. Το µέτρο του, r = x 2 + y 2 + z 2, (1.20) ισούται µε την απόσταση από την αρχή των αξόνων, και ˆr = r r = x ˆx + y ŷ + z ẑ x2 + y 2 + z 2 (1.21) είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα που δείχνει ακτινικά προς τα έξω. Το απειροστό διάνυσµα µετατόπισης,απότο(x, y, z) στο (x + dx, y + dy, z + dz),είναι dl = dx ˆx + dy ŷ + dz ẑ. (1.22) (Θα µπορούσαµε να το συµβολίσουµε µε dr, καθώς περίαυτού πρόκειται, αλλά ένα ειδικό σύµβολο για τις απειροστές µετατοπίσεις είναι χρήσιµο.) Στην ηλεκτροδυναµική συναντάµε συχνά προβλήµατα που αφορούν δύο σηµεία συνήθωςένασηµείο πηγής, r, όπου βρίσκεται ένα ηλεκτρικό φορτίο, και ένα ση- µείο πεδίου, r, στο οποίο υπολογίζουµε το ηλεκτρικό ή το µαγνητικό πεδίο (Σχ.1.14).

28 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ z σημείο πηγής x O y r r (x, y, z) z y x O r r r σημείο πεδίου Σχήµα 1.13 Σχήµα 1.14 Συµφέρει να υιοθετήσουµε από την αρχή ένα συντοµογραφικό σύµβολο για το διάνυσµα απόστασης από το σηµείο πηγής µέχρι το σηµείο πεδίου. Για αυτόν τον σκοπό θα χρησιµοποιήσω το γράµµα r: r r r. (1.23) Το µέτρο του είναι r = r r, (1.24) και το µοναδιαίο διάνυσµα µε κατεύθυνση από το r προς το r είναι Σε καρτεσιανές συντεταγµένες, Or = r r = r r r r. (1.25) r =(x x )ˆx +(y y )ŷ +(z z )ẑ, (1.26) r = (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2, (1.27) Or = (x x )ˆx +(y y )ŷ +(z z )ẑ (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 (1.28) (απ όπου µπορεί κανείς να εκτιµήσει το πλεονέκτηµα του συνοπτικού συµβολισµού). Πρόβληµα 1.7 Βρείτε το διάνυσµα απόστασης r από το σηµείο πηγής (2,8,7) µέχρι το σηµείο πεδίου (4,6,8). Υπολογίστε το µέτρο του (r), και κατασκευάστε το µοναδιαίο διάνυσµα Or Πώς µετασχηµατίζονται τα διανύσµατα Ο ορισµός ενός διανύσµατος σαν «ποσότητα µε µέτρο και κατεύθυνση» δεν είναι εξ ολοκλήρου ικανοποιητικός: Τι ακριβώς σημαίνει «κατεύθυνση»; 2 Η ερώτηση αυτή 2 Η ενότητα αυτή µπορεί να παραλειφθεί χωρίς απώλεια συνέχειας.

29 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 11 µπορεί να φαίνεται σχολαστική, σύντοµα όµως θα συναντήσουµε ένα είδος παραγώγου που µάλλον μοιάζει µε διάνυσµα, οπότε θα θέλαµε να ξέρουµε αν πράγµατι είναι διάνυσµα. Έχετε συνηθίσει, ίσως, να νοµίζετε πως οτιδήποτε έχει τρεις συνιστώσες που προστίθενται κατάλληλα είναι ένα διάνυσµα. Σκεφτείτε όµως το εξής: Έχουµε ένα κασόνι µε φρούτα που περιέχει N x αχλάδια, N y µήλα και N z µπανάνες. Είναι άραγε το N = N xˆx + N y ŷ + N z ẑ διάνυσµα;έχειπράγµατιτρειςσυνιστώσεςκαιόταν το προσθέσετε µε ένα άλλο κασόνι που έχει M x αχλάδια, M y µήλα και M z µπανάνες, το αποτέλεσµα είναι (N x + M x ) αχλάδια, (N y + M y ) µήλα και (N z + M z ) µπανάνες. Άρα προστίθεται σαν διάνυσµα. Σίγουρα όµως δεν είναι διάνυσµα µε τον τρόπο που ένας φυσικός εννοεί αυτή τη λέξη, διότι δεν έχει κάποια κατεύθυνση. Πού ακριβώς υστερεί; Η απάντηση είναι ότι το N δεν μετασχηματίζεται κατάλληλα όταν αλλάζετε τις συντεταγμένες. Το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούµε για να περιγράφουµε τις θέσεις στον χώρο, είναι, βεβαίως, τελείως αυθαίρετο, υπάρχει όµως ένας συγκεκριµένος γεωµετρικός νόµος µετασχηµατισµού που µετατρέπει τις διανυσµατικές συνιστώσες από το ένα σύστηµα στο άλλο. Υποθέστε, για παράδειγµα, ότι το σύστηµα x, y, z, έχει στραφεί κατά γωνία φ περί τον κοινό άξονα x = x, ωςπροςτοσύστηµαx, y, z. Από το Σχ έχουµε ενώ A y = A cos θ, A z = A sin θ, A y = A cos θ = A cos(θ φ) =A(cos θ cos φ +sinθ sin φ) = cosφa y +sinφa z, A z = A sin θ = A sin(θ φ) =A(sin θ cos φ cos θ sin φ) = sin φa y +cosφa z. Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να εκφραστεί υπό µορφή πινάκων: ( Ay A z ) ( cos φ sin φ = sin φ cos φ )( Ay A z ). (1.29) z z A θ θ φ y y Σχήµα 1.15

30 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Γενικότερα, ο νόµος µετασχηµατισµού για περιστροφή γύρω από κάποιον αυθαίρετο άξονα στον χώρο, παίρνει τη µορφή: A x A y = R xx R xy R xz R yx R yy R yz A x A y, (1.30) A z R zx R zy R zz A z ή, συντοµότερα, A i = 3 R ij A j, (1.31) j=1 όπου ο δείκτης 1 είναι για το x,ο2 για το y και ο 3 για το z.ταστοιχείατουπίνακαr µπορούν να προσδιοριστούν, για µια δεδοµένη περιστροφή, µε γεωµετρική µέθοδο, παρόµοια µε εκείνη που χρησιµοποιήσαµε για την περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Τώρα: Οι συνιστώσες του N µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο; Βεβαίως όχι όποιες συντεταγµένες και να χρησιµοποιήσετε για να αναπαραστήσετε τις θέσεις στον χώρο, θα υπάρχει πάντα η ίδια ποσότητα µήλων στο κασόνι. εν µπορείτε να µετατρέψετε ένα αχλάδι σε µπανάνα χρησιµοποιώντας ένα διαφορετικό σύστηµα αξόνων, μπορείτε όµως το A x να το µετατρέψετε σε A y. Τυπικά, λοιπόν, ένα διάνυσμα είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο τριών συνιστωσών που μετασχηματίζεται, όταν αλλάζουν οι συντεταγμένες, ακριβώς όπως οι συνιστώσες μιας μετατόπισης. Ως γνωστόν, η µετατόπιση είναι το πρότυπο συμπεριφοράς για όλα τα διανύσµατα. Παρεµπιπτόντως, ένας τανυστής (δεύτερης τάξης) είναι ένα µαθηµατικό αντικεί- µενο µε εννιά συνιστώσες T xx, T xy, T xz, T yx,..., T zz, για το µετασχηµατισµό των οποίων απαιτείται δύο φορές η δράση του πίνακα R: ή, συντοµότερα, T xx = R xx (R xx T xx + R xy T xy + R xz T xz ) +R xy (R xx T yx + R xy T yy + R xz T yz ) +R xz (R xx T zx + R xy T zy + R xz T zz ),... T ij = 3 k=1 l=1 3 R ik R jl T kl. (1.32) Εν γένει, ένας τανυστής τάξης n έχει n δείκτες και 3 n συνιστώσες και µετασχηµατίζεται αν δράσουµε πάνω του n φορές µε τον πίνακα R. Στην ιεραρχία αυτή, ένα διάνυσµα είναι τανυστής τάξης 1 και ένα βαθµωτό είναι τανυστής τάξης 0. Πρόβληµα 1.8 (α) Αποδείξτε ότι ο διδιάστατος πίνακας στροφής (1.29) διατηρεί το μήκος του A. ( ηλαδή, δείξτε ότι A yb y + A zb z = A yb y + A zb z.) (β) Ποιους περιορισµούς πρέπει να ικανοποιούν τα στοιχεία (R ij) του τριδιάστατου πίνακα στροφής (1.30) προκειµένου να διατηρούν το µήκος του A (για όλα τα A);