Μεθοδολογία Βελτιστοποίησης Πολλαπλών Στόχων για την Κατανομή Πόρων στα Τεχνικά Έργα

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Μεθοδολογία Βελτιστοποίησης Πολλαπλών Στόχων για την Κατανομή Πόρων στα Τεχνικά Έργα ΣΟΦΙΑ Π. ΚΑΪΑΦΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ & ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΧΑΣΙΑΚΟΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ, 2013

2

3 Στον μικρό μου Πάνο

4

5 «Η προσπάθεια χρήσης μηχανών για να μιμηθούν το ανθρώπινο μυαλό μου φαίνεται πολύ αστεία. Θα προτιμούσα να τις χρησιμοποιήσω για να μιμηθούν κάτι πολύ καλύτερο» Edsger Wybe Dijkstra ( )/ //Ολλανδός επιστήμονας της πληροφορικής, με πολύ σημαντική συνεισφορά στην επιστήμη των υπολογιστών και συγκεκριμένα στους τομείς: δημιουργία αλγορίθμων (Dijkstra algorithm 1959), γλώσσες προγραμματισμού, σχεδιασμός προγραμμάτων, κατανεμημένος υπολογισμός, λειτουργικά συστήματα. Τιμήθηκε με πολλές διακρίσεις/

6

7 Αντί Προλόγου Η παρούσα Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο του κύκλου σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών στην κατεύθυνση «Συγκοινωνιών, Διαχείρισης Έργων και Σχεδιασμού του Χώρου» και αποτελεί μία ολοκληρωμένη προσπάθεια προσέγγισης της φάσης του προγραμματισμού τεχνικών έργων που καλείται διαχείριση ή κατανομή πόρων. Η διαδρομή από την σύλληψη της αρχικής ιδέας έως το τελικό αποτέλεσμα, που συνοψίζεται στο παρόν τεύχος, αποτέλεσε ένα συναρπαστικό εκπαιδευτικό ταξίδι. Για την εκπόνηση της παρούσας πραγματοποιήθηκε βιβλιογραφική έρευνα σε βάθος, ενώ επίσης αναπτύχθηκε μία νέα εφαρμογή βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων με χρήση γενετικού αλγορίθμου. Η καινοτομία προσέγγισης του προβλήματος έγκειται τόσο στον ορισμό του προβλήματος (αντικειμενική συνάρτηση), όσο και στο πλήθος και τα χαρακτηριστικά των περιορισμών (ενδεικτικά: γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες) που λαμβάνει υπόψη του το μοντέλο, αλλά και στη χρήση τεχνητής νοημοσύνης για την επίλυση του. Στο πλαίσιο αυτό, επιλύθηκαν συγκεκριμένα προβλήματα, απλά και πιο σύνθετα, και βάση των αποτελεσμάτων πραγματοποιήθηκε κριτική αξιολόγηση του μοντέλου βελτιστοποίησης.

8

9 Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Αθανάσιο Χασιακό για την ουσιαστική καθοδήγηση και βοήθεια που μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της παρούσας Διατριβής αλλά και για την εξαιρετική συνεργασία συνολικά στον κύκλο σπουδών του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης. Επίσης, ευχαριστώ για την συνεργασία και ανταλλαγή απόψεων στα επιμέρους τμήματα της Διατριβής τον Ηλία Φίλια, Μηχανικό Πληροφορικής MSc και τον Πολύδωρο Πολυδωρόπουλο, Μηχανικό Η/Υ MSc. Η Διατριβή αυτή δεν θα είχε ολοκληρωθεί χωρίς τη συμπαράσταση της μητέρας μου Κωνσταντίνας και του πατέρα μου Παναγιώτη, που είναι πάντα δίπλα μου σε όλα μου τα βήματα. Τους ευχαριστώ για όλα μέσα από την καρδιά μου. Τέλος, ευχαριστώ τον Μιχάλη που συνέβαλε με τον τρόπο του στη στήριξη της συγκεκριμένης προσπάθειας.

10

11 xi Περίληψη Ο χρονικός προγραμματισμός αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του συστήματος διαχείρισης των έργων και, λόγω της σημασίας του, τα τελευταία χρόνια αποτελεί πεδίο εντατικής έρευνας τόσο σε επίπεδο ακαδημαϊκών εργασιών όσο και στην επιχειρηματική κοινότητα. Το χρονοπρόγραμμα συνδέεται με δύο θεμελιώδη χαρακτηριστικά των έργων: την διάρκεια ολοκλήρωσης των εργασιών (άρα και τον χρόνο διάθεσης του έργου προς χρήση) και το κόστος κατασκευής. Η σημασία του χρονικού προγραμματισμού αποκτά πρόσθετο ειδικό βάρος αν αναλογιστεί κανείς τις μεγάλες απαιτήσεις, την πολυπλοκότητα, το μέγεθος, την διαφοροποίηση, τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά απόδοσης (προδιαγραφές ποιότητας, ασφάλειας, αντοχής, περιβαλλοντικής μέριμνας, κ.λπ.) αλλά και τις ανάγκες των χρηστών των τεχνικών έργων. Η διαθεσιμότητα και η κατανομή των ανθρώπων, των μηχανημάτων, των υλικών και του εξοπλισμού που απαιτούνται για την εκτέλεση ενός έργου, όπως εύλογα προκύπτει, επηρεάζουν καταλυτικά τον χρονικό προγραμματισμό. Όλα τα παραπάνω συνθέτουν τους απαιτούμενους πόρους ή, διαφορετικά, τα μέσα παραγωγής για την εκτέλεση του έργου. Οι διαφορετικές επιλογές κατανομής των πόρων, ενδέχεται να οδηγήσουν σε σημαντική αύξηση ή μείωση του κόστους υλοποίησης, στην καθυστέρηση ή γενικά στην χρονική μετακίνηση εργασιών, στην επιλογή εναλλακτικών πόρων ή τρόπων εκτέλεσης, στην κατάτμηση των δραστηριοτήτων (εφόσον υπάρχει η δυνατότητα) ή ακόμα και στον συνολικό αναπρογραμματισμό του έργου. Για την επίλυση των προβλημάτων κατανομής των πόρων, έχουν αναπτυχθεί πολλές μεθοδολογίες που βασίζονται σε μαθηματικές ή ευρετικές και μεταευρετικές προσεγγίσεις. Κάθε κατηγορία επίλυσης περιλαμβάνει διακριτές υποκατηγορίες και έχει συγκεκριμένες απαιτήσεις (προϋποθέσεις), οι οποίες προφανώς επηρεάζουν την αποτελεσματικότητα του μηχανισμού επίλυσης και φυσικά το αποτέλεσμα. Κοινό στοιχείο σε όλες αυτές τις περιπτώσεις είναι η πολυπλοκότητα του προβλήματος που αντιμετωπίζεται και το πλήθος των παραμέτρων και των περιορισμών, συνήθως συγκρουσιακών, που επηρεάζουν τις τελικές λύσεις. Στην παρούσα Διατριβή αναλύεται ακριβώς αυτή η προβληματική της κατανομής των πόρων στα τεχνικά έργα και οι πιο διαδεδομένες μεθοδολογικές και τεχνικές προσεγγίσεις. Η έρευνα εστιάζει στην βελτιστοποίηση προβλημάτων πολλαπλών στόχων που προσομοιάζουν στα πραγματικά δεδομένα. Τα εν λόγω προβλήματα χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη περιορισμών στην διαθεσιμότητα των πόρων, συμπεριλαμβανομένου του χρόνου, την απαίτηση πολλαπλών πόρων

12 xii (διαφορετικές κατηγορίες μέσων παραγωγής) για την υλοποίηση του έργου, την ύπαρξη γενικευμένων σχέσεων διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες που συνθέτουν το έργο και την δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω παραμέτρους, σχεδιάζεται ένα μοντέλο βελτιστοποίησης στην βάση των επιμέρους όρων κόστους των έργων και αναπτύσσεται μία εφαρμογή Τεχνητής Νοημοσύνης με χρήση Γενετικού Αλγορίθμου σε γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic for Applications στο φιλικό περιβάλλον του Microsoft Excel. Οι επιδόσεις του αλγορίθμου σε ικανό πλήθος προβλημάτων για τα οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων την βέλτιστη λύση (ή μία πολύ καλή λύση κοντά στην βέλτιστη) είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικές. Τα συμπεράσματα αξιολόγησης της προτεινόμενης μεθοδολογίας βελτιστοποίησης είναι θετικά, με αποτέλεσμα η γενίκευση του μοντέλου σε μεγαλύτερα ή και πιο σύνθετα προβλήματα να παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον.

13 xiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη xi ΑΡΚΤΙΚΟΛΕΞΟ & ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ xix ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ xxii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ xxv ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Περιγραφή του Προβλήματος Μεθοδολογία Ανάλυσης Δομή της Παρούσας Διατριβής 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διαχείριση Έργων Εισαγωγή στην Διαχείριση Έργων Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Σχεδιασμός, Προγραμματισμός, Έλεγχος Έργων Κύκλος Ζωής Έργων Σύγχρονες Τάσεις στην Διαχείριση Έργων Πληροφοριακά Συστήματα Διαχείρισης Τεχνικών Έργων 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Εισαγωγή στον Χρονικό Προγραμματισμό Έργων Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Παράμετροι του Χρονοπρογραμματισμού Εκτίμηση Χρονικής Διάρκειας Δραστηριότητας Σχέσεις Προτεραιότητας μεταξύ των Δραστηριοτήτων Απαιτούμενο Κόστος Απαιτούμενοι Πόροι Ανάλυση Δομής Έργου Τεχνικές Δικτύων Κρίσιμη Διαδρομή Ευθύγραμμο Γράφημα Διάγραμμα Gantt Αντιμετώπιση της Αβεβαιότητας Μέθοδος PERT 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διαχείριση Πόρων Εισαγωγή στην Διαχείριση Πόρων Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Αντίκτυπος στον Σχεδιασμό του Έργου Ταξινόμηση Πόρων Προφίλ Πόρων Κατανομή Πόρων. Στάδια Εφαρμογής Φόρτωση Πόρων Είδος και Ποσότητα Πόρων Επάρκεια Πόρων 65

14 xiv 4.7. Κριτήρια Επιλογής Πόρων Περιορισμοί στην Κατανομή Πόρων Κατανομή Απεριόριστων Πόρων ή Κατανομή Περιορισμένου Χρόνου Κατανομή Περιορισμένων Πόρων Κατανομή Πολλαπλών Πόρων Κανόνες Προτεραιότητας για την Κατανομή των Πόρων Κρίσιμη Aλυσίδα Έργα που Εκτελούνται Παράλληλα 97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βελτιστοποίηση Κατανομής Πόρων Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Προσέγγιση Αντικειμενική Συνάρτηση Υπολογιστικοί Χώροι Ολικά και Τοπικά Ελάχιστα/Μέγιστα Βελτιστοποίηση Πολλαπλών Στόχων Βελτιστοποίηση με Περιορισμούς Χαρακτηριστικά και Κατηγορίες Προβλημάτων Μέθοδοι Βέλτιστου Προγραμματισμού Κατηγορίες Λύσεων Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ευρετικές και Μετα - Ευρετικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Μεθοδολογία Επίλυσης. Αναλυτικοί ή Στοχαστικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης; Αναλυτικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης Στοχαστικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Νοημοσύνη Σμήνους 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προηγούμενες Μεθοδολογίες Βελτιστοποίησης Κατανομής Πόρων Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Ακριβείς Μέθοδοι, Γραμμικός και Ακέραιος Προγραμματισμός Ευρετικές Προσεγγίσεις Μετα Ευρετικές και Εξελικτικές Προσεγγίσεις Αξιολόγηση Εφαρμογών Γνωστών Πακέτων Λογισμικών 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προτεινόμενη Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων Κατανομής Πόρων Προσδιορισμός του Προβλήματος Πολλαπλοί στόχοι Μαθηματικό Μοντέλο Μεταβλητές σχεδιασμού Αντικειμενική Συνάρτηση Περιορισμοί Υποθέσεις & Παραδοχές Γενετικός Αλγόριθμος Επίλυσης Γλώσσα Προγραμματισμού 187

15 xv ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εφαρμογή και Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Ανάλυση Ευαισθησίας Κριτηρίων Παράδειγμα Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση Παράδειγμα 8.1 Συγκριτική Επισκόπηση Παράδειγμα Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση Παράδειγμα 8.2 Συγκριτική Επισκόπηση Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Παράδειγμα Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση Παράδειγμα 8.4 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση Παράδειγμα 8.5 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση Σύνθετα Προβλήματα Παράδειγμα 8.6 Πολλαπλοί πόροι Παράδειγμα 8.7 Γενικευμένες Σχέσεις Διαδοχής Παράδειγμα 8.7 Περίπτωση Παράδειγμα 8.7 Περίπτωση Σύγκριση με Άλλες Μεθοδολογίες Παράδειγμα 8.8 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Παράδειγμα 8.8 Περίπτωση Παράδειγμα 8.8 Περίπτωση Παράδειγμα 8.9 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Παράδειγμα 8.9 Περίπτωση Παράδειγμα 8.9 Περίπτωση 2 309

16 xvi ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Περιγραφή του Προβλήματος και Αναγκαιότητα της Λύσης Περιγραφή Μεθοδολογίας Πορίσματα Ανάλυσης Προτάσεις για Περαιτέρω Διερεύνηση 322 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 325 ΠΗΓΕΣ 330 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 333

17 xvii ΑΡΚΤΙΚΟΛΕΞΟ & ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΚ ΑΠ ΒΕ ΒΛ ΒΛΓΑ ΓΑ ΓΠ ΕΑ ΕΕ ΕΚ ΕΛ ΕΠ ΕΣ ΕΟΑΕ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ ΝΑ ΟΚΩ ΠΣ ΠΣΔΕ ΣΕ ΣΙ ΣΚ ΤΝ ΤΠΕ ΧΜΔ Άμεσο Κόστος Ακέραιος Προγραμματισμός Βραδύτερη Έναρξη Βέλτιστη Λύση Βέλτιστη Λύση Γενετικού Αλγορίθμου Γενετικός Αλγόριθμος Γραμμικός Προγραμματισμός Εξελικτικός Αλγόριθμος Ενωρίτερη Έναρξη Έμμεσο Κόστος Εμπειρική Λύση Εξελικτικός Προγραμματισμός Εξελικτικές Στρατηγικές Εγνατία Οδός Ανώνυμη Εταιρεία Κόστος Μεταβολής Πόρων Κόστος Υπέρβασης Πόρων Κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος Νοημοσύνη Σμήνους Οργανισμοί Κοινής Ωφέλειας Πληροφοριακά Συστήματα Πληροφοριακά Συστήματα Διαχείρισης Έργων Στρατηγικές Εξέλιξης Συνάρτηση Ικανότητας Συνάρτηση Καταλληλότητας Τεχνητή Νοημοσύνη Τεχνολογίες Πληροφοριών και Επικοινωνιών Χρονική Μετακίνηση Δραστηριοτήτων ACO ΑΙ AL AOA AON AS BF BS CCPM CPM DC DP DTCTP EHC EA Ant Colony Optimization Artificial Intelligence Activity List Activity on Arrow networks Activity on Node Ant System Best First Beam Search Critical Chain Project Management Critical Path Method Direct Cost Dynamic Programming Discrete Time-Cost Trade-Off Problem Enforced Hill Climbing Evolutionary Algorithms

18 xviii EP Evolutionary Programming ES Evolution Strategies FF Finish to Finish FS Finish to Start GA Genetic Algorithm GP Geometric Programming GenP Genetic Programming HC Hill Climbing Search HGA Hybrid Genetic Algorithm IC Indirect Cost IDA Iterative Depending A* IP Integer Programming IPMA Project Management Association LCC Life Cycle Cost LP Linear Programming MOEA Multi-objective Evolutionary Algorithms MOGA Multi-objective Genetic Algorithms MOLP Multi-objective Linear Programming MONLP Multi-objective Non Linear Programming ΜΟΟ Multi-objective optimization MRCPSP Multi-mode Resource-Constrained Project Scheduling Problem MRC-DTCRO Multi-mode Resource-Constrained Discrete Time-Cost Resource Optimization NLP Non Linear Programming NSGA Non-domination based Genetic Algorithm PERT Program Evaluation and Review Technique PMI Project Management Institute PMIS Project Management Information Systems PSO Particle Swarm Optimization RA Resource Allocation RCSPs Resource Constrained Scheduling Problems RL Resource Leveling SA Simulated Annealing SF Start to Finish SGS Schedule Generation Scheme SΟΟ Single-objective optimization SPEA Strength Pareto Evolutionary Approach SS Start to Start TQM Total Quality Management TS Tabu Search TSP Traveling Salesman Problem VB Visual BASIC VBA Visual BASIC for Applications WBS Work Breakdown Structure

19 xix ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1. Αναλυτική προσέγγιση των παραμέτρων μιας δραστηριότητας (Shi and Deng, 2002) 13 Πίνακας 2. Βασικά στοιχεία ενός «τυπικού» έργου σε όλα τα στάδια της διαχείρισης 21 Πίνακας 3. Δομή προγραμματισμού και ελέγχου ενός «τυπικού» έργου Βήματα υλοποίησης (συνοπτικά) 22 Πίνακας 4. Παράδειγμα 3.1 (11 δραστηριότητες, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα 46 Πίνακας 5. Παράδειγμα 3.1 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 48 Πίνακας 6. Παράδειγμα 3.2 Δεδομένα του προβλήματος 50 Πίνακας 7. Παράδειγμα 3.2 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 51 Πίνακας 8. Εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης της δραστηριότητας Α 67 Πίνακας 9. Παράδειγμα 4.1 (10 δραστηριότητες, 1 πόρος, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα 72 Πίνακας 10. Παράδειγμα 4.1 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 72 Πίνακας 11. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης 73 Πίνακας 12. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης 74 Πίνακας 13. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «Εξομάλυνση 1» 77 Πίνακας 14. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «Εξομάλυνση 2» 77 Πίνακας 15. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον «Αναπρογραμματισμό έργου 1» 81 Πίνακας 16. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «MS Pr1» 83 Πίνακας 17. Παράδειγμα Εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης δραστηριοτήτων «Αναπρογραμματισμός έργου 2» 84 Πίνακας 18. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον «Αναπρογραμματισμό έργου 2» 84 Πίνακας 19. Παράδειγμα 4.2 (10 δραστηριότητες, 2 πόροι, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα 89 Πίνακας 20. Παράδειγμα 4.2 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης 90 Πίνακας 21. Χαρακτηριστικά και κατηγοριοποίηση των προβλημάτων της παρούσας Διατριβής 118 Πίνακας 22. Πίνακας 23. Ποσοστιαία απόκλιση για τον προτεινόμενο ΓΑ και την αυτοματοποιημένη διαδικασία εξομάλυνσης του MS Project 2010 από την βέλτιστη λύση (Iranagh και Sonmez, 2012) 169 Ποσοστιαία απόκλιση για την αυτοματοποιημένη διαδικασία εξομάλυνσης τριών λογισμικών διαχείρισης έργων από την CPM (Kastor και Sirakoulis, 2009) 170 Πίνακας 24. Παράδειγμα 8.1 (3 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 191 Πίνακας 25. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 192 Πίνακας 26. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 192 Πίνακας 27. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 193 Πίνακας 28. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 194 Πίνακας 29. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 194 Πίνακας 30. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 195 Πίνακας 31. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 195 Πίνακας 32. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 196 Πίνακας 33. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 197 Πίνακας 34. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 197 Πίνακας 35. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 198 Πίνακας 36. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 199 Πίνακας 37. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 200 Πίνακας 38. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 200 Πίνακας 39. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 201 Πίνακας 40. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 202 Πίνακας 41. Παράδειγμα 8.1 (3 δραστηριότητες) Συγκριτική επισκόπηση δεδομένων, παραμέτρων και αποτελεσμάτων 203 Πίνακας 42. Παράδειγμα 8.2 (5 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 205 Πίνακας 43. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 206 Πίνακας 44. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 206 Πίνακας 45. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 207 Πίνακας 46. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 207 Πίνακας 47. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 208 Πίνακας 48. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 208

20 xx Πίνακας 49. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 209 Πίνακας 50. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 211 Πίνακας 51. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 213 Πίνακας 52. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 213 Πίνακας 53. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 214 Πίνακας 54. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 214 Πίνακας 55. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 215 Πίνακας 56. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 215 Πίνακας 57. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 216 Πίνακας 58. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 218 Πίνακας 59. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) 219 Πίνακας 60. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) 220 Πίνακας 61. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) 220 Πίνακας 62. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) 221 Πίνακας 63. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 222 Πίνακας 64. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 222 Πίνακας 65. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 223 Πίνακας 66. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 224 Πίνακας 67. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 224 Πίνακας 68. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 225 Πίνακας 69. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 225 Πίνακας 70. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 226 Πίνακας 71. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) 227 Πίνακας 72. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) 227 Πίνακας 73. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) 227 Πίνακας 74. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) 229 Πίνακας 75. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 230 Πίνακας 76. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 230 Πίνακας 77. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 230 Πίνακας 78. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 231 Πίνακας 79. Παράδειγμα 8.2 (5 δραστηριότητες) Συγκριτική επισκόπηση δεδομένων, παραμέτρων και αποτελεσμάτων 233 Πίνακας 80. Παράδειγμα 8.3 (8 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 235 Πίνακας 81. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 236 Πίνακας 82. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 236 Πίνακας 83. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 237 Πίνακας 84. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 239 Πίνακας 85. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 240 Πίνακας 86. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 241 Πίνακας 87. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 241 Πίνακας 88. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 243 Πίνακας 89. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 244 Πίνακας 90. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 244 Πίνακας 91. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 245 Πίνακας 92. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 246 Πίνακας 93. Παράδειγμα 8.4 (10 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 247 Πίνακας 94. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 248 Πίνακας 95. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 248 Πίνακας 96. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 249 Πίνακας 97. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 251 Πίνακας 98. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 253 Πίνακας 99. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 253 Πίνακας 100. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 254 Πίνακας 101. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 257 Πίνακας 102. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 258 Πίνακας 103. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 258 Πίνακας 104. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 259

21 xxi Πίνακας 105. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 262 Πίνακας 106. Παράδειγμα 8.5 (11 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 264 Πίνακας 107. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 265 Πίνακας 108. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 265 Πίνακας 109. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 266 Πίνακας 110. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 268 Πίνακας 111. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 270 Πίνακας 112. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 270 Πίνακας 113. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 271 Πίνακας 114. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 273 Πίνακας 115. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 274 Πίνακας 116. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 275 Πίνακας 117. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 275 Πίνακας 118. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 277 Πίνακας 119. Παράδειγμα 8.6 (15 δραστηριότητες) Δεδομένα 278 Πίνακας 120. Παράδειγμα 8.6 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων 279 Πίνακας 121. Παράδειγμα 8.6 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας 280 Πίνακας 122. Παράδειγμα 8.6 Επίλυση του προβλήματος (ΒΛΓΑ) 281 Πίνακας 123. Παράδειγμα 8.6 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος 284 Πίνακας 124. Παράδειγμα 8.7 Δεδομένα του προβλήματος 288 Πίνακας 125. Παράδειγμα 8.7 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού 288 Πίνακας 126. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 289 Πίνακας 127. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 290 Πίνακας 128. Παράδειγμα 8.7 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 290 Πίνακας 129. Παράδειγμα 8.7 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 292 Πίνακας 130. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 293 Πίνακας 131. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 294 Πίνακας 132. Παράδειγμα 8.7 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 294 Πίνακας 133. Παράδειγμα 8.7 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 296 Πίνακας 134. Παράδειγμα 8.8 (4 δραστηριότητες) Christodoulou et al. (2009), Case Study Πίνακας 135. Παράδειγμα 8.8 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 299 Πίνακας 136. Παράδειγμα 8.8 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 299 Πίνακας 137. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ χωρίς χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) 300 Πίνακας 138. Παράδειγμα 8.8 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 301 Πίνακας 139. Πίνακας 140. Πίνακας 141. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος με βάση την ελαχιστοποίηση της εντροπίας του έργου (Christodoulou et al., 2009b) 301 Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος με βάση την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 302 Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 - ΒΛΓΑ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) 302 Πίνακας 142. Παράδειγμα 8.8 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος 303 Πίνακας 143. Παράδειγμα 8.9 (11 δραστηριότητες) Christodoulou et al. (2009b), Case Study Πίνακας 144. Παράδειγμα 8.9 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 305 Πίνακας 145. Παράδειγμα 8.9 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 306 Πίνακας 146. Παράδειγμα 8.9 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 306 Πίνακας 147. Παράδειγμα 8.9 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 308 Πίνακας 148. Παράδειγμα 8.9 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 - ΒΛΓΑ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) 310 Πίνακας 149. Παράδειγμα 8.9 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΒΛΓΑ-ΧΜΔ) 311

22 xxii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Γράφημα 1. Κατανομή του συνολικού κόστους υλοποίησης των έργων της Εγνατίας Οδού 17 Γράφημα 2. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ενωρίτερη έναρξη) 75 Γράφημα 3. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (ενωρίτερη έναρξη) 75 Γράφημα 4. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (βραδύτερη έναρξη) 75 Γράφημα 5. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (βραδύτερη έναρξη) 75 Γράφημα 6. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση 1) 76 Γράφημα 7. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση 1) 76 Γράφημα 8. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση 2) 76 Γράφημα 9. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση 2) 76 Γράφημα 10. Παράδειγμα 4.1 Αρχική κατανομή πόρων (ενωρίτερος χρόνος) 82 Γράφημα 11. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση MS Pr1) 82 Γράφημα 12. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (Αναπρογραμματισμός έργου 1) _ 85 Γράφημα 13. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (Αναπρογρ. 1) 85 Γράφημα 14. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (Αναπρογραμματισμός έργου 2) _ 85 Γράφημα 15. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (Αναπρογρ. 2) 85 Γράφημα 16. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους ενωρίτερος και βραδύτερος χρόνος (συγκριτικά) 87 Γράφημα 17. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους Εξομάλυνση 1 και Εξομάλυνση 2 (συγκριτικά) 87 Γράφημα 18. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους Αναπρογραμματισμός 1 και Αναπρογραμματισμός 2 (συγκριτικά) 87 Γράφημα 19. Προφίλ πόρου r1 (ενωρίτερη έναρξη) 92 Γράφημα 20. Προφίλ πόρου r2 (ενωρίτερη έναρξη) 92 Γράφημα 21. Συνολικό Προφίλ πόρων (ενωρίτερη έναρξη) 92 Γράφημα 22. Προφίλ πόρου r1 (βραδύτερη έναρξη) 92 Γράφημα 23. Προφίλ πόρου r2 (βραδύτερη έναρξη) 92 Γράφημα 24. Συνολικό Προφίλ πόρων (βραδύτερη έναρξη) 92 Γράφημα 25. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 193 Γράφημα 26. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 193 Γράφημα 27. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 195 Γράφημα 28. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 195 Γράφημα 29. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ1) 198 Γράφημα 30. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ1) 198 Γράφημα 31. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ2) 198 Γράφημα 32. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ2) 198 Γράφημα 33. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 201 Γράφημα 34. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 201 Γράφημα 35. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 207 Γράφημα 36. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 207 Γράφημα 37. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ1) 210 Γράφημα 38. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ1) 210 Γράφημα 39. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ2) 210 Γράφημα 40. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ2) 210 Γράφημα 41. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ3) 210 Γράφημα 42. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ3) 210 Γράφημα 43. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ4) 211 Γράφημα 44. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ4) 211 Γράφημα 45. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 214 Γράφημα 46. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 214 Γράφημα 47. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ1) 217 Γράφημα 48. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ1) 217 Γράφημα 49. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) 217 Γράφημα 50. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) 217 Γράφημα 51. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) 217

23 xxiii Γράφημα 52. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ3) 217 Γράφημα 53. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) 220 Γράφημα 55. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 223 Γράφημα 56. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) 223 Γράφημα 57. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 225 Γράφημα 58. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) 225 Γράφημα 59. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ1) 228 Γράφημα 60. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ1) 228 Γράφημα 61. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ2) 228 Γράφημα 62. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ2) 228 Γράφημα 63. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 231 Γράφημα 64. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) 231 Γράφημα 65. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 237 Γράφημα 66. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 237 Γράφημα 67. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 238 Γράφημα 68. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 238 Γράφημα 69. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) 238 Γράφημα 70. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) 238 Γράφημα 71. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 242 Γράφημα 72. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 242 Γράφημα 73. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 245 Γράφημα 74. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 245 Γράφημα 75. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 249 Γράφημα 76. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 249 Γράφημα 77. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 250 Γράφημα 78. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 250 Γράφημα 79. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) 250 Γράφημα 80. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) 250 Γράφημα 81. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΕΛ) 250 Γράφημα 82. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΛ) 250 Γράφημα 83. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 255 Γράφημα 84. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 255 Γράφημα 85. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ1) 255 Γράφημα 86. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ2) 255 Γράφημα 87. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 256 Γράφημα 88. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 256 Γράφημα 89. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 260 Γράφημα 90. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 260 Γράφημα 91. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 260 Γράφημα 92. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΒΛΓΑ 400) 261 Γράφημα 93. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΒΛΓΑ 600) 261 Γράφημα 94. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΕΛ) 261 Γράφημα 95. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 266 Γράφημα 96. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 266 Γράφημα 97. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 267 Γράφημα 98. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 267 Γράφημα 99. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) 267 Γράφημα 100. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) 267 Γράφημα 101. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΕΛ) 267 Γράφημα 102. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΛ) 267 Γράφημα 103. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 272 Γράφημα 104. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 272 Γράφημα 105. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ) 272 Γράφημα 106. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΕΛ) 272 Γράφημα 107. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 276 Γράφημα 108. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) 276 Γράφημα 109. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ) 276

24 xxiv Γράφημα 110. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΕΛ) 276 Γράφημα 111. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt με κατανομή των πόρων (ΒΛΓΑ) 282 Γράφημα 112. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ΒΛΓΑ) 282 Γράφημα 113. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρων σύνολο (ΒΛΓΑ) 282 Γράφημα 114. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt με κατανομή των πόρων (ΕΛ) 283 Γράφημα 115. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ΕΛ) 283 Γράφημα 116. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρων σύνολο (ΕΛ) 283 Γράφημα 117. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt για την αυτοματοποιημένη εξομάλυνση πόρων του MS PROJECT (χωρίς κατάτμηση των δραστηριοτήτων) 286 Γράφημα 118. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ενωρίτερος χρόνος) 286 Γράφημα 119. Παράδειγμα 8.6 Εξομάλυνση πόρων MS PRJ (χωρίς κατάτμηση των δραστηριοτήτων) 286 Γράφημα 120. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt για την αυτοματοποιημένη εξομάλυνση πόρων του MS PROJECT (με κατάτμηση των δραστηριοτήτων) 287 Γράφημα 121. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ενωρίτερος χρόνους) 287 Γράφημα 122. Παράδειγμα 8.6 Εξομάλυνση πόρων MS PRJ (με κατάτμηση των δραστηριοτήτων) 287 Γράφημα 123. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 291 Γράφημα 124. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) 291 Γράφημα 125. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 291 Γράφημα 126. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) 291 Γράφημα 127. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) 291 Γράφημα 128. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) 291 Γράφημα 129. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 295 Γράφημα 131. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 300 Γράφημα 132. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 300 Γράφημα 133. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ- ΧΜΔ) 303 Γράφημα 134. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ- ΧΜΔ) 303 Γράφημα 135. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1- ΒΛΓΑ) 307 Γράφημα 136. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1- ΒΛΓΑ) 307 Γράφημα 137. Γράφημα 138. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (Cristodoulou et al., 2009b) 307 Γράφημα 139. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (Harris) 307 Γράφημα 140. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ) 307 Γράφημα 141. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-14 ημέρες) 309 Γράφημα 142. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΒΛΓΑ-14 ημέρες) 309 Γράφημα 143. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-ΧΜΔ) 310 Γράφημα 144. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-ΧΜΔ) 310

25 xxv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1. Βασικές παράμετροι μίας δραστηριότητας 12 Σχήμα 2. Βασική σχηματική δομή ενός απλού έργου 14 Σχήμα 3. Η διεργασία διαχείρισης έργου 15 Σχήμα 4. Ο στόχος της διαχείρισης έργων 16 Σχήμα 5. Συστατικά μέρη της διαχείρισης έργων 19 Σχήμα 6. Δομή του προγραμματισμού και του ελέγχου του έργου 23 Σχήμα 7. Κύκλος ζωής του έργου 25 Σχήμα 8. Θεωρητική σχέση μεταξύ του κόστους και της διάρκειας μιας δραστηριότητας 38 Σχήμα 9. Διαγραμματική απεικόνιση των γενικευμένων σχέσεων διαδοχής ανάμεσα σε δύο δραστηριότητες 40 Σχήμα 10. Τυπική μορφή καμπύλων άμεσου, έμμεσου και συνολικού κόστους 43 Σχήμα 11. Παράδειγμα 3.1 Τοξωτό δικτυωτό γράφημα του έργου 46 Σχήμα 12. Παράδειγμα 3.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου 47 Σχήμα 13. Παράδειγμα 3.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου με χρήση του MS Project 47 Σχήμα 14. Παράδειγμα 3.1 Διάγραμμα Gantt με χρήση του MS Project 50 Σχήμα 15. Παράδειγμα 3.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου 51 Σχήμα 16. Παράδειγμα 3.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα με χρήση του MS Project 51 Σχήμα 17. Παράδειγμα 3.2 Διάγραμμα Gantt με χρήση του MS Project 52 Σχήμα 18. Παράδειγμα 3.2 Διάγραμμα Gantt με χρήση του Oracle Primaver P6 52 Σχήμα 19. Χαρακτηριστικά προφίλ απαιτήσεων σε πόρους 62 Σχήμα 20. Παράδειγμα 4.1 Τοξωτό δικτυωτό γράφημα του έργου 71 Σχήμα 21. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt του έργου με χρήση του MS Project 72 Σχήμα 22. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση MS Pr1) 82 Σχήμα 23. Παράδειγμα 4.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ενωρίτερη έναρξη) 91 Σχήμα 24. Παράδειγμα 4.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (βραδύτερη έναρξη) 91 Σχήμα 25. Βασικά στάδια βελτιστοποίησης 102 Σχήμα 26. Σχέση μεταξύ του χώρου των λύσεων των μεταβλητών σχεδιασμού και του χώρου των λύσεων των αντικειμενικών συναρτήσεων 107 Σχήμα 27. Παράδειγμα επιφάνειας καταλληλότητας για μονοδιάστατο πρόβλημα 108 Σχήμα 28. Παράδειγμα επιφάνειας καταλληλότητας για δισδιάστατο πρόβλημα 108 Σχήμα 29. Ορισμός ολικού ελάχιστου στον χώρο αναζήτησης λύσεων 109 Σχήμα 30. Ορισμός τοπικού ελάχιστου στον χώρο αναζήτησης λύσεων 109 Σχήμα 31. Παράδειγμα ολικού και τοπικού ελαχίστου για μονοδιάστατο πρόβλημα 110 Σχήμα 32. Παράδειγμα ολικού και τοπικού μέγιστου για πολυδιάστατο πρόβλημα 110 Σχήμα 33. Ορισμός προβλήματος βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων 112 Σχήμα 34. Ορισμός Paretto βέλτιστης λύσης 113 Σχήμα 35. Παράδειγμα Pareto βέλτιστων λύσεων για πρόβλημα ελαχιστοποίησης δύο στόχων 113 Σχήμα 36. Παράδειγμα Pareto βέλτιστων λύσεων για πρόβλημα μεγιστοποίησης 113 Σχήμα 37. Παράδειγμα 5.1 Δεδομένα του προβλήματος και κομβικό δικτυωτό διάγραμμα 124 Σχήμα 38. Παράδειγμα 5.2 Δεδομένα του προβλήματος και κομβικό δικτυωτό διάγραμμα 125 Σχήμα 39. Πρόβλημα εύρεσης ακρότατων με χρήση της παραγώγου 131 Σχήμα 40. Βασικό διάγραμμα ροής αναλυτικού αλγορίθμου 132 Σχήμα 41. Παράδειγμα της μεθόδου κατάβασης κλίσεων 133 Σχήμα 42. Παράδειγμα της μεθόδου συζυγών κλίσεων 133 Σχήμα 43. Βασικό διάγραμμα ροής στοχαστικού αλγορίθμου 136 Σχήμα 44. Περιγραφή του αλγορίθμου αναρρίχησης λόφων 138 Σχήμα 45. Περιγραφή του αλγορίθμου προσομοιωμένης ανόπτησης 139 Σχήμα 46. Περιγραφή του αλγορίθμου αναζήτησης με απαγορευμένες καταστάσεις 141 Σχήμα 47. Βασικό διάγραμμα ροής εξελικτικού αλγορίθμου 143 Σχήμα 48. Γενική μορφή ενός γενετικού αλγορίθμου 145 Σχήμα 49. Περιγραφή της βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων 152 Σχήμα 50. Διάγραμμα ροής γενετικού αλγορίθμου δύο φάσεων για τον χρονικό προγραμματισμό έργων (βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων) Chen και Weng (2009) 163

26 xxvi Σχήμα 51. Σχήμα 52. Σχήμα 53. Διάγραμμα ροής του υποσυστήματος του γενετικού αλγορίθμου που αφορά στην κατανομή των πόρων του έργου Chen και Weng (2009) 164 Διάγραμμα ροής γενετικού αλγορίθμου μη κυριαρχούμενης ταξινόμησης για τον χρονικό προγραμματισμό έργων (βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων) Choddousi et al. (2012) Εξέλιξη και προσαρμογή του NSGA ΙΙ, Deb et al. (2002) 166 Διάγραμμα ροής προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης για τα προβλήματα κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα 186 Σχήμα 54. Παράδειγμα 8.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα 191 Σχήμα 55. Παράδειγμα 8.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα 205 Σχήμα 56. Παράδειγμα 8.3 Κομβικό δικτυωτό γράφημα 235 Σχήμα 57. Παράδειγμα 8.4 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα 247 Σχήμα 58. Παράδειγμα 8.5 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα 264 Σχήμα 59. Παράδειγμα 8.6 Τοξωτό δικτυωτό διάγραμμα 279 Σχήμα 60. Παράδειγμα 8.7 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου 289 Σχήμα 61. Παράδειγμα 8.8 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα (Christodoulou et al., 2009b, CStudy 1) 297 Σχήμα 62. Παράδειγμα 8.9 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα (Christodoulou et al., 2009b, CStudy 2) 305

27 Κεφάλαιο Εισαγωγή

28

29 ΕΙΣΑΓΩΓΗ / 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Εισαγωγή 1.1. Περιγραφή του Προβλήματος Η προβληματική της παρούσας Διατριβής εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο της διαχείρισης τεχνικών έργων και ειδικά στο διακριτό βήμα/ στάδιο εκτέλεσης του χρονικού προγραμματισμού που καλείται διαχείριση ή κατανομή πόρων. Κεντρικό ζητούμενο της συνολικής διαδικασίας διαχείρισης ενός έργου είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους υλοποίησης και ταυτόχρονα η ελαχιστοποίηση της συνολικής διάρκειας εκτέλεσης των εργασιών που συνθέτουν το έργο. Δεδομένων των: (α) αντιπαλότητας των δύο αυτών στόχων (κατά τον γενικό κανόνα μείωση της διάρκειας του έργου συνεπάγεται αύξηση του άμεσου κόστους και αντίστροφα), (β) του πλήθους των περιορισμών που υπεισέρχονται στην φάση του σχεδιασμού (και κατασκευής) ενός τεχνικού έργου, αλλά και (γ) του μεγέθους, της πολυπλοκότητας και των απαιτήσεων απόδοσης των τεχνικών έργων, ο χρονοπρογραμματισμός ανάγεται σε ένα ιδιαίτερα σύνθετο πρόβλημα μεγάλου ενδιαφέροντος. Αν στα παραπάνω προσθέσει κανείς τα ζητήματα διαχείρισης ή κατανομής των πόρων που σχετίζονται με την κατά το δυνατόν ομοιόμορφη χρήση τους και τους περιορισμούς διαθεσιμότητας, εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς ότι η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης για το χρονοπρόγραμμα του έργου αποτελεί ένα μεγάλο πολυκριτηριακό πρόβλημα στο οποίο υπεισέρχονται πλήθος συναρτήσεων, περιορισμών και παραμέτρων. Η παρούσα Διατριβή εξετάζει ακριβώς αυτά τα σύνθετα προβλήματα κατανομής των απαιτούμενων πόρων στα τεχνικά έργα. Βασικοί στόχοι της ερευνητικής προσπάθειας που συνοψίζεται στις επόμενες παραγράφους είναι η διερεύνηση της συγκεκριμένης κατηγορίας προβλημάτων, η αποτύπωση της προηγούμενης εμπειρίας των μελετητών και τέλος η ανάπτυξη μίας νέας μεθοδολογίας επίλυσης η οποία θα μπορούσε να συμπεριλάβει γενικευμένα προβλήματα όσο σύνθετα και αν είναι Μεθοδολογία Ανάλυσης Η διάρθρωση της Διατριβής επιτρέπει την λογική και βήμα προς βήμα προσέγγιση των στόχων της έρευνας, ενώ η ανάλυση ακολουθεί την απαγωγική μεθοδολογική προσέγγιση, την μετάβαση, δηλαδή από το γενικό (ευρύτερο) πλαίσιο της διαχείρισης των έργων στο ειδικό/ «στενό» πλαίσιο εφαρμογής των προβλημάτων κατανομής πόρων.

30 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ / Για την εκπόνηση της παρούσας πραγματοποιήθηκε βιβλιογραφική έρευνα σε βάθος, εμπειρική επίλυση παραδειγμάτων απλών έργων και ερευνητικές δοκιμές για την δόμηση ενός νέου μοντέλου βελτιστοποίησης αλλά και την παραμετροποίηση του προτεινόμενου αλγορίθμου επίλυσης. Ειδικεύοντας, η εμπειρική επίλυση των προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα, μπορεί να πραγματοποιηθεί επιτυχώς μόνο σε μικρά έργα που εκτελούνται με μία ή δύο διαφορετικούς τύπους πόρων (π.χ. εργάτες και μηχανήματα). Για τον λόγο αυτό, η υπολογιστική επίλυση προβλημάτων αυτής της κατηγορίας έχει απασχολήσει πλήθος ερευνητών τα τελευταία χρόνια. Οι σύγχρονες αλγοριθμικές προσεγγίσεις διευρύνουν σημαντικά τις δυνατότητες επίλυσης και το πεδίο εφαρμογής. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται από τους μελετητές, όπως διαπιστώνεται στο κεφάλαιο 6, σε δύο τομείς της τεχνητής νοημοσύνης: στους εξελικτικούς αλγορίθμους (γενετικούς, υβριδικούς, κ.λπ.) και στη νοημοσύνη σμήνους (βελτιστοποίηση αποικίας μυρμηγκιών, βελτιστοποίηση σμήνους σωματιδίων, κ.λπ.). Με βάση τα παραπάνω, στην παρούσα Διατριβή δομείται ένα νέο μοντέλο βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων (ή πολλαπλών κριτηρίων) με χρήση μιας συνάρτησης συναθροίσεως (αντικειμενική συνάρτηση) και επιχειρείται η υπολογιστική επίλυση του με εφαρμογή γενετικού αλγορίθμου. Η καινοτομία προσέγγισης του προβλήματος έγκειται τόσο στον λογικό και μαθηματικό ορισμό του προβλήματος (αντικειμενική συνάρτηση), όσο και στο πλήθος και τα χαρακτηριστικά των περιορισμών (περιορισμοί διαθεσιμότητας πόρων, χρονικής διάρκειας έργου, μεταβολής των πόρων, γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες) που εισάγονται στο προτεινόμενο μοντέλο, αλλά και στη χρήση τεχνητής νοημοσύνης για την επίλυση του Δομή της Παρούσας Διατριβής Η παρούσα Διατριβή δομείται σε εννέα (9) διακριτά κεφάλαια και συγκεκριμένα: Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει εισαγωγικά στοιχεία για το ερευνητικό πεδίο στο οποίο εντάσσεται η Διατριβή, περιγραφή των ερεθισμάτων ενασχόλησης με το συγκεκριμένη θεματική περιοχή και τεκμηρίωση του ερευνητικού ενδιαφέροντος των προβλημάτων (ως γενική κατηγορία) που παρουσιάζονται στο πλαίσιο της παρούσας. Συμπληρώνεται επίσης, από τα μεθοδολογικά βήματα που ακολουθήθηκαν για την εκπόνησή της και τη δομή του τελικού παραδοτέου. Στο δεύτερο κεφάλαιο, η ανάλυση εστιάζει στο γνωστικό και ερευνητικό πεδίο της διαχείρισης έργων που αποτελεί το ευρύτερο πλαίσιο ένταξης της παρούσας. Εδώ παρουσιάζονται ορισμοί και βασικές έννοιες, τα στάδια και τα επιμέρους βήματα του σχεδιασμού, προγραμματισμού και ελέγχου των έργων, οι σύγχρονες τάσεις προσανατολισμού της διαχείρισης και η καταλυτική επίδραση των

31 ΕΙΣΑΓΩΓΗ / 3 τεχνολογικών εξελίξεων στην ανάπτυξη και διάδοση των αρχών και των εφαρμογών της (πληροφοριακά συστήματα διαχείρισης τεχνικών έργων). Το τρίτο κεφάλαιο υπεισέρχεται σε κύρια ζητήματα σχετικά με τον χρονικό προγραμματισμό των τεχνικών έργων. Πιο ειδικά, στην ενότητα αυτή αναλύονται η ανάπτυξη του χρονοπρογράμματος του έργου, η εκτίμηση της διάρκειας των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο, η αποτύπωση των σχέσεων προτεραιότητας ανάμεσα στις διαδοχικές δραστηριότητες, η ανάλυση της δομής του έργου, κ.λπ. και αναπτύσσονται οι βασικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις εφαρμογής του χρονοπρογραμματισμού, όπως οι τεχνικές δικτύων, η κρίσιμη διαδρομή (CPM), η μέθοδος PERT, το διάγραμμα Gantt, κ.λπ. Από το τρίτο κεφάλαιο, ξεκινά η παράθεση παραδειγμάτων απλών έργων για την κατανόηση των αντίστοιχων βημάτων εφαρμογής του προγραμματισμού. Το τέταρτο κεφάλαιο εστιάζει στο κύριο/ «στενό» ερευνητικό πεδίο της παρούσας και συγκεκριμένα στο στάδιο του προγραμματισμού των έργων που καλείται διαχείριση ή κατανομή πόρων. Στην ενότητα αυτή αναλύονται όλες οι συναφείς με τις απαιτήσεις ενός έργου σε παραγωγικά μέσα (άνθρωποι, εξοπλισμός, μηχανήματα, υλικά) έννοιες. Επίσης, επισημαίνεται η κρισιμότητα και η σημασία αυτού του σταδίου. Η ανάλυση εστιάζει ειδικά στα ζητήματα των περιορισμών και πως αυτά προσεγγίζονται καπό την διαδικασία του χρονοπρογραμματισμού. Στο ίδιο κεφάλαιο, πραγματοποιείται επίσης κατηγοριοποίηση των προβλημάτων κατανομής πόρων (απεριόριστοι πόροι περιορισμένος χρόνος, περιορισμένοι πόροι ως προς την διαθεσιμότητά τους, απαιτήσεις σε πολλαπλούς πόρους για την εκτέλεση ενός έργου, κ.λπ.). Οι περιγραφές του κεφαλαίου, συνοδεύονται από παραδείγματα για την κατανόηση των βασικών βημάτων εμπειρικής επίλυσης των προβλημάτων αυτής της κατηγορίας. Στο πέμπτο κεφάλαιο, η ανάλυση υπεισέρχεται στο κρίσιμο αντικείμενο της υπολογιστικής επίλυσης των γενικευμένων προβλημάτων κατανομής πόρων. Αρχικά, παρουσιάζεται ο τρόπος αποτύπωσης αυτού του τύπου προβλημάτων αλλά και οι βασικές έννοιες που συνδέονται με αυτόν (υπολογιστικοί χώροι, αντικειμενική συνάρτηση, κ.λπ.). Στη συνέχεια αναλύεται αυτή κάθε αυτή η έννοια της βελτιστοποίησης ως λογική και μαθηματική διαδικασία και περιγράφονται οι επιμέρους κατηγορίες προβλημάτων. Ως διαδικασία λοιπόν που παράγει λύσεις, η βελτιστοποίηση γίνεται περισσότερο κατανοητή μέσα από τον μηχανισμό επίλυσης και για τον λόγο αυτό, η διερεύνηση στη συνέχεια εστιάζει στις βασικές κατηγορίες λύσεων (μαθηματικές, ευρετικές, μετα ευρετικές) και τους πιο γνωστούς αλγορίθμους (αναλυτικούς, εξελικτικούς, νοημοσύνη σμήνους) που έχουν χρησιμοποιηθεί για αυτό τον σκοπό. Στο έκτο κεφάλαιο συνοψίζονται τα βασικά σημεία της βιβλιογραφικής έρευνας σε βάθος που πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο της παρούσας, με στόχο να προσδιοριστεί το θεωρητικό υπόβαθρο και να συγκεντρωθούν τα προσήκοντα

32 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ / στοιχεία από την προηγούμενη εμπειρία των ερευνητών που έχουν ασχοληθεί με το πρόβλημα της κατανομής πόρων στα έργα. Οι περιγραφές εστιάζουν στα χαρακτηριστικά (πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα) των μεθοδολογιών βελτιστοποίησης που έχουν αναπτυχθεί έως σήμερα. Στο έβδομο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η προτεινόμενη μέθοδος προσέγγισης του ζητήματος της κατανομής των πόρων στα τεχνικά έργα. Η νέα αυτή μέθοδος αναπτύσσεται μέσα από την μόρφωση ενός μοντέλου βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων αξιοποιώντας την εμπειρία προηγούμενων ερευνητών και προτείνοντας παράλληλα μία σειρά καινοτομικών προσεγγίσεων. Στο κεφάλαιο αυτό προσδιορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση, οι παραδοχές, οι υποθέσεις και οι περιορισμοί του προβλήματος, ενώ επίσης περιγράφεται η τεχνική επίλυσης (αναζήτησης λύσεων) με χρήση γενετικού αλγορίθμου. Στο όγδοο κεφάλαιο, η εφαρμογή της μεθόδου ελέγχεται και αξιολογείται σε απλά έργα 3 και 5 δραστηριοτήτων (ανάλυση ευαισθησίας) και στη συνέχεια γενικεύεται σε μεγαλύτερα και πιο σύνθετα προβλήματα για τα οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων την βέλτιστη λύση ή μια πολύ καλή λύση (πολύ κοντά στην βέλτιστη). Δεδομένων των αποτελεσμάτων της προηγούμενης εμπειρικής ή υπολογιστικής επίλυσης, εξετάζουμε την αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου αλγορίθμου. Κατά την διαδικασία αυτή, απατούνται επαναλαμβανόμενες εφαρμογές και συνεχείς έλεγχοι ώστε να προκύψουν οι κατάλληλες τιμές των κριτηρίων και των παραμέτρων για κάθε πρόβλημα. Στο έννατο κεφάλαιο, τέλος, συγκεντρώνονται τα βασικά συμπεράσματα της συνολικής διερεύνησης, τα πορίσματα της έρευνας και προτείνονται βελτιώσεις στο μοντέλο βελτιστοποίησης (τόσο ως προς το μαθηματικό του μέρος, όσο και ως προς το τεχνικό τμήμα της αναζήτησης της βέλτιστης λύσης) που θα μπορούσαν να αποτελέσουν αντικείμενο μελλοντικής έρευνας.

33 Κεφάλαιο Διαχείριση Έργων

34

35 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. Διαχείριση Έργων 2.1. Εισαγωγή στην Διαχείριση Έργων Η διαχείριση έργων (project management) αναπτύχθηκε ως ξεχωριστό γνωστικό πεδίο από την εφαρμογή των αρχών της διοίκησης αλλά και της επιχειρησιακής έρευνας σε διάφορους τομείς εφαρμογής, όπως αυτός των κατασκευών, της μηχανολογίας, των μεγάλων στρατιωτικών προγραμμάτων, ενώ σήμερα γνωρίζει πολύ σημαντική ανάπτυξη. Η διαφοροποίηση, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των έργων, οι ιδιαίτερες απαιτήσεις που προσδιορίζονται κάθε φορά από τις ανάγκες των χρηστών, τις συνθήκες, το περιβάλλον, τις επιλογές χωροθέτησης ή και ανάπτυξης, τις τεχνικές λεπτομέρειες, κ.λπ., η δυνατότητα εκτέλεσης παράλληλων εργασιών στο ίδιο έργο ή υλοποίησης περισσότερων από ένα έργα στον ίδιο χρόνο, η ελαχιστοποίηση του κόστους και του χρόνου εκτέλεσης, αποτελούν ορισμένα μόνο από τα κεντρικά διαχρονικά ζητούμενα κατά τον σχεδιασμό και την υλοποίηση των έργων. Όλα τα παραπάνω αποτελούν βασικά προβλήματα για τα οποία η διαχείριση έργων καλείται να δώσει απαντήσεις και να προτείνει απολύτως συγκεκριμένες λύσεις ως βέλτιστες. Θεμελιωτής της διαχείρισης έργων θεωρείται ο Henry Laurence Gantt ( ), Αμερικανός μηχανικός και κοινωνικός επιστήμονας, ο οποίος εισήγαγε τις αρχές του προγραμματισμού και ελέγχου στη διαχείριση έργων και έδωσε το όνομα του στο γνωστό διάγραμμα Gantt, ένα ραβδόγραμμα που παρουσιάζει τις δραστηριότητες του έργου, την διαδοχή και την χρονική αλληλουχία τους (βλ ). Ο Henry Gantt μαζί με τον Frederick Winslow Taylor ( ), επίσης Αμερικανό μηχανικό που εισήγαγε την έννοια της επιστημονικής διαχείρισης (scientific management ή Taylorism), έθεσαν τις θεμέλιες αρχές της διαχείρισης έργων. Ωστόσο, οι βασικές εφαρμογές που μετέτρεψαν την διαχείριση έργων σε διακριτό γνωστικό αντικείμενο αλλά και επαγγελματικό πεδίο αναπτύχθηκαν λίγο αργότερα και συγκεκριμένα την δεκαετία του Πιο ειδικά, την δεκαετία αυτή αναπτύχθηκαν δύο βασικά μαθηματικά μοντέλα χρονοπρογραμματισμού δραστηριοτήτων, οι μέθοδοι PERT και CPM οι οποίες αποτέλεσαν σταθμό στη διαχείριση έργων. Η τεχνική αξιολόγησης και αναθεώρησης προγράμματος ή, διαφορετικά, μέθοδος PERT (Program Evaluation and Review Technique) είναι μία στατιστική προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων χρονικού προγραμματισμού η οποία αναπτύχθηκε από τους Booz, Allen & Hamilton σε συνεργασία με το Ναυτικό των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής το 1958 ως εργαλείο για τον συντονισμό των δραστηριοτήτων των και πλέον αναδόχων που συμμετείχαν στο έργο για την ανάπτυξη των πυραυλικών συστημάτων Polaris. Η

36 8 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ μέθοδος CPM ή μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method) αναπτύχθηκε από τις εταιρείες DuPont Corporation και Remington Rand Corporation (τμήμα UNIVAC) για την ανάπτυξη μιας σύνθετης διαδικασίας χρονοπρογραμματισμού του κλεισίματος εργοστασίων επεξεργασίας χημικών ουσιών για σκοπούς συντήρησης. Η διάδοση και αποδοχή των μεθόδων αυτών έγινε με ταχύτατο τρόπο, με αποτέλεσμα σήμερα να αποτελούν βασικές μεθόδους για τη διαχείριση έργων. Σύμφωνα με τον Κ. Αναγνωστόπουλο (2008) 1 έκτοτε η διαχείριση έργων κινήθηκε προς δύο διαφορετικές μεν, αλλά όχι αποκλίνουσες κατευθύνσεις. Στην μία κατεύθυνση, οι προσπάθειες εστιάζονται κυρίως στην ανάπτυξη τεχνικών, μεθόδων και αλγορίθμων για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού. Αποτέλεσμα αυτών των προσπαθειών υπήρξαν τα υψηλής ποιότητας λογισμικά που κυκλοφορούν σήμερα στην αγορά, τα οποία συντέλεσαν ποικιλοτρόπως στον αποτελεσματικό προγραμματισμό και έλεγχο των έργων. Στην άλλη κατεύθυνση, η έμφαση δίνεται στην ανάλυση των οργανωσιακών συμπεριφορών και δομών των έργων, με βάση υπάρχουσες ή νεότευκτες οργανωσιακές θεωρίες. Απότοκος αυτών των προσεγγίσεων είναι η αντίληψη ότι τα έργα πρέπει να αντιμετωπιστούν ως «προσωρινές οργανώσεις», οι οποίες γεννιούνται και λειτουργούν μέσα σε μόνιμες μητρικές οργανώσεις («οργανώσεις μέσα σε οργανώσεις») και συχνά εκτείνονται και εκτός των ορίων τους. Ως οργανώσεις, κληρονομούν μια σειρά χαρακτηριστικών των οργανώσεων (ηγεσία, υποκίνηση, οργανωσιακή λήψη αποφάσεων, κ.ο.κ.) προσαρμοσμένες στις ιδιομορφίες των έργων. Ως προσωρινές είναι σαφώς οριοθετημένες χρονικά, και εξελίσσονται ακολουθώντας τον κύκλο ζωής του έργου. Επομένως, για τον χαρακτηρισμό του έργου δεν είναι αρκετή ούτε η έννοια της οργάνωσης, ούτε ο κύκλος ζωής. Με βάση την συγκεκριμένη οπτική: οργάνωση + κύκλος ζωής = προσωρινή οργάνωση = έργο. Σήμερα, το πεδίο της διαχείρισης έργων άπτεται σε ευρύ φάσμα εφαρμογών, θεωρείται ιδιαίτερα ανεπτυγμένο και προσελκύει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τόσο στον ιδιωτικό όσο και στον δημόσιο τομέα αλλά και στην ακαδημαϊκή κοινότητα. Τις τελευταίες δεκαετίες, με την αλματώδη εξέλιξη των πληροφοριακών συστημάτων, καταγράφεται επισταμένη έρευνα στις τεχνικές διαχείρισης έργων και αξιοποίηση των προτεινόμενων εργαλείων και λογισμικών με τα οποία οι διάφορες επιχειρήσεις και οργανισμοί προσπαθούν να προγραμματίσουν και να επιτύχουν τους στόχους τους. Στο πλαίσιο αυτό, έχουν συσταθεί και λειτουργούν έγκυροι και ιδιαίτερα δραστήριοι διεθνείς οργανισμοί που έχουν ως στόχο την ανάπτυξη της διαχείρισης έργων, όπως το International Project Management Association (IPMA) και το Project Management Institute (PMI). Το δεύτερο με περισσότερα 1 Πρόλογος στο Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008.

37 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 9 από μέλη σε περισσότερες από 125 χώρες και κάθε επαγγελματικό κλάδο, έχει ήδη διαμορφώσει τα πρότυπα που αποτελούν σημεία αναφοράς για τη συγκεκριμένη επαγγελματική ειδικότητα και παράλληλα έχει αναπτύξει ένα παγκόσμιου κύρους σύστημα με το οποίο πιστοποιείται η επαγγελματική επάρκεια στην διαχείριση έργων. Σε μια προσπάθεια συγκέντρωσης και ταξινόμησης των βασικών παραγόντων που οδήγησαν την εξέλιξη της διαχείρισης έργων έως το σημείο να θεωρείται σήμερα κρίσιμο ερευνητικό/ γνωστικό πεδίο με ολοένα αυξανόμενο ενδιαφέρον, αναφέρονται: Το μέγεθος, η πολυπλοκότητα και η διαφοροποίηση των σύγχρονων τεχνικών και άλλων έργων, τα οποία ενσωματώνουν στον σχεδιασμό τους ολοένα περισσότερες παραμέτρους όπως στοιχεία περιβαλλοντικής μέριμνας και προστασίας, καινοτομίας και προηγμένες τεχνολογικά λύσεις. Η ραγδαίως αυξανόμενη τεχνολογική και τεχνική εξέλιξη και διαφοροποίηση των προϊόντων και των υπηρεσιών σε όλα τα επίπεδα, ο σχεδιασμός και η ανάπτυξη των οποίων απαιτεί, μεταξύ άλλων, την στενή συνεργασία επιστημόνων ή επαγγελματιών πολλών διαφορετικών κλάδων (διεπιστημονικότητα) σε μεγάλα ερευνητικά προγράμματα ή επαγγελματικά consortium, αντίστοιχα. Η ταχύτατη εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων (hardware, software, περιφερειακά, κ.λπ.) και η απόλυτη διείσδυση των δικτύων επικοινωνίας σε όλα τα επίπεδα δραστηριότητας, επιτρέπουν την ελαχιστοποίηση του χρόνου εκτέλεσης επιμέρους εργασιών και την δημιουργία αποδοτικών μηχανισμών σχεδιασμού, διαχείρισης και ελέγχου των έργων παρά την πολυπλοκότητα και το μέγεθος τους. Ο μετασχηματισμός της σύγχρονης οικονομίας και το άνοιγμα των αγορών, στο πλαίσιο της διαδικασίας διεθνοποίησης της οικονομικής δραστηριότητας. Το τεράστιας κλίμακας και επιρροής αυτό γεγονός, οδηγεί στην ίδρυση και ανάπτυξη μεγάλων πολυεθνικών εταιρειών όπου η διοίκηση βρίσκεται σε διαφορετική θέση από τα τμήματα παραγωγής και ανάπτυξης νέων προϊόντων (αποκεντρωμένη δομή λειτουργίας). Κάθε τμήμα λειτουργίας μπορεί να διαθέτει πλήθος σημείων παρουσίας σε περισσότερες από μία χώρες. Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς, σε αυτές τις εταιρείες η προσαρμογή στις αλλαγές της αγοράς, του τεχνολογικού περιβάλλοντος, κ.ο.κ. θα ήταν ανέφικτη στο στενό πλαίσιο εφαρμογής των πάγιων διαδικασιών μέσω της καθιερωμένης ιεραρχικής οργανωτικής δομής. Στις εν λόγω περιπτώσεις, οι διαδικασίες ανάπτυξης νέων προϊόντων, υπηρεσιών, αναπροσαρμογής εταιρικών δομών, κ.λπ. θεωρούνται αυτόνομα έργα προς υλοποίηση που διοικούνται σύμφωνα με τις σύγχρονες τεχνικές και αρχές διοίκησης έργου, ξεχωριστά από την τρέχουσα εταιρική λειτουργία.

38 10 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 2.2. Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Προτού η ανάλυση να προχωρήσει στο κυρίως ζητούμενο των σύγχρονων προσεγγίσεων για τον χρονοπρογραμματισμό και ειδικά την διαχείριση και την κατανομή των πόρων στα τεχνικά έργα, κρίνεται σκόπιμη μία συνοπτική αναφορά στους βασικούς ορισμούς της διαχείρισης έργων. Το σύνολο των παραγωγικών ανθρώπων είναι ιδιαίτερα εξοικειωμένοι με τις έννοιες του έργου και του επιμερισμού εργασιών σε εμπειρικό επίπεδο. Σε μια προσπάθεια ορισμού του έργου (project), στη συνέχεια αναφέρονται τέσσερις χαρακτηριστικές εκδοχές από το πλήθος των ορισμών που απαντώνται στην ελληνική και ξενόγλωσση βιβλιογραφία. Ως έργο ορίζεται: Έργο Ορισμός 1. «το σύνολο των εργασιών που πρέπει να εκτελεστούν με μια λογική σειρά για την υλοποίηση προκαθορισμένων στόχων» (Χασιακός, 2012). Ορισμός 2. Ορισμός 3. Ορισμός 4. «η προσωρινή προσπάθεια που συμπεριλαμβάνει μια συνδεδεμένη ακολουθία δραστηριοτήτων και μια ποικιλία πόρων, η οποία έχει σχεδιαστεί για να επιτύχει ένα συγκεκριμένο και μοναδικό αποτέλεσμα, και λειτουργεί εντός περιορισμών χρόνου, κόστους και ποιότητας και χρησιμοποιείται συχνά για να εισάγει αλλαγές» (Κώστογλου, 2010). «κάθε οργανωμένη προσπάθεια με στόχο την εκτέλεση μιας συγκεκριμένης εργασίας μη συνηθισμένης ή χαμηλού όγκου. Μολονότι τα έργα δεν είναι επαναλαμβανόμενα, ενδέχεται να απαιτούν πολύ χρόνο και να είναι επαρκώς μεγάλα ή πολύπλοκα ώστε να θεωρούνται ξεχωριστές επιχειρηματικές δραστηριότητες και να υποβάλλονται σε διαχείριση ως τέτοιες» (Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008). «το εγχείρημα (συχνά μοναδικό) κατά το οποίο ανθρώπινοι πόροι, μηχανές, οικονομικοί πόροι και πρώτες ύλες οργανώνονται κατά καινοφανή τρόπο, με στόχο την ανάληψη συγκεκριμένου αντικειμένου εργασιών που έχουν συγκεκριμένες προδιαγραφές και υπόκεινται σε δεδομένους κοστολογικούς και χρονικούς περιορισμούς, ώστε να παραχθεί μια επωφελής μεταβολή η οποία ορίζεται μέσω ποσοτικών και ποιοτικών στόχων» (

39 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 11 Από την ελληνική νομοθεσία, ως τεχνικό έργο ορίζεται: Τεχνικό έργο Ορισμός 1. «κάθε οικοδομική ή άλλη κατασκευή ορισμένης χρονικής διάρκειας, όπως ανέγερση, προσθήκη, επισκευή, καθαίρεση και ηλεκτρομηχανολογική εγκατάσταση» (Άρθρο 2 παρ. 1 του Νόμου 1396/1983 (ΦΕΚ 126/Α/ )). Ορισμός 2. «Ως τεχνικό έργο νοείται το αποτέλεσμα ενός συνόλου οικοδομικών εργασιών ή εργασιών πολιτικού μηχανικού που προορίζεται να πληροί αυτό καθεαυτό μια οικονομική ή τεχνική λειτουργία. Πιο συγκεκριμένα, ως τεχνικό έργο νοείται κάθε κατασκευή δομική και ηλεκτρομηχανολογική ή άλλης φύσεως κατασκευή που συνδέεται με οποιονδήποτε τρόπο με το έδαφος ήτοι κάθε ανέγερση και συναρμολόγηση νέου έργου και κάθε επέκταση, ανακαίνιση, επισκευή, διαρρύθμιση, συντήρηση και λειτουργία υφισταμένου ή νέου έργου καθώς και κάθε άλλη εργασία τεχνικής ή ερευνητικής φύσεως και κάθε συναφής δραστηριότητα που απαιτεί τεχνική γνώση, μελέτη και επέμβαση» (Άρθρο 2 παρ. 1 της Υ.Α / 1040 (ΦΕΚ 1171/Β/ )). Η κατασκευή των τεχνικών έργων είναι μία διαδικασία στην οποία εμπλέκονται πλήθος φορέων, υπηρεσιών, επιστημονικού, τεχνικού και διοικητικού προσωπικού αλλά και μηχανικά μέσα. Μετά τον σχεδιασμό (μελέτη) του έργου, ακολουθεί η φάση της υλοποίησης (κατασκευή). Η κατασκευή του έργου οφείλει να ακολουθεί πιστά την εγκεκριμένη μελέτη και τις ισχύουσες τεχνικές προδιαγραφές και κανόνες αλλά και την κείμενη νομοθεσία, έτσι ώστε να διασφαλίζεται η λειτουργικότητα, η ασφάλεια, η απόδοση και το έντεχνο της κατασκευής και αυτή να ανταποκρίνεται στον σκοπό για τον οποίο δημιουργείται. Τα τεχνικά έργα, είναι κατά κανόνα, πολυδάπανες κατασκευές, που είναι εξαιρετικά δύσκολο να διορθωθούν, να αλλάξουν μετά την ολοκλήρωσή τους, συνήθως ακόμα και κατά την διάρκεια της κατασκευής τους. Για τους λόγους αυτούς που συμπληρώνουν τα βασικά χαρακτηριστικά των τεχνικών έργων, η διαχείριση τεχνικών έργων και η κατανομή των πόρων στα τεχνικά έργα αποκτά πρόσθετο ειδικό βάρος και ανάγεται σε ιδιαίτερα κρίσιμη διαδικασία. Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός έργου (τεχνικού ή μη), θα μπορούσαν να κατηγοριοποιηθούν στα παρακάτω σημεία. Κάθε έργο: έχει έναρξη και λήξη, άρα και συγκεκριμένη διάρκεια, έχει έναν κύκλο ζωής (βλ. 2.4), ο οποίος μπορεί να διαφέρει ανάλογα με το μέγεθος και την πολυπλοκότητα του έργου αλλά και ανάλογα με τον τύπο της οργάνωσης,

40 12 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ αποτελείται από διακριτές επαναλαμβανόμενες και μη επαναλαμβανόμενες δραστηριότητες, διαθέτει ένα μοναδικό σύνολο στόχων, έχει ένα τελικό αποτέλεσμα το οποίο είναι μοναδικό, υλοποιείται σταδιακά, απαιτεί σχεδιασμό και έλεγχο ώστε να επιτύχουμε το τελικό αποτέλεσμα, υπόκειται σε περιορισμούς διαφόρων ειδών (χρόνου, κόστους, ποιότητας, απόδοσης, κ.λπ.) και προδιαγραφές ποιότητας, απαιτεί την ύπαρξη ομάδων εργασίας για την εκτέλεσή του, απαιτεί την κατανάλωση πόρων (ανθρώπους, μηχανήματα, εξοπλισμό, κ.λπ.) οι οποίοι είναι περιορισμένοι, στην πραγματικότητα (και όχι ως θεωρητικό υπόδειγμα), είναι μεγάλο και πολύπλοκο. Τα παραπάνω συνιστούν κρίσιμα χαρακτηριστικά για την διαδικασία της διαχείρισης έργων, η οποία αναλύει (ή συνθέτει, αντίστροφα) τα έργα συνήθως σε 3 επίπεδα: (1 ο επίπεδο) έργο (2 ο επίπεδο) το έργο αναλύεται σε υποέργα (3 ο επίπεδο) το υποέργο αναλύεται σε δραστηριότητες. Με άλλα λόγια, κάθε έργο αποτελείται από πολλά υποέργα και κάθε υποέργο αποτελείται από πολλές δραστηριότητες. Κατά συνέπεια: Ως δραστηριότητα (ή εργασία) ορίζεται η στοιχειώδης υποδιαίρεση του έργου η οποία απαιτεί κάποιο χρόνο και συγκεκριμένους πόρους για να εκτελεστεί. Δραστηριότητα ή Εργασία Προκειμένου να γίνει προγραμματισμός μιας σειράς δραστηριοτήτων που οδηγούν στην κατασκευή ενός έργου απαιτείται, μεταξύ άλλων, η γνώση τεσσάρων (4) βασικών παραμέτρων: α) της διάρκειας της δραστηριότητας, β) της σχέσης της δραστηριότητας με τις προηγούμενες και τις επόμενες από αυτήν (σχέσεις διαδοχής), γ) των πόρων και δ) του κόστους που απαιτούνται για την εκτέλεση της. Οι βασικές παράμετροι μιας δραστηριότητας αποτυπώνονται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 1. Βασικές παράμετροι μίας δραστηριότητας Δραστηριότητα Στοιχειώδης υποδιαίρεση του έργου Διάρκεια Σχέσεις διαδοχής Απαιτούμενοι πόροι Απαιτούμενο κόστος Πιο αναλυτικές προσεγγίσεις, όπως αυτή των Shi and Deng (2002) 2 αποδίδουν περισσότερες παραμέτρους για τον προσδιορισμό μιας δραστηριότητας (υπερσύνολο όσων αναφέρθηκαν) και συγκεκριμένα: 2 Στο Chen P., Weng H. (2009).

41 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 13 Πίνακας 1. Αναλυτική προσέγγιση των παραμέτρων μιας δραστηριότητας (Shi and Deng, 2002) Περιγραφή Παραμέτρου Ε D C P R O I S Τρόπος εκτέλεσης της δραστηριότητας (execution mode). Οι δραστηριότητες ενός έργου μπορεί να εκτελεστούν με περισσότερους από έναν τρόπους. Κάθε τρόπος εκτέλεσης προσδιορίζεται από συγκεκριμένες απαιτήσεις σε πόρους και συγκεκριμένη εκτιμώμενη διάρκεια. Για παράδειγμα, μια εκσκαφή μπορεί να διαρκέσει 12 ημέρες αν χρησιμοποιηθεί ένας εκσκαφέας μέσου επιπέδου ή μπορεί να διαρκέσει 10 ημέρες αν χρησιμοποιηθεί ένας πιο δυνατός εκσκαφέας. Διάρκεια δραστηριότητας (activity duration) Κόστος δραστηριότητας (activity cost) Σχέσεις διαδοχής (precedence) Απαιτήσεις σε πόρους (resource requirements) Επικάλυψη δραστηριοτήτων (overlap). Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες μία δραστηριότητα να μπορεί να ξεκινήσει λίγο πριν από την ολοκλήρωση της αμέσως προηγούμενης δραστηριότητας Κατάτμηση/ διακοπή δραστηριοτήτων (interrution). Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες μία δραστηριότητα να μπορεί να διακοπεί για συγκεκριμένο χρόνο και στη συνέχεια να συνεχιστεί από το σημείο που διεκόπη χωρίς να επηρεάζεται η συνολική διάρκεια του έργου (interruption). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, η δραστηριότητα να εκτελείται κατά τμήματα. Καθεστώς δραστηριότητας στο έργο (state of activity): προγραμματισμένη αλλά δεν έχει ξεκινήσει ακόμα/ ενεργή σε εξέλιξη/ ολοκληρωμένη Πηγή: Chen P., Weng H., 2009 Οι παραπάνω παράμετροι των δραστηριοτήτων θα αναλυθούν περαιτέρω στο επόμενο Κεφάλαιο 3 της παρούσας Διατριβής, στο οποίο πραγματοποιείται περιγραφή των σταδίων/ βημάτων υλοποίησης και των εφαρμογών του χρονικού προγραμματισμού. Από την περαιτέρω ανάλυση στην δομή των δραστηριοτήτων προκύπτουν οι υποδραστηριότητες, οι οποίες μπορεί να είναι διακριτές σε ορισμένες περιπτώσεις, ενώ, όπως προαναφέρθηκε, από την σύνθεση των δραστηριοτήτων προκύπτουν τα υποέργα. Συγκεκριμένα: Οι δραστηριότητες ως δομικά συστατικά ενός έργου θα πρέπει να συνδυαστούν με κατάλληλο τρόπο χρονικά, ποσοτικά και λειτουργικά ώστε να υλοποιηθούν επιτυχώς τα πολυπλοκότερα υπερσύνολα εργασιών, που καλούνται υποέργα. Η ολοκλήρωση όλων των υποέργων οδηγεί στην σύνθεση και ολοκλήρωση του συνολικού έργου. Για παράδειγμα, δραστηριότητα ή εργασία μπορεί να είναι η κατασκευή ενός τοίχου, υποέργο η κατασκευή όλης της τοιχοποιίας και έργο η κατασκευή του κτιρίου. Υποέργο Η διάκριση και περιγραφή των διαφορετικών επιπέδων της δομής ενός έργου (υποέργο δραστηριότητα υποδραστηριότητα) εξαρτάται από τη φύση και το μέγεθος του έργου αλλά και τον επιθυμητό βαθμό λεπτομέρειας στην διαδικασία διαχείρισης του έργου.

42 14 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Σχήμα 2. Βασική σχηματική δομή ενός απλού έργου ΕΡΓΟ Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα Δραστηριότητα Ν Υποέργο 1 Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα Δραστηριότητα Ν Υποέργο 2 Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα Δραστηριότητα Ν Υποέργο Χ Η διαχείριση έργου (project management) είναι η διαδικασία οργάνωσης της εκτέλεσης των επιμέρους δραστηριοτήτων του έργου. Εναλλακτικά, ως διαχείριση έργου ορίζεται η εφαρμογή δεξιοτήτων, εργαλείων, τεχνικών και διεργασιών για τον προγραμματισμό, το συντονισμό, την υλοποίηση, την παρακολούθηση και τον έλεγχο ενός έργου με επιτυχία. Διαχείριση έργου Η διαχείριση έργων βελτιώνει την ικανότητα σχεδιασμού, υλοποίησης και ελέγχου των διαφόρων εργασιών καθώς και το βαθμό αξιοποίησης των παραγωγικών μέσων ή πόρων (προσωπικό, μηχανήματα, κεφάλαια, κ.λπ.) και οδηγεί σε μείωση του κόστους υλοποίησης των έργων. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι πολλές από τις διεργασίες στα πλαίσια της διαχείρισης έργου είναι επαναληπτικής φύσης. Αυτό οφείλεται κυρίως στην ύπαρξη και την αναγκαιότητα μίας προοδευτικής ανάπτυξης καθ όλη την διάρκεια ζωής του έργου και συνεπάγεται ότι όσο περισσότερα γνωρίζει κανείς για το έργο, τόσο καλύτερα μπορεί να το διαχειριστεί. Εκτός από τα εργαλεία, τις μεθόδους, τις τεχνικές και τις διεργασίες, η αποτελεσματική διαχείριση έργου απαιτεί οργανωτική και διοικητική υποστήριξη και συντονισμό των ομάδων εργασίας. Όπως ισχύει και για κάθε άλλη διεργασία, η διεργασία διαχείρισης έργου δέχεται ορισμένες εισροές (επιχειρησιακή ανάγκη, πρόβλημα, ευκαιρία, κ.λπ.) και περιορισμούς (χρόνος, κόστος, προδιαγραφές ποιότητας, τεχνικές πτυχές και λεπτομέρειες, κοινωνικές, πολιτικές και περιβαλλοντικές συνθήκες, νομικοί περιορισμοί κ.λπ.) και, μέσω της εφαρμογής των κατάλληλων μηχανισμών (τεχνικές, εργαλεία, λογισμικά, εξοπλισμός/ μηχανήματα, οργάνωση, ανθρώπινοι πόροι κλπ.), παράγει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα (παραδοτέα του Έργου). Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει τη διεργασία διαχείρισης έργου.

43 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 15 Σχήμα 3. Η διεργασία διαχείρισης έργου Εισροές (επιχειρησιακή ανάγκη, πρόβλημα, ευκαιρία, κ.λπ.) Διαχείριση έργου Περιορισμοί (χρόνος, κόστος, ποιότητα, τεχνικές πτυχές, κοινωνικές, πολιτικές και περιβαλλοντικές συνθήκες, νομικοί περιορισμοί κ.λπ.) Μηχανισμοί (τεχνικές, εργαλεία, λογισμικά, εξοπλισμός, μηχανήματα, οργάνωση, ανθρώπινοι πόροι κ.λπ.) Αποτελέσματα Πηγή: Διεύθυνση Δημοσίων Συμβάσεων, 2012 Ιδία επεξεργασία Όπως ήδη αναφέρθηκε στην εισαγωγική παράγραφο της παρούσας ενότητας, τα έργα (ιδιαιτέρως τα τεχνικά) γίνονται όλο και μεγαλύτερα σε μέγεθος και πολυπλοκότητα, ως αποτέλεσμα των αυξανόμενων αναγκών αλλά και της επιθυμίας του ανθρώπου για διαφοροποίηση και υπέρβαση των έως σήμερα πεπραγμένων. Η πολυπλοκότητα και η ανάγκη συντονισμού και συνεργασίας πολλαπλών και ανομοιόμορφων ομάδων παραγωγής των έργων καθιστούν επιβεβλημένη την οργάνωση των έργων ώστε να επιτευχθούν οι επιθυμητοί στόχοι. Οι στόχοι εκφράζονται με τρεις βασικές παραμέτρους το χρόνο (time), το κόστος (cost) και την απόδοση (performance) η οποία εκφράζει το βαθμό που το έργο μετά την κατασκευή του ικανοποιεί (ποιοτικά και ποσοτικά) τα κριτήρια που τέθηκαν κατά τη φάση της σύλληψης και του σχεδιασμού του. Συνήθως, υπάρχει η τάση να αξιολογείται ένα έργο εκ του αποτελέσματος, δηλαδή μέσω της απόδοσής του. Όμως ο χρόνος και το κόστος υλοποίησης είναι επίσης παράμετροι που καθορίζουν το αποτέλεσμα. Η ολοκλήρωση μίας γέφυρας στον προγραμματισμένο χρόνο και εντός του αρχικού προϋπολογισμού είναι διαφορετικό αποτέλεσμα από την ολοκλήρωση της ίδιας κατασκευής με καθυστέρηση ενός έτους ή με αυξημένες δαπάνες κατά 20% ή και τα δυο. Ο στόχος της διαχείρισης επομένως είναι η κατά το δυνατόν προσέγγιση του σημείου Α που φαίνεται στο σχήμα 4 που ακολουθεί.

44 16 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Σχήμα 4. Ο στόχος της διαχείρισης έργων Πηγή: Χασιακός, 2012 Ιδία επεξεργασία Ωστόσο, οι τρεις παραπάνω άξονες που συγκλίνουν στο σημείο Α, δεν είναι ανεξάρτητοι. Στην πραγματικότητα, όχι μόνο αλληλεπιδρούν αλλά συγκρούονται μεταξύ τους. Πρόκειται δηλαδή για αντίρροπες δυνάμεις, για τις οποίες εμείς στοχεύουμε σε ένα επίπεδο ισορροπίας το οποίο θα ικανοποιεί όλους τους εσωτερικούς και εξωτερικούς περιορισμούς του έργου. Είναι εκ φύσεως αδύνατον να ικανοποιηθούν και οι τρεις αυτοί στόχοι ταυτόχρονα στον απόλυτο βαθμό και αυτό γιατί το κόστος και ο χρόνος είναι εκ των πραγμάτων περιορισμένα μεγέθη, ενώ για την επίτευξη της απόλυτης ποιότητας απαιτούνται απεριόριστοι πόροι, σημαντικά μεγάλος χρόνος και ανέφικτα υψηλό κόστος. Για τους παραπάνω λόγους, οι απαντήσεις που καλείται να δώσει η διαχείριση έργων δεν είναι ούτε προφανείς ούτε μονοσήμαντες. Αντίθετα, επειδή ακριβώς πραγματεύεται τον συμβιβασμό αντίρροπων απαιτήσεων, στην πλειοψηφία των περιπτώσεων καταλήγει σε ομάδες λύσεων οι οποίες δίνουν εναλλακτικούς συνδυασμούς αποδεκτών τιμών στους τρεις στόχους: κόστος χρόνος ποιότητα/ απόδοση.

45 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 17 Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως η διαχείριση έργων ως μια διαδικασία που απαιτεί πόρους και χρόνο για να εκτελεστεί, έχει δεδομένο κόστος το ύψος του οποίου είναι ανάλογο του μεγέθους και της πολυπλοκότητας του έργου. Ενδεικτικά, στο διπλανό γράφημα, παρουσιάζεται η κατανομή του συνολικού κόστους υλοποίησης της Εγνατίας Οδού. Η Εγνατία Οδός είναι ένα από τα πιο σημαντικά έργα υποδομών στην χώρα. Έχει μήκος 680 χιλιομέτρων και συνολικό κόστος έργων 5 δις. ευρώ. Αξίζει να σημειωθεί πως κατά μήκος της Εγνατίας Οδού υπάρχουν 1856 τεχνικά έργα συμπεριλαμβανομένων 646 γεφυρών. Από τα ποσοτικά στοιχεία, προκύπτει πως οι δαπάνες διοίκησης του έργου που περιλαμβάνουν τα λειτουργικά έξοδα της ΕΟΑΕ, τις αμοιβές του Συμβούλου Διαχείρισης (Project Manager) και των Αναδόχων Υπηρεσιών Επίβλεψης (Construction Managers) ανέρχονται στο 7%, ξεπερνώντας κατά 2 ποσοστιαίες μονάδες το κόστος των μελετών (οδοποιίας, σηράγγων, γεφυρών, περιβαλλοντικών επιπτώσεων, ηλεκτρομηχανολογικών εγκαταστάσεων καθώς και τις γεωτεχνικές έρευνες), το οποίο διαμορφώνεται στο 5%. Το κόστος κατασκευής αντιπροσωπεύει περίπου το 80% του συνολικού κόστους του έργου. Το κόστος μετατοπίσεων των δικτύων ΟΚΩ και των αρχαιολογικών ερευνών είναι 1% και περιλαμβάνεται στο κόστος κατασκευής, ενώ τέλος, οι δαπάνες για απαλλοτριώσεις ανέρχονται στο 8%. Γράφημα 1. Κατανομή του συνολικού κόστους υλοποίησης των έργων της Εγνατίας Οδού Πηγή: Λαμπρόπουλος, 2005 Ιδία επεξεργασία Οι ωφέλειες όμως που προκύπτουν από την διαχείριση του έργου είναι πολλές και υπερκαλύπτουν το κόστος εφαρμογής της, κάτι που αποκτά ιδιαίτερη σημασία στα μεγάλα και πολύπλοκα έργα. Η κυριότερη από τις ωφέλειες είναι ότι παρέχει τη δυνατότητα ελέγχου του έργου. Αυτό ιδανικά οδηγεί σε μείωση του χρόνου και του κόστους κατασκευής, αποτελεσματικότερη χρήση των πόρων, υψηλότερη ποιότητα και αξιοπιστία και, βέβαια, υψηλότερα περιθώρια κέρδους. Ωστόσο, οι περισσότερες έρευνες δείχνουν πως στην πράξη η διαχείριση δεν επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την αναμενόμενη απόδοση εκτέλεσης ενός έργου, δεν μειώνεται, δηλαδή, καταλυτικά ούτε το κόστος ούτε ο χρόνος ολοκλήρωσής του. Έχει ωστόσο καθοριστική σημασία στην αποφυγή μεγάλων καθυστερήσεων και υπερβάσεων του προϋπολογισμού, φαινόμενα απολύτως αναμενόμενα σε όλα τα έργα (μικρής, μεσαίας και μεγάλης κλίμακας). Με άλλα λόγια, η μεγάλη

46 18 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ συνεισφορά της διαχείρισης έργου έγκειται στον περιορισμό και την διαχείριση του ρίσκου που ενυπάρχει σε κάθε έργο. Ενδεικτικά, αναφέρονται δύο παραδείγματα σημαντικής υπέρβασης τόσο του προϋπολογισμού όσο και του χρόνου ολοκλήρωσης δύο σύγχρονων μεγάλων έργων υποδομής στην Γερμανία τα οποία σύμφωνα με πρόσφατο ηλεκτρονικό δημοσίευμα της Deutsche Welle 3 πλήττουν σημαντικά την εικόνα των γερμανικών κατασκευών. Σύμφωνα με τους Insa Wrede και Άρη Καλτιριμτζή, το Willy Brandt Flughafen, το νέο αεροδρόμιο του Βερολίνου, είναι το νεώτερο αντιπροσωπευτικό παράδειγμα αποτυχίας των αρχικών σχεδίων κατασκευής. Τα προγραμματισμένα του εγκαίνια αναβλήθηκαν για τέταρτη φορά, ενώ το κόστος του ξεπερνά, σύμφωνα με εκτιμήσεις, κατά 50% αυτό που είχε υπολογιστεί αρχικά υπερβαίνοντας τα 4,3 δισ. ευρώ. Παρόμοια περίπτωση είχε αποτελέσει στο παρελθόν ο κεντρικός σιδηροδρομικός σταθμός του Βερολίνου, που κόστισε τελικά 1,2 δισ. ευρώ αντί της αρχικής εκτίμησης των 300 εκατομμυρίων (400% υπέρβαση του αρχικού προϋπολογισμού). Το άρθρο αναφέρεται στους παράγοντες καθυστέρησης του χρονοδιαγράμματος και εκτίναξης του κόστους και μεταξύ άλλων αναφέρει, τις εσφαλμένες αρχικές εκτιμήσεις κόστους στην υποβολή προσφορών (αφού κριτήριο αποτελούσε η πιο συμφέρουσα οικονομική προσφορά) αλλά και οι δυσκολίες συντονισμού των εμπλεκόμενων εταιρειών από τον κύριο του έργου. Και οι δύο προαναφερόμενοι παράγοντες αποτελούν αντικείμενο της διαχείρισης έργων και θα μπορούσαν να έχουν εκτιμηθεί με πιο ορθολογικό τρόπο εκ των προτέρων. Τέλος, αξίζει να αναφερθούν τα ποσοστά επιτυχίας των έργων πληροφορικής σύμφωνα με την εταιρεία Tata Consultancy για το , όπου και σε αυτή την περίπτωση η διαχείριση των έργων φέρει μετρήσιμο ειδικό βάρος στην απόδοση των τελικών προϊόντων και υπηρεσιών. Συγκεκριμένα: 62% δεν ολοκληρώθηκαν σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα, 49% υπερέβησαν τον προϋπολογισμό τους, 47% είχαν υψηλότερο κόστος συντήρησης από ότι είχε αρχικά προβλεφθεί, 41% δεν οδήγησαν στα αναμενόμενα οφέλη (οικονομικά - επιχειρηματικά), 33% δεν απέδωσαν όπως αναμενόταν. Η απόκλιση από τους στόχους, που αποδίδεται από τα παραπάνω ποσοστά, οφείλεται κατά τους ειδικούς στους παράγοντες: πολυπλοκότητα και εξάρτηση από την τεχνολογία, ασαφείς στόχοι ή στόχοι που μεταβάλλονται στην πορεία, μέγεθος απαιτούμενης αλλαγής, κριτήρια αξιολόγησης, αναποτελεσματική διαχείριση έργου, έλλειψη υποστήριξης από τη διοίκηση, κίνδυνοι εξωτερικής ανάθεσης (outsourcing). 3 ΕΜΠ: «Διαχείριση Έργων Πληροφορικής» 4 (Deutsche Welle, ημερομηνία δημοσίευσης: 9/1/2013)

47 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Σχεδιασμός, Προγραμματισμός, Έλεγχος Έργων Η διαχείριση έργων περιλαμβάνει τρία (3) συστατικά δομικά μέρη: τον σχεδιασμό, τον προγραμματισμό και τον έλεγχο των έργων τα οποία εμφανίζουν μεγάλο βαθμό εμπλοκής στα επιμέρους στάδια. Σχήμα 5. Συστατικά μέρη της διαχείρισης έργων Διαχείριση Έργων Σχεδιασμός (project initiation, project planning) Προγραμματισμός (project scheduling) Έλεγχος (project control) Ο σχεδιασμός έργων (project planning) ενσωματώνει ενέργειες που στοχεύουν στον καθορισμό των δραστηριοτήτων/ εργασιών, των ομάδων που θα τις πραγματοποιήσουν, καθώς και τη σειρά προτεραιότητας με την οποία θα υλοποιηθούν οι δραστηριότητες. Ο προγραμματισμός έργων (project scheduling) είναι η διαδικασία κατάρτισης ενός κατάλληλου και λεπτομερειακού πλάνου εργασίας (makespan), που καλείται πρόγραμμα, για την υλοποίηση ενός έργου. Το πρόγραμμα είναι ένας ταξινομημένος κατάλογος δραστηριοτήτων οι οποίες οδηγούν στην επίτευξη του στόχου, δηλαδή την κατασκευή του έργου με τα κριτήρια και τους περιορισμούς που έχουμε θέσει στην φάση του σχεδιασμού. Ο στόχος του προγραμματισμού είναι να καθοριστεί το χρονοδιάγραμμα εργασιών ώστε ένα έργο να ολοκληρωθεί έγκαιρα, οικονομικά και με βάση τις απαιτούμενες προδιαγραφές ασφάλειας, ποιότητας, άνεσης, κ.λπ. Όπως εύκολα συμπεραίνει κανείς από τα παραπάνω, ο προγραμματισμός αποτελεί έναν σημαντικό παράγοντα του οικονομικού σχεδιασμού του έργου (εμπλοκή με την φάση του σχεδιασμού). Σχεδιασμός έργων Προγραμματισμός έργων Αν αναλογιστεί κανείς το πλήθος των εργασιών που απαρτίζουν ένα τεχνικό έργο, τις αλληλεξαρτήσεις τους, τις συνθήκες και τους περιορισμούς υλοποίησης, γίνεται φανερή η ανάγκη για μια συστηματική οργάνωση της υλοποίησης των εργασιών και μια λεπτομερή και συγχρόνως αποτελεσματική απεικόνιση της οργάνωσης. Με άλλα λόγια, τα προβλήματα προγραμματισμού και οργάνωσης της εκτέλεσης ενός έργου πραγματεύονται κυρίως το μεγάλο πλήθος των επιμέρους δραστηριοτήτων, από την εκτέλεση και τη διαπλοκή των οποίων εξαρτάται η ολοκλήρωση του ίδιου του έργου. Οι δραστηριότητες αυτές συνδέονται μεταξύ τους με τεχνολογικές, φυσικές, οικονομικές ή άλλες σχέσεις προτεραιότητας, δηλαδή του τύπου «προηγείται έπεται», ενώ υπόκεινται σε διάφορους περιορισμούς, π.χ. λόγω διαθέσιμων πόρων ή θεσμικού πλαισίου, κ.λπ., που πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά τον προγραμματισμό τους.

48 20 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Ο προγραμματισμός έργων ενσωματώνει ενέργειες όπως: Ο καθορισμός των χρόνων έναρξης και λήξης κάθε δραστηριότητας (time scheduling), Ο υπολογισμός της διάρκειας κάθε δραστηριότητας, Η εκτίμηση της συνολικής διάρκειας του έργου, Η στελέχωση του έργου (project staffing), Η κατανομή των απαραίτητων πόρων (resource allocation), Η αναπροσαρμογή των πόρων (resource re allocation), Ο οικονομικός προγραμματισμός του έργου (cost management) Η αντιστάθμιση του κόστους και της διάρκειας του έργου (time cost trade off problem), Η σύγκριση του σχεδίου με την πρόοδο του έργου, Η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των διαδοχικών δραστηριοτήτων (project evaluation,) Η αναπροσαρμογή του σχεδίου, Η αναθεώρηση του έργου, κ.λπ. Τα παραπάνω προβλήματα αποκτούν ιδιαίτερη σημασία λόγω της κλίμακας των έργων, του κόστους κατασκευής τους, του ρόλου τους στην οικονομική και κοινωνική ζωή (όπως ένα λιμάνι ή ένα φράγμα) κ.λπ. Το ζητούμενο σε τέτοια προβλήματα μπορεί να είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου, η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους, η ελαχιστοποίηση του κόστους για ένα δεδομένο ολικό χρόνο, η ελαχιστοποίηση του χρόνου εκτέλεσης για ένα δεδομένο κόστος, η ελαχιστοποίηση των πόρων που αδρανούν, η διασφάλιση ενός αποδεκτού επιπέδου ποιότητας της κατασκευής, η διασφάλιση του ανώτερου επιπέδου ασφάλειας της κατασκευής, κλπ. Κάθε ένα από τα παραπάνω, αποτελούν διακριτά προβλήματα βελτιστοποίησης τα οποία αποτελούν αντικείμενο επισταμένης επιστημονικής έρευνας τις τελευταίες δεκαετίες. Ο έλεγχος έργων (project control) αφορά την εφαρμογή του προγραμματισμού κατά τη φάση υλοποίησης του έργου και απαιτεί ανάλογη προσπάθεια με αυτή για τον προγραμματισμό του έργου. Η διαδικασία ελέγχου των έργων περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύγκριση της ροής υλοποίησης ενός έργου σε σχέση με το προγραμματισμένο πλάνο εργασίας, την αξιολόγηση επιπτώσεων από ενδεχόμενες αποκλίσεις και τη λήψη αποφάσεων για την περαιτέρω πορεία του έργου. Έλεγχος έργων Ο κατάλογος που ακολουθεί περιέχει τα βασικά στοιχεία ενός «τυπικού» έργου σε όλα τα στάδια διαχείρισης. Με κόκκινη γραμματοσειρά σημειώνονται τα στοιχεία τα οποία συνθέτουν το ερευνητικό πεδίο της παρούσας Διατριβής.

49 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 21 Πίνακας 2. Βασικά στοιχεία ενός «τυπικού» έργου σε όλα τα στάδια της διαχείρισης Βασικά στοιχεία του έργου σε όλα τα στάδια της διαχείρισης Δρομολόγηση, επιλογή και καθορισμός έργου Οργάνωση του έργου Ανάλυση δραστηριοτήτων Χρονοπρογραμματισμός του έργου Διαχείριση πόρων Διαχείριση τεχνολογίας Προϋπολογισμός του έργου Εκτέλεση και έλεγχος του έργου Προσδιορισμός των αναγκών Ανάπτυξη εναλλακτικών λύσεων Αξιολόγηση και επιλογή εναλλακτικών λύσεων Εκτίμηση του κόστους κύκλου ζωής (LCC) των επιλεγμένων εναλλακτικών λύσεων Αξιολόγηση κινδύνων Ανάπτυξη βασικής διαμόρφωσης και επίτευξη της έγκρισής της Επιλογή των συμμετεχουσών οργανώσεων Διάρθρωση του περιεχομένου των εργασιών του έργου σε WBS Ανάπτυξη της οργανωσιακής δομής του έργου και των συναφών τμημάτων επικοινωνίας και υποβολής εκθέσεων Ανάθεση των μερών της WBS στις συμμετέχουσες οργανώσεις Ορισμός των βασικών εργασιών του έργου Ανάπτυξη του καταλόγου των δραστηριοτήτων που απαιτούνται για την εκτέλεση των εργασιών του έργου Ανάπτυξη των σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων Ανάπτυξη ενός δικτυωτού μοντέλου Ανάπτυξη στοιχείων του δικτύου (ανώτερου επιπέδου ενοποιημένες δραστηριότητες, υποδίκτυα δραστηριοτήτων, υποέργα) Ανάπτυξη οροσήμων Ενημέρωση του δικτύου και των στοιχείων του Ανάπτυξη χρονοπρογράμματος Εκτίμηση της διάρκειας των δραστηριοτήτων Εκτίμηση των ημερομηνιών εκτέλεσης των δραστηριοτήτων Παρακολούθηση της πραγματικής προόδου και των οροσήμων Ενημέρωση του χρονοπρογραμματισμού Καθορισμός των απαιτήσεων σε πόρους Απόκτηση των πόρων Διάθεση των πόρων στα έργα/ υποέργα/ δραστηριότητες Παρακολούθηση της χρήσης και του κόστους των πόρων Ανάπτυξη ενός σχεδίου διαχείρισης της διαμόρφωσης Προσδιορισμός τεχνολογικών κινδύνων Έλεγχος διαμόρφωσης Διαχείρισης και έλεγχος κινδύνων Διοίκηση ολικής ποιότητας (TQM) Εκτίμηση άμεσου και έμμεσου κόστους Ανάπτυξη πρόβλεψης χρηματορροών Κατάρτιση προϋπολογισμού Παρακολούθηση πραγματικού κόστους Ανάπτυξη συστημάτων συλλογής δεδομένων Ανάπτυξη συστημάτων ανάλυσης δεδομένων Εκτέλεση δραστηριοτήτων Συλλογή και ανάλυση δεδομένων Εντοπισμός αποκλίσεων στο κόστος, τη διαμόρφωση, τον

50 22 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Βασικά στοιχεία του έργου σε όλα τα στάδια της διαχείρισης Τερματισμός του έργου χρονοπρογραμματισμό και την ποιότητα Ανάπτυξη διαρθρωτικών σχεδίων Υλοποίηση διαρθρωτικών σχεδίων Πρόβλεψη του κόστους του έργου κατά την ολοκλήρωση Αξιολόγηση της επιτυχούς (ή μη) έκβασης του έργου Σύσταση για βελτιώσεις στις πρακτικές διαχείρισης έργου Ανάλυση και αποθήκευση πληροφοριών σχετικά με το πραγματικό κόστος, την πραγματική διάρκεια, τις πραγματικές επιδόσεις και την διαμόρφωση Πηγή: Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008 Από τον παραπάνω αναλυτικό κατάλογο προκύπτουν τα επιμέρους βήματα του προγραμματισμού και ελέγχου των έργων τα οποία στην συνοπτική τους εκδοχή παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Όπως και στον προηγούμενο πίνακα, με κόκκινη γραμματοσειρά σημειώνονται τα στοιχεία τα οποία συνθέτουν το ακριβές ερευνητικό πεδίο της παρούσας Διατριβής. Πίνακας 3. Δομή προγραμματισμού και ελέγχου ενός «τυπικού» έργου Βήματα υλοποίησης (συνοπτικά) Δομή του προγραμματισμού και του ελέγχου του έργου Βήματα υλοποίησης (συνοπτικά) ΒΗΜΑ 1 ΒΗΜΑ 2 ΒΗΜΑ 3 ΒΗΜΑ 4 ΒΗΜΑ 5 ΒΗΜΑ 6 ΒΗΜΑ 7 Καθορισμός των στόχων του έργου Ανάλυση δομής του έργου Εκτίμηση εργασιών Χρονικός προγραμματισμός Διαχείριση πόρων Οικονομικός προγραμματισμός Καθορισμός προγράμματος υλοποίησης Αφορά την ποιοτική περιγραφή του αποτελέσματος, της μεθόδου κατασκευής, των εργασιών, των απαιτούμενων πόρων και της διαδικασίας ποιοτικού ελέγχου. Περιλαμβάνει τη λεπτομερή καταγραφή των εργασιών και της λογικής αλληλουχίας τους, την κατανομή ευθυνών για κάθε εργασία, τον καθορισμό των τρόπων επικοινωνίας και ροής πληροφοριών - οδηγιών εκτέλεσης. Περιλαμβάνει την εκτίμηση της διάρκειας, του κόστους, των απαιτήσεων παραγωγικών μέσων (πόρων), των απαιτήσεων υλικών και τη διαδικασία προμήθειάς τους. Οδηγεί στον καθορισμό του χρονοδιαγράμματος του έργου, του χρόνου έναρξης και πέρατος των εργασιών, των χρονικών περιθωρίων των εργασιών και της διάρκειας του έργου. Περιλαμβάνει την ανάλυση των πόρων (παραγωγικών μέσων) όσον αφορά τις απαιτήσεις και τη διαθεσιμότητά τους, την ανάθεση πόρων στις εργασίες και τη διερεύνηση της δυνατότητας εξομάλυνσης των αιχμών απασχόλησης των πόρων. Οδηγεί στον καθορισμό της χρονικής κατανομής των δαπανών ανά εργασία και συνολικά για το έργο, του χρονοδιαγράμματος πληρωμών από τον κύριο του έργου και στην αντιμετώπιση των προβλημάτων από έλλειψη ρευστότητας. Αφορά τον καθορισμό ενός τελικού προγράμματος εργασιών (baseline plan) που προέρχεται από συγκερασμό των προηγούμενων αναλύσεων και το οποίο θα εφαρμοστεί κατά την υλοποίηση του έργου.

51 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 23 Δομή του προγραμματισμού και του ελέγχου του έργου Βήματα υλοποίησης (συνοπτικά) ΒΗΜΑ 8 ΒΗΜΑ 9 Παρακολούθηση υλοποίησης Έλεγχος προόδου έργου Αφορά την καταγραφή (κατά την φάση εκτέλεσης του έργου) των στοιχείων που αφορούν το χρόνο, το κόστος και τους πόρους υλοποίησης. Περιλαμβάνει τη σύγκριση των στοιχείων του προγραμματισμού και της υλοποίησης, την αναγνώριση αποκλίσεων και την έγκαιρη λήψη αποφάσεων για διορθωτικές κινήσεις (αν απαιτηθούν) που θα επαναφέρουν τη ροή υλοποίησης του έργου στην προγραμματισμένη πορεία του. Πηγή: Χασιακός, 2012 Με βάση την ανάλυση που προηγήθηκε, το αντικείμενο της παρούσας Διατριβής πραγματεύεται ζητήματα που εντάσσονται στον προγραμματισμό έργων και συγκεκριμένα στα βήματα υλοποίησης 3 (Εκτίμηση Εργασιών), 4 (Χρονικός Προγραμματισμός) και 5 (Διαχείριση Πόρων). Σε όρους γραφικής απεικόνισης, το πλαίσιο διερεύνησης απεικονίζεται στο σχήμα 6 που ακολουθεί. Σχήμα 6. Δομή του προγραμματισμού και του ελέγχου του έργου Πηγή: Χασιακός, 2012 Ιδία επεξεργασία

52 24 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 2.4. Κύκλος Ζωής Έργων Ο κύκλος ζωής ενός έργου, αποτελεί βασική έννοια για την διαχείριση και τον χρονοπρογραμματισμό του. Συγκεκριμένα: Ο κύκλος ζωής ενός έργου αποτελείται από τις σημαντικότερες φάσεις από τις οποίες διέρχεται η πρόοδος του έργου. Κατά τους Cleland και Reland (2002) 5, ο κύκλος ζωής ενός τυπικού έργου αποτελείται από πέντε (5) διακριτές φάσεις και συνοδεύεται συνήθως από την διαγραμματική απεικόνιση του βαθμού χρήσης των πόρων και του επιπέδου προσπάθειας. Κύκλος ζωής έργου Οι ονομασίες που έχουν δοθεί στις πέντε φάσεις, αντιστοιχούν ουσιαστικά στα παραδοτέα κάθε μίας, ενώ το περιεχόμενο κάθε φάσης αποτυπώνεται συνοπτικά στις παραγράφους που ακολουθούν: (Ι) Φάση εννοιολογικού σχεδιασμού (προκαταρκτικής μελέτης): Στην πρώτη φάση, μία οργάνωση (πελάτης, ανάδοχος, υπεργολάβος) ξεκινά ένα έργο και αξιολογεί τις πιθανές εναλλακτικές λύσεις. Η επιλογή των έργων στην φάση του εννοιολογικού σχεδιασμού είναι απόφαση στρατηγικής, η οποία βασίζεται στους στόχους που έχει θέσει η οργάνωση, στις ανάγκες, στα τρέχοντα έργα και σε μακροπρόθεσμες υποχρεώσεις και σκοπούς. Ορισμένοι από τους παράγοντες που σταθμίζονται στην φάση αυτή είναι τα αναμενόμενα οφέλη από τα εναλλακτικά έργα, η αξιολόγηση κόστους και κινδύνων και οι εκτιμήσεις των απαιτούμενων πόρων, Σημαντικοί τομείς ανάληψης δράσης είναι οι αρχικές αποφάσεις «κατασκευής ή αγοράς» εξαρτημάτων και εξοπλισμού, η ανάπτυξη σχεδίων έκτακτης ανάγκης για τους τομείς υψηλού κινδύνου και η προκαταρκτική επιλογή υπεργολάβων και άλλων μελών που θα συμμετάσχουν στο έργο. Επιπλέον, η ανώτερη διοίκηση πρέπει να εξετάσει τις τεχνολογικές πτυχές, όπως την διαθεσιμότητα και την ωριμότητα της απαιτούμενης τεχνολογίας, καθώς και τις επιδόσεις της και την αναμενόμενη χρήση της σε επόμενα έργα. Πρέπει επίσης να αναλυθούν περιβαλλοντικοί παράγοντες που συνδέονται με κρατικούς κανονισμούς, πιθανές αγορές και ο ανταγωνισμός. Η επιλογή των έργων βασίζεται σε διάφορους στόχους και δείκτες επιδόσεων, συμπεριλαμβανομένων του αναμενόμενου κόστους, της κερδοφορίας, των κινδύνων και της δυνατότητας επακόλουθων αναθέσεων. Αφού επιλεγεί ένα έργο και εγκριθεί ο εννοιολογικός σχεδιασμός του, ξεκινούν οι εργασίες της δεύτερης φάσης, όπου αποσαφηνίζονται περαιτέρω οι τεχνικές και άλλες λεπτομέρειες. (ΙΙ) Φάση προχωρημένης ανάπτυξης: Στη φάση αυτή, σχηματίζεται η οργανωσιακή δομή του έργου σταθμίζοντας τα τακτικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα κάθε πιθανής διευθέτησης. Αφού ληφθεί η σχετική απόφαση, καθορίζονται γραμμές επικοινωνίας και διαδικασίες για εξουσιοδότηση εργασιών και υποβολή εκθέσεων σχετικά με τις επιδόσεις. 5 Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008

53 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 25 (ΙΙΙ) Φάση αναλυτικού σχεδιασμού: Στην τρίτη φάση του κύκλου ζωής του έργου, καταρτίζονται πλήρη σχέδια τα οποία περιλαμβάνουν τα εξής στοιχεία: Σχεδιασμός διεργασιών, Τελικές απαιτήσεις επιδόσεων, Αναλυτική κατάτμηση σε υποέργα και πακέτα εργασίας, Πληροφορίες για τον χρονοπρογραμματισμό, Πρότυπα σχέδια για την διαχείριση του κόστους και των πόρων, Αναλυτικά σχέδια έκτακτης ανάγκης για τις δραστηριότητες υψηλού κινδύνου, Προϋπολογισμοί, Προσδοκώμενες χρηματορροές. Επιπλέον, αναπτύσσονται διαδικασίες και εργαλεία για την εκτέλεση, τον έλεγχο και την διόρθωση του έργου. Όταν ολοκληρωθεί η φάση αυτή, η υλοποίηση μπορεί να ξεκινήσει, καθώς τα διάφορα σχέδια καλύπτουν όλες τις πτυχές του έργου με επαρκείς λεπτομέρειες. Η επιτυχία ενός έργου συνδέεται στενά με την ποιότητα και το βάθος των σχεδίων που καταρτίζονται σε αυτή την φάση. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται πως πριν από την έγκριση, διενεργείται αναλυτική επισκόπηση του σχεδιασμού κάθε πλάνου και κάθε πτυχής του έργου. Σχήμα 7. Κύκλος ζωής του έργου Πηγή: Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008 Ιδία επεξεργασία (ΙV) Φάση παραγωγής: Η τέταρτη φάση, περιλαμβάνει την εκτέλεση σχεδίων και στα περισσότερα έργα επικρατεί των άλλων όσον αφορά στην καταβαλλόμενη προσπάθεια και τη διάρκεια. Το κρίσιμο θέμα στρατηγικής στην φάση αυτή αφορά στην διατήρηση της υποστήριξης της ανώτερης διοίκησης, ενώ το κρίσιμο

54 26 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ θέμα τακτικής επικεντρώνεται στην ροή πληροφοριών εντός και μεταξύ των συμμετεχουσών οργανώσεων. Στο επίπεδο αυτό, δίνεται έμφαση στις πραγματικές επιδόσεις και στις αλλαγές στα αρχικά σχέδια. Οι τροποποιήσεις ενδέχεται να λάβουν διάφορες μορφές, ενώ σε ακραία περίπτωση το έργο μπορεί μέχρι και να ματαιωθεί. Το πιθανότερο, ωστόσο, σενάριο είναι να προσαρμοσθούν το πεδίο των εργασιών, ο χρονοπρογραμματισμός και ο προϋπολογισμός ανάλογα με την κατάσταση. Στη διάρκεια της φάσης αυτής, καθήκον του διαχειριστή έργου είναι να αναθέτει εργασίες στους συμμετέχοντες και να παρακολουθεί την πραγματική πρόοδο συγκρίνοντάς την με τα σχέδια αναφοράς. Επομένως, είναι αναγκαία η θέσπιση και η θέση σε λειτουργία ενός καλά σχεδιασμένου συστήματος επικοινωνιών και ελέγχου. Η υποστήριξη ενός έργου ή συστήματος έργων σε όλη του τη ζωή (διοικητική μέριμνα) απαιτεί την προσοχή της διαχείρισης έργου στα περισσότερα έργα μηχανικού για τα οποία έχει προγραμματισθεί μια φάση λειτουργίας, η οποία θα ακολουθήσει την υλοποίηση. Η προετοιμασία της διοικητικής μέριμνας περιλαμβάνει την τεκμηρίωση, την κατάρτιση προσωπικού, τη συντήρηση και την αρχική απόκτηση ανταλλακτικών εξαρτημάτων. Η παραμέληση της συγκεκριμένης δραστηριότητας μπορεί να οδηγήσει σε καταστροφή μία κατά τα άλλα επιτυχημένη προσπάθεια. (V) Φάση τερματισμού: Στη φάση αυτή, στόχος της διαχείρισης έργου είναι να παγιώσει τα διδάγματα και να μετουσιώσει τη γνώση αυτή σε συνεχείς βελτιώσεις της διαδικασίας. Τα διδάγματα και οι εμπειρίες του παρόντος αποτελούν την βάση για την βελτίωση της πρακτικής. Ωστόσο, δεν θα πρέπει να παραβλέπεται και η φάση λειτουργίας του έργου, η οποία σε τελική ανάλυση αποτελεί το βασικό ζητούμενο. Φάση λειτουργίας: Η φάση της λειτουργίας βρίσκεται συχνά εκτός του πεδίου του έργου και επομένως μπορεί να εκτελεσθεί από άλλες οργανώσεις, εκτός εκείνων που ενεπλάκησαν στις πρώτες φάσεις του κύκλου ζωής. Σε κάθε περίπτωση, όσον αφορά στον διαχειριστή έργου, η φάση της λειτουργίας είναι η πιο κρίσιμη, καθώς σε αυτήν κρίνεται το κατά πόσο το έργο πέτυχε τους τεχνικούς και λειτουργικούς στόχους του. Σε ορισμένα έργα η μετάβαση από την φάση της παραγωγής στην φάση της λειτουργίας γίνεται βαθμιαία. Αυτό συμβαίνει όταν ένα έργο περιλαμβάνει την παραγωγή μιας σειράς παρόμοιων μονάδων. Οι πρώτες μονάδες μπορεί να τεθούν σε λειτουργία ενώ οι υπόλοιπες βρίσκονται ακόμη σε διαφορετικές φάσεις ολοκλήρωσης. Για τις καταστάσεις αυτές, έχουν αναπτυχθεί ειδικές τεχνικές επικοινωνίας και ελέγχου (π.χ. γραμμή ισορροπίας), ώστε να βοηθηθεί ο διαχειριστής έργου στην εκτέλεση των καθηκόντων του καθ όλη την διάρκεια του κύκλου ζωής του έργου.

55 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Σύγχρονες Τάσεις στην Διαχείριση Έργων Η διαχείριση έργου, όπως κάθε δυναμικός κλάδος, αναπτύσσεται, εξελίσσεται και αναπροσανατολίζεται συνεχώς. Ορισμένες από τις σημαντικότερες αλλαγές που γνώρισε είναι οι εξής: Διαχείριση κινδύνων. Ανάπτυξη πιο εξειδικευμένων αρχικών μεθοδολογιών για την καλύτερη αξιολόγηση των κινδύνων προτού αναληφθούν σημαντικές υποχρεώσεις σε σχέση με το έργο. Χρονοπρογραμματισμός. Νέες προσεγγίσεις για τον προγραμματισμό του έργου, όπως η διαχείριση έργου βάση κρίσιμης αλυσίδας, οι οποίες συνιστούν σαφή πρόοδο σε σχέση με τις παραδοσιακές τεχνικές. Δομή. Δύο σημαντικές τάσεις στην οργανωσιακή δομή είναι η ανάδειξη της οργάνωσης πολύ μεγάλων έργων και η αυξανόμενη χρήση γραφείων διαχείρισης έργου. Συντονισμός της ομάδας έργου. Δύο σημαντικές πρόοδοι στον τομέα της ανάπτυξης της ομάδας έργου είναι η έμφαση στη συνεργασία μεταξύ διαφορετικών λειτουργιών και το μοντέλο της εστιγμένης ισορροπίας καθώς αφορά την δυναμική εντός της ομάδας. Σύμφωνα με αυτό, αντί η εξέλιξη να πραγματοποιείται σταδιακά με μικρά βήματα, η πραγματική αλλαγή πρέπει να συμβαίνει στο πλαίσιο μεγάλων περιόδων στασιμότητας που διακόπτονται από κάποιο κοσμοϊστορικό γεγονός. Έλεγχος. Χαρακτηριστικό παράδειγμα των σημαντικών νέων μεθόδων που αναπτύσσονται για την παρακολούθηση του κόστους των έργων που συνδέεται με τις επιδόσεις είναι η ανάλυση πιστοποιημένης αξίας. Η τεχνική αυτή υπάρχει εδώ και αρκετό καιρό, αλλά η ευρύτερη διάδοση και η χρήση της επεκτείνονται. Αντίκτυπος νέων τεχνολογιών. Η εξέλιξη των επικοινωνιών, το διαδίκτυο και οι τεχνολογίες του παγκόσμιου ιστού αύξησαν την χρήση των κατανεμημένων και εικονικών ομάδων έργου, οι οποίες ενδέχεται να μην συναντηθούν ποτέ αλλά πρέπει να συνεργάζονται στενά για την επιτυχία του έργου. Διαχείριση έργου βασισμένη σε διεργασίες. Το PMBOK (Επιτροπή Προτύπων PMI 2000) θεωρεί ότι η διαχείριση έργου συνδυάζει εννέα τομείς γνώσεων, οι οποίοι παρατίθενται στη συνέχεια. Κάθε τομέας αποτελείται από ένα σύνολο διεργασιών, η ορθή εκτέλεση των οποίων αποτελεί την ουσία του τομέα: Διαχείριση ενοποίησης Διαχείριση αντικειμένου Διαχείριση χρόνου Διαχείριση κόστους Διαχείριση ποιότητας

56 28 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Διαχείριση ανθρώπινων πόρων Διαχείριση επικοινωνίας Διαχείριση κινδύνων Διαχείριση προμηθειών 2.6. Πληροφοριακά Συστήματα Διαχείρισης Τεχνικών Έργων Από την ανάλυση της παρούσας Διατριβής δεν θα μπορούσε να λείπει μία συνοπτική αναφορά στα Πληροφοριακά Συστήματα (ΠΣ), τα οποία έχουν συμβάλει καθοριστικά στην ευρεία διάδοση και ανάπτυξη των αρχών της επιχειρησιακής έρευνας και της διαχείρισης έργων αλλά και την δυνατότητα επίλυσης σύνθετων εφαρμογών. Ως δραστηριότητα που εξαρτάται καθοριστικά από τη σωστή, γρήγορη και αποτελεσματική διακίνηση της πληροφορίας, η διαχείριση έργων επαναπροσδιορίστηκε σε πολλά επίπεδα με την εξέλιξη των σύγχρονων τεχνολογιών πληροφορικής. Δεδομένων των υψηλών απαιτήσεων των σύγχρονων έργων σε μέγεθος, πολυπλοκότητα, τεχνικές προδιαγραφές, κ.λπ. με τα μέλη της ομάδας έργου να υποχρεώνονται συχνά να συνεργάζονται από απόσταση και την κατασκευαστική βιομηχανία, λειτουργώντας εντός πλαισίου αυξημένου ανταγωνισμού, να δέχεται πιέσεις για γρηγορότερες και φθηνότερες κατασκευές, τα συστήματα διαχείρισης ως εργαλεία προγραμματισμού ήταν επιβεβλημένο να μεγιστοποιήσουν τις επιδόσεις τους. Την τελευταία δεκαπενταετία πραγματοποιούνται πολλαπλές ερευνητικές προσπάθειες για τη δημιουργία ενιαίου πληροφοριακού μοντέλου του κατασκευαστικού προϊόντος, ενώ επίσης καταγράφεται συντονισμένη προσπάθεια διεθνών οργανισμών όπως ο ISO για την συλλογική εφαρμογή αυτού του μοντέλου. Τα Πληροφοριακά Συστήματα Διαχείρισης Έργων (Project Management Information Systems PMIS) είναι ολοκληρωμένα συστήματα που μπορούν να επεξεργαστούν σωστά και γρήγορα την προσήκουσα πληροφορία για την αποτελεσματική διαχείριση και διοίκηση των τεχνικών και άλλων έργων. Έχουν την δυνατότητα εισαγωγής, συλλογής, αποθήκευσης, επεξεργασίας, ανάλυσης, αρχειοθέτησης, ανάκτησης και διανομής πληροφορίας που αφορά στις επιμέρους συνιστώσες και δραστηριότητες της διαχείρισης των έργων. Τα ΠΣΔΕ καθιστούν την αξιολόγηση και το χειρισμό του χρονοδιαγράμματος σημαντικά ευκολότερο από τη χειροκίνητη προσέγγιση, ενώ δίνουν την δυνατότητα για επιπρόσθετες λειτουργίες, οι οποίες διαφορετικά θα ήταν δύσκολο, χρονοβόρο ή και αδύνατο να εκτελεστούν όπως: ο εντατικός έλεγχος της προόδου του έργου ανά τακτά χρονικά διαστήματα (ενδεχόμενη υπέρβαση προϋπολογισμού, ενδεχόμενη καθυστέρηση χρονοδιαγράμματος, κ.λπ.), ο εντοπισμός των περιοχών κινδύνου, η διαχείριση των μέσων παραγωγής, ο

57 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 29 επαναπρογραμματισμός του έργου κ.λπ. ώστε ο διαχειριστής έργου να έχει άμεσα με απλές εντολές συνολική εικόνα του έργου και να είναι σε θέση να πάρει κατάλληλες αποφάσεις για την επιτάχυνση ή την επιβράδυνση εργασιών, την κατανομή πόρων ή ακόμα και τη λήψη των κατάλληλων μέτρων για την αποφυγή κινδύνων. Πολλά πακέτα λογισμικού των ΠΣ έχουν μεθόδους εισαγωγής ή εξαγωγής δεδομένων από άλλα προγράμματα ή συσκευές, όπως , PDAs, laptops ή το διαδίκτυο. Ορισμένα συνδέονται με εξωτερικές βάσεις δεδομένων. Κάθε μία από αυτές τις επιλογές προσφέρει στο χρήστη πρόσθετη ευελιξία για συνεργασία με άλλους συμμετέχοντες στο έργο και δυνατότητα προβολής των δεδομένων σε άλλες μορφές. Η εξαγωγή των δεδομένων συχνά διευκολύνει μαζικές αλλαγές σε ένα χρονοδιάγραμμα. Τα απαραίτητα βήματα περιορίζονται στην επιλογή των δεδομένων για εξαγωγή και στην επιλογή της μορφής με την οποία θα αποθηκευτούν. Η εισαγωγή είναι συνήθως δυσκολότερη καθώς ο χρήστης πρέπει να γνωρίζει επακριβώς το όνομα και τα χαρακτηριστικά του πεδίου δεδομένων. Σε παγκόσμιο επίπεδο έχουν αναπτυχθεί διάφορα τέτοια συστήματα. Μερικά είναι μεμονωμένα προϊόντα που περιορίζονται στο χρονικό προγραμματισμό, ενώ σε άλλα είναι ενσωματωμένα και άλλα χρήσιμα εργαλεία όπως εκτιμήσεις, οικονομικά στοιχεία, παρακολούθηση παραγγελιών, εντολές αλλαγής, διαχείριση υπεργολαβιών, ανάλυση κινδύνων, πρόβλεψη μεγεθών, κλπ. Σε μερικά προσφέρεται και η δυνατότητα online συνεργασίας μεταξύ των μελών της ομάδας του έργου. Τα περισσότερα από αυτά τα προγράμματα εφαρμόζουν τη μέθοδο κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method - CPM). Όπως όλα τα ΠΣ, αποτελούνται σε γενικό επίπεδο ανεξαρτήτως θεματικής περιοχής, από: εισροές input (δεδομένα, εντολές), εκροές output (αναφορές, εκθέσεις, υπολογισμοί), μηχανισμούς ανατροφοδότησης (οι οποίοι ελέγχουν τη λειτουργία) και το περιβάλλον μέσα στο οποίο λειτουργούν. Στις μέρες μας όλες οι τεχνικές και κατασκευαστικές εταιρείες έχουν ενσωματώσει πλήρως τις Τεχνολογίες Πληροφοριών και Επικοινωνιών (ΤΠΕ) σε όλα τα στάδια της μελέτης και κατασκευής αλλά και στις καθημερινές υποστηρικτικές/ συμπληρωματικές εργασίες, αξιοποιώντας plug and play ή customized εφαρμογές. Τα βασικά δομικά στοιχεία των Πληροφοριακών Συστημάτων στην απλούστερη μορφή τους είναι: Εξοπλισμός Η/Υ (hardware): πρόκειται για το σύνολο των τεχνολογικών εξαρτημάτων όπως ο επεξεργαστής, η οθόνη, το πληκτρολόγιο, ο εκτυπωτής, ο σαρωτής κλπ. Λογισμικό (software): είναι ένα σύνολο από προγράμματα που δίνει τη δυνατότητα στον εξοπλισμό να πραγματοποιήσει την επεξεργασία των δεδομένων.

58 30 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ Βάση Δεδομένων: είναι μια συλλογή από σχετικά αρχεία, πίνακες, σχέσεις κλπ. στα οποία αποθηκεύονται τα δεδομένα. Δίκτυο: είναι ένα σύστημα σύνδεσης που επιτρέπει στους υπολογιστές να μοιράζονται τους ίδιους πόρους. Διαδικασίες: είναι ένα σύνολο από εντολές που αφορούν στον τρόπο με τον οποίο τα παραπάνω συστατικά συνδέονται. Άνθρωποι: είναι τα άτομα που εργάζονται με το σύστημα ή χρησιμοποιούν τις εκροές του. Πέρα όμως από τις πολλές δυνατότητες και τα πλεονεκτήματά τους, τα ΠΣΔΕ έχουν και ορισμένα μειονεκτήματα όπως είναι το κόστος προμήθειας και άδειας χρήσης αλλά και το κόστος (και ο χρόνος) εκπαίδευσης στις απαιτήσεις του λογισμικού. Αναφορικά με την κατανομή πόρων στα έργα που είναι το αντικείμενο της παρούσας Διατριβής, στη διεθνή βιβλιογραφία απαντάται συχνά κριτική των διαθέσιμων προγραμμάτων αναφορικά με το θέμα της εξισορρόπησης των πόρων (resource leveling) ( 4.9). Πολλοί συγγραφείς υποστηρίζουν ότι το πεδίο αυτό χρειάζεται περισσότερη έρευνα και ανάπτυξη μέχρι να φτάσει σε ένα επίπεδο όπου ο χρήστης θα έχει όλες τις δυνατότητες χωρίς περίπλοκους χειρισμούς (Καδινόπουλος, 2009). Ενδεικτικά αναφέρεται το εξής παράδειγμα: τα ευρέως διαδεδομένα λογισμικά δεν παρέχουν στο χρήστη την επιλογή να καταστήσει ορισμένες και όχι όλες τις δραστηριότητες διακοπτόμενες (interruptible), ώστε να είναι δυνατή η κατανομή τους με βέλτιστο τρόπο από πλευράς εξισορρόπησης πόρων. Τα περισσότερα προγράμματα επιτρέπουν χειροκίνητη διακοπή (stop - resume). Το Primavera Project Planner P6, για παράδειγμα, επιτρέπει τη επιλογή μεταξύ συνεχόμενης (προεπιλογή) και διακοπτόμενης δραστηριότητας σε επίπεδο συνολικού έργου. ΠΑΚΕΤΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Το λογισμικό διαχείρισης έργου για Η/Υ ή δίκτυο διατίθεται σε πολλά διαφορετικά επίπεδα επιτήδευσης. Οι δυνατότητες των πακέτων ποικίλουν σημαντικά ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους. Σύμφωνα με τον Καδινόπουλο (2009) σε γενικές γραμμές τα διάφορα λογισμικά χωρίζονται σε τρία επίπεδα (Weber, 2005): Το πρώτο επίπεδο παρέχει βασικές υπηρεσίες για μικρότερους εργολάβους και για όσους διαχειριστές (project managers) δεν έχουν ιδιαίτερες απαιτήσεις (το κόστος αγοράς σε αυτές τις περιπτώσεις διαμορφώνεται έως τα $500 περίπου). Τα πακέτα αυτού του επιπέδου καλύπτουν πλήρως τις απαιτήσεις του διαχειριστή που θέλει να αυτοματοποιήσει σε βασικό επίπεδο τις διαδικασίες κατάστρωσης σχεδίων και προετοιμασίας περιοδικών εκθέσεων και παραγωγής διαγραμμάτων Gantt και PERT. Μερικά προγράμματα αυτής της κατηγορίας παρέχουν μια εποπτική εικόνα των αλλαγών που γίνονται στο πρόγραμμα, ώστε να φαίνεται η σχέση των νέων δραστηριοτήτων, που

59 ΚΕΦ.2/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ/ 31 προστίθενται, με τις υπόλοιπες. Στη γενική τους περίπτωση, δεν απαιτούν σημαντική επένδυση κόστους και χρόνου. Ενδεικτικά προϊόντα αυτής της κατηγορίας είναι τα: Primavera s SureTrack, Milestone Simplicity, Project Vision, Quick Gantt, κ.λπ. Το δεύτερο επίπεδο παρέχει πιο εξειδικευμένες δυνατότητες (το κόστος αγοράς διαμορφώνεται έως τα $1.000 περίπου). Οι χρήστες προγραμμάτων αυτής της κατηγορίας διαχειρίζονται συνήθως μεγάλα έργα που περιλαμβάνουν έως και εργασίες, ενώ μπορούν να εκτελούν δύο έργα ταυτόχρονα. Ωστόσο, συνήθως δεν παρέχεται η δυνατότητα παρακολούθησης περισσότερων από δύο (πολλαπλών) έργων. Τα πακέτα λογισμικού αυτού του επιπέδου προσφέρουν κατά κανόνα μία ευρεία γκάμα εργαλείων σχεδιασμού, προγραμματισμού και παρακολούθησης των έργων και παράγουν μία πλήρη παράθεση αναφορών. Τα πακέτα με αυτές τις δυνατότητες περιλαμβάνουν το Microsoft Project (διατίθεται σε εκδόσεις Mac και Windows), το Micro-Planner Manager, κ.λπ. Τέλος, το λογισμικό της τελευταίας κατηγορίας (τρίτο επίπεδο) διαθέτει πολλές εξειδικευμένες δυνατότητες και παρέχει πολύ εξελιγμένα γραφικά (το κόστος αγοράς τους διαμορφώνεται έως τα $ περίπου). Επιτρέπει εισαγωγή δεδομένων από πολλαπλούς χρήστες ακόμη και μέσω διαδικτύου ή φορητών υπολογιστών καθώς και παρακολούθηση πολλαπλών έργων παράλληλα. Οι χρήστες προγραμμάτων αυτής της κατηγορίας έχουν την δυνατότητα δημιουργίας λεπτομερών προϋπολογισμών έργου έως και αντιγραφής του λογιστικού συστήματος που εφαρμόζει η οργάνωση, συνήθως τεχνική εταιρία, υλοποίησης (ανάδοχος έργου ή φορέας υλοποίησης). Στη γενική τους περίπτωση, συνήθως απαιτούν σημαντική επένδυση κόστους και χρόνου εκμάθησης. Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται πολλά προϊόντα όπως: Primavera Project Planner, Artemis Views, Open Plan, Enterprise PM, MicroPlanner X-Pert.

60

61 Κεφάλαιο Χρονικός Προγραμματισμός Έργων

62

63 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Χρονικός Προγραμματισμός Έργων 3.1. Εισαγωγή στον Χρονικό Προγραμματισμό Έργων Ο χρονικός προγραμματισμός αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του συστήματος διαχείρισης, προγραμματισμού και ελέγχου των έργων και, λόγω της σημασίας του, τα τελευταία χρόνια αποτελεί πεδίο εντατικής μελέτης και έρευνας τόσο σε επίπεδο ακαδημαϊκών εργασιών όσο και σε επαγγελματικό/ επιχειρηματικό επίπεδο. Περιλαμβάνει τις ακόλουθες κατηγορίες εργασιών (συνοπτικά): Ανάπτυξη χρονοπρογράμματος έργου, Εκτίμηση της διάρκειας των δραστηριοτήτων, Εκτίμηση των ημερομηνιών εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, Παρακολούθηση της πραγματικής προόδου και των οροσήμων, Ενημέρωση του χρονοπρογραμματισμού. Ο χρονικός προγραμματισμός αποτελεί θεμελιώδες εργαλείο για την λήψη αποφάσεων σχετικών με το έργο καθώς ουσιαστικά καθορίζει τα επίπεδα των βασικών δεικτών απόδοσης του έργου όπως είναι ο χρόνος (ολοκλήρωσης) και το κόστος. Πιο ειδικά, οι εναλλακτικές προσεγγίσεις χρονικού προγραμματισμού του έργου (σεβόμενες όλους τους περιορισμούς), οδηγούν σε διαφορετικές επιλογές λύσεων αποδίδοντας διακριτά ζεύγη τιμών στους δείκτες χρόνος και κόστος. Η τελική επιλογή του προγραμματισμού και οι σχετικές αποφάσεις, λαμβάνουν υπόψη το σύνολο της πληροφορίας του χρονο-προγράμματος του έργου, αλλά και τους περιορισμούς που προκύπτουν από το εξωτερικό περιβάλλον (π.χ. προϋπολογισμός). Στο Κεφάλαιο 3, ο χρονικός προγραμματισμός έργων και οι ακολουθούμενες τεχνικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις προσεγγίζονται μέσα από μία συνοπτική περιγραφή των βασικότερων σημείων αναφοράς (χαρακτηριστικά, μεθοδολογίες, τεχνικές, κ.λπ.) αλλά και των σημείων που αφορούν στο ερευνητικό πλαίσιο της παρούσας Διατριβής. Η εξαντλητική περιγραφή της δομής του χρονικού προγραμματισμού αλλά και των τρόπων υπολογισμού των βασικών μεγεθών του, απαντάται πολύ συχνά στην σύγχρονη βιβλιογραφία, δεν κρίνεται σκόπιμη για τις σκοπούς της παρούσας, ενώ θεωρείται δεδομένη για την συνέχεια της ανάλυσης.

64 36 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 3.2. Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Ο χρονικός προγραμματισμός έργου αφορά στη συγκρότηση χρονοπινάκων και ημερομηνιών κατά τις οποίες οι απαιτούμενοι πόροι για την εκτέλεση του έργου, όπως το προσωπικό, τα μηχανήματα, τα υλικά και ο εξοπλισμός, θα χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων που απαιτούνται για την ολοκλήρωση του έργου. Χρονικός προγραμματισμός έργου Η δραστηριότητα του χρονοπρογραμματισμού ενοποιεί πληροφορίες σχετικές με διάφορες πτυχές του έργου, συμπεριλαμβανομένων της εκτιμώμενης διάρκειας και της διαδοχής των δραστηριοτήτων, των σχέσεων τεχνολογικής εξάρτησης/ προτεραιότητας, των περιορισμών που επιβάλλονται από την διαθεσιμότητα των πόρων και τον προϋπολογισμό και, εφόσον υφίσταται σχετικός όρος (π.χ. σύμβαση) ή ανάγκη, των απαιτήσεων τήρησης προθεσμιών. Οι πληροφορίες αυτές ενσωματώνονται σε ένα βέλτιστο (κατά συγκεκριμένα κριτήρια) πρόγραμμα με την βοήθεια ενός συστήματος υποστήριξης της λήψης αποφάσεων, το οποίο μπορεί να περιλαμβάνει μοντέλα δικτύων, βάσεις δεδομένων των πόρων, σχέσεις εκτίμησης κόστους, εναλλακτικές επιλογές για την επιτάχυνσης της εκτέλεσης, εργαλεία παρακολούθησης της πορείας του έργου (φυσικό και οικονομικό αντικείμενο), κ.λπ. Το πρόγραμμα του έργου μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους, ως χρονοδιάγραμμα ή ως διάγραμμα Gantt (βλ ), το οποίο είναι ένα ραβδόγραμμα που δείχνει την σχέση των δραστηριοτήτων στον χρόνο. Σε αυτό υπογραμμίζονται επίσης τα σημαντικότερα ορόσημα που συνδέονται με το έργο. Είναι δυνατόν να καταρτισθούν διαφορετικά χρονοπρογράμματα για τους διαφορετικούς συμμετέχοντες στο έργο (π.χ. οικονομική διαχείριση, συνεργεία, υπεργολάβοι, κ.λπ.). Με την έναρξη των εργασιών σύμφωνα με τον χρονοπρογραμματισμό κάθε εργασίας, ο διαχειριστής του έργου ενεργοποιεί την εκτέλεση του έργου. Και συγκρίνοντας τις ημερομηνίες πραγματικής εκτέλεσης των εργασιών με τις προγραμματισμένες ημερομηνίες παρακολουθεί το έργο. Όταν οι πραγματικές επιδόσεις αποκλίνουν από το χρονοπρόγραμμα σε βαθμό που πρέπει να ληφθούν διορθωτικά μέτρα, ο διαχειριστής έργου ασκεί έλεγχο στο έργο. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το χρονοπρόγραμμα είναι εργαλείο σχεδιασμού αλλά και εποπτικό εργαλείο και εργαλείο ελέγχου. Η κατάρτιση του χρονοπρογράμματος οποιουδήποτε έργου πρέπει να ξεκινά με τον καθορισμό των βασικών οροσήμων, στον απαιτούμενο βαθμό λεπτομέρειας. Ως βασικό ορόσημο ορίζεται η χρονική στιγμή κατά την οποία μπορεί να συμβεί ή πρέπει να συμβεί ή έχει συμβεί ένα σημαντικό γεγονός στον κύκλο ζωής του έργου. Μπορεί να περιλαμβάνει, για παράδειγμα, την κατασκευή ενός πρωτοτύπου, την έναρξη ενός νέου σταδίου, την επισκόπηση μίας κατάστασης, μια δοκιμή, κ.λπ. Ορόσημο έργου

65 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 37 Εάν τα ορόσημα βρίσκονται πολύ μακριά το ένα από το άλλο, είναι δυνατόν να προκύψουν προβλήματα συνέχειας στην παρακολούθηση και τον έλεγχο. Αντίστροφα, ο υπερβολικός αριθμός οροσήμων μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα περιττή ενασχόληση, υπερβολικό έλεγχο και αυξημένα γενικά έξοδα. Ως κατευθυντήρια γραμμή για μακροπρόθεσμα έργα, τέσσερα (4) βασικά ορόσημα ετησίως φαίνεται να επαρκούν για την παρακολούθηση χωρίς να προκαλείται υπερφόρτωση του συστήματος Παράμετροι του Χρονοπρογραμματισμού Εκτίμηση Χρονικής Διάρκειας Δραστηριότητας Ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση μίας δραστηριότητας/ εργασίας είναι γνωστός ως η χρονική διάρκεια της δραστηριότητας και αποτελεί θεμελιώδη παράμετρο στον προγραμματισμό και την κατασκευή ενός έργου. Χρονική Διάρκεια Δραστηριότητας Η χρονική διάρκεια μίας δραστηριότητας εκτιμάται αρχικά θεωρώντας κανονικές συνθήκες εργασίας. Η «κανονική» διάρκεια αντιστοιχεί στο ελάχιστο κόστος εκτέλεσης της δραστηριότητας. Το κόστος εξαρτάται από τον βαθμό διάθεσης των απαιτούμενων μέσων παραγωγής (προσωπικού, μηχανημάτων, κ.λπ.) για την εκτέλεση της. Αυξάνοντας τον αριθμό των μέσων παραγωγής μειώνεται η διάρκεια, συχνά όμως με αντίστοιχη αύξηση του κόστους. Αντίθετα, μείωση του αριθμού των μέσων παραγωγής οδηγεί σε επιμήκυνση της διάρκειας της εργασίας αλλά και αύξηση του κόστους οφειλόμενη κυρίως στην αύξηση των γενικών εξόδων (δηλαδή, του έμμεσου κόστους, στο οποίο θα αναφερθούμε αναλυτικά στη συνέχεια). Το σχήμα 8 παρουσιάζει μία θεωρητική σχέση μεταξύ του κόστους και της διάρκειας μίας δραστηριότητας. Για την επεξήγηση του σχήματος θεωρούμε ως δραστηριότητα την εκσκαφή ενός χαντακιού με χειρωνακτική εργασία (Χασιακός, 2006). Το σημείο Α της καμπύλης αντιπροσωπεύει την κανονική διάρκεια (βλ. 4.7) όπου 10 εργάτες με κανονικές συνθήκες εργασίας χρειάζονται 5 ημέρες για να εκτελέσουν την εργασία. Το σημείο Β προκύπτει από την χρησιμοποίηση 5 εργατών που μπορούν να τελειώσουν την εργασία σε 10 ημέρες. Αν θεωρήσουμε μόνο το άμεσο κόστος (δηλαδή αυτό των εργατικών), το συνολικό κόστος της εργασίας στις περιπτώσεις Α και Β είναι το ίδιο (αυτό που αντιστοιχεί σε 50 εργατοημέρες. Αν η εκσκαφή πρέπει να τελειώσει σε λιγότερες από 5 ημέρες τότε απαιτείται μεγαλύτερος αριθμός εργατών ή απασχόληση σε υπερωριακή βάση. Η αύξηση του αριθμού των εργατών (πλέον κάποιου αριθμού, που για το συγκεκριμένο παράδειγμα έστω ότι είναι το 10) δεν συντελεί σε ανάλογη μείωση της διάρκειας είτε λόγω φυσικών περιορισμών (περιορισμένος χώρος εργασίας) ή λόγω διατάραξης της ισορροπίας του κανονικού συνεργείου των εργατών.

66 38 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της παραγωγικότητας και την αύξηση του συνολικού κόστους της εργασίας. Το ίδιο αποτέλεσμα έχει και η υπερωριακή απασχόληση αφού μειώνεται η διάρκεια, μειώνεται όμως παράλληλα η αποδοτικότητα των εργατών λόγω κόπωσης και καταβάλλεται υψηλότερη αποζημίωση για κάθε χρονική μονάδα εργασίας. Η διάρκεια εκτέλεσης μίας εργασίας δεν μπορεί να μειώνεται απεριόριστα. Πρακτικά, υπάρχει ένα ανώτατο όριο στον αριθμό των εργατών πέραν του οποίου η εργασία γίνεται υπερβολικά μη αποδοτική και το κόστος αυξάνει κατακόρυφα. Το όριο αυτό καθορίζει την ελάχιστη διάρκεια της δραστηριότητας (σημείο Γ). Σχήμα 8. Θεωρητική σχέση μεταξύ του κόστους και της διάρκειας μιας δραστηριότητας Πηγή: Χασιακός, 2006 Ιδία επεξεργασία Σημεία της καμπύλης δεξιά του σημείου Β αντιστοιχούν σε μικρές ομάδες εργασίας (λιγότεροι από 5 εργάτες στο παράδειγμα). Το αποτέλεσμα χρήσης ανεπαρκούς συνεργείου είναι η μη αποδοτική εργασία που συντελεί στη μείωση της παραγωγικότητας και στην αύξηση του κόστους. Εφόσον ο στόχος του προγραμματισμού των έργων είναι η κατά το δυνατόν συνδυασμένη μείωση του κόστους και του χρόνου κατασκευής, το ενδιαφέρον τμήμα του διαγράμματος είναι αυτό μεταξύ της ελάχιστης διάρκειας Γ και της κανονικής διάρκειας Α. Δεξιά του σημείου Α η διάρκεια αυξάνει, ενώ το κόστος παραμένει σταθερό ή αυξάνει. Αριστερά του σημείου Γ, το κόστος αυξάνει χωρίς να υπάρχει μείωση της διάρκεια. Γενικά, η βέλτιστη διάρκεια μιας δραστηριότητας (αυτή για την οποία το συνολικό κόστος, δηλαδή το άμεσο κόστος και τα γενικά έξοδα, γίνεται ελάχιστο) αντιστοιχεί στο σημείο Α, ή στο σημείο Γ, ή σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο.

67 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 39 Ο βασικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται στην διαχείριση έργου για την εκτίμηση της διάρκειας μιας δραστηριότητας είναι: Αιτιοκρατική προσέγγιση: Η αιτιοκρατική προσέγγιση αγνοεί την αβεβαιότητα και επομένως έχει σαν αποτέλεσμα μία συγκεκριμένη εκτίμηση. Όταν υπάρχουν προηγούμενα δεδομένα για μια δραστηριότητα παρόμοια με αυτήν που εξετάζεται και η διαφοροποίηση στον χρόνο εκτέλεσης είναι αμελητέα, η διάρκεια της δραστηριότητας είναι δυνατόν να εκτιμηθεί από τη μέση τιμή της, δηλαδή, τον μέσο χρόνο που απαιτήθηκε για την εκτέλεση της δραστηριότητας στο παρελθόν. Στοχαστική προσέγγιση. Η στοχαστική προσέγγιση εξετάζει τα πιθανολογικά στοιχεία ενός έργου εκτιμώντας τόσο την προσδοκώμενη διάρκεια κάθε δραστηριότητας όσο και την αντίστοιχη διακύμανσή της. Βασίζεται στην ανάλυση παλαιότερων δεδομένων και βάση αυτών κατασκευάζεται μια κατανομή συχνότητας των σχετικών διαρκειών των δραστηριοτήτων. Οι πληροφορίες της κατανομή συνοψίζονται με βάση δύο κριτήρια: το πρώτο συνδέεται με το κέντρο της κατανομής (οι δείκτες που χρησιμοποιούνται συχνά είναι η μέση τιμή, η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος) και το δεύτερο σχετίζεται με το εύρος της κατανομής (οι δείκτες που χρησιμοποιούνται συχνά είναι η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και διατεταρτημοριακό εύρος). Συνήθως, προσαρμόζονται τα δεδομένα σε μια συνεχή κατανομή, που είναι δυνατόν να παρουσιασθεί μαθηματικά με κλειστή μορφή (π.χ. κανονική κατανομή, κατανομή βήτα, κ.λπ.). Αν δεν υπάρχουν προηγούμενα δεδομένα για την εκτέλεση της δραστηριότητας, εφαρμόζονται εναλλακτικές τεχνικές προσδιορισμού της διάρκειάς της, όπως η στοιχειακή τεχνική (ανάλυση κάθε δραστηριότητας σε υποδραστηριότητες ή στοιχεία), η τεχνική με βάση την εργασία αναφοράς (που αφορά κυρίως σε έργα που περιλαμβάνουν πολλές επαναλήψεις τυποποιημένων δραστηριοτήτων) και η παραμετρική τεχνική (που βασίζεται στην ανάλυση αιτίου αποτελέσματος). Παρά το γεγονός, ότι οι δραστηριότητες ενός έργου υπόκεινται σε τυχαίες δυνάμεις και άλλες αβεβαιότητες, η πλειονότητα των διαχειριστών έργου και ερευνητών προτιμά την αιτιοκρατική προσέγγιση για λόγους απλούστευσης. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα είναι ότι, στις περισσότερες περιπτώσεις, δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα Σχέσεις Προτεραιότητας μεταξύ των Δραστηριοτήτων Ορισμένες δραστηριότητες δεν είναι δυνατόν να εκτελεσθούν αν δεν έχουν ολοκληρωθεί κάποιες άλλες δραστηριότητες προηγουμένως. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να μεταφέρουμε ένα βαρύ στοιχείο εξοπλισμού, ίσως απαιτείται αυτό να αποσυναρμολογηθεί ή τουλάχιστον να αφαιρεθούν κάποια μέρη του πριν από

68 40 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ την φόρτωσή του στο φορτηγό. Κατά αυτό τον τρόπο, το έργο της «μεταφοράς» πρέπει να υποδιαιρεθεί σε δραστηριότητες μεταξύ των οποίων ισχύουν σχέσεις προτεραιότητας/ διαδοχής. Γενικά, ο χρονοπρογραμματισμός των δραστηριοτήτων περιορίζεται από τη διαθεσιμότητα των πόρων που απαιτούνται για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας και από τεχνολογικούς περιορισμούς που είναι γνωστοί ως σχέσεις προτεραιότητας. Οι σχέσεις προτεραιότητας εκφράζουν την χρονική διαδοχή και τον τρόπο εξάρτησης των δραστηριοτήτων του έργου. Σχέσεις προτεραιότητας δραστηριοτήτων Υπάρχουν 4 γενικοί τύποι σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ δραστηριοτήτων. Ο συνηθέστερος απαιτεί την ολοκλήρωση της προηγούμενης δραστηριότητας προκειμένου να ξεκινήσει η επόμενη/ σχέση λήξης έναρξης, Finish to Start (FS). Σχέση έναρξης έναρξης/ Start to Start (SS) υπάρχει όταν μια δραστηριότητα μπορεί να ξεκινήσει μόνο αφού ξεκινήσει μια άλλη συγκεκριμένη δραστηριότητα, ενώ η σχέση λήξης λήξης/ Finish to Finish (FF) χρησιμοποιείται όταν μια δραστηριότητα δεν μπορεί να λήξει, αν δεν ολοκληρωθεί προηγουμένως μία άλλη δραστηριότητα. Η σχέση έναρξης λήξης/ Start to Finish (FF) χρησιμοποιείται όταν η ολοκλήρωση μίας δραστηριότητας απαιτεί την έναρξη μιας άλλης δραστηριότητας του έργου. Στις σχέσεις αυτές μπορεί να προστεθεί μια χρονική καθυστέρηση, η οποία μπορεί να εκφραστεί είτε ως μονάδες του χρόνου (π.χ. 2 ημέρες) είτε ποσοστιαία (% της διάρκειας). Σε αυτές τις περιπτώσεις, αναφερόμαστε σε γενικευμένες σχέσεις διαδοχής μεταξύ των δραστηριοτήτων του έργου οι οποίες, αν και εξ ορισμού πιο σύνθετες, περιγράφουν με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τα δεδομένα των πραγματικών έργων. Οι γενικευμένες σχέσεις ανάμεσα σε δύο διαδοχικές δραστηριότητες i και j ενός έργου, προσδιορίζονται από τις σχέσεις που περιγράφονται στο σχήμα 9. Όπου: si: ο χρόνος έναρξης της δραστηριότητας i sj: ο χρόνος έναρξης της δραστηριότητας j fi: ο χρόνος λήξης της δραστηριότητας i fj: ο χρόνος λήξης της δραστηριότητας j d: χρονική καθυστέρηση Σχήμα 9. Διαγραμματική απεικόνιση των γενικευμένων σχέσεων διαδοχής ανάμεσα σε δύο δραστηριότητες Πηγή: Sakellaropoulos S., Chassiakos A., 2004

69 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 41 Ο μεγάλος αριθμός των σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων, συχνά καθιστά δύσκολη την λεκτική περιγραφή για την μετάδοση του αντίκτυπου των περιορισμών στον χρονοπρογραμματισμό. Για τον λόγο αυτό, χρησιμοποιούνται συχνά γραφικές αναπαραστάσεις. Τα τρία μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση των σχέσεων προτεραιότητας και του αντίκτυπου τους στον χρονοπρογραμματισμό είναι το διάγραμμα Gantt, η τεχνική CPM και η τεχνική PERT τα οποία περιγράφονται συνοπτικά στην αμέσως επόμενη ενότητα (βλ. 3.4). Όπως προκύπτει από τις παραγράφους που προηγήθηκαν, οι γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες αποτελούν υπερσύνολο των απλών σχέσεων διαδοχής και όταν λαμβάνονται υπόψη καθιστούν πιο σύνθετο το χρονοπρόγραμμα του έργου. Στις ερευνητικές εργασίες των προβλημάτων κατανομής πόρων και τις προτεινόμενες από τους μελετητές μεθοδολογίες βελτιστοποίησης (κεφάλαιο 6) συνήθως επιλέγονται οι απλές σχέσεις για να περιγράψουν την διαδοχή των δραστηριοτήτων για λόγους ευκολίας. Στην παρούσα Διατριβή, το προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης (κεφάλαιο 7) δομείται λαμβάνοντας υπόψη την γενικότερη περίπτωση των σχέσεων διαδοχής (γενικευμένες σχέσεις) των δραστηριοτήτων, γεγονός που αποτελεί σημαντική παράμετρο καινοτομίας της προτεινόμενης μεθοδολογίας επίλυσης Απαιτούμενο Κόστος Απαιτούμενοι Πόροι Το κόστος στα τεχνικά έργα αποτελείται από γενικές και ειδικές δαπάνες που σχετίζονται άμεσα με τους απαιτούμενους πόρους. Συγκεκριμένα: Δαπάνες για την προμήθεια και τη φθορά των υλικών. Περιλαμβάνουν τις δαπάνες αγοράς, μεταφοράς, ενδεχόμενης ασφάλισης και αποθήκευσης των υλικών. Στην εκτίμηση των παραπάνω δαπανών πρέπει να συνυπολογιστεί ένα ποσοστό φθοράς του υλικού αλλά πιθανή μη χρήση ενός μέρους του υλικού. Δαπάνες για την αμοιβή του εργατοτεχνικού προσωπικού. Οι δαπάνες για τις αμοιβές του προσωπικού εκτιμούνται δύσκολα καθώς έχουν άμεση σχέση με την παραγωγικότητα και την εμπειρία του προσωπικού, ενώ περιλαμβάνουν, εκτός της άμεσης χρηματικής αποζημίωσης, και ποσά για δώρα και εισφορές (ασφαλιστικός φορέας, εφορία, κ.λπ.). Δαπάνες για τη λειτουργία και απόσβεση των μηχανημάτων. Αφορούν την κατανάλωση καυσίμων, λιπαντικών και ανταλλακτικών εξαρτημάτων καθώς και την συντήρηση ή επισκευή των βλαβών. Οι δαπάνες απόσβεσης των μηχανημάτων έχουν σκοπό να ανακτήσουν το κεφάλαιο που δαπανήθηκε για την αγορά τους. Η απόσβεση αντιπροσωπεύει τη μείωση της αξίας του μηχανήματος λόγω: (α) της χρήσης του σε ένα συγκεκριμένο έργο (που συνεπάγεται φθορά) και (β) του χρόνου χρήσης του (που συντελεί στη

70 42 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ γήρανση του). Από εμπειρικές διαπιστώσεις προκύπτει ότι τα μηχανήματα χάνουν το μεγαλύτερο μέρος της αξίας τους στα πρώτα χρόνια της ζωής τους και μικρότερο προς το τέλος. Δαπάνες για τη διοίκηση και λειτουργία του εργοταξίου. Αποτελούνται από τις αμοιβές του προσωπικού διοίκησης και υποστήριξης και τις δαπάνες των δικτύων ενέργειας (τηλεπικοινωνίες, νερό, κ.λπ.). Δαπάνες για την εγκατάσταση και την αποξήλωση του εργοταξίου. Περιλαμβάνουν τις δαπάνες που απαιτούνται για τα χωματουργικά έργα διαμόρφωσης του χώρου του εργοταξίου, τα δάπεδα εργασίας, τους δρόμους μεταφοράς, την εγκατάσταση του μηχανισμού διοίκησης και υποστήριξης, τη μεταφορά του εξοπλισμού και, μετά το πέρας του έργου, την απομάκρυνση του εργοταξίου και την αποκατάσταση του περιβάλλοντος. Γενικές δαπάνες και όφελος του αναδόχου του έργου. Καλύπτουν τα έξοδα λειτουργίας των κεντρικών υπηρεσιών (του γραφείου) της επιχείρησης (ενοίκια και εξοπλισμός γραφείου, αμοιβές προσωπικού, ταξίδια, κ.λπ.). Το άθροισμα των γενικών εξόδων και του οφέλους του εργολάβου λαμβάνεται σαν ποσοστό των υπολοίπων δαπανών. Μια άλλη κατηγοριοποίηση του κόστους τεχνικών έργων, που θα μας απασχολήσει στο προτεινόμενο μοντέλο της παρούσας Διατριβής είναι αυτή του άμεσου και του έμμεσου κόστους. Άμεσο κόστος. Το άμεσο κόστος (Direct Cost - DC) είναι ανάλογο του μεγέθους του έργου (του μεγέθους παραγωγής) και αφορά τις δαπάνες των απαιτούμενων πόρων (υλικά, προσωπικό, μηχανήματα, κ.λπ.) (για τις κατηγορίες των απαιτούμενων πόρων βλ. 4.4). Αποτελείται από τα άμεσα κόστη των επιμέρους εργασιών που συνθέτουν το έργο. Το άμεσο κόστος μίας εργασίας είναι ανάλογο της απαιτούμενης ποσότητας έργου και των υλικών, εξαρτάται όμως και από το χρόνο εκτέλεσής της, όπως διαπιστώθηκε στην Έμμεσο κόστος. Το έμμεσο κόστος (Indirect Cost IC) περιλαμβάνει όλες τις άλλες δαπάνες. Αναφέρεται στο σύνολο του έργου και όχι σε κάθε εργασία ξεχωριστά. Γενικά, είναι ανάλογο της συνολικής διάρκειας του έργου (δαπάνες διοίκησης και λειτουργίας του εργοταξίου, γενικές δαπάνες αναδόχου, κ.λπ.) αλλά και του είδους και του μεγέθους του έργου (δαπάνες εγκατάστασης αποξήλωσης του εργοταξίου, όφελος εργολάβου). Η τυπική μορφή των καμπύλων άμεσου, έμμεσου και συνολικού κόστος ενός έργου σαν συνάρτηση της διάρκειάς του φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Η βέλτιστη διάρκεια του έργου είναι αυτή που αντιστοιχεί στο ελάχιστο συνολικό κόστος.

71 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 43 Σχήμα 10. Τυπική μορφή καμπύλων άμεσου, έμμεσου και συνολικού κόστους Πηγή: Χασιακός, Ανάλυση Δομής Έργου Τεχνικές Δικτύων Η βασική προσέγγιση για τον χρονοπρογραμματισμό κάθε έργου συνίσταται στη διαμόρφωση ενός πραγματικού ή νοητού δικτύου, το οποίο απεικονίζει με γραφικό τρόπο τις σχέσεις μεταξύ των εργασιών και των οροσήμων του έργου. Δίκτυο έργου Στα τέλη της δεκαετίας του 1950 αναπτύχθηκαν διάφορες τεχνικές για την οργάνωση και την απεικόνιση των βασικών αυτών πληροφοριών. Από τις πιο γνωστές και ευρέως διαδεδομένες σήμερα, όπως ήδη αναφέρθηκε στην 2.1, είναι η τεχνική αξιολόγησης και αναθεώρησης προγράμματος (PERT) και η μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (CPM). Η σημαντικότερη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι η CPM θεωρεί ότι οι χρόνοι των δραστηριοτήτων έχουν αιτιοκρατικό χαρακτήρα, ενώ η PERT εκλαμβάνει τον χρόνο για την ολοκλήρωση μιας δραστηριότητας ως μια τυχαία μεταβλητή, η οποία μπορεί να χαρακτηρισθεί από μια αισιόδοξη, μια απαισιόδοξη και μια πιθανότερη εκτίμηση όσον αφορά στην διάρκεια της. Με την πάροδο του χρόνου, εμφανίστηκαν πολλές εκδοχές των τεχνικών αυτών, κυρίως για να αντιμετωπισθούν συγκεκριμένες πτυχές του προβλήματος της παρακολούθησης και του ελέγχου, όπως οι διακυμάνσεις του προϋπολογισμού, οι πολύπλοκες εξαρτήσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων και η πληθώρα των αβεβαιοτήτων. Οι τεχνικές PERT και CPM βασίζονται σε ένα διάγραμμα που απεικονίζει το σύνολο του έργου ως ένα δίκτυο αποτελούμενο από βέλη και κόμβους. Οι δύο πιο διαδεδομένες προσεγγίσεις είναι: (α) είτε να τοποθετηθούν οι δραστηριότητες σε βέλη με τους κόμβους να υποδηλώνουν τα ορόσημα ή, διαφορετικά, τα γεγονότα

72 44 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ του έργου, (β) είτε να τοποθετηθούν οι δραστηριότητες σε κόμβους, με τα βέλη να δείχνουν τις σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Η αναπαράσταση της ροής εκτέλεσης ενός έργου με δικτυωτό γράφημα στο οποίο τα βέλη αντιπροσωπεύουν τις δραστηριότητες και οι κόμβοι τα γεγονότα, συνθέτει τον χρονικό προγραμματισμό με τοξωτά δικτυωτά γραφήματα (Activity on Arrow networks ΑΟΑ). Η αναπαράσταση της ροής εκτέλεσης ενός έργου με δικτυωτό γράφημα στο οποίο οι κόμβοι αντιπροσωπεύουν τις δραστηριότητες και τα βέλη τις αλληλεξαρτήσεις τους (σχέσεις προτεραιότητας) (Activity on Node networks ΑΟΝ). Τοξωτό δικτυωτό γράφημα Κομβικό δικτυωτό γράφημα Γεγονός (event) είναι μια χρονική στιγμή που ορίζει την έναρξη ή το πέρας μιας ή περισσοτέρων δραστηριοτήτων. Γεγονός Τα δίκτυα ΑΟΑ συνδέονται στενότερα με την ανάλυση PERT, μπορούν όμως επίσης να εφαρμοσθούν στην CPM. Σύμφωνα με τους ερευνητές, οι τεχνικές δικτύων αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της διαχείρισης έργου και συνεπάγονται τα εξής οφέλη (Clark and Fujimoto, 1989, Meredith and Mantel, 1999) 6 : Παρέχουν ένα συνεκτικό και ολοκληρωμένο πλαίσιο για τον σχεδιασμό, τον χρονοπρογραμματισμό, την παρακολούθηση και τον έλεγχο των έργων. Απεικονίζουν την αλληλεξάρτηση όλων των δραστηριοτήτων και των μονάδων εργασίας. Συμβάλουν στην θέσπιση των κατάλληλων καναλιών επικοινωνίας μεταξύ των συμμετεχουσών οργανώσεων και διοικήσεων. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση των αναμενόμενων ημερομηνιών ολοκλήρωσης του έργου, καθώς και της πιθανότητας να ολοκληρωθεί το έργο μέχρι μια συγκεκριμένη ημερομηνία. Προσδιορίζουν τις λεγόμενες κρίσιμες δραστηριότητες οι οποίες, αν καθυστερήσουν, καθυστερούν την ολοκλήρωση του έργου. Προσδιορίζουν επίσης τις δραστηριότητες που διαθέτουν χρονικά περιθώρια (μη κρίσιμες) και επομένως μπορούν να καθυστερήσουν για συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα χωρίς κυρώσεις ή από τις οποίες είναι δυνατόν να αφαιρεθούν πόροι χωρίς αρνητικές συνέπειες. Καθορίζουν τις ημερομηνίες κατά τις οποίες είναι δυνατόν ή πρέπει να ξεκινήσουν και να ολοκληρωθούν οι δραστηριότητες προκειμένου να τηρηθεί ο χρονοπρογραμματισμός του έργου. 6 Στο Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008

73 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 45 Απεικονίζουν τις δραστηριότητες που πρέπει να υποβληθούν σε συντονισμό προκειμένου να αποφευχθούν οι συγκρούσεις μεταξύ της χρήσης πόρων και της χρονικής στιγμής εκτέλεσής τους. Δείχνουν, ποιες δραστηριότητες είναι δυνατόν ή πρέπει να εκτελεσθούν παράλληλα για να τηρηθεί η προκαθορισμένη ημερομηνία ολοκλήρωσής τους. Για την κατασκευή των δικτυωτών γραφημάτων απαιτούνται δύο (2) βασικοί υπολογισμοί: Ο πρώτος υπολογισμός, γνωστός ως ομόρροπος υπολογισμός (στην κατεύθυνση της ροής του έργου) καθορίζει τον ενωρίτερο χρόνο κάθε γεγονότος (earliest event time). Ο ενωρίτερος χρόνος γεγονότος καθορίζει τον ελάχιστο δυνατό χρόνο (από την αρχή του έργου) ολοκλήρωσης/ περάτωσης όλων των προηγούμενων δραστηριοτήτων που συγκλίνουν στο γεγονός αυτό. Ομόρροπος Υπολογισμός - Ενωρίτερος Χρόνος Ο δεύτερος υπολογισμός αφορά στον βραδύτερο χρόνο επίτευξης κάθε γεγονότος. Ο υπολογισμός αυτός ακολουθεί αντίθετη φορά από αυτήν της ροής του έργου (αντίρροπος υπολογισμός). Ο βραδύτερος χρόνος γεγονότος (latest event time) ορίζεται ως ο μέγιστος χρόνος από την έναρξη του έργου, κατά τον οποίο πρέπει να επιτευχθεί ένα γεγονός χωρίς να προκληθεί καθυστέρηση στην ολοκλήρωση του έργου. Αντίρροπος Υπολογισμός - Βραδύτερος Χρόνος Τα βασικά πλεονεκτήματα της κομβικής μορφής, σε σύγκριση με την τοξωτή είναι ότι δεν απαιτούνται πλασματικές δραστηριότητες, η σύνθεση του δικτυωτού γραφήματος είναι σχετικά απλή και παρέχεται η δυνατότητα άμεσης ανάγνωσης των χρονικών στοιχείων κάθε δραστηριότητας από το διάγραμμα. Επιπλέον, παρέχει τη δυνατότητα παρουσίασης χρονικά επικαλυπτόμενων εργασιών χωρίς την ανάγκη διάσπασης κάθε δραστηριότητας σε τμήματα όπως απαιτείται στο τοξωτό δικτυωτό γράφημα. Τα στοιχεία αυτά έχουν κάνει την κομβική μορφή του δικτυωτού γραφήματος να χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο σήμερα στα πακέτα Η/Υ χρονικού προγραμματισμού. Από την άλλη πλευρά, το τοξωτό δικτυωτό γράφημα παρέχει μία καλύτερη εποπτεία της ανάπτυξης του έργου ως προς την αλληλουχία των δραστηριοτήτων, τα γεγονότα κόμβοι δίνουν μια σαφή εικόνα της ενωρίτερης έναρξης και του βραδύτερου πέρατος των δραστηριοτήτων και ακόμα το ευθύγραμμο γράφημα σχεδιάζεται ευκολότερα με βάση το ΑΟΑ παρά με βάση το ΑΟΝ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1 Για λόγους κατανόησης, στη συνέχεια παρατίθεται ένα απλό παράδειγμα έργου με 11 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί.

74 46 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ Πίνακας 4. Παράδειγμα 3.1 (11 δραστηριότητες, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα Δραστηριότητα Αμέσως προηγούμενη Διάρκεια (ημέρες) j dj A - 30 B - 15 C - 25 D A 3 E C 7 F B 1 G D, F 5 H D, F 2 I E, F 4 J H, I 10 K G, J 8 Το τοξωτό δικτυωτό γράφημα του παραπάνω έργου αναπαριστάται στο σχήμα 11, ενώ το κομβικό δικτυωτό γράφημα στο σχήμα 12. Το τοξωτό δικτυωτό γράφημα περιλαμβάνει 10 γεγονότα, 13 δραστηριότητες και 2 πλασματικές δραστηριότητες. Οι ενωρίτεροι χρόνοι των γεγονότων φαίνονται μέσα σε τετράγωνα και οι βραδύτεροι μέσα σε τρίγωνα, κατά τους γενικούς κανόνες κατασκευής τοξωτών δικτυωτών γραφημάτων και απεικόνισης των βασικών μεγεθών του χρονικού προγραμματισμού. Με έντονη μπλε σκίαση αποτυπώνονται τα κρίσιμα γεγονότα (ΑΟΑ) και οι κρίσιμες δραστηριότητες, αντίστοιχα (ΑΟΝ). Στην αντίστοιχη εφαρμογή που κατασκευάστηκε με χρήση του λογισμικού MS Project οι κρίσιμες δραστηριότητες σημειώνονται με κόκκινη σκίαση. Σχήμα 11. Παράδειγμα 3.1 Τοξωτό δικτυωτό γράφημα του έργου

75 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 47 Σχήμα 12. Παράδειγμα 3.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου Σχήμα 13. Παράδειγμα 3.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου με χρήση του MS Project Πηγή: Ιδία Επεξεργασία Η λογική και οι κανόνες κατασκευής των δικτυωτών γραφημάτων αλλά και ο τρόπος υπολογισμού των βασικών μεγεθών του χρονικού προγραμματισμού (ενωρίτερος βραδύτερος χρόνος, ανοχές, κ.λπ.) αναλύονται λεπτομερώς στην βιβλιογραφία. Στο πλαίσιο της παρούσας, θεωρούνται δεδομένα, με στόχο η ανάλυση να υπεισέλθει σταδιακά στην ειδική κατηγορία προβλημάτων που καλείται κατανομή πόρων στα τεχνικά έργα με περιορισμούς (RCSP) Κρίσιμη Διαδρομή Η διαφορά μεταξύ των χρόνων έναρξης (ή λήξης) μιας δραστηριότητας στους δύο χρονοπρογραμματισμούς ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης είναι το χρονικό περιθώριο (float ή slack) της δραστηριότητας. Οι δραστηριότητες που δεν έχουν χρονικό περιθώριο ή, διαφορετικά, έχουν τον ίδιο ενωρίτερο και τον ίδιο βραδύτερο χρόνο έναρξης και λήξης, χαρακτηρίζονται κρίσιμες. Η αλληλουχία των κρίσιμων δραστηριοτήτων που συνδέουν μεταξύ τους τα σημεία έναρξης και λήξης του έργου, είναι γνωστή ως κρίσιμη διαδρομή (critical path), από όπου προέρχεται και η ονομασία τη μεθόδου της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method CPM). Χρονικό περιθώριο δραστηριότητας Κρίσιμες δραστηριότητες Κρίσιμη διαδρομή

76 48 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ Η κρίσιμη διαδρομή αρχίζει από την αρχή και καταλήγει στο τέλος του έργου και διέρχεται από τα κρίσιμα γεγονότα ή, διαφορετικά, περιλαμβάνει τις κρίσιμες διαδρομές. Κάθε δικτυωτό γράφημα έργου πρέπει να έχει τουλάχιστον μία κρίσιμη διαδρομή, υπάρχει όμως η πιθανότητα να υπάρχουν δύο ή περισσότερες. Σε μικρά έργα η κρίσιμη διαδρομή μπορεί να καθοριστεί εποπτικά, σε πολύπλοκα όμως δίκτυα είναι απαραίτητο να προηγηθούν ο ομόρροπος και ο αντίρροπος υπολογισμός και να καθοριστούν οι ενωρίτεροι και οι βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων. Μια καθυστέρηση σε οποιαδήποτε δραστηριότητα της κρίσιμης διαδρομής καθυστερεί το συνολικό έργο. Με άλλα λόγια, το άθροισμα των διαρκειών των κρίσιμων δραστηριοτήτων εκφράζει τον συντομότερο δυνατό χρόνο για την ολοκλήρωση του έργου. Η κρίσιμη διαδρομή μπορεί να καθοριστεί με διάφορους τρόπους κάνοντας χρήση των διαφορετικών ιδιοτήτων της (π.χ. καθορισμός μέσα από τα κρίσιμα γεγονότα, θεώρηση όλων των δυνατών διαδρομών από την αρχή έως το τέλος του έργου και επιλογή εκείνης με την μεγαλύτερη διάρκεια, με βάση τα χρονικά περιθώρια, κ.λπ.). Στην σύγχρονη βιβλιογραφία αναλύονται διεξοδικά οι τρόποι υπολογισμού της κρίσιμης διαδρομής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1 (συν.) Τα βασικά μεγέθη χρονοπρογραμματισμού του έργου και η κρίσιμη διαδρομή του Παραδείγματος 3.1 της προηγούμενης παραγράφου ( 3.4.1), παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Με *ΚΔ σημειώνονται οι κρίσιμες δραστηριότητες του έργου, άρα και η κρίσιμη διαδρομή. Πίνακας 5. Παράδειγμα 3.1 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Ενωρίτερη Βραδύτερη Δραστη ριότητα Αμέσως προηγού μενη Διάρκεια (ημέρες) Έναρξη Πέρας Έναρξη Πέρας Ολικό Περιθώριο Ελεύθερο Περιθώριο ΚΔ j dj ES EF LS LF TF FF A B C *ΚΔ D 2-7 A E 4-5 C *ΚΔ F 3-6 B G 7-9 D, F H 6-8 D, F Ι 5-8 E, F *ΚΔ J 8-9 H, I *ΚΔ K 9-10 G, J *ΚΔ

77 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 49 Σύμφωνα με τα παραπάνω, η κρίσιμη διαδρομή του έργου του Παραδείγματος 1 προσδιορίζεται από τις δραστηριότητες: C E I J K και η διάρκεια του έργου διαμορφώνεται στις 54 ημέρες. Πρόκειται για τη μεγαλύτερη χρονικά διαδρομή μεταξύ αρχής και τέλους του έργου. Με άλλα λόγια, η συνολική διάρκεια της κρίσιμης διαδρομής είναι η μεγαλύτερη από τις διάρκειες όλων των δυνατών διαδρομών μεταξύ αρχής και τέλους του έργου Ευθύγραμμο Γράφημα Διάγραμμα Gantt Το εργαλείο διαχείρισης που χρησιμοποιείται ευρέως για τον χρονικό προγραμματισμό και τον έλεγχο των έργων είναι μια εκδοχή του ραβδογράμματος που ανέπτυξε στην διάρκεια του Α παγκόσμιου πολέμου ο Henry L. Gantt. Το διάγραμμα Gantt απαριθμεί τις δραστηριότητες που πρέπει να εκτελεσθούν στον κάθετο άξονα και τις αντίστοιχες διάρκειές τους στον οριζόντιο άξονα, Ο χρονοπρογραμματισμός των δραστηριοτήτων είναι δυνατόν να γίνει βάση της λογικής ενωρίτερης έναρξης ή βραδύτερης έναρξης. Στην προσέγγιση ενωρίτερης έναρξης, κάθε δραστηριότητα ξεκινά όσο το δυνατόν νωρίτερα χωρίς να παραβιάζονται οι σχέσεις προτεραιότητας. Στην προσέγγιση βραδύτερης έναρξης, κάθε δραστηριότητα καθυστερεί όσο το δυνατόν περισσότερο εφόσον δεν επηρεάζεται ο ενωρίτερος χρόνος λήξης του έργου. Στο διάγραμμα Gantt παράγεται ένα φάσμα χρονοπρογραμματισμών, εάν εφαρμοσθεί ένας συνδυασμός ενωρίτερης (ομόρροπος υπολογισμός) και βραδύτερης έναρξης (αντίρροπος υπολογισμός) για τις διαφορετικές δραστηριότητες του έργου. Το ευθύγραμμο γράφημα μπορεί να απεικονίσει παράλληλα με τις πληροφορίες του προγραμματισμού, και άλλες σχετικά με την πρόοδο του έργου στην φάση της εκτέλεσης. Αυτές οι πληροφορίες αφορούν στον πραγματικό χρόνο έναρξης και πέρατος των δραστηριοτήτων που έχουν ολοκληρωθεί αλλά και την έναρξη και την πρόοδο αυτών που βρίσκονται σε εξέλιξη. Το ευθύγραμμο γράφημα αναπτύχθηκε πριν από τα δικτυωτά γραφήματα και για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα υπήρξε η μόνη χρησιμοποιούμενη μέθοδος συστηματικού προγραμματισμού έργων. Ο κύριος περιορισμός των διαγραμμάτων Gantt είναι ότι δεν είναι σε θέση να δείξουν τις αλληλεξαρτήσεις μεταξύ εργασιών και τις αντισταθμίσεις χρόνου πόρων. Αυτά τα μειονεκτήματα, που είναι περισσότερο διακριτά σε μεγάλα έργα (με πολλές δραστηριότητες) οδήγησε στην ανάπτυξη των δικτυωτών γραφημάτων. Σήμερα, τεχνικές δικτύων χρησιμοποιούνται παράλληλα με τα διαγράμματα Gantt για τον ολοκληρωμένο προγραμματισμό των έργων. Ακολουθούν δύο απλά παραδείγματα έργων για τα οποία έχει κατασκευαστεί το διάγραμμα Gantt.

78 50 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1 (συν.) Το διάγραμμα Gantt χρονοπρογραμματισμού του έργου του Παραδείγματος 3.1 της παρουσιάζεται στο σχήμα 14. Σχήμα 14. Παράδειγμα 3.1 Διάγραμμα Gantt με χρήση του MS Project ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.2 Στη συνέχεια παρατίθεται ένα απλό παράδειγμα έργου το οποίο αποτελείται από 2 υποέργα και 7 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν γενικευμένες σχέσεις διαδοχής (βλ ). Το πρόγραμμα επιλύεται εμπειρικά, όπως επίσης και με τα ευρέως διαδεδομένα πακέτα λογισμικών διαχείρισης έργων MS Project (σχήμα 16, 17) και Oracle Primavera P6 (σχήμα 18). Πίνακας 6. Παράδειγμα 3.2 Δεδομένα του προβλήματος Υποέργο Δραστηριότητα Διάρκεια (ημέρες) Εξαρτάται από Σχέση διαδοχής ΥΠΟΕΡΓΟ 1 Α Β Γ ΥΠΟΕΡΓΟ 2 Δ 2 Α FS-1 Ε 7 Α FF+6 Ζ 7 Β FS Ζ 7 Γ FS+1 Ζ 7 Δ SS+1 Η 9 Γ SS+1

79 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 51 Πίνακας 7. Παράδειγμα 3.2 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστηριότητα ΥΠΟΕΡΓΟ 1 Εξαρτάται από Διάρκεια (ημέρες) Ενωρίτερη Βραδύτερη Έναρξη Πέρας Έναρξη Πέρας Ολικό Περιθώριο Ελεύθερο Περιθώριο j dj ES EF LS LF TF FF Α Β *ΚΔ Γ ΥΠΟΕΡΓΟ 2 Δ A Ε A Ζ Β, Γ, Δ *ΚΔ Η Γ ΚΔ Σχήμα 15. Παράδειγμα 3.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου Σχήμα 16. Παράδειγμα 3.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα με χρήση του MS Project

80 52 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ Σχήμα 17. Παράδειγμα 3.2 Διάγραμμα Gantt με χρήση του MS Project Σχήμα 18. Παράδειγμα 3.2 Διάγραμμα Gantt με χρήση του Oracle Primaver P6 Πηγή: Ιδία Επεξεργασία Αντιμετώπιση της Αβεβαιότητας Μέθοδος PERT Η CPM θεωρεί ότι η διάρκεια μιας δραστηριότητας είτε είναι γνωστή και αιτιοκρατική είτε μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια συγκεκριμένη εκτίμηση για να την προσδιορίσει, όπως η μέση ή η επικρατούσα τιμή. Δεν προβλέπει τη διαφοροποίηση των δραστηριοτήτων, Όταν οι διακυμάνσεις στον χρόνο εκτέλεσης είναι χαμηλές, η υπόθεση αυτή δικαιολογείται εύλογα και έχει αποδειχθεί εμπειρικά ότι παράγει ακριβή αποτελέσματα. Ωστόσο, όταν υπάρχουν υψηλότερα επίπεδα αβεβαιότητας, η CPM ενδέχεται να μην παρέχει πολύ καλή εκτίμηση του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου. Στις περιπτώσεις αυτές, χρειάζεται να ληφθούν υπόψη οι συνέπειες της αβεβαιότητας. Οι δύο συνηθέστερες προσεγγίσεις που έχουν αναπτυχθεί για τον σκοπό αυτό είναι η προσομοίωση Μόντε Κάρλο (προσομοίωση του έργου παράγοντας στην τύχη χρόνους εκτέλεσης για κάθε δραστηριότητα από τις αντιλαμβανόμενες κατανομές τους) και η μέθοδος PERT (και οι επεκτάσεις της).

81 ΚΕΦ.3/ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ/ 53 Η μέθοδος PERT βασίζεται στο κεντρικό οριακό θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο η κατανομή του αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι περίπου κανονική, όταν ο αριθμός των όρων του αθροίσματος είναι επαρκώς μεγάλος. Υποθέτει ότι η διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μία ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή. Με δεδομένες τις πιθανολογικές διάρκειες των δραστηριοτήτων σε συγκεκριμένες διαδρομές, προκύπτει ότι ο χρόνος που μεσολαβεί για την επέλευση γεγονότων στις διαδρομές αυτές είναι επίσης πιθανολογικός. Η μέθοδος PERT παρέχει τη δυνατότητα να λάβουμε υπόψη τη στοχαστική φύση της διάρκειας των εργασιών και να υπολογίσουμε: Την πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο (ή μέρος αυτού) σε δεδομένο χρόνο, Την απαιτούμενη διάρκεια ώστε να ολοκληρωθεί το έργο (ή μέρος αυτού) με συγκεκριμένη πιθανότητα (π.χ. 90%). Μία αδυναμία της μεθόδου PERT, όπως αναπτύχθηκε παραπάνω είναι ότι αγνοεί όλες τις δραστηριότητες εκτός της κρίσιμης διαδρομής. Μια ακριβέστερη προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξέταση κάθε δυνατής διαδρομής και ο υπολογισμός της πιθανότητας περάτωσής της ανεξάρτητα από τις άλλες διαδρομές. Αυτό μπορεί να γίνει υποθέτοντας ότι το θεώρημα του κεντρικού ορίου ισχύει για κάθε διαδρομή (έστω και αν περιέχει μικρό αριθμό δραστηριοτήτων) και ότι οι διαδρομές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η δεύτερη παραδοχή σπάνια ισχύει αφού σε οποιοδήποτε έργο υπάρχουν δραστηριότητες που είναι κοινές σε διάφορες διαδρομές. Αν όμως η επικάλυψη είναι μικρή μπορούμε να δεχτούμε την ισχύ της παραδοχής και να υπολογίσουμε την πιθανότητα περάτωσης κάθε διαδρομής στον επιθυμητό χρόνο.

82

83 Κεφάλαιο Διαχείριση Πόρων

84

85 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. Διαχείριση Πόρων 4.1. Εισαγωγή στην Διαχείριση Πόρων Η διαχείριση πόρων αποτελεί το στάδιο εφαρμογής του χρονοπρογραμματισμού ενός έργου το οποίο περιλαμβάνει τις εξής θεμελιώδεις εργασίες(συνοπτικά): Καθορισμό των απαιτήσεων του έργου σε πόρους (εναλλακτικές προσεγγίσεις), Ταξινόμηση και απόκτηση των πόρων, Διάθεση των πόρων στα έργα/ υποέργα/ δραστηριότητες (με βάση τους περιορισμούς διάρκειας και προϋπολογισμού του έργου, διαθεσιμότητας των πόρων, διαδοχής και τεχνολογικής εξάρτησης των δραστηριοτήτων του έργου, κ.λπ.), Παρακολούθηση της χρήσης και του κόστους των πόρων. Η κατανομή των πόρων επηρεάζει καταλυτικά τον χρονικό προγραμματισμό του έργου, άρα και το κόστος υλοποίησης και τον χρόνο ολοκλήρωσης. Πιο ειδικά, οι διαφορετικές επιλογές διάθεσης των πόρων στις δραστηριότητες του έργου (σεβόμενες όλους τους περιορισμούς που τίθενται από το εσωτερικό και εξωτερικό περιβάλλον), ενδέχεται να οδηγήσουν σε σημαντική αύξηση ή μείωση του κόστους υλοποίησης, στην καθυστέρηση ή γενικά στην χρονική μετακίνηση δραστηριοτήτων, στην επιλογή εναλλακτικών μέσων παραγωγής ή τρόπων εκτέλεσης, στην διάσπαση/ κατάτμηση των δραστηριοτήτων (εφόσον υπάρχει η δυνατότητα) ή ακόμα και στον συνολικό αναπρογραμματισμό του έργου. Στις παραγράφους του Κεφαλαίου 4 προσεγγίζεται η προβληματική της κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα και οι πιο διαδεδομένες μεθοδολογικές προσεγγίσεις. Η ανάλυση εστιάζει κύρια στο ερευνητικό πλαίσιο της παρούσας Διατριβής το οποίο αναπτύσσεται στο θεματικό αυτό πεδίο, αφορά όμως σε συγκεκριμένες κατηγορίες προβλημάτων που προσομοιάζουν στα πραγματικά δεδομένα της διαχείρισης τεχνικών έργων και χαρακτηρίζονται από: (α) την ύπαρξη περιορισμών στην διαθεσιμότητα των πόρων, συμπεριλαμβανομένου του χρόνου, (β) την απαίτηση πολλαπλών πόρων (διαφορετικές κατηγορίες μέσων παραγωγής) για την υλοποίηση του έργου και (γ) την δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων.

86 58 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 4.2. Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Πόροι ή παραγωγικοί συντελεστές ή μέσα παραγωγής είναι τα μέσα που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή έργων, αγαθών και υπηρεσιών. Πόρος, για κάποια δραστηριότητα, μπορεί να είναι οποιοδήποτε άτομο ή μηχάνημα ή εξοπλισμός που θα συμμετέχει στην εκτέλεση της συγκεκριμένης δραστηριότητας. Στους πόρους επίσης περιλαμβάνονται τα υλικά κατασκευής στην περίπτωση τεχνικών και άλλων έργων. Πόροι Ο προγραμματισμός της διάθεσης των πόρων, ή διαφορετικά, η διαχείριση ή κατανομή των πόρων (resource management) είναι η διεργασία μέσω της οποίας παρακολουθείται η πραγματική πρόοδος χρήσης των πόρων που απαιτούνται για την εκτέλεση ενός έργου και, εφόσον κριθεί αναγκαίο, υλοποιούνται διορθωτικές ενέργειες για την επίλυση προβλημάτων κατανομής πόρων. Με άλλα λόγια, η διαχείριση πόρων είναι η διαδικασία βάση της οποίας ο διαχειριστής έργου (project manager) αποφασίζει ποιους πόρους πρέπει να αποκτήσει, από ποιες πηγές, πότε πρέπει να τους αποκτήσει, πώς πρέπει να τους χρησιμοποιήσει και πότε και με ποιόν τρόπο πρέπει να τους αποδεσμεύσει. Η ανάλυση αυτή είναι δυνατόν να υπόκειται σε περιορισμούς που αφορούν στην διαθεσιμότητα των πόρων, τα διαθέσιμα κονδύλια του προϋπολογισμού και τις προθεσμίες των εργασιών. Διαχείριση ή κατανομή πόρων Επομένως η διαχείριση των πόρων αφορά κυρίως την ανάλυση αντισταθμίσεων μεταξύ: του κόστους των εναλλακτικών χρονοπρογραμματισμών που αποσκοπούν στην αντιμετώπιση της έλλειψης πόρων, και του κόστους της χρήσης εναλλακτικών πόρων (για παράδειγμα, πραγματοποίηση υπερωριών για την τήρηση του χρονοπρογραμματισμού ή ανάθεση εργασιών σε τρίτους για την αντιμετώπιση μιας αλλαγής στον χρονοπρογραμματισμό) Αντίκτυπος στον Σχεδιασμό του Έργου Βασική παραδοχή για τις ενότητες και τα παραδείγματα που προηγήθηκαν αποτέλεσε το ότι οι σχέσεις διαδοχής μεταξύ των δραστηριοτήτων είναι ο μόνος περιορισμός στον χρονοπρογραμματισμό του έργου. Με βάση την υπόθεση αυτή, κάθε δραστηριότητα μπορεί να ξεκινήσει μόλις ολοκληρωθούν όλες οι προηγούμενές της δραστηριότητες (αν θεωρήσουμε ότι έχουμε σχέσεις διαδοχής FS). Αυτό το είδος ανάλυσης βασίζεται στην υπόθεση εργασίας επαρκών διαθέσιμων πόρων, ώστε να είναι δυνατός ο ταυτόχρονος προγραμματισμός οποιουδήποτε αριθμού δραστηριοτήτων. Στην πραγματικότητα, η συγκεκριμένη

87 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 59 παραδοχή δεν ισχύει για την συντριπτική πλειοψηφία των έργων. Από τα παραπάνω προκύπτει πως κεντρικά σημεία στην προβληματική της διαχείρισης πόρων άρα και στην προβληματική της παρούσας Διατριβής είναι τα εξής: το περιορισμένο των πόρων (εξωτερικός περιορισμοί), οι συμβιβασμοί (tradeoffs) (εξωτερικοί και εσωτερικοί περιορισμοί). Ο διαχειριστής έργου επιβλέπει και ελέγχει τη χρήση των πόρων και την αποδοτικότητα με την οποία καταναλώνονται, κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του έργου. Σε περίπτωση που διαπιστωθούν ελλείψεις θα πρέπει να ληφθούν άμεσες αποφάσεις για τον ανασχεδιασμό και αναπρογραμματισμό του έργου. Ο προσδιορισμός του είδους και της ποσότητας των απαιτούμενων πόρων αποτελεί αναγκαίο στάδιο στην διαχείριση έργων. Οι πόροι περιλαμβάνονται προστίθενται μέσω του οικονομικού προϋπολογισμού και καταναλώνονται με το χρόνο Ταξινόμηση Πόρων Οι διαθέσιμοι πόροι για την εκτέλεση ενός ή περισσότερων έργων μπορούν να ταξινομηθούν με διαφορετικούς τρόπους. Κάποιοι από αυτούς είναι οι εξής: Ταξινόμηση 1/ Ταξινόμηση 2/ Αρχές λογιστικής. Με βάση τις αρχές της λογιστικής, οι πόροι χωρίζονται σε κόστος εργασίας (ανθρώπινοι πόροι), σε κόστος υλικών, και σε άλλα κόστη παραγωγής, όπως ο δανεισμός. Αυτή η ταξινόμηση είναι χρήσιμη στην ανάλυση του οικονομικού προϋπολογισμού και σε άλλες λογιστικές διαδικασίες. Στα βασικά μειονεκτήματά της συγκαταλέγονται το ότι δεν περιλαμβάνει ξεχωριστά λιγότερο προφανείς πόρους όπως η πληροφορία (βάσεις δεδομένων ή σχέδια) και δεν απεικονίζει ένα από τα κεντρικά σημεία της διαχείρισης έργου που είναι η διαθεσιμότητα των πόρων. Διαθεσιμότητα πόρων. Ως προς την διαθεσιμότητα, οι πόροι χωρίζονται σε τρεις (3) κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αφορά στους πόρους οι οποίοι είναι διαθέσιμοι στο ίδιο επίπεδο σε κάθε χρονική περίοδο. Πρόκειται για τους ανανεώσιμους πόρους. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τους πόρους που είναι διαθέσιμοι στην αρχή του έργου και καταναλώνονται με το χρόνο και αποτελούν τους εξαντλούμενους πόρους. Ο πιο σημαντικός εξαντλούμενος πόρος είναι ο χρόνος. Άλλοι τέτοιοι πόροι μπορεί να είναι κάποιο υλικό ή ο χρόνος επεξεργασίας ενός υπολογιστή. Μια τρίτη κατηγορία είναι οι πόροι που είναι διαθέσιμοι σε συγκεκριμένες περιόδους και σε περιορισμένη ποσότητα. Η διαθεσιμότητα αυτού του είδους πόρων

88 60 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Ταξινόμηση 3/ Ταξινόμηση 4/ προσδιορίζεται καθ όλη τη διάρκεια ενός έργου πέραν του αρχικού προγραμματισμού. Αυτοί καλούνται διπλά περιορισμένοι πόροι λόγω του περιορισμού τους τόσο στην ποσότητα όσο και στο χρόνο στον οποίο είναι διαθέσιμοι. Τέτοιος τύπος πόρου μπορεί να είναι το ρευστό χρήμα σε ένα έργο. Με βάση αυτή την ταξινόμηση, ένας σκοπός της χρήσης ανανεώσιμων πόρων είναι η ελαχιστοποίηση του νεκρού χρόνου ή η μεγιστοποίηση της χρήσης. Ένας σκοπός της χρήσης εξαντλούμενων πόρων είναι η μεγιστοποίηση της αποτελεσματικότητας (του λόγου, δηλαδή, μεταξύ εκροών και εισροών). Εξειδίκευση και σπανιότητα/ (ή αντίστροφα) ευρεία διάθεση πόρων. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται ένα σύστημα ταξινόμησης/ διαχείρισης αποθεμάτων με κατηγορίες Α, Β και C. Στην κατηγορία C τοποθετούνται οι πόροι οι οποίοι είναι διαθέσιμοι σε απεριόριστες ποσότητες και δεν απαιτούν συνεχή παρακολούθηση (π.χ. γενικός εξοπλισμός ή ανειδίκευτοι εργάτες). Ωστόσο, η αποδοτική χρήση τους συμβάλλει στον περιορισμό του συνολικού κόστους του έργου. Οι πόροι της κατηγορίας Α έχουν υψηλή προτεραιότητα και πρέπει να παρακολουθούνται στενά, καθώς ενδεχόμενες ελλείψεις τους είναι δυνατόν να επηρεάσουν σημαντικά τον χρονοπρογραμματισμό και την επιτυχία του έργου. Γενικά, οι εξαντλούμενοι πόροι και εκείνοι που περιορίζονται από περιοδική διαθεσιμότητα πρέπει να εξετάζονται μεμονωμένα κατά την διαδικασία προγραμματισμού. Το γεγονός αυτό σημαίνει, ότι ο χρονοπρογραμματισμός του έργου πρέπει να σχεδιάζεται κατά τρόπο ώστε να διασφαλίζεται βέλτιστη χρήση των μη περιορισμένων πόρων, και ότι πρέπει να ισχύουν αυστηροί έλεγχοι στην κατανάλωση των περιορισμένων πόρων. Διαθεσιμότητα πόρων (εξάντληση, ανανέωση, επανάχρηση). Είναι φανερό πως οι πόροι που πρακτικά είναι απεριόριστοι ή εύκολα ανανεώσιμοι και οι πόροι που είναι γενικά εξαντλούμενοι αντιμετωπίζονται διαφορετικά στον χρονοπρογραμματισμό ενός έργου. Ένας τέταρτος τρόπος ταξινόμησης είναι αυτός που χωρίζει τους πόρους σε εξαντλούμενους, με την ίδια έννοια που αναφέρθηκε προηγουμένως, σε ανανεώσιμους πόρους και σε επαναχρησιμοποιήσιμους. Εξαντλούμενος πόρος είναι ο χρόνος. Είναι πόρος που αν καταναλωθεί, είναι αδύνατο να τον ανακτήσουμε. Ανανεώσιμοι πόροι σε αυτή την ταξινόμηση είναι αυτοί που εάν τελειώσουν, μπορούν να ανανεωθούν, συνήθως

89 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 61 μέσω αγοράς και άλλων προμηθειών τους. Τέλος οι επαναχρησιμοποιούμενοι πόροι είναι πόροι που χρησιμοποιούνται στη διάρκεια μιας δραστηριότητας ενός έργου και μετά το πέρας της παραμένουν αναλλοίωτοι για επόμενη χρήση. Με αυτή την έννοια μοιάζουν με τους καταλύτες σε μια χημική αντίδραση. Είναι αναγκαίοι για την αντίδραση αλλά μετά το τέλος της παραμένουν αναλλοίωτοι και μπορούν να ξαναχρησιμοποιηθούν άμεσα. Τέτοιοι πόροι σε μεγάλα χρονικά διαστήματα τείνουν να διατηρούν σταθερές τις ποσότητές τους. Παρόλα αυτά μπορεί να είναι σπάνιοι και έτσι να απαιτείται κι εδώ προσεκτικός σχεδιασμός και προγραμματισμός. Σαν παράδειγμα αυτού του` είδους πόρων αναφέρονται άνθρωποι με κάποιες συγκεκριμένες ικανότητες που μπορούν να δουλέψουν σε κάποιο έργο και αφού τελειώσουν να απασχοληθούν σε κάποιο άλλο. Εκτός από τη διαθεσιμότητα, κατά την ανάπτυξη του χρονοπρογραμματισμού του έργου, πρέπει να σταθμίζεται και το κόστος των πόρων. Αυτό έχει καθοριστική σημασία όταν υπάρχουν δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεσθούν από διάφορους πόρους. Ο συνδυασμός των πόρων που διατίθενται για μία δραστηριότητα επηρεάζει τόσο τη διάρκεια όσο και το κόστος της και ενδεχόμενα τον χρονοπρογραμματισμό και το κόστος του συνόλου του έργου. Στην πράξη, αρκετά συχνά δεν είναι δυνατόν να διατεθούν με ακρίβεια οι πόροι στις δραστηριότητες στα αρχικά στάδια ενός έργου. Αυτό οφείλεται στην αβεβαιότητα που καλύπτει στην αρχή τις απαιτήσεις σε πόρους. Επομένως, η παρακολούθηση και ο έλεγχος του προγραμματισμού των πόρων είναι μία συνεχής διαδικασία η οποία εκτείνεται σε όλη τη διάρκεια του κύκλου ζωής του έργου Προφίλ Πόρων Ο κύκλος ζωής ενός έργου (βλ. 2.4) αποτελείται από τις σημαντικότερες φάσεις από τις οποίες διέρχεται η πρόοδος του έργου. Εξ ορισμού, ο κύκλος ζωής του έργου επηρεάζει τις απαιτήσεις του σε πόρους. Στις αρχικές φάσεις η έμφαση δίνεται στον σχεδιασμό. Επομένως, απαιτείται προσωπικό με υψηλή κατάρτιση, όπως αναλυτές συστημάτων, μηχανικοί σχεδιασμού και ειδικοί για τον χρηματοοικονομικό σχεδιασμό. Στις επόμενες φάσεις, κυριαρχεί η εκτέλεση και αυξάνονται οι απαιτήσεις σε μηχανήματα και υλικά. Το γράφημα των απαιτήσεων σε πόρους ως συνάρτηση του χρόνου ονομάζεται προφίλ πόρων. Προφίλ πόρων

90 62 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Παράδειγμα προφίλ της εργασίας και των υλικών ως συνάρτηση των φάσεων του κύκλου ζωής ενός έργου παρουσιάζεται στο σχήμα 19. Η καμπύλη (α) δείχνει τις απαιτήσεις σε μηχανικούς ως συνάρτηση του χρόνου. Από την πορεία της καμπύλης διαπιστώνεται ότι η ζήτηση κορυφώνεται κατά τη διάρκεια της φάσης της προχωρημένης ανάπτυξης του έργου. Η καμπύλη (β) δείχνει τις απαιτήσεις σε τεχνικούς. Στην περίπτωση αυτή το μέγιστο επιτυγχάνεται κατά την διάρκεια των φάσεων του αναλυτικού σχεδιασμού και της παραγωγής. Το ίδιο ισχύει για τις απαιτήσεις σε πόρους, όπως δείχνει η καμπύλη (γ). Σχήμα 19. Χαρακτηριστικά προφίλ απαιτήσεων σε πόρους Πηγή: Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008 Η γενική μορφή των προφίλ πόρων που παρουσιάζεται στο σχήμα 19 μπορεί να τροποποιηθεί μερικώς με εφαρμογή στρατηγικών αποφάσεων προγραμματισμού και ελέγχου του έργου. Η διαχείριση χρονικού περιθωρίου είναι ένας τρόπος για την αναδιαμόρφωση των απαιτήσεων σε πόρους. Επειδή δεν είναι πάντοτε εφικτό να ξεκινήσει μια δραστηριότητα εντός του φάσματος που καθορίζεται από τον χρονοπρογραμματισμό της ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης, ενδέχεται να μπορούμε να επιτύχουμε υψηλότερη χρήση των πόρων και χαμηλότερο κόστος εξετάζοντας τα διάφορα μοντέλα διάθεσης πόρων. Σε ορισμένα έργα, η περιορισμένη διαθεσιμότητα των πόρων αναγκάζει την καθυστέρηση των δραστηριοτήτων πέρα από το σημείο αργότερης έναρξης τους. Στις περιπτώσεις

91 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 63 αυτές, οι καθυστερήσεις του έργου είναι αναπόφευκτες, εκτός εάν μπορούν να ληφθούν αμέσως διορθωτικά μέτρα Κατανομή Πόρων. Στάδια Εφαρμογής Στον προγραμματισμό έργων και αφού εφαρμοστεί η ανάλυση της δομής (WBS) (βλ. 3.4) και προσδιοριστούν οι δραστηριότητες του Έργου, θα πρέπει να προσδιοριστούν οι απαιτήσεις σε πόρους για την υλοποίηση του on time, on budget και on specs (σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα, σύμφωνα με τον προϋπολογισμό και σύμφωνα με τις προδιαγραφές απόδοσης/ ποιότητας, κ.λπ.). Τα αρχικά (εισαγωγικά) στάδια της κατανομής των πόρων σε ένα τεχνικό έργο περιλαμβάνουν: Επισκόπηση του αντικειμένου και του καταλόγου δραστηριοτήτων/ εργασιών, ώστε να προσδιοριστούν οι απαιτήσεις του έργου σε ανθρώπινους πόρους, εξοπλισμό, μηχανήματα, υλικά, κ.λπ. Συλλογή ιστορικών πληροφοριών από φακέλους παλαιότερων έργων, από βάσεις δεδομένων και από άτομα που έχουν εργαστεί σε παρόμοια έργα, λαμβάνοντας υπόψη ποια είδη και ποιες ποσότητες πόρων απαιτήθηκαν για την εκτέλεση παρόμοιων εργασιών σε προηγούμενα έργα, καθώς και τη διάρκεια των σχετικών εργασιών. Αφού εκτελεστούν τα παραπάνω, ακολουθεί το κρίσιμο (κύριο) στάδιο του αναλυτικού προσδιορισμού των απαιτήσεων σε πόρους, τα βήματα του οποίου κωδικοποιούνται στις ενότητες που ακολουθούν Φόρτωση Πόρων Φόρτωση πόρων (resource loading) είναι η κατανομή και ο ρυθμός χρήσης των πόρων στις επιμέρους δραστηριότητες του έργου κατά την πάροδο του χρόνου. Φόρτωση Πόρων Σχηματικά αυτό μπορεί να απεικονιστεί με χρονοπίνακα (time-table) στον οποίο θα περιγράφεται η κατανομή ανά δραστηριότητα και ανά μονάδα χρόνου, (σύμφωνα με τις μονάδες χρόνου που χρησιμοποιούνται στο πρόγραμμα του έργου) ή με γράφημα στον άξονα του χρόνου ή ακόμα και πάνω στο δικτυωτό γράφημα και το διάγραμμα Gantt. Ο τρόπος με τον οποίο καταναλώνει μία εργασία πόρους είναι συνήθως (α) είτε ανάλογος του χρόνου (π.χ. ανάλογα με τον χρόνο καταβάλλονται τα ημερομίσθια των εργατών, ανεξάρτητα της παραγωγικότητάς τους ή της προόδου του έργου) είτε (β) ανάλογος του ποσοστού ολοκλήρωσης της εργασίας (π.χ. ανάλογα με την πρόοδο ολοκλήρωσης μίας κατασκευής καταναλώνονται τα υλικά). Η δεύτερη περίπτωση μπορεί να μεταπέσει στην πρώτη αν η πρόοδος εργασιών είναι και αυτή με την σειρά της ανάλογη του χρόνου.

92 64 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Καταγράφονται, επίσης, και άλλες περιπτώσεις όπως να καταναλώνεται το σύνολο της απαιτούμενης ποσότητας ενός πόρου με την αρχή της εργασίας (π.χ. προκαταβολή για παραγγελία υλικών) ή στο τέλος αυτής (π.χ. πληρωμή αμοιβής υπεργολάβου). Η διάρκεια των περισσοτέρων δραστηριοτήτων επηρεάζεται επίσης από τις ικανότητες και την εμπειρία των πόρων που ανατίθενται σε αυτές. Για παράδειγμα, είναι συνήθως αναμενόμενο ότι ένα μέλος της ομάδας με πενταετή εμπειρία θα ολοκληρώσει μία εργασία σε λιγότερο χρόνο απ όσο ένα μέλος με διετή εμπειρία. Από τα παραπάνω προκύπτει, πως καθώς ο διαχειριστής του έργου συλλέγει πληροφορίες σχετικά με το τρέχον έργο και με άλλα παρόμοια έργα, βελτιώνει τις εκτιμήσεις για τη διάρκεια των εργασιών του έργου. Η ακρίβεια των εκτιμήσεων διάρκειας έχει στενή σχέση με την ακρίβεια των απαιτήσεων σε πόρους όπως αυτές προσδιορίζονται σε αυτό το στάδιο του προγραμματισμού Είδος και Ποσότητα Πόρων Αφού ο διαχειριστής του έργου συλλέξει όλες τις αναγκαίες πληροφορίες, προσδιορίζει το είδος των πόρων και την απαιτούμενη ποσότητα καθενός από αυτούς. Γενικά, οι πόροι, ή διαφορετικά, τα μέσα παραγωγής ενός έργου, διακρίνονται σε τρεις κύριες κατηγορίες: Ανθρώπινοι Πόροι: Θα πρέπει να προσδιορίζονται τα επαγγελματικά προσόντα και το είδος των δεξιοτήτων που απαιτούνται για τη διεκπεραίωση μίας δραστηριότητας/ εργασίας. Συνήθως η ποσότητα ανθρώπινων πόρων μετράται με χρήση του όρου Ισοδύναμο Πλήρους Απασχόλησης (ΙΠΑ) (Full Time Equivalent FTE). Μία μονάδα ΙΠΑ υποδηλώνει ένα άτομο που θα εργάζεται 8 ώρες την ημέρα, επί 5 ημέρες την εβδομάδα. Αντίστοιχα 0,5 ΙΠΑ υποδηλώνει ένα άτομο που θα απασχολείται στο Έργο για το μισό του χρόνου πλήρους απασχόλησής του. Άλλο συνηθισμένο μέτρο για τη χρησιμοποίηση ανθρώπινων πόρων είναι οι ανθρωπομήνες (Α-Μ) ή ανθρωποημέρες (Α-Η) ή ανθρωποώρες (Α-Ω) για τις οποίες πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ο πόρος. Για παράδειγμα, εάν οριστεί ότι για την υλοποίηση μίας συγκεκριμένης εργασίας απαιτούνται 3 ανθρωπομήνες ενός πολιτικού μηχανικού, αυτό σημαίνει ότι το άτομο αυτό θα απασχοληθεί 3 μήνες x 20 (ή 21 ή 22) ημέρες = 60 ανθρωποημέρες = 480 ανθρωποώρες για την υλοποίηση της εργασίας αυτής. Εξοπλισμός/ Μηχανήματα: Θα πρέπει να συνταχθεί κατάλογος με τον εξοπλισμό/ τα μηχανήματα που θα χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση των τεχνικών έργων (π.χ. εκσκαφείς, ανυψωτικά μηχανήματα), για την παροχή υπηρεσιών ή την παράδοση προμηθειών (π.χ. αίθουσες για τη διεξαγωγή εκπαιδευτικών σεμιναρίων, φορτηγά για τη μεταφορά προμηθειών και αποθήκες για την αποθήκευση προμηθειών), καθώς και για την ανάληψη

93 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 65 υποστηρικτικών ενεργειών, όπως η Διαχείριση Έργου και η διαχείριση της σύναψης και εκτέλεσης δημοσίων συμβάσεων (π.χ. ηλεκτρονικοί υπολογιστές, πακέτα λογισμικού, φωτοαντιγραφικά μηχανήματα). Η ποσότητα των πόρων εξοπλισμού/ μηχανημάτων ορίζεται με τον αριθμό των σχετικών μονάδων (π.χ. 3 υπολογιστές, 1 μηχάνημα προβολής, 2 αίθουσες). Σε περίπτωση εξωτερικών πόρων εξοπλισμού/ μηχανημάτων και ιδιαίτερα όταν πρόκειται να εξασφαλιστούν μέσω χρηματοδοτικής μίσθωσης ή απλής μίσθωσης, είναι σημαντικό να ορίζεται ο χρόνος χρήσης τους (π.χ. μίσθωση εκσκαφέα για τρεις ημέρες, μίσθωση ειδικής εργαλειομηχανής για ορισμένες ώρες, μίσθωση αίθουσας για μία εβδομάδα κλπ.). Υλικά: Θα πρέπει να συνταχθεί κατάλογος με τα υλικά που θα χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή των παραδοτέων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση Έργου ανέγερσης κτιρίου, θα χρησιμοποιηθούν υλικά όπως πλίνθοι, τσιμέντο, χάλυβας, καλώδια, χρώματα. Επιπλέον, στον κατάλογο αυτό θα πρέπει επίσης να περιλαμβάνονται υλικά που θα χρησιμοποιηθούν για τις δραστηριότητες Διαχείρισης Έργου. Η ποσότητα των υλικών ορίζεται με χρήση των κατάλληλων για το κάθε υλικό μονάδων μέτρησης. Για παράδειγμα, 50 μέτρα καλώδιο, 5 τόνοι τσιμέντο, 50 κιλά πλαστικό χρώμα, φύλλα χαρτί εκτύπωσης, 100 κενά CD-R κλπ. Πληροφορίες: Εκτός από τις παραπάνω τρεις βασικές κατηγορίες, οι πληροφορίες θα μπορούσαν επίσης να αναφερθούν ως ξεχωριστή κατηγορία πόρων. Υπάρχουν περιπτώσεις έργων που οι πληροφορίες (βάσεις δεδομένων, ερευνητικά αποτελέσματα, σχέδια κ.λπ.) θεωρούνται σαν ουσιαστικοί πόροι ενός έργου. Για παράδειγμα, η αγορά/ απόκτηση βάσης δεδομένων για την εκπόνηση μίας μελέτης εντάσσεται σε αυτή την κατηγορία Επάρκεια Πόρων Ανεξάρτητα από το βαθμό στον οποίο το έργο θα υλοποιηθεί με ίδιους πόρους ή θα ανατεθεί σε άλλον τρίτο φορέα/ οργάνωση, θα πρέπει να εξεταστεί η επάρκεια των πόρων, επειδή ακόμη και στη δεύτερη περίπτωση (εξωτερική ανάθεση της παραγωγής) θα απαιτηθεί η χρήση εσωτερικών πόρων για την εκτέλεση των εργασιών διαχείρισης έργου, ώστε να εξασφαλιστούν η παρακολούθηση και ο έλεγχος της οργάνωσης που θα εκτελέσει το έργο. Η επάρκεια των εσωτερικών πόρων θα πρέπει να εξετάζεται τόσο ως προς την ποσότητα όσο και ως προς τα προσόντα, την εμπειρία και την τεχνογνωσία σε σχέση με τις απαιτήσεις του έργου. Λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα της εξέτασης της επάρκειας των πόρων, καθώς και τις οργανωτικές πολιτικές αναφορικά με τη στελέχωση και τη μίσθωση ή αγορά προμηθειών και εξοπλισμού/ μηχανημάτων, θα πρέπει να αποφασιστεί κατά πόσον υφίσταται η ανάγκη απόκτησης εξωτερικών πόρων. Εάν, για παράδειγμα, υφίσταται η ανάγκη ένταξης νομικού συμβούλου στην

94 66 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ ομάδα έργου για την εκτέλεση ορισμένων δραστηριοτήτων και στο προσωπικό της οργάνωσης που έχει αναλάβει την εκτέλεση του έργου (ανάδοχος ή φορέας υλοποίησης) δεν υπάρχει εμπειρογνώμονας με την ειδίκευση αυτή, θα χρειαστεί να προσληφθεί εξωτερικός σύμβουλος Κριτήρια Επιλογής Πόρων Από τις παραγράφους που προηγήθηκαν καθίσταται προφανές πως, ειδικά σε μεγάλα σύνθετα έργα, δεν είναι πάντα εύκολο να προγραμματιστεί η διαχείριση των πόρων με ακρίβεια από την αρχή του έργου (συχνά υπάρχει αβεβαιότητα σε πολλούς τομείς). Κατά αυτόν τον τρόπο, η κατανομή των πόρων και ο προγραμματισμός τους είναι μια συνεχής διαδικασία που εξελίσσεται κατά τη διάρκεια του έργου. Σε ένα περιβάλλον όπου τα έργα σε εξέλιξη είναι πολλά ταυτόχρονα, διευρύνονται οι επιλογές μεταξύ διαφορετικών προσεγγίσεων για την κατανομή των πόρων. Ο προγραμματισμός ξεκινά με την υπόθεση ότι για κάθε δραστηριότητα επιλέγεται η εναλλακτική προσέγγιση που έχει το μικρότερο κόστος σε πόρους, συμπεριλαμβανομένου και του χρόνου. Αυτός ο τρόπος εκτέλεσης/ λειτουργίας είναι γνωστός ως normal mode (κανονικός τρόπος). Συνδέεται με τις έννοιες normal cost (κανονικό κόστος) και normal time (κανονικός χρόνος) της κάθε δραστηριότητας στο έργο. Σε ορισμένα προβλήματα, ωστόσο, ενδέχεται να υπάρχει η δυνατότητα επιλογής εναλλακτικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων του έργου. Με άλλα λόγια, κάθε δραστηριότητα j = A, B,, J του έργου μπορεί να εκτελεστεί με έναν ή περισσότερους εναλλακτικούς τρόπους, οι οποίοι συμβολίζονται με m = 1, 2,, M, κάθε ένας από τους οποίους προσδιορίζεται από το ζεύγος τιμών (διάρκεια (djm) της δραστηριότητας j που εκτελείται με τον τρόπο m) (απαιτούμενοι πόροι (rjm) για την εκτέλεση της δραστηριότητας j με τον τρόπο m). Κανονικός τρόπος εκτέλεσης δραστηριότητας (normal mode) Εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης δραστηριότητας (modes) Στα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού, βασική υπόθεση εργασίας για λόγους απλοποίησης είναι ότι οι απαιτούμενοι πόροι μειώνονται αναλογικά όσο αυξάνεται η διάρκειά του έργου, έτσι ώστε ο απαιτούμενος αριθμός πορο-ημερών (π.χ. ανθρωποημερών) να παραμένει σταθερός. Άρα και το άμεσο κόστος (π.χ. εργατικά) για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας παραμένει σταθερό. Με άλλα λόγια και με βάση το σχήμα 8 της 3.3.1, οι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης των δραστηριοτήτων περιορίζονται ανάμεσα στα σημεία Α και Β της θεωρητικής καμπύλης. Για παράδειγμα, οι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης της τυχαίας δραστηριότητας Α ενός έργου παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί.

95 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 67 Πίνακας 8. Εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης της δραστηριότητας Α Δραστη ριότητα Mode Διάρκεια (ημέρες) Μέγεθος Συνεργείου (εργάτες) Συνολική εργασία (ανθρωποημέρες) Ημερομίσθιο ( / ημέρα) Άμεσο κόστος j m dj r (dj x r) Cr DCj A Στην πραγματικότητα, εναλλακτικός τρόπος εκτέλεσης μίας δραστηριότητας μπορεί και να συνεπάγεται την χρήση π.χ. ενός πιο εξειδικευμένου συνεργείου ή ενός απόλυτα ειδικού και ακριβού μηχανήματος, το οποίο θα επιτύχει συντομότερη (λίγο ή περισσότερο) διάρκεια εκτέλεσης δραστηριότητας με μεγαλύτερη ή μικρότερη (συγκριτικά) αύξηση του κόστους (όχι ανάλογη). Ωστόσο, επειδή ο παραπάνω γενικός κανόνας του σταθερού αριθμού ποροημερών, περιγράφει συνήθως σε ικανοποιητικό βαθμό την πλειοψηφία των περιπτώσεων, χρησιμοποιείται ευρέως στην αναζήτηση λύσεων στα προβλήματα αυτού του τύπου. Για κάθε εναλλακτικό συνδυασμό επιλογής των απαιτούμενων πόρων, θα πρέπει ιδανικά να εξεταστούν τα παρακάτω σημεία: Η επιλογή των πόρων πρέπει να επιτρέπει μέγιστη ελαστικότητα. Με άλλα λόγια, πόροι που δεν δεσμεύονται σε ένα έργο (περισσεύουν) θα πρέπει να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε άλλο. Η οριακή συνεισφορά (marginal contribution) ενός είδους/ μίας κατηγορίας πόρων συνήθως μειώνεται όσο μεγαλύτερη χρήση γίνεται, έως το σημείο κορεσμού. Επιπλέον χρήση του ίδιου πόρου από ένα επίπεδο και άνω, ενδέχεται να μην μειώσει περαιτέρω τη διάρκεια της δραστηριότητας. Κατά αυτό τον τρόπο, δεν πραγματοποιείται αποδοτική χρήση της συγκεκριμένης κατηγορίας πόρων. Κάποια είδη πόρων είναι διακριτά. Σε αυτά τα είδη, ενδεχόμενη μείωση της ποσότητας κατά μια διακριτή μονάδα οδηγεί συνήθως σε υπερβολική μείωση της παραγωγικότητας και της αποδοτικότητας (π.χ. 2 γερανοί αντί για 1 σε μεγάλο κατασκευαστικό έργο). Κατά την κατανομή των πόρων πρέπει να λαμβάνεται υπόψη το ότι οι πόροι είναι κτήμα μίας οργάνωσης (εταιρείας, φορέα, κ.λπ.) η οποία θα τους χρησιμοποιήσει σε περισσότερα από ένα έργα. Κατά αυτόν τον τρόπο, θα πρέπει να υπολογίζεται η βέλτιστη χρήση πόρων για το έργο αλλά και η βέλτιστη χρήση των πόρων για το σύνολο της οργάνωσης.

96 68 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Ένα μέγεθος που μετράει την εκροή/ απόδοση κάθε πόρου, δηλαδή ποια ποσότητα πόρων χρησιμοποιείται αποτελεσματικά χωρίς μεγάλες απώλειες, είναι η δυναμικότητα, η οποία χωρίζεται σε: Ονομαστική δυναμικότητα: μέγιστη εκροή που επιτυγχάνεται υπό ιδανικές συνθήκες. Πραγματική δυναμικότητα, μέγιστη εκροή, λαμβάνοντας υπόψη το μείγμα των δραστηριοτήτων, τον συνδυασμό των διαδικασιών, τους περιορισμούς του χρονοπρογραμματισμού και της αλληλουχίας, τη συντήρηση, το περιβάλλον και τα αποτελέσματα από το συνδυασμό των πόρων όταν χρησιμοποιούνται ταυτόχρονα Περιορισμοί στην Κατανομή Πόρων Ο χρονικός προγραμματισμός των τεχνικών έργων, προκειμένου να τίθεται στην βάση ρεαλιστικών σεναρίων, θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη τους περιορισμούς στα μέσα παραγωγής, δηλαδή στους αναγκαίους πόρους για την εκτέλεση του έργου (εργατικό δυναμικό, μηχανήματα, υλικά, χρόνος, κόστος, κ.λπ.). Τα προβλήματα χρονικού προγραμματισμού έργων με περιορισμένους πόρους (Resource Constrained Scheduling Problems, RCSP) απασχόλησαν πολλούς ερευνητές. Το πρόβλημα της εξομάλυνσης πόρων (resource leveling) για έργα έναν ή περισσότερους πόρους αποτελεί υποσύνολο των προβλημάτων τύπου RCSP. Στο σημείο αυτό κρίνεται σκόπιμη η συνοπτική κατηγοριοποίηση των περιορισμών (άρα και των προβλημάτων). Συγκεκριμένα, διακρίνονται τρεις γενικές κατηγορίες οι οποίες περιγράφονται συνοπτικά στη συνέχεια. Α) Η πρώτη κατηγορία αφορά στον συνολικό αριθμό των αναγκαίων πόρων. Στόχος, δηλαδή, του διαχειριστή, είναι να βρει τρόπους να μειώσει τον αριθμό προσωπικού χωρίς όμως να μειωθούν οι προβλεπόμενες μονάδες παραγωγής έργου. Ο στόχος αυτός εντάσσεται στον στόχο της βελτίωσης/ μεγιστοποίησης της παραγωγικότητας 7 με τις ελάχιστες δυνατές μονάδες προσωπικού. Στο σύνολο των ερευνητικών εργασιών που εντρυφούν στο ζήτημα της κατανομής 7 Παραγωγικότητα (productivity) είναι ο ρυθμός παραγωγής. Η παραγωγικότητα αναφέρεται στην ποσότητα παραγόμενου έργου από έναν εργαζόμενο (ή μηχάνημα) στη μονάδα του χρόνου (π.χ. ανθρωπο-ωρα, work-hour). Μια συγκεκριμένη παραγωγή μπορεί να επιτευχθεί με διαφορετικές παραγωγικότητες. Η παραγωγικότητα επηρεάζει άμεσα το κόστος παραγωγής, άρα και το κόστος του έργου. Χαμηλή παραγωγικότητα οδηγεί σε αυξημένο κόστος παραγωγής και αντίστροφα. Η παραγωγικότητα γενικά μπορεί να οριστεί με κάποια από τις μορφές της παρακάτω σχέσης: Παραγωγικότητα = αποτέλεσμα/ προσπάθεια παραγόμενες μονάδες/ ανθρωποώρες συνολικό αποτέλεσμα/ συνολικές ανθρωποώρες Στην κατασκευή έργων αρμόζει περισσότερο η τελευταία μορφή της παραπάνω σχέσης, όπου συνολικό αποτέλεσμα είναι η εκτέλεση μίας επιμέρους εργασίας ή ολόκληρου του έργου, ενώ η προσπάθεια υπολογίζεται σε ώρες εργασίας προσωπικού και μηχανημάτων.

97 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 69 και εξομάλυνσης των πόρων (βλ. κεφάλαιο 6) πραγματοποιείται η εξής υπόθεση εργασίας: Η ποσότητα του παραγόμενου έργου είναι ίδια για όλους τους πόρους (εργάτες, μηχανήματα, κ.λπ.) στη μονάδα του χρόνου. Με άλλα λόγια, όλοι οι πόροι κάθε κατηγορίας/ κάθε τύπου και όλες οι κατηγορίες/ τύποι πόρων έχουν την ίδια παραγωγικότητα (productivity). Β) Η δεύτερη κατηγορία αφορά στην κατανομή των πόρων κατά την διάρκεια υλοποίησης του έργου (διατηρώντας σταθερό των συνολικό αριθμό των αναγκαίων πόρων για την εκτέλεση του έργου). Σε ένα έργο δεν είναι επιθυμητό να υπάρχουν αιχμές στην απασχόληση του προσωπικού (αλλά και των μηχανημάτων). Είναι όχι μόνο αρνητικό για το ηθικό των εργαζομένων να εργάζονται περιοδικά αλλά και ιδιαίτερα δαπανηρό να απολύονται και να επαναπροσλαμβάνονται εργαζόμενοι ή να μεταφέρονται σε άλλα εργοτάξια ή να υποαπασχολούνται. Επιπρόσθετα, οι νέοι εργαζόμενοι είναι λιγότερο αποδοτικοί κατά την περίοδο προσαρμογής στο νέο περιβάλλον, η οποία μπορεί να διαρκέσει περισσότερο από τις αρχικές εκτιμήσεις. Κατά αντιστοιχία, μία σταθερή ομάδα εργασίας, μέσω της «τριβής» με το ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ ΕΠΙΘΥΜΗΤΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Να υπάρχει όσο το δυνατόν ομοιόμορφη κατανομή προσωπικού (και μηχανημάτων) σε όλη την διάρκεια του έργου με, ιδανικά, μια ομαλή αύξηση του αριθμού των παραγωγικών μέσων από την αρχή προς το μέσο του έργου και μία επίσης ομαλή μείωση προς το τέλος του έργου. Σε μια προσπάθεια απλής διαγραμματικής απεικόνισης των απαιτούμενων πόρων ενός έργου (κάθετος άξονας) στην μονάδα του χρόνου (οριζόντιος άξονας), το σημείο που σημειώνεται με κόκκινη σκίαση, αποτελεί το αντικείμενο ή σημείο προβληματισμού ή κεντρικό σημείο διερεύνησης των προβλημάτων «εξομάλυνσης των πόρων ενός έργου». αντικείμενο του έργου, της συσσώρευσης γνώσης και εμπειρίας και της εξοικείωσης με τους κρίσιμους παράγοντες υλοποίησης και τους κινδύνους (καθυστέρησης, αστοχίας, κ.λπ.), βελτιώνει συνεχώς την παραγωγικότητά της. Με άλλα λόγια, οι αυξομειώσεις των πόρων στην διάρκεια του έργου αυξάνουν το κόστος, πλήττουν την ποιότητα του παραδοτέου και υπονομεύουν την έγκαιρη ολοκλήρωση και παράδοση του έργου. Σύμφωνα με τα παραπάνω, στους στόχους του αναλυτικού χρονικού προγραμματισμού εντάσσεται η αποφυγή σημαντικών διακυμάνσεων στους αναγκαίους πόρους στην διάρκεια του έργου. Είναι, λοιπόν, επιθυμητό να υπάρχει όσο το δυνατόν ομοιόμορφη κατανομή πόρων (προσωπικού, μηχανημάτων, εξοπλισμού, κ.λπ.) σε όλη την διάρκεια του έργου με, ιδανικά, μια ομαλή αύξηση του αριθμού των παραγωγικών μέσων από την αρχή προς το μέσο του έργου και μία επίσης ομαλή μείωση προς το τέλος του έργου. Η εξομάλυνση των απαιτήσεων σε προσωπικό (και μηχανήματα) κατά

98 70 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ την διάρκεια του έργου δεν μπορεί να είναι τέλεια, ωστόσο η επιδιωκόμενη λύση πρέπει να προσεγγίζει κατά το δυνατόν την ιδανική κατάσταση. Με βάση τα παραπάνω, η εξομάλυνση πόρων (resource leveling) μπορεί να ορισθεί ως η ανακατονομή του συνολικού ή ελεύθερου περιθωρίου σε δραστηριότητες για την μείωση των διακυμάνσεων στο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους. Εξομάλυνση πόρων Η εξομάλυνση των πόρων αποτελεί κεντρικό ζητούμενο της διαδικασίας που καλείται κατανομή των πόρων ενός έργου και κεντρικό ζητούμενο της ερευνητικής προσπάθειας που περιγράφεται στην παρούσα Διατριβή. Το προτεινόμενο στην παρούσα μοντέλο βελτιστοποίησης (κεφάλαιο 7) δομείται πάνω στο κεντρικό αυτό ζητούμενο εισάγοντας στην αντικειμενική συνάρτηση έναν νέο όρο κόστους, ο οποίος αντιστοιχεί σε αυτές ακριβώς τις μεταβολές στην χρήση των πόρων στην μονάδα του χρόνου. Η διατύπωση του προβλήματος με την συγκεκριμένη μορφή, όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στην 7.3, είναι πειραματική και αποτελεί μία επιπλέον σημαντική παράμετρο καινοτομίας της προτεινόμενης μεθοδολογίας επίλυσης. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ Γ) Η τρίτη κατηγορία που υπεισέρχεται στο θέμα της κατανομής πόρων είναι αυτό της βελτιστοποίησης της συνολικής διάρκειας του έργου, γνωρίζοντας ότι υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί που αφορούν την ποσότητα (τον αριθμό) των πόρων που θα διατεθούν για το έργο. Οι περιορισμοί αφορούν κυρίως εργασίες πουν απαιτούν πολύ εξειδικευμένο προσωπικό ή μηχανήματα τα οποία δεν διατίθενται σε απεριόριστο αριθμό Κατανομή Απεριόριστων Πόρων ή Κατανομή Περιορισμένου Χρόνου Στην περίπτωση που λαμβάνεται ως υπόθεση εργασίας η διαθεσιμότητα απεριόριστων πόρων, τίθεται ως περιορισμός η διατήρηση της διάρκειας του έργου στην αρχικά καθορισμένη από τον χρονικό προγραμματισμό τιμή της. Ο κεντρικός στόχος είναι η βέλτιστη (κατά το δυνατόν ομοιόμορφη) κατανομή των πόρων σε όλη την διάρκεια του έργου. Το βέλτιστο της κατανομής αφορά σε δύο επιμέρους στόχους που γενικά ικανοποιούνται ταυτόχρονα: Α) την μείωση των αιχμών στην απασχόληση των παραγωγικών μέσων, και Β) την ελαχιστοποίηση του συνολικά απαιτούμενου ύψους πόρου. Η μεθοδολογία αναζήτησης της βέλτιστης λύσης κατανομής των πόρων που περιγράφεται στη συνέχεια είναι εμπειρική και μπορεί να διενεργηθεί με πολλούς τρόπους. Για τον χρονοπρογραμματισμό έργου με συγκεκριμένες δραστηριότητες και απλές ή γενικευμένες σχέσεις διαδοχής, μία γενική διαδικασία αναζήτησης της βέλτιστης λύσης περιγράφεται ως εξής:

99 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 71 Αφού τα χρονικά μεγέθη του έργου δεν μεταβάλλονται, είναι γνωστή η χρονική θέση των κρίσιμων δραστηριοτήτων οι οποίες και τοποθετούνται πρώτες στο διάγραμμα στο διάγραμμα κατανομής πόρων. Στη συνέχεια, δοκιμάζονται διάφορες θέσεις των μη κρίσιμων δραστηριοτήτων μέσα στο πλαίσιο των χρονικών περιθωρίων τους και χωρίς να παραβιάζονται οι σχέσεις διαδοχής τους, μέχρι να βρεθεί μια ικανοποιητική λύση. Η διαδικασία εξομάλυνσης ξεκινάει με βάση το πρόγραμμα των ενωρίτερων ενάρξεων των δραστηριοτήτων του έργου. Στη συνέχεια δοκιμάζονται διάφορες χρονικές μετακινήσεις (καθυστερήσεις) των μη κρίσιμων δραστηριοτήτων, αρχίζοντας από αυτές με το μεγαλύτερο ελεύθερο περιθώριο (free float, free slack). Σε κάθε μετακίνηση δραστηριότητας σχεδιάζεται το νέο διάγραμμα κατανομής πόρου και ελέγχεται η βελτίωση ή μη του διαγράμματος. Η διαδικασία μπορεί εναλλακτικά να αρχίσει με βάση το πρόγραμμα των βραδύτερων ενάρξεων των δραστηριοτήτων όταν το αντίστοιχο διάγραμμα κατανομής πόρου εμφανίζει αξιόλογη ομοιομορφία. Στη συνέχεια, και με στόχο μία ενδεχόμενα καλύτερη κατανομή, οι μη κρίσιμες δραστηριότητες μετακινούνται προς ενωρίτερους χρόνους (χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί διαδοχής) και ελέγχεται το αποτέλεσμα. Η παραπάνω εμπειρική λογική διερεύνησης αποτελεί την βάση της υπολογιστικής επίλυσης των προβλημάτων αυτής της κατηγορίας, η οποία αποτυπώνεται στην παραμετροποίηση ενός αλγορίθμου για την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης. Αντίστοιχη λογική εφαρμόζεται και στη μεθοδολογία που αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 7 της παρούσας για γενικευμένα προβλήματα κατανομής πόρων (είτε περιορισμένου χρόνου είτε περιορισμένων πόρων). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.1 Για λόγους κατανόησης, στη συνέχεια παρατίθεται ένα απλό παράδειγμα έργου με 10 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου, ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Σχήμα 20. Παράδειγμα 4.1 Τοξωτό δικτυωτό γράφημα του έργου

100 72 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Πίνακας 9. Παράδειγμα 4.1 (10 δραστηριότητες, 1 πόρος, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα Δραστηριότητα Αμέσως προηγούμενη Διάρκεια (ημέρες) Μέγεθος Συνεργείου (εργάτες) Συνολική εργασία (ανθρωποημέρες) j dj r dj x r A B C D A E B F C G D H F I E,H J G,I Σύμφωνα τα στοιχεία του πίνακα, η κρίσιμη διαδρομή προσδιορίζεται από τις δραστηριότητες C F H I J και η διάρκεια του έργου υπολογίζεται στις 20 ημέρες. Το τοξωτό δικτυωτό γράφημα του έργου περιλαμβάνει 9 γεγονότα και 10 δραστηριότητες και παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 21. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt του έργου με χρήση του MS Project Δραστη ριότητα Πίνακας 10. Παράδειγμα 4.1 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Αμέσως προηγ. Ενωρίτερη Βραδύτερη Διάρκεια Συνεργείο έναρξη λήξη έναρξη λήξη Ολικό περιθώριο Ελεύθερο Περιθώριο j dj r ES EF LS LF TF FF A B C *ΚΔ D A E B F C *ΚΔ G D H F *ΚΔ I E,H *ΚΔ J G,I *ΚΔ ΚΔ

101 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 73 Στα δεδομένα του προβλήματος περιλαμβάνονται οι εξής υποθέσεις: Η εκτέλεση μίας δραστηριότητας απαιτεί τη χρήση του πόρου σε σταθερό ποσοστό. Κατά αυτόν τον τρόπο, για την δραστηριότητα Α απαιτούνται 5 εργάτες σε κάθε μία από τις 4 ημέρες που διαρκεί. Όταν το ποσοστό χρήσης δεν είναι σταθερό, οι απαιτήσεις σε πόρους πρέπει να προσδιορίζονται για κάθε χρονική περίοδο (μία ημέρα, για το συγκεκριμένο παράδειγμα). Παράδειγμα 4.1 Ομάδα υποθέσεων Α (απεριόριστοι πόροι περιορισμένος χρόνος) Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν με λιγότερους ή περισσότερους εργάτες από αυτούς που περιγράφονται στον πίνακα 9. Το διάγραμμα Gantt για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης απεικονίζεται στο γράφημα 2 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους απεικονίζεται στο γράφημα 3. Με έντονη μπλε σκίαση στο διάγραμμα Gantt σημειώνονται οι κρίσιμες δραστηριότητες του έργου (C F H I J) σύμφωνα με την μέθοδο CPM. Όπως προκύπτει από τις διαγραμματικές απεικονίσεις, ο χρονοπρογραμματισμός ενωρίτερης έναρξης παράγει ένα υψηλό επίπεδο χρήσης πόρων στις αρχικές φάσεις του έργου. Υποθέτοντας 5 εργάσιμες ημέρες ανά εβδομάδα, η μέση απαίτηση κατά τις 2 πρώτες εβδομάδες (10 εργάσιμες ημέρες) είναι: 108 πόροι/ 10 ημέρες = 10,8 εργάτες ανά ημέρα. Το στοιχείο του κλάσματος της ζήτησης μπορεί να καλυφθεί με υπερωριακή εργασία, δεύτερη βάρδια ή εργάτες με καθεστώς μερικής απασχόλησης. Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 6, 7 και 8 όπου απαιτούνται 13 εργάτες. Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 12, 13, 17, 18, 19 και 20 όπου απαιτούνται μόνο 3 εργάτες. Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο χρονοπρογραμματισμός ενωρίτερης έναρξης παράγει ένα προφίλ με μεγάλες διακυμάνσεις με μέγιστο 13 και ελάχιστο 3. Αν συμβολίσουμε τον μοναδικό πόρο του παραδείγματος (εργάτες) με το σύμβολο r, τότε έχουμε τα παρακάτω βασικά μεγέθη που περιγράφουν το προφίλ των πόρων της ενωρίτερης έναρξης: Πίνακας 11. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης Βασικοί δείκτες εύρος τιμών r(max) r(min) = 13 3 = 10 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 13 = 0,57 όπου, r(μέσο) ισούται με το άθροισμα των απαιτούμενων πόρων καθ όλη την διάρκεια του έργου προς την διάρκεια του έργου (Σr/ T), δηλαδή: 147/ 20 = 7,35. Η χρησιμοποίηση, ή διαφορετικά, χρήση των πόρων ορίζεται ως το ποσοστό χρήσης ενός ανανεώσιμου πόρου και αποτελεί σημαντικό δείκτη επίδοσης του χρονοπρογραμματισμού του έργου. Η χρήση πόρων υπολογίζεται μέσω της σχέσης r(μέσο)/ r(max) για τα προβλήματα αυτής της κατηγορίας 8. Χρήση πόρων 8 περαιτέρω αναφορά στην χρήση πόρων θα πραγματοποιηθεί στην επόμενη 4.10.

102 74 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Το διάγραμμα Gantt για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης απεικονίζεται στο γράφημα 4 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους απεικονίζεται στο γράφημα 5. Όπως προκύπτει από τις διαγραμματικές απεικονίσεις, ο χρονοπρογραμματισμός βραδύτερης έναρξης παράγει ένα διαφορετικό προφίλ από τον χρονοπρογραμματισμό της ενωρίτερης έναρξης. Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 7 και 8 όπου απαιτούνται 14 εργάτες. Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 1, 2, 3, 17, 18, 19 και 20 όπου απαιτούνται μόνο 3 εργάτες. Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο χρονοπρογραμματισμός βραδύτερης έναρξης παράγει ένα προφίλ με μεγαλύτερες διακυμάνσεις (πιο έντονες αιχμές) από τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης με μέγιστο 14 και ελάχιστο 3. Πίνακας 12. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης Βασικοί δείκτες εύρος τιμών r(max) r(min) = 14 3 = 11 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 14 = 0,53 Η κατανομή των πόρων συγκριτικά για τους δύο χρονικούς προγραμματισμούς «ενωρίτερη έναρξη» και «βραδύτερη έναρξη», παρουσιάζεται στο γράφημα 16 ( 4.10). Ανάμεσα στα δύο προφίλ, επιλέγεται αυτό της ενωρίτερης έναρξης σε όρους βελτιστοποίησης της κατανομής των πόρων. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μείωση του εύρους/ διακύμανσης τιμών, όταν περνάμε από τον χρονοπρογραμματισμό της βραδύτερης έναρξης στον χρονοπρογραμματισμό της ενωρίτερης έναρξης δεν είναι κατ ανάγκη ομοιόμορφη στις ενδιάμεσες περιπτώσεις. Για τον λόγο αυτό, στην προσπάθεια αναζήτησης της βέλτιστης λύσης, επιχειρούμε διαφορετικούς συνδυασμούς τοποθέτησης των δραστηριοτήτων σεβόμενοι τις σχέσεις διαδοχής και την συνολική διάρκεια του έργου. Συγκεκριμένα: Για να επιτύχουμε την εξομάλυνση του διαγράμματος πόρων ή διαφορετικά ένα σταθερό ποσοστό χρήσης, που, όπως ήδη αναφέρθηκε, θεωρείται ότι οδηγεί σε χαμηλότερο κόστος των πόρων, θα πρέπει να τοποθετήσουμε τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συνάρτηση που αποδίδει το εύρος τιμών ή, διαφορετικά, τις μεταβολές/ την διακύμανση των πόρων να ελαχιστοποιηθεί. Εναλλακτικά, ο δείκτης χρήσης πόρων θα πρέπει να τείνει στο 1. Στην περίπτωση που ο δείκτης χρήσης πόρων ισούται με 1, έχουμε επιτύχει οι μέσοι απαιτούμενοι πόροι να ισούνται με τις υψηλότερες απαιτήσεις σε πόρους r(μέσο) = r(max), δηλαδή δεν προκύπτουν διακυμάνσεις σε κανένα σημείο του γραφήματος. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Ελαχιστοποίηση της μεταβολής των πόρων, ή, διαφορετικά, ο δείκτης επίδοσης «χρήση πόρων» να τείνει στο 1

103 Γράφημα 2. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ενωρίτερη έναρξη) Γράφημα 3. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (ενωρίτερη έναρξη) Γράφημα 4. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (βραδύτερη έναρξη) Γράφημα 5. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (βραδύτερη έναρξη)

104 Γράφημα 6. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση 1) Γράφημα 7. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση 1) Γράφημα 8. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση 2) Γράφημα 9. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση 2)

105 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 77 Για να επιτύχουμε την εξομάλυνση του διαγράμματος πόρων ή διαφορετικά ένα σταθερό ποσοστό χρήσης επιχειρούμε τους παρακάτω συνδυασμούς: Στην εφαρμογή που ονομάζουμε «Εξομάλυνση 1» μετακινούμε τις δραστηριότητες B και D στον βραδύτερο χρόνο έναρξης, διατηρώντας τις υπόλοιπες δραστηριότητες του έργου στον ενωρίτερο χρόνο έναρξης. Το διάγραμμα Gantt για τον χρονοπρογραμματισμό της εξομάλυνσης 1 απεικονίζεται στο γράφημα 6 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους στο γράφημα 7. Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται την 4 η ημέρα (12 εργάτες). Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 17, 18, 19 και 20 (3 εργάτες). Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο χρονοπρογραμματισμός της εξομάλυνσης 1 παράγει ένα προφίλ με μικρότερες διακυμάνσεις από τον χρονοπρογραμματισμό τόσο της ενωρίτερης όσο και της βραδύτερης έναρξης. Πίνακας 13. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «Εξομάλυνση 1» Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης Βασικοί δείκτες εύρος τιμών r(max) r(min) = 12 3 = 9 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 12 = 0,61 Στην εφαρμογή που ονομάζουμε «Εξομάλυνση 2» επιχειρούμε νέο συνδυασμό τοποθέτησης των δραστηριοτήτων σεβόμενοι τις σχέσεις διαδοχής και την συνολική διάρκεια του έργου. Πιο συγκεκριμένα, μετακινούμε την δραστηριότητα B εντός του ελεύθερου περιθωρίου της και συγκεκριμένα να ξεκινά την χρονική στιγμή t = 2. Μετακινούμε τις δραστηριότητες D και G στον βραδύτερο χρόνο έναρξης και την δραστηριότητα E εντός του ελεύθερου περιθωρίου της και συγκεκριμένα να ξεκινά την χρονική στιγμή t = 5. Το διάγραμμα Gantt για τον χρονοπρογραμματισμό της εξομάλυνσης 2 απεικονίζεται στο γράφημα 8 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους στο γράφημα 9. Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται την 10 η ημέρα (11 εργάτες). Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 17, 18, 19 και 20 (3 εργάτες). Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο χρονοπρογραμματισμός της εξομάλυνσης 2 παράγει ένα προφίλ με μικρότερες διακυμάνσεις από τον χρονοπρογραμματισμό τόσο της ενωρίτερης όσο και της βραδύτερης έναρξης αλλά και της εξομάλυνσης 1, με μέγιστο 11 και ελάχιστο 3. Πίνακας 14. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «Εξομάλυνση 2» Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης Βασικοί δείκτες εύρος τιμών r(max) r(min) = 11 3 = 8 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 12 = 0,67 Η κατανομή των πόρων συγκριτικά για τις 2 λύσεις Εξομάλυνση 1 και Εξομάλυνση 2, παρουσιάζεται στο γράφημα 17. Ανάμεσα στα τέσσερα προφίλ που διερευνήθηκαν, επιλέγεται αυτό της «Εξομάλυνσης 2» σε όρους βελτιστοποίησης της κατανομής των πόρων.

106 78 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Για μικρά έργα, η εμπειρική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω λειτουργεί σε ικανοποιητικό επίπεδο, αλλά δεν είναι πάντοτε αξιόπιστη για την ανεύρεση του βέλτιστου προφίλ. Εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς, ότι ο υπολογισμός των μεγεθών του χρονοπρογραμματισμού και η κατανομή των πόρων για κάθε συνδυασμό μετακίνησης των δραστηριοτήτων του έργου (με βάση τους περιορισμούς) εξελίσσεται σε μία επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία όσο αυξάνει το μέγεθος και η πολυπλοκότητα του έργου. Εκτός από τις χρονικές μετακινήσεις των δραστηριοτήτων μέσα στο πλαίσιο των χρονικών περιθωρίων μπορούν, επίσης, να εξεταστούν συμπληρωματικά ή εναλλακτικά και οι εξής πιθανές λύσεις για την εξομάλυνση του διαγράμματος κατανομής πόρου. Μείωση του ρυθμού των δραστηριοτήτων, ή διαφορετικά, εκτέλεση δραστηριοτήτων σε χαμηλότερο ποσοστό χρησιμοποιώντας τα επίπεδα διαθέσιμων πόρων. Η λύση αυτή αφορά μη κρίσιμες δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν με λιγότερους πόρους με παράλληλη αύξηση της διάρκειας τους. Η συνολική διάρκεια του έργου παραμένει βασικός περιορισμός που πρέπει να ληφθεί υπόψη. Διαχωρισμός/ κατάτμηση δραστηριοτήτων. Επίσης, αφορά μη κρίσιμες δραστηριότητες οι οποίες μπορούν να εκτελεστούν κατά τμήματα με ενδιάμεσες διακοπές, χωρίς να μεταβληθούν σημαντικά οι αρχικές σχέσεις προτεραιότητας. Τροποποίηση δικτύου. Αν το δίκτυο στηρίζεται μόνο σε σχέσεις λήξης έναρξης, τότε η εισαγωγή διαφορετικών σχέσεων προτεραιότητας μπορεί να βοηθήσει στη διαχείριση των περιορισμένων πόρων. Για παράδειγμα, αν μια σύνδεση του δικτύου τύπου έναρξης λήξης γίνει έναρξης έναρξης τότε ίσως η καθυστέρηση αντιμετωπισθεί. Επίσης, αφορά την περίπτωση που μία επόμενη δραστηριότητα μπορεί να αρχίσει όταν έχει περατωθεί ένα τμήμα και όχι ολόκληρη η προηγούμενη δραστηριότητα. Χρήση εναλλακτικών/ υποκατάστατων πόρων. Συνήθως η επιλογή ενός πιο αποδοτικού μέσου εκτέλεσης μίας εργασίας οδηγεί σε μείωση του απαιτούμενου αριθμού πόρων αλλά και σε αύξηση του αντίστοιχου κόστους με συνέπεια να απαιτείται ανάλυση βελτιστοποίησης για την επιλογή της τελικής λύσης. Εάν οι παραπάνω στρατηγικές δεν επιλύουν το πρόβλημα, μία ή περισσότερες δραστηριότητες θα πρέπει να καθυστερήσουν πέρα από το συνολικό περιθώριό τους, προκαλώντας καθυστέρηση στην ολοκλήρωση του έργου. Οι παραπάνω αναλύσεις γίνονται πιο πολύπλοκες όταν χρησιμοποιούνται περισσότεροι τύποι πόρων, ο αριθμός των δραστηριοτήτων είναι μεγάλος και υπάρχουν περισσότερα έργα που μοιράζονται τους ίδιους πόρους.

107 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 79 Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως τα περισσότερα πακέτα λογισμικού διαχείρισης έργων (Primavera Project Management, Microsoft Office Project Manager, κ.λπ.) εμπεριέχουν τέτοιου είδους διαδικασίες βάση αλγοριθμικών προσεγγίσεων για την εξομάλυνση των πόρων, οι οποίες όμως σύμφωνα με τα αποτελέσματα σχετικών ερευνητικών δοκιμών και αναφορών στην βιβλιογραφία δεν αποδίδουν σε όλες τις περιπτώσεις πολύ καλά αποτελέσματα. Για τον λόγο αυτό αλλά και εξαιτίας του μεγάλου ερευνητικού ενδιαφέροντος του προβλήματος, τόσο για τις απλές όσο και για τις πιο σύνθετες περιπτώσεις έργων, έχουν αναπτυχθεί από τους μελετητές εξειδικευμένες ευρετικές και μετα ευρετικές τεχνικές (πιθανοκρατικές) βελτιστοποίησης, οι σημαντικότερες εκ των οποίων περιγράφονται στα κεφάλαια 5 και 6. Στο πλαίσιο της παρούσας Διατριβής, για την επίλυση των γενικευμένων προβλημάτων κατανομής πόρων με περιορισμούς, λαμβάνεται υπόψη η προηγούμενη εμπειρία και δομείται αντίστοιχη μετα ευρετική τεχνική με χρήση γενετικού αλγορίθμου, η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά στο κεφάλαιο Κατανομή Περιορισμένων Πόρων Στην πραγματικότητα, στην συντριπτική πλειοψηφία των έργων υπάρχουν περιορισμοί σε έναν ή περισσότερους πόρους χωρίς να προσφέρονται εναλλακτικές, όπως π.χ. χρήση κάποιων υποκατάστατων πόρων. Ενδεικτικές κατηγορίες προβλημάτων είναι: ενδεχόμενες καθυστερήσεις σε μια δραστηριότητα οι οποίες καθιστούν ανέφικτο τον αρχικό σχεδιασμό και θέτουν το έργο εκτός χρονοδιαγράμματος, προβλήματα χρηματατορροής που μειώνουν τη διαθεσιμότητα όλων των ειδών πόρων, περιορισμοί στη διαθεσιμότητα οι οποίοι αλλάζουν την ημερομηνία ολοκλήρωσης/ περάτωσης δραστηριοτήτων που επηρεάζουν την συνολική διάρκεια του έργου, κ.λπ. Κατά αυτόν τον τρόπο και ενώ έχει προηγηθεί ανάλυση της κρίσιμης διαδρομής, τέτοιου τύπου περιορισμοί ενδέχεται να μεταβάλλουν σημαντικά τα δεδομένα του χρονοπρογραμματισμού του έργου και να επιβάλουν την αύξηση της διάρκειας του έργου από την αρχικά προγραμματισμένη. Αυτό συμβαίνει όταν οι απαιτούμενοι πόροι υπερβαίνουν τους διαθέσιμους πόρους σε μία ή περισσότερες χρονικές περιόδους και το χρονικό περιθώριο των μη κρίσιμων δραστηριοτήτων δεν επαρκεί για την επίλυση του προβλήματος. Η αύξηση της διάρκειας του έργου είναι η τελευταία εναλλακτική σε αυτού του τύπου τα προβλήματα και αφού πρώτα έχουν ελεγχθεί οι δυνατότητες: α) μείωσης του απαιτούμενου ύψους πόρου μίας ή περισσότερων εκ των μη κρίσιμων δραστηριοτήτων με παράλληλη αύξηση της διάρκειάς τους, β) εκτέλεσης μίας ή περισσότερων δραστηριότητας τμηματικά (κατάτμηση δραστηριοτήτων), γ) τροποποίησης του δικτυωτού γραφήματος ή δ) της χρήσης διαφορετικού είδους

108 80 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ πόρου. Αν η χρονική επιμήκυνση του έργου είναι παρόλα αυτά αναπόφευκτη, ο στόχος της ανάλυσης είναι η ελαχιστοποίηση αυτής της αύξησης, ή διαφορετικά η βελτιστοποίηση της διάρκειας του έργου υπό τους περιορισμούς της διάθεσης των πόρων. Τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού έργου με περιορισμένους πόρους (Resource Constrained Scheduling Problems, RCSP) αποτελούν μία γενικευμένη κατηγορία προβλημάτων (στους πόρους μπορεί να περιλαμβάνεται και ο χρόνος, οπότε τα προβλήματα μεταπίπτουν σε αυτά της 4.9). Το πρόβλημα της εξομάλυνσης πόρων (resource leveling) με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων αποτελεί υποσύνολο των προβλημάτων τύπου RCSP και το ερευνητικό πεδίο της παρούσας Διατριβής. Επειδή η κατανομή των πόρων στη περίπτωση των προβλημάτων RCSP μεταβάλλει τα χρονικά μεγέθη του έργου (χρονικά περιθώρια, κρίσιμες δραστηριότητες), η μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου δεν μπορεί να εφαρμοστεί επακριβώς. Αν το έργο που εξετάζεται έχει μικρό αριθμό δραστηριοτήτων, τότε μπορεί να προκύψει η ελάχιστη αύξηση της διάρκειας του έργου εμπειρικά. Αυτό το είδος προγραμματισμού έχει σαν αποτέλεσμα, ένα πρόγραμμα που ποτέ δεν ξεπερνά τα επίπεδα των διαθέσιμων πόρων. Συχνά αυτό σημαίνει ότι δεχόμαστε οποιαδήποτε καθυστέρηση προκύψει στην ανάλυση δικτύου λόγω αυτού του περιορισμού. Μάλιστα πολλοί διαχωρίζουν τον προγραμματισμό περιορισμένων πόρων περαιτέρω σε προγραμματισμό περιορισμού ανανεώσιμων πόρων και σε περιορισμού εξαντλούμενων πόρων. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι μητροειδείς οργανωσιακές δομές 9 βοηθούν τις οργανώσεις να επιτύχουν υψηλή χρήση αξιοποιώντας την συγκέντρωση πόρων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.1 (συν.) Αν για το παράδειγμα 4.1 της 4.9. τροποποιήσουμε τις υποθέσεις εργασίας βάζοντας συγκεκριμένο περιορισμό στην διαθεσιμότητα των πόρων, τότε έχουμε: Η εκτέλεση μίας δραστηριότητας απαιτεί τη χρήση του πόρου σε σταθερό ποσοστό. Κατά αυτόν τον τρόπο, για την δραστηριότητα Α απαιτούνται 5 εργάτες σε κάθε μία από τις 4 ημέρες που διαρκεί. Όταν το ποσοστό χρήσης δεν είναι σταθερό, οι απαιτήσεις σε πόρους πρέπει να προσδιορίζονται για κάθε χρονική περίοδο (μία ημέρα, για το συγκεκριμένο παράδειγμα). Παράδειγμα 4.1 Ομάδα υποθέσεων Β (περιορισμένοι πόροι ένας τρόπος εκτέλεσης δραστηριοτήτων) 9 Μία από τις πιο γνωστές εφαρμογές της διαχείρισης έργων είναι η οργανωσιακή δομή μεικτής τμηματοποίησης ή «οργάνωση μήτρας» (matrix). Είναι αυτή στην οποία η οργανωτική δομή-βάση έργου επικάθεται (imposed) πάνω σε μια λειτουργική οργανωτική δομή. Πιο απλά, αυτή η οργανωτική δομή είναι συνδυασμός της λειτουργικής τμηματοποίησης και της τμηματοποίησης κατά έργο ή προϊόν (πελάτη κ.λπ., δηλαδή τμηματοποίηση κατά αυτόνομο τμήμα) στην ίδια οργανωτική δομή. Ουσιαστικά είναι μια προσπάθεια να αποκομίσουμε τα πλεονεκτήματα και να ελαχιστοποιήσουμε τα μειονεκτήματα από καθεμία από τις συνδυαζόμενες οργανωτικές δομές. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρησιμοποίηση μόνιμων διατμηματικών ομάδων για να στηρίξουν συγκεκριμένα προϊόντα, projects ή προγράμματα.

109 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 81 Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν με λιγότερους ή περισσότερους εργάτες από αυτούς που περιγράφονται στον πίνακα 9. Οι διαθέσιμοι πόροι για το έργο περιορίζονται στους 8 εργάτες ανά ημέρα, ή με άλλα λόγια οι απαιτούμενοι πόροι δεν μπορούν να ξεπερνούν τους 8 εργάτες ανά ημέρα. Με βάση τα παραπάνω, μία εμπειρική λύση αναπρογραμματισμού του έργου ώστε αυτό να υλοποιηθεί με την ελάχιστη δυνατή διάρκεια και σεβασμό στους περιορισμούς, είναι η εξής: Το διάγραμμα Gantt για τον νέο χρονοπρογραμματισμό του έργου που ονομάζουμε «Αναπρογραμματισμό έργου 1» απεικονίζεται στο γράφημα 12 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους απεικονίζεται στο γράφημα 13. Με έντονη μπλε σκίαση στο διάγραμμα Gantt σημειώνονται οι κρίσιμες δραστηριότητες του έργου (C F H I J) σύμφωνα με την μέθοδο CPM. Η συνολική διάρκεια του έργου με βάση την επίλυση που ονομάζουμε «Αναπρογραμματισμό 1» προσδιορίζεται στις 28 ημέρες. Όπως προκύπτει από τις διαγραμματικές απεικονίσεις, ο χρονοπρογραμματισμός παράγει ένα προφίλ χρήσης πόρων που δεν ξεπερνά σε κανένα σημείο τους 8 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός του προβλήματος). Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 1, 2, 3, 4, 8, 9 και 16 όπου απαιτούνται 8 εργάτες. Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 19, 20, 21, 26, 27 και 28 όπου απαιτούνται μόνο 3 εργάτες. Σε αυτή την περίπτωση: Πίνακας 15. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον «Αναπρογραμματισμό έργου 1» Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης Βασικοί δείκτες διάρκεια έργου 28 ημέρες εύρος τιμών r(max) r(min) = 8 3 = 5 r(χρησ)/ r(διαθ) = 147/ 224 = 0,66 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 5,25/ 8 = 0,66 Η χρησιμοποίηση, ή διαφορετικά, χρήση των πόρων ορίζεται ως το ποσοστό (χρόνου) χρήσης ενός ανανεώσιμου πόρου. Χρήση πόρων Στο παράδειγμα 4.1, εάν είναι διαθέσιμοι 8 εργάτες κάθε ημέρα και η διάρκεια του έργου είναι 28 ημέρες, είναι διαθέσιμες συνολικά 28 x 8 = 224 ανθρωποημέρες πόρων. Επειδή χρησιμοποιούνται μόνο 147, σύμφωνα με το γράφημα 12, η χρήση των πόρων είναι 147/ 224 = 0,66. Η χρήση των πόρων υπολογίζεται και μέσω του δείκτη (μέση χρήση πόρου)/ (μέγιστη χρήση πόρου) = r(μέσο)/ r(max) που χρησιμοποιήσαμε στο πρόβλημα απεριόριστων πόρων περιορισμένου χρόνου. Όπως ήδη αναφέρθηκε, πρόκειται για έναν σημαντικό δείκτη επιδόσεων, ιδίως για τους ανανεώσιμους πόρους σε ένα περιβάλλον πολλαπλών έργων. Οι

110 82 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ τεχνικές εξομάλυνσης πόρων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίτευξη υψηλότερων επιπέδων χρήσης σε όλα τα έργα και όλους τους πόρους. Η μεγιστοποίηση της χρήσης πόρων, αποτελεί επίσης κεντρικό ζητούμενο της διαδικασίας που καλείται κατανομή των πόρων ενός έργου και μαζί με την εξομάλυνση των πόρων (με την οποία συνδέονται άρρηκτα) αποτελούν βασικά ζητούμενα της ερευνητικής προσπάθειας που περιγράφεται στην παρούσα Διατριβή. Το προτεινόμενο στην παρούσα μοντέλο βελτιστοποίησης (κεφάλαιο 7) δομείται πάνω στους δύο παραπάνω στόχους εισάγοντας στην αντικειμενική συνάρτηση επιπλέον όρους κόστους. Η διατύπωση του προβλήματος υπό την συγκεκριμένη μορφή, όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στην 7.3, είναι πειραματική και αποτελεί μία επιπλέον σημαντική παράμετρο καινοτομίας της προτεινόμενης μεθοδολογίας επίλυσης. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.1 (συν.) Επανερχόμενοι στο Παράδειγμα 4.1 της 4.9, στη συνέχεια πραγματοποιείται εφαρμογή της ενσωματωμένης τεχνικής εξομάλυνσης του διαγράμματος πόρων (που βασίζεται σε ευρετικές μεθόδους) στο πακέτο λογισμικού MS Project (2007) και επιλογή της δυνατότητας επιμήκυνσης της διάρκειας του έργου, προκύπτει το παρακάτω γράφημα κατανομής των πόρων. Η συνολική διάρκεια του έργου με βάση την επίλυση που ονομάζουμε «MS Pr1» προσδιορίζεται στις 26 ημέρες. Γράφημα 10. Παράδειγμα 4.1 Αρχική κατανομή πόρων (ενωρίτερος χρόνος) Γράφημα 11. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (εξομάλυνση MS Pr1) Σχήμα 22. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (εξομάλυνση MS Pr1)

111 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 83 Το προφίλ που παράγει το MS project, «MS Pr1» είναι ελαφρώς βελτιωμένο σε σχέση με το προφίλ του «Αναπρογραμματισμού 1». Στον δείκτη εύρος τιμών λαμβάνει την ίδια τιμή, ενώ στην χρήση πόρων ελαφρώς μεγαλύτερη. Πίνακας 16. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό «MS Pr1» Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης Βασικοί δείκτες διάρκεια έργου 26 ημέρες εύρος τιμών r(max) r(min) = 8 3 = 5 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 5,53/ 8 = 0,69 Αν, τέλος, για το παράδειγμα 4.1 τροποποιήσουμε περαιτέρω τις υποθέσεις εργασίας βάζοντας συγκεκριμένο περιορισμό στην διαθεσιμότητα των πόρων επιτρέποντας όμως διαφορετικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, τότε έχουμε: Η εκτέλεση μίας δραστηριότητας απαιτεί τη χρήση του πόρου σε σταθερό ποσοστό. Κατά αυτόν τον τρόπο, για την δραστηριότητα Α απαιτούνται 5 εργάτες σε κάθε μία από τις 4 ημέρες που διαρκεί. Όταν το ποσοστό χρήσης δεν είναι σταθερό, οι απαιτήσεις σε πόρους πρέπει να προσδιορίζονται για κάθε χρονική περίοδο (μία ημέρα, για το συγκεκριμένο παράδειγμα). Παράδειγμα 4.1 Ομάδα υποθέσεων Γ (περιορισμένοι πόροι εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης δραστηριοτήτων) Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. Οι διαθέσιμοι πόροι για το έργο περιορίζονται στους 8 εργάτες ανά ημέρα, ή με άλλα λόγια οι απαιτούμενοι πόροι δεν μπορούν να ξεπερνούν τους 8 εργάτες ανά ημέρα. Οι δραστηριότητες μπορούν να εκτελεστούν με μικρότερο/ μεγαλύτερο αριθμό εργατών με την προϋπόθεση να αυξηθεί/ μειωθεί ανάλογα η διάρκεια τους ώστε ο συνολικός αριθμός εργατοημερών να παραμένει σταθερός για κάθε δραστηριότητα (διαφορετικοί τρόποι εκτέλεσης δραστηριοτήτων - modes). Με βάση τα παραπάνω, μία εμπειρική λύση αναπρογραμματισμού του έργου ώστε αυτό να υλοποιηθεί με την ελάχιστη δυνατή διάρκεια και σεβασμό στους περιορισμούς, είναι η εξής: Ο συνδυασμός τρόπων εκτέλεσης για την προτεινόμενη λύση παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα.

112 84 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Πίνακας 17. Παράδειγμα Εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης δραστηριοτήτων «Αναπρογραμματισμός έργου 2» Αρχικός πίνακας προγραμματισμού Αναπρογραμματισμός έργου 2 Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Μέγεθος Συνεργείου Διάρκεια (ημέρες) Μέγεθος Συνεργείου Συνολική εργασία (ανθρωποημέρες) j dj1 rj1 dj2 rj2 dj2 x rj2 A B C D A E B F C G D H F I E,H J G,I Το διάγραμμα Gantt για τον νέο χρονοπρογραμματισμό του έργου που ονομάζουμε «Αναπρογραμματισμό έργου 2» απεικονίζεται στο γράφημα 14 και το αντίστοιχο προφίλ απαιτήσεων σε πόρους απεικονίζεται στο γράφημα 15. Η συνολική διάρκεια του έργου με βάση την επίλυση που ονομάζουμε «Αναπρογραμματισμό 2» προσδιορίζεται στις 22 ημέρες. Ο χρονοπρογραμματισμός παράγει ένα προφίλ χρήσης πόρων που δεν ξεπερνά σε κανένα σημείο τους 8 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός του προβλήματος). Οι υψηλότερες απαιτήσεις (max) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 2, 3, 8, 9, 10, 11, 13, 14 και 14 όπου απαιτούνται 8 εργάτες. Οι χαμηλότερες απαιτήσεις (min) σε πόρους εμφανίζονται τις ημέρες 1, 4, 16, 17, 18, 19 και 20 όπου απαιτούνται 5 εργάτες. Σε αυτή την περίπτωση: Πίνακας 18. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ πόρων για τον «Αναπρογραμματισμό έργου 2» Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης Βασικοί δείκτες εύρος τιμών r(max) r(min) = 8 5 = 3 χρήση πόρων r(χρησ)/ r(διαθ) = 147/ 176 = 0,84 r(μέσο)/ r(max) = 6,68/ 8 = 0,84 Από τους δείκτες επίδοσης προκύπτει πως η συγκεκριμένη λύση διευρύνει το πεδίο αναζήτησης και παράγει ένα ιδιαίτερα ικανοποιητικό προφίλ πόρων, με την χρήση πόρων να διαμορφώνεται σε επίπεδα άνω του 80%, ενώ η συνολική διάρκεια του έργου διαμορφώνεται σε 22 ημέρες, κατά 2 μόνο μέρες μεγαλύτερη από την διάρκεια που προέκυψε εφαρμόζοντας την μέθοδο κρίσιμης διαδρομής χωρίς περιορισμό πόρων. Η εξομάλυνση πόρων συγκριτικά για τις 2 λύσεις «Αναπρογραμματισμός 1» και «Αναπρογραμματισμός 2», παρουσιάζεται στο γράφημα 18.

113 Γράφημα 12. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (Αναπρογραμματισμός έργου 1) Γράφημα 13. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (Αναπρογρ. 1) Γράφημα 14. Παράδειγμα 4.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (Αναπρογραμματισμός έργου 2) Γράφημα 15. Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους (Αναπρογρ. 2)

114

115 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 87 Γράφημα 16. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους ενωρίτερος και βραδύτερος χρόνος (συγκριτικά) Γράφημα 17. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους Εξομάλυνση 1 και Εξομάλυνση 2 (συγκριτικά) Γράφημα 18. Παράδειγμα 4.1 Προφίλ απαιτήσεων σε πόρους Αναπρογραμματισμός 1 και Αναπρογραμματισμός 2 (συγκριτικά) Πηγή: Ιδία επεξεργασία

116 88 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Από τα παραπάνω, εύκολα διαπιστώνει κανείς πως η δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο (εναλλακτικοί συνδυασμοί απαιτούμενης διάρκειας απαιτούμενων πόρων ώστε ο συνολικός αριθμός εργατοημερών να παραμένει σταθερός για κάθε δραστηριότητα) παράγει ικανοποιητικές λύσεις χρονοπρογραμματισμού των έργων καθώς διευρύνει σημαντικά τον χώρο αναζήτησης λύσεων. Για τον λόγο αυτό, οι ερευνητικές προσεγγίσεις και εφαρμογές εξομάλυνσης πόρων των τελευταίων ετών, στη πλειοψηφία τους, χρησιμοποιούν αυτού του τύπου τις υποθέσεις (βλ. κεφάλαιο 6). ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ Επιπλέον, η δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων εξ ορισμού αποτυπώνει πληρέστερα τα πραγματικά δεδομένα των τεχνικών έργων και επί της ουσίας αποτελεί υπερσύνολο της ύπαρξης ενός μοναδικού τρόπου εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας. Η κρισιμότητα αυτής της παραμέτρου που προσδιορίζεται από τα πλεονεκτήματα που προαναφέρθηκαν, την καθιστά θεμελιώδη στην αναζήτηση των βέλτιστων λύσεων κατανομής των πόρων και ενσωματώνεται στην μεθοδολογική προσέγγιση που αναπτύσσεται στην παρούσα Διατριβή Κατανομή Πολλαπλών Πόρων Στα τεχνικά έργα ακόμα και στα πιο μικρά, οι διάφορες εργασίες απαιτούν διαφορετικού τύπου μέσα παραγωγής (διαφορετικές κατηγορίες πόρων). Για παράδειγμα, σε ένα έργο κατασκευής αγωγού ομβρίων και περιοριζόμενοι στις κύριες εργασίες, απαιτούνται φορτηγό, εκσκαφέας φορτωτής και γερανοφόρο όχημα. Το φορτηγό θα μεταφέρει τους σωλήνες στον χώρο κατασκευής, ο συνδυασμός εκσκαφέα φορτωτή και φορτηγού θα χρησιμοποιηθεί για την διάνοιξη της τάφρου και την απομάκρυνση του πλεονάζοντος υλικού, το γερανοφόρο όχημα θα τοποθετήσει τους σωλήνες και ο εκσκαφέας φορτωτής θα τους καλύψει με χώμα. Αλλά και μία συγκεκριμένη εργασία απαιτεί τη χρήση πολλαπλών τύπων πόρου (π.χ. σε χωματουργικές εργασίες απαιτείται η χρησιμοποίηση φορτηγών και οχημάτων). Η μεθοδολογία κατανομής πολλαπλών πόρων δεν διαφέρει ουσιαστικά από την αντίστοιχη για έναν απλό πόρο. Η κύρια διαφορά είναι ότι απαιτούνται ξεχωριστά διαγράμματα κατανομής για κάθε τύπο πόρου.

117 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.2 Αν στο παράδειγμα 4.1 της 4.9, θεωρήσουμε ότι απαιτούνται 2 διαφορετικοί πόροι για την εκτέλεση των εργασιών (έστω, r1 = συνεργείο/ εργάτες και r2 = μηχανήματα), τότε τα δεδομένα του προβλήματος διαφοροποιούνται (Παράδειγμα 4.2). Πίνακας 19. Παράδειγμα 4.2 (10 δραστηριότητες, 2 πόροι, απλές σχέσεις διαδοχής) Δεδομένα Δραστηριότητα Αμέσως προηγούμενη Διάρκεια (ημέρες) Μέγεθος Συνεργείου (εργάτες) Μηχανήματα j dj r1 r2 A B C D A E B F C G D H F I E,H J G,I Σύμφωνα τα στοιχεία του πίνακα χρονοπρογραμματισμού του έργου η κρίσιμη διαδρομή είναι αυτή που περιγράφηκε και στην 4.9: C F H I J. Η διάρκεια του έργου υπολογίζεται στις 20 ημέρες. Το διάγραμμα Gantt για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης απεικονίζεται στο σχήμα 23 και για τον χρονοπρογραμματισμό βραδύτερης έναρξης στο σχήμα 24. Με έντονη σκίαση στο διάγραμμα Gantt σημειώνονται οι κρίσιμες δραστηριότητες του έργου (C F H I J) σύμφωνα με την μέθοδο CPM για τον πόρο r1 (μπλε) και για τον πόρο r2 (πορτοκαλί). Το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους απεικονίζεται στα γραφήματα 19, 20 και 21 (ενωρίτερη έναρξη) και 22, 23 και 24 (βραδύτερη έναρξη) και περιγράφεται στον πίνακα που ακολουθεί:

118 90 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Πίνακας 20. Παράδειγμα 4.2 Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης Προφίλ πόρων για τον χρονοπρογραμματισμό ενωρίτερης έναρξης και βραδύτερης έναρξης Βασικοί δείκτες Ενωρίτερη έναρξη Βραδύτερη έναρξη r1 εύρος τιμών r(max) r(min) = 13 3 = 10 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 13 = 0,57 r2 εύρος τιμών r(max) r(min) = 6 1 = 5 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 3/ 6 = 0,50 r1 εύρος τιμών r(max) r(min) = 14 3 = 11 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 7,35/ 14 = 0,53 r2 εύρος τιμών r(max) r(min) = 6 1 = 5 χρήση πόρων r(μέσο)/ r(max) = 3/ 6 = 0,50 Δεδομένου ότι η μείωση του εύρους/ διακύμανσης τιμών, όταν περνάμε από τον χρονοπρογραμματισμό της βραδύτερης έναρξης στον χρονοπρογραμματισμό της ενωρίτερης έναρξης δεν είναι κατ ανάγκη ομοιόμορφη στις ενδιάμεσες περιπτώσεις, για να αναζητήσουμε την βέλτιστη λύση, επιχειρούμε διαφορετικούς συνδυασμούς τοποθέτησης των δραστηριοτήτων σεβόμενοι τις σχέσεις διαδοχής και την συνολική διάρκεια του έργου. Η διαδικασία βελτιστοποίησης σε κάθε διάγραμμα είναι η ίδια με αυτήν του απλού πόρου, υπάρχει όμως μια πρόσθετη δυσκολία στην εμπειρική αντιμετώπιση αφού απαιτείται βελτιστοποίηση πολλών αλληλοεξαρτώμενων διαγραμμάτων συγχρόνως. Από τα παραπάνω καθίσταται σαφές ότι το πρόβλημα γίνεται ιδιαίτερα σύνθετο για εμπειρική διερεύνηση. Στις περιπτώσεις πολλαπλών πόρων απαιτείται υπολογιστική διερεύνηση που να λαμβάνει υπόψη της όλες τις παραπάνω υποθέσεις και παραμέτρους. Η χρήση πολλαπλών πόρων για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων του έργου προσομοιάζει καλύτερα στα πραγματικά δεδομένα και επί της ουσίας αποτελεί υπερσύνολο της χρήσης ενός πόρους για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας. Η συγκεκριμένη δυνατότητα ενσωματώνεται στην μεθοδολογική προσέγγιση που αναπτύσσεται στην παρούσα Διατριβή για την αναζήτηση των βέλτιστων λύσεων κατανομής των πόρων. Με άλλα λόγια, το μοντέλο που αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 7, εκτός των όσων αναφέρθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, περιλαμβάνει επιπλέον την βελτιστοποίηση προβλημάτων κατανομής πολλαπλών πόρων. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ

119 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 91 Σχήμα 23. Παράδειγμα 4.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ενωρίτερη έναρξη) Σχήμα 24. Παράδειγμα 4.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (βραδύτερη έναρξη)

120 Γράφημα 19. Προφίλ πόρου r1 (ενωρίτερη έναρξη) Γράφημα 20. Προφίλ πόρου r2 (ενωρίτερη έναρξη) Γράφημα 21. Συνολικό Προφίλ πόρων (ενωρίτερη έναρξη) Γράφημα 22. Προφίλ πόρου r1 (βραδύτερη έναρξη) Γράφημα 23. Προφίλ πόρου r2 (βραδύτερη έναρξη) Γράφημα 24. Συνολικό Προφίλ πόρων (βραδύτερη έναρξη)

121 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 93 Από τις παραγράφους που προηγήθηκαν, καθίσταται σαφές ότι η ερευνητική προσέγγιση της παρούσας Διατριβής περιλαμβάνει πλήθος παραμέτρων και περιορισμών, για την αποτύπωση όλων των ενδεχόμενων περιπτώσεων και υποπεριπτώσεων που υπεισέρχονται στην επίλυση των προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα. Το προτεινόμενο μοντέλο δομείται στην βάση των γενικευμένων σύνθετων προβλημάτων, αλλά προσαρμόζεται πολύ εύκολα στην επίλυση πιο απλών περιπτώσεων. Σε μια προσπάθεια απλουστευμένης σχηματικής απεικόνισης, το ερευνητικό πλαίσιο της παρούσας προκύπτει από την σύνθεση των ενοτήτων: «κατανομή πολλαπλών πόρων» και «κατανομή περιορισμένων πόρων σε έργα» για τα οποία υπάρχει «η δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων». ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Προβλήματα κατανομής πολλαπλών πόρων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων, συμπεριλαμβανομένου του χρόνου (RCSP), και δυνατότητα εκτέλεσης εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης (modes) των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο ή, διαφορετικά, Προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων: min (διάρκεια έργου) + min (κόστος έργου) + min (διακυμάνσεις στην χρήση πόρων) + max (βαθμού χρήσης πόρων) με σεβασμό στους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων και διαθεσιμότητας των πόρων και δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης (modes) των δραστηριοτήτων Κανόνες Προτεραιότητας για την Κατανομή των Πόρων Στις περιπτώσεις σύνθετων έργων που απαιτούν την χρήση πολλών πόρων και οι δραστηριότητες που τα απαρτίζουν είναι πολλές, η εμπειρική επίλυση για την διαχείριση των πόρων που εφαρμόστηκε στις 4.9 και 4.10 καθίσταται εξαιρετικά επίπονη. Για τον λόγο αυτό, ακολουθείται συνήθως μία διαδικασία που βασίζεται σε ταξινόμηση των δραστηριοτήτων για να καθοριστεί η προτεραιότητα στην κατανομή. Η ταξινόμηση γίνεται με κριτήρια που μόνο δευτερευόντως λαμβάνουν υπόψη το κρίσιμο μιας δραστηριότητας.

122 94 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ Παραδείγματα συνηθισμένων κανόνων προτεραιότητας είναι: Δραστηριότητα με το μικρότερο χρονικό περιθώριο, Δραστηριότητα με τον ελάχιστο χρόνο αργότερης λήξης (όπως καθορίζεται από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής), Δραστηριότητα που απαιτεί τον μεγαλύτερο αριθμό μονάδων πόρων (ή τον μικρότερο αριθμό μονάδων πόρων), Συντομότερες δραστηριότητες (ή μεγαλύτερες σε διάρκεια δραστηριότητες). Επιπλέον παραδείγματα συχνά χρησιμοποιούμενων κανόνων είναι: Προτεραιότητα βασισμένη στην αργότερη έναρξη της δραστηριότητας και στη διάρκεια του έργου (όπως υπολογίζονται από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής). Για παράδειγμα, θα πρέπει να καθοριστούν: CPT LS(j) PT(j) = ενωρίτερος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου (βάση της ανάλυσης της κρίσιμης διαδρομής) = αργότερη έναρξη της δραστηριότητας j (βάση της ανάλυσης της κρίσιμης διαδρομής) = προτεραιότητα της δραστηριότητας j, όπου PT(j) = CPT - LS(j) Ο κανόνας αυτός αποδίδει υψηλή προτεραιότητα σε δραστηριότητες που πρέπει να ξεκινήσουν νωρίς στον κύκλο ζωής του έργου. Σε περίπτωση χρονικού προγραμματισμού πολλαπλών έργων, η τιμή του CPT υπολογίζεται για κάθε έργο. Προτεραιότητα βασισμένη στις απαιτήσεις κάθε δραστηριότητας σε πόρους. Έστω: AT(j) R(j,k) PR(j,k) = διάρκεια της δραστηριότητας j = επίπεδο πόρων k που απαιτούνται ανά μονάδα χρόνου για την εκτέλεση της δραστηριότητας j = προτεραιότητα της δραστηριότητας j, σε σχέση με τον τύπο πόρων k, όπου PR(j,k) = AT(j) x R(j,k) Στον κανόνα αυτό αποδίδεται υψηλή προτεραιότητα στη δραστηριότητα που απαιτεί τη μέγιστη χρήση του πόρου k. Προτεραιότητα βασισμένη στις απαιτήσεις κάθε δραστηριότητας σε πόρους, όταν κάποιες δραστηριότητες απαιτούν περισσότερους από έναν πόρους. Ορίζουμε την προτεραιότητα δραστηριότητας j με βάση τους απαιτούμενους πόρους ως: PSUMR(j) = προτεραιότητα της δραστηριότητας j, με βάση όλους τους απαιτούμενους πόρους της, όπου PSUMR(j) = AT(j) x ΣkR(j,k) Για την εφαρμογή του συγκεκριμένου κανόνα, είναι αναγκαίο να καθοριστεί μια κοινή μονάδα πόρων, όπως π.χ. πόρος - ημέρα.

123 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 95 Ένας σταθμισμένος κανόνας προτεραιότητα απαιτήσεων σε χρόνο πόρους μπορεί να σχηματιστεί από δύο από τους προηγούμενους κανόνες, με βάση ένα συντελεστή βαρύτητας ω ο οποίος θα παίρνει τιμές από 0 έως 1. Η προτεραιότητα ορίζεται ως: PTR(j) = Η σταθμισμένη προτεραιότητα της δραστηριότητας j, όπου PTR (j) = ω PT(j) + (1-ω) PSUMR(j) Ελέγχοντας την τιμή του ω, μπορούμε να μετατοπίσουμε την έμφαση από την διάσταση του χρόνου PT(j), στη διάσταση των πόρων PSUMR(j). Πολλοί από τους προαναφερθέντες κανόνες προτεραιότητας μπορούν να τροποποιηθούν ώστε να λαμβάνουν υπόψη διάφορους πρόσθετους παράγοντες, όπως: Η ενωρίτερη έναρξη, η ενωρίτερη λήξη, η αργότερη έναρξη, η αργότερη λήξη, Το χρονικό περιθώριο δραστηριότητας (slack/ float), Η διάρκεια της δραστηριότητας, Ο αριθμός των προηγούμενων ή των επόμενων δραστηριοτήτων, Η διάρκεια της μεγαλύτερης αλληλουχίας δραστηριοτήτων που περιέχει τη δραστηριότητα, Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων με μέγιστες απαιτήσεις σε πόρους που περιέχει τη δραστηριότητα. Τα παραπάνω κριτήρια προτεραιότητας, μπορούν να ενσωματωθούν και σε αλγοριθμικές προσεγγίσεις με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που θα τα αξιοποιούσε ο διαχειριστής του έργου εφαρμόζοντας μία εμπειρική διερεύνηση Κρίσιμη Aλυσίδα Ο Goldratt (1997) 10 επέκτεινε την ιδέα της συμφόρησης που χρησιμοποιείται στον προγραμματισμό συστημάτων παραγωγής και συστημάτων συνεχούς ροής στη διαχείριση των πόρων του έργου. Οι κρίσιμοι πόροι ή συμφορήσεις καθυστερούν τις δραστηριότητες στην κρίσιμη αλυσίδα λόγω της περιορισμένης διαθεσιμότητάς τους. Σε ένα έργο πολλαπλών πόρων, οι κρίσιμοι πόροι, των οποίων η δυναμικότητα μπορεί να αυξηθεί σχετικά ανέξοδα, μπορούν να προκαλέσουν χαμηλή χρήση ακριβών ή σπάνιων πόρων. Για παράδειγμα, ένας μισθωμένος γερανός είναι ένας ακριβός πόρος, ο οποίος μπορεί να παραμείνει αχρησιμοποίητος εάν δεν υπάρχει διαθέσιμος χειριστής, επειδή αμφότεροι οι πόροι απαιτούνται ταυτόχρονα για την εκτέλεση μιας δραστηριότητας. Από οικονομική άποψη, είναι προτιμότερο να μεγιστοποιηθεί η χρήση του ακριβού πόρου με κίνδυνο να μην χρησιμοποιηθεί αρκετά ο φθηνός πόρος. Επομένως, αν ο μισθωμένος γερανός είναι διαθέσιμος και απαραίτητος 14 ώρες κάθε μέρα, 10 Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008

124 96 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ αλλά ο χειριστής μπορεί να εργασθεί μόνο 8 έως 10 ώρες ημερησίως, είναι σκόπιμο να προσληφθούν δύο χειριστές για 16 ώρες συνολικά κάθε ημέρα, επιτρέποντας 2 ώρες νεκρού χρόνου κάθε ημέρα (χειριστές). Εξ ορισμού, η μη χρήση πόρων υποδηλώνει αναποτελεσματικότητα, η οποία πρέπει να επισημανθεί, ώστε να αποφασισθεί κατά πόσο μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εναλλακτική χρήση. Η χρήση των πόρων είναι ένας βασικός παράγοντας και κατέχει κεντρική θέση, μαζί με το κόστος και την έγκαιρη υλοποίηση, κατά την αξιολόγηση του έργου. Οι προαναφερόμενοι παράγοντες κατέχουν εξέχουσα θέση στη διαδικασία προγραμματισμού των έργων και για τον λόγο αυτό προσεγγίζονται μεθοδολογικά μέσω της δόμησης μίας νέας προσέγγισης στο πλαίσιο της παρούσας Διατριβής. Επειδή η κρίσιμη αλυσίδα (Critical Chain Project Management - CCPM) είναι η πιο μακριά αλληλουχία δραστηριοτήτων που συνδέει την έναρξη του έργου με τη λήξη του, υπό συνθήκες περιορισμών ως προς τους πόρους, και επειδή κάθε καθυστέρηση στην κρίσιμη αλυσίδα θα προκαλέσει την καθυστέρηση του συνόλου του έργου, ο Goldratt πρότεινε την χρήση απομονωτών (buffers) για την αντιστάθμιση της αβεβαιότητας. Ένας απομονωτής χρόνου είναι, ουσιαστικά ένα επιπλέον χρονικό περιθώριο που αποδίδεται σε μια δραστηριότητα για να ολοκληρωθεί. Η μέθοδος της κρίσιμης αλυσίδας εστιάζει σε δύο βασικά χαρακτηριστικά της δομής του έργου: Του ενσωματωμένου περιθωρίου ασφαλείας σε κάθε δραστηριότητα, Του γεγονότος ότι οι χρόνοι έναρξης και λήξης/ ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων είναι προκαθορισμένες. Μέσα από την προσέγγιση της διαχείριση πόρων και της ροή εργασιών με ένα σύστημα «σκυταλοδρομίας» στο οποίο: Οι εργαζόμενοι επιφορτίζονται με μια και μόνο δραστηριότητα/ εργασία τη φορά (τα πολλαπλά καθήκοντα εξαλείφονται). Οι εργαζόμενοι έχουν στην διάθεσή τους ένα μέτρο αντίστροφης μέτρησης σχετικά με την άφιξη σε αυτούς της επόμενης δραστηριότητας, έτσι ώστε να είναι προετοιμασμένοι για την χρονική στιγμή που θα έρθει, Όταν φθάσει η επόμενη δραστηριότητα, την τελειώνουν όσο πιο γρήγορα γίνεται (τακτική As Soon As Possible - ASAP), ενημερώνοντας καθημερινά τον διαχειριστή του έργου, Μόλις ολοκληρωθεί η δραστηριότητα, την παραδίδουν στον επόμενο πόρο (εκτελεστή) ο οποίος την αναμένει ως άφιξη, εξοικονομείται χρόνος στις μεμονωμένες δραστηριότητες, ο οποίος συσσωρεύεται στο τέλος και προκύπτει ένα συνολικό buffer (χρονικό περιθώριο ασφαλείας του έργου). Η λογική πίσω από την συγκεκριμένη τεχνική αποδίδει

125 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ 97 μεγαλύτερη σημασία στο να ολοκληρωθεί το έργο στον προγραμματισμένο χρόνο και όχι η κάθε μεμονωμένη εργασία. Σε γενικές γραμμές, η τεχνική της κρίσιμης αλυσίδας αποτελεί μία επέκταση αναθεώρηση της κλασσικής μεθόδου CPM ώστε να συμπεριληφθούν στον προγραμματισμό τόσο οι περιορισμοί πόρων όσο και οι συμπεριφοριστικές παράμετροι των εργαζομένων σε ένα έργο Έργα που Εκτελούνται Παράλληλα Οι τεχνικές κατανομής και εξομάλυνσης των πόρων που περιγράφηκαν στο συγκεκριμένο κεφάλαιο βασίζονται στην υπόθεση ότι κάθε έργο που αναλαμβάνει μια οργάνωση τελεί υπό ξεχωριστή διαχείριση. Ωστόσο, η υπόθεση αυτή δημιουργεί σημαντικά προβλήματα, εάν συντρέχουν μία ή περισσότερες από τις ακόλουθες συνθήκες: Τεχνολογική εξάρτηση μεταξύ έργων. Τέτοιου τύπου εξαρτήσεις προκύπτουν όταν υπάρχουν σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των έργων. Για παράδειγμα, αν μια εταιρεία προϊόντων τεχνολογίας αναπτύσσει ταυτόχρονα δύο έργα: (1) έναν νέο μικροεπεξεργαστή και (2) έναν νέο φορητό υπολογιστή. Εάν αποφασισθεί η χρήση του νέου μικροεπεξεργαστή στον φορητό υπολογιστή, τότε η επιτυχία του δεύτερου έργου εξαρτάται από την ολοκλήρωση του πρώτου. Μία εναλλακτική πρόταση περιορισμού αυτού του κινδύνου, θα μπορούσε να είναι ο νέος υπολογιστής να σχεδιασθεί με βάση έναν από τους υπάρχοντες επεξεργαστές αλλά και με τον επεξεργαστή που αναπτύσσεται. Κατά αυτόν τον τρόπο, μειώνεται σημαντικά ο βαθμός εξάρτησης μεταξύ των δύο πρωτότυπων παράλληλων έργων. Εξάρτηση από πόρους μεταξύ έργων. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε δύο ή περισσότερα έργα που βασίζονται και διεκδικούν τους ίδιους πόρους. Στο παράδειγμα που αναφέρθηκε στο προηγούμενο σημείο, αυτός θα μπορούσε να είναι ένας ηλεκτρολόγος μηχανικός που απασχολείται και στα δύο έργα, επομένως η διοίκηση θα πρέπει να αποφασίσει πως θα κατανείμει ορθολογικά τον χρόνο του. Ένας τρόπος για την προτεραιοποίηση των δραστηριοτήτων και την λήψη της σχετικής απόφασης, θα μπορούσε να προκύψει με εφαρμογή των κανόνων που περιγράφηκαν στην Άλλοι παράγοντες που πρέπει να ληφθούν υπόψη είναι οι τεχνολογικές εξαρτήσεις των έργων, η προθεσμία ολοκλήρωσης κάθε έργου και οι οικονομικές συνέπειες της καθυστερημένης ολοκλήρωσης. Εξάρτηση από προϋπολογισμούς μεταξύ έργων. Είναι εξαιρετικά συνηθισμένο δύο ή περισσότερα έργα να διεκδικούν τους ίδιους χρηματικούς πόρους ή τα έσοδα από μία ομάδα έργων αναμένεται να καλύψουν τα έξοδα μιας άλλης

126 98 ΚΕΦ.4/ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΟΡΩΝ/ ομάδας. Σε αυτές τις περιπτώσεις απαιτείται συντονισμός μεταξύ των δύο έργων ή και ιεράρχηση των προτεραιοτήτων με βάση τους περιορισμούς. Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν για τον χρονοπρογραμματισμό ενός έργου, συνήθως είναι εφαρμόσιμες και σε περιβάλλοντα πολλαπλών έργων που εκτελούνται παράλληλα. Ένα ενιαίο δίκτυο, κατασκευασμένο συνδέοντας όλα τα έργα βάση των σχέσεων προτεραιότητας που υπάρχουν μεταξύ τους ή υποθέτοντας ότι όλα τα έργα έχουν τον ίδιο κόμβο έναρξης ή τον ίδιο κόμβο λήξης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μοντέλο ενιαίου έργου για τις περιπτώσεις πολλαπλών έργων. Αφού συνδυαστούν όλα τα έργα σε ένα ενιαίο δίκτυο, μπορούν να εφαρμοσθούν οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν για την διαχείριση πόρων σε ένα έργο. Ο Goldratt πρότεινε τη διαχείριση του απομονωτή (buffer) ως εργαλείο για τη διαχείριση έργων που εκτελούνται παράλληλα. Στην προσέγγιση αυτή, οι απομονωτές χρόνου που προστατεύουν την κρίσιμη αλυσίδα κάθε έργου χρησιμοποιούνται ως βάση για την κατανομή των περιορισμένων πόρων μεταξύ των έργων. Υψηλότερη προτεραιότητα αποδίδεται στο έργο που κατανάλωσε το μεγαλύτερο μέρος του απομονωτή χρόνου που του αναλογεί (σε σχέση με την πραγματική πρόοδο του έργου). Για την κατανόηση της συγκεκριμένης λογικής, υποθέτουμε ότι δύο έργα εκτελούνται ταυτόχρονα και ότι καθένα έχει αρχικό απομονωτή χρόνου 2 εβδομάδων και κρίσιμη αλυσίδα 10 εβδομάδων. Σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, το μισό περιεχόμενο εργασιών (50%) του πρώτου έργου έχει ολοκληρωθεί και έχει καταναλωθεί 1 εβδομάδα από τον απομονωτή χρόνου. Στην ίδια χρονική στιγμή, 60% του δεύτερου έργου έχει ολοκληρωθεί (έστω ότι απομένουν 4 εβδομάδες) και έχει καταναλωθεί επίσης 1 εβδομάδα από τον απομονωτή χρόνου. Βάση των παραπάνω, το πρώτο έργο μπαίνει σε προτεραιότητα αφού τα δύο έργα μπορεί να έχουν καταναλώσει το ίδιο ποσό/ ποσοστό από τον απομονωτή τους, αλλά το δεύτερο έργο εμφανίζει μεγαλύτερη πραγματική πρόοδο.

127 Κεφάλαιο Βελτιστοποίηση Κατανομής Πόρων

128

129 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. Βελτιστοποίηση Κατανομής Πόρων 5.1. Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Για την επίλυση των προβλημάτων χρονικού προγραμματισμού των τεχνικών έργων και κατανομής των απαιτούμενων πόρων για την υλοποίησή τους, έχουν αναπτυχθεί πλήθος τεχνικών και εφαρμογών βελτιστοποίησης που βασίζονται σε μαθηματικές ή ευρετικές προσεγγίσεις. Κάθε κατηγορία επίλυσης περιλαμβάνει διακριτές υποκατηγορίες και έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και απαιτήσεις (προϋποθέσεις), οι οποίες προφανώς επηρεάζουν την αποτελεσματικότητα του μηχανισμού επίλυσης και φυσικά το αποτέλεσμα. Κοινό στοιχείο σε όλες αυτές τις περιπτώσεις είναι η πολυπλοκότητα του προβλήματος που αντιμετωπίζεται και το πλήθος των παραμέτρων και των περιορισμών, συνήθως συγκρουσιακών, που επηρεάζουν τις τελικές λύσεις. Με τον όρο βελτιστοποίηση (optimization) καλούμε την διαδικασία στην οποία καθορίζονται οι παράμετροι ενός μαθηματικού προβλήματος, ώστε να προκύψει το βέλτιστο (ελάχιστο ή μέγιστο) αποτέλεσμα. Ως βελτιστοποίηση της διαχείρισης των πόρων ενός έργου, μπορεί να οριστεί η διαδικασία διερεύνησης ενός συνδυασμού κατανομής πόρων στις επιμέρους δραστηριότητες του έργου, ο οποίος να υπερτερεί από κάθε άλλη λύση μέσα σε ένα πλαίσιο αντικειμενικών περιορισμών (π.χ. διαθεσιμότητα των πόρων). Βελτιστοποίηση Στην πραγματικότητα, η διάκριση ανάμεσα σε προβλήματα μεγιστοποίησης και προβλήματα ελαχιστοποίησης δεν είναι ουσιαστικής σημασίας, καθώς ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης και το αντίστροφο. Είτε πρόκειται για μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης (λογικής ή μαθηματικής) είτε για ελαχιστοποίηση, η διαδικασία της βελτιστοποίησης είναι σε γενικές γραμμές μία σύνθετη διαδικασία η οποία απαιτεί πλήθος δοκιμαστικών εφαρμογών για την επιλογή, ρύθμιση και παραμετροποίηση του μοντέλου που επιλέγεται. Ειδικεύοντας, κατά τη μόρφωση του μαθηματικού μοντέλου βελτιστοποίησης ενός προβλήματος, η επιλογή των μεταβλητών προγραμματισμού, των κριτηρίων και των περιορισμών αποτελεί τη σημαντικότερη παρέμβαση του ερευνητή ή διαχειριστή του έργου. Ο προκύπτον τελικά βέλτιστος προγραμματισμός θα είναι πρωταρχικά το αποτέλεσμα των επιλογών αυτών στο αρχικό στάδιο της προσομοίωσης και κατά δεύτερο λόγο της υπολογιστικής διαδικασίας βελτιστοποίησης. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί θα οδηγήσουν στη βέλτιστη λύση, στην πραγματικότητα όμως ένα σημαντικό μέρος των αποφάσεων έχουν ήδη παρθεί κατά τη μόρφωση του μοντέλου, και επομένως αυτή η φάση καθορίζει

130 102 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ κατά ένα ποσοστό τη βέλτιστη λύση στην οποία θα καταλήξουν οι αριθμητικοί υπολογισμοί. Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζονται τα βασικά στοιχεία που αφορούν στην διαδικασία βελτιστοποίησης. Στην παρούσα ενότητα αναλύονται οι βασικές μεθοδολογίες και τεχνικές βελτιστοποίησης για σύνθετα προβλήματα αλλά και οι βασικές έννοιες και τα στάδια αυτής της διαδικασίας. Η παρουσίαση των πιο γνωστών εκπροσώπων κάθε κατηγορίας λύσεων πραγματοποιείται για λόγους κατανόησης του μηχανισμού αναζήτησης λύσεων και των χαρακτηριστικών (πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων) κάθε κατηγορίας. Η σε βάθος βιβλιογραφική έρευνα στις τεχνικές βελτιστοποίησης για την κατανομή των πόρων στα τεχνικά έργα, οδηγεί σε σαφή συμπεράσματα σε σχέση με την υπεροχή κάποιων μεθόδων έναντι άλλων σε όρους αποτελεσματικότητας προσέγγισης της βέλτιστης λύσης, ή μιας λύσης κοντά στην βέλτιστη, ταχύτητας και απαιτήσεων υπολογισμού. Σχήμα 25. Βασικά στάδια βελτιστοποίησης Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Ιδία επεξεργασία 5.2. Ορισμοί και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Προσέγγιση Προτού η ανάλυση να εξειδικεύσει στις σύγχρονες τεχνικές βελτιστοποίησης των προβλημάτων χρονικού προγραμματισμού και κατανομής πόρων, κρίνεται σκόπιμη μία ιδιαίτερα συνοπτική αναφορά στον ορισμό του αλγορίθμου ο οποίος αποτελεί κεντρικό στοιχείο της προβληματικής που αναπτύσσεται στα κεφάλαια 5, 6, 7 και 8 της παρούσας Διατριβής. Η λέξη αλγόριθμος (algorithm) προέρχεται από μια μελέτη του Πέρση μαθηματικού Abu Ja far Mohammed ibn Musa al Khowarizmi, που έζησε περί το 825 μ.χ. Πέντε αιώνες αργότερα η μελέτη αυτή μεταφράστηκε στα λατινικά και άρχιζε με τη φράση «Algoritmi dixit...» (ο αλγόριθμος λέει...). Η μελέτη του al Khowarizmi υπήρξε η πρώτη πλήρης πραγματεία άλγεβρας (όρος που και αυτός προέρχεται από το αραβικό al-jabr = αποκατάσταση), γιατί ένας από τους

131 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 103 σκοπούς της άλγεβρας είναι και η αποκατάσταση της ισότητας μέσα σε μια εξίσωση. Η θεωρία των αλγορίθμων έχει μεγάλη παράδοση και η ηλικία μερικών αλγορίθμων αριθμεί χιλιάδες χρόνια, όπως για παράδειγμα το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη για την εύρεση των πρώτων αριθμών από 1 ως n, οι αριθμοί Fibonacci και το τρίγωνο Pascal. Σήμερα, το πεδίο της Θεωρίας Αλγορίθμων είναι ιδιαίτερα ευρύ. Ο όρος αλγόριθμος επέζησε επί χίλια χρόνια ως σπάνιος όρος, που σήμαινε την συστηματική διαδικασία αριθμητικών χειρισμών. Μέχρι τη δεκαετία του 50 ο όρος αλγόριθμος ήταν περισσότερο συνυφασμένος με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, μια διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών. Τη σημερινή του έννοια απέκτησε από την αρχή του 20ου αιώνα με την ανάπτυξη της ομώνυμης θεωρίας και φυσικά με την εμφάνιση των Η/Υ. Υπό ένα γενικότερο οπτικό πρίσμα, ο όρος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να δηλώσει μεθόδους που εφαρμόζονται για την επίλυση προβλημάτων. Ένας αλγόριθμος είναι μια οποιαδήποτε σαφώς καθορισμένη υπολογιστική διαδικασία που λαμβάνει μια τιμή, ή ένα σύνολο τιμών, ως δεδομένα εισόδου και παράγει μία τιμή, ή ένα σύνολο τιμών, ως αποτέλεσμα. Ένας αλγόριθμος είναι συνεπώς μια ακολουθία υπολογιστικών βημάτων που μετατρέπουν τα δεδομένα (input) σε αποτέλεσμα (output). Ο αλγόριθμος μπορεί επίσης να ειδωθεί και ως μέθοδος για την επίλυση ενός καθορισμένου υπολογιστικού προβλήματος. Αλγόριθμος Σε επίπεδο εφαρμογών και πληροφοριακών συστημάτων αλγόριθμος είναι η γλωσσολογική έκφραση υπό την μορφή κώδικα, του προβλήματος. Είναι ο μεσάζων μεταξύ του ανθρώπινου μυαλού και της υπολογιστικής ισχύς του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Ουσιαστικά αποτελεί μια διαδικασία εξέτασης του προβλήματος με στοχαστική αναζήτηση πολλαπλών επιλύσεων. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω μια σειράς ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο. Στόχος μιας αλγοριθμικής διαδικασίας είναι η επίλυση ενός γνωστού προβλήματος, μέσω της συστηματικής εξαγωγής λογικών αρχών και της ανάπτυξης ενός γενικού σχεδίου που θα οδηγήσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Πέρα από ένα πεπερασμένο σύνολο κανόνων που δίνουν μια ακολουθία πράξεων για την επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου προβλήματος, ένας αλγόριθμος έχει τα εξής βασικά χαρακτηριστικά. Εισαγωγή δεδομένων (input): Μία ή και περισσότερες τιμές εισάγονται ως δεδομένα στον αλγόριθμο. Υπάρχει και η περίπτωση που δεν δίνεται καμία τιμή δεδομένων, τότε ο αλγόριθμος παράγει τυχαίες τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων ή άλλων απλών εντολών. Αυτές οι τυχαίες τιμές που προκύπτουν, θα θεωρηθούν ως δεδομένα στα επόμενα στάδια της διαδικασίας. Αποτέλεσμα (output): Ο αλγόριθμος πρέπει να παράγει τουλάχιστον μία τιμή ως τελικό αποτέλεσμα ή ως δεδομένο κάποιου άλλου αλγορίθμου.

132 104 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Αποτελεσματικότητα (effectiveness): Όλες οι διαδικασίες που περιλαμβάνει ένας αλγόριθμος πρέπει να μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο χρόνο. Κάθε μεμονωμένη εντολή του αλγόριθμου πρέπει να είναι απλή και όχι σύνθετη. Δηλαδή μια εντολή δεν αρκεί να ορισθεί αλλά πρέπει να είναι και εκτελέσιμη. Σαφήνεια (definiteness): Κάθε εντολή πρέπει να είναι καθοριστική ως προς την εκτέλεσή της, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις παραμέτρους και τις περιπτώσεις. Για παράδειγμα, μια εντολή διαίρεσης πρέπει να εξετάζει και την περίπτωση, όπου ο διαιρέτης λαμβάνει μηδενική τιμή. Περατότητα (finiteness): Κάθε διαδικασία πρέπει οπωσδήποτε να καταλήγει σε (τουλάχιστον ένα) αποτέλεσμα μετά από ορισμένο αριθμό βημάτων. Μια διαδικασία που δεν φέρει αποτέλεσμα δεν αποτελεί αλγόριθμο αλλά απλά μια υπολογιστική διαδικασία. Κατά την ανάλυση ενός προβλήματος θα πρέπει να αναγνωριστούν, να εξεταστούν και ακολούθως να καταγραφούν τα δεδομένα του προβλήματος. Σημαντική είναι επίσης η αξιολόγηση των δεδομένων αυτών και η καταγραφή προτεραιοτήτων μεταξύ τους. Τα δεδομένα μπορεί να είναι οι πιθανές τιμές που το αποτέλεσμα μπορεί να πάρει, οι λόγοι που προέκυψε το πρόβλημα, οι συνθήκες που επηρεάζουν το πρόβλημα και που πρέπει να πληρούνται για την επίλυσή του. Δηλαδή, σε γενικές γραμμές επιβάλλεται να ληφθούν υπόψη οι ιδιαιτερότητες των δεδομένων και να προβλεφθεί πώς αυτές θα διαχειριστούν από τον αλγόριθμο. Τέλος, πρέπει να αναλυθεί και να βρεθεί ποιά είναι η πλέον αποδοτική μέθοδος επίλυσης αλλά και το πώς θα καταγραφεί/αναπαρασταθεί η μέθοδος αυτή υπό τη μορφή αλγορίθμου. Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες, η επίλυση του προβλήματος δεν είναι προφανής, ενώ σε άλλες ο ερευνητής μπορεί να έχει καταλήξει στον τρόπο επίλυσης, αλλά να μην μπορεί να διατυπώσει την μέθοδο επίλυσης. Η αλγοριθμική επίλυση ενός προβλήματος μπορεί να καταγραφεί με τους ακόλουθους τρόπους: Ελεύθερο κείμενο(free-text), αποτελεί τον πιο ανεπεξέργαστο και αδόμητο τρόπο αναπαράστασης αλγορίθμου. Ελλοχεύει ο κίνδυνος να οδηγήσει σε μη εκτελέσιμη διαδικασία, παραβιάζοντας ένα βασικό χαρακτηριστικό των αλγορίθμων, δηλαδή την αποτελεσματικότητα. Διαγραμματικές τεχνικές (diagramming techniques), συνιστούν ένα γραφικό τρόπο αναπαράστασης. H πιο γνωστή τεχνική είναι το διάγραμμα ροής(flow chart). Φυσική γλώσσα (natural language) κατά βήματα. Ελλοχεύει ο κίνδυνος παραβίασης ενός βασικού χαρακτηριστικού των αλγορίθμων, της σαφήνειας. Κωδικοποίηση (coding), η αναπαράσταση του αλγόριθμου σε κωδικοποιημένη γλώσσα, υπό αυστηρούς κανόνες και σύνταξη, σε κάποιο

133 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 105 προγραμματιστικό περιβάλλον. Το πρόγραμμα όταν εκτελεσθεί πρέπει να δώσει τα ίδια αποτελέσματα με τον αλγόριθμο. Η αλγοριθμική λογική έχει υιοθετηθεί από αρκετούς κλάδους επιστημών. Οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται ως μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων, τα οποία είναι πολύπλοκα και δυσεπίλυτα. Η αλγοριθμική λογική αποτελεί το βασικό θεμέλιο στο οποίο οικοδομήθηκε ο Η/Υ ο οποίος αποτελεί ένα αυτοματοποιημένο, ηλεκτρονικό, ψηφιακό επαναπρογραμματιζόμενο σύστημα γενικής χρήσης που μπορεί να επεξεργάζεται δεδομένα βάσει ενός συνόλου προκαθορισμένων οδηγιών, των εντολών, που συνολικά ονομάζονται πρόγραμμα. Ένα πρόγραμμα υπολογιστών είναι ουσιαστικά ένας αλγόριθμος που τρέχει υπό τη μορφή κώδικα προκειμένου να επιτευχθεί ένας συγκεκριμένος στόχος. Ο αλγόριθμος γίνεται μια ιδιωματική γλώσσα, προσαρμοσμένη στις ανάγκες του Η/Υ. Η αναπαράσταση του αλγόριθμου στις εφαρμογές του Η/Υ γίνεται, κατά κανόνα, υπό τη μορφή κώδικα. Ο κώδικας αυτός, ακολουθεί μια σειρά από βήματα μέσα από την εξέταση εναλλακτικών επιλύσεων και πιθανών υποπροβλημάτων. Η κωδικοποίηση του αλγόριθμου, ως γλωσσολογική έκφραση, περιγράφει το πρόβλημα και τα βήματά του στον Η/Υ μέχρι να καταλήξει στην επίλυσή (επιλύσεις) του. Ως γλωσσολογική έκφραση του προβλήματος αποτελείται από γλωσσολογικά στοιχεία και λειτουργίες, τα οποία υπακούουν σε ορθογραφικούς, γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες. Οι βασικές λειτουργίες είναι αριθμητικές, λογικές, συνδυαστικές και συναρτησιακές. Στο πλαίσιο, της ανάλυσης του Κεφαλαίου 5, εξετάζονται οι σύγχρονες αλγοριθμικές προσεγγίσεις που εφαρμόζονται σε προβλήματα βελτιστοποίησης γενικά και ειδικά σε προβλήματα κατανομής των πόρων. Στο κεφάλαιο 7, η έρευνα εξειδικεύει στην ανάπτυξη συγκεκριμένης μεθοδολογίας επίλυσης η οποία προσδιορίζεται από την επιλογή και εφαρμογή κατάλληλου (ως προς τα χαρακτηριστικά του) αλγορίθμου, σε κατάλληλη γλώσσα προγραμματισμού και υπολογιστικό περιβάλλον για την επίλυση εφαρμογών τα οποία προσδιορίζονται από δεδομένη αντικειμενική συνάρτηση και δεδομένους περιορισμούς Αντικειμενική Συνάρτηση Ένας προγραμματισμός των πόρων (μέσων παραγωγής) ενός έργου μπορεί να είναι εφικτός ή μη εφικτός. Σε κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης υπάρχουν πολλοί εφικτοί προγραμματισμοί, εκ των οποίων όμως κάποιοι υπερτερούν έναντι άλλων και ένας από αυτούς αποτελεί τη βέλτιστη λύση του προβλήματος. Για να γίνει αυτού του είδους η διάκριση μεταξύ καλού και καλύτερου προγραμματισμού, είναι αναγκαία η ύπαρξη ενός κριτηρίου για τη σύγκριση και την αξιολόγηση των διαφορετικών προγραμμάτων. Το κριτήριο αυτό είναι μια συνάρτηση η οποία

134 106 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή για κάθε προγραμματισμό. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση και είναι εξαρτημένη από τις μεταβλητές προγραμματισμού. Κατά αυτό τον τρόπο: Η συνάρτηση που θα καθορίσει το αποτέλεσμα ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση ή συνάρτηση καταλληλότητας (objective function ή fitness function). Ο στόχος της διαδικασίας βελτιστοποίησης είναι προφανώς ο προσδιορισμός των τιμών των παραμέτρων εισόδου που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση, η οποία συνήθως υπόκειται σε συγκεκριμένους περιορισμούς. Αντικειμενική συνάρτηση Όπως προκύπτει και από τον παραπάνω ορισμό, η επιλογή της κατάλληλης αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί ζήτημα κρίσιμης σημασίας για τη διαδικασία της βελτιστοποίησης και την επίλυση καθώς ουσιαστικά αποτελεί τον ορισμό του προβλήματος. Στα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού των έργων και κατανομής των πόρων, χαρακτηριστικά παραδείγματα αντικειμενικών συναρτήσεων είναι η ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου, η ελαχιστοποίηση του κόστος του έργου, η ελαχιστοποίηση των διακυμάνσεων των πόρων, κ.λπ. Σε πολλά προβλήματα χρονικού προγραμματισμού ζητούμενο είναι η ταυτόχρονη βελτιστοποίηση δύο ή και περισσότερων αντικειμενικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, μπορεί το ζητούμενο να είναι η αντιστάθμιση του κόστους και της διάρκειας ενός έργου (cost time trade off problem). Προβλήματα αυτού του τύπου, αποτελούν προβλήματα βελτιστοποίησης με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις και καλούνται στην βιβλιογραφία προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων (multi criteria optimization) ή βελτιστοποίηση κατά Pareto (Pareto optimization) ή προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων (multi objective optimization) (βλ ) Υπολογιστικοί Χώροι Η διαδικασία της βελτιστοποίησης σχετίζεται άμεσα με δύο βασικούς υπολογιστικούς χώρους ή, διαφορετικά, υπολογιστικά πεδία. Συγκεκριμένα: Α) Ο πρώτος υπολογιστικός χώρος προκύπτει από τις επιτρεπτές τιμές που μπορούν να πάρουν οι παράμετροι εισόδου. Σκοπός της διαδικασίας βελτιστοποίησης είναι να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές που ανήκουν στον χώρο αυτό και παράλληλα βελτιστοποιούν (ελαχιστοποιούν για τα προβλήματα κατανομής πόρων) την αντικειμενική συνάρτηση. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του προβλήματος που καλούμαστε να επιλύσουμε, ο υπολογιστικός χώρος μπορεί να είναι μονοδιάστατος ή πολυδιάστατος και να αποτελείται από διακριτούς ή συνεχείς αριθμούς. Πολλές φορές υπάρχουν συγκεκριμένοι περιορισμοί και όρια που διαμορφώνουν ανάλογα το πεδίου ορισμού των

135 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 107 παραμέτρων εισόδου, καθώς κάποιοι συνδυασμοί τιμών μπορεί να μην είναι εφικτοί, να μην έχουν νόημα ή να μην οδηγούν σε αποδεκτή λύση. Β) Ο δεύτερος υπολογιστικός χώρος αφορά το πεδίο τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης. Πρόκειται για τον χώρο που προκύπτει για κάθε συνδυασμό τιμών των παραμέτρων εισόδου και ονομάζεται επιφάνεια καταλληλότητας (fitness surface) ή, για τα προβλήματα ελαχιστοποίησης, επιφάνεια κόστους (cost surface). Μια λύση ή, διαφορετικά, ένα σημείο του συγκεκριμένου χώρου που προκύπτει χωρίς να παραβιάζεται κανένα όριο ή περιορισμός για τις παραμέτρους εισόδου του προβλήματος, ονομάζεται εφικτή λύση. Εφικτή λύση Σχήμα 26. Σχέση μεταξύ του χώρου των λύσεων των μεταβλητών σχεδιασμού και του χώρου των λύσεων των αντικειμενικών συναρτήσεων Πηγή: Κουμούσης, 2012 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα ελάχιστα και τα μέγιστα της επιφάνειας καταλληλότητας, καθώς πρόκειται για τις τιμές που προσπαθούν να προσεγγίσουν κάθε φορά οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης. Στα σχήματα 27 και 28 παρουσιάζονται δύο αντιπροσωπευτικά παραδείγματα επιφάνειας καταλληλότητας, για ένα μονοδιάστατο και ένα δισδιάστατο πρόβλημα. Οι μεταβλητές x και x, y είναι οι παράμετροι εισόδου για τα δύο προβλήματα αντίστοιχα ενώ με f συμβολίζεται η αντικειμενική συνάρτηση. Δίπλα σε κάθε διαγραμματική απεικόνιση, παρουσιάζεται ο μαθηματικός τύπος κάθε συνάρτησης και το πεδίο ορισμού των παραμέτρων εισόδου. Στα προβλήματα βελτιστοποίησης ο συνολικός αριθμός εφικτών λύσεων είναι στις περισσότερες περιπτώσεις υπερβολικά μεγάλος. Επίσης, ο αριθμός αυτός μεταβάλλεται σημαντικά όσο αυξάνεται το μέγεθος του προβλήματος. Αν μάλιστα θεωρήσουμε ότι οι παράμετροι εισόδου προσεγγίζονται με συνεχείς τιμές, τότε ο αριθμός αυτός τείνει στο άπειρο. Ωστόσο, η επιφάνεια καταλληλότητας εμπεριέχει μία συστηματική σχέση με τον υπολογιστικό χώρο των παραμέτρων εισόδου. Αυτό προκύπτει και από τις εικόνες που προηγήθηκαν.

136 108 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Σχήμα 27. Παράδειγμα επιφάνειας καταλληλότητας Σχήμα 28. Παράδειγμα επιφάνειας καταλληλότητας για για μονοδιάστατο πρόβλημα δισδιάστατο πρόβλημα Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Όταν αντιμετωπίζεται ένα πρόβλημα με ομαλό τοπίο καταλληλότητας, εύλογα μπορεί να υποτεθεί ότι τα σημεία που είναι κοντά το ένα στο άλλο θα έχουν χωρικά συσχετισμένες τιμές για την αντικειμενική συνάρτηση. Η μετακίνηση προς μια κατεύθυνση που βελτίωσε την τιμή της συνάρτησης στο προηγούμενο βήμα, κατά πάσα πιθανότητα θα τη βελτιώσει και στο τρέχον βήμα. Δεν ισχύει το ίδιο σε προβλήματα όπου δεν υπάρχει καμία συστηματική σχέση μεταξύ των σημείων στον υπολογιστικό χώρο των παραμέτρων εισόδου και των σημείων στην επιφάνεια καταλληλότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η πληροφορία για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε μια εφικτή λύση δεν μπορεί να αξιοποιηθεί για την εύρεση μιας καλύτερης λύσης και την τελική εύρεση της βέλτιστης λύσης. Στην πραγματικότητα, αν συμβαίνει κάτι τέτοιο, δεν υπάρχει κανένας κατάλληλος δρόμος για την έρευνα μιας βέλτιστης λύσης, καθώς οποιαδήποτε υπόθεση είναι το ίδιο καλή ή κακή όσο κάθε άλλη Ολικά και Τοπικά Ελάχιστα/Μέγιστα Όπως εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί από τις διαγραμματικές απεικονίσεις που προηγήθηκαν στην 5.2.3, η επιφάνεια καταλληλότητας αποτελείται από ένα σύνολο ελάχιστων και μέγιστων. Συγκεκριμένα, οι εφικτές λύσεις ενός προβλήματος με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης η οποία είναι καλύτερη από τις τιμές οποιωνδήποτε άλλων εφικτών λύσεων ονομάζονται βέλτιστες λύσεις. Οι βέλτιστες λύσεις διακρίνονται περαιτέρω σε ολικά ελάχιστα ή ολικά μέγιστα, ανάλογα με το αν το πρόβλημα αφορά την ελαχιστοποίηση ή την μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Με άλλα λόγια, κατά τη διάρκεια της αναζήτησης της βέλτιστης λύσης, απώτερος σκοπός ενός βελτιστοποιητή είναι η εύρεση του καθολικού βέλτιστου (το οποίο συνηθέστερα στη βελτιστοποίηση χρονικού προγραμματισμού των έργων, είναι το καθολικό ελάχιστο). Βέλτιστες λύσεις

137 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 109 Ο χώρος αναζήτησης όμως στη συνήθη περίπτωση των μη κυρτών προβλημάτων περιέχει και πολλά τοπικά ελάχιστα, στα οποία ενδέχεται να παγιδευτεί ο βελτιστοποιητής. Αυτό είναι ένα από τα κυριότερα προβλήματα των μαθηματικών μεθόδων βελτιστοποίησης και οφείλεται στον ντετερμινιστικό τρόπο λειτουργίας τους. Αντίθετα, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που βασίζονται σε πιθανοτικές θεωρήσεις, έχουν περισσότερες πιθανότητες να εντοπίσουν το καθολικό ελάχιστο, καθώς λόγω της τυχηματικότητας που τις διέπει μπορούν να ξεφύγουν με μεγαλύτερη ευκολία από πιθανά τοπικά ελάχιστα. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του προβλήματος εύρεσης ενός ολικού ελάχιστου (global minimum): Σχήμα 29. Ορισμός ολικού ελάχιστου στον χώρο αναζήτησης λύσεων Στον παραπάνω ορισμό με xg συμβολίζεται το σημείο στον χώρο Α, για το οποίο η αντικειμενική συνάρτηση f παρουσιάζει το ολικό ελάχιστο f(xg). Αντίστοιχα, ορίζεται το ολικό μέγιστο (global maximum) της f. Ωστόσο, όπως προαναφέρθηκε, υπάρχουν περιπτώσεις όπου κάποιες λύσεις, ενώ είναι οι καλύτερες στην γειτονιά τους, δεν αποτελούν απαραίτητα ολικά ελάχιστα για ολόκληρο το χώρο Α. Οι λύσεις αυτές διακρίνονται σε τοπικά ελάχιστα ή τοπικά μέγιστα, ανάλογα με το αν πρόκειται για πρόβλημα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης αντίστοιχα. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του προβλήματος εύρεσης ενός τοπικού ελάχιστου (local minimum) της περιοχής Β: Σχήμα 30. Ορισμός τοπικού ελάχιστου στον χώρο αναζήτησης λύσεων Στον παρακάνω ορισμό με Xl συμβολίζεται το σημείο στον χώρο Α, για χο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση f παρουσιάζει το τοπικό ελάχιστο f(xl). Αντίστοιχα ορίζεται το τοπικό μέγιστο (local maximum) της f. Σημειώνεται ότι ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι και ολικό ελάχιστο, αν δεν υπάρχει άλλο σημείο σε ολόκληρο το χώρο Α για το οποίο η συνάρτηση f να δίνει μικρότερη τιμή.

138 110 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Σχήμα 31. Παράδειγμα ολικού και τοπικού Σχήμα 32. Παράδειγμα ολικού και τοπικού ελαχίστου για μονοδιάστατο πρόβλημα μέγιστου για πολυδιάστατο πρόβλημα Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Πηγή: Κουμούσης, 2012 Στην περίπτωση που δεν υπάρχουν συναρτήσεις περιορισμών τότε ισχύουν οι ίδιοι ορισμοί, αλλά σε ολόκληρο τον χώρο σχεδιασμού και όχι μόνο στην περιοχή εφικτών σχεδιασμών. Γενικά είναι δύσκολο να προσδιοριστεί εκ των προτέρων ότι όντως υπάρχει τοπικό ή καθολικό ελάχιστο σε ένα πρόβλημα βέλτιστου σχεδιασμού. Ωστόσο, εάν η αντικειμενική συνάρτηση f είναι συνεχής και η περιοχή εφικτών σχεδιασμών είναι μη κενή (non empty), κλειστή (closed) και καθορισμένη (bounded), τότε αποδεικνύεται μαθηματικά ότι υπάρχει πάντοτε καθολικό ελάχιστο για την f. Η περιοχή εφικτών σχεδιασμών είναι μη κενή όταν δεν υπάρχουν αλληλοσυγκρουόμενες ή υπεράριθμες συναρτήσεις περιορισμών, ενώ θεωρείται κλειστή και καθορισμένη όταν οι συναρτήσεις περιορισμών είναι συνεχείς και δεν υπάρχουν αυστηρές ανισότητες (g < 0). Οι παραπάνω συνθήκες είναι ικανές για την εξασφάλιση του καθολικού ελαχίστου, όχι όμως και αναγκαίες. Αυτό σημαίνει ότι ακόμη κι αν δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες αυτές, ενδέχεται να υπάρχει καθολικό ελάχιστο, το οποίο πιθανά θα προκύψει κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Εάν ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης δεν μπορεί να εντοπίσει κανένα εφικτό σημείο τότε η περιοχή εφικτών σχεδιασμών είναι κενή και επομένως πρέπει να επαναδιατυπωθεί το πρόβλημα αφαιρώντας κάποιες συναρτήσεις περιορισμών ή κάνοντάς τις ελαστικότερες. Όλοι οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης έχουν ως βασικό πυρήνα την αναζήτηση του ολικού ελάχιστου ξεκινώντας από κάποια καθορισμένη ή τυχαία τιμή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η απόδοση του αλγορίθμου κρίνεται ακριβώς με βάση την ικανότητα του να βρίσκει το ολικό βέλτιστο της αντικειμενικής συνάρτησης και να μην εγκλωβίζεται σε τοπικά βέλτιστα. Ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος βελτιστοποίησης πρέπει να μπορεί να βρίσκει το ολικό ελάχιστο ανεξάρτητα από το αρχικό σημείο αναζήτησης. Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι, λόγω

139 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 111 της ιδιότητας που έχουν να διατηρούν ένα σύνολο πιθανών λύσεων, αποτελούν προτεινόμενη τεχνική για τα προβλήματα κατανομής των πόρων στα έργα, όπως διαπιστώνεται αναλυτικά στο κεφάλαιο Βελτιστοποίηση Πολλαπλών Στόχων Σε πολλά προβλήματα, η αντικειμενική συνάρτηση αποτελείται από επιμέρους στόχους, οι οποίοι είναι συχνά αντικρουόμενοι ή υπάρχουν πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις. Η βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (multi-objective optimization MOO) ή βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων, επίσης, γνωστή και ως βελτιστοποίηση με πολλαπλά αντικείμενα, είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς. Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων Προβλήματα βελτιστοποίησης με πολλαπλούς στόχους μπορούν να βρεθούν σε διαφόρους τομείς: τεχνολογία κατασκευών, προγραμματισμός έργων, παράγωγη και σχεδιασμός διαδικασιών, οικονομική διαχείριση, σχεδιασμός αυτοκίνητων, ή οπουδήποτε χρειάζεται να ληφθεί η καταλληλότερη απόφαση για την εξισορρόπηση όλων των παραγόντων μεταξύ δυο η περισσότερων αντικρουόμενων στόχων. Μεγιστοποιώντας το κέρδος και ελαχιστοποιώντας το κόστος ενός προϊόντος, μεγιστοποιώντας την απόδοση και ελαχιστοποιώντας την κατανάλωση καυσίμου σε ένα όχημα και ελαχιστοποιώντας το βάρος καθώς μεγιστοποιείται η αντοχή κάποιου εξαρτήματος, είναι ορισμένα μόνο παραδείγματα προβλημάτων βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων. Μία βασική ιδιότητα των προβλημάτων πολλαπλών στόχων ή, διαφορετικά, των προβλημάτων με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις είναι η διαμάχη μεταξύ των κριτηρίων. Μόνο ποσότητες οι οποίες ανταγωνίζονται η μία την άλλη μπορούν να αντιμετωπιστούν ως κριτήρια. Όσον αφορά τις υπόλοιπες ποσότητες, αυτές μπορούν να συνδυαστούν σε ένα μοναδικό κριτήριο ή μία από αυτές μπορεί να αντιπροσωπεύσει μία ολόκληρη ομάδα κριτηρίων (Συναρτήσεις Συναθροίσεως). Στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται μία ειδική ορολογία για το είδος του ανταγωνισμού μεταξύ των κριτηρίων. Οι Cohon (1978) και Koski (1984) 11 πρότειναν την ιδέα της τοπικής (local) και της καθολικής (global) αντιπαλότητας. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό δύο κριτήρια είναι συγγραμικά σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους όταν η μέγιστη βελτίωσή τους στο σημείο εκείνο επιτυγχάνεται προς την ίδια κατεύθυνση, ενώ αντίθετα θεωρείται ότι αντιπαλεύουν τοπικά εάν η μέγιστη βελτίωσή τους επιτυγχάνεται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Στη δεύτερη περίπτωση, η γωνία μεταξύ των διευθύνσεων στις οποίες τα δύο κριτήρια εμφανίζουν τη μέγιστη βελτίωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο της 11 Πλεύρης, 2001.

140 112 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ τοπικής αντιπαλότητας. Όμως, ακόμα και στην περίπτωση που δύο κριτήρια είναι τοπικά αντιπαλεύοντα σχεδόν σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους, είναι δυνατό να εντοπιστεί σχεδιασμός που να αποτελεί ταυτόχρονα βέλτιστη λύση και για τα δύο κριτήρια. Σε περιπτώσεις χρονικού προγραμματισμού έργων, η διάρκεια και το κόστος έργου αποτελούν στις περισσότερες περιπτώσεις ισχυρά αντιπαλεύουσες ποσότητες. Η βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων διαφέρει σημαντικά από την απλή βελτιστοποίηση ενός στόχου (single-objective optimization) κυρίως λόγω της αδυναμίας καθορισμού μίας μοναδικής βέλτιστης λύσης. Αυτό συμβαίνει διότι δεν είναι εφικτή η ταυτόχρονη βελτιστοποίηση των αντικρουόμενων στόχων. Αντίθετα, υπάρχει ένα σύνολο από βέλτιστες λύσεις που ονομάζονται Pareto-βέλτιστες λύσεις (Pareto-optimal) και οι οποίες είναι εντελώς ισοδύναμες. Δεν είναι ισοδύναμες μόνο στην περίπτωση κατά την οποία υπάρχει προτεραιότητα στην ικανοποίηση ενός στόχου έναντι των υπολοίπων. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του προβλήματος εύρεσης ενός ολικού ελάχιστου με βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων: Σχήμα 33. Ορισμός προβλήματος βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων Σημειώνεται ότι ο χώρος Α προκύπτει από τους περιορισμούς που επιβάλει η ταυτόχρονη ικανοποίηση των στόχων του προβλήματος στο διάνυσμα εισόδου x και οποίοι εννοούνται στον παραπάνω ορισμό. Κάθε πρόβλημα με περιορισμούς και αντικειμενικές συναρτήσεις που αποτελούνται αποκλειστικά από γραμμικές εξισώσεις ή γραμμικές ανισότητες, ονομάζεται πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων γραμμικού προγραμματισμού (Multi-objective Linear Programming MOLP). Αντίθετα, όταν περιέχεται έστω και μία μη γραμμική εξίσωση ή ανισότητα, τότε προκύπτουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων μη γραμμικού προγραμματισμού (Multi-Objective Non Lineor Programming, MONLP), τα οποία προφανώς είναι πιο δύσκολο να επιλυθούν. Ερμηνεύοντας τον παραπάνω ορισμό, προκύπτει το συμπέρασμα ότι οι λύσεις είναι βέλτιστες κατά Pareto, όταν δεν υπάρχει εφικτό διάνυσμα x (εφικτή λύση που να ικανοποιεί περιορισμούς και απαιτήσεις) το οποίο να μπορεί να αυξήσει την ικανοποίηση κάποιου/ων κριτηρίου/ων, χωρίς να προκαλέσει ταυτόχρονη μείωση της ικανοποίησης τουλάχιστον ενός άλλου κριτηρίου. Οι βέλτιστες κατά Pareto λύσεις ονομάζονται επίσης στη βιβλιογραφία ως μη-κατώτερες (non-inferior),

141 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 113 παραδεκτές (admissible) ή αποτελεσματικές (efficient), ενώ τα αντίστοιχα διανύσματα χαρακτηρίζονται ως μη-κυριαρχούμενα (non-dominated). Σχήμα 34. Ορισμός Paretto βέλτιστης λύσης Οι βέλτιστες κατά Pareto λύσεις μπορεί να μην έχουν ξεκάθαρη συσχέτιση εκτός από τη συμμετοχή τους στο αντίστοιχο σύνολο. Αυτό είναι το σύνολο όλων των λύσεων των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα είναι μη-κυριαρχούμενα σε σχέση με όλα τα υπόλοιπα διανύσματα σύγκρισης. Εάν αναπαρασταθούν στο χώρο αντικειμενικών κριτηρίων, τα μη-κυριαρχούμενα διανύσματα είναι γνωστά ως το μέτωπο/σύνορο Pareto (Pareto front). Μέτωπο Pareto (Pareto Front) Συνήθως υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από Pareto-βέλτιστες λύσεις (πολλές φορές τείνει στο άπειρο), οι οποίες εξ ορισμού είναι όλες ισοδύναμες. Στόχος της βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων είναι να βρεθούν όσο το δυνατόν περισσότερες από τις λύσεις αυτές. Σχήμα 35. Παράδειγμα Pareto βέλτιστων λύσεων Σχήμα 36. Παράδειγμα Pareto βέλτιστων για πρόβλημα ελαχιστοποίησης δύο λύσεων για πρόβλημα στόχων μεγιστοποίησης Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Πηγή: Γιαννάκογλου, 2010 Όπως φαίνεται και στο σχήμα 35, ο χώρος των εφικτών λύσεων για το πρόβλημα ελαχιστοποίησης δύο στόχων οριοθετείται στο κάτω μέρος (αφού πρόκειται για πρόβλημα ελαχιστοποίησης) από τις Pareto-βέλτιστες λύσεις. Οι λύσεις αυτές έχουν ενωθεί με μια καμπύλη γραμμή, η οποία αποτελεί το μέτωπο Pareto. Επίσης, διακρίνεται το σημείο όπου κάθε αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται.

142 114 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Εφόσον οι δύο στόχοι είναι αντικρουόμενοι, προφανώς το σημείο αυτό βρίσκεται εκτός του χώρου των εφικτών λύσεων. Στο σχήμα 36 απεικονίζεται το ολικό Pareto βέλτιστο μέτωπο και το τοπικό Pareto βέλτιστο μέτωπο για πρόβλημα μεγιστοποίησης. Σημειώνεται, ότι τα παραπάνω παραδείγματα αφορούν στην παρουσία δύο μόνο στόχων, αλλά εύκολα μπορεί να γίνει γενίκευση και σε περισσότερες διαστάσεις. Για παράδειγμα, στην περίπτωση όπου υπάρχουν τρεις στόχοι, ισχύουν ακριβώς τα ίδια με τη διαφορά ότι το Pareto-front από καμπύλη γραμμή γίνεται επιφάνεια. Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις πολυκριτηριακές βελτιστοποιήσεις. Λόγω της ιδιότητας που έχουν να διατηρούν ένα σύνολο από υποψήφιες λύσεις, μπορούν πιο εύκολα να εξερευνήσουν το χώρο λύσεων, ώστε τελικά να σχηματιστεί το μέτωπο Pareto. Σήμερα, οι περισσότεροι εξελικτικοί βελτιστοποιητές εφαρμόζουν βασισμένα στο Pareto σχήματα βαθμολόγησης. Οι γενετικοί αλγόριθμοι όπως ο Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) και Strength Pareto Evolutionary Approach 2 (SPEA-2) έχουν γίνει κλασσικές προσεγγίσεις, παρόλο που μερικά σχήματα βασισμένα σε βελτιστοποιήσεις σμήνους σωματιδίων και σε προσομοιωμένη ισχυροποίηση καταγράφουν σημαντική αποτελεσματικότητα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΘΡΟΙΣΕΩΣ (Aggregating Functions) & ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (Weighting Method) Σε πολλές περιπτώσεις και για λόγους απλοποίησης του προβλήματος, για την επίλυση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων, γίνεται χρήση μιας μοναδικής αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία προκύπτει ως το άθροισμα των επιμέρους αντικειμενικών συναρτήσεων με προσαρμοσμένα βάρη. Δηλαδή, οι αντικρουόμενοι όροι αντισταθμίζονται μέσω κατάλληλων συντελεστών και ουσιαστικά το πρόβλημα μετατρέπεται σε βελτιστοποίηση ενός μοναδικού στόχου, όπως φαίνεται και στις επόμενες εξισώσεις: (5.1) (5.2) Με fi συμβολίζεται η αντικειμενική συνάρτηση που προκύπτει. wi, είναι οι συντελεστές βάρους που συνήθως είναι κανονικοποιημένοι, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση (5.2). Είναι φανερό ότι με την προσέγγιση αυτή, το πρόβλημα επιλύεται μόνο για μια συγκεκριμένη σχέση ανάμεσα στους επιθυμητούς στόχους και για αυτό το λόγο δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή των συντελεστών βαρύτητας.

143 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Βελτιστοποίηση με Περιορισμούς Τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών, όπως το πρόβλημα της διαχείρισης πόρων ενός έργου που εξετάζουμε στην παρούσα Διατριβή, αναπαριστώνται συνήθως από ένα σύνολο μεταβλητών (constraint variables) κάθε μία από τις οποίες μπορεί να πάρει τιμές από ένα συγκεκριμένο πεδίο τιμών (constraint domain) και από ένα σύνολο περιορισμών (constraints), δηλαδή σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών. Στην αναπαράσταση αυτή, λύση είναι μια ανάθεση τιμών στις μεταβλητές του προβλήματος, η οποία δεν παραβιάζει τους περιορισμούς. Με άλλα λόγια, αξιοποιώντας την πληροφορία που λαμβάνεται από τους περιορισμούς, διαμορφώνεται κατάλληλα ο χώρος αναζήτησης, ώστε κάθε λύση που προκύπτει να τους ικανοποιεί εν τη γενέσει της. Έτσι, αφενός ο χώρος έρευνας γίνεται μικρότερος και αφετέρου η ικανοποίηση των περιορισμών εξασφαλίζεται ενδογενώς. Ωστόσο, συχνά δεν είναι εφικτός ο καθορισμός του νέου χώρου αναζήτησης. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ένας απλός τρόπος αντιμετώπισης προβλημάτων με περιορισμούς είναι η κατάλληλη τροποποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Συγκεκριμένα, κατά τον υπολογισμό της f εισάγεται ένας αρνητικός όρος (penalty function) που εκφράζει ποσοτικά την παραβίαση των περιορισμών που έχουν τεθεί. Η απλούστερη μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών είναι η παραγωγή και δοκιμή (generate and test). Σύμφωνα με αυτή, αρχικά παράγονται υποψήφιες λύσεις από μια γεννήτρια λύσεων (generator) και έπειτα ελέγχεται αν η λύση ικανοποιεί τους περιορισμούς τους προβλήματος. Οι εναλλακτικές μέθοδοι επίλυσης που χρησιμοποιούνται πιο συχνά περιλαμβάνουν τους κλασικούς αλγορίθμους αναζήτησης (π.χ. αναζήτηση πρώτα σε βάθος, αναζήτηση πρώτα σε πλάτος, επαναληπτική εκβάθυνση, αναζήτηση διπλής κατεύθυνσης, κ.λπ.) και τους αλγορίθμους ελέγχου συνέπειας (π.χ. AC 3, K- συνέπεια, κ.λπ.). Τα προβλήματα με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις (βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων) προσφέρουν τη δυνατότητα εφαρμογής ενός είδους ανάλυσης ευαισθησίας για τα επιλεγμένα κριτήρια. Η διαφορά μεταξύ των κριτηρίων και των περιορισμών έγκειται στο ότι ο μελετητής επιθυμεί να βελτιώσει τη τιμή ενός κριτηρίου ενώ δεν υπάρχει τέτοια δυνατότητα για τους περιορισμούς Χαρακτηριστικά και Κατηγορίες Προβλημάτων Γενικά οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης έχουν ως κοινό στοιχείο την αναζήτηση των κατάλληλων τιμών για τις παραμέτρους εισόδου. Για την επίτευξη του σκοπού αυτού εξετάζεται ένα μικρό μέρος του υπολογιστικού χώρου των εφικτών λύσεων, όπου μέσα από συγκεκριμένες επαναληπτικές διαδικασίες προσεγγίζεται

144 116 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ προοδευτικά η καλύτερη δυνατή λύση (ή ομάδα λύσεων). Ωστόσο, οι αλγόριθμοι εμφανίζουν σημαντικές διαφορές μεταξύ τους και για τον λόγο αυτό ο αλγόριθμος που επιλέγεται για την επίλυση του προβλήματος εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του προβλήματος. Τα βασικά σημεία διαφοροποίησης ανάμεσα στους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που επιλέγονται για την επίλυση, εξαρτώνται από την φύση του προβλήματος και θα μπορούσαν να κατηγοριοποιηθούν (σε γενικό επίπεδο) ως εξής: [I] Μονοδιάστατο ή πολυδιάστατο πρόβλημα. Αν το πρόβλημα που καλούμαστε να επιλύσουμε έχει μόνο μία παράμετρο εισόδου, τότε πρόκειται για μονοδιάστατη βελτιστοποίηση (one dimensional). Αντίθετα, αν το πρόβλημα έχει περισσότερες από μία παραμέτρους εισόδου, όπως η πλειοψηφία των προβλημάτων γενικά, τότε απαιτείται πολυδιάστατη βελτιστοποίηση (multi dimensional). Γενικά η δυσκολία του προβλήματος αυξάνεται σημαντικά όσο αυξάνεται ο αριθμός των διαστάσεων. Αξίζει να σημειωθεί ότι συχνά και εφόσον η φύση του προβλήματος το επιτρέπει, η πολυδιάστατη βελτιστοποίηση προσεγγίζεται με σειρά από κατάλληλες μονοδιάστατες, ώστε να διευκολύνεται η επίλυση του προβλήματος. [II] Αντικειμενική συνάρτηση με δοκιμές ή με αναλυτικό τρόπο. Στην περίπτωση που η βελτιστοποίηση βασίζεται σε δοκιμές (trial-and-error), η διαδικασία εύρεσης των κατάλληλων τιμών για τις παραμέτρους εισόδου γίνεται χωρίς να υπάρχει σαφής γνώση της διαδικασίας που παράγει το αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, η αντικειμενική συνάρτηση αντιμετωπίζεται σαν ένα μαύρο κουτί (black box), όπου η αντιστοίχιση των τιμών με τα αποτελέσματα αποτελεί την βασική πληροφορία για να προσεγγιστεί η λύση. Αντίθετα, η βελτιστοποίηση μπορεί να έχει ως πυρήνα μια αντικειμενική συνάρτηση που δίνεται από έναν αναλυτικό μαθηματικό τύπο. Εδώ μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες τεχνικές ή μαθηματικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα η παράγωγος μιας μεταβλητής, ώστε να βρεθεί η βέλτιστη λύση. Στην πρώτη κατηγορία μπορούν να ενταχθούν και προβλήματα, η αντικειμενική συνάρτηση των οποίων μπορεί θεωρητικά να εκφραστεί με ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων, αλλά προκύπτει τόσο πολύπλοκη που δύσκολα μπορεί να εκτιμηθεί η συμπεριφορά της. [III] Αναζήτηση τιμών (διακριτές ή συνεχείς τιμές). Οι τιμές για τις παραμέτρους εισόδου σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης μπορεί να είναι διακριτοί ή συνεχείς αριθμοί. Στην περίπτωση που οι τιμές είναι διακριτές, οι πιθανές επιλογές για τις παραμέτρους εισόδου είναι πεπερασμένες, σε αντίθεση με τις συνεχείς τιμές που είναι άπειρες. Συνήθως, η επιλογή ανάμεσα στα δύο είδη εξαρτάται από την φύση του προβλήματος. Η βελτιστοποίηση με διακριτές τιμές είναι γνωστή και ως συνδυαστική βελτιστοποίηση (combinatorial), αφού έχει ως στόχο να βρεθεί ο κατάλληλος συνδυασμός των παραμέτρων εισόδου από το σύνολο των πεπερασμένων δυνατών επιλογών.

145 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 117 [IV] Βελτιστοποίηση με ή χωρίς περιορισμούς. Οι παράμετροι εισόδου έχουν συχνά συγκεκριμένους περιορισμούς και όρια που πρέπει να ισχύουν ώστε να προκύψει μια εφικτή λύση. Η βελτιστοποίηση με περιορισμούς (constrained) υποθέτει την παρουσία τουλάχιστον μίας ισότητας ή ανισότητας παραμέτρων στην αντικειμενική συνάρτηση. Αντίθετα, όταν δεν υπάρχουν περιορισμοί οι παράμετροι μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή. Μια βελτιστοποίηση με περιορισμούς μπορεί να έχει την δυνατότητα να μετατραπεί σε μία αντίστοιχη χωρίς περιορισμούς (unconstrained), ώστε να διευκολυνθεί η επίλυση. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς και αντικειμενικές συναρτήσεις που αποτελούνται αποκλειστικά από γραμμικές εξισώσεις ή ανισότητες, ονομάζονται προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού (Linear Programming - LP). Αντίθετα, όταν περιέχεται έστω και μία μη γραμμική εξίσωση ή ανισότητα, τότε προκύπτουν προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού (Non Linear Programming - NLP), τα οποία προφανώς είναι πιο δύσκολο να επιλυθούν. Σε αυτή την περίπτωση, εφόσον το επιτρέπει η φύση του προβλήματος επιχειρείται μετασχηματισμός σε πρόβλημα LP. [V] Βελτιστοποίηση ενός στόχου ή βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων. Η βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (MOO) αναφέρεται σε προβλήματα τα οποία επιθυμούν την ικανοποίηση πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων, συνήθως αντικρουόμενων. Η MOO διαφέρει σημαντικά από την απλή βελτιστοποίηση ενός στόχου (SOO) κυρίως λόγω της αδυναμίας καθορισμού μίας μοναδικής βέλτιστης λύσης. [VI] Δυναμική ή στατική αντικειμενική συνάρτηση. Στη δυναμική βελτιστοποίηση (dynamic optimization), το αποτέλεσμα είναι συνάρτηση του χρόνου, ενώ αντίθετα στην στατική βελτιστοποίηση (static optimization) είναι ανεξάρτητο του χρόνου. Συχνά, κάποιο στοιχείο του προβλήματος δεν παραμένει σταθερό και επομένως η λύση που προκύπτει από την βελτιστοποίηση μια δεδομένη στιγμή, δεν είναι απαραίτητα καλή για ένα άλλο στιγμιότυπο. Ένα παράδειγμα δυναμικής βελτιστοποίησης αποτελεί η επίλυση του δικτύου της κινητής τηλεφωνίας. Η θέση των κινητών των χρηστών αφενός δεν παραμένει σταθερή και αφετέρου επηρεάζει σημαντικά το αποτέλεσμα. Σε αυτή την περίπτωση, συχνά το πρόβλημα επιλύεται για πολλά ανεξάρτητα στιγμιότυπα και η τελική επίδοση του δικτύου προκύπτει λαμβάνοντας τον μέσο όρο των επιμέρους αποτελεσμάτων. Αναμφισβήτητα, η επιπρόσθετη διάσταση του χρόνου αυξάνει σημαντικά την πολυπλοκότητα της διαδικασίας βελτιστοποίησης. [VII] Ακολουθιακή ή στοχαστική αλγοριθμική προσέγγιση. Ορισμένοι αλγόριθμοι ξεκινούν από ένα συγκεκριμένο συνδυασμό των παραμέτρων εισόδου και έπειτα, με ένα πλήρως καθορισμένο σύνολο από βήματα, προσπαθούν να προσεγγίσουν την βέλτιστη λύση. Οι αλγόριθμοι αυτοί που ονομάζονται ακολουθιακοί (sequential), έχουν την ιδιότητα ότι πάντα οδηγούν στο ίδιο

146 118 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ αποτέλεσμα για τις ίδιες τιμές των παραμέτρων εισόδου και συνήθως απαιτούν μικρό υπολογιστικό χρόνο. Ωστόσο, τις περισσότερες φορές αποτυγχάνουν να βρουν μια ικανοποιητική λύση, καθώς εγκλωβίζονται σε τοπικά ελάχιστα από τα οποία αδυνατούν να ξεφύγουν. Αντίθετα, οι στοχαστικοί αλγόριθμοι (stochastic), προσπαθούν να προσεγγίσουν την βέλτιστη λύση με βάση ορισμένες τυχαίες διαδικασίες. Έχουν την ιδιότητα ότι δεν οδηγούν απαραίτητα στο ίδιο αποτέλεσμα για τις ίδιες τιμές των παραμέτρων εισόδου και συνήθως είναι αρκετά πιο αργοί. Ωστόσο, η χρήση τους είναι πολύ διαδεδομένη για πλήθος προβλημάτων, καθώς έχουν την ικανότητα να βρίσκουν καλές λύσεις σε πολύ δύσκολους υπολογιστικούς χώρους. Υποκατηγορία των στοχαστικών αλγορίθμων αποτελούν οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (Evolutionary Algorithms - ΕΑ) που παρουσιάζονται στην Το ερευνητικό πεδίο της παρούσας Διατριβής αφορά σε πολυδιάστατα προβλήματα κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα για τα οποία προτείνεται επίλυση με χρήση ελιτίστικου ΕΑ. Τα χαρακτηριστικά των προβλημάτων που εξετάζουμε σε σχέση με τις γενικές κατηγορίες που αναφέρθηκαν στην παρούσα ενότητα περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 21. Χαρακτηριστικά και κατηγοριοποίηση των προβλημάτων της παρούσας Διατριβής Χαρακτηριστικά και κατηγοριοποίηση των προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα (αντικείμενο της παρούσας Διατριβής) [I] [II] [III] [IV] [V] [VI] [VII] Πολυδιάστατο πρόβλημα Επίλυση με αναλυτικό τρόπο Αναζήτηση με διακριτές τιμές Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων ή πολλαπλών κριτηρίων Βελτιστοποίηση με περιορισμούς Στατική αντικειμενική συνάρτηση Επίλυση με χρήση στοχαστικού αλγορίθμου (εξελικτικός αλγόριθμος) Πηγή: Ιδία επεξεργασία

147 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Μέθοδοι Βέλτιστου Προγραμματισμού Κατηγορίες Λύσεων Οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης που ουσιαστικά συνιστούν τον μηχανισμό επίλυσης των σύνθετων προβλημάτων χρονικού προγραμματισμού των έργων (ανάμεσα στα οποία και τα προβλήματα κατανομής των πόρων), μπορούν να χωριστούν γενικά σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: τις μαθηματικές ή αιτιοκρατικές μεθόδους, τις ευρετικές μεθόδους (heuristics), και τις μετα - ευρετικές μεθόδους. Οι ευρετικές μέθοδοι χρησιμοποιούν κανόνες, που έχουν προκύψει όχι απαραίτητα από την εξαντλητική μαθηματική διερεύνηση, αλλά που εμπειρικά έχει βρεθεί ότι είχαν το επιθυμητό αποτέλεσμα σε αντίστοιχες περιπτώσεις. Βασικό χαρακτηριστικό αυτών των μεθόδων είναι ότι αναζητούν την καλύτερη δυνατή επαρκή λύση (δεδομένων των περιορισμών) από ένα περιορισμένο σύνολο πιθανών λύσεων και όχι απαραίτητα την βέλτιστη για το εκάστοτε πρόβλημα από το σύνολο των δυνατών λύσεων. Με άλλα λόγια, η εφαρμογή των ευρετικών μεθόδων δεν εγγυάται ότι θα επιτύχει την βέλτιστη λύση, αλλά είναι ικανή να οδηγήσει σε μία αρκετά καλή λύση (κοντά στην βέλτιστη) σε εύλογο χρονικό διάστημα. Για τον λόγο αυτό, τα τελευταία χρόνια οι ευρετικές μέθοδοι έχουν γίνει εξαιρετικά δημοφιλείς στα προβλήματα χρονικού προγραμματισμού έργων και διαχείρισης των πόρων με περιορισμούς, αλλά και γενικότερα σε σύνθετα προβλήματα βελτιστοποίησης. Οι μετα-ευρετικές τεχνικές αποτελούν εξέλιξη των ευρετικών και προτείνουν τιμές, χωρίς να ενεργούν ευθέως στον χώρο των εφικτών λύσεων του προβλήματος, αλλά διαχειρίζονται την εφαρμογή των λεγόμενων «χαμηλού επιπέδου» (low level) ευρετικών. Στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουν τη φύση του προβλήματος που προσπαθούν να επιλύσουν και για το λόγο αυτό μπορούν να προσαρμοστούν σε πολλά και διαφορετικά προβλήματα. Στα θετικά της μεθόδου συγκαταλέγεται το γεγονός ότι δίνει καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με μία ευρετική μέθοδο, ενώ στα αρνητικά της ότι χρειάζεται να αξιολογήσει πληθώρα λύσεων, αυξάνοντας τον υπολογιστικό χρόνο. Πολλές μεταευρετικές μέθοδοι εφαρμόζουν κάποια μορφή στοχαστικής βελτιστοποίησης. Από την άλλη πλευρά, οι μαθηματικές μέθοδοι βελτιστοποίησης αναζητούν την καλύτερη δυνατή λύση στο σύνολο των δυνατών λύσεων, δηλ. η λύση που προκύπτει από την εφαρμογή τους είναι η μοναδική καλύτερη δυνατή λύση του προβλήματος. Η πολυπλοκότητα όμως του μαθηματικού προβλήματος που προκύπτει από την εκθετική αύξηση των δυνατών λύσεων με την αύξηση του

148 120 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ μεγέθους και των αλληλοεξαρτήσεων των εργασιών στο έργο, κάνει την χρήση αυτών των τεχνικών απαγορευτική ακόμα και με τη χρήση υπολογιστών, εκτός από περιπτώσεις μικρών και μικρής πολυπλοκότητας έργων Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Οι μαθηματικές μέθοδοι (mathematical optimization) ανήκουν στην κατηγορία της ακριβούς βελτιστοποίησης και προέρχονται από τις επιστημονικές περιοχές των οικονομικών μαθηματικών και της επιχειρησιακής έρευνας και ήταν οι πρώτες που εφαρμόστηκαν σε προβλήματα βέλτιστου προγραμματισμού των έργων. Ο κλάδος της επιστήμης των μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος που υπόκειται σε ορισμένους περιορισμούς, ονομάζεται Μαθηματικός Προγραμματισμός (Mathematical Programming). Μαθηματικός Προγραμματισμός Φυσικά απαραίτητη προϋπόθεση για να λυθεί ένα πρόβλημα με μεθόδους μαθηματικού προγραμματισμού είναι να μπορεί το πρόβλημα αυτό να μετατραπεί σε αυστηρά μαθηματική μορφή. Οι μέθοδοι αυτοί χαρακτηρίζονται για το μεγάλο υπολογιστικό τους κόστος, που τις καθιστά μη πρακτικές για προβλήματα μεγάλου μεγέθους. Ο όρος μαθηματικός προγραμματισμός, που δεν πρέπει να συγχέεται με την ανάπτυξη προγραμμάτων λογισμικού, χρησιμοποιήθηκε πολύ πριν την ευρεία εφαρμογή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο όρος αυτός αφορά στη μελέτη προβλημάτων βελτιστοποίησης, τις μαθηματικές ιδιότητες και την ανάπτυξη αλγορίθμων βελτιστοποίησης. Οι τεχνικές βελτιστοποίησης που βασίζονται στις αρχές του μαθηματικού προγραμματισμού μπορούν γενικά να ταξινομηθούν σε πέντε μεγάλες κατηγορίες: Γραμμικός Προγραμματισμός (Linear Programming LP). Οι μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού αντιμετωπίζουν προβλήματα στα οποία τόσο η αντικειμενική συνάρτηση όσο και οι συναρτήσεις περιορισμών είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών σχεδιασμού. Σε αυτήν την περίπτωση η βέλτιστη λύση βρίσκεται επί του συνόρου μίας ή περισσοτέρων συναρτήσεων περιορισμού. Σε προβλήματα αυτού του είδους (κυρτά) ένα τοπικό ελάχιστο είναι οπωσδήποτε και καθολικό ελάχιστο του προβλήματος. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (Non Linear Programming NLP). Είναι οι πιο διαδεδομένες τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού, ιδιαίτερα σε προβλήματα βελτιστοποίησης χρονικού προγραμματισμού των έργων, αφού αντιμετωπίζουν γενικά όλες τις περιπτώσεις όπου η αντικειμενική συνάρτηση αλλά και οι συναρτήσεις περιορισμών είναι μη γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών του προγραμματισμού. Σε αυτή την περίπτωση (μη κυρτό

149 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 121 πρόβλημα) η εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου δεν πιστοποιεί την εύρεση ενός καθολικού ελαχίστου. Ακέραιος Προγραμματισμός (Integer Programming IP). Οι μέθοδοι αυτές αντιμετωπίζουν προβλήματα στα οποία οι παράμετροι προγραμματισμού δεν είναι συνεχείς, αλλά παίρνουν μη κλασματικές ή διακριτές τιμές από κάποιο συγκεκριμένο σύνολο τιμών. Ένα πρόβλημα ΑΠ μπορεί να υπόκειται σε περιορισμούς ή όχι. Με αυστηρό κριτήριο ο ΑΠ είναι μη γραμμικός διότι οι συναρτήσεις ορίζονται μόνο για διακεκριμένες τιμές των μεταβλητών. Ένα πρόβλημα ΑΠ μεταπίπτει σε πρόβλημα ΓΠ εάν, χαλαρώνοντας τους ακέραιους περιορισμούς των μεταβλητών, προκύπτουν γραμμικές συναρτήσεις. Μαθηματικά προβλήματα ΑΠ παρουσιάστηκαν πριν την ανάπτυξη της επιχειρησιακής έρευνας ( ). Με την καθιέρωση της θεωρίας ανάλυσης συστημάτων και την ανάπτυξη του ΓΠ, προέκυψε η ανάγκη επίλυσης γραμμικών μοντέλων με ακέραιους περιορισμούς. Η πρώτη τεχνική ΑΠ αναπτύχθηκε από τον Ralph Edward Gomory (1958), Αμερικανό μαθηματικό και ερευνητή. Επίσης, υπάρχουν και περιπτώσεις «Μικτού Ακέραιου Προγραμματισμού» (Mixed Integer Programming), όπου κάποιες από τις παραμέτρους προγραμματισμού είναι διακριτές και άλλες είναι συνεχείς. Γεωμετρικός Προγραμματισμός (Geometric Programming GP). Αναφέρεται σε μία ειδική κατηγορία προβλημάτων όπου οι συναρτήσεις περιορισμών αλλά και η αντικειμενική συνάρτηση είναι πολυωνυμικής μορφής συναρτήσεις των παραμέτρων σχεδιασμού. Σε προβλήματα αυτού του είδους πρέπει να ισχύει πάντα η αυστηρή προϋπόθεση ότι οι παράμετροι σχεδιασμού λαμβάνουν πάντα θετικές τιμές. Δυναμικός Προγραμματισμός (Dynamic Programming DP). Κύριος στόχος αυτών των μεθόδων είναι να διασπασθεί ένα σχετικά μεγάλο πρόβλημα βελτιστοποίησης σε μικρότερα τα οποία μπορούν να αντιμετωπισθούν ως ξεχωριστά προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού. Κάθε υποπρόβλημα περιέχει μέρος από τα στοιχεία του καθολικού προβλήματος και μπορεί να επιλυθεί με κάποια από τις προαναφερθείσες μεθοδολογίες. sτην ουσία ο δυναμικός προγραμματισμός δεν αποτελεί μια ξεχωριστή τεχνική μαθηματικής βελτιστοποίησης αλλά μάλλον μία τεχνική διαμερισμού μεγάλων προβλημάτων βελτιστοποίησης σε μικρότερα.

150 122 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.2 Για να γίνει κατανοητή η πολυπλοκότητα των προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού, στο πλαίσιο της παρούσας, επιχειρήσαμε την εφαρμογή του μοντέλου που πρότειναν οι Patterson et al. (1989, 1990) 12 για τον χρονικό προγραμματισμό δύο πολύ απλών έργων 3 και 5 δραστηριοτήτων, αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής. ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ Δείκτες και σύνολα d = Δείκτης για τον αριθμό των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες εκτελείται μία δραστηριότητα j = Δείκτης δραστηριότητας του έργου (j = 1, 2, J) k = Δείκτης που προσδιορίζει τους πόρους που είναι διαθέσιμοι σε καθορισμένη ποσότητα σε κάθε χρονική περίοδο [δηλαδή, ανανεώσιμοι πόροι (k = 1, 2, K)] m = Δείκτης τρόπου εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας (δηλαδή, ο συνδυασμός των πόρων που διατίθενται για την εκτέλεση μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας) t = Δείκτης των χρονικών περιόδων (t = 1, 2, T) P = Σύνολο όλων των ζευγών σχέσεων αμέσως προηγούμενων δραστηριοτήτων (a, b) Ρ δηλώνει ότι η a είναι αμέσως προηγούμενη δραστηριότητα της δραστηριότητας b Παράμετροι Cjmd = Χρηματοροή της δραστηριότητα j εάν εκτελεσθεί με τον τρόπο m κατά την διάρκεια της d ιοστής περιόδου εκτέλεσης της (d = 1, 2, Djm) Εάν Cjmd < 0, υπάρχει ανάληψη μετρητών Εάν Cjmd > 0, υπάρχει εισροή μετρητών C*jmv = Μη αρνητική ταμειακή εισροή v περιόδους μετά την ολοκλήρωση της δραστηριότητας j (v 1) (ολοκλήρωση οροσήμου πληρωμής) Ct = Καθαρή ταμειακή θέση στην περίοδο t C0 = είναι τα μετρητά που είναι διαθέσιμα κατά την έναρξη του έργου Djm = Διάρκεια της δραστηριότητας j αν εκτελεστεί με τον τρόπο m Ej(Lj) = Ενωρίτερος (βραδύτερος χρόνος ολοκλήρωσης της δραστηριότητας j, καθορισμένος από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής με βάση τον συντομότερο (μεγαλύτερο) χρόνο ολοκλήρωσης για τις δραστηριότητες του δικτύου J = Μοναδική τελική δραστηριότητα (μπορεί να είναι πλασματική) που έχει μόνο έναν τρόπο εκτέλεσης (m = 1) Το J εκφράζει επίσης τον αριθμό των δραστηριοτήτων στο έργο Mj = Αριθμός τρόπων που συνδέονται με την δραστηριότητα j (m = 1, 2, Μj) Rkt = Ποσότητα πόρου k που είναι διαθέσιμη κατά την περίοδο t rjmk = Ανά περίοδο ποσότητα ανανεώσιμου πόρου k που απαιτείται για την εκτέλεση της δραστηριότητας j με τρόπο m 12 Sthub A., Bard J., Globerson S., 2008 σελ. 653

151 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 123 T = Ημερομηνία ολοκλήρωσης του έργου at = Μοναδική πληρωμή, συντελεστής προεξόφλησης παρούσας αξίας για περιόδους t με επιτόκιο iβ at = (1/ 1+i) t-1 Μεταβλητές Απόφασης xjmt = 1 εάν η δραστηριότητα j με τον τρόπο m ολοκληρωθεί κατά την περίοδο t 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Αντικειμενική Συνάρτηση Ελαχιστοποίηση (5.3) Υπό τους περιορισμούς (5.4) j = 1, 2, J (5.5) Για κάθε (a, b) Ρ (5.6) k = 1, 2, K και t = 1, 2, T (5.7) t = 1, 2, T xjmt = 0 ή 1 για κάθε j, m, t Στο παραπάνω μοντέλο ο στόχος της ελαχιστοποίησης της διάρκειας του έργου, επιτυγχάνεται προγραμματίζοντας τη μοναδική τελική δραστηριότητα J όσο το δυνατόν νωρίτερα, υπό τους ακόλουθους περιορισμούς: Διασφαλίζοντας ότι κάθε δραστηριότητα θα ολοκληρωθεί σε ακριβώς μία χρονική περίοδο, χρησιμοποιώντας μόνο έναν τρόπο εκτέλεσης περιορισμός (5.4), Διατηρώντας τις σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων περιορισμός (5.5), Επιβάλλοντας (εξωτερικούς) περιορισμούς στους πόρους που σχετίζονται με την διαθεσιμότητά τους περιορισμός (5.6),

152 124 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Διασφαλίζοντας ότι ένας τρόπος εκτέλεσης δραστηριότητας επιλέγεται μόνο εφόσον υπάρχουν αρκετά μετρητά σε κάθε περίοδο της διάρκειας της περιορισμός (5.7). Αρκεί να σημειωθεί ότι για ένα πολύ απλό έργο 3 δραστηριοτήτων, με δύο διαφορετικούς τρόπους εκτέλεσης για κάθε δραστηριότητα και 1 απαιτούμενο πόρο, προκύπτουν 77 μεταβλητές xjmt., ενώ για ένα επίσης πολύ απλό έργο 5 δραστηριοτήτων, με δύο διαφορετικούς τρόπους εκτέλεσης για κάθε δραστηριότητα και 1 απαιτούμενο πόρο, προκύπτουν 137 μεταβλητές xjmt. Για την επίλυση και των δύο προβλημάτων προστέθηκε μία πλασματική δραστηριότητα για να περιγράψει το Πέρας (την ολοκλήρωση, δηλαδή, του έργου) με μηδενική διάρκεια και μηδενική κατανάλωση πόρων. Για την δόμηση των περιορισμών, αποτυπώθηκαν 19 συναρτήσεις στο πρώτο πρόβλημα και 26 συναρτήσεις στο δεύτερο πρόβλημα. Στην πρώτη περίπτωση, προέκυψε τελική λύση, με χρήση του πρόσθετου (add in) solver του xls και εφαρμογή ακέραιου προγραμματισμού. Στην 2 η περίπτωση το πρόσθετο (add in) δεν κατάφερε να δώσει λύση παρά τις συνεχείς επαναλήψεις τις προσπάθειας (υπολογιστικές δυνατότητες/ desktop με τα εξής χαρακτηριστικά: Intel Pentium 4, CPU 3.2 GHz, 1,00 GΒ RAM). Τα δεδομένα των δύο προβλημάτων και τα κομβικά δικτυωτά γραφήματα παρουσιάζονται στη συνέχεια. Σχήμα 37. Παράδειγμα 5.1 Δεδομένα του προβλήματος και κομβικό δικτυωτό διάγραμμα

153 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 125 Σχήμα 38. Παράδειγμα 5.2 Δεδομένα του προβλήματος και κομβικό δικτυωτό διάγραμμα Πηγή: Ιδία επεξεργασία Το πρόβλημα είναι επίσημα γνωστό ως ακέραιο πρόγραμμα μηδέν ένα. Στην πράξη δεν είναι ρεαλιστικό να επιχειρήσει κανείς να λύσει αυτό το είδος του προβλήματος με τον βέλτιστο τρόπο, όταν εξετάζονται έργα με μερικές εκατοντάδες δραστηριότητες ή όταν προγραμματίζονται παράλληλα περισσότερα έργα που μοιράζονται κοινούς πόρους.

154 126 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Ευρετικές και Μετα - Ευρετικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ευρετική ή ευριστική (heuristic method) ονομάζεται κάθε μέθοδος επίλυσης προβλημάτων, στην οποία η πορεία προς ένα τελικό αποδεκτό αποτέλεσμα στηρίζεται σε μια σειρά προσεγγιστικών αποτελεσμάτων. Αν και οι ευρετικές μέθοδοι δίνουν απλές και ικανοποιητικές λύσεις σε μερικά προβλήματα, δεν εγγυώνται ότι αυτές οι λύσεις είναι οι καλύτερες δυνατές. Συνήθως δίνουν προσεγγίσεις των βέλτιστων λύσεων και κάποιες φορές προτιμούνται επειδή δίνουν αποδεκτές απαντήσεις σε μικρό χρόνο. Σύμφωνα με τους Βλαχάβα κ.α. (2006), ευριστική (heuristic) είναι μία στρατηγική βασισμένη στη γνώση για το συγκεκριμένο πρόβλημα η οποία χρησιμοποιείται σαν βοήθημα στη γρήγορη επίλυση του. Ευρετική μέθοδος Μεταευρετική (metaheuristic) καλείται μια υπολογιστική μέθοδος βελτιστοποίησης η οποία στην πραγματικότητα δεν γνωρίζει τη φύση του προβλήματος που προσπαθεί να επιλύσει και για το λόγο αυτό μπορεί να προσαρμοστεί σε πολλά και διαφορετικά προβλήματα. Στα θετικά της μεθόδου συγκαταλέγεται το γεγονός ότι δίνει καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με μία ευρετική μέθοδο, ενώ στα αρνητικά της ότι χρειάζεται να αξιολογήσει πληθώρα λύσεων, αυξάνοντας τον υπολογιστικό χρόνο. Πολλές μεταευρετικές μέθοδοι εφαρμόζουν κάποια μορφή στοχαστικής βελτιστοποίησης Κύρια κατηγορία των μετα-ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης είναι οι εξελικτικές μέθοδοι που παρουσιάζονται αναλυτικά στη συνέχεια. Μετα-ευρετική μέθοδος ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ήδη από τη δεκαετία του 1960 άρχισαν να εφαρμόζονται τεχνικές βασιζόμενες σε τυχηματικές, ή διαφορετικά, πιθανοκρατικές διαδικασίες δειγματοληψίας που προσομοίαζαν γενετικές διεργασίες και πρότυπα για την επίλυση προβλημάτων επιχειρησιακής έρευνας, οικονομικών μαθηματικών καθώς και υπολογιστικής μηχανικής. Οι πιο διαδεδομένες από τις μεθόδους αυτές είναι οι επονομαζόμενες Δαρβίνειες Μέθοδοι οι οποίες οφείλουν την ονομασία τους στο γεγονός ότι μιμούνται τη διαδικασία της εξέλιξης των ειδών στη φύση, όπως την παρουσίασε πρώτος ο Κάρολος Δαρβίνος. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (Evolutionary Algorithms EA), σήμερα, εντάσσονται στον κλάδο της Επιστήμης των Υπολογιστών και αποτελούν μέρος μιας καινούργιας «κίνησης» που εξερευνά βιολογικά εμπνευσμένες υπολογιστικές προσεγγίσεις. Υποστηρικτές αυτής της κίνησης πιστεύουν ότι για να δημιουργηθούν τα είδη των υπολογιστικών συστημάτων που χρειαζόμαστε (συστήματα τα οποία είναι προσαρμόσιμα, πολύ δυνατά, ικανά να αντιμετωπίσουν κάθε πολυπλοκότητα, ικανά να εκμάθουν, ακόμα και να

155 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 127 δημιουργήσουν) πρέπει να αντιγραφούν τα φυσικά συστήματα με αυτά τα χαρακτηριστικά. Οι ΕΑ είναι μια από τις βάσεις των Προγραμμάτων Τεχνητής Νοημοσύνης 13. Οι Δαρβίνειες μέθοδοι ή διαφορετικά μέθοδοι εξελικτικών αλγορίθμων σε αντίθεση με τις μεθόδους μαθηματικού προγραμματισμού, χρησιμοποιούν έναν πληθυσμό πιθανών λύσεων του προβλήματος (για τον λόγο αυτό απαντώνται συχνά στην βιβλιογραφία και ως μέθοδοι πληθυσμού ή πληθυσμιακοί μέθοδοι). Οι λύσεις αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και μπορούν να αντιμετωπιστούν επίσης ανεξάρτητα η μία από την άλλη, πράγμα που καθιστά ιδιαίτερα αποδοτική την εφαρμογή των μεθόδων αυτών σε παράλληλο υπολογιστικό περιβάλλον. Ο αρχικός πληθυσμός επιλέγεται με τυχαίο τρόπο και στη συνέχεια με τη χρήση κατάλληλων γενετικών μηχανισμών ή, διαφορετικά, τελεστών αναζήτησης (search operators), όπως είναι η επιλογή (selection), η αναπαραγωγή (reproduction), ο ανασυνδυασμός (recombination), η διασταύρωση (crossover) και η μετάλλαξη (mutation), ο πληθυσμός εξελίσσεται κινούμενος σε όλο και καλύτερες περιοχές του χώρου αναζήτησης. Οι υποψήφιες λύσεις του προβλήματος βελτιστοποίησης έχουν το ρόλο των ατόμων (individuals) ενός πληθυσμού και η συνάρτηση καταλληλότητας (fitness function) καθορίζει το περιβάλλον μέσα στο οποίο ζουν οι λύσεις. Η εξέλιξη του πληθυσμού λαμβάνει χώρα μετά την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των τελεστών και μέσω της αρχής της επικράτησης του ισχυρότερου (survival of the fittest) επιτυγχάνεται ο εντοπισμός της βέλτιστης λύσης. Οι πιο αντιπροσωπευτικοί εκπρόσωποι αυτής της κατηγορίας παρουσιάζονται στην Οι μέθοδοι αυτές και ειδικά η υποκατηγορία των Γενετικών Αλγορίθμων (ΓΑ) εφαρμόζονται σήμερα πολύ συχνά στον βέλτιστο χρονικό προγραμματισμό έργων και στη διαχείριση πόρων, με ιδιαίτερα ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Το βασικό τους πλεονέκτημα είναι ότι λόγω της τυχηματικότητας στην διερεύνηση του χώρου αναζήτησης, έχουν μεγαλύτερες πιθανότητες για την εύρεση του απόλυτα βέλτιστου σχεδιασμού σε σχέση με τις μαθηματικές μεθόδους οι οποίες χρησιμοποιούν νομοτελειακά καθορισμένες σχέσεις. Από την άλλη πλευρά, το κυριότερο μειονέκτημα των μεθόδων αυτών είναι ο μεγάλος αριθμός των επαναλήψεων που απαιτούνται κατά τη διαδικασία βελτιστοποίησης, παρόλο που το υπολογιστικό κόστος της κάθε μίας από αυτές είναι σχετικά μικρό, αφού δεν εμπεριέχεται ανάλυση ευαισθησίας. 13 Η Τεχνητή Νοημοσύνη αναφέρεται στον κλάδο της επιστήμης υπολογιστών ο οποίος ασχολείται με τη σχεδίαση και την υλοποίηση υπολογιστικών συστημάτων που μιμούνται στοιχεία της ανθρώπινης συμπεριφοράς τα οποία υπονοούν έστω και στοιχειώδη ευφυΐα: μάθηση, προσαρμοστικότητα, εξαγωγή συμπερασμάτων, κατανόηση από συμφραζόμενα, επίλυση προβλημάτων κ.λπ.

156 128 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Οι σημαντικότερες από τις μεθόδους αυτές είναι: Γενετικός Προγραμματισμός. Η εισαγωγή των γενετικών αλγορίθμων έγινε το 1958 από τον Friedberg, ο οποίος επιχείρησε την αυτόματη παραγωγή σύνθετων προγραμμάτων FORTRAN με το συνδυασμό μικρότερων προγραμμάτων. Ωστόσο, τα προγράμματα που προέκυπταν, τις περισσότερες φορές δεν ήταν εκτελέσιμα. Η διαδικασία αυτή είναι μια ειδική περίπτωση των γενετικών αλγορίθμων και αναφέρεται ως Γενετικός Προγραμματισμός (Genetic Programming GenP). Η μέθοδος του Γενετικού Προγραμματισμού, εξελίχθηκε περαιτέρω από τον J.R. Koza, ωστόσο στην ουσία της διαφέρει κατά πολύ από τις λοιπές εξελικτικές μεθοδολογίες, γιατί σήμερα θέτει ως στόχο την αυτόματη παραγωγή προγραμμάτων Η/Υ για την αντιμετώπιση συγκεκριμένων προβλημάτων (π.χ. γεννήτρια τυχαίων αριθμών). Γενετικοί Αλγόριθμοι. Η μέθοδος των ΓΑ (Genetic Algorithms GA) διερευνήθηκε επισταμένα από τον John Holland και τους συνεργάτες του στο πανεπιστήμιο του Michigan (ΗΠΑ) το 1975, οι οποίοι χρησιμοποίησαν σειρές δυαδικών ψηφίων (bits) για να αναπαραστήσουν λειτουργίες με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε συνδυασμός bit να είναι μια έγκυρη λειτουργία. Για τους ΓΑ πραγματοποιείται αναλυτική αναφορά σε επόμενη παράγραφο της παρούσας Διατριβής ( ), καθώς λόγω των χαρακτηριστικών τους και κυρίως των δυνατοτήτων επίλυσης και των λοιπών πλεονεκτημάτων τους, αποτελούν μία από τις πλέον δημοφιλείς μεθόδους για τα προβλήματα κατανομής των πόρων στα έργα. Εξελικτικός Προγραμματισμός. Η μέθοδος του ΕΠ (Evolutionary Programming EP)αναπτύχθηκε από τους L.J. Fogel et al. (1966) που χρησιμοποιούσε αναπαραστάσεις οι οποίες ήταν ειδικά διαμορφωμένες για τις απαιτήσεις των διάφορων προβλημάτων. Για παράδειγμα, σε προβλήματα βελτιστοποίησης πραγματικών τιμών, οι οντότητες μέσα στον πληθυσμό είναι διανύσματα πραγματικών τιμών. Παρομοίως, οι διατεταγμένες λίστες χρησιμοποιούνται στο πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem - TSP) και γίνεται χρήση γραφημάτων για υλοποιήσεις μηχανών με πεπερασμένες καταστάσεις. Ο ΕΠ συχνά χρησιμοποιείται σαν βελτιστοποιητής, παρά το ότι προέκυψε από την επιθυμία να αναπαραχθεί η ευφυΐα των μηχανών. Μετά την αρχικοποίηση, οι οντότητες επιλέγονται να γίνουν γονείς και να εφαρμοστεί η διαδικασία της μετάλλαξης. Οι απόγονοι αξιολογούνται και οι επιζώντες επιλέγονται από τις οντότητες, χρησιμοποιώντας την καταλληλότητα. Με άλλα λόγια, οι οντότητες με μεγάλη καταλληλότητα έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να επιβιώσουν. Ο τελεστής μετάλλαξης βασίζεται στον τρόπο αναπαράστασης που χρησιμοποιήθηκε και συχνά είναι προσαρμοστικός. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιούνται διανύσματα πραγματικών τιμών, κάθε μεταβλητή μέσα σε κάθε οντότητα μπορεί να υποστεί προσαρμοστική μετάλλαξη που προέρχεται από κανονική κατανομή με διασπορά μηδέν. Η

157 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 129 διασταύρωση δεν είναι γενικά αποδεκτός τελεστής, αφού ο τελεστής μετάλλαξης χρησιμοποιείται σαν παράγοντας αναταράξεων παρόμοιες με αυτές της διασταύρωσης. Ο ΕΠ δίνει έμφαση στη διαδικασία της μετάλλαξης και δεν συμπεριλαμβάνει τη διαδικασία της διασταύρωσης. Όπως ακριβώς στην περίπτωση των Στρατηγικών Εξέλιξης (βλ. παρακάτω), όταν αντιμετωπίζει προβλήματα βελτιστοποίησης με πραγματικές παραμέτρους, ο ΕΠ χρησιμοποιεί ομοιόμορφα κατανεμημένες μεταλλάξεις και επεκτείνει την εξελικτική διαδικασία και στις παραμέτρους της στρατηγικής που εφαρμόζεται. Ο τελεστής επιλογής που χρησιμοποιείται είναι πιθανοτικός. Ένα ενδιαφέρον και ανοιχτό ζήτημα είναι η επιλογή των τελεστών από τους ΕΑ, το οποίο παράγει την ποικιλία και τους νεωτερισμούς των συμπεριλαμβανόμενων πληθυσμών. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο ΕΠ βασίζεται αποκλειστικά στην αρχή της επιλογής του καλύτερου και όχι στη διαδικασία της αναπαραγωγής των ειδών. Στρατηγικές Εξέλιξης. Οι στρατηγικές εξέλιξης ή, διαφορετικά Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolutionary strategies ES), αναπτύχθηκαν τη δεκαετία του Η ιδέα της χρήσης της εξέλιξης ως κατευθυντήρια αρχή και, επομένως, της ανάπτυξης εξελικτικών στρατηγικών προέκυψε από προβλήματα πειραματικής βελτιστοποίησης. Οι Rechenberg και Schwefel εργάζονταν με προβλήματα υδροδυναμικής όταν προέκυψε η ιδέα της χρησιμοποίησης τυχαίων γεγονότων για να αποφασιστεί η κατεύθυνση μιας διαδικασίας βελτιστοποίησης. Κατά αυτό τον τρόπο, διακριτές μεταλλάξεις ήταν οι πρώτες εξελικτικές μεταβολές που εφαρμόστηκαν στις εξελικτικές στρατηγικές. Λόγω των περιορισμών του βασικού πειράματος, μόνο ένας στόχος θα μπορούσε να θεωρηθεί σε μια στιγμή, έτσι ώστε ο πληθυσμός έπρεπε να αποτελείται από ένα άτομο μόνο. Εξαιτίας του αρχικού ενδιαφέροντος στα προβλήματα υδροδυναμικής βελτιστοποίησης οι ΕΣ χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις σε διανύσματα πραγματικών τιμών. Στις κλασσικές ΕΣ ζευγάρια γονέων παράγουν απογόνους βάση της διασταύρωσης (crossover), τα οποία περαιτέρω αναταράσσονται μέσο της μετάλλαξης (mutation). Ο αριθμός των απογόνων που δημιουργούνται είναι μεγαλύτερος του αρχικού πληθυσμού. Η επιβίωση είναι ντετερμινιστική και υλοποιείται με έναν από τους δύο ακόλουθους τρόπους. Ο πρώτος επιτρέπει να επιζήσουν οι καλύτεροι απόγονοι και αντικαθιστά τους γονείς με αυτούς τους απογόνους. Ο δεύτερος τρόπος επιτρέπει να επιζήσουν οι καλύτεροι απόγονοι και οι γονείς. Όμοια με τον ΕΠ, αξιοσημείωτες προσπάθειες έχουν εστιαστεί στην προσαρμοστική μετάλλαξη καθώς τρέχει ο αλγόριθμος, επιτρέποντας σε κάθε μεταβλητή κάθε οντότητας να υποστεί προσαρμοστική μετάλλαξη που προέρχεται από κανονική κατανομή με διασπορά μηδέν. Αντίθετα με τον ΕΠ, η διασταύρωση παίζει σημαντικό ρόλο στις ΕΣ.

158 130 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Συστήματα Ταξινόμησης. Ο Holland και ο Reitman πρότειναν αυτόν τον τύπο συστήματος το Ένα σύστημα ταξινόμησης (classifier system) χρησιμοποιεί έναν Turing-complete αλγόριθμο γενικού σκοπού και αποτελείται από τρία κομμάτια: μια γλώσσα προγραμματισμού κανόνων, μια προσομοίωση της οικονομίας της αγοράς, και έναν γενετικό αλγόριθμο. Οι κανόνες είναι τα άτομα στον γενετικό αλγόριθμο. Όλοι μαζί οι κανόνες μπορεί να θεωρηθούν ως ένα πρόγραμμα που εκτελεί μια εργασία. Όταν ορισμένοι κανόνες ενεργοποιούνται από κάποια είσοδο, το σύστημα παράγει κάποιο αποτέλεσμα. Κάθε «ανταμοιβή» για το αποτέλεσμα πιστώνεται στους κανόνες ανάλογα ε τη συμβολή τους. Ο γενετικός αλγόριθμος επενεργεί στη συνέχεια, πάνω στους κανόνες. Οι κανόνες που προκύπτουν από τον γενετικό αλγόριθμο απαρτίζουν το νέο, ενδεχομένως τροποποιημένο, σύστημα ταξινόμησης. Υπάρχει ένας προφανής παραλληλισμός με μία αγορά όπου πολλά άτομα συνεργάζονται και ανταγωνίζονται για να επιτύχουν ένα στόχο και κάθε άτομο είναι ανταμείβεται για τον ρόλο του στην επιτυχία. Ένα σύστημα ταξινόμησης δεν θεωρείται ως εξελικτικό πρόγραμμα αφού το πλήρες πρόγραμμα δεν έχει εξελίσσεται μέσα από άτομα του πληθυσμού. Οι επιμέρους κανόνες ενός συστήματος ταξινόμησης δεν είναι ικανοί για την επίλυση όλου του προβλήματος. Ωστόσο, το 1980, ο Smith επινόησε μια παραλλαγή ενός συστήματος ταξινόμησης με την εισαγωγή συμβολοσειρών μεταβλητού μεγέθους ως άτομα. Στην προσέγγιση του κάθε άτομο είναι ένα πλήρες πρόγραμμα κανόνων που μπορεί να λύσει την εργασία που ορίζεται από τη συνάρτηση καταλληλότητας Μεθοδολογία Επίλυσης. Αναλυτικοί ή Στοχαστικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης; Από τις παραγράφους που προηγήθηκαν, προκύπτει σαφώς πως η φύση και ο τρόπος περιγραφής, ή διαφορετικά, η διατύπωση και σαφήνεια του προβλήματος αποτελούν τον πρώτο κρίσιμο παράγοντα της επίλυσης. Ο δεύτερος κρίσιμος παράγοντας είναι ο μηχανισμός επίλυσης, ή διαφορετικά, η μεθοδολογία επίλυσης και το πλήθος των παραμέτρων που υπεισέρχονται σε αυτή. Ωστόσο, ο δεύτερος παράγοντας προσδιορίζεται και αυτός από το ίδιο το πρόβλημα. Με άλλα λόγια, το ερώτημα «να χρησιμοποιήσω αναλυτικό ή εξελικτικό αλγόριθμο για την επίλυση του προβλήματος, δηλαδή την εύρεση/ προσέγγιση της βέλτιστης λύσης;» επιδέχεται μιας και μοναδικής απάντησης: «εξαρτάται από το πρόβλημα». Προτού περάσουμε στην περιγραφή της μεθοδολογίας που αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας για την προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των πόρων στα τεχνικά έργα (κεφάλαιο 7), κρίνεται σκόπιμη μια συνοπτική περιγραφή

159 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 131 των βασικότερων εκπροσώπων κάθε μίας από τις κατηγορίες λύσεων/ κατηγορίες βελτιστοποίησης της Αναλυτικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης Ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης προσφέρει τα εργαλεία για την εύρεση ακρότατων για τις αντικειμενικές συναρτήσεις, μέσω της πληροφορίας που προκύπτει από την παραγωγό της συνάρτησης. Αυτή η τεχνική αποτελεί συνήθη τακτική για τους ερευνητές των προβλημάτων αυτής της κατηγορίας. Για την περίπτωση ενός μονοδιάστατου προβλήματος, αρκεί να βρεθεί το σημείο μηδενισμού της πρώτης παραγώγου της αντικειμενικής συνάρτησης. Έπειτα, αν στο σημείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι θετική πρόκειται για τοπικό ελάχιστο, ενώ αν είναι αρνητική είναι τοπικό μέγιστο. Στη συνέχεια συγκρίνονται όλα τα τοπικά ελάχιστα και εύκολα προκύπτει το ολικό ελάχιστο. Τα ίδια ισχύουν και για τα πολυδιάστατα προβλήματα, με τη διαφορά ότι γίνεται χρήση μερικών παραγώγων. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται η αναλυτική μέθοδος βελτιστοποίησης για ένα πολυδιάστατο πρόβλημα: Σχήμα 39. Πρόβλημα εύρεσης ακρότατων με χρήση της παραγώγου Αυτή η μέθοδος είναι αρκετά ελκυστική συγκριτικά με τους αλγορίθμους που βασίζονται σε τυχαίες πιθανοκρατικές διαδικασίες. Ωστόσο, απαιτούνται συνεχείς συναρτήσεις με αναλυτικές παραγωγούς, ενώ στην περίπτωση όπου αντιμετωπίζονται πολυδιάστατα προβλήματα συχνά είναι πολύ δύσκολο να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα. Παρόλα αυτά, υπάρχουν αλγόριθμοι που έχουν την ικανότητα να αξιοποιήσουν με επιτυχία την χρήση της παραγωγού για την επίλυση αρκετών προβλημάτων. Οι αλγόριθμοι αυτής της κατηγορίας χρησιμοποιούνται για την γρήγορη εύρεση ενός ακρότατου μιας συνάρτησης. Από την στιγμή που θα καθοριστεί το αρχικό σημείο αναζήτησης, η σύγκλιση στο τοπικό ελάχιστο αυτής της γειτονιάς είναι εγγυημένη.

160 132 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις το τοπικό ελάχιστο δεν αποτελεί το ζητούμενο ολικό ελάχιστο και ο αλγόριθμος εγκλωβίζεται. Ως αποτέλεσμα, οι αναλυτικές μέθοδοι είναι ιδανικές όταν είναι εκ των προτέρων γνωστό που βρίσκεται περίπου το ολικό ελάχιστο. Ένα δεύτερο σημαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι οι αναλυτικοί αλγόριθμοι βασίζονται στην γνώση της αντικειμενικής συνάρτησης και της παραγώγου της, καθώς και στον υπολογισμό τους σε διάφορα σημεία. Τα στοιχεία αυτά αποτελούν τον πυρήνα της διαδικασίας εύρεσης των ελάχιστων. Όμως, η απαίτηση αυτή δεν είναι συχνά εφικτή, ακόμα και για απλά προβλήματα, γεγονός που εμποδίζει την ευρεία εφαρμογή των αλγορίθμων. Συνοψίζοντας, οι αναλυτικοί αλγόριθμοι μπορούν να αξιοποιηθούν σε ειδικά προβλήματα και να οδηγήσουν με ακρίβεια και ταχύτητα στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις γίνεται συστηματική χρήση των στοχαστικών και ιδιαίτερα των εξελικτικών αλγορίθμων. Στο σχήμα 40 παρουσιάζεται το βασικό διάγραμμα ροής ενός αναλυτικού αλγορίθμου Σχήμα 40. Βασικό διάγραμμα ροής αναλυτικού αλγορίθμου Ακολουθεί η συνοπτική περιγραφή των δύο πιο γνωστών αλγορίθμων αυτής της κατηγορίας. Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Ιδία επεξεργασία ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΤΑΒΑΣΗΣ ΚΛΙΣΕΩΝ Η μέθοδος της κατάβασης κλίσεων ή αλλιώς μέθοδος απότομης κατάβασης (gradient descent - steepest descent) είναι ένας αλγόριθμος βελτιστοποίησης όπου ένα τοπικό ακρότατο προσεγγίζεται μέσα από διαδοχικές θέσεις εκτιμήσεων. Ειδικότερα, το ακρότατο της συνάρτησης αναζητείται με επαναληπτικό τρόπο, αρχίζοντας από ένα σημείο και προχωρώντας αντίθετα προς την κατεύθυνση της παραγώγου στο σημείο αυτό. Η τιμή της παραγώγου στην ουσία υποδηλώνει την κλίση της επιφάνειας της αντικειμενικής συνάρτησης. Με άλλα λόγια, η επόμενη θέση αναζητείται προς την κατεύθυνση που η αντικειμενική συνάρτηση μειώνεται με τον μεγαλύτερο ρυθμό. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προσεγγιστεί το ακρότατο με ικανοποιητική ακρίβεια.

161 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 133 Συνήθως οι θέσεις αναζήτησης ακολουθούν μια χαρακτηριστική zig zag διαδρομή. Η κίνηση αυτή, όπως αποδεικνύεται στην πράξη, καθυστερεί σημαντικά την επιθυμητή σύγκλιση στο τοπικό ελάχιστο. Στο σχήμα 41 διακρίνεται η διαδικασία της μεθόδου για ένα δισδιάστατο πρόβλημα. Η επιφάνεια καταλληλότητας παρουσιάζεται με τη χρήση ισοδύναμων καμπυλών, που αποτελούν μια πολύ βολική αναπαράσταση για ένα πρόβλημα αναπαράστασης με δύο παραμέτρους εισόδου. ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΚΛΙΣΕΩΝ Η μέθοδος των συζυγών κλίσεων (conjugate gradient) βασίζεται στην ανάλυση της προηγούμενης μεθόδου, με σημαντική διαφορά την επιλογή κατεύθυνσης που προκύπτει η επόμενη θέση αναζήτησης. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί τις συζυγείς κατευθύνσεις για την προσέγγιση του τοπικού ελάχιστου. Οι συζυγείς κατευθύνσεις μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα με τη διαδικασία ορθογωνοποίησης Gram Schmidt. Συνήθως η μέθοδος των συζυγών κλίσεων χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων ιδιάζουσας μορφής και κυρίως εφαρμόζεται σε πολύ μεγάλα συστήματα που δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν με τις άμεσες μεθόδους επίλυσης. Στη γενική περίπτωση που αναζητείται το τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, το πλήθος των βημάτων της μεθόδου δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό. Επιπλέον, οι εξισώσεις του αλγορίθμου μετατρέπονται έτσι ώστε να εξαρτώνται από τις τιμές της συνάρτησης και της παραγώγου της. Σχήμα 41. Παράδειγμα της μεθόδου Σχήμα 42. Παράδειγμα της μεθόδου συζυγών κατάβασης κλίσεων κλίσεων Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009

162 134 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Στοχαστικοί Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης Για τα περισσότερα προβλήματα η χρήση των αναλυτικών μεθόδων βελτιστοποίησης δεν μπορεί να οδηγήσει σε ικανοποιητικές λύσεις. Στην πλειοψηφία μάλιστα των περιπτώσεων, δεν υπάρχει ούτε καν η δυνατότητα να εφαρμοστούν, αφού απαιτείται γνώση της αντικειμενικής συνάρτησης και της παραγώγου της, καθώς και ο υπολογισμός τους σε διάφορα σημεία του υπολογιστικού χώρου. Για τον λόγο αυτό, τον τελευταίο καιρό έχει δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στη συστηματική χρήση μιας άλλης μεγάλης κατηγορίας αλγορίθμων που ονομάζονται στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης. Οι στοχαστικοί αλγόριθμοι δεν χρειάζονται την αναλυτική περιγραφή του προβλήματος που επιλύεται και εφαρμόζουν κατάλληλες τυχαίες (πιθανοκρατικές) διαδικασίες για να εντοπίσουν τις βέλτιστες λύσεις. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται συνοπτικά τα πλεονεκτήματα που παρουσιάζουν οι στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης και τα οποία τους καθιστούν ιδιαίτερα διαδεδομένους στην αντιμετώπιση προβλημάτων βελτιστοποίησης: Εύρεση ολικού ακρότατου. ΟΙ στοχαστικοί αλγόριθμοι έχουν την δυνατότητα να εντοπίζουν τα ολικά ελάχιστα ή μέγιστα με μεγαλύτερα ή μικρότερα ποσοστά επιτυχίας (εξαρτάται από την παραμετροποίηση του μοντέλου, η οποία προκύπτει μετά από πολλές δοκιμές και εφαρμογές, κ.λπ.). Λόγω του στοχαστικού παράγοντα που εισάγεται, διεξάγεται ευρεία αναζήτηση στην επιφάνεια καταλληλότητας και επιπλέον παρέχεται μια εκτίμηση για την επίδραση κάθε παραμέτρου εισόδου. Σε αντίθεση με την προηγούμενη κατηγορία αλγορίθμων, διαθέτουν μηχανισμούς για να μην εγκλωβίζονται σε τοπικά ακρότατα και έχουν ως στόχο να βρουν μια λύση που να είναι καλύτερη από όλες τις άλλες, σε ολόκληρο το σύνολο των εφικτών λύσεων. Αν και συχνά καταφέρνουν να προσεγγίσουν ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα), δεν μπορούν να εγγυηθούν ότι η λύση που θα καταλήξουν είναι το ζητούμενο ολικό ακρότατο. Δεν απαιτείται μαθηματική διατύπωση του προβλήματος. Η διαδικασία εύρεσης των κατάλληλων τιμών για τις παραμέτρους εισόδου γίνεται χωρίς να χρειάζεται σαφής γνώση για το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται. Με άλλα λόγια, η αντικειμενική συνάρτηση αντιμετωπίζεται σαν ένα μαύρο κουτί και ο στοχαστικός αλγόριθμος υλοποιείται ανεξάρτητα, αξιοποιώντας την πληροφορία που προκύπτει από την αντιστοίχηση των παραμέτρων εισόδου με τα αποτελέσματα. Σε αντίθεση με τις αναλυτικές μεθόδους βελτιστοποίησης, δεν χρειάζεται να υπολογιστεί η παραγωγός της συνάρτησης και η μόνη απαραίτητη πληροφορία είναι η εκτίμηση του αποτελέσματος για συνδυασμούς των τιμών. Ευελιξία. Η αναζήτηση του ολικού ακρότατου γίνεται με βάση στοχαστικές διαδικασίες. Ως συνέπεια, λόγω της εν μέρει τυχαίας εξέλιξης των αλγορίθμων,

163 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 135 δεν υπάρχει σημαντική εξάρτηση από το αρχικό σημείο αναζήτησης. Το γεγονός αυτό είναι καθοριστικό, καθώς δεν χρειάζεται η εκ των προτέρων γνώση της περιοχής όπου βρίσκεται κοντά το ζητούμενο ακρότατο. Κάθε καινούριο βήμα των αλγορίθμων δεν εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη θέση αναζήτησης. Εν ολίγοις, οι στοχαστικοί αλγόριθμοι μπορούν να κινηθούν ευέλικτα στην επιφάνεια καταλληλότητας, χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη απαίτηση για αρχικές συνθήκες και γενικότερα για το προς αντιμετώπιση πρόβλημα. Ωστόσο, όπως κάθε μέθοδος, έτσι και οι στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης έχουν ορισμένα χαρακτηριστικά που μπορούν να δυσκολέψουν την διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης λύσης. Στη συνέχεια σημειώνονται συνοπτικά τα βασικά μειονεκτήματα αυτής της κατηγορίας: Αυξημένος υπολογιστικός χρόνος. Τα πλεονεκτήματα των στοχαστικών αλγορίθμων επιτυγχάνονται εις βάρος του απαιτούμενο υπολογιστικού χρόνου. Στις αναλυτικές μεθόδους γίνεται μια συγκεκριμένη ακολουθία βημάτων, που γρήγορα καταλήγει στην εύρεση του τοπικού ακρότατου. Αντίθετα, οι αλγόριθμοι αυτής της κατηγορίας χρειάζεται να εκτιμήσουν την αντικειμενική συνάρτηση σε πολύ περισσότερα σημεία, πολλά εκ των οποίων στην πραγματικότητα δεν βοηθούν στην εξέλιξη τους. Όμως αυτό είναι το κόστος για την ευρεία αναζήτηση που πραγματοποιούν και για το λόγο αυτό ο απαιτούμενος υπολογιστικός χρόνος είναι πολλές τάξεις μεγαλύτερος από ότι στην περίπτωση των αναλυτικών και ακολουθιακών μεθόδων. Μη προκαθορισμένη συνθήκη τερματισμού. Ο τερματισμός της διαδικασίας βελτιστοποίησης με στοχαστικούς αλγορίθμους είναι ένα σημαντικό ζήτημα, καθώς δεν είναι εξασφαλισμένος ενδογενώς. Δεν υπάρχει η πληροφορία αν η λύση που έχει βρεθεί στο τρέχον στάδιο του αλγορίθμου είναι η ζητούμενη βέλτιστη, και συνεπώς συνεχίζεται η αναζήτηση για να βρεθεί μια ακόμα καλύτερη. Ως αποτέλεσμα, ενδείκνυται ο καθορισμός εξωτερικών συνθηκών τερματισμού, όπως για παράδειγμα: Επίτευξη μιας προκαθορισμένης επιθυμητής τιμής, Ολοκλήρωση ενός συγκεκριμένου αριθμού επαναλήψεων, Υπέρβαση της καθορισμένης ανώτατης χρονικής διάρκειας, Ολοκλήρωση ενός αριθμού επαναλήψεων χωρίς βελτίωση, Συνδυασμός των ανωτέρω κριτηρίων. Η επιλογή των συνθηκών τερματισμού αποτελεί κρίσιμη απόφαση καθώς ουσιαστικά καθορίζει την λύση που θα προκύψει από την εφαρμογή του αλγορίθμου.

164 136 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Αδυναμία ακριβούς επανάληψης μιας συγκεκριμένης εκτέλεσης. Όπως, ήδη αναφέρθηκε, λόγω της εν μέρει τυχαίας εξέλιξης των αλγορίθμων, αν το ίδιο πρόβλημα εκτελεσθεί δύο ή περισσότερες φορές με τις ίδιες αρχικές συνθήκες, δεν θα έχει απαραίτητα το ίδιο αποτέλεσμα. Συνεπώς, δυσχεραίνεται η εποπτεία του αλγορίθμου και ειδικότερα η διαδικασία προσέγγισης στην βέλτιστη λύση. Για τον λόγο αυτό, συχνά αποθηκεύονται τα επιμέρους στοιχεία του αλγορίθμου, τα οποία μπορούν να δώσουν τις απαραίτητες πληροφορίες για τη λειτουργία της μεθόδου. Το μειονέκτημα αυτό γίνεται περισσότερο αισθητό όταν γίνεται προσπάθεια να αποκτηθεί μία γενική αίσθηση για την μορφή της επιφάνειας καταλληλότητας. Σχήμα 43. Βασικό διάγραμμα ροής στοχαστικού αλγορίθμου Στο σχήμα 43 φαίνεται το βασικό διάγραμμα ροής ενός στοχαστικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης. Οι αλγόριθμοι αυτής της κατηγορίας διαδραματίζουν ολοένα αυξανόμενο ρόλο στην αντιμετώπιση/ επίλυση των προβλημάτων βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων. Χρησιμοποιούνται για να βρουν λύσεις κοντά στις βέλτιστες σε ιδιαίτερα σύνθετα προβλήματα που δεν Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Ιδία επεξεργασία μπορούν να αντιμετωπιστούν με άλλες μεθόδους και με αυτόν τον τρόπο βοηθούν σημαντικά στην εξέλιξη της έρευνας. Η παρούσα Διατριβή επικεντρώνεται σε αυτήν ακριβώς την κατηγορία αλγορίθμων. Πιο συγκεκριμένα, η μεθοδολογία και το μοντέλο βελτιστοποίησης προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα που αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 7 δομείται με χρήση στοχαστικού αλγορίθμου που ανήκει στην κατηγορία των ΕΑ και ειδικά των ΓΑ. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται συνοπτικά οι βασικότεροι στοχαστικοί αλγόριθμοι με βάση τις βιβλιογραφικές αναφορές και δίνεται προσοχή στην κατανόηση της ξεχωριστών χαρακτηριστικών του καθενός. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στην υποκατηγορία των γενετικών αλγορίθμων που αναλύονται σε ξεχωριστή ενότητα.

165 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 137 ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ Η τυχαία αναζήτηση (random search) αποτελεί τον πιο απλό στοχαστικό αλγόριθμο. Η στρατηγική αυτής της μεθόδου, όπως προδίδει και η ονομασία της είναι να δοκιμάζονται τυχαία συνδυασμοί τιμών για τις παραμέτρους εισόδου. Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος υπολογίζεται για κάθε συνδυασμό που προκύπτει και προφανώς τελικά επιλέγεται ο συνδυασμός που οδήγησε στην καλύτερη λύση. Η μέθοδος αυτή δεν οδηγεί σε καλά αποτελέσματα και χρησιμοποιείται κυρίως για συγκριτικούς λόγους. Εκτελείται για ένα καθορισμό αριθμό επαναλήψεων και το αποτέλεσμα ορίζεται ως το σημείο αναφοράς για τους υπόλοιπους αλγορίθμους. Μια παραλλαγή του προβλήματος της τυχαίας αναζήτησης είναι ο τυχαίος περίπατος (random walk) στον υπολογιστικό χώρο του πεδίου ορισμού. Ουσιαστικά επιλέγεται ένα αρχικό σημείο αναζήτησης και έπειτα τυχαία αναζητείται ένα διπλανό σημείο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με μικρή τυχαία μεταβολή της τιμής μιας παραμέτρου εισόδου. Το ίδιο επαναλαμβάνεται για όλες τις διαστάσεις του προβλήματος. Το αποτέλεσμα γίνεται μια τυχαία ακολουθία αναζήτησης στην επιφάνεια καταλληλότητας, από όπου και έχει πάρει το όνομα της η συγκεκριμένη μέθοδος. Προφανώς, όπως και προηγουμένως, ο τυχαίος περίπατος δεν οδηγεί σε καλά αποτελέσματα και χρησιμοποιείται μόνο ως σημείο αναφοράς. ΑΝΑΡΡΙΧΗΣΗ ΛΟΦΟΥ O αλγόριθμος αναρρίχησης λόφου (Hill Climbing Search - HC) αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα στοχαστικής μεθόδου και επίσης αποτελεί την βάση για τους πιο εξελιγμένους αλγορίθμους που θα παρουσιαστούν στις επόμενες παραγράφους. Σύμφωνα με την αναρρίχηση λόφου, η αναζήτηση αρχίζει από ένα τυχαίο σημείο, έπειτα εξετάζονται τυχαία γειτονικές επιλογές και η αναζήτηση συνεχίζεται προς την κατεύθυνση που βρέθηκε η καλύτερη τιμή. Η μέθοδος έχει πάρει το όνομά της λόγω της αναφοράς σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, όπου η αναζήτηση του μεγίστου παρομοιάζεται με την εύρεση της κορυφής ενός λόφου στην επιφάνεια καταλληλότητας. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζονται τα βασικά βήματα της μεθόδου για ένα πρόβλημα με αντικειμενική συνάρτηση f, για την οποία ισχύει. Με xbest συμβολίζεται η καλύτερη θέση αναζήτησης που έχει βρεθεί ως την τρέχουσα επανάληψη και με η αντίστοιχη καλύτερη τιμή της συνάρτησης. Οι υποψήφιες γειτονικές λύσεις, όπως και στη μέθοδο του τυχαίου περίπατου, προκύπτουν με μικρή μεταβολή της τιμής μιας ή και περισσότερων παραμέτρων εισόδου. Για παράδειγμα, αν πρόκειται για πρόβλημα με διακριτές τιμές, μια πιθανή εκδοχή είναι ότι σε κάθε βήμα επιλέγεται τυχαία μία από τις παραμέτρους εισόδου και της αποδίδεται είτε η επόμενη είτε η προηγούμενη τιμή από το σύνολο των επιτρεπτών διακριτών τιμών. Σημειώνεται ότι σε μια εκδοχή του αλγορίθμου,

166 138 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ αντί για τον καθορισμό ενός μικρού συνόλου γειτονικών λύσεων, εξετάζονται όλες οι δυνατές γειτονικές λύσεις. Σχήμα 44. Περιγραφή του αλγορίθμου αναρρίχησης λόφων Ένα προφανές μειονέκτημα της συγκεκριμένης μεθόδου είναι ότι εξαρτάται άμεσα από την αρχική επιλογή της τυχαίας λύσης, καθώς και από τις επιτρεπτές κινήσεις για τον καθορισμό των γειτονικών σημείων. Το βασικότερο πρόβλημα είναι, όμως, ότι η μέθοδος οδηγείται προς ένα τοπικό ακρότατο της συνάρτησης καταλληλότητας, στο οποίο και εγκλωβίζεται Είναι φανερό ότι χρειάζονται μηχανισμοί που να επιτρέπουν την ευρύτερη αναζήτηση στην επιφάνεια καταλληλότητας, με απώτερο στόχο την εύρεση του ολικού ελάχιστου. Με αυτή τη λογική προέκυψαν ο αλγόριθμος εξαναγκασμένης αναρρίχησης λόφου (Enforced Hill Climbing - EHC) και οι δύο επόμενοι στοχαστικοί αλγόριθμοι (ο αλγόριθμος προσομοιωμένης ανόπτησης και ο αλγόριθμος αναζήτησης με απαγορευμένες καταστάσεις). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΗ ΑΝΟΠΤΗΣΗ Ο αλγόριθμος προσομοιωμένης ανόπτησης ή προσομοιωμένης εξέλιξης (Simulated Annealing SA) αποτελεί μία επέκταση του αλγορίθμου αναρρίχησης λόφου και έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία σε πολλά προβλήματα. Η μέθοδος αυτή ουσιαστικά προσομοιώνει την διαδικασία όπου ένα υλικό θερμαίνεται πάνω από τη θερμοκρασία τήξης του και έπειτα σταδιακά ψύχεται ώσπου να δημιουργηθεί η κρυσταλλική δομή που ελαχιστοποιεί την ενέργεια του. Ωστόσο, αν η ψύξη γίνει απότομα, το υλικό γίνεται μια άμορφη μάζα με μεγαλύτερο επίπεδο ενέργειας. Συνεπώς, το κλειδί για την επίτευξη της κρυσταλλικής μορφής αποτελεί ο έλεγχος του ρυθμού αλλαγής της θερμοκρασίας. Στην περίπτωση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης, το επίπεδο της ενέργειας αντιστοιχίζεται στην τιμή της συνάρτησης καταλληλότητας και η κρυσταλλική δομή προφανώς αποτελεί το ολικό ελάχιστο. Η διαδικασία βελτιστοποίησης, όπως και στον αλγόριθμο αναρρίχησης λόγου, αρχίζει με ένα τυχαίο αρχικό σημείο και τον καθορισμό μιας γειτονικής θέσης

167 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 139 αναζήτησης. Ωστόσο, το σημαντικό χαρακτηριστικό του αλγορίθμου είναι ότι σε αυτή την περίπτωση επιτρέπεται η μετάβαση σε θέσεις που οδηγούν σε χειρότερες λύσεις, με σκοπό να αποφευχθεί η σύγκλιση σε ένα τοπικό ελάχιστο. Συγκεκριμένα, αν η γειτονική θέση οδηγεί σε καλύτερη λύση γίνεται αμέσως δεκτή και η αναζήτηση συνεχίζεται από αυτήν. Το ίδιο μπορεί να συμβεί και αν οδηγεί σε χειρότερη λύση, όπου με βάση μια πιθανότητα, καθορίζεται αν θα γίνει δεκτή. Η τιμή της πιθανότητας εξαρτάται από το πόσο χειρότερη είναι η λύση από την τρέχουσα βέλτιστη, καθώς και από την τιμή μιας παραμέτρου που μειώνεται σταδιακά με την εξέλιξη του αλγορίθμου και προσομοιάζει την θερμοκρασία. Όσο μικρότερη η τιμή της θερμοκρασίας, τόσο μικρότερη είναι και η πιθανότητα αποδοχής μιας χειρότερης λύσης. Έτσι, ο αλγόριθμος αρχικά έχει μεγάλο πεδίο αναζήτησης και σταδιακά, καθώς εξελίσσεται, επικεντρώνεται στην περιοχή όπου ενδεχομένως βρίσκεται η βέλτιστη λύση. Στη συνέχεια γίνεται αναλυτική παρουσίαση του αλγορίθμου για ένα πρόβλημα με αντικειμενική συνάρτηση. Έστω ότι με Γ συμβολίζεται η παράμετρος της θερμοκρασίας και με xnow, xnext το τρέχον και το επόμενο γειτονικό σημείο αναζήτησης. Σημειώνεται ότι το γειτονικό σημείο συνήθως προκύπτει με την αλλαγή της τιμής σε μία ή δύο από τις παραμέτρους εισόδου. Τα xbest, fbest έχουν ακριβώς την έννοια που δόθηκε στην περίπτωση του αλγορίθμου αναρρίχησης λόφων.. Σχήμα 45. Περιγραφή του αλγορίθμου προσομοιωμένης ανόπτησης

168 140 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Όπως εύκολα διαπιστώνεται, το βασικό τμήμα του αλγορίθμου αποτελεί ο έλεγχος αποδοχής του νέου σημείου αναζήτησης. Η πιθανότητα P να γίνει δεκτή μια χειρότερη λύση δίνεται από την σχέση: Η διαδικασία μείωσης της θερμοκρασίας ή διαδικασία ψύξης, όπως αλλιώς ονομάζεται είναι πολύ κρίσιμη για την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου. Ο ρυθμός μείωσης της θερμοκρασίας ουσιαστικά καθορίζει το πόσο γρήγορα ο αλγόριθμος θα περιορίσει την αναζήτησή του σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι υλοποίησης της διαδικασίας ψύξης. Αν η αρχική θερμοκρασία είναι Τ0 και η τελική ΤΜ, όπου Μ ο συνολικός αριθμός επαναλήψεων, τότε η θερμοκρασία στο βήμα m είναι: όπου το α είναι λίγο μικρότερο από τη μονάδα (π.χ. α = 0.99) και το β επιλέγεται ανάλογα με το πρόβλημα, έτσι ώστε ο αλγόριθμος να μπορεί να ξεφύγει από τα τοπικά ελάχιστα. Στην περίπτωση της προσομοιωμένης ανόπτησης, συνήθως χρησιμοποιείται ένα επιπλέον κριτήριο τερματισμού, όπου ο αλγόριθμος σταματάει όταν η θερμοκρασία φθάσει μια ελάχιστη προκαθορισμένη τιμή. Ένα άλλο θέμα που δεν έχει ακόμα διευκρινιστεί είναι η επιλογή της αρχικής θερμοκρασίας Τ0. Η επιλογή της προφανώς βασίζεται στο πρόβλημα που αντιμετωπίζεται. Η εύρεση της κατάλληλης τιμής της αρχικής θερμοκρασίας βασίζεται στις δοκιμές, όπου αρχίζοντας από μια μικρή τιμή, σταδιακά αυξάνεται, έως ότου για τη συγκεκριμένη θερμοκρασία τα καινούρια σημεία να γίνονται δεκτά σε ποσοστό μεγαλύτερο από ένα κατώφλι thr, π.χ. 90%. ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Η μέθοδος της αναζήτησης με απαγορευμένες καταστάσεις (Tabu Search - TS) αποτελεί μία ακόμα εξέλιξη του αλγόριθμου αναρρίχησης λόφου. Όπως και στην προσομοιωμένη ανόπτηση, επιτρέπεται η μετάβαση σε χειρότερες λύσεις, ώστε να μην εγκλωβίζεται ο αλγόριθμος σε τοπικά ελάχιστα. Βασικό στοιχείο της μεθόδου είναι η δημιουργία μιας λίστας με απαγορευμένες θέσεις (tabu list), στις οποίες δεν επιτρέπεται η μετάβαση. Αυτή η λίστα συνήθως περιέχει τα σημεία που έχουν ήδη εξεταστεί, ώστε να επιλέγονται καινούριες διαδρομές αναζήτησης. Η λίστα

169 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 141 απαγορευμένων θέσεων έχει συγκεκριμένο μήκος και άρα η εισαγωγή νέων θέσεων στη λίστα έχει σαν αποτέλεσμα τη διαγραφή κάποιων άλλων. Πιο βολικό είναι η λίστα να περιέχει ολόκληρες οικογένειες σημείων με συγκεκριμένες ιδιότητες. Ωστόσο, με αυτό τον τρόπο υπάρχει η περίπτωση να απαγορευτεί η μετάβαση σε πολύ καλές θέσεις, τις οποίες δεν έχει επισκεφθεί ακόμα ο αλγόριθμος. Για να αντιμετωπιστεί αυτό, υπάρχει η δυνατότητα της αναζήτησης σε μια θέση που οδηγεί σε καλύτερη λύση από την τρέχουσα βέλτιστη, παρόλο που ανήκει στην λίστα με τις απαγορευμένες θέσεις (aspiration criteria). Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζονται τα βασικά στάδια του στοχαστικού αλγορίθμου αναζήτησης με απαγορευμένες θέσεις, όπου με TL και AC συμβολίζεται η λίστα απαγορευμένων θέσεων και η λίστα με aspiration criteria αντίστοιχα. Για τους υπόλοιπους όρους ισχύουν τα ίδια με όσα έχουν ήδη αναφερθεί. Σχήμα 46. Περιγραφή του αλγορίθμου αναζήτησης με απαγορευμένες καταστάσεις Αντίθετα με την μέθοδο της προσομοιωμένης ανόπτησης, η οποία μπορεί να κάνει κινήσεις προς χειρότερες λύσεις οποιαδήποτε στιγμή, ο αλγόριθμος αναζήτησης με απαγορευμένες θέσεις κάνει το ίδιο μόνο όταν έχει βρεθεί σε τοπικά ελάχιστα. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι και οι δύο αλγόριθμοι είναι δυνατόν να τερματίσουν σε μια θέση, ενώ αυτή δεν αποτελεί την καλύτερη θέση που έχουν επισκεφθεί. Το γεγονός αυτό οφείλεται στα κριτήρια τερματισμού και για αυτό το λόγο συνήθως αποθηκεύεται στη μνήμη το σημείο που βρέθηκε η καλύτερη λύση κατά τη διάρκεια εξέλιξης των αλγορίθμων.

170 142 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ ΑΛΛΟΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στην βιβλιογραφία συναντά κανείς μεγάλο πλήθος στοχαστικών αλγορίθμων. Η εξαντλητική αναφορά δεν άπτεται στους σκοπούς της παρούσας Διατριβής καθώς κύριος στόχος είναι η κατανόηση του τρόπου αναζήτησης και των χαρακτηριστικών (πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων) κάθε κατηγορίας. Εκτός όμως από τις βασικές προσεγγίσεις που αναφέρθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, θα μπορούσαν επίσης να σημειωθούν οι εξής: Ακτινωτή αναζήτηση. Στον αλγόριθμο ακτινωτής αναζήτησης (Beam Search BS) δεν κλαδεύονται όλες οι υπόλοιπες καταστάσεις όπως στον HC, αλλά ένας σταθερός αριθμός από τις καλύτερες από αυτές κρατείται στην επιφάνεια καταλληλότητας. Πρώτα στο καλύτερο. Ο αλγόριθμος αναζήτησης πρώτα στο καλύτερο (Best First BF) κρατά με συγκεκριμένη λογική όλες τις καταστάσεις στην επιφάνεια καταλληλότητας. Πρόκειται για μια πλήρη τεχνική η οποία εξαρτάται πολύ από τον ευριστικό μηχανισμό. Από τα μειονεκτήματα της μεθόδου είναι ο υψηλός ρυθμός με τον οποίο μεγαλώνει η επιφάνεια καταλληλότητας και μαζί ο χώρος που απαιτείται για την αποθήκευσή της. Α*. Πρόκειται για εξειδίκευση του αλγορίθμου BF, αλλά με ευρετική συνάρτηση: F(S) = g(s) + h(s) όπου η g(s) δίνει την απόσταση της S από την αρχική κατάσταση, η οποία είναι πραγματική και γνωστή και η h(s) δίνει την εκτίμηση της απόστασης S από την τελική κατάσταση μέσω μιας ευρετικής συνάρτησης όπως ακριβώς και στον BF. Αν για κάθε κατάσταση η τιμή h(s) είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την πραγματική απόσταση S από την τελική κατάσταση, τότε ο Α* βρίσκει πάντα την βέλτιστη λύση. Α* με επαναληπτική εκβάθυνση (Iterative Depending A* - IDA). Αποτελεί βελτίωση της παραπάνω μεθοδολογίας. Στη συνέχεια του κεφαλαίου, παρουσιάζονται συνοπτικά δύο πολύ σημαντικές υποκατηγορίες των στοχαστικών αλγορίθμων, οι εξελικτικοί αλγόριθμοι και οι αλγόριθμοι νοημοσύνης σμήνους οι οποίοι συνδέονται με τις εξελικτικές μεθόδους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν ως κατηγορίες λύσεων στην και εντάσσονται στο πεδίο της ΤΝ.

171 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 143 Η ΤΝ ως επιστημονικός κλάδος τις 3 τελευταίες δεκαετίες έχει καταβάλει σημαντικές προσπάθειες για να καλύψει τις αδυναμίες που παρουσιάζουν οι κλασσικές μέθοδοι προγραμματισμού στην αντιμετώπιση σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων, τα οποία στη μεγάλη τους πλειοψηφία παρουσιάζουν τα εξής δύο χαρακτηριστικά: (α) είτε περιέχουν αβεβαιότητα μη ελεγχόμενη πιθανοθεωρητικά, (β) είτε παρουσιάζουν το φαινόμενο της «συνδυαστικής έκρηξης» (combinational explosion phenomenon) 14. Η υπολογιστική τεχνητή νοημοσύνη βασίζεται στη μάθηση μέσω επαναληπτικών διαδικασιών (ρύθμιση παραμέτρων) και εκτός από την εξελικτική υπολογιστική την οποία θα εξετάσουμε στη συνέχεια μέσω των ΕΑ και της νοημοσύνης σμήνους, περιλαμβάνει, επίσης, τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα (artificial neural networks) και τα συστήματα ασαφούς λογικής (fuzzy logic systems). Σχήμα 47. Βασικό διάγραμμα ροής εξελικτικού αλγορίθμου Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι (Evolutionary Algorithms - EA) αποτελούν μία ιδιαίτερη κατηγορία στοχαστικών αλγορίθμων και ανήκουν στην κατηγορία λύσεων των μετα ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης. Διαφέρουν από τις προηγούμενες στοχαστικές μεθόδους, καθώς διατηρούν ένα σύνολο θέσεων αναζήτησης (πληθυσμό) για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης (βλ ). Σε όλους τους εξελικτικούς αλγορίθμους, το πρώτο βήμα είναι ο τυχαίος υπολογισμός ενός αρχικού συνόλου θέσεων, όπου κάθε θέση αντιπροσωπεύει μια πιθανή λύση. Έπειτα, ακολουθούν συγκεκριμένες Πηγή: Τσιλιμαντός, 2009 Ιδία επεξεργασία 14 Συνδυαστική έκρηξη είναι το φαινόμενο κατά το οποίο στην πορεία επίλυσης ενός προβλήματος εμφανίζεται ένα εκρηκτικά αυξανόμενο πλήθος από ενδεχόμενα, τα οποία πρέπει να εξετασθούν διεξοδικά. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την μεγάλη σπατάλη χρόνου ή ακόμα και την αδυναμία εύρεσης λύσεως. Πολλοί ερευνητές συνδέουν την συνδυαστική έκρηξη με τις λειτουργίες χειρισμού πληροφοριών με σχετικά μεγάλο βαθμό αβεβαιότητας, οπότε η έρευνα πεδίου αναγκαστικά επεκτείνεται σε ιδιαίτερα πολλές υποθετικές καταστάσεις.

172 144 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ διαδικασίες που εξελίσσουν το υπάρχον σύνολο σε ένα καινούριο και αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να ικανοποιηθεί κάποια συνθήκη τερματισμού. Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι μπορούν να αποφύγουν την παγίδευση σε ένα τοπικό βέλτιστο και πολύ συχνά βρίσκουν τις ολικά βέλτιστες λύσεις. Σε κάθε περίπτωση, η σύγκλιση στο ολικό ελάχιστο δεν είναι εκ των προτέρων εγγυημένη. ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η μέθοδος των ΓΑ είναι μία από τις κυριότερες εξελικτικές μεθόδους, που λόγω της απλής δομής και της ευχρηστίας της έχει βρει εφαρμογή στη βελτιστοποίηση προγραμματισμού των έργων. Η κεντρική ιδέα των ΓΑ βασίζεται στη μίμηση των μηχανισμών της βιολογικής εξέλιξης (προσαρμοστικές διαδικασίες) που απαντώνται στη φύση, όπου ένας πληθυσμός χρωμοσωμάτων μετατρέπεται σε έναν νέο πληθυσμό μέσω φυσικής επιλογής (όπως υποστήριξε ο Δαρβίνος). Κατά τη διαδικασία αυτή, τα χρωμοσώματα αναπαράγονται, μεταλλάσσονται και διασταυρώνονται, για να παράγουν ισχυρότερους απογόνους, κάποιοι από τους οποίους, στο τέλος, επικρατούν. Η επίλυση του προβλήματος, δεν ακολουθεί μαθηματική λογική, αλλά βιολογική. Συνεπώς, οι αλγόριθμοι αυτού του τύπου έχουν μεγάλη ενδογενή ευελιξία και την ελευθερία να επιλέγουν μια επιθυμητή βέλτιστη λύση ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης του συστήματος/ προβλήματος Η λειτουργία των ΓΑ συνοπτικά παρουσιάζεται ως εξής: Η φύση έχει έναν πολύ ισχυρό μηχανισμό εξέλιξης των οργανισμών, που βασίζεται στον ακόλουθο κανόνα της φυσικής επιλογής: οι οργανισμοί που δεν μπορούν να επιβιώσουν στο περιβάλλον τους πεθαίνουν, ενώ οι υπόλοιποι πολλαπλασιάζονται μέσω της αναπαραγωγής. Οι απόγονοι παρουσιάζουν μικρές διαφοροποιήσεις με τους προγόνους τους, ενώ συνήθως υπερισχύουν αυτοί που συγκεντρώνουν τα καλύτερα χαρακτηριστικά. Αν το περιβάλλον μεταβάλλεται σε αργούς ρυθμούς, τα διάφορα είδη μπορούν να εξελίσσονται σταδιακά ώστε να προσαρμόζονται σε αυτό. Αν όμως συμβούν ραγδαίες μεταβολές, αρκετά είδη οργανισμών θα εξαφανιστούν. Σποραδικά, συμβαίνουν τυχαίες μεταλλάξεις, από τις οποίες οι περισσότερες οδηγούν τα μεταλλαγμένα άτιμα στο θάνατο, αν και είναι πιθανό, πολύ σπάνια όμως, να οδηγήσουν στην δημιουργία νέων «καλύτερων» οργανισμών. Κατά αναλογία, η φιλοσοφία των ΓΑ είναι η εξής: Οι τιμές για τις παραμέτρους του συστήματος πρέπει να κωδικοποιούνται με τρόπο ώστε να αναπαρασταθούν από μια μεταβλητή που περιέχει σειρά χαρακτήρων ή δυαδικών ψηφίων (0/1). Αυτή η μεταβλητή μιμείται το γενετικό κώδικα που υπάρχει στους ζωντανούς οργανισμούς. Αρχικά, ο ΓΑ παράγει πολλαπλά αντίγραφα της μεταβλητής/ γενετικού κώδικα, συνήθως με τυχαίες τιμές, δημιουργώντας έναν πληθυσμό λύσεων. Με άλλα λόγια, αρχικά δημιουργείται με τυχαίο τρόπο ένα σύνολο Π από υποψήφιες λύσεις του προβλήματος. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να τονιστεί

173 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 145 ότι το αρχικό αυτό σύνολο απαρτίζεται από λύσεις οι οποίες είναι ως επί το πλείστον μη αποδεκτές (π.χ. δεν είναι έγκυρες, δεν είναι βέλτιστες, κ.λπ.). Έστω Ν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Π. Οι λύσεις αυτές βαθμολογούνται από μία συνάρτηση καταλληλότητας (ΣΚ) (fitness function) ή, διαφορετικά, συνάρτηση ικανότητας (ΣΙ) ή ορθή συνάρτηση. Η βαθμολόγηση τους συνίσταται στην αντιστοίχιση κάθε υποψήφιας λύσης σε έναν αριθμό, ο οποίος δηλώνει την εγγύτητα της υποψήφιας μη αποδεκτής λύσης ως προς κάποια αποδεκτή. Στη συνέχεια, από τον αρχικό πληθυσμό σχηματίζονται Ν/2 ζευγάρια όχι απαραίτητα μοναδικών γονέων, δίνοντας μεγαλύτερη προτεραιότητα στις πλέον κατάλληλες λύσεις. Κάθε ζευγάρι ζευγαρώνει (mates), δίνοντας δύο νέες λύσεις, τους απογόνους (offsprings). Οι λύσεις που βρίσκονται πιο κοντά στην επιθυμητή, σε σχέση με τις άλλες, σύμφωνα με το μέτρο που μας δίνει η ΣΚ, αναπαράγονται στην επόμενη γενιά λύσεων και λαμβάνουν μια τυχαία μετάλλαξη. Ο νέος πληθυσμός Π αποτελείται από το σύνολο των απογόνων και συνήθως αποτελεί βελτίωση του προηγούμενου πληθυσμού. Σε παραλλαγές του αλγορίθμου, η ανανέωση του πληθυσμού μπορεί να μην είναι πλήρης αλλά ο νέος πληθυσμός Π να αποτελείται από απογόνους και στοιχεία του αρχικού πληθυσμού Π. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τον νέο πληθυσμό Π. Σύμφωνα με την ορολογία που χρησιμοποιείται, οι παράμετροι εισόδου ονομάζονται γονίδια και ο συνδυασμός τους για την δημιουργία ενός διανύσματος αναζήτησης ονομάζεται χρωμόσωμα. Ο πληθυσμός εξελίσσεται μέσα από τις επαναλήψεις του αλγορίθμου, οι οποίες καλούνται γενιές. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία για αρκετές γενιές, οι τυχαίες μεταλλάξεις σε συνδυασμό με την επιβίωση και αναπαραγωγή των γονιδίων/ λύσεων που πλησιάζουν καλύτερα το επιθυμητό αποτέλεσμα θα παράγουν ένα γονίδιο/ λύση που θα περιέχει τις τιμές για τις παραμέτρους που ικανοποιούν όσο καλύτερα γίνεται την ΣΚ. Οι πιο συνηθισμένες συνθήκες τερματισμού είναι η εύρεση μια τέλειας λύσης με βάση τη ΣΚ ή η σύγκλιση όλων των λύσεων σε μια. Η γενική μορφή ενός γενετικού αλγορίθμου παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 48. Γενική μορφή ενός γενετικού αλγορίθμου 1. Δημιούργησε έναν αρχικό πληθυσμό Π, με Ν υποψήφιες λύσεις. 2. Υπολόγισε την καταλληλότητα κάθε λύσης. 3. Όσο δεν ισχύει κάποια συνθήκη τερματισμού: a. Επανέλαβε Ν/2 φορές τα ακόλουθα βήματα: i. Επέλεξε δύο λύσεις από τον πληθυσμό Π. ii. Συνδύασε τις δύο λύσεις για να βγάλεις δύο απογόνους. iii. Υπολόγισε την καταλληλότητα των δύο απογόνων. b. Δημιούργησε το νέο πληθυσμό Π έχοντας υπόψη όλους τους νέους απογόνους που προέκυψαν από το βήμα 3 α και θέσε Π = Π Πηγή: Βλαχάβας Ι. κ.α., 2006

174 146 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Υπάρχουν διάφορες εκδοχές της παραπάνω διαδικασίας για τους ΓΑ από τις οποίες κάποιες περιλαμβάνουν και τη διασταύρωση (ζευγάρωμα) γονιδίων/ λύσεων ώστε ο αλγόριθμος να φτάσει στο αποτέλεσμα πιο γρήγορα. Καθώς υπάρχει το στοχαστικό (τυχαίο) συστατικό της μετάλλαξης και ζευγαρώματος, κάθε εκτέλεση του ΓΑ μπορεί να συγκλίνει σε διαφορετική λύση και σε διαφορετικό χρόνο. Η απόδοση του ΓΑ εξαρτάται κατά βάση από την ΣΚ και συγκεκριμένα από το κατά πόσο το μέτρο της περιγράφει την βέλτιστη λύση. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως η αναζήτηση του ΓΑ στον χώρο των υποψήφιων λύσεων είναι παράλληλη, καθώς σε κάθε υποψήφια λύση μπορεί να εκτελεστεί ξεχωριστή αναζήτηση. Η μέθοδος της αναζήτησης μπορεί να θεωρηθεί σαν αναρρίχηση λόφου (hill climbing), καθώς δεν γίνεται εξερεύνηση όλου του χώρου αναζήτησης αλλά γίνονται μικρές αλλαγές στις υποψήφιες λύσεις του πληθυσμού και επιλέγονται πάντα οι καλύτερες, βάση της ΣΚ. Η αναζήτηση επικεντρώνεται στις περισσότερο κατάλληλες λύσεις, χωρίς όμως να αγνοούνται οι υπόλοιπες, καθώς υπάρχει πάντα ο κίνδυνος να παγιδευτεί η διαδικασία σε τοπικό μέγιστο. Ένας ΓΑ για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα περιλαμβάνει πέντε (5) συστατικά: Ένα μηχανισμό για τη δημιουργία ενός αρχικού πληθυσμού πιθανών λύσεων (συνήθως δημιουργείται τυχαία), Έναν τρόπο αναπαράστασης των υποψήφιων λύσεων, Μια Συνάρτηση Καταλληλότητας για την αξιολόγηση των υποψήφιων λύσεων (ο γενικός κανόνας στην κατασκευή της ΣΚ είναι ότι αυτή πρέπει να αντικατοπτρίζει ρεαλιστικά την αξία του χρωμοσώματος, δηλαδή την ποιότητα της υποψήφιας λύσης), Έναν μηχανισμό επιλογής γονέων, και Ένα σύνολο γενετικών τελεστών για τη διαδικασία της αναπαραγωγής. Σύμφωνα με τους Βλαχάβα κ.α. (2006) μερικά από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα που έχει η χρήση ΓΑ για την επίλυση προβλημάτων είναι τα εξής: Μπορούν να επιλύουν δύσκολα προβλήματα γρήγορα και αξιόπιστα. Ένας από τους σημαντικούς λόγους χρήσης των ΓΑ είναι η μεγάλη τους αποδοτικότητα. Τόσο η θεωρία όσο και η πράξη έχουν δείξει ότι τα προβλήματα που έχουν πολλές, δύσκολα προσδιορισμένες λύσεις μπορούν να αντιμετωπιστούν καλύτερα από ΓΑ. Είναι δε αξιοσημείωτο συναρτήσεις που παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις και καθιστούν ανεπαρκείς άλλες μεθόδους στην εύρεση των ακρότατων τους, για τους ΓΑ δεν αποτελούν σημεία δυσχέρειας. Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν με τα υπάρχοντα μοντέλα και συστήματα. Οι ΓΑ προσφέρουν το σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης τους με

175 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 147 προσθετικό τρόπο στα μοντέλα που χρησιμοποιούνται σήμερα, μη απαιτώντας τον επανασχεδιασμό τους. Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν με τον υπάρχοντα κώδικα. Αυτό συμβαίνει διότι χρησιμοποιούν μόνο πληροφορίες της διαδικασίας ή συνάρτησης που πρόκειται να βελτιστοποιήσουν, δίχως να ενδιαφέρει άμεσα ο ρόλος της μέσα στο σύστημα ή η συνολική δομή του συστήματος. Είναι εύκολα επεκτάσιμοι και εξελίξιμοι. Σε πολλές εφαρμογές έχουν αναφερθεί λειτουργίες των ΓΑ που δεν είναι δανεισμένες από τη φύση ή που έχουν υποστεί σημαντικές αλλαγές, πάντα προς όφελος της απόδοσης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, παραλλαγές στο βασικό σχήμα δεν είναι απλά αναγκαίες αλλά επιβάλλονται. Μπορούν να συμμετέχουν σε υβριδικές μορφές με άλλες μεθόδους. Αν και η ισχύς των ΓΑ είναι μεγάλη, σε μερικές ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων, όπου άλλες μέθοδοι έχουν υψηλή αποδοτικότητα λόγω εξειδίκευσης, υπάρχει η δυνατότητα χρησιμοποίησης ενός υβριδικού σχήματος ΓΑ με άλλη μέθοδο. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ευελιξίας των ΓΑ. Εφαρμόζονται σε πολύ περισσότερα πεδία από κάθε άλλη μέθοδο. Το χαρακτηριστικό που τους εξασφαλίζει αυτό το πλεονέκτημα είναι η ελευθερία επιλογής των κριτηρίων που καθορίζουν την επιλογή μέσα στο τεχνικό περιβάλλον. Έτσι, οι ΓΑ μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην οικονομία, στον σχεδιασμό μηχανών, στην επίλυση μαθηματικών εξισώσεων, στην εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων και σε πολλούς άλλους τομείς. Δεν απαιτούν απαραίτητα περιορισμούς στις συναρτήσεις που επεξεργάζονται. Ο κύριος λόγος που καθιστά τις παραδοσιακές μεθόδους δύσκαμπτες και ακατάλληλες για πολλά προβλήματα είναι η απαίτηση τους για ύπαρξη περιορισμών. Τέτοιου τύπου ιδιότητες είναι αδιάφορες για τους ΓΑ γεγονός που τους καθιστά κατάλληλους για ευρύ φάσμα προβλημάτων. Δεν ενδιαφέρει η σημασία της υπό εξέταση πληροφορίας. Η μόνη επικοινωνία του ΓΑ με το περιβάλλον του είναι η αντικειμενική συνάρτηση. Αυτό εγγυάται την επιτυχία του ανεξάρτητα από την σημασία του προβλήματος. Στις περιπτώσεις αποτυχία του ΓΑ, η αιτία είναι η φύση του χώρου που ερευνούν και όχι το πληροφοριακό περιεχόμενο του προβλήματος. Έχουν από τη φύση τους το στοιχείο του παραλληλισμού. Οι ΓΑ σε κάθε τους βήμα επεξεργάζονται μεγάλες ποσότητες πληροφορίας, όπου κάθε άτομο θεωρείται αντιπρόσωπος πολλών άλλων. Έχει υπολογιστεί ότι η αναλογία αυτή είναι της τάξης n 3, δηλαδή 10 άτομα αντιπροσωπεύουν περίπου Είναι, λοιπόν, προφανές ότι μπορούν να καλύψουν με αποδοτική αναζήτηση μεγάλους χώρους σε μικρούς χρόνους. Είναι μία μέθοδος που κάνει ταυτόχρονα εξερεύνηση του χώρου αναζήτησης και εκμετάλλευση της ήδη επεξεργασμένης πληροφορίας. Ο συνδυασμό

176 148 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ αυτός σπάνια συναντάται σε οποιαδήποτε άλλη μέθοδο. Με την τυχαία αναζήτηση γίνεται καλή εξερεύνηση του χώρου, αλλά δεν γίνεται εκμετάλλευση της επεξεργασμένης πληροφορίας. Αντίθετα, με το hill climbing, γίνεται καλή εκμετάλλευση της πληροφορίας αλλά όχι καλή εξερεύνηση. Συνήθως τα δύο αυτά χαρακτηριστικά είναι ανταγωνιστικά και το επιθυμητό είναι να συνυπάρχουν και τα δύο προς όφελος της όλης διαδικασίας. Οι ΓΑ επιτυγχάνουν τον βέλτιστο συνδυασμό εξερεύνησης και εκμετάλλευσης. Επιδέχονται παράλληλη υλοποίηση. Οι ΓΑ μπορούν να εκμεταλλευτούν τα πλεονεκτήματα των παράλληλων μηχανών, αφού λόγω της φύσης τους, εύκολα μπορούν να δεχτούν παράλληλη υλοποίηση. Το χαρακτηριστικό αυτό αυξάνει ακόμη περισσότερο την απόδοση τους, ενώ σπάνια συναντάται σε ανταγωνιστικές μεθόδους Νοημοσύνη Σμήνους Ο όρος Νοημοσύνη Σμήνους (ΝΣ) (Swarm Intelligence) συμπεριλαμβάνει όλες τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων που βασίζονται στη συλλογική συμπεριφορά και στην εκδηλούμενη νοημοσύνη (emergent intelligence) των ατόμων ενός πληθυσμού. Νοημοσύνη Σμήνους Ο πρώτος αλγόριθμος ΝΣ που προτάθηκε ήταν η βελτιστοποίηση με αποικία μυρμηγκιών (ant colony optimization) ο οποίος είναι εμπνευσμένος από τη συμπεριφορά των μυρμηγκιών να επιλέγουν βέλτιστα μονοπάτια μεταξύ της αποικίας τους και της πηγής τροφής τους αφήνοντας ίχνη φερομόνης. Ένας άλλος βασικός αντιπρόσωπος της ΝΣ είναι η βελτιστοποίηση με σμήνος σωματιδίων (particle swarm optimization) ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΙΚΙΕΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ Ο Dorigo 15 και οι συνεργάτες του εμπνευσμένοι από τη εργασία του Deneubourg πάνω στα κοινωνικά έντομα (social insects), και ειδικότερα τα μυρμήγκια, δημιούργησαν ένα πρωτοποριακό αλγόριθμο (Ant System AS) βασισμένο στην έμμεση επικοινωνία (stigmergy) των μυρμηγκιών μέσω χημικών ουσιών (της φερομόνης 16 ) κατά την αναζήτηση και συλλογή τροφής (foraging). Ειδικεύοντας, τα περισσότερα είδη μυρμηγκιών κατά την αναζήτηση και συγκομιδή τροφής εναποθέτουν φερομόνη στο πέρασμά τους. Η φερομόνη αυτή είναι 15 Ο πρώτος αλγόριθμος που αναπτύχθηκε από τον Dorigo ονομάζονταν Ant System (AS). Αργότερα με την εξέλιξη του χώρου δημιουργήθηκε ο όρος Ant Colony Optimization ACO ο οποίος περιλαμβάνει όλους του αλγορίθμους (AS, Ant Colony System ACS, Max-Min Ant System MMAS, Continuous Ant Colony Optimization CACO κτλ). 16 Η φερομόνη (pheromone) είναι μια χημική ουσία την οποία εκλύουν τα ζώα και τα έντομα για να επικοινωνήσουν έμμεσα με τα άλλα μέλη είδους τους.

177 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 149 ανιχνεύσιμη και από τα υπόλοιπα μυρμήγκια της αποικίας τους τα οποία αποφασίζουν με κάποια πιθανότητα αν θα ακολουθήσουν το ίχνος αυτό. Η ιδιότητα αυτή των μυρμηγκιών, οδηγεί μέσω του φαινομένου της αυτοοργάνωσης στην εύρεση της συντομότερης διαδρομής μεταξύ της φωλιάς τους και της τοποθεσίας της τροφής. Ο αλγόριθμος AS που βασίζεται στο υπολογιστικό ανάλογο της παραπάνω διαδικασίας επιλύει διακριτά προβλήματα (με πρώτη και συνηθέστερη εφαρμογή το Traveling Salesman Problem TSP) με πάρα πολύ καλά αποτελέσματα οπότε και γέννησε μια σειρά βελτιωμένων εκδοχών του όπως οι Ant Colony System (ACS), ANT-Q, Max-Min Ant System (MMAS), AS-rank οι οποίοι βρίσκουν πολλαπλές εφαρμογές σε πληθώρα θεωρητικών και τεχνικών προβλημάτων. Οι ομοιότητες των «ψηφιακών» μυρμηγκιών με τα φυσικά έχουν ως εξής: Η αποικία. Όπως στα φυσικά μυρμήγκια έτσι και στα «ψηφιακά» υπάρχει μια αποικία ατόμων τα οποία συνεργάζονται προκειμένου να δημιουργήσουν μια συγκεκριμένη δομή στο σύστημα τους. Ο πληθυσμός των «ψηφιακών» μυρμηγκιών είναι μια παράμετρος η οποία είναι σε άμεση συνάρτηση με το είδος του προβλήματος. Η φερομόνη. Ορισμένες «ποικιλίες» πραγματικών μυρμηγκιών εναποθέτουν φερομόνη στο έδαφος κατά την κίνησή τους. Ομοίως και τα «ψηφιακά» μυρμήγκια εναποθέτουν στις διάφορες θέσεις τις οποίες επισκέπτονται μια συγκεκριμένη αριθμητική πληροφορία, την «ψηφιακή» φερομόνη, οπότε και δημιουργούνται μονοπάτια φερομόνης (pheromone trails). Αυτή η αριθμητική πληροφορία εξαρτάται από την επίδοση και την προηγούμενη ιστορία του «ψηφιακού» μυρμηγκιού και είναι προσβάσιμη και από τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας εγκαθιδρύοντας με αυτόν τον τρόπο στιγμεργετική (stigmergetic) επικοινωνία. Τέλος, η «ψηφιακή» φερομόνη όπως και η τεχνητή υφίσταται εξάτμιση έτσι ώστε να υπάρχει αρνητική ανάδραση και να μην εγκλωβίζονται τα άτομα σε τοπικά βέλτιστα. Η απόφαση. Όπως τα φυσικά έτσι και τα «ψηφιακά» μυρμήγκια αποφασίζουν την επόμενη κίνησή τους με κάποια στοχαστικότητα. Τα δεδομένα που έχουν στη διάθεσή τους είναι καθαρά τοπικά στο χώρο και το χρόνο. Αναλυτικότερα, τα μυρμήγκια, είτε πραγματικά είτε «ψηφιακά», δεν έχουν γνώση του τι συμβαίνει σε κάποιο άλλο σημείο όπου δραστηριοποιούνται μυρμήγκια τις αποικίας αλλά ούτε και τη γενικότερη κατάσταση της αποικίας. Επίσης, δεν γνωρίζουν τι έγινε τις προηγούμενες χρονικές στιγμές στο σημείο όπου βρίσκονται αλλά ούτε μπορούν να προβλέψουν μελλοντικές καταστάσεις. Τα τοπικά δεδομένα θα μπορούσαν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: (α) τα δεδομένα που είναι γνωστά εκ των προτέρων (π.χ. στο φυσικό μοντέλο η μορφολογία του εδάφους ενώ στο ψηφιακό η ευριστική πληροφορία heuristic

178 150 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ information) και (β) τα δεδομένα από τις τοπικές αλλαγές στο περιβάλλον (π.χ. τα μονοπάτια φερομόνης). Ο Deneubourg θέλοντας να επιβεβαιώσει τα αποτελέσματα των πειραμάτων του, δημιούργησε ένα μαθηματικό μοντέλο της συμπεριφοράς των πραγματικών μυρμηγκιών του οποίου οι εξισώσεις διέπουν την απόφαση της επιλογή μιας εκ των δύο διαδρομών σε μια διακλάδωση. Έστω Li και Ri τα μυρμήγκια που έχουν επιλέξει την αριστερή και τη δεξιά διαδρομή αντίστοιχα μετά το πέρας της κίνησης του i-οστού μυρμηγκιού (δηλαδή i = Li+Ri ο συνολικός αριθμός των μυρμηγκιών που έχουν περάσει το σημείο επιλογής διακλάδωσης Α). Τότε η πιθανότητα PL το επόμενο μυρμήγκι (i+1) να επιλέξει την αριστερή διαδρομή δίνεται από τη σχέση: όπου: n η παράμετρος που καθορίζει το βαθμό μη γραμμικότητας της συνάρτησης επιλογής. Μεγάλη τιμή του n συνεπάγεται ότι μικρή διαφοροποίηση στα επίπεδα φερομόνης στις δύο διαδρομές αυξάνει κατά πολύ την πιθανότητα επιλογής ενός κλάδου εκ των δύο από το επόμενο μυρμήγκι. k η παράμετρος που ποσοτικοποιεί το βαθμό ελκυστικότητας μιας διαδρομής που δεν έχει εναποτεθεί φερομόνη. Όσο μεγαλύτερη τιμή έχει η παράμετρος k τόσο μεγαλύτερη ποσότητα φερομόνης απαιτείται ώστε η επιλογή ενός κλάδου να μην είναι πλέον τυχαία. Η επιλογή μιας εκ των διακλαδώσεων γίνεται ως εξής: όπου δ είναι μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [0,1]. Οι επιπλέον ικανότητες που προαιρετικά μπορούν να προστεθούν στα «ψηφιακά» μυρμήγκια έχουν ως εξής: Ύπαρξη «μνήμης»: για να θυμούνται τις προηγούμενες πράξεις τους (πχ Tabu list στο TSP) ή άλλες χρήσιμες πληροφορίες. Ύπαρξη «όρασης» ή άλλων «αισθητηρίων»: ώστε να εκμεταλλεύονται καλύτερα τις πληροφορίες του περιβάλλοντος (πχ. να μπορούν να υπολογίσουν εκ των προτέρων τις αποστάσεις των πόλεων στο TSP και όχι αφού έχουν ολοκληρώσει μια διαδρομή). Διακριτοποίηση του χώρου και του χρόνου: για την επίλυση διακριτών προβλημάτων. Για παράδειγμα, οι κινήσεις των μυρμηγκιών στο TSP είναι

179 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 151 διακριτές από πόλη σε πόλη και πραγματοποιούνται σε διακριτές χρονικές στιγμές. Εναπόθεση φερομόνης σε διαφορετικές χρονικές στιγμές: ενώ τα φυσικά μυρμήγκια εναποθέτουν συνεχώς φερομόνη, τα «ψηφιακά» το κάνουν συνήθως αφού ολοκληρώσουν τις κινήσεις τους. Χρησιμοποίηση αλγορίθμων για τη βελτίωση της απόδοσης του συστήματος: μπορεί να χρησιμοποιηθούν αλγόριθμοι τοπικής βελτιστοποίησης κ.λπ.. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΜΗΝΟΥΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ O αλγόριθμος βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων (Particle Swarm Optimization PSO), βασίζεται επίσης σε διαδικασίες και συμπεριφορές που συναντάμε στο φυσικό περιβάλλον. Σύμφωνα με την ορολογία που έχει καθιερωθεί, κάθε δυνατό διάνυσμα των παραμέτρων εισόδου ονομάζεται σωματίδιο (particle). Το σύνολο όλων των σωματιδίων σε ένα επαναληπτικό βήμα του αλγορίθμου αποτελεί το σμήνος (swarm). Όπως σε κάθε εξελικτικό αλγόριθμο, η αρχή γίνεται με μια τυχαία κατανομή των σωματιδίων στο χώρο των λύσεων. Αντίθετα με τους γενετικούς αλγόριθμους όπου σε κάθε γενιά δημιουργούνται νέες λύσεις, εδώ τα σωματίδια παραμένουν ως υποψήφιες λύσεις, ενώ παράλληλα κινούνται στην επιφάνεια καταλληλότητας. Η βασική διαδικασία μέσω της οποίας υπολογίζεται η νέα θέση ενός σωματιδίου του σμήνους είναι η ανανέωση της ταχύτητάς του. Η ταχύτητα δείχνει αφενός την κατεύθυνση προς την οποία θα πραγματοποιηθεί η κίνηση και αφετέρου την απόσταση μετακίνησης. Όλα τα σωματίδια αξιολογούνται με βάση την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος και καθένα από αυτά γνωρίζει την καλύτερη θέση που έχει βρεθεί το ίδιο ως την τρέχουσα επανάληψη (local best), καθώς και την καλύτερη θέση που έχει βρεθεί από οποιοδήποτε σωματίδιο στην γειτονιά του (global best). Σύμφωνα με την πιο απλοϊκή εκδοχή της βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων, κάθε σωματίδιο ί ανανεώνει την ταχύτητα v και την θέση του x, ανάλογα με τις τοπικές p i και ολικές p g καλύτερες λύσεις που έχουν βρεθεί μέχρι την τρέχουσα επανάληψη, σύμφωνα με τις σχέσεις: όπου c1, c2 είναι καθορισμένες σταθερές και p1, p2 είναι τυχαίοι αριθμοί ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα [0, 1] που υπολογίζονται σε κάθε επανάληψη. Για λόγους σύγκλισης, η ταχύτητα v συνήθως περιορίζεται στο διάστημα [ vmax, vmax ], όπου vmax μια μέγιστη προκαθορισμένη τιμή για το μέτρο της. Όπως διαπιστώνεται, η καινούρια θέση αναζήτησης ενός σωματιδίου

180 152 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ προκύπτει ως η συνισταμένη της έλξης προς την τοπική και ολική καλύτερη λύση Ο συσχετισμός ανάμεσα σε αυτούς του δύο όρους μέσω των σταθερών c1, c2 καθορίζει αν ο αλγόριθμος θα κάνει ευρεία αναζήτηση ή αν θα επικεντρωθεί στην προσέγγιση του τοπικού ελάχιστου. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται τα βασικά στάδια του αλγορίθμου βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων: Σχήμα 49. Περιγραφή της βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων Η τοπολογία της γειτονιάς ενός σωματιδίου επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την απόδοση του αλγόριθμου. Μια πρώτη προσέγγιση είναι η γειτονιά να αποτελείται από ολόκληρο το σμήνος. Με αυτόν τον τρόπο η διάδοση της πληροφορίας για την καλύτερη λύση γίνεται γρήγορα και είναι πιθανό το σμήνος να εγκλωβιστεί σε τοπικά ελάχιστα. Για αυτό το λόγο η γειτονιά συνήθως ορίζεται ως ένα μικρό σύνολο άλλων σωματιδίων. Με την χρησιμοποίηση των τοπολογιών επιβραδύνεται ο ρυθμός σύγκλισης επειδή η τρέχουσα καλύτερη λύση πρέπει να

181 ΚΕΦ.5/ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 153 διαδοθεί μέσα από πολλές γειτονιές μέχρι να επηρεαστεί ολόκληρο το σμήνος. Αυτή η αργή διάδοση επιτρέπει στα σωματίδια να ερευνήσουν περισσότερες περιοχές και έτσι μειώνεται η πιθανότητα εγκλωβισμού σε τοπικά ελάχιστα. Παραδείγματα υλοποίησης φαίνονται στο επόμενο σχήμα. Η πιο διαδεδομένη εκδοχή είναι η κυκλική γειτονιά. Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα της βελτιστοποίησης σμήνους σωματιδίων είναι ότι απαιτεί την ρύθμιση ελάχιστων παραμέτρων. Επιπλέον, έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι που να βελτιώνουν την συμπεριφορά σύγκλισης του αλγορίθμου. Ενδεικτικά: συντελεστής αδράνειας (inertia weight), περιορισμός της εξίσωσης ταχύτητας (constriction coefficient), συντελεστής λόγου καταλληλότητας προς απόσταση (fitness distance ration). Ο αλγόριθμος PSO αποτελεί ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων. Μαζί με τους ΓΑ, έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχή αποτελέσματα στην εύρεση των Pareto βέλτιστων λύσεων σε προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων.

182

183 Κεφάλαιο Προηγούμενες Μεθοδολογίες Βελτιστοποίησης Κατανομής Πόρων Βιβλιογραφική Ανασκόπηση

184

185 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 157 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6. Προηγούμενες Μεθοδολογίες Βελτιστοποίησης Κατανομής Πόρων Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Ο χρονικός προγραμματισμός και ειδικά το πρόβλημα της κατανομής και εξομάλυνσης των πόρων ενός έργου (resource scheduling ή resource allocation και resource leveling) προσέλκυσε το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών, οι οποίοι ανέπτυξαν διάφορες τεχνικές και μοντέλα επίλυσης βασισμένα στις αρχές του γραμμικού και δυναμικού προγραμματισμού, τα έμπειρα συστήματα, τα νευρωνικά δίκτυα, τους εξελικτικούς αλγορίθμους και τη νοημοσύνη σμήνους. Πιο συγκεκριμένα: 6.1. Ακριβείς Μέθοδοι, Γραμμικός και Ακέραιος Προγραμματισμός Οι Sakellaropoulos και Chassiakos (2002, 2004) ανέπτυξαν μία δομημένη μεθοδολογία βασισμένη στις αρχές του γραμμικού/ ακέραιου προγραμματισμού για την επίλυση προβλημάτων αντιστάθμισης χρόνου κόστους (time cost trade off problem) στον χρονοπρογραμματισμό έργων με παραμέτρους και δεδομένα που προσομοιάζουν σημαντικά στα πραγματικά έργα. Συγκεκριμένα: περιορισμοί διαδοχής των δραστηριοτήτων, εξωτερικοί περιορισμοί (π.χ. έναρξης ολοκλήρωσης του έργου), bonus ενωρίτερης (από την προγραμματισμένη) ολοκλήρωσης του έργου, penalty υπέρβασης του χρονοδιαγράμματος και γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες. Ωστόσο, η συγκεκριμένη μεθοδολογία δεν περιλαμβάνει την προβληματική που καλείται κατανομή και εξομάλυνση των απαιτούμενων πόρων του έργου. Προηγούμενες εφαρμογές μαθηματικού προγραμματισμού σε προβλήματα κατανομής πόρων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα συναντώνται σε πολλές ερευνητικές εργασίες όπως αυτές των Davis και Heidorn (1971), Pritsker et al., (1969), Nutdtasomboon και Randhawa (1996) και Adeli και Karim (1997). Οι Bandelloni et al. (1994) και Easa (1997) αναφέρονται ειδικά στο πρόβλημα της εξομάλυνσης πόρων. Ωστόσο, οι τεχνικές αυτές βελτιστοποίησης διαθέτουν περιορισμένη αποτελεσματικότητα σε μεγάλα προβλήματα. Το φαινόμενο της συνδυαστικής έκρηξης (combinatorial explosion phenomenon) (βλ ) το οποίο προκαλείται από τον εξαιρετικά μεγάλο αριθμό μεταβλητών και περιορισμών που πρέπει να αποτυπωθούν για τον μαθηματικό ορισμό του

186 158 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ προβλήματος, καθιστά μη πρακτική την επιλογή των μεθόδων αυτής της κατηγορίας για την επίλυση μεγάλων και σύνθετων προβλημάτων. Για τον λόγο αυτό, το πρόβλημα του χρονικού προγραμματισμού των έργων και ειδικά της κατανομής των πόρων, προσεγγίζεται από την πλειοψηφία των ερευνητών με σύγχρονες ευρετικές και μετα ευρετικές τεχνικές βασισμένες σε συγκεκριμένες αλγοριθμικές προσεγγίσεις και αυτοματοποιημένους υπολογισμούς Ευρετικές Προσεγγίσεις Οι Christofides et al. (1987) και οι Demeulemeester και Herroelen (1997) ανέπτυξαν στις εργασίες τους, ειδικούς αλγορίθμους αναζήτησης (εφαρμογή μεθόδων διακλάδωσης branch methods και απαρίθμησης enumeration methods) για να μπορέσουν να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που περιγράφηκαν προηγουμένως για την επίλυση μεγάλων προβλημάτων. Ένας τύπος μεθόδων αυτής της ομάδας είναι οι λεγόμενες μέθοδοι απαρίθμησης και αναδρόμησης (enumeration and backtracking). Η βασική προσέγγιση είναι η απαρίθμηση όλων των πιθανών λύσεων και στη συνέχεια ο αποκλεισμός ή η επιλογή μερικώς αποδεκτών λύσεων που τελικά πιθανά να οδηγήσουν στην τελική λύση. Μία βελτιωμένη προέκταση των μεθόδων αυτών είναι η μέθοδος διακλάδωσης και οριοθέτησης (branch and bound), όπου το αρχικό πρόβλημα χωρίζεται σε υποπροβλήματα (branches) όπου με κριτήριο κάποια όρια (οριοθέτηση) μπορεί να γίνει επιλογή ή απόρριψη. Η διαδικασία προχωρά στα επόμενα βήματα διακλάδωσης και επιλογής μέσω της οριοθέτησης. Η προσέγγιση αυτή μειώνει τον σημαντικά τον όγκο των αναζητούμενων λύσεων σε σχέση με τις γενικές μεθόδους απαρίθμησης και αναδρόμησης. Σχετικές μελέτες είναι των Garey et al. (1976), Demeulemeester και Herroelen (1992, 1997), Mingozzi et al. (1998), Crawford (1996) και Brucker και Knust (2003). Οι Boctor (1990) και Padilla και Carr (1991) επιχείρησαν την βελτίωση της υπολογιστικής ικανότητας του προτεινόμενου στην εργασία τους μοντέλου με την χρήση ευρετικών τεχνικών που παράγουν δυνατές λύσεις. Ωστόσο, οι προκύπτουσες λύσεις δεν είναι απαραίτητα οι βέλτιστες. Οι Karaa και Nasr (1986), Easa (1989) και Harris (1990) μελέτησαν επισταμένα την μαθηματική διατύπωση του προβλήματος της εξομάλυνσης των πόρων. Ο Harris πρότεινε δύο μεθόδους που αποτελούν σημεία αναφοράς έως και σήμερα, την μέθοδο της τελευταίας στιγμής (minimum moment method) και την μέθοδο της ελάχιστης ροπής (PACK method). Οι περιορισμοί των μεθόδων αυτών συνίστανται στην επίλυση προβλημάτων εξομάλυνσης μίας κατηγορίας πόρων με περιορισμό στην διάρκεια του έργου (η διάρκεια του έργου παραμένει σταθερή όπως προκύπτει από CPM) και έναν τρόπο εκτέλεσης των δραστηριοτήτων.

187 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 159 Οι Christodoulou et al. (2009a και 2009b) επαναδιατύπωσαν την προβληματική του Harris για την μέθοδο της ελάχιστης ροπής (PACK method) ως πρόβλημα μεγιστοποίησης της εντροπίας του έργου (maximum entropy) το οποίο βρίσκει εφαρμογή σε πολλαπλούς πόρους έργων αλλά και σε περιπτώσεις δυνατότητας συμπίεσης ή επιμήκυνσης της διάρκειας των δραστηριοτήτων (με αντίστοιχες μεταβολές στην φόρτωση των πόρων). Έκτοτε, ο όρος εντροπία απαντάται σε πολλές εφαρμογές σχετικές με τον προγραμματισμό των τεχνικών έργων 17. Η θεωρία του Harris (1990) αποτέλεσε βάση διερεύνησης και για άλλους ερευνητές όπως ο Hiyassat (2001), οι Tαwalare και Lalwani (2012), κ.α. Ο Hiyassat προχώρησε στην τροποποίηση της αρχικής μεθόδου minimum moment του Harris (modified minimum moment method), ώστε η διερεύνηση να μπορέσει να συμπεριλάβει προβλήματα πολλαπλών πόρων (multiple resource leveling). Οι Tαwalare και Lalwani, από την άλλη πλευρά, πρότειναν την τροποποίηση/ βελτίωση της μεθόδου σε σχέση με το κριτήριο επιλογής των δραστηριοτήτων στις οποίες πρέπει να αλλάξουμε την φόρτωση πόρων για την εξομάλυνση του διαγράμματος. Η προτεινόμενη μέθοδος βασίζεται επίσης στην CPM. Στην παραδοσιακή μέθοδο, για την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης, ο παράγοντας βελτίωσης επιλέγει αρχικά την μετακίνηση της δραστηριότητας σε κάθε πιθανή ημέρα με στόχο την αλλαγή των πόρων. Στην τροποποιημένη μέθοδο, η μέγιστη τιμή της χρήσης πόρων και το ελεύθερο περιθώριο κάθε δραστηριότητας αποτελούν τα αρχικά κριτήρια επιλογής των δραστηριοτήτων που θα μετακινηθούν. Με άλλα λόγια, η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης ξεκινά από τις δραστηριότητες οι οποίες συμμετέχουν στην μεγαλύτερη τιμή της χρήσης πόρων. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τις υπόλοιπες δραστηριότητες. Η προτεινόμενη μέθοδος μειώνει σημαντικά τον αριθμό των επαναλήψεων και καθιστά πιο εύκολους τους χειροκίνητους υπολογισμούς. Οι Savin et al. (1996) παρουσίασαν στην ερευνητική τους εργασία ένα νευρωνικό δίκτυο για την εξομάλυνση των πόρων. Στόχος ήταν η καλύτερη δυνατή εξομάλυνση των πόρων στις δραστηριότητες του έργου. Ωστόσο, το μοντέλο δεν είχε την δυνατότητα να συμπεριλάβει στην λογική του μια σειρά κρίσιμων παραμέτρων όπως η βελτιστοποίηση του κόστους του έργου, η πιθανότητα επιλογής όχι ομοιόμορφα κατανεμημένων πόρων (εξέταση του συγκεκριμένου σεναρίου), η ανάγκη χρήσης περισσότερων από έναν τύπο/ κατηγορία πόρων και οι γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες. 17 Περισσότερες λεπτομέρειες για την χρήση της εντροπίας σε προβλήματα διαχείρισης τεχνικών και κατασκευαστικών έργων δίνονται στην διδακτορική διατριβή της Μιχαηλίδου Καμμένου (2012) αλλά και στην διδακτορική διατριβή του Ταρνανίδη (2009) η οποία εστιάζει στην διαχείριση κινδύνων των έργων.

188 160 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 6.3. Μετα Ευρετικές και Εξελικτικές Προσεγγίσεις Από τα μέσα της δεκαετίας του 1990 και έπειτα, η βελτιστοποίηση των προβλημάτων αυτής της κατηγορίας στρέφεται κυρίως στην χρήση εξελικτικών και μετα ευρετικών τεχνικών με πιο σύνθετα μοντέλα τα οποία προσεγγίζουν περισσότερες μεταβλητές του προγραμματισμού. Οι Chan et al. (1996) πρότειναν την κατασκευή ενός ΓΑ ο οποίος λαμβάνει υπόψη τόσο το πρόβλημα της αντιστάθμισης χρόνου κόστους του έργου (time cost trade off problem) όσο και το πρόβλημα της κατανομής των πόρων με περιορισμούς (resource-constrained project scheduling problem). Ουσιαστικά, δηλαδή, προχώρησαν την διερεύνηση σε βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων (2 στόχοι), τα οποία εκ φύσεως είναι αντικρουόμενα. Ο προτεινόμενος ΓΑ δεν κατάφερε να επιτύχει ελαχιστοποίηση του κόστους του έργου, ενώ ο σχεδιασμός του μοντέλου αφορούσε σε προβλήματα απλών σχέσεων διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες του έργου και χρήσης ενός τύπου/ μίας μόνο κατηγορίας πόρων (π.χ. εργάτες). Ο Hegazy (1999) επίσης παρουσίασε ένα μοντέλο βασισμένο στην ευρετική αναζήτηση και τους ΓΑ με πολλές βελτιώσεις σε σχέση με την προηγούμενη εμπειρία. Η προτεινόμενη μέθοδος αναζητά καλές λύσεις (κοντά στην βέλτιστη) και επιχειρεί παράλληλη κατανομή και εξομάλυνση των πόρων. Ωστόσο, η προτεινόμενη μεθοδολογία αν και εφαρμόζει ενδιαφέρουσα προσέγγιση, δεν εξετάζει την ελαχιστοποίηση του κόστους του έργου (βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου) και δεν καταλήγει σε βέλτιστες λύσεις. Οι Leu et al. (2000) παρουσίασαν ένα υβριδικό μοντέλο βελτιστοποίησης με χρήση ασαφούς λογικής και ΓΑ για τον χρονικό προγραμματισμό έργων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. Το μοντέλο λαμβάνει υπόψη την αβεβαιότητα στον υπολογισμό της διάρκειας των δραστηριοτήτων και τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πόρων. Ωστόσο, και αυτή η μέθοδος δεν ελάμβανε υπόψη την ελαχιστοποίηση του κόστους του έργου. Την ίδια περίοδο, οι Leu και Yang (1999) παρουσίασαν ένα πολυκριτηριακό υπολογιστικό μοντέλο το οποίο ενσωματώνει ένα μοντέλο για την επίλυση της αντιστάθμισης χρόνου κόστους του έργου (time cost trade off problem), ένα μοντέλο για την επίλυση της κατανομής των πόρων με περιορισμούς (resourceconstrained project scheduling problem) και ένα μοντέλο για την επίλυση της εξομάλυνσης των πόρων (resource leveling problem). Η προτεινόμενη μεθοδολογία παρήγαγε κατώτερες λύσεις από την βέλτιστη. Οι Senouci και Adeli (2001) παρουσίασαν ένα νέο μαθηματικό μοντέλο για την κατανομή των πόρων, στο οποίο οι περιορισμοί διαθεσιμότητας, η εξομάλυνση των πόρων και η ελαχιστοποίηση του κόστους του έργου αντιμετωπίζονται ταυτόχρονα. Το πατενταρισμένο δυναμικό νευρωνικό μοντέλο των Adeli και Park

189 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 161 (1998) χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση αυτής της κατηγορίας προβλημάτων. Ωστόσο, το μοντέλο αναφέρεται μόνο σε συνεχείς μεταβλητές και δεν λαμβάνει υπόψη του την περίπτωση διακριτών τιμών των αποτελεσμάτων. Οι Senouci και Eldin (2004) λίγο αργότερα ανέπτυξαν ένα υβριδικό μοντέλο πολλαπλών δυνατοτήτων, το οποίο λαμβάνει υπόψη την αντιστάθμιση χρόνου κόστους του έργου (time cost trade off problem), την κατανομή των πόρων με περιορισμούς (resource-constrained project scheduling problem), το πρόβλημα της εξομάλυνσης πόρων και τις γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες του έργου. Για την επίτευξη των στόχων της βελτιστοποίησης, οι ερευνητές δημιούργησαν έναν υβριδικό ΓΑ με inner και outer loop, τα οποία λειτουργούν ταυτόχρονα, καθώς ο πληθυσμός λύσεων του ενός προσδιορίζει τον χώρο αναζήτησης και των δύο. Ο σχεδιασμός του συγκεκριμένου μοντέλου περιλαμβάνει την αναζήτηση λύσεων που προκύπτουν από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (modes). Από το μοντέλο, επιτρέπεται επίσης η επικάλυψη (overlap) των δραστηριοτήτων. Από την εφαρμογή του αλγορίθμου σε δεδομένα θεωρητικού έργου με 12 δραστηριότητες προέκυψαν καλά αποτελέσματα, ενώ το μοντέλο μπορεί να εφαρμοσθεί σε γενικευμένα προβλήματα μεγάλου μεγέθους. Επίσης, επιτρέπει οποιαδήποτε γραμμική ή μη συνάρτηση για την περιγραφή και αποτύπωση των σχέσεων κόστος διάρκεια και πόροι διάρκεια του έργου. Μία βασική αδυναμία της συγκεκριμένης μεθόδου είναι στη συγκεκριμένη μορφή εξετάζει μόνο έναν τύπο/ μία κατηγορία πόρου (π.χ. εργάτες) για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων. Από τις πρόσφατες προσεγγίσεις είναι και αυτή των Zhao et al. (2006) οι οποίοι, επίσης, αναπτύσσουν ένα μοντέλο γενετικού αλγορίθμου για να επιτύχουν βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων, ανάμεσα στα οποία και η εξομάλυνση των πόρων του έργου, αλλά και αυτή των Roca et al. (2008) οι οποίοι κάνουν χρήση δύο διακριτών σταδίων στον μηχανισμό επίλυσης του μοντέλου. Το πρώτο και κύριο στάδιο αναφέρεται σε μη κυριαρχούμενες λύσεις, βέλτιστες κατά Pareto, όλων των αντικειμενικών συναρτήσεων και το επόμενο δεύτερο στάδιο βελτιώνει την κατανομή των πόρων στις λύσεις που προκρίνονται. Το αποτέλεσμα της βελτιστοποίησης καταλήγει σε συνδυασμούς καλών επιλογών για τους συμβιβασμούς (trade offs) που αξιολογούνται στη συνέχεια από τον διαχειριστή του έργου. Το υπολογιστικό αποτέλεσμα που προκύπτει από το μοντέλο, καθιστά την συγκεκριμένη τεχνική γρήγορη και αποτελεσματική. Για την εφαρμογή της τεχνικής χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος NSGA II (Non dominated Sorting Genetic Algorithm) λόγω των χαρακτηριστικών ελιτισμού αλλά και της δυνατότητας επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών κριτηρίων. Την ίδια περίοδο, οι Chen και Weng (2009), ανέπτυξαν επίσης έναν γενετικό αλγόριθμο δύο φάσεων (two phase genetic algorithm), ο οποίος καλείται να επιλύσει προβλήματα χρονικού προγραμματισμού έργων λαμβάνοντας υπόψη τόσο το πρόβλημα της αντιστάθμισης χρόνου κόστους του έργου (time cost

190 162 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ trade off problem) όσο και το πρόβλημα της κατανομής των πόρων με περιορισμούς (resource-constrained project scheduling problem). Πρόκειται, δηλαδή, για πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων (2 στόχοι), τα οποία εκ φύσεως είναι αντικρουόμενα. Για την επίτευξη των δύο στόχων, οι ερευνητές δημιούργησαν δύο ΣΚ και δύο υποσυστήματα (time cost trade off subsystem και resource scheduling subsystem) τα οποία λειτουργούν παράλληλα καθώς ο πληθυσμός λύσεων του ενός προσδιορίζει τον χώρο αναζήτησης του άλλου. Ο σχεδιασμός του μοντέλου περιλαμβάνει την αναζήτηση λύσεων που προκύπτουν από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (modes), ενώ οι απαιτούμενοι πόροι για την εκτέλεση του έργου ιεραρχούνται με βάση την προτεραιότητά τους (priority). Από το μοντέλο, επιτρέπεται η επικάλυψη (overlap) και η κατάτμηση (interruption) δραστηριοτήτων, σεβόμενες τους περιορισμούς διαδοχής (απλές σχέσεις). Από την εφαρμογή του αλγορίθμου σε απλοποιημένα δεδομένα πραγματικού έργου με 37 δραστηριότητες προέκυψαν ελαφρώς καλύτερα αποτελέσματα από την λύση του αρχικού προγραμματισμού. Η βέλτιστη λύση προσδιορίστηκε στις 235 ημέρες και κόστος $ , ενώ η αρχικά προγραμματισμένη είχε προσδιοριστεί στις 240 ημέρες. Μία βασική αδυναμία της συγκεκριμένης μεθόδου είναι στη συγκεκριμένη μορφή εξετάζει μόνο ένας τύπος/ μία κατηγορία πόρου (π.χ. εργάτες) για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων.

191 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 163 Σχήμα 50. Διάγραμμα ροής γενετικού αλγορίθμου δύο φάσεων για τον χρονικό προγραμματισμό έργων (βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων) Chen και Weng (2009)

192 164 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ Σχήμα 51. Διάγραμμα ροής του υποσυστήματος του γενετικού αλγορίθμου που αφορά στην κατανομή των πόρων του έργου Chen και Weng (2009)

193 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 165 Σε μία εξαιρετικά πρόσφατη ερευνητική προσπάθεια που βρίσκεται ακόμα στο στάδιο της αξιολόγησης, οι Choddoussi et al. (2012) προτείνουν την εφαρμογή ΓΑ μη κυριαρχούμενης ταξινόμησης (non domination based genetic algorithm) για την επίλυση προβλημάτων χρονικού προγραμματισμού έργων λαμβάνοντας υπόψη τόσο το πρόβλημα της αντιστάθμισης χρόνου κόστους του έργου (time cost trade off problem) όσο και το πρόβλημα της κατανομής των πόρων με περιορισμούς (resource-constrained project scheduling problem) αλλά και το ειδικό πρόβλημα της εξομάλυνσης των πόρων (resource allocation and resource leveling problem). Κατά αυτό τον τρόπο, προσδιορίζονται 3 αντικειμενικές συναρτήσεις, μία για κάθε στόχο, ενώ ειδικά για το πρόβλημα της εξομάλυνσης των πόρων η αντικειμενική συνάρτηση δομείται με βάση την ελαχιστοποίηση της τετραγωνικής απόκλισης των απαιτούμενων πόρων στη μονάδα του χρόνου από τη μέση χρήση των πόρων σε όλη την διάρκεια του έργου. Ο σχεδιασμός του μοντέλου περιλαμβάνει την αναζήτηση λύσεων που προκύπτουν από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (modes), ενώ οι δραστηριότητες του έργου διέπονται από απλές σχέσεις διαδοχής. Ο μηχανισμός επίλυσης βασίζεται σε προηγούμενες έρευνες των Deb et al. (2002) για την εφαρμογή αλγορίθμων μη κυριαρχούμενης ταξινόμησης (non dominated sorting genetic algorithm NSGA ΙΙ) στον χρονικό προγραμματισμό των έργων. Οι βέλτιστες κατά Pareto, ή, αλλιώς, μη κυριαρχούμενες λύσεις του αλγορίθμου, συνθέτουν εναλλακτικούς χρονικούς προγραμματισμούς του έργου με ικανοποίηση όλων των περιορισμών και ελαχιστοποίηση των τριών αντικειμενικών συναρτήσεων. Από την εφαρμογή του αλγορίθμου σε απλοποιημένα δεδομένα πραγματικού έργου με 37 δραστηριότητες (Chen and Weng, 2009) προέκυψαν καλύτερα αποτελέσματα από την λύση του αρχικού προγραμματισμού αλλά και την λύση που απέδωσε ο ΓΑ 2 φάσεων της προηγούμενης ενότητας. Η βέλτιστη λύση προσδιορίστηκε στις 190 ημέρες με κόστος $ (και τετρ. απόκλιση πόρων 2.839,2684), ενώ η αρχικά προγραμματισμένη είχε προσδιοριστεί στις 240 ημέρες και η λύση των Chen and Weng (2009) στις 235 ημέρες και κόστος $ Στις υποθέσεις του προβλήματος δεν περιλαμβάνεται η δυνατότητα κατάτμησης των δραστηριοτήτων, αλλά η διάσταση της αβεβαιότητας στον προσδιορισμό της διάρκειας των δραστηριοτήτων (η οποία ενδεχόμενα θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί με εφαρμογές ασαφούς λογικής).

194 166 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ Σχήμα 52. Διάγραμμα ροής γενετικού αλγορίθμου μη κυριαρχούμενης ταξινόμησης για τον χρονικό προγραμματισμό έργων (βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων) Choddousi et al. (2012) Εξέλιξη και προσαρμογή του NSGA ΙΙ, Deb et al. (2002)

195 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 167 Εκτός από τους ΓΑ, ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική βελτιστοποίησης για την επίλυση του προβλήματος της εξομάλυνσης των πόρων η οποία επιλέγεται από πλήθος σύγχρονων ερευνητών είναι αυτή της αποικίας μυρμηγκιών Christodoulou (2010), Christodoulou et al. (2010), Garmsiri και Abassi (2012). Η βελτιστοποίηση με αποικία μυρμηγκιών (ant colony optimization) είναι εμπνευσμένη από τη συμπεριφορά των μυρμηγκιών να επιλέγουν βέλτιστα μονοπάτια μεταξύ της αποικίας τους και της πηγής τροφής τους αφήνοντας ίχνη φερορμόνης. Στην εργασία των Christodoulou et al. (2010) ο σχεδιασμός του μοντέλου περιλαμβάνει την αναζήτηση λύσεων που προκύπτουν από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (modes) σε περιπτώσεις έργων με απεριόριστους πόρους αλλά και σε περιπτώσεις έργων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν έχουν σημαντικά ποσοστά ακρίβειας, γεγονός που αναγάγει αυτού του τύπου την μεθοδολογία σε μία από τις πιο ενδιαφέρουσες. Στην εργασία των Garmsiri και Abassi (2012), ο σχεδιασμός του μοντέλου επίσης περιλαμβάνει την αναζήτηση λύσεων που προκύπτουν από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (modes), ενώ στην αντικειμενική συνάρτηση του μοντέλου γίνεται χρήση βαρών. Ωστόσο, στην εφαρμογή του προτεινόμενου μοντέλου δεν λαμβάνονται υπόψη οι γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες, η δυνατότητα κατάτμησης των δραστηριοτήτων και οι περιορισμοί στην διαθεσιμότητα των πόρων. Επίσης, η παραμετροποίηση του μοντέλου χρήζει περαιτέρω έρευνας και αναλύσεων ευαισθησίας, όπως άλλωστε σε πολλές από τις τεχνικές που προαναφέρθηκαν. Οι Αναγνωστόπουλος και Κουλινάς (2010) ακολουθούν μία διαφορετική προσέγγιση και προκειμένου να επιλύσουν το πρόβλημα της εξομάλυνσης πόρων εστιάζουν στην ανάπτυξη δύο υπερευρετικών αλγορίθμων (ΗΗ1 και ΗΗ2). Ένας υπερευρετικός αλγόριθμος ενεργεί σε ανώτερο επίπεδο από αυτό των λύσεων, επιλέγοντας άλλες, απλές σε λειτουργία, ευρετικές κατώτερου επιπέδου, οι οποίες ενεργούν στον χώρο των λύσεων προκειμένου να βελτιώσουν τοπικά την τρέχουσα λύση του προβλήματος. Το σημαντικό πλεονέκτημα ενός υπερευρετικού αλγόριθμου είναι το γεγονός ότι εκ κατασκευής μπορεί να χρησιμοποιηθεί απευθείας σε διαφορετικά προβλήματα με ελάχιστες τροποποιήσεις της αντικειμενικής συνάρτησης, καθώς και των χαμηλού επιπέδου ευρετικών. Η έρευνα τους λαμβάνει υπόψη προηγούμενες επιτυχημένες εφαρμογές υπερευρετικών αλγορίθμων σε προβλήματα προσδιορισμού ωρολόγιου προγράμματος (timetabling) και μεγέθους φορτίων (shipper sizes) (Burke et al., 2004 και Cowling et al., 2002). Ο πρώτος από τους δύο αλγορίθμους, επιλέγει χαμηλού επιπέδου ευρετικές, με βάση την απόδοσή τους όσον αφορά τη βελτίωση της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο δεύτερος είναι ένας πολλαπλής εκκίνησης αλγόριθμος, ο οποίος λειτουργεί σαν «λαίμαργος» στο πεδίο των ευρετικών χαμηλού επιπέδου. Η κωδικοποίηση γίνεται με χρήση της γλώσσας VBA στο περιβάλλον του εμπορικού

196 168 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ πακέτου διαχείρισης έργων Microsoft Project. Η αποτελεσματικότητα των αλγορίθμων αντιπαραβάλλεται με την ενσωματωμένη διαδικασία εξομάλυνσης των πόρων στο Microsoft Project, σε ένα τυχαίο παράδειγμα έργου με 30 δραστηριότητες και τα αποτελέσματα είναι ενθαρρυντικά. Το αρχικό πρόγραμμα του έργου είχε διάρκεια 49 ημέρες, αντικειμενική συνάρτηση ίση με και εύρος χρήσης του πόρου 800% %. Η εφαρμογή της εξομάλυνσης του λογισμικού στο δίκτυο έχει ως αποτέλεσμα την επιμήκυνση του χρονοδιαγράμματος στις 78 ημέρες με ταυτόχρονη μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης σε Η εφαρμογή της εξομάλυνσης με χρήση των προτεινόμενων αλγορίθμων οδήγησε σε βέλτιστη λύση 76 ημερών με ταυτόχρονη μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης σε για τον ΗΗ1 και για τον ΗΗ Αξιολόγηση Εφαρμογών Γνωστών Πακέτων Λογισμικών Οι Iranagh και Sonmez (2012) σε πρόσφατη ερευνητική τους εργασία συγκρίνουν τα αποτελέσματα της εφαρμογής ΓΑ για την εξομάλυνση των πόρων ενός έργου σε σχέση με τα αποτελέσματα της αυτοματοποιημένης διαδικασίας του Microsoft Project 2010, αλλά και τα αποτελέσματα εφαρμογών γραμμικού/ ακέραιου προγραμματισμού στα δεδομένα των ίδιων προβλημάτων. Η ερευνητική τους εργασία εστιάζει σε αποτελέσματα ενός ικανοποιητικού πλήθους απλών προβλημάτων (σύνολο: 16) από προηγούμενες ερευνητικές εργασίες από το 1989 έως και το Ο προσδιορισμός του προβλήματος, άρα και η λειτουργία του ΓΑ, περιλαμβάνει την βελτιστοποίηση της κατανομής των απαιτούμενων πόρων σε δεδομένο χρονικό προγραμματισμό του έργου βάση CPM, με περιορισμούς στην διαδοχή των δραστηριοτήτων και την διάρκεια του έργου (η συνολική διάρκεια του έργου δεν πρέπει να ξεπεράσει την ελάχιστη διάρκεια όπως αυτή προέκυψε από την εφαρμογή της μεθόδου CPM). Για την εκτέλεση του έργου, απαιτείται ένας τύπος/ μία κατηγορία πόρων. Ο αλγόριθμος αναπτύχθηκε στην γλώσσα προγραμματισμού C#, ενώ ο μέσος χρόνος εκτίμησης της βέλτιστης λύσης για τις παραπάνω εφαρμογές εκτιμήθηκε στα 5 δευτερόλεπτα. Αν και η λογική της αλγοριθμικής διερεύνησης είναι μάλλον απλή (βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου, με χρήση ενός πόρους και περιορισμούς μόνο στις σχέσεις διαδοχής των δραστηριοτήτων), από τα αποτελέσματα προκύπτουν πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα και συγκεκριμένα: Ο προτεινόμενος ΓΑ υπέδειξε την βέλτιστη λύση για 8 από τα 16 προβλήματα (50%) με μέση ποσοστιαία απόκλιση (από την βέλτιστη λύση), μόλις 4%.

197 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ 169 Η αυτοματοποιημένη διαδικασία εξομάλυνσης του λογισμικού MS Project 2010 υπέδειξε την βέλτιστη λύση για 2 από τα 16 προβλήματα (12,5%) με μέση ποσοστιαία απόκλιση (από την βέλτιστη λύση), 44%. Αναλυτικά τα αποτελέσματα της διερεύνησης παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 22. Ποσοστιαία απόκλιση για τον προτεινόμενο ΓΑ και την αυτοματοποιημένη διαδικασία εξομάλυνσης του MS Project 2010 από την βέλτιστη λύση (Iranagh και Sonmez, 2012) a/a MS Project 2010 ΓΑ 1 31% 2% 2 66% 6% 3 51% 5% 4 88% 0% 5 75% 6% 6 86% 19% 7 74% 0% 8 0% 0% 9 37% 0% 10 40% 0% 11 8% 3% 12 7% 3% 13 4% 0% 14 64% 0% 15 80% 20% 16 0% 0% Μέση απόκλιση 44% 4% Μεγάλο, επίσης, ενδιαφέρον εμφανίζει και η ερευνητική εργασία των Kastor και Sirakoulis (2009) οι οποίοι συγκρίνουν τα αποτελέσματα της εφαρμογής τριών πολύ διαδεδομένων λογισμικών διαχείρισης έργων (Primavera P6, Microsoft Project 2007, και το λογισμικό ανοιχτού κώδικα Open Workbench 1.1.6) για τον χρονικό προγραμματισμό έργων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. Η ερευνητική τους εργασία περιέχει εκτενή αναφορά σε προηγούμενες μελέτες σύγκρισης των αποτελεσμάτων χρονοπρογραμματισμού έργων που προκύπτουν από εφαρμογές σε διαφορετικά πακέτα λογισμικού (αναφέρονται εργασίες που εξετάζουν έως και 110 διαφορετικά έργα ή και έως 7 διαφορετικά πακέτα λογισμικού) και εστιάζει σε αποτελέσματα δύο πραγματικών έργων προβλημάτων. Τα αποτελέσματα προσδιορίζονται από την χρήση κοινών παραμέτρων υπολογισμού και στα 3 πακέτα, συγκρίνονται με βάση την απόκλιση από την CPM και παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί.

198 170 ΚΕΦ.6/ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ/ Πίνακας 23. Ποσοστιαία απόκλιση για την αυτοματοποιημένη διαδικασία εξομάλυνσης τριών λογισμικών διαχείρισης έργων από την CPM (Kastor και Sirakoulis, 2009) Λογισμικό 1 ο έργο 2 ο έργο Μέσος όρος Διάρκεια Ποσοστιαία απόκλιση από CPM (%) Διάρκεια Ποσοστιαία απόκλιση από CPM (%) Ποσοστιαία απόκλιση από CPM (%) P6 Default , ,41 41,11 MS Project standard Open workbench standard , ,93 46, , ,58 167,79 Από τις δύο προηγούμενες μελέτες προκύπτει σαφώς ότι οι λύσεις των προβλημάτων κατανομής των πόρων στα έργα εξαρτώνται σημαντικά από την μεθοδολογία επίλυσης αλλά και τα διαθέσιμα υπολογιστικά μέσα και πακέτα λογισμικών. Η μέθοδος CPM δεν είναι κατάλληλη για τον χρονοπρογραμματισμό έργων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων καθώς δεν λαμβάνει υπόψη της το πεδίο της φόρτωσης, κατανομής και εξομάλυνσης των πόρων. Θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με άλλα μεθοδολογικά εργαλεία. Πιο συγκεκριμένα, οι ενσωματωμένες διαδικασίες εξομάλυνσης των πόρων στα ευρέως διαδεδομένα πακέτα λογισμικού διαχείρισης έργων περιλαμβάνουν λύσεις μέσω ευρετικής αναζήτησης, οι οποίες συνήθως απέχουν διακριτά (περισσότερο ή λιγότερο) από την βέλτιστη λύση. Οι διαχειριστές έργων δεν θα πρέπει να βασίζονται αποκλειστικά και μόνο στα γνωστά πακέτα λογισμικού για την διαχείριση των πόρων των έργων, αλλά θα πρέπει να αναζητούν πιο εξειδικευμένα μοντέλα εφαρμογής τα οποία θα λειτουργούν συμπληρωματικά με τα άλλα εργαλεία προγραμματισμού και ελέγχου του έργου. Από την βιβλιογραφική έρευνα σε βάθος που πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο εκπόνησης της παρούσας Διατριβής και όσα προηγήθηκαν, καθίσταται προφανής η συνθετότητα, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα αλλά και το πλήθος των παραμέτρων, μεταβλητών, συνθηκών, περιπτώσεων και υποπεριπτώσεων που υπεισέρχονται κατά τον σχεδιασμό ενός μοντέλου βελτιστοποίησης για αυτή την κατηγορία των προβλημάτων. Η επιστημονική έρευνα και οι σύγχρονες προσεγγίσεις, ωστόσο, έχουν να επιδείξουν εφαρμογές προγραμματισμού και τεχνητής νοημοσύνης με πολλές δυνατότητες που προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερες μεταβλητές της διαχείρισης έργων. Τα όσα προηγήθηκαν, μας έδωσαν το βασικό ερέθισμα λογικής και μαθηματικής αναζήτησης για την ανάπτυξη μιας εφαρμογής βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων για την κατανομή και εξομάλυνση των πόρων στα έργα δεδομένων περιορισμών. Η εφαρμογή αναλύεται στο κεφάλαιο 7 που ακολουθεί.

199 Κεφάλαιο Προτεινόμενη Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων Κατανομής Πόρων

200

201 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. Προτεινόμενη Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων Κατανομής Πόρων 7.1. Προσδιορισμός του Προβλήματος Το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των προβλημάτων κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα καθιστούν τον εμπειρικό υπολογισμό καλών λύσεων μία εξαιρετικά επίπονη διαδικασία η οποία βρίσκει εφαρμογή μόνο σε μικρά προβλήματα με περιορισμένο πλήθος πόρων. Από την άλλη πλευρά, τα αποτελέσματα της ενσωματωμένης διαδικασίας εξομάλυνσης πόρων που διαθέτουν τα γνωστά λογισμικά πακέτα διαχείρισης έργων επιδέχονται κριτικής, καθώς δεν υπολογίζουν πάντοτε καλές λύσεις. Οι παραπάνω λόγοι αποτέλεσαν το κύριο ερέθισμα της παρούσας ερευνητικής προσπάθειας για την ανάπτυξη μιας εφαρμογής βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων για την κατανομή και εξομάλυνση των πόρων στα τεχνικά έργα. Το πλήθος των παραμέτρων, μεταβλητών, περιπτώσεων και υποπεριπτώσεων που υπεισέρχονται στον σχεδιασμό ενός μοντέλου βελτιστοποίησης για αυτή την κατηγορία των προβλημάτων αποτέλεσε ίσως την βασικότερη δυσκολία τόσο κατά το στάδιο του σχεδιασμού όσο και κατά το στάδιο της εφαρμογής. Η προηγούμενη επιστημονική έρευνα και μελέτη, οι δυνατότητες των εξελικτικών αλγορίθμων αλλά και οι συνεχείς δοκιμές της προτεινόμενης μεθοδολογίας, ωστόσο, υπέδειξαν κρίσιμες κατευθύνσεις στα διαφορετικά στάδια δόμησης και ελέγχου του μοντέλου βελτιστοποίησης που αναλύεται στις παραγράφους που ακολουθούν. Το προτεινόμενο στην παρούσα Διατριβή μοντέλο βελτιστοποίησης ενσωματώνει σημαντικές παραμέτρους καινοτομίας και αντιμετωπίζει: Προβλήματα κατανομής πολλαπλών πόρων με περιορισμούς στην διαθεσιμότητα (RCSP), συμπεριλαμβανομένου του χρόνου, και δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης (modes) των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο ή, διαφορετικά, Προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων: min (διάρκεια έργου) + min (κόστος έργου) + min (διακυμάνσεις στην χρήση πόρων) + max (βαθμός χρήσης πόρων), με σεβασμό στους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων και διαθεσιμότητας των πόρων και δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης (modes) των δραστηριοτήτων

202 174 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Η δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο (εναλλακτικοί συνδυασμοί απαιτούμενης διάρκειας απαιτούμενων πόρων ώστε ο συνολικός αριθμός πορο-ημερών να παραμένει σταθερός για κάθε δραστηριότητα) ενσωματώνεται ως θεμελιώδης παράμετρος του σχεδιασμού καθώς διευρύνει σημαντικά τον χώρο αναζήτησης λύσεων. Για τον λόγο αυτό, οι ερευνητικές προσεγγίσεις και εφαρμογές εξομάλυνσης πόρων των τελευταίων ετών, στη πλειοψηφία τους, χρησιμοποιούν αυτού του τύπου τις υποθέσεις (βλ. κεφάλαιο 6). Επιπλέον, εξ ορισμού αποτυπώνει πληρέστερα τα πραγματικά δεδομένα των τεχνικών έργων και αποτελεί υπερσύνολο της ύπαρξης ενός μοναδικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων του έργου Πολλαπλοί στόχοι Ο κεντρικός στόχος της διαδικασίας κατανομής πόρων σε ένα έργο προσδιορίζεται από επιμέρους στόχους και συγκεκριμένα: ΣΤΟΧΟΣ 1. ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ. Οι διαθέσιμοι πόροι θα πρέπει να κατανεμηθούν στις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται η συντομότερη δυνατή διάρκεια του έργου. Η κατανομή θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να σέβεται τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πόρων και τους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων. ΣΤΟΧΟΣ 1 Προκειμένου να αποτυπώσουμε την ελαχιστοποίηση της διάρκειας του έργου, στο προτεινόμενο μοντέλο κάνουμε χρήση των συναρτήσεων: Α1) Έμμεσου Κόστους (EK). Το ΕΚ είναι ανάλογο της συνολικής διάρκειας του έργου (Τ). Α2) Κόστους Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ). Το ΚΥΧΡ είναι επίσης ανάλογο της συνολικής διάρκειας του έργου, αρχίζει, όμως να προστίθεται αν η διάρκεια του έργου ξεπεράσει την «κανονική» διάρκεια του έργου, όπως αυτή υπολογίζεται από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής (CPM) της αρχικής λύσης για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων (normal modes) χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. Με άλλα λόγια, για να προσδιορίσουμε το κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος ορίζουμε το μέγεθος Tmin που αντιστοιχεί στην διάρκεια του έργου όπως αυτή υπολογίζεται από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής (CPM) της αρχικής λύσης για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων (normal modes) χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων.

203 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 175 ΣΤΟΧΟΣ 2. ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ. Οι διαθέσιμοι πόροι θα πρέπει να κατανεμηθούν στις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται το ελάχιστο δυνατό κόστος του έργου. Η κατανομή θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να σέβεται τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πόρων και τους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων. ΣΤΟΧΟΣ 2 Προκειμένου να αποτυπώσουμε την ελαχιστοποίηση του κόστους του έργου, στο προτεινόμενο μοντέλο κάνουμε χρήση της συνάρτησης: Β1) Άμεσου Κόστους (ΑΚ). Το ΑΚ είναι ανάλογο του μεγέθους του έργου και αφορά τις δαπάνες των απαιτούμενων πόρων (υλικά, προσωπικό, μηχανήματα, κ.λπ.). Αποτελείται από τα άμεσα κόστη των επιμέρους εργασιών που συνθέτουν το έργο (π.χ. ημερομίσθια). Ο στόχος 1 και ο στόχος 2 είναι εξ ορισμού συγκρουσιακοί. Κατά κανόνα, όταν η διάρκεια ενός έργου μειώνεται, το άμεσο κόστος αυξάνεται σημαντικά (και αντίστροφα). ΣΤΟΧΟΣ 3. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΠΟΡΩΝ. Οι απαιτούμενοι πόροι θα πρέπει να κατανεμηθούν στις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διασφαλιστεί πως δεν ξεπερνούν τις διαθέσιμες ποσότητες. Η κατανομή θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να σέβεται τους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων. Ο εν λόγω όρος συνήθως εισάγεται στα μοντέλα αυτής της κατηγορίας ως περιορισμός λόγω της μη δυνατότητας χρήσης εναλλακτικών πόρων που αποτελεί ρεαλιστικό δεδομένο. Ωστόσο, στην παρούσα ερευνητική προσπάθεια, εισάγεται ως κριτήριο μέσω μίας επιπλέον συνάρτησης κόστους. ΣΤΟΧΟΣ 3 Προκειμένου να αποτυπώσουμε την τήρηση των περιορισμών διαθεσιμότητας των πόρων του έργου, στο προτεινόμενο μοντέλο κάνουμε χρήση της συνάρτησης: Γ1) Κόστος Υπέρβασης Πόρων (ΚΥΠ). Το ΚΥΠ είναι ανάλογο των μονάδων υπέρβασης των διαθέσιμων πόρων. Για κάθε μονάδα υπέρβασης προστίθεται μία προκαθορισμένη τιμή κόστους στο συνολικό κόστος του έργου. Φέρει μεγάλο ειδικό βάρος, λαμβάνει δηλαδή υψηλές τιμές, καθώς στην ουσία επιθυμούμε να φέρει ρόλο αποκλεισμού υποψήφιων/ εφικτών λύσεων. Με άλλα λόγια, εισάγουμε ένα κριτήριο που θέλουμε να έχει τα «χαρακτηριστικά» ενός περιορισμού.

204 176 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ ΣΤΟΧΟΣ 4. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΙΑΘΕΣΙΜΩΝ ΠΟΡΩΝ. Οι διαθέσιμοι πόροι θα πρέπει να κατανεμηθούν στις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται η μέγιστη χρήση τους. Να χρησιμοποιούνται, δηλαδή, στο μέγιστο βαθμό όσοι είναι διαθέσιμοι. Υψηλός βαθμός χρήσης οδηγεί σε περιορισμό τόσο της διάρκειας όσο και του κόστους του έργου. Η κατανομή θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να σέβεται τους περιορισμούς διαθεσιμότητας των πόρων και τους περιορισμούς διαδοχής των δραστηριοτήτων. ΣΤΟΧΟΣ 5. ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ/ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ. Όπως αναλύθηκε διεξοδικά στην 4.9, οι αυξομειώσεις των πόρων στην διάρκεια του έργου αυξάνουν το κόστος, πλήττουν την ποιότητα του παραδοτέου και υπονομεύουν την έγκαιρη ολοκλήρωση και παράδοση του έργου. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι διαθέσιμοι πόροι θα πρέπει να κατανεμηθούν στις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται κατά το δυνατόν ομοιόμορφο προφίλ/ διάγραμμα χρήσης πόρων για όλη την διάρκεια του έργου. Ο στόχος της ελαχιστοποίησης των μεταβολών των πόρων, εισάγεται συνήθως στα μοντέλα βελτιστοποίησης είτε ως περιορισμός (Senouci, 2004, κ.α.), είτε ως αντικειμενική συνάρτηση που υπολογίζει: το άθροισμα της τετραγωνικής απόκλισης της χρήσης των πόρων την χρονική στιγμή t σε σχέση με την χρονική στιγμή t 1, Garmsiri (2012), Roca (2008), κ.α., ή το άθροισμα της τετραγωνικής απόκλισης της μέσης χρήσης των πόρων σε σχέση με την χρήση των πόρων την χρονική στιγμή t, Chodoussi (2012), Αναγνωστόπουλος (2010), κ.α., ή τον βαθμό χρήσης των απαιτούμενων πόρων σε σχέση με τους διαθέσιμους, Huang (2011), Iranagah (2012), κ.α. Στην παρούσα ερευνητική προσπάθεια, επιχειρείται ένας νεωτερισμός. Αυτός έγκειται σε έναν διαφοροποιημένο τρόπο υπολογισμού της μεταβολής των πόρων ο οποίος έχει ως βάση τις μεταβολές στην χρήση στην μονάδα του χρόνου, τις αποδίδει όμως σε μία επιπλέον συνάρτηση κόστους.

205 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 177 ΣΤΟΧΟΣ 4 ΣΤΟΧΟΣ 5 Προκειμένου να αποτυπώσουμε την μεγιστοποίηση της χρήσης των διαθέσιμων πόρων και την ελαχιστοποίηση των μεταβολών χρήσης στην μονάδα του χρόνου, στο προτεινόμενο μοντέλο κάνουμε χρήση της συνάρτησης: Δ1) Κόστος Μεταβολής Πόρων (ΚΜΠ). Το ΚΜΠ είναι ανάλογο της συνολικής μεταβολής των πόρων στην μονάδα του χρόνου. Υπολογίζει όλες τις ενδιάμεσες μεταβολές των πόρων (πλην της αρχικής και της τελικής) και αποδίδει συγκεκριμένο κόστος σε κάθε μονάδα μεταβολής Μαθηματικό Μοντέλο Κατά τη μόρφωση του μοντέλου βελτιστοποίησης ενός προβλήματος η επιλογή των μεταβλητών προγραμματισμού, των κριτηρίων και των περιορισμών αποτελεί ίσως τη σημαντικότερη παρέμβαση του ερευνητή ή διαχειριστή του έργου. Ο προκύπτον τελικά βέλτιστος προγραμματισμός θα είναι πρωταρχικά το αποτέλεσμα των επιλογών αυτών στο αρχικό στάδιο της προσομοίωσης και κατά δεύτερο λόγο της υπολογιστικής διαδικασίας βελτιστοποίησης. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί θα οδηγήσουν στη βέλτιστη λύση, στην πραγματικότητα όμως ένα σημαντικό μέρος των αποφάσεων έχουν ήδη παρθεί κατά τη μόρφωση του μοντέλου, και επομένως αυτή η φάση καθορίζει κατά ένα ποσοστό τη βέλτιστη λύση στην οποία θα καταλήξουν οι υπολογισμοί. Η δόμηση του προτεινόμενου μοντέλου που περιλαμβάνει τις μεταβλητές σχεδιασμού, την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς, τις υποθέσεις, τα κριτήρια, τις παραδοχές και τον μηχανισμό επίλυσης/ αναζήτησης λύσεων, περιγράφεται στις παραγράφους που ακολουθούν. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί ότι τα χαρακτηριστικά της χρησιμοποιούμενης γλώσσας προγραμματισμού VBA (εντολές, τελεστές, αντικείμενα, κ.λπ.), επιτρέπει την εισαγωγή των χαρακτηριστικών και παραμέτρων του προτεινόμενου μοντέλου χωρίς απαραίτητα την χρήση αυστηρά μαθηματικών συναρτήσεων. Με άλλα λόγια, στο πλαίσιο της παρούσας δεν είναι αναγκαία η αναλυτική αυστηρά μαθηματική διατύπωση όλων των σχέσεων/ συναρτήσεων του προβλήματος (περιορισμοί, κριτήρια, κ.λπ.).

206 178 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Μεταβλητές σχεδιασμού Σε μια προσπάθεια μαθηματικής διατύπωσης του προβλήματος που εκφράστηκε με λογικές σχέσεις στην προηγούμενη ενότητα ( 7.2), αναφέρονται οι παρακάτω δείκτες, παράμετροι και σύνολα του σχεδιασμού, οι οποίοι περιλαμβάνονται στις συναρτήσεις που συνθέτουν την συνολική συνάρτηση κόστους του έργου f(c). Δείκτες και σύνολα d = Δείκτης για τον αριθμό των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες εκτελείται μία δραστηριότητα j = Δείκτης δραστηριότητας του έργου (j = 1, 2,, J) k = Δείκτης που προσδιορίζει τους πόρους που είναι διαθέσιμοι σε καθορισμένη ποσότητα σε κάθε χρονική περίοδο [δηλαδή, ανανεώσιμοι πόροι (k = 1, 2, K)] m = Δείκτης τρόπου εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας (δηλαδή, ο συνδυασμός των πόρων που διατίθενται για την εκτέλεση μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας) t = Δείκτης των χρονικών περιόδων (t = 1, 2, T) q Δείκτης των μονάδων υπέρβασης των διαθέσιμων πόρων (q = 0, 1, 2, Q) P = Σύνολο όλων των ζευγών σχέσεων αμέσως προηγούμενων δραστηριοτήτων (a, b) Ρ δηλώνει ότι η a είναι αμέσως προηγούμενη δραστηριότητα της δραστηριότητας b Τ = Συνολική διάρκεια του έργου C = Συνολικό κόστος του έργου Παράμετροι Crk = Δαπάνες (π.χ. ημερομίσθιο) του πόρου rk Cτ = Γενικές δαπάνες του έργου Cο = Δαπάνες που αντιστοιχούν στην υπέρβαση της διάρκειας του έργου από την κανονική διάρκεια του έργου, όπως αυτή καθορίζεται από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων (normal modes) χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. Tmin Η διάρκεια του έργου όπως προκύπτει από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων. VC rk = Δαπάνες που αντιστοιχούν στην μεταβολή του πόρου rk στην μονάδα του χρόνου RC rk = Δαπάνες που αντιστοιχούν στην υπέρβαση του πόρου rk djm = Διάρκεια της δραστηριότητας j αν εκτελεστεί με τον τρόπο m ESj = Ενωρίτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας j, καθορισμένος από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων

207 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 179 EFj = Ενωρίτερος χρόνος λήξης της δραστηριότητας j, καθορισμένος από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων LSj = Βραδύτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας j, καθορισμένος από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων LFj = Βραδύτερος χρόνος λήξης της δραστηριότητας j, καθορισμένος από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής της αρχικής λύσης που προσδιορίζεται από τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων χωρίς περιορισμούς στην διαθεσιμότητα των πόρων J = Αριθμός των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο Mj = Αριθμός τρόπων που συνδέονται με την δραστηριότητα j (m = 1, 2, Μj) Rkt = Ποσότητα πόρου k που είναι διαθέσιμη κατά την περίοδο t rjmk = Ανά περίοδο ποσότητα ανανεώσιμου πόρου k που απαιτείται για την εκτέλεση της δραστηριότητας j με τρόπο m t0 = Χρόνος έναρξης του έργου t0 = 0 T = Ημερομηνία ολοκλήρωσης του έργου Q = Οι συνολικές μονάδες υπέρβασης των διαθέσιμων πόρων Αντικειμενική Συνάρτηση Οι επιμέρους στόχοι της κατανομής των πόρων που περιγράφηκαν στην 7.2, άρα και οι αντίστοιχες συναρτήσεις που τους εκφράζουν, θεωρήθηκε ότι περιγράφουν πλήρως και ολοκληρωμένα τα χαρακτηριστικά του προβλήματος που εξετάζεται στο πλαίσιο της παρούσας. Κάθε μία συνάρτηση αντιστοιχεί σε επιμέρους στόχο του προβλήματος και όλες μαζί συνθέτουν τον κεντρικό στόχο της κατανομής των πόρων. Βασιζόμενοι στην τεχνική που αναλύθηκε στην που για την επίλυση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων, γίνεται χρήση μιας μοναδικής αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία προκύπτει ως το άθροισμα των επιμέρους αντικειμενικών συναρτήσεων (ενδεχόμενα με προσαρμοσμένα βάρη), προχωρήσαμε στον σχεδιασμό μίας συνολικής συνάρτησης κόστους f(c) με 5 όρους. Το μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως ακολούθως:

208 180 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Αντικειμενική συνάρτηση Ελαχιστοποίηση f(c) = ΑΚ + ΕΚ + ΚΥΧΡ + ΚΜΠ + ΚΥΠ (7.1) Όπου: ΑΚ το άμεσο κόστος του έργου (7.2) ΕΚ το έμμεσο κόστος του έργου (7.3) ΚΥΧΡ το κόστος υπέρβασης Για Τ > Τmin, (7.4) χρονοδιαγράμματος Για Τ Τmin, 0 ΚΜΠ το κόστος μεταβολής των (7.5) πόρων ΚΥΠ το κόστος υπέρβασης των (7.6) πόρων Για rkq > Rkt, Για rkq Rkt, 0 Με αυτό τον τρόπο διατύπωσης του προβλήματος, οι αντικρουόμενοι όροι (π.χ. ΑΚ και ΕΚ) αντισταθμίζονται μέσω κατάλληλων συντελεστών (που είναι οι τιμές για τα επιμέρους κόστη που προσδιορίζονται με βάση το ακριβές πρόβλημα) και το πρόβλημα μετατρέπεται σε βελτιστοποίηση ενός μοναδικού στόχου, όπως άλλωστε προκύπτει από την εξίσωση 7.1. Η παραπάνω διατύπωση προσομοιάζει στο μαθηματικό μοντέλο που περιγράφηκε στην 5.4.2, ωστόσο διαφοροποιείται στους επιμέρους όρους καθώς αναφέρεται σε διαφορετική κατηγορία προβλημάτων. Η διατύπωση του προβλήματος με την συγκεκριμένη μορφή είναι πειραματική και αποτελεί μία σημαντική παράμετρο καινοτομίας της προτεινόμενης μεθοδολογίας επίλυσης. Περαιτέρω έλεγχος της μαθηματικής διατύπωσης των επιμέρους συναρτήσεων κρίνεται επιβεβλημένος πριν ενδεχόμενη χρήση του μοντέλου καθώς στο πλαίσιο της παρούσας αξιοποιήθηκαν τα χαρακτηριστικά της γλώσσας προγραμματισμού VBA για την διατύπωση του προβλήματος ( 7.5). Από τα παραπάνω καθίσταται προφανές πως η αλγοριθμική προσέγγιση μέσω ενός αυστηρού μαθηματικού προγραμματισμού θα έπρεπε να περιλαμβάνει τεράστιο αριθμό μεταβλητών και μεγάλο αριθμό περιορισμών για να μπορέσει να λάβει υπόψη του όλους τους παραπάνω στόχους. Αντίθετα, ο προγραμματισμός με την χρήση της VBA και μέσω κατάλληλου κώδικα σε περιβάλλον MS Office

209 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 181 Excel 2007 για την δόμηση του μοντέλου βελτιστοποίησης, διαθέτει μια σειρά πλεονεκτημάτων ανάμεσα στα οποία και η αξιοποίηση των αντικειμένων και των τελεστών της VBA αλλά και των συναρτήσεων του MS Office Excel 2007 για την περιγραφή των στόχων του προβλήματος και των περιορισμών Περιορισμοί Η διαφορά μεταξύ των κριτηρίων και των περιορισμών έγκειται στο ότι ο μελετητής επιθυμεί να βελτιώσει τη τιμή ενός κριτηρίου ενώ δεν υπάρχει τέτοια δυνατότητα για τους περιορισμούς. Η παραπάνω μαθηματική διατύπωση του προβλήματος διαθέτει ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα και αυτό είναι το μικρό πλήθος των περιορισμών. Καθώς τα επιμέρους κριτήρια εισάγονται με την μορφή επιπλέον όρων κόστους στην συνολική συνάρτηση, οι περιορισμοί του προβλήματος περιλαμβάνουν: Περιορισμούς που προκύπτουν από τις σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες του έργου. Στον σχεδιασμό του μοντέλου περιλαμβάνονται οι γενικευμένες σχέσεις διαδοχής των δραστηριοτήτων, όπως αυτές περιγράφονται στην και στο σχήμα 9. Στις σχέσεις αυτές μπορεί να προστεθεί μια χρονική καθυστέρηση η οποία εκφράζεται ως μονάδες του χρόνου (π.χ. 2 ημέρες) για την συγκεκριμένη εφαρμογή. Αν και εξ ορισμού πιο σύνθετες, περιγράφουν με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τα δεδομένα των πραγματικών έργων και δεν απαντώνται συχνά στις προηγούμενες ερευνητικές προσεγγίσεις (για λόγους απλοποίησης, συνήθως επιλέγονται οι απλές σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες). Περιορισμούς που επιτρέπουν την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας μόνο με έναν τρόπο κάθε φορά. Κάθε λύση του αλγορίθμου αναφέρεται σε διαφορετικούς συνδυασμούς απαιτούμενης διάρκειας απαιτούμενων πόρων χρόνου έναρξης για τις επιμέρους δραστηριότητες του έργου. Περιορισμούς που σχετίζονται με τον χρόνο έναρξης του έργου. Θεωρούμε ότι τα έργα παραδείγματα που αναλύονται στη συνέχεια ξεκινούν την χρονικά στιγμή t = 0.

210 182 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Υποθέσεις & Παραδοχές Στην παρούσα ενότητα παρατίθενται οι βασικές έννοιες και παραδοχές αλλά και οι υποθέσεις εργασίας που αφορούν στον σχεδιασμό και την διαδικασία επίλυσης του προτεινόμενου μοντέλου. Οι παραδοχές είναι κατηγοριοποιημένες με βάση το κριτήριο στο οποίο αφορούν: ΥΠΟΘ 1. ΥΠΟΘ 2. ΥΠΟΘ 3. ΥΠΟΘ 4. ΥΠΟΘ 5. ΥΠΟΘ 6. ΥΠΟΘ 7. ΥΠΟΘ 8. Kάθε δραστηριότητα j = A, B,, J του έργου μπορεί να εκτελεστεί με Μ εναλλακτικούς τρόπους (modes), οι οποίοι συμβολίζονται με jm, όπου m = 1, 2,, M (βλ. 4.7). 18 Κάθε εναλλακτικός τρόπος εκτέλεσης της δραστηριότητας j = A, B,, J προσδιορίζεται από το ζεύγος τιμών (Djm, rjm), όπου: Djm, η διάρκεια της δραστηριότητας j που εκτελείται με τον τρόπο m rjm, οι απαιτούμενοι πόροι για την εκτέλεση της δραστηριότητας j με τον τρόπο m Κάθε συνδυασμός των πόρων που διατίθεται για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων που αποτελούν το έργο, συνθέτει ένα χρονοπρόγραμμα, αποτελεί, δηλαδή, μία λύση του προβλήματος. Ο τρόπος με τον οποίο καταναλώνει πόρους μία δραστηριότητα είναι ανάλογος του χρόνου. Με άλλα λόγια, οι πόροι που απαιτούνται για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας μειώνονται αναλογικά όσο αυξάνεται η διάρκεια της, έτσι ώστε ο απαιτούμενος αριθμός πορο-ημερών (π.χ. ανθρωποημερών) να παραμένει σταθερός. Μικρές τροποποιήσεις προς τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο στον αριθμό των πορο-ημερών επιτρέπονται από τον αλγόριθμο. Λόγω της υπόθεσης (4), το άμεσο κόστος για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας παραμένει σταθερό. Με άλλα λόγια, το άμεσο κόστος για τους διαφορετικούς τρόπους εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας υπολογίζεται στα ίδια ακριβώς επίπεδα (βλ. πίνακα 8 4.7). Η ονομαστική δυναμικότητα των πόρων ταυτίζεται με την πραγματική τους δυναμικότητα (βλ. 4.7). Η ποσότητα του παραγόμενου έργου είναι ίδια για όλους τους πόρους (εργάτες, μηχανήματα, κ.λπ.) στη μονάδα του χρόνου. Με άλλα λόγια, όλοι οι πόροι κάθε κατηγορίας/ κάθε τύπου και όλες οι κατηγορίες/ τύποι πόρων έχουν την ίδια παραγωγικότητα (productivity) (βλ. 4.8). Η εκτέλεση μίας δραστηριότητας απαιτεί τη χρήση του πόρου σε σταθερό ποσοστό. (π.χ. για την δραστηριότητα Α απαιτούνται 5 εργάτες σε κάθε μία ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΡΟΠΟΙ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΟΡΟΙ 18 Στην επίλυση παραδειγμάτων για την αξιολόγηση του αλγορίθμου ( 6.6), εξετάζονται και εξαιρέσεις (δηλαδή έργα των οποίων οι δραστηριότητες εκτελούνται κατά μόνο έναν τρόπο). Αποτελεί τμήμα του ελέγχου της αποτελεσματικότητας της προτεινόμενης μεθοδολογίας βελτιστοποίησης. Σε κάθε περίπτωση διευκρινίζεται σαφώς η δυνατότητα (ή μη) εναλλακτικών τρόπων εκτέλεσης.

211 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 183 από τις 4 ημέρες που διαρκεί). ΥΠΟΘ 9. Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. ΥΠΟΘ 10. Μπορούν να απαιτηθούν έως 3 τύποι πόρων για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας 7.4. Γενετικός Αλγόριθμος Επίλυσης Για την επίλυση του προβλήματος αναπτύχθηκαν δύο (2) διαφορετικοί τρόποι/ μηχανισμοί επίλυσης: ένας αναλυτικός/ ακριβής αλγόριθμος αναζήτησης 3 σταδίων και ένας ΓΑ αναζήτησης με χαρακτηριστικά ελιτισμού. Δοκιμάστηκαν διαφορετικές τιμές παραμέτρων και στις δύο περιπτώσεις και πραγματοποιήθηκε έλεγχος βήμα βήμα με την επίλυση απλών παραδειγμάτων έργων από την βιβλιογραφία. Ο αναλυτικός αλγόριθμος αναζητούσε την βέλτιστη λύση με την μέθοδο των συζυγών κλίσεων και στην βέλτιστη λύση εφάρμοζε την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων εντός ορίων που ρυθμίζονταν κάθε φορά από τον χρήστη. Ήδη από τις αρχικές δοκιμές προβλημάτων κατανομής σε μικρά έργα δεν απέδιδε καλά αποτελέσματα καθώς συνήθως παγιδευόταν σε τοπικό ελάχιστο που απείχε διακριτά από την βέλτιστη λύση. Επίσης, η εξαγωγή του αποτελέσματος γινόταν αρκετά αργά αφού ο αλγόριθμος ήταν εξ ορισμού σχεδιασμένος να εξετάσει το σύνολο των λύσεων, δηλαδή λύσεις όπου Ν είναι το σύνολο των διεργασιών και Μ το σύνολο των πόρων και Dj η διάρκεια κάθε διεργασίας. Ο ΓΑ, αντίθετα, ήδη από τις αρχικές δοκιμές συμπεριφερόταν με καλύτερο τρόπο δίνοντας λύσεις καλύτερες από αυτές του αναλυτικού (σε σχέση με την αντικειμενική συνάρτηση κόστους) και σε πιο σύντομο χρόνο. Μετά από πλήθος δοκιμών και ελέγχων, η λειτουργία του προτεινόμενου γενετικού αλγόριθμου έχει ως εξής: Ως μεταβλητή/ γενετικός κώδικας για την συνέχεια της ανάλυσης ορίζεται ο συνδυασμός των εναλλακτικών πόρων στις δραστηριότητες που συνθέτουν το έργο και ο χρόνος έναρξης κάθε δραστηριότητας. Με βάση τους πόρους που φορτώνονται σε κάθε δραστηριότητα, υπολογίζεται η διάρκειά της (εξαρτημένη μεταβλητή) έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός των πορο-ημερών να παραμένει σταθερός. Μεταβλητή Γενετικός κώδικας

212 184 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Το εύρος διακύμανσης των τιμών που παίρνουν οι πόροι κάθε δραστηριότητας προσδιορίζεται ξεχωριστά για κάθε κατηγορία πόρου (π.χ. ξεχωριστά για τους εργάτες και ξεχωριστά για τα μηχανήματα) και αποτελεί δυναμική παράμετρο του αλγορίθμου. Ρυθμίζεται κάθε φορά με βάση το πρόβλημα. Κατά συνέπεια, για τις 3 διαφορετικές κατηγορίες πόρων που προβλέπει το μοντέλο, δίνεται ένα εύρος τιμών (κάτω και άνω όριο) για κάθε κατηγορία. Το εύρος τιμών που αποδίδεται σε κάθε πρόβλημα προκύπτει με βάση τον κανονικό τρόπο εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και το όριο που προσδιορίζεται από την διαθεσιμότητα των πόρων. Παράμετρος 1 εύρος διακύμανσης τιμών πόρων Το περιθώριο μετακίνησης του χρόνου έναρξης κάθε δραστηριότητας (float ή lag) προσδιορίζεται συνολικά για το πρόβλημα ως ποσοστό (π.χ. 50% ή 100% της διάρκειας κάθε δραστηριότητας) και αποτελεί δυναμική παράμετρο του αλγορίθμου. Ρυθμίζεται κάθε φορά με βάση το πρόβλημα. Παράμετρος 2 περιθώριο μετακίνησης δραστηριοτήτων Αρχικά, ο ΓΑ παράγει πολλαπλά αντίγραφα της μεταβλητής/ γενετικού κώδικα, με τυχαίες τιμές εντός του εύρους διακύμανσης, δημιουργώντας έναν πληθυσμό λύσεων. Με άλλα λόγια, δημιουργείται με τυχαίο τρόπο ένα σύνολο Π από υποψήφιες λύσεις του προβλήματος. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το αρχικό αυτό σύνολο απαρτίζεται από λύσεις οι οποίες είναι ως επί το πλείστον μη αποδεκτές (π.χ. δεν είναι έγκυρες, δεν είναι βέλτιστες, κ.λπ.). Έστω Ν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Π. Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Π επίσης αποτελεί δυναμική παράμετρο του προβλήματος. Συνήθως λαμβάνει τιμή από 10 έως και 50 φορές μεγαλύτερη από τον αριθμό των δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο, ανάλογα με τα ζητούμενα και τις λοιπές παραμέτρους του προβλήματος. Παράμετρος 3 πλήθος στοιχείων του συνόλου Π ή, διαφορετικά, αριθμός γονέων Οι λύσεις βαθμολογούνται από την συνάρτηση καταλληλότητας (ΣΚ), δηλαδή την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος, την συνολική συνάρτηση κόστους (7.1). Από την βαθμολόγηση προκύπτει ταξινόμηση των γονέων με βάση την ΣΚ. Στη συνέχεια, κάθε γονέας από τον αρχικό πληθυσμό λαμβάνει μια τυχαία μετάλλαξη και σχηματίζει Ν νέες λύσεις, τους απογόνους (offsprings). Οι απόγονοι επίσης βαθμολογούνται από την ΣΚ και αν είναι καλύτερες λύσεις (δηλ. οδηγούν σε μικρότερο κόστος της ΣΚ) από τους γονείς αντικαθιστούν την θέση των γονέων. Διαφορετικά απορρίπτονται και παραμένουν οι γονείς (στοιχεία του αρχικού πληθυσμού Π), ως καλύτερες λύσεις. Το γεγονός αυτό συνιστά στοιχείο ελιτισμού του αλγορίθμου. Ο νέος πληθυσμός Π αποτελείται από το σύνολο των απογόνων που προκρίθηκαν και τους καλύτερους γονείς και αποτελεί σίγουρα βελτίωση του προηγούμενου πληθυσμού. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τον νέο πληθυσμό Π. Ο πληθυσμός εξελίσσεται μέσα από τις επαναλήψεις του αλγορίθμου, οι οποίες καλούνται γενιές.

213 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ 185 Επαναλαμβάνοντας αυτή την διαδικασία για πολλές γενιές, οι τυχαίες μεταλλάξεις σε συνδυασμό με την επιβίωση και αναπαραγωγή των γονιδίων/ λύσεων που πλησιάζουν καλύτερα το επιθυμητό αποτέλεσμα θα παράγουν ένα γονίδιο/ λύση που θα περιέχει τις τιμές για τις παραμέτρους που ικανοποιούν όσο καλύτερα γίνεται την ΣΚ. Ο αριθμός των γενεών αποτελεί επίσης δυναμική παράμετρο του μοντέλου. Ρυθμίζεται κάθε φορά με βάση το πρόβλημα. Παράμετρος 4 αριθμός γενεών Οι συνθήκες τερματισμού είναι η επανάληψη του αλγορίθμου για όλες τις γενιές ή η σύγκλιση όλων των λύσεων σε μια. Συνθήκες τερματισμού Η πιθανότητα μετάλλαξης είναι δυναμική παράμετρος του μοντέλου και ρυθμίζεται με βάση το πρόβλημα. Ο τελεστής επιλογής που χρησιμοποιείται είναι πιθανοτικός: από τα δεδομένα του προβλήματος ορίζεται για τα χαρακτηριστικά της λύσης (αριθμός πόρων και χρόνος έναρξης κάθε δραστηριότητας) μία πιθανότητα μετάλλαξης (έστω p=0,05). Για κάθε χαρακτηριστικό της λύσης παράγεται ένας αριθμός από το 0-1. Δηλαδή, αντιστοιχίζεται ένας αριθμός σε κάθε χαρακτηριστικό. Αν ο αριθμός που παράγεται είναι μικρότερος του p τότε γίνεται μετάλλαξη, δηλαδή αλλάζει το συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Αν όχι, το χαρακτηριστικό παραμένει στην αρχική του μορφή. Παράμετρος 5 πιθανότητα μετάλλαξης

214 186 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Σχήμα 53. Διάγραμμα ροής προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης για τα προβλήματα κατανομής πόρων στα τεχνικά έργα Πηγή: Ιδία Επεξεργασία

215 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ Γλώσσα Προγραμματισμού Το προτεινόμενο μοντέλο αποτελεί εφαρμογή Τεχνητής Νοημοσύνης με χρήση ελιτίστικου ΓΑ. Ο προγραμματισμός έγινε με χρήση Visual BASIC for Applications σε περιβάλλον MS Office Excel Η γλώσσα προγραμματισμού Visual BASIC (VB) αποτελεί την πρώτη και πλέον διαδεδομένη υλοποίηση αντικειμενοστραφούς γλώσσας προγραμματισμού σε περιβάλλον MS Windows. Η VB είναι μία εξαιρετικά πλούσια γλώσσα και περιέχει κάποια χαρακτηριστικά από την γλώσσα C (γλώσσα υψηλού επιπέδου για προγραμματισμό συστημάτων). Ενδείκνυται για την έκφραση μαθηματικών τύπων και τον χειρισμό συμβολοσειρών. Το όνομα της προέρχεται από το Visual (Οπτική) Beginners All Purpose Symbolic Instruction Code (BASIC). Πρόκειται για μία γλώσσα προγραμματισμού τρίτης γενιάς, οδηγούμενη από συμβάντα (event driven) και έχει ολοκληρωμένο περιβάλλον ανάπτυξης (IDE) Microsoft για το μοντέλο προγραμματισμού COM. Το ολοκληρωμένο περιβάλλον ανάπτυξης λογισμικού που την συνοδεύει και επιτρέπει την γραφική (οπτική, visual) σύνθεση των διάφορων στοιχείων που αποτελούν το μέσο επικοινωνίας με τον χρήστη του τελικού προγράμματος, (παράθυρα, μενού, κουμπιά, κ.λπ.) είναι ο βασικός παράγοντας διαφοροποίησής της από τις άλλες γλώσσες προγραμματισμού. H VBA ξεκίνησε σαν αντικαταστάτης των μακροεντολών στο πακέτο MS Office και σήμερα διαδίδεται με ταχύτητα σαν τυποποιημένο εργαλείο σύνταξης πρόσθετων εντολών και διαδικασιών (scripts) σε μεγάλα πακέτα λογισμικού όπως είναι το Autocad, Arc Info, κ.λπ. Όπως κάθε άλλη γλώσσα προγραμματισμού, η VB περιλαμβάνει εντολές για την επεξεργασία των δεδομένων. Επιπλέον, περιλαμβάνει και αντικείμενα. Πρόκειται για στοιχεία του περιβάλλοντος των Windows όπως παράθυρα, μενού, κουμπιά, κ.λπ. Οι εντολές περιλαμβάνουν δηλώσεις και εκτελέσιμες εντολές. Οι δηλώσεις προσδιορίζουν τις παραμέτρους και τα χαρακτηριστικά του προγράμματος. Οι εκτελέσιμες εντολές εφαρμόζουν λογικές ή μαθηματικές πράξεις στα δεδομένα με την βοήθεια τελεστών και ειδικών συναρτήσεων ή ρυθμίζουν την ροή του όλου προγράμματος, την εισαγωγή των δεδομένων και την εξαγωγή των αποτελεσμάτων. Για τον προγραμματισμό του μοντέλου απαιτήθηκε πλήθος δοκιμών και ελέγχων. Ο κώδικας προγραμματισμού του προτεινόμενου μοντέλου παρουσιάζεται στο Παράρτημα της παρούσας. Στην τελική του μορφή, προέκυψε ένα Microsoft Excel αρχείο με φύλλα data και results. Τα δεδομένα και οι παράμετροι κάθε προβλήματος εισέρχονται στους κατάλληλα διαμορφωμένους πίνακες του φύλλου Data με πληκτρολόγηση, ενώ τα αποτελέσματα εξάγονται αυτόματα στο φύλλο Results. Κάθε λύση προσδιορίζεται από την διάρκεια, τους απαιτούμενους πόρους και τον χρόνο

216 188 ΚΕΦ.7/ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΟΡΩΝ/ έναρξης κάθε δραστηριότητας. Στα αποτελέσματα προκύπτουν επίσης οι επιμέρους όροι κόστους κάθε λύσης, το συνολικό κόστος, ο αριθμός της γενιάς και ο αριθμός του απογόνου που έδωσαν την λύση. Τα δύο τελευταία στοιχεία αποτελούν κριτήριο ελέγχου για το αν η βελτιστοποίηση ενός προβλήματος απαιτεί μεγαλύτερο πλήθος γενεών, δηλαδή επαναλήψεων. Αν για παράδειγμα σε πρόβλημα για το οποίο έχουμε ορίσει 300 γενιές προκύψει η βέλτιστη λύση στην γενιά 298, τότε εκτιμάται ότι απαιτείται η επανάληψη της αναζήτησης για μεγαλύτερο αριθμό γενεών, ΦΟΡΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΦΟΡΜΑ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

217 Κεφάλαιο Εφαρμογή και Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας

218

219 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 8. Εφαρμογή και Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας 8.1. Ανάλυση Ευαισθησίας Κριτηρίων Παράδειγμα 8.1 Τα προβλήματα με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις προσφέρουν τη δυνατότητα εφαρμογής ενός είδους ανάλυσης ευαισθησίας για τα επιλεγμένα κριτήρια. Με το απλό παράδειγμα που ακολουθεί επιχειρείται ακριβώς αυτή η δοκιμή των κριτηρίων του μοντέλου. Στο παρακάτω έργο (Παράδειγμα 8.1) έχουμε 3 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 24. Παράδειγμα 8.1 (3 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστηρ ιότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωπ οημέρες Ενωρίτερη Βραδύτερη έναρξη λήξη έναρξη λήξη j dj rj dj x rj ES EF LS LF Α Β Α Γ Α ΣΥΝΟΛΟ 35 Σχήμα 54. Παράδειγμα 8.1 Κομβικό δικτυωτό γράφημα Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-B και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 7 ημέρες. Για τον έλεγχο του μοντέλου αξιολογούμε τα αποτελέσματα εφαρμογής για διαφορετικές τιμές των κριτηρίων. Στην αρχική αξιολόγηση του μοντέλου κάνουμε

220 192 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ χρήση ακραίων (πολύ υψηλών) τιμών στα κριτήρια που μας ενδιαφέρουν κάθε φορά, μηδενίζοντας τους υπόλοιπους όρους. Οι τιμές των κριτηρίων που ορίζονται για τον έλεγχο του προτεινόμενου μοντέλου παρουσιάζονται στους πίνακες που ακολουθούν, ενώ κάθε συνδυασμός τιμών αποκαλείται Περίπτωση Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων προσδιορίζει τον σημαντικότερο στόχο επίλυσης του προβλήματος κατανομής. Για τον λόγο αυτό δίνουμε στο ΚΥΠ μία μεγάλη τιμή. Ο όρος κόστους για την διάρκεια του έργου (ΚΥΧΡ) συμμετέχει με διακριτά χαμηλότερη τιμή. Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με μηδενικές τιμές. Πίνακας 25. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 0 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 0 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης 100 Τmin = 7 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα, αν απαιτούνται 3 πόροι για να εκτελεστεί κανονικά η δραστηριότητα Α, επιτρέπουμε εύρος τιμών από 1 έως 6 για τους πόρους της δραστηριότητας Α. Αναλυτικά το εύρος διακύμανσης των πόρων παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 26. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Με βάση τις παραπάνω τιμές επιδιώκουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 4 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός

221 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 193 διαθεσιμότητας πόρων), (γ) περιορισμένη χρονική διάρκεια έργου (καθώς το ΚΥΧΡ «συγκρατεί» τις λύσεις ως προς το συγκεκριμένο χαρακτηριστικό). Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα και συγκεκριμένα: Πίνακας 27. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj1 djβ rjβ S F Α Β Α Γ Α Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση, όπως αυτή προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Γράφημα 25. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Γράφημα 26. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει κατά 2 ημέρες την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Αυτός είναι και ο μόνο παράγοντας μη μηδενικού κόστους (ΚΥΧΡ) στην παραπάνω λύση σύμφωνα με τις τιμές κριτηρίων του πίνακα 25, ΚΥΧΡ = 2 ημέρες x 100 / ημέρα = 200. Το γεγονός αυτό ερμηνεύεται από το ότι το ΚΥΧΡ συμμετέχει στην συνάρτηση κόστους με χαμηλότερο ειδικό βάρος συγκριτικά με το ΚΥΠ. Ο μέγιστος δυνατός βαθμός χρήσης πόρων (η μέση χρήση ισούται με την μέγιστη χρήση) και η μηδενική τυπική απόκλιση (μηδενικές μεταβολές στην χρήση πόρων) οδηγούν σε ένα απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων. Ταυτόχρονα ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί διαδοχής των δραστηριοτήτων. Τα παραπάνω αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη λύση είναι η βέλτιστη και αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης του μοντέλου.

222 194 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 28. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0 ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 200 ΣΥΝΟΛΟ f(c) 200 Διάρκεια έργου 9 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 36 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 1,0 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,0 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 40 γενιές και 40 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Οι ίδιες τιμές ισχύουν για όλες τις περιπτώσεις του πρώτου παραδείγματος της Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση 2 Αν αυξήσουμε το ΚΥΧΡ από 100 σε διατηρώντας τα επίπεδα τιμών στους υπόλοιπους όρους ίδια με αυτά της Περίπτωσης 1, ενισχύουμε το ειδικό του βάρος του όρου που αναφέρεται στην διάρκεια του έργου (διευκρίνιση: δεν το δεκαπλασιάζουμε καθώς κάθε όρος κόστους συμμετέχει με διαφορετικό τρόπο στο μοντέλο). Πίνακας 29. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 0 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 0 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 7 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα, αν απαιτούνται 3 πόροι για να εκτελεστεί κανονικά η δραστηριότητα Α, επιτρέπουμε εύρος τιμών από 1 έως 6 για τους πόρους της δραστηριότητας Α. Συγκεκριμένα:

223 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 195 Πίνακας 30. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Με τις παραπάνω τιμές επιδιώκουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που ενδεχόμενα υπερβαίνει τους 4 εργάτες ανά ημέρα για πολύ μικρό αριθμό επιπλέον μονάδων, (γ) μικρότερη χρονική διάρκεια έργου σε σχέση με την Περίπτωση 1 (δηλαδή Τ < 9 ημέρες). Ωστόσο, θα πρέπει να τονιστεί ότι υπάρχει σαφής πιθανότητα η διάρκεια του έργου να μην μειωθεί αν η τιμή του ΚΥΧΡ δεν είναι ικανή (αρκετά μεγάλη) για να μπορέσει ο συγκεκριμένος όρος να ξεπεράσει την επιβάρυνση του κόστους από την υπέρβαση των πόρων (ΚΥΠ). Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει: Πίνακας 31. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj1 djβ rjβ S F Α Β Α Γ Α Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση, όπως αυτή προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Γράφημα 27. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 28. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2)

224 196 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει κατά 2 ημέρες την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Αυτός είναι και ο μόνο παράγοντας μη μηδενικού κόστους (ΚΥΧΡ) στην παραπάνω λύση σύμφωνα με τις τιμές κριτηρίων του πίνακα 29, ΚΥΧΡ = 2 ημέρες x / ημέρα = Το γεγονός αυτό ερμηνεύεται από το ότι το ΚΥΧΡ συμμετέχει ακόμα στην συνάρτηση κόστους με χαμηλότερο ειδικό βάρος συγκριτικά με το ΚΥΠ. Με άλλα λόγια, το ΚΥΠ συγκρατεί τις λύσεις να μην ξεπεράσουν το R 4, λειτουργεί δηλαδή, με τα χαρακτηριστικά ενός αυστηρότερου κριτηρίου σε σχέση με το ΚΥΧΡ. Με άλλα λόγια, η αύξηση της τιμής του όρου ΚΥΧΡ δεν είναι ικανή να αλλάξει τις συσχετίσεις του μοντέλου. Ο μέγιστος δυνατός βαθμός χρήσης πόρων (η μέση χρήση ισούται με την μέγιστη χρήση) και η μηδενική τυπική απόκλιση (μηδενικές μεταβολές στην χρήση πόρων) οδηγούν σε ένα απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων. Ταυτόχρονα ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί διαδοχής των δραστηριοτήτων. Τα παραπάνω αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη λύση είναι η βέλτιστη και αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης του μοντέλου. Πίνακας 32. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0 ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 9 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 36 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 1,0 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,0

225 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση 3 Στην περίπτωση 3 επιθυμούμε την αλλαγή των συσχετίσεων του μοντέλου με το ΚΥΧΡ να συμμετέχει με μεγαλύτερο ειδικό βάρος. Συγκεκριμένα: αν αυξήσουμε το ΚΥΧΡ από σε διατηρώντας τους υπόλοιπους όρους στα επίπεδα τιμών της Περίπτωσης 2, ενισχύουμε περαιτέρω το ειδικό βάρος του συγκεκριμένου όρου στην συνολική συνάρτηση κόστους. Πίνακας 33. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 0 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 0 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 7 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 34. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Με τις παραπάνω τιμές αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που ενδεχόμενα υπερβαίνει τους 4 εργάτες ανά ημέρα για μικρό αριθμό επιπλέον μονάδων, (γ) μικρότερη χρονική διάρκεια έργου σε σχέση με τις Περιπτώσεις 1 και 2 (δηλαδή Τ < 9 ημέρες), (δ) ανομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων με διακριτές μεταβολές/ αιχμές. Ωστόσο, θα πρέπει να τονιστεί ότι υπάρχει σαφής πιθανότητα η διάρκεια του έργου να μην μειωθεί αν η τιμή του ΚΥΧΡ δεν είναι ικανή (αρκετά μεγάλη) για να μπορέσει ο συγκεκριμένος όρος να ξεπεράσει την επιβάρυνση του κόστους από την υπέρβαση των πόρων (ΚΥΠ). Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν 2 διαφορετικές λύσεις με κοινά χαρακτηριστικά, την ίδια τιμή αντικειμενικής συνάρτησης (8.000 ) και την ίδια διάρκεια έργου (7 ημέρες).

226 198 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 35. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj1 djβ rjβ S F Α Β Α Γ Α Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 2 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj1 djβ rjβ S F Α Β Α Γ Α Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τις παραπάνω λύσεις. Βέλτιστη λύση 1 Γράφημα 29. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ1) Γράφημα 30. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ1) Βέλτιστη λύση 2 Γράφημα 31. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ2) Γράφημα 32. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3-ΒΛΓΑ2)

227 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 199 Στις προτεινόμενες λύσεις, η διάρκεια του έργου δεν υπερβαίνει την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Το γεγονός αυτό ερμηνεύεται από το ότι το ΚΥΠ συμμετέχει πλέον στην συνάρτηση κόστους με χαμηλότερο ειδικό βάρος συγκριτικά με το ΚΥΧΡ. Το ΚΥΧΡ συγκρατεί τις λύσεις να μην ξεπεράσουν το T = 7 και λειτουργεί πλέον με τα χαρακτηριστικά ενός αυστηρότερου κριτηρίου σε σχέση με το ΚΥΠ. Με άλλα λόγια, κάθε φορά ικανοποιείται το κριτήριο στο οποίο αποδίδουμε μεγαλύτερο ειδικό βάρος μέσω των τιμών του. Η κατανομή των πόρων ξεπερνά τα όρια διαθεσιμότητας για 2 ημέρες στην Βέλτιστη λύση 1 και για 4 ημέρες στην Βέλτιστη λύση 2. Το ΚΥΠ προσθέτει ένα σταθερό κόστος στην ΑΣ για κάθε μονάδα υπέρβασης (π.χ. μεγάλη δέσμευση της τιμής από την ποσότητα για την απόκτηση του εναλλακτικού πόρου). Δηλαδή αν διαπιστωθεί υπέρβαση των πόρων για μία μονάδα συμμετέχει διαφορετικά από το αν διαπιστωθεί υπέρβαση των πόρων για δέκα μονάδες. Πίνακας 36. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη λύση 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0 ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση 2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,64 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,95 ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0 ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 7 ημέρες 36 ανθρωποημέρες 5,14 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,86 7 ημέρες Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,07 36 ανθρωποημέρες 5,14 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες

228 200 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Από τα παραπάνω προκύπτει ως μη μηδενικός όρος στην συνάρτηση κόστους μόνο το ΚΥΠ το οποίο ισούται με: Βέλτιστη λύση 1: (8-4) μονάδες υπέρβασης x 2 ημέρες x / μονάδα= Βέλτιστη λύση 2: (6-4) μονάδες υπέρβασης x 4 ημέρες x / μονάδα= Από τις 2 λύσεις, η Βέλτιστη λύση 2 έχει υψηλότερο βαθμό χρήσης πόρων και μικρότερη τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων. Άρα, συνολικά αξιολογείται ως καταλληλότερη. Αν είχε προστεθεί το ΚΜΠ (με ικανή τιμή) ως όρος κόστους στην συνολική συνάρτηση (δηλαδή, αποδίδαμε στο ΚΜΠ μη μηδενική τιμή), τότε για την Βέλτιστη λύση 2 ο συγκεκριμένος όρος κόστους θα ήταν χαμηλότερος από τον αντίστοιχο για την Βέλτιστη λύση Παράδειγμα 8.1 Περίπτωση 4 Αν στις τιμές όπως διαμορφώθηκαν στην Περίπτωση 3, προσθέσουμε το ΚΜΠ με μία σχετικά μικρή τιμή, τότε τα δεδομένα του προβλήματος διαφοροποιούνται. Πίνακας 37. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 0 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 0 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 150 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης Τmin = 7 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων και σε αυτή την περίπτωση ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 38. Παράδειγμα 8.1 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που ενδεχόμενα υπερβαίνει τους 4 εργάτες ανά ημέρα (για μικρό αριθμό επιπλέον μονάδων), (γ) χρονική διάρκεια που δεν ξεπερνά τις 7 ημέρες, (δ)

229 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 201 εξομάλυνση του διαγράμματος κατανομής πόρων σε σχέση με την Περίπτωση 3. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα και συγκεκριμένα: Πίνακας 39. Παράδειγμα 8.1 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj1 djβ rjβ S F Α Β Α Γ Α Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση όπως αυτή προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Γράφημα 33. Παράδειγμα 8.1 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Γράφημα 34. Παράδειγμα 8.1 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Η διάρκεια του έργου στην Περίπτωση 4, όπως ακριβώς και στην Περίπτωση 3, δεν υπερβαίνει την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Η υπέρβαση των πόρων προσδιορίζεται στις 2 μονάδες ανά ημέρα για 4 ημέρες, ενώ το διάγραμμα κατανομής έχει καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας δεδομένων των περιορισμών (που εκφράζονται μέσα από τις τιμές των κριτηρίων). Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτει από το ΚΥΠ (4 ημέρες x 2 μονάδες/ ημέρα x / μονάδα υπέρβασης = ) και το ΚΜΠ (2 μονάδες x 150 / μονάδα μεταβολής = 300 ).

230 202 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 40. Παράδειγμα 8.1 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0 ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 300 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 7 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 36 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 5,14 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 8 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,64 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,95 Για τους λοιπούς όρους κόστους της αντικειμενικής συνάρτησης ισχύουν: Το άμεσο κόστος του έργου παραμένει σταθερό δεδομένου ότι ο συνολικός αριθμός πορο ημερών για τις επιμέρους δραστηριότητες δεν μεταβάλλεται (αποτελεί βασική παραδοχή της μεθοδολογίας, βλ ). Κατά συνέπεια, οι τιμές αυτού του όρου, δεν επηρεάζουν την κατανομή των πόρων ούτε τους συσχετισμούς του μοντέλου. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε τιμή ημερομισθίου. Το έμμεσο κόστος του έργου αυξάνεται όσο αυξάνει η διάρκεια. Διαδραματίζει ρόλο «συγκράτησης» της διάρκειας του έργου στις προτεινόμενες λύσεις αντίστοιχο με το κόστος Υπέρβασης Χρονοδιαγράμματος (ΚΥΧΡ). Με άλλα λόγια, η «συμπεριφορά» του στον αλγόριθμο προσομοιάζει με την συμπεριφορά του ΚΥΧΡ Παράδειγμα 8.1 Συγκριτική Επισκόπηση Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται συγκεντρωμένα τα δεδομένα αλλά και τα αποτελέσματα των διαφορετικών Περιπτώσεων του παραδείγματος 8.1. Ο πίνακας εξυπηρετεί στην συγκριτική επισκόπηση και την παρακολούθηση της εξέλιξης των αποτελεσμάτων για τις διαφορετικές τιμές κριτηρίων.

231 Πίνακας 41. Παράδειγμα 8.1 (3 δραστηριότητες) Συγκριτική επισκόπηση δεδομένων, παραμέτρων και αποτελεσμάτων Παράδειγμα 8.1 Συγκριτικά ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΑΛΛ. ΤΡΟΠΟΙ ΕΚΤΕΛ. ΓΑ Rt 19 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΡΓΟΥ ΤΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΥΝΟΛ. ΚΟΣΤΟΣ ( ) Γ-Α 20 LT 21 CPM ΒΛΓΑ 22 ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ Π1-ΒΛΓΑ1 ΝΑΙ % ,0 0,0 Π2-ΒΛΓΑ1 ΝΑΙ % ,0 0,0 Π3-ΒΛΓΑ1 ΝΑΙ % ,64 1,95 Π3-ΒΛΓΑ2 ΝΑΙ % ,86 1,07 Π4-ΒΛΓΑ1 ΝΑΙ % ,64 1,95 ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ ΤΕΤΡΑΓ. ΑΠΟΚΛ. 19 Όριο διαθεσιμότητας των πόρων. 20 Αναφέρεται στην παραμετροποίηση του ΓΑ και αφορά στον αριθμό γενεών (Γ) και απογόνων (Α). 21 Αναφέρεται στην παραμετροποίηση του ΓΑ και αφορά στην χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων (Limit Time LT): Επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 100% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM. Για παράδειγμα, αν μία δραστηριότητα έχει διάρκεια 5 και EF = 8 (άρα ES = 3) μπορεί να μετακινηθεί έως και το σημείο που προσδιορίζεται από S = 8 και F = Βέλτιστη Λύση Γενετικού Αλγορίθμου (ΒΛΓΑ).

232

233 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.2 Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ένα παράδειγμα απλού έργου (Παράδειγμα 8.2) με 5 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 42. Παράδειγμα 8.2 (5 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστηρ ιότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωπο ημέρες Ενωρίτερη Βραδύτερη έναρξη λήξη έναρξη λήξη j dj rj dj x rj ES EF LS LF Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ ΣΥΝΟΛΟ 59 Σχήμα 55. Παράδειγμα 8.2 Κομβικό δικτυωτό γράφημα Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-Δ και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 11 ημέρες. Για τον έλεγχο του μοντέλου αξιολογούμε τα αποτελέσματα εφαρμογής για διαφορετικές τιμές των κριτηρίων. Στην αρχική αξιολόγηση του μοντέλου κάνουμε χρήση ακραίων (πολύ υψηλών) τιμών στα κριτήρια που μας ενδιαφέρουν κάθε φορά, μηδενίζοντας τους υπόλοιπους όρους. Οι τιμές των κριτηρίων που ορίζονται για τον έλεγχο του προτεινόμενου μοντέλου παρουσιάζονται στους πίνακες που ακολουθούν, ενώ κάθε συνδυασμός τιμών αποκαλείται Περίπτωση, όπως ακριβώς και στην ενότητα 8.1.

234 206 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων (περιορισμένοι πόροι) αποτελεί τον μοναδικό στόχο του συγκεκριμένου προβλήματος βελτιστοποίησης. Για τον λόγο αυτό δίνουμε στο ΚΥΠ μία μεγάλη τιμή. Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με αμελητέες ή μηδενικές τιμές. Πίνακας 43. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 5 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης 0 Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 44. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (με μεγαλύτερες διάρκειες δραστηριοτήτων όπου απαιτείται), (β) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 5 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (γ) ανομοιόμορφη κατανομή πόρων με διακριτές μεταβολές. Όπως προκύπτει και από τον πίνακα 43, δεν τίθεται όρος κόστους για την συγκράτηση της χρονικής διάρκειας του έργου αλλά ούτε και όρους κόστους για την εξομάλυνση των πόρων. Από την εφαρμογή του αλγορίθμου προκύπτει:

235 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 207 Πίνακας 45. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 35. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Γράφημα 36. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Πίνακας 46. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 13 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,54 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 5 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,91 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,66 Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει κατά 2 ημέρες την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Το γεγονός αυτό ερμηνεύεται από το ότι το ΚΥΧΡ δεν συμμετέχει στην συνάρτηση

236 208 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ κόστους (διαθέτει μηδενική τιμή). Ωστόσο το ΕΚ διαδραματίζει έναν μικρό ρόλο συγκράτησης της χρονικής διάρκειας του έργου. Η μεγαλύτερη μεταβολή στην χρήση πόρων, παρατηρείται ανάμεσα στο t = 6, t = 7 και t = 7, t = 8 και είναι 2 μονάδες. Το ΚΜΠ επίσης δεν συμμετέχει στην συνάρτηση κόστους (διαθέτει μηδενική τιμή). Συμπληρωματικά με τα ευρήματα που προηγήθηκαν, ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης του μοντέλου. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 2 Στην Περίπτωση 2 καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διάρκειας του έργου αποτελεί τον μοναδικό στόχο του συγκεκριμένου προβλήματος βελτιστοποίησης. Για τον λόγο αυτό δίνουμε στο ΚΥΧΡ μία μεγάλη τιμή. Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με αμελητέες ή μηδενικές τιμές. Πίνακας 47. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 11 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 48. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

237 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 209 Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων με κατά κανόνα συντομότερες διάρκειες για όλες τις δραστηριότητες, (β) χρονική διάρκεια του έργου που δεν ξεπερνά τις 11 ημέρες (διάρκεια του έργου με βάση την CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων), (γ) ανομοιόμορφη κατανομή πόρων με διακριτές μεταβολές/ αιχμές. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα και συγκεκριμένα: 4 διαφορετικές λύσεις με κοινά χαρακτηριστικά, την ίδια τιμή αντικειμενικής συνάρτησης (6.700 ) και την ίδια διάρκεια έργου (8 ημέρες). Συγκεκριμένα: Πίνακας 49. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 2 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 3 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 4 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

238 210 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη λύση 1 Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τις παραπάνω λύσεις. Γράφημα 37. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ1) Γράφημα 38. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ1) Βέλτιστη λύση 2 Γράφημα 39. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ2) Γράφημα 40. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ2) Βέλτιστη λύση 3 Γράφημα 41. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ3) Γράφημα 42. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ3)

239 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 211 Βέλτιστη λύση 4 Γράφημα 43. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ4) Γράφημα 44. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2-ΒΛΓΑ4) Η διάρκεια του έργου όχι μόνο δεν υπερβαίνει την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων αλλά επιπλέον είναι συντομότερη κατά 3 ημέρες. Αυτό οφείλεται στην μεταβολή των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων που αποτελεί βασική παραδοχή του σχεδιασμού του μοντέλου άρα και του μηχανισμού αναζήτησης λύσεων. Όπως διαπιστώθηκε ήδη από τα γραφήματα που προηγήθηκαν, καθώς το ΚΜΠ και το ΚΥΠ δεν συμμετέχουν στην αντικειμενική συνάρτηση, η συνάρτηση κόστους που ουσιαστικά διαμορφώνεται από το ΕΚ και το ΚΥΧΡ ελαχιστοποιείται για 4 διαφορετικές λύσεις (διαφορετικοί συνδυασμοί τρόπων εκτέλεσης και χρόνων έναρξης των επιμέρους δραστηριοτήτων που συνθέτουν το έργο). Τα κριτήρια και οι τιμές αξιολόγησης των προτεινόμενων λύσεων παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Από τις 4 λύσεις, η ΒΛΓΑ 2 και η ΒΛΓΑ 4 έχουν υψηλότερο βαθμό χρήσης πόρων και μικρότερη τετραγωνική απόκλιση και συνολικά αξιολογούνται ως καταλληλότερες. Πίνακας 50. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 800 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 8 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 7,38 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 10 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,74 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,69

240 212 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη λύση 2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 800 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,82 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,69 8 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 7,38 εργάτες ανά ημέρα 9 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 800 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση 4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,82 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,69 8 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 7,38 εργάτες ανά ημέρα 9 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) 800 ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,74 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,13 8 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 7,38 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

241 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 3 Στην Περίπτωση 3 καθορίζουμε ότι ο στόχος της εξομάλυνσης της κατανομής των πόρων αποτελεί τον μοναδικό στόχο του συγκεκριμένου προβλήματος βελτιστοποίησης. Για τον λόγο αυτό δίνουμε στο ΚΜΠ μία μεγάλη τιμή (1.000 ). Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με αμελητέες ή μηδενικές τιμές. Πίνακας 51. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης 0 / μονάδα υπέρβασης 0 Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 52. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια του έργου που ενδεχομένως ξεπερνά τις 11 ημέρες (διάρκεια του έργου με βάση την CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων), (γ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων χωρίς διακριτές μεταβολές/ αιχμές. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα:

242 214 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 53. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 45. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Γράφημα 46. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Πίνακας 54. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 15 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 60 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4,0 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 1,0 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,0

243 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 215 Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων όπου η μέση χρήση πόρων ισούται με την μέγιστη (4 εργάτες ανά ημέρα) και, κατά συνέπεια, η τετραγωνική απόκλιση της χρήσης πόρων ισούται με το μηδέν. Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων κατά 4 ημέρες. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 4 Στην Περίπτωση 4, όπως και στην Περίπτωση 2, καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διάρκειας του έργου αποτελεί τον μοναδικό στόχο του συγκεκριμένου προβλήματος βελτιστοποίησης. Η διαφοροποίηση με την Περίπτωση 2 είναι ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα αποδίδουμε μεγάλες τιμές και στους δύο όρους της συνάρτησης που σχετίζονται με την διάρκεια του έργου (ΕΚ και ΚΥΧΡ) για να εκτιμήσουμε την συμπεριφορά του προτεινόμενου ΓΑ. Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με αμελητέες ή μηδενικές τιμές. Πίνακας 55. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 0 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 11 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 56. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

244 216 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να παρουσιάζει κοινά χαρακτηριστικά με την Περίπτωση 2 και να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων με κατά κανόνα συντομότερες διάρκειες για όλες τις δραστηριότητες, (β) χρονική διάρκεια του έργου που δεν ξεπερνά τις 8 ημέρες (Περίπτωση 2), (γ) ανομοιόμορφη κατανομή πόρων με διακριτές μεταβολές/ αιχμές. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα και συγκεκριμένα: 3 διαφορετικές λύσεις με κοινά χαρακτηριστικά, την ίδια τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ( ) και την ίδια διάρκεια έργου (8 ημέρες). Συγκεκριμένα: Πίνακας 57. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 2 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 3 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

245 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 217 Βέλτιστη λύση 1 Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τις παραπάνω λύσεις. Γράφημα 47. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ1) Γράφημα 48. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ1) Βέλτιστη λύση 2 Γράφημα 49. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) Γράφημα 50. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) Βέλτιστη λύση 3 Γράφημα 51. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ2) Γράφημα 52. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4-ΒΛΓΑ3)

246 218 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η διάρκεια του έργου είναι συντομότερη κατά 3 ημέρες από την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, όπως ακριβώς και στην Περίπτωση 2 (Τ = 8 ημέρες). Αυτό οφείλεται στην μεταβολή των τρόπων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Όπως διαπιστώθηκε ήδη από τα γραφήματα που προηγήθηκαν, καθώς το ΚΜΠ και το ΚΥΠ δεν συμμετέχουν στην αντικειμενική συνάρτηση, η συνάρτηση κόστους που ουσιαστικά διαμορφώνεται από το ΕΚ και το ΚΥΧΡ ελαχιστοποιείται για 3 διαφορετικές λύσεις (διαφορετικοί συνδυασμοί τρόπων εκτέλεσης και χρόνων έναρξης των επιμέρους δραστηριοτήτων). Τα κριτήρια και οι τιμές αξιολόγησης των προτεινόμενων λύσεων παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Από τις 3 λύσεις, η ΒΛΓΑ 1 έχει υψηλότερο βαθμό χρήσης πόρων (συγκριτικά), πιο ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και, κατά συνέπεια, μικρότερη τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων. Για τους παραπάνω λόγους, συνολικά αξιολογείται ως καταλληλότερη για την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος. Πίνακας 58. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) Βέλτιστη λύση 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση 2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,82 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,69 8 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 7,38 εργάτες ανά ημέρα 9 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,61 8 ημέρες Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,38 59 ανθρωποημέρες 7,38 εργάτες ανά ημέρα 12 εργάτες

247 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 219 Βέλτιστη λύση 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 8 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 7,38 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 11 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,67 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,33 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 5 Στην Περίπτωση 5 καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων παράλληλα με ένα εξομαλυμένο διάγραμμα κατανομής φέρει μεγάλο ειδικό βάρος για την επίλυση. Για να αξιολογήσουμε την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου δίνουμε στο ΚΥΠ την τιμή Το ΑΚ και το ΕΚ συμμετέχουν με την τιμή 100, ενώ το ΚΜΠ συμμετέχει με την τιμή 300. Στο ΚΥΧΡ αποδίδουμε μηδενική τιμή. Με άλλα λόγια, «επιτρέπουμε» στον αλγόριθμο να αναζητήσει λύσεις που ικανοποιούν τα παραπάνω κριτήρια και οδηγούν σε μεγάλες (συγκριτικά) διάρκειες του έργου. Καθώς από την περίπτωση 3 προέκυψε ένα απόλυτα ομαλό διάγραμμα κατανομής πόρων που δεν υπερέβαινε τους 4 εργάτες ανά ημέρες, στην παρούσα εφαρμογή θέτουμε χαμηλότερο όριο διαθεσιμότητας (3 εργάτες/ ημέρα) για να αξιολογήσουμε την επίδοση του αλγορίθμου. Πίνακας 59. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 3 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης 0

248 220 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 60. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων με κατά κανόνα μεγαλύτερες διάρκειες για όλες τις δραστηριότητες, (β) χρονική διάρκεια του έργου που ξεπερνά τις 11 ημέρες (διάρκεια έργου CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων), (γ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 3 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (δ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα αναμενόμενα αποτελέσματα: Πίνακας 61. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 53. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5)

249 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 221 Γράφημα 54. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων όπου η χρήση των πόρων δεν ξεπερνά το όριο διαθεσιμότητας (3 εργάτες ανά ημέρα). Οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και σε αυτή την εφαρμογή του αλγορίθμου. Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων κατά 13 ημέρες, γεγονός που ερμηνεύεται από το ότι το όριο της διαθεσιμότητας των πόρων τέθηκε από τα δεδομένα πολύ χαμηλά (3 εργάτες ανά ημέρα). Κατά αυτόν τον τρόπο, οι δραστηριότητες αναγκάζονται να εκτελεσθούν σε μεγάλες, αν όχι στις μέγιστες επιτρεπόμενες, διάρκειες τους. Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση επίσης αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο ως βέλτιστη λύση έχει πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας της κατανομής των πόρων. Πίνακας 62. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 300 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 8 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 60 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 2,50 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 3 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,83 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,51 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

250 222 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 6 Στην Περίπτωση 6 καθορίζουμε ότι ο περιορισμός της διάρκειας του έργου παράλληλα με ένα εξομαλυμένο διάγραμμα κατανομής φέρουν μεγάλο ειδικό βάρος για την επίλυση. Για να αξιολογήσουμε την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου δίνουμε στο ΚΥΧΡ την τιμή για Tmin = 10 (μικρότερη τιμή από την διάρκεια έργου CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων). Το ΑΚ και το ΕΚ συμμετέχουν με την τιμή 100, ενώ το ΚΜΠ συμμετέχει με την τιμή 300. Στο ΚΥΠ αποδίδουμε μηδενική τιμή, θεωρούμε, δηλαδή, ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους. Πίνακας 63. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 10 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 64. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων με κατά κανόνα μικρότερες διάρκειες για επιμέρους ή όλες τις δραστηριότητες, (β) χρονική διάρκεια του έργου που δεν ξεπερνά τις 10 ημέρες, (γ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν:

251 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 223 Πίνακας 65. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 55. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Γράφημα 56. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων, ενώ η διάρκεια του έργου δεν ξεπερνά τις 10 ημέρες. Οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και σε αυτή την εφαρμογή του αλγορίθμου. Οι απαιτούμενοι πόροι διαμορφώνονται σε συγκριτικά υψηλά επίπεδα, γεγονός που ερμηνεύεται από το ότι το όριο της διάρκειας του έργου τέθηκε από τα δεδομένα σε τιμή μικρότερη της CPM (10 ημέρες). Κατά αυτόν τον τρόπο, οι δραστηριότητες αναγκάζονται να εκτελεσθούν σε μικρές, αν όχι στις ελάχιστες επιτρεπόμενες, διάρκειες τους με παράλληλη φόρτωση επιπλέον πόρων (από τους κανονικούς). Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση επίσης αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο ως βέλτιστη λύση έχει πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας της κατανομής των πόρων.

252 224 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 66. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 600 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 10 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 5,9 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 7 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,84 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,88 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 7 Στην Περίπτωση 7 καθορίζουμε 3 παράλληλους στόχους για την επίλυση του προβλήματος: περιορισμένη διάρκεια του έργου παράλληλα με περιορισμό στην διαθεσιμότητα των πόρων και εξομαλυμένο διάγραμμα κατανομής πόρων. Για να αξιολογήσουμε την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου δίνουμε στο ΚΥΧΡ την τιμή για Tmin = 11 (διάρκεια έργου CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων). Το ΑΚ και το ΕΚ συμμετέχουν με την τιμή 100, ενώ το ΚΜΠ συμμετέχει με την τιμή 300. Στο ΚΥΠ αποδίδουμε την τιμή με όριο τους 4 εργάτες ανά ημέρα. Πίνακας 67. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης / μονάδα υπέρβασης Rt 4 εργάτες Τmin = 11 Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα:

253 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 225 Πίνακας 68. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια του έργου που ξεπερνά το όριο των 11 ημερών κατά μερικές μόνο ημέρες και παράλληλα ομοιόμορφη κατανομή πόρων που δεν ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα (για την συγκεκριμένη τιμή διαμορφώνεται μεγαλύτερη βαρύτητα για το ΚΥΠ) ή χρονική διάρκεια του έργου που δεν ξεπερνά το όριο των 11 ημερών και παράλληλα ομοιόμορφη κατανομή πόρων που ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα κατά μερικές μόνο μονάδες (για την συγκεκριμένη τιμή διαμορφώνεται μεγαλύτερη βαρύτητα για το ΚΥΧΡ). Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν: Πίνακας 69. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 57. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) Γράφημα 58. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7)

254 226 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων που δεν ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα, ενώ η διάρκεια του έργου διαμορφώνεται στις 15 ημέρες. Με βάση τα παραπάνω το ΚΥΠ (μέσω της τιμής που δόθηκε στα δεδομένα) φέρει μεγαλύτερο ειδικό βάρος στη συνάρτηση κόστους και, κατά συνέπεια, τα χαρακτηριστικά αυστηρότερου περιορισμού σε σχέση με το ΚΥΧΡ. Το ΚΜΠ συμμετέχει, επίσης, με μεγάλο ειδικό βάρος και για τον λόγο αυτό η κατανομή των πόρων προκύπτει σχεδόν απόλυτα ομοιόμορφη. Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση επίσης αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο ως βέλτιστη λύση διαθέτει πάρα πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας της κατανομής των πόρων. Πίνακας 70. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 300 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 15 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 3,93 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,98 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,26 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 8 Στην Περίπτωση 8 καθορίζουμε 3 παράλληλους στόχους για την επίλυση του προβλήματος (περιορισμένη διάρκεια του έργου παράλληλα με περιορισμό στην διαθεσιμότητα των πόρων και εξομαλυμένο διάγραμμα κατανομής), όπως ακριβώς και στην Περίπτωση 7, διαφοροποιώντας μερικώς τα δεδομένα του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, ενισχύουμε το ΚΥΧΡ στην τιμή για Tmin = 11 (διάρκεια έργου CPM για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων) με στόχο να διαφοροποιηθούν οι συσχετίσεις του μοντέλου σε σχέση με την Περίπτωση 7. Το ΑΚ, το ΕΚ, το ΚΜΠ και το ΚΥΠ συμμετέχουν με τις ίδιες τιμές 100, 100, 300 και 1.000, αντίστοιχα. Το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα παραμένει σταθερό.

255 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 227 Πίνακας 71. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 11 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 72. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν δύο λύσεις με την ίδια τιμή αντικειμενικής συνάρτησης. Πίνακας 73. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 2 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

256 228 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 59. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ1) Γράφημα 60. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ1) Γράφημα 61. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ2) Γράφημα 62. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 ΒΛΓΑ2) Τόσο η ΒΛΓΑ-1 όσο και η ΒΛΓΑ-2 οδηγούν σε ένα σχετικά ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων που όμως ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα, ενώ η διάρκεια του έργου διαμορφώνεται στις 13 ημέρες. Με βάση τα παραπάνω το ΚΥΧΡ (μέσω της τιμής που δόθηκε στα δεδομένα) φέρει αντίστοιχο ειδικό βάρος με το ΚΥΠ στη συνάρτηση κόστους, με αποτέλεσμα να μην υπερισχύει διακριτά κάποιο από τα δύο κριτήρια. Με άλλα λόγια, η υπέρβαση των πόρων και η υπέρβαση του χρονοδιαγράμματος με τις δεδομένες τιμές κριτηρίων βρίσκονται σε μία οριακή αντιπαλότητα. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

257 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 229 Πίνακας 74. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8) Βέλτιστη λύση 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 900 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση 2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,61 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,66 13 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 3,69 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 900 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,61 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,66 13 ημέρες 59 ανθρωποημέρες 3,69 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες Παράδειγμα 8.2 Περίπτωση 9 Στην Περίπτωση 9 επίσης καθορίζουμε 3 παράλληλους στόχους για την επίλυση του προβλήματος (περιορισμένη διάρκεια του έργου παράλληλα με περιορισμό στην διαθεσιμότητα των πόρων και εξομαλυμένο διάγραμμα κατανομής), όπως ακριβώς και στις Περιπτώσεις 7 και 8, διαφοροποιώντας μερικώς τα δεδομένα του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, ενισχύουμε το ΚΥΧΡ στην τιμή για Tmin = 11 με στόχο να διαφοροποιηθούν οι συσχετίσεις του μοντέλου σε σχέση με την Περίπτωση 7. Το ΑΚ, το ΕΚ, το ΚΜΠ και το ΚΥΠ συμμετέχουν με τις ίδιες τιμές 100, 100, 300 και 1.000, αντίστοιχα. Το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα παραμένει σταθερό.

258 230 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 75. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 11 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 76. Παράδειγμα 8.2 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ Με βάση τα παραπάνω αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια του έργου που ξεπερνά το όριο των 11 ημερών κατά μερικές μόνο ημέρες και παράλληλα ομοιόμορφη κατανομή πόρων που δεν ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα (για την συγκεκριμένη τιμή διαμορφώνεται μεγαλύτερη βαρύτητα για το ΚΥΠ) ή χρονική διάρκεια του έργου που δεν ξεπερνά το όριο των 11 ημερών και παράλληλα ομοιόμορφη κατανομή πόρων που ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα κατά μερικές μόνο μονάδες (για την συγκεκριμένη τιμή διαμορφώνεται μεγαλύτερη βαρύτητα για το ΚΥΧΡ). Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν: Πίνακας 77. Παράδειγμα 8.2 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Α Δ Α Ε Β, Γ

259 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 231 Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 63. Παράδειγμα 8.2 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Γράφημα 64. Παράδειγμα 8.2 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε διάρκεια έργου ίση με 11 ημέρες και ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων που δεν όμως ξεπερνά το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα. Με βάση τα παραπάνω το ΚΥΧΡ (μέσω της τιμής που δόθηκε στα δεδομένα) φέρει μεγαλύτερο ειδικό βάρος στη συνάρτηση κόστους και, κατά συνέπεια, τα χαρακτηριστικά αυστηρότερου περιορισμού σε σχέση με το ΚΥΠ. Το ΚΜΠ συμμετέχει, επίσης, με μεγάλο ειδικό βάρος και για τον λόγο αυτό η κατανομή των πόρων προκύπτει ομοιόμορφη (συγκριτικά με τι άλλες λύσεις για τα συγκεκριμένα δεδομένα). Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση επίσης αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο ως βέλτιστη λύση διαθέτει πάρα πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας της κατανομής των πόρων. Πίνακας 78. Παράδειγμα 8.2 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 900 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 11 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 59 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 5,36 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 6 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,89 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,67

260 232 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Από τα παραπάνω προκύπτει πως με βάση τις προτεινόμενες στον πίνακα 75 τιμές κριτηρίων επιτύχαμε αλλαγή των συσχετίσεων του μοντέλου σε σχέση με τις Περιπτώσεις 7 και 8. Για τις ενδιάμεσες τιμές του ΚΥΧΡ (από ΚΥΧΡ = έως ΚΥΧΡ = ) προφανώς θα προκύπτουν λύσεις με διάρκειες έργου ανάμεσα στις 11 και τις 13 ημέρες. Από τις Περιπτώσεις 7, 8 και 9 προκύπτει η αντιπαλότητα των κριτηρίων περιορισμού της καθορισμένης διάρκειας του έργου και περιορισμού των διαθέσιμων πόρων. Τα συγκεκριμένα δεδομένα προσομοιάζουν σε συνθήκες δεδομένων πραγματικών έργων. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 60 γενιές και 60 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0, Παράδειγμα 8.2 Συγκριτική Επισκόπηση Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται συγκεντρωμένα τα δεδομένα αλλά και τα αποτελέσματα των διαφορετικών Περιπτώσεων του παραδείγματος 8.2. Ο πίνακας εξυπηρετεί στην συγκριτική επισκόπηση και την παρακολούθηση της εξέλιξης των αποτελεσμάτων για τις διαφορετικές τιμές κριτηρίων. Στις παραγράφους που ακολουθούν έως το τέλος του κεφαλαίου 8, η εφαρμογή της μεθόδου γενικεύεται σε μεγαλύτερα και πιο σύνθετα προβλήματα για τα οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων την βέλτιστη λύση ή μια πολύ καλή λύση (πολύ κοντά στην βέλτιστη). Δεδομένων των γνωστών αποτελεσμάτων της προηγούμενης εμπειρικής ή υπολογιστικής επίλυσης, εξετάζουμε την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Κατά την ερευνητική αυτή διαδικασία, απατούνται επαναλαμβανόμενες εφαρμογές, ώστε να προκύψουν οι κατάλληλες τιμές των κριτηρίων και των παραμέτρων για κάθε πρόβλημα.

261 Πίνακας 79. Παράδειγμα 8.2 (5 δραστηριότητες) Συγκριτική επισκόπηση δεδομένων, παραμέτρων και αποτελεσμάτων Παράδειγμα 8.2 Συγκριτικά ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΝΑΛΛ. ΤΡΟΠΟΙ ΕΚΤΕΛ. ΓΑ Rt 23 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΡΓΟΥ ΤΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΥΝΟΛ. ΚΟΣΤΟΣ ( ) Γ-Α 24 LT 25 CPM ΒΛΓΑ 26 ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ ΑΚ ΕΚ ΚΜΠ ΚΥΠ ΚΥΧΡ Π1-ΒΛΓΑ1 NAI % ,91 0,66 Π2-ΒΛΓΑ1 NAI % ,74 1,69 Π2-ΒΛΓΑ2 NAI % ,82 1,69 Π2-ΒΛΓΑ3 NAI % ,82 1,69 Π2-ΒΛΓΑ4 NAI % ,74 2,13 Π3-ΒΛΓΑ1 NAI % ,0 0,0 Π4-ΒΛΓΑ1 NAI % ,82 1,69 Π4-ΒΛΓΑ2 NAI % ,61 3,38 Π4-ΒΛΓΑ3 NAI % ,67 2,33 Π5-ΒΛΓΑ1 NAI % ,83 0,51 Π6-ΒΛΓΑ1 NAI % ,84 0,88 Π7-ΒΛΓΑ1 NAI % ,98 0,26 Π8-ΒΛΓΑ1 NAI % ,61 0,66 Π8-ΒΛΓΑ2 NAI % ,61 0,66 Π9-ΒΛΓΑ1 NAI % ,89 0,67 ΧΡΗΣΗ ΠΟΡΩΝ ΤΕΤΡΑΓ. ΑΠΟΚΛ. 23 Όριο διαθεσιμότητας των πόρων. 24 Αναφέρεται στην παραμετροποίηση του ΓΑ και αφορά στον αριθμό γενεών (Γ) και απογόνων (Α). 25 Αναφέρεται στην παραμετροποίηση του ΓΑ και αφορά στην χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων (Limit Time LT): Επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 100% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM. Για παράδειγμα, αν μία δραστηριότητα έχει διάρκεια 5 και EF = 8 (άρα ES = 3) μπορεί να μετακινηθεί έως και το σημείο που προσδιορίζεται από S = 8 και F = Βέλτιστη Λύση Γενετικού Αλγορίθμου (ΒΛΓΑ).

262

263 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Παράδειγμα 8.3 Στο παρακάτω έργο (Παράδειγμα 8.3) έχουμε 8 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 80. Παράδειγμα 8.3 (8 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστη ριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωπ οημέρες Ενωρίτερη Βραδύτερη έναρξη λήξη έναρξη λήξη ΚΔ j dj rj dj Χ rj ES EF LS LF Α *ΚΔ Β Γ Δ Α *ΚΔ Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε *ΚΔ Θ Γ ΣΥΝΟΛΟ 88 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-Δ-Η και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 15 ημέρες. Το δικτυωτό γράφημα του έργου παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 56. Παράδειγμα 8.3 Κομβικό δικτυωτό γράφημα

264 236 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους, κάθε δραστηριότητα μπορεί να εκτελεστεί μόνο με δύο εργάτες, αποκλείουμε, δηλαδή, εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων) και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή των πόρων χωρίς μεταβολή της διάρκειας του έργου. Η χρονική μετακίνηση κάθε δραστηριότητας περιορίζεται εντός του περιθωρίου της κάθε φορά. Με άλλα λόγια, επιθυμούμε διατήρηση της διάρκειας του έργου στο Τmin = 15 ημέρες αλλά με παράλληλη εξομάλυνση της κατανομής των πόρων. Για να επιτύχουμε τα παραπάνω, εισάγουμε ΚΜΠ = 300 και ΚΥΧΡ = Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με μηδενικές ή αμελητέες τιμές. Πίνακας 81. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 15 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 2 έως και την τιμή 2 δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης. Συγκεκριμένα: Πίνακας 82. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ

265 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 237 Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων με σεβασμό στις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που δεν υπερβαίνει τις 15 ημέρες, (δ) ομοιόμορφη κατανομή των πόρων του έργου. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα: Πίνακας 83. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τον ενωρίτερο και βραδύτερο χρόνο (βάση CPM) και την βέλτιστη λύση όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου. Ενωρίτερη Έναρξη Γράφημα 65. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) Γράφημα 66. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ)

266 238 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βραδύτερη Έναρξη Γράφημα 67. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Γράφημα 68. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Βέλτιστη Λύση Γράφημα 69. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) Γράφημα 70. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και σε διάρκεια έργου που δεν ξεπερνά τις 15 ημέρες. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η μικρή τετραγωνική απόκλιση (πίνακας 84) αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου και αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο ως βέλτιστη λύση διαθέτει πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 90 γενιές και 90 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Όπως προκύπτει από τα παραπάνω, με κατάλληλες τιμών κριτηρίων, ο αλγόριθμος λύνει επιτυχώς και την κατηγορία προβλημάτων που δεν επιτρέπει αλλαγή στον τρόπο εκτέλεσης των δραστηριοτήτων.

267 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 239 Πίνακας 84. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Ενωρίτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,59 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,25 Βραδύτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 15 ημέρες 88 ανθρωποημέρες 5,87 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βαθμός χρήσης πόρων 0,59 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,25 15 ημέρες 88 ανθρωποημέρες 5,87 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 600 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,98 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,52 15 ημέρες 88 ανθρωποημέρες 5,87 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες

268 240 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση 2 Γνωρίζουμε από την εμπειρική επίλυση του προβλήματος ότι για το συγκεκριμένο παράδειγμα έργου προκύπτει απολύτως ομοιόμορφη κατανομή των πόρων αν οι δραστηριότητες εκτελεστούν με τον δεδομένο κανονικό αριθμό εργατών (2 εργάτες) και μόνο μετακινηθούν κατάλληλα (τηρουμένων των σχέσεων διαδοχής). Κατά αυτόν τον τρόπο, διαμορφώνουμε τις τιμές των κριτηρίων στον αλγόριθμο αναζήτησης κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτύχουμε το παραπάνω ζητούμενο και να μπορέσουμε να αξιολογήσουμε την επίδοση του προτεινόμενου μοντέλου βελτιστοποίησης και σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων. Με το ΚΥΠ να λαμβάνει πολύ υψηλή τιμή ( / μονάδα υπέρβασης) και να λειτουργεί ως περιορισμός, οι λύσεις δεν αναμένεται να ξεπεράσουν το όριο των 4 εργατών ανά ημέρα. Το ΚΥΧΡ = / ημέρα υπέρβασης συγκρατεί τις λύσεις ως προς την διάρκεια του χρόνου, ενώ η επίσης υψηλή τιμή στο ΚΜΠ (1.000 / μονάδα μεταβολής) αναγκάζει τον αλγόριθμο σε επιλογές λύσεων με ομοιόμορφες κατανομές πόρων. Πίνακας 85. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 15 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των πόρων ορίζεται από την τιμή 2 έως και την τιμή 2 δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης. Επιπλέον, επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 400% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Για παράδειγμα, αν μία δραστηριότητα έχει διάρκεια 5 και EF = 8 (άρα ES = 3) μπορεί να μετακινηθεί έως και το σημείο που προσδιορίζεται από S = 23 και F = 28.

269 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 241 Πίνακας 86. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (μοναδικός επιτρεπόμενος), (β) μικρότερη ή μεγαλύτερη μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων με σεβασμό στις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 15 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 4 εργάτες/ ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα. Πίνακας 87. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ

270 242 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 71. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 72. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου οδηγεί σε ένα απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και σε διάρκεια έργου 22 ημερών. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Ο μέγιστος δυνατός βαθμός χρήσης πόρων και η ελάχιστη τετραγωνική απόκλιση αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου και αποδεικνύουν ότι η προτεινόμενη από τον αλγόριθμο λύση είναι η βέλτιστη. Τα αποτελέσματα του αλγορίθμου επαληθεύονται και από την εμπειρική επίλυση του προβλήματος.

271 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 243 Πίνακας 88. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 22 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 88 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 1,0 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,0 Κατά συνέπεια, ο μηχανισμός αναζήτησης του αλγορίθμου επαληθεύεται με χρήση παραδειγμάτων για τα οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων την βέλτιστη λύση και κρίνεται αποτελεσματικός. Με βάση τα παραπάνω, μπορεί να γενικευτεί σε μεγαλύτερα παραδείγματα έργων αλλά και παραδείγματα με γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ή και πολλαπλούς πόρους. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 300 γενιές και 300 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Η βέλτιστη λύση προέκυψε στην 188 η γενιά Παράδειγμα 8.3 Περίπτωση 3 Στην Περίπτωση 3 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων και την εξομάλυνση της κατανομής των πόρων, επιτρέποντας όμως την αξιολόγηση των λύσεων που προκύπτουν από τους εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση αναζητούμε τον βέλτιστο συνδυασμό πόρων και τοποθέτησης των δραστηριοτήτων του έργου, ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (4 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω, το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Για την επίτευξη των στόχων που προαναφέρθηκαν, διατηρούμε τις τιμές κριτηρίων της Περίπτωσης 2 και επιτρέπουμε στον αλγόριθμο να εξετάσει εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων.

272 244 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 89. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 4 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 15 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 200% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα: Πίνακας 90. Παράδειγμα 8.3 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ Επιπλέον, επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 400% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) ενδεχόμενη μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 4 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (γ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει η ίδια ακριβώς λύση με την Περίπτωση 2. Η βέλτιστη λύση οδηγεί σε ένα απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και σε διάρκεια έργου 22 ημερών. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης παρά το γεγονός ότι δίνουμε αυτό το περιθώριο στα δεδομένα του προβλήματος), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης.

273 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 245 Πίνακας 91. Παράδειγμα 8.3 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη J dj rj S F Α Β Γ Δ Α Ε Γ Ζ Α Η Β, Δ, Ε Θ Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση. Γράφημα 73. Παράδειγμα 8.3 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Γράφημα 74. Παράδειγμα 8.3 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3)

274 246 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 92. Παράδειγμα 8.3 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη λύση ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 22 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 88 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 4,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 1,0 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,0 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 300 γενιές και 300 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

275 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.4 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Στο παρακάτω έργο (Παράδειγμα 8.4) έχουμε 10 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 93. Παράδειγμα 8.4 (10 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστη ριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωπ οημέρες Ενωρίτερη Βραδύτερη έναρξη λήξη έναρξη λήξη ΚΔ j dj rj dj Χ rj ES EF LS LF Α *ΚΔ Β Α Γ Α *ΚΔ Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ *ΚΔ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ *ΚΔ ΣΥΝΟΛΟ 144 Σχήμα 57. Παράδειγμα 8.4 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-Γ-Ζ-Κ και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 18 ημέρες. Για τον έλεγχο του μοντέλου αξιολογούμε τα αποτελέσματα εφαρμογής για διαφορετικές τιμές κριτηρίων. Κάθε συνδυασμός τιμών αποκαλείται Περίπτωση, όπως ακριβώς και στις προηγούμενες ενότητες.

276 248 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους, κάθε δραστηριότητα μπορεί να εκτελεστεί μόνο με τον αριθμό εργατών που περιγράφονται στον πίνακα 94, αποκλείουμε, δηλαδή, εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή των πόρων χωρίς μεταβολή της διάρκειας του έργου. Η χρονική μετακίνηση κάθε δραστηριότητας περιορίζεται εντός του περιθωρίου της κάθε φορά. Με άλλα λόγια, επιθυμούμε διατήρηση της διάρκειας του έργου στο Τmin = 18 αλλά με παράλληλη εξομάλυνση της κατανομής των πόρων. Για να επιτύχουμε το παραπάνω, εισάγουμε ΚΜΠ = 300 και ΚΥΧΡ = Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με μηδενικές ή αμελητέες τιμές. Πίνακας 94. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 18 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά. Δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας). Πίνακας 95. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ

277 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 249 Με τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που δεν υπερβαίνει τις 18 ημέρες, (δ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει: Πίνακας 96. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τον ενωρίτερο και βραδύτερο χρόνο (βάση CPM), την βέλτιστη λύση όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση (γνωστή εκ των προτέρων). Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου. Ενωρίτερη Έναρξη Γράφημα 75. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) Γράφημα 76. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ)

278 250 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βραδύτερη Έναρξη Γράφημα 77. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Γράφημα 78. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 79. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) Γράφημα 80. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 81. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΕΛ) Γράφημα 82. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΛ)

279 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 251 Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) (γράφημα 80) ταυτίζεται απόλυτα με την εμπειρική λύση (ΕΛ) (γράφημα 82) σε όλα τα χαρακτηριστικά της (πίνακας 97) και οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και σε διάρκεια έργου που δεν ξεπερνά τις 18 ημέρες. Οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες. Με άλλα λόγια, ο αλγόριθμος αναζητά λύσεις μόνο με τις δραστηριότητες να τοποθετούνται κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης), ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο υψηλότερος βαθμός χρήσης πόρων και η μικρότερη τετραγωνική απόκλιση (πίνακας 97) σε σχέση με την ενωρίτερη και βραδύτερη έναρξη, αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης της κατανομής (το συμπέρασμα προκύπτει και από τα αντίστοιχα διαγράμματα). Η επαλήθευση της εμπειρικής λύσης από το μοντέλο μαρτυρά ότι η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να γενικευτεί σε μεγαλύτερα ή και πιο σύνθετα προβλήματα. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 250 γενιές και 250 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Πίνακας 97. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Ενωρίτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,57 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,91 Βραδύτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 18 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 8,0 εργάτες ανά ημέρα 14,0 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,57 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,82 18 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 8,0 εργάτες ανά ημέρα 14,0 εργάτες

280 252 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,73 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,74 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 18 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 8,0 εργάτες ανά ημέρα 11,0 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,73 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,74 18 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 8,0 εργάτες ανά ημέρα 11,0 εργάτες Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση 2 Στην Περίπτωση 2 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων. Και σε αυτή την περίπτωση, αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιον τρόπο ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (έστω 8 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Με το ΚΥΠ να λαμβάνει πολύ υψηλή τιμή ( / μονάδα υπέρβασης) και να λειτουργεί ως περιορισμός, οι λύσεις δεν αναμένεται να ξεπεράσουν το όριο των 8 εργατών ανά ημέρα. Το ΚΥΧΡ = / ημέρα υπέρβασης συγκρατεί τις λύσεις ως προς την διάρκεια του χρόνου, ενώ η επίσης υψηλή τιμή στο ΚΜΠ (1.000 / μονάδα μεταβολής) αναγκάζει τον αλγόριθμο σε επιλογές λύσεων με ομοιόμορφες κατανομές πόρων.

281 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 253 Πίνακας 98. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 8 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 18 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά (δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας). Επιπλέον, επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 300% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Πίνακας 99. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 18 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 8 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν δύο λύσεις με την ίδια τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ( ) και την ίδια διάρκεια έργου (24 ημέρες):

282 254 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 100. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση 2 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τις λύσεις που προέκυψαν από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου.

283 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 255 Βέλτιστη Λύση 1 (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 83. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη Λύση 2 (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 84. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 85. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ1) Γράφημα 86. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ2)

284 256 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 87. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 88. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Η ΒΛΓΑ1 και η ΒΛΓΑ2 οδηγούν σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων με σχετικά καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας και σε διάρκεια έργου 24 ημερών. Οι δραστηριότητες, και στις δύο περιπτώσεις, εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Ο ικανοποιητικός βαθμός χρήσης πόρων (0,75) και η μικρή τετραγωνική απόκλιση των ΒΛΓΑ αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου. Η εμπειρική λύση (ΕΛ) του προβλήματος είναι πάρα πολύ κοντά αλλά δεν ταυτίζεται με τις ΒΛΓΑ. Η ΕΛ διαθέτει μικρότερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ( έναντι ) και ελαφρώς καλύτερους

285 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 257 δείκτες χρήσης πόρων (0,78 έναντι 0,75) και τετραγωνικής απόκλισης (1,63 έναντι 1,77). Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 400 γενιές και 400 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Πίνακας 101. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση 1 (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,75 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,77 Βέλτιστη λύση 2 (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 24 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 6,00 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,75 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,77 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 24 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 6,00 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,78 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,63 23 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 6,26 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες

286 258 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.4 Περίπτωση 3 Στην Περίπτωση 3 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων, επιτρέποντας όμως την αξιολόγηση των λύσεων που προκύπτουν από τους εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση αναζητούμε τον βέλτιστο συνδυασμό πόρων και τοποθέτησης των δραστηριοτήτων του έργου, ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (8 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Για την επίτευξη των παραπάνω, διατηρούμε τις τιμές κριτηρίων της Περίπτωσης 2 και επιτρέπουμε στον αλγόριθμο να εξετάσει εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Πίνακας 102. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.4 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης / μονάδα υπέρβασης Rt 8 εργάτες Τmin = 18 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά από την τιμή 1 έως και την τιμή που αντιστοιχεί στο 200% της αρχικής τιμής των πόρων (που συνδέεται με την κανονική διάρκεια εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας). Σε περίπτωση δεκαδικών ψηφίων, γίνεται στρογγυλοποίηση προς τον πλησιέστερο μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό. Πίνακας 103. Παράδειγμα 8.4 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ

287 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 259 Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 18 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 8 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει: Πίνακας 104. Παράδειγμα 8.4 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση (400 γενιές 400 απόγονοι) Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση (600 γενιές 600 απόγονοι) Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Β, Γ Ζ Γ Η Δ Θ Η Ι Ε Κ Ζ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση (ΒΛΓΑ) όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας για (α) 400 γενιές 400 απογόνους, (β) 600 γενιές 600 απογόνους και την βέλτιστη εμπειρική λύση. Σχετικές δοκιμές στον αριθμό των γενεών και των απογόνων πραγματοποιήθηκαν στο σύνολο των περιπτώσεων και των παραδειγμάτων του Κεφαλαίου 8.

288 260 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 89. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 90. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 91. Παράδειγμα 8.4 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3)

289 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 261 Γράφημα 92. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΒΛΓΑ 400) Γράφημα 93. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΒΛΓΑ 600) Γράφημα 94. Παράδειγμα 8.4 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΕΛ)

290 262 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου για τις παραμέτρους 400 γενιές 400 απόγονοι (ΒΛΓΑ 400), οδηγεί σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων με πάρα πολύ καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας και σε διάρκεια έργου 22 ημερών. Ο συνολικός αριθμός των απαιτούμενων ανθρωποημερών προσδιορίζεται σε ελαφρώς υψηλότερα επίπεδα σε σχέση με τα δεδομένα του προβλήματος λόγω της στρογγυλοποίησης των τιμών των πόρων στον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο (soft περιορισμός). Οι δραστηριότητες εκτελούνται με εναλλακτικούς τρόπους. Η τιμή της ΑΣ διαμορφώνεται στα Ο σχετικά υψηλός βαθμός χρήσης πόρων (0,86) και η μικρή τετραγωνική απόκλιση (1,02) της ΒΛΓΑ-400 αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου. Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου για τις παραμέτρους 600 γενιές 600 απόγονοι (ΒΛΓΑ 600), οδηγεί σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων με λιγότερο καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας αλλά σε διάρκεια έργου 21 ημερών (συντομότερη διάρκεια από την ΒΛΓΑ-400). Οι δραστηριότητες και σε αυτή την περίπτωση εκτελούνται με εναλλακτικούς τρόπους. Η τιμή της ΑΣ διαμορφώνεται στα (διακριτά μεγαλύτερη από την αντίστοιχη της ΒΛΓΑ-400, γεγονός που σχετίζεται με την ευρετική φύση της μεθοδολογίας, δηλαδή με το ότι διαφορετικές εφαρμογές του αλγορίθμου στα ίδια προβλήματα μπορεί να οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις). Η ΒΛΓΑ-600 διαθέτει ελαφρώς υψηλότερο βαθμό χρήσης πόρων από την ΒΛΓΑ-400 (0,89 έναντι 0,86) και ελαφρώς μεγαλύτερη τετραγωνική απόκλιση (1,31 έναντι 1,02). Τα αποτελέσματα του αλγορίθμου τόσο για την (ΒΛΓΑ-400) όσο και για την (ΒΛΓΑ-600) δεν ταυτίζονται με την εμπειρική επίλυση (ΕΛ) του προβλήματος. Η ΕΛ διαθέτει χαμηλότερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ( ), μικρότερη διάρκεια έργου (19 ημέρες) και καλύτερους δείκτες βαθμού χρήσης (0,95) και τετραγωνικής απόκλισης (0,69). Ενδεχόμενα επανάληψη της μεθοδολογίας για μεγαλύτερο αριθμό γενεών ή και για διαφορετικές τιμές παραμέτρων να προσέγγιζε περαιτέρω τα αποτελέσματα της ΕΛ. Πίνακας 105. Παράδειγμα 8.4 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 400 γενιές) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 22 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 152 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 6,91 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 8 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,86 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,02

291 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 263 Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 600 γενιές) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,89 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,31 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 21 ημέρες 150 ανθρωποημέρες 7,14 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,95 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,69 19 ημέρες 144 ανθρωποημέρες 7,58 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες

292 264 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.5 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Στο παρακάτω έργο (Παράδειγμα 8.5) έχουμε 11 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 106. Παράδειγμα 8.5 (11 δραστηριότητες) Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Δραστη ριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωπ οημέρες Ενωρίτερη Βραδύτερη έναρξη λήξη έναρξη λήξη ΚΔ j dj rj dj Χ rj ES EF LS LF Α *ΚΔ Β Α Γ Α *ΚΔ Δ Β Ε Γ Ζ Γ *ΚΔ Η Δ Θ Ε Ι Ζ *ΚΔ Κ Η Λ Ι *ΚΔ ΣΥΝΟΛΟ 131 Σχήμα 58. Παράδειγμα 8.5 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-Γ-Ζ-Ι-Λ και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 21 ημέρες.

293 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους, αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή των πόρων χωρίς μεταβολή της διάρκειας του έργου. Η χρονική μετακίνηση κάθε δραστηριότητας περιορίζεται εντός του περιθωρίου της κάθε φορά. Με άλλα λόγια, επιθυμούμε διατήρηση της διάρκειας του έργου στο Τmin = 21 αλλά με παράλληλη εξομάλυνση της κατανομής των πόρων. Για να επιτύχουμε το παραπάνω, εισάγουμε ΚΜΠ = 300 και ΚΥΧΡ = Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με μηδενικές ή αμελητέες τιμές. Πίνακας 107. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης 0 / μονάδα υπέρβασης Τmin = 21ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά. Δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας. Πίνακας 108. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι

294 266 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Με τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που δεν υπερβαίνει τις 21 ημέρες, (δ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει: Πίνακας 109. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τον ενωρίτερο και βραδύτερο χρόνο (βάση CPM), την βέλτιστη λύση όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση (γνωστή εκ των προτέρων). Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου. Ενωρίτερη Έναρξη Γράφημα 95. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) Γράφημα 96. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ)

295 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 267 Βραδύτερη Έναρξη Γράφημα 97. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Γράφημα 98. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 99. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) Γράφημα 100. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ) Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 101. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΕΛ) Γράφημα 102. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΛ)

296 268 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) (γράφημα 100) ταυτίζεται απόλυτα με την εμπειρική λύση (ΕΛ) (γράφημα 102) σε όλα τα χαρακτηριστικά της (πίνακας 110) και οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων και σε διάρκεια έργου που δεν ξεπερνά τις 21 ημέρες. Οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες. Με άλλα λόγια, ο αλγόριθμος αναζητά λύσεις μόνο με τις δραστηριότητες να τοποθετούνται κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης), ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο υψηλότερος βαθμός χρήσης πόρων και η μικρότερη τετραγωνική απόκλιση (πίνακας 110) σε σχέση με την ενωρίτερη και βραδύτερη έναρξη, αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης της κατανομής (το συμπέρασμα προκύπτει και από τα αντίστοιχα διαγράμματα). Η επαλήθευση της εμπειρικής λύσης από το μοντέλο μαρτυρά ότι η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να γενικευτεί σε μεγαλύτερα ή και πιο σύνθετα προβλήματα. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 400 γενιές και 400 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Πίνακας 110. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Ενωρίτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,57 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,90 Βραδύτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 21 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 6,24 εργάτες ανά ημέρα 11,0 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,62 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,05 21 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 6,24 εργάτες ανά ημέρα 10,0 εργάτες

297 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 269 Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,78 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,67 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 21 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 6,24 εργάτες ανά ημέρα 8,0 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,78 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,67 21 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 6,24 εργάτες ανά ημέρα 8,0 εργάτες Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση 2 Στην Περίπτωση 2 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων. Και σε αυτή την περίπτωση, αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιον τρόπο ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (έστω 6 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Με το ΚΥΠ να λαμβάνει πολύ υψηλή τιμή ( / μονάδα υπέρβασης) και να λειτουργεί ως περιορισμός, οι λύσεις δεν αναμένεται να ξεπεράσουν το όριο των 8 εργατών ανά ημέρα. Το ΚΥΧΡ = / ημέρα υπέρβασης συγκρατεί τις λύσεις ως προς την διάρκεια του χρόνου, ενώ η επίσης υψηλή τιμή στο ΚΜΠ (1.000 /

298 270 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ μονάδα μεταβολής) αναγκάζει τον αλγόριθμο σε επιλογές λύσεων με ομοιόμορφες κατανομές πόρων. Πίνακας 111. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης / μονάδα υπέρβασης Rt 6 εργάτες Τmin = 21 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά (δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας). Επιπλέον, επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 300% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Πίνακας 112. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 21 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 6 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν:

299 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 271 Πίνακας 113. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Η ΒΛΓΑ οδηγεί σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων με καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας και σε διάρκεια έργου 28 ημερών. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Ο ικανοποιητικός βαθμός χρήσης πόρων (0,78) και η μικρή τετραγωνική απόκλιση (1,03) της ΒΛΓΑ αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου. Η εμπειρική λύση (ΕΛ) του προβλήματος είναι πάρα πολύ κοντά αλλά δεν ταυτίζεται με την ΒΛΓΑ. Η ΕΛ διαθέτει ελαφρώς μικρότερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ( έναντι ) αλλά τους ίδιους δείκτες χρήσης πόρων (0,78 και στις δύο περιπτώσεις) και τετραγωνικής απόκλισης (1,06 και στις δύο περιπτώσεις). Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την λύση που προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου.

300 272 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 103. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 104. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 105. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ) Γράφημα 106. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΕΛ)

301 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 273 Πίνακας 114. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,78 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,06 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 28 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 4,68 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,78 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,06 28 ημέρες 131 ανθρωποημέρες 4,68 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 400 γενιές και 400 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

302 274 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.5 Περίπτωση 3 Στην Περίπτωση 3 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων, επιτρέποντας όμως την αξιολόγηση των λύσεων που προκύπτουν από τους εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση αναζητούμε τον βέλτιστο συνδυασμό πόρων και τοποθέτησης των δραστηριοτήτων του έργου, ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (6 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Για την επίτευξη των παραπάνω, διατηρούμε τις τιμές κριτηρίων της Περίπτωσης 2 και επιτρέπουμε στον αλγόριθμο να εξετάσει εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Πίνακας 115. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 6 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 21 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά από την τιμή 1 έως και την τιμή που αντιστοιχεί στο 200% της αρχικής τιμής των πόρων (που συνδέεται με την κανονική διάρκεια εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας). Σε περίπτωση δεκαδικών ψηφίων, γίνεται στρογγυλοποίηση προς τον πλησιέστερο μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό. Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 21 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 6 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει:

303 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 275 Πίνακας 116. Παράδειγμα 8.5 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Πίνακας 117. Παράδειγμα 8.5 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Θ Ε Ι Ζ Κ Η Λ Ι Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του ΓΑ.

304 276 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 107. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Γράφημα 108. Παράδειγμα 8.5 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Γράφημα 109. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΒΛΓΑ) Γράφημα 110. Παράδειγμα 8.5 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 ΕΛ)

305 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 277 Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου οδηγεί σε ένα σχεδόν απόλυτα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων (βαθμός χρήσης πόρων: 0,99) και σε διάρκεια έργου 23 ημερών. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με εναλλακτικούς τρόπους. Η ΒΛΓΑ διαθέτει καλύτερα χαρακτηριστικά από την εμπειρική λύση (ΕΛ) όπως αναλυτικά προκύπτει από τον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 118. Παράδειγμα 8.5 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,99 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,29 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 22 ημέρες 136 ανθρωποημέρες 5,91 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,95 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 0,47 22 ημέρες 136 ανθρωποημέρες 5,70 εργάτες ανά ημέρα 6 εργάτες Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 700 γενιές και 700 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

306 278 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 8.3. Σύνθετα Προβλήματα Παράδειγμα 8.6 Πολλαπλοί πόροι Στο παρακάτω έργο (Παράδειγμα 8.6) έχουμε 15 δραστηριότητες για τις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής του τύπου FS. Από το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου, διαπιστώνονται τόσο οι σχέσεις διαδοχής όσο και δραστηριότητες που μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση πολλαπλών πόρων (x, y, z). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 119. Παράδειγμα 8.6 (15 δραστηριότητες) Δεδομένα Δραστηριότητα Αμέσως προηγούμ. Διάρκεια (εβδομάδες) Πόρος 1 Πόρος 2 Πόρος 3 Ανθρωποεβδομάδες j dj xj yj zj dj x (xj+yj+zj) Α Β Γ Δ 2-5 Α Ε 4-6 Γ Ζ 6-7 Ε Η 2-7 Α Θ 3-7 Β Ι 6-8 Ε Κ 7-9 Ζ, Η, Θ Λ 8-9 Ι Μ 5-9 Δ Ν 8-10 Ι Ξ 9-11 Κ, Λ, Μ Ο Ν ΣΥΝΟΛΟ 183 Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται το δικτυωτό γράφημα του έργου. Οι διάρκειες των δραστηριοτήτων (σε εβδομάδες) παρατίθενται κάτω από το αντίστοιχο βέλος. Από την εκτέλεση του ομόρροπου υπολογισμού προκύπτει ότι η συνολική διάρκεια του έργου είναι 34 εβδομάδες. Πάνω από κάθε βέλος και μέσα σε πλαίσιο φαίνεται η απαίτηση πόρου για κάθε δραστηριότητα. Για παράδειγμα, η δραστηριότητα 1 2 απαιτεί 3 μονάδες πόρου τύπου x σε όλη την διάρκειά της. Οι τρεις τύποι πόρων x, y, z που εμφανίζονται στο δίκτυο αντιπροσωπεύουν π.χ. τρεις διαφορετικές ειδικότητες τεχνιτών.

307 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 279 Σχήμα 59. Παράδειγμα 8.6 Τοξωτό δικτυωτό διάγραμμα Στην παρούσα διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε περιορισμένους πόρους και συγκεκριμένα: όχι περισσότερες από 4, 3, 2 μονάδες πόρων των κατηγοριών x, y και z αντίστοιχα. Αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατάλληλα ώστε οι απαιτήσεις σε πόρους να μην ξεπερνούν τους διαθέσιμους σε καμία στιγμή κατά την διάρκεια του έργου και να προκύπτει μία ομοιόμορφη κατανομή συνολικών πόρων. Οι προτεινόμενες τιμές των κριτηρίων παρουσιάζονται στον πίνακα 120. Πίνακας 120. Παράδειγμα 8.6 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.6 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠx Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης x 4 τεχνίτες ΚΥΠy Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης y 3 τεχνίτες ΚΥΠz Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης z 2 τεχνίτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 34 εβδομάδες

308 280 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά (δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας). Επιπλέον, επιτρέπουμε την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 300% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Πίνακας 121. Παράδειγμα 8.6 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας Δραστηριότητα Πόρος 1 Low limit Πόρος 1 High limit Πόρος 2 Low limit Πόρος 2 High limit Πόρος 3 Low limit Πόρος 3 High limit j xmin xmax ymin ymax zmin zmax Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 34 εβδομάδες, (δ) κατανομή πόρων που δεν υπερβαίνει τα όρια διαθεσιμότητας και για τις τρεις κατηγορίες, (ε) κατά το δυνατόν ομοιόμορφη κατανομή των συνολικών πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα.

309 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 281 Πίνακας 122. Παράδειγμα 8.6 Επίλυση του προβλήματος (ΒΛΓΑ) Δραστηριότητα Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόρος 1 Πόρος 2 Πόρος 3 έναρξη λήξη j dj xj yj zj S F Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την λύση που προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας και την βέλτιστη εμπειρική λύση η οποία όμως επιτρέπει κατάτμηση των δραστηριοτήτων. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου.

310 282 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (ΒΛΓΑ) δεν επιτρέπεται η κατάτμηση των δραστηριοτήτων Γράφημα 111. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt με κατανομή των πόρων (ΒΛΓΑ) Γράφημα 112. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ΒΛΓΑ) Γράφημα 113. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρων σύνολο (ΒΛΓΑ)

311 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 283 Βέλτιστη Λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) επιτρέπεται η κατάτμηση των δραστηριοτήτων Γράφημα 114. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt με κατανομή των πόρων (ΕΛ) Γράφημα 115. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ΕΛ) Γράφημα 116. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρων σύνολο (ΕΛ)

312 284 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) οδηγεί σε διάρκεια έργου 48 εβδομάδων. Οι περιορισμοί διαθεσιμότητας πληρούνται και για τις τρεις κατηγορίες πόρων, ενώ συνολικά οι δείκτες του βαθμού χρήσης των πόρων και της τετραγωνικής απόκλισης (πίνακας 123) εμφανίζουν αρκετά καλά χαρακτηριστικά σε σχέση με την εμπειρική λύση, παρά το γεγονός ότι στην τελευταία επιτρέπουμε την κατάτμηση των δραστηριοτήτων. Το τελευταίο αυτό χαρακτηριστικό αποδίδει ένα σαφές ελαστικό περιθώριο τοποθέτησης των δραστηριοτήτων με τρόπο που να προκύπτει καλύτερη κατανομή των πόρων (άρα και καλύτερα χαρακτηριστικά της προτεινόμενης λύσης). Από τα παραπάνω προκύπτει η αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου και για αυτή την κατηγορία προβλημάτων με περισσότερους από έναν πόρους. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 300 γενιές και 200 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Πίνακας 123. Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Παράδειγμα 8.6 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Διάρκεια έργου 48 εβδομάδες 42 εβδομάδες Απαιτούμενοι πόροι ΣΥΝΟΛΟ 183 ανθρωποεβδομάδες 183 ανθρωποεβδομάδες Μέση χρήση πόρων ΣΥΝΟΛΟ 3,81 εργάτες ανά ημέρα 4,36 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων ΣΥΝΟΛΟ Βαθμός χρήσης πόρων ΣΥΝΟΛΟ Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων ΣΥΝΟΛΟ 8 εργάτες 7 εργάτες 0,48 0,62 1,68 1,72 Απαιτούμενοι πόροι x 62 ανθρωποεβδομάδες 62 ανθρωποεβδομάδες Μέση χρήση πόρων x 1,29 εργάτες ανά ημέρα 1,48 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων x 4 εργάτες 4 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων x 0,32 0,37 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων x 1,61 1,64 Απαιτούμενοι πόροι y 61 ανθρωποεβδομάδες 61 ανθρωποεβδομάδες Μέση χρήση πόρων y 1,27 εργάτες ανά ημέρα 1,45 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων y 3 εργάτες 3 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων y 0,42 0,48

313 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 285 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων y Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) 1,23 1,21 Βέλτιστη λύση (ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ) Απαιτούμενοι πόροι z 60 ανθρωποεβδομάδες 60 ανθρωποεβδομάδες Μέση χρήση πόρων z 1,25 εργάτες ανά ημέρα 1,43 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων z 2 εργάτες 2 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων z 0,63 0,71 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων z 0,84 0,86 Αν για τα ίδια ακριβώς δεδομένα του προβλήματος 8.6 εφαρμόσουμε την αυτοματοποιημένη διαδικασία resource leveling στο MS Project για ολόκληρο το έργο, προκύπτουν τα εξής: Αν δεν επιτρέψουμε την κατάτμηση των δραστηριοτήτων (υπάρχει δυνατότητα επιλογής στο συγκεκριμένο λογισμικό), η λύση που προκύπτει στο MS Project οδηγεί σε διάρκεια έργου 42 εβδομάδων (αρχική διάρκεια = 34 εβδομάδες) αλλά δεν πληρούνται οι περιορισμοί διαθεσιμότητας των πόρων τόσο για την κατηγορία x όσο και για την κατηγορία z (βλ. αναλυτικά τα διαγράμματα που ακολουθούν). Αν επιτρέψουμε την κατάτμηση των δραστηριοτήτων (split), το MS Project μας οδηγεί στην ίδια ακριβώς λύση των 42 εβδομάδων με υπέρβαση των πόρων x και z. Κατά συνέπεια, η προτεινόμενη λύση (που είναι η ίδια για την μία και την άλλη περίπτωση) δεν θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι διαθέτει καλύτερα χαρακτηριστικά από αυτή του ΓΑ καθώς δεν ικανοποιεί τον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων για δύο από τις τρεις κατηγορίες.

314 286 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Βέλτιστη Λύση (MS PROJECT χωρίς κατάτμηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 117. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt για την αυτοματοποιημένη εξομάλυνση πόρων του MS PROJECT (χωρίς κατάτμηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 118. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ενωρίτερος χρόνος) Γράφημα 119. Παράδειγμα 8.6 Εξομάλυνση πόρων MS PRJ (χωρίς κατάτμηση των δραστηριοτήτων)

315 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 287 Βέλτιστη Λύση (MS PROJECT με κατάτμηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 120. Παράδειγμα 8.6 Διάγραμμα Gantt για την αυτοματοποιημένη εξομάλυνση πόρων του MS PROJECT (με κατάτμηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 121. Παράδειγμα 8.6 Κατανομή πόρου x, y και z (ενωρίτερος χρόνους) Γράφημα 122. Παράδειγμα 8.6 Εξομάλυνση πόρων MS PRJ (με κατάτμηση των δραστηριοτήτων)

316 288 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.7 Γενικευμένες Σχέσεις Διαδοχής Στη συνέχεια παρατίθεται ένα απλό έργο (Παράδειγμα 8.7) 7 δραστηριοτήτων για τις οποίες ισχύουν γενικευμένες σχέσεις διαδοχής (βλ ). Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου και συγκεκριμένα ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 124. Παράδειγμα 8.7 Δεδομένα του προβλήματος Δραστηριότητα Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) Ανθρωποημέρες Εξαρτάται από Σχέση διαδοχής j dj rj dj x rj Α Β Γ Δ Α FS-1 Ε Α FF+6 Ζ Β FS Ζ Γ FS+1 Ζ Δ SS+1 Η Γ SS+1 ΣΥΝΟΛΟ 107 Πίνακας 125. Παράδειγμα 8.7 Μεγέθη χρονικού προγραμματισμού Ενωρίτερη Βραδύτερη Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Έναρξη Πέρας Έναρξη Πέρας Ολικό Περιθώριο Ελεύθερο Περιθώριο ΚΔ j dj ES EF LS LF TF FF Α Β *ΚΔ Γ Δ A Ε A Ζ Β, Γ, Δ *ΚΔ Η Γ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η A-B-Ζ και η χρονική διάρκεια του έργου με βάση την CPM είναι 12 ημέρες. Για τον έλεγχο του μοντέλου αξιολογούμε τα αποτελέσματα εφαρμογής για διαφορετικές τιμές των κριτηρίων σύμφωνα πάντα με τα ζητούμενα των επιμέρους περιπτώσεων. Το δικτυωτό γράφημα του έργου παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί.

317 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 289 Σχήμα 60. Παράδειγμα 8.7 Κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου Παράδειγμα 8.7 Περίπτωση 1 Στην αρχική διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους, αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή των πόρων χωρίς μεταβολή της διάρκειας του έργου. Η χρονική μετακίνηση κάθε δραστηριότητας περιορίζεται εντός του περιθωρίου της κάθε φορά. Με άλλα λόγια, επιθυμούμε διατήρηση της διάρκειας του έργου στο Τmin = 12 αλλά με παράλληλη εξομάλυνση της κατανομής των πόρων. Για να επιτύχουμε το παραπάνω, εισάγουμε ΚΜΠ = 300 και ΚΥΧΡ = Τα υπόλοιπα κριτήρια συμμετέχουν με μηδενικές ή αμελητέες τιμές. Πίνακας 126. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 12 ημέρες Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά. Δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας.

318 290 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 127. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Δ A Ε A Ζ Β, Γ, Δ Η Γ Με τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που δεν υπερβαίνει τις 12 ημέρες, (δ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτει: Πίνακας 128. Παράδειγμα 8.7 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Α Γ Α Δ Β Ε Γ Ζ Γ Η Δ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για τον ενωρίτερο και βραδύτερο χρόνο (βάση CPM) και την βέλτιστη λύση όπως προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Τα διαγράμματα που ακολουθούν εξυπηρετούν την συγκριτική επισκόπηση των αποτελεσμάτων για την κατανομή των πόρων του έργου, από την οποία προκύπτει η αξιολόγηση της επίδοσης του αλγορίθμου.

319 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 291 Ενωρίτερη Έναρξη Γράφημα 123. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) Γράφημα 124. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΕΕ) Βραδύτερη Έναρξη Γράφημα 125. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Γράφημα 126. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΕ) Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 127. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 - ΒΛΓΑ) Γράφημα 128. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ)

320 292 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) (γράφημα 128) οδηγεί σε ένα διάγραμμα κατανομής πόρων με καλύτερα χαρακτηριστικά σε σχέση με την ενωρίτερη και βραδύτερη έναρξη και σε διάρκεια έργου που δεν ξεπερνά τις 12 ημέρες. Οι δραστηριότητες του έργου εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες και δεν παραβιάζεται καμία από τις γενικευμένες σχέσεις διαδοχής. Με άλλα λόγια, ο αλγόριθμος αναζητά λύσεις μόνο με τις δραστηριότητες να τοποθετούνται κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης), ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο υψηλότερος βαθμός χρήσης πόρων και η μικρότερη τετραγωνική απόκλιση (πίνακας 129) σε σχέση με την ενωρίτερη και βραδύτερη έναρξη, επιβεβαιώνουν και αριθμητικά τα παραπάνω συμπεράσματα και αποτελούν δείκτες θετικής αξιολόγησης της κατανομής. Τα αποτελέσματα αποδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας και για αυτή την κατηγορία προβλημάτων (γενικευμένες σχέσεις διαδοχής ανάμεσα στις δραστηριότητες). Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 70 γενιές και 70 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Πίνακας 129. Παράδειγμα 8.7 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Ενωρίτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,56 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 4,19 Βραδύτερη έναρξη ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης 12 ημέρες 107 ανθρωποημέρες 8,92 εργάτες ανά ημέρα 16,0 εργάτες ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,64 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 3,12 12 ημέρες 107 ανθρωποημέρες 8,92 εργάτες ανά ημέρα 14,0 εργάτες

321 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 293 Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 12 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 107 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 8,92 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 13,0 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,69 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2, Παράδειγμα 8.7 Περίπτωση 2 Στην Περίπτωση 2 η διερεύνηση εστιάζει στον περιορισμό της διαθεσιμότητας των πόρων. Και αυτή την περίπτωση αποκλείουμε εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων και αναζητούμε την λύση που τοποθετεί τις δραστηριότητες του έργου κατά τέτοιον τρόπο ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων στην μονάδα του χρόνου (έστω 7 εργάτες ανά ημέρα), να προκύπτει ομοιόμορφη κατανομή χρήσης των πόρων και με βάση τα παραπάνω το έργο να υλοποιηθεί στην ελάχιστη δυνατή διάρκεια. Με το ΚΥΠ να λαμβάνει πολύ υψηλή τιμή ( / μονάδα υπέρβασης) και να λειτουργεί ως περιορισμός, οι λύσεις δεν αναμένεται να ξεπεράσουν το όριο των 7 εργατών ανά ημέρα. Το ΚΥΧΡ = / ημέρα υπέρβασης συγκρατεί τις λύσεις ως προς την διάρκεια του χρόνου, ενώ η επίσης υψηλή τιμή στο ΚΜΠ (1.000 / μονάδα μεταβολής) αναγκάζει τον αλγόριθμο σε επιλογές λύσεων με ομοιόμορφες κατανομές πόρων. Πίνακας 130. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής ΚΥΠ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης Rt 7 εργάτες ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 12 ημέρες

322 294 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά (δεδομένου του ότι δεν επιθυμούμε την αναζήτηση και εξέταση λύσεων με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, το άνω και το κάτω όριο ταυτίζονται με τους κανονικούς πόρους κάθε δραστηριότητας). Επιπλέον, επιτρέπουμε την μετακίνηση των δραστηριοτήτων έως και 300% της διάρκειας τους από το σημείο EF με βάση την CPM (παράμετρος του αλγορίθμου που ορίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του προβλήματος). Πίνακας 131. Παράδειγμα 8.7 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax Α Β Γ Δ A Ε A Ζ Β, Γ, Δ Η Γ Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) διατήρηση του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μετακίνηση του χρόνου έναρξης των δραστηριοτήτων σεβόμενη τις σχέσεις διαδοχής, (γ) χρονική διάρκεια έργου που υπερβαίνει τις 12 ημέρες, (δ) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 7 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (ε) σχετικά ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την αναζήτηση του αλγορίθμου προκύπτουν: Πίνακας 132. Παράδειγμα 8.7 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση1 Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F Α Β Γ Δ A Ε A Ζ Β, Γ, Δ Η Γ Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την λύση που προέκυψε από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας.

323 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 295 Γράφημα 129. Παράδειγμα 8.7 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Γράφημα 130. Παράδειγμα 8.7 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Η ΒΛΓΑ οδηγεί σε ένα διάγραμμα πόρων με σχετικά καλά χαρακτηριστικά ομοιομορφίας (δεδομένων των περιορισμών) και σε διάρκεια έργου 19 ημερών. Οι δραστηριότητες εκτελούνται με βάση τις κανονικές τους διάρκειες (δεν μεταβάλλεται ο τρόπος εκτέλεσης), τοποθετούνται ωστόσο κατάλληλα (μετακίνηση χρόνου έναρξης) ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Καθόλη την διάρκεια του έργου οι απαιτούμενοι πόροι δεν ξεπερνούν τους διαθέσιμους. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Ο ικανοποιητικός βαθμός χρήσης πόρων (0,80) και η μικρή τετραγωνική απόκλιση (1,38) της ΒΛΓΑ αποτελούν κριτήρια θετικής αξιολόγησης της κατανομής των απαιτούμενων πόρων του έργου. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 400 γενιές και 400 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

324 296 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 133. Παράδειγμα 8.7 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,80 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,38 19 ημέρες 107 ανθρωποημέρες 5,63 εργάτες ανά ημέρα 7 εργάτες

325 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Σύγκριση με Άλλες Μεθοδολογίες Παράδειγμα 8.8 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Στον πίνακα που ακολουθεί περιγράφονται τα δεδομένα του πρώτου θεωρητικού παραδείγματος (Case Study 1) που παρουσίασαν οι Christodoulou et al. (2009b) για να αποδείξουν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου βελτιστοποίησης της εντροπίας του έργου. Πρόκειται για απλό έργο 4 δραστηριοτήτων οι οποίες εκτελούνται παράλληλα. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου έστω ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του παραδείγματος περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 134. Παράδειγμα 8.8 (4 δραστηριότητες) Christodoulou et al. (2009b), Case Study 1 Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωποημέρες J dj rj dj Χ rj A B C D ΣΥΝΟΛΟ 109 Το κομβικό δικτυωτό γράφημα του έργου έχει ως εξής: Σχήμα 61. Παράδειγμα 8.8 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα (Christodoulou et al., 2009b, CStudy 1) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου προσδιορίζεται από την δραστηριότητα με την μεγαλύτερη διάρκεια δηλαδή την δραστηριότητα C και η χρονική διάρκεια του έργου για τις κανονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων είναι 10 ημέρες.

326 298 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί ότι το αποτέλεσμα της επίλυσης με την προτεινόμενη μεθοδολογία είναι συγκρίσιμο με τα αποτελέσματα της μεθόδου Christodoulou et al. (2009b) για τους παρακάτω λόγους. Και στις δύο περιπτώσεις εφαρμογών: Επιτρέπονται εναλλακτικοί τρόποι εκτέλεσης για τις δραστηριότητες του έργου οι οποίοι προσδιορίζονται από την διάρκεια και τον απαιτούμενο αριθμό πόρων. Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων προσδιορίζεται στα δεδομένα του προβλήματος. Και οι δύο μεθοδολογίες εξετάζουν όλες τις λύσεις που προκύπτουν από τον συνδυασμό τιμών ανάμεσα στο πάνω και στο κάτω όριο. Κάθε συνδυασμός των πόρων που διατίθεται για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων που αποτελούν το έργο, συνθέτει ένα χρονοπρόγραμμα, αποτελεί, δηλαδή, μία λύση του προβλήματος. Ο τρόπος με τον οποίο καταναλώνει πόρους μία δραστηριότητα είναι ανάλογος του χρόνου. Με άλλα λόγια, οι πόροι που απαιτούνται για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας μειώνονται αναλογικά όσο αυξάνεται η διάρκεια της, έτσι ώστε ο απαιτούμενος αριθμός ανθρωποημερών να παραμένει σταθερός. Η ποσότητα του παραγόμενου έργου είναι ίδια για όλους τους πόρους (εργάτες, μηχανήματα, κ.λπ.) στη μονάδα του χρόνου. Με άλλα λόγια, όλοι οι πόροι κάθε κατηγορίας και όλες οι κατηγορίες πόρων έχουν την ίδια παραγωγικότητα (productivity) (βλ. 4.8). Η εκτέλεση μίας δραστηριότητας απαιτεί τη χρήση του πόρου σε σταθερό ποσοστό. (π.χ. για την δραστηριότητα Α απαιτούνται 5 εργάτες σε κάθε μία από τις 4 ημέρες που διαρκεί). Οι δραστηριότητες του έργου δεν μπορούν να εκτελεστούν τμηματικά. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί πως οι ερευνητές δεν εξετάζουν την παράμετρο του κόστους του έργου. Το γεγονός αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα για την σύγκριση των αποτελεσμάτων καθώς στο προτεινόμενο μοντέλο βελτιστοποίησης το άμεσο κόστος μεταβάλλεται με τις απαιτήσεις σε πόρους, το ημερομίσθιο, όμως, διατηρεί μία σταθερή τιμή για τους εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας. Κατά συνέπεια, στην προτεινόμενη προσέγγιση το ΑΚ παραμένει σταθερό για τους εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης κάθε δραστηριότητας και δεν επηρεάζει τις συσχετίσεις του μοντέλου.

327 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.8 Περίπτωση 1 Στην παρούσα διερεύνηση στοχεύουμε σε μία επίλυση η οποία θα συνδυάζει τις δραστηριότητες (διάρκεια απαιτούμενοι πόροι) κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων, το διάγραμμα της κατανομής των πόρων να φέρει ομοιόμορφα χαρακτηριστικά και να επιτυγχάνεται η ελάχιστη δυνατή διάρκεια του έργου. Με το ΚΥΠ να λαμβάνει πολύ υψηλή τιμή ( / μονάδα υπέρβασης) και να λειτουργεί ως περιορισμός, οι λύσεις δεν αναμένεται να ξεπεράσουν το όριο των 12 εργατών ανά ημέρα. Επιπλέον, η υψηλή τιμή στο ΚΜΠ (300 / μονάδα μεταβολής) αναγκάζει τον αλγόριθμο σε επιλογές λύσεων με ομοιόμορφες κατανομές πόρων. Πίνακας 135. Παράδειγμα 8.8 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.8 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 300 ΚΥΠ ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / ημέρα υπέρβασης Rt 12 / μονάδα υπέρβασης Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται από την τιμή 1 έως και 150% επί του κανονικού τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων. Οι Christodoulou et al. (2009) δεν επιτρέπουν την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων πέραν του περιθωρίου κάθε δραστηριότητας, για τον λόγο αυτό επιλέγουμε limit time = 0%. Με άλλα λόγια, οι δραστηριότητες του έργου μπορούν να εκτελεστούν μόνο παράλληλα και όχι η μία μετά την άλλη ακόμα και αν μία τέτοια λύση μας οδηγεί σε χαμηλότερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης. Πίνακας 136. Παράδειγμα 8.8 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax A B C D

328 300 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) μέγιστη χρήση πόρων που δεν υπερβαίνει τους 12 εργάτες ανά ημέρα (περιορισμός διαθεσιμότητας των πόρων), (γ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Όπως προκύπτει από τον πίνακα 135, δεν τίθεται όρος κόστους για την συγκράτηση της χρονικής διάρκειας του έργου. Από την εφαρμογή του αλγορίθμου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα: Πίνακας 137. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 ΒΛΓΑ χωρίς χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη Λήξη j dj rj S F A B C D Στη συνέχεια παρουσιάζονται το διάγραμμα Gantt και το προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την βέλτιστη λύση (χωρίς χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων). Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ χωρίς χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 131. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Γράφημα 132. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Η διάρκεια του έργου υπερβαίνει κατά 7 ημέρες την διάρκεια που προέκυψε από την αρχική λύση CPM για τις κανονικές διάρκειες εκτέλεσης των δραστηριοτήτων (Tmin = 10 ημέρες), ενώ ο περιορισμός της διαθεσιμότητας των πόρων πληρείται σε όλη την διάρκεια του έργου. Ο υψηλός βαθμός χρήσης πόρων και η σχετικά μικρή τετραγωνική απόκλιση αποτελούν επιπλέον θετικά χαρακτηριστικά για την αξιολόγηση της λύσης. Αναλυτικά τα χαρακτηριστικά της ΒΛΓΑ παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 50 γενιές και 50 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

329 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 301 Πίνακας 138. Παράδειγμα 8.8 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ χωρίς χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,81 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,74 17 ημέρες 110 ανθρωποημέρες 6,47 εργάτες ανά ημέρα 8 εργάτες Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) συμπίπτει επακριβώς με την βέλτιστη λύση των Christodoulou et al. (2009) ως προς την συνολική διάρκεια του έργου. Συγκεκριμένα η ελάχιστη εντροπία του έργου προκύπτει για διάρκεια ίση με 16,67, δηλαδή 17 ημέρες όση ακριβώς και η διάρκεια της ΒΛΓΑ. Ακολουθεί ο πίνακας με τις 10 καλύτερες λύσεις στης εργασία των Christodoulou et al., 2009 και τα χαρακτηριστικά των καλύτερων λύσεων έτσι όπως προέκυψαν από την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθόδου. Πίνακας 139. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος με βάση την ελαχιστοποίηση της εντροπίας του έργου (Christodoulou et al., 2009) Λύση Φόρτωση πόρων Μετρήσεις Αποτελέσματα Μεθοδολογίας α/α Δραστ. Α Δραστ. Β Δραστ. Γ Δραστ. Δ Μέγιστη χρήση Συνολική εντροπία Διάρκεια έργου , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι Christodoulou et al. επιτρέπουν κλασματικές διάρκειες δραστηριοτήτων (συνεχείς κατανομές), σε αντίθεση με το προτεινόμενο μοντέλο στο οποίο εξ ορισμού οι διάρκειες των δραστηριοτήτων μπορούν να έχουν μόνο ακέραιες τιμές. Για τον λόγο αυτό, αν και η συνολική διάρκεια του έργου συμπίπτει με των Christodoulou et al., το χρονοπρόγραμμα

330 302 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ του έργου ή αλλιώς ο συνδυασμός διάρκειας απαιτούμενων πόρων για τις δραστηριότητες του έργου στην ΒΛ διαφέρουν στις δύο περίπτωσεις. Η παραπάνω υπόθεση σχετίζεται επίσης με το ότι οι προτεινόμενες από τους Christodoulou et al. εμφανίζουν υψηλότερες τιμές στον δείκτη χρήσης πόρων. Πίνακας 140. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος με βάση την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Φόρτωση πόρων Μετρήσεις Δραστ. Α Δραστ. Β Δραστ. Γ Δραστ. Δ Μέγιστη χρήση Κόστος έργου Διάρκεια έργου Από τους παραπάνω πίνακες προκύπτει σαφής σύγκλιση των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων, η οποία ουσιαστικά επαληθεύει την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου (σύγκριση με ήδη γνωστή επιστημονική μεθοδολογία η οποία έχει γενικευτεί σε ικανό πλήθος προβλημάτων κατανομής πόρων) Παράδειγμα 8.8 Περίπτωση 2 Αν διατηρήσουμε ακριβώς τα ίδια δεδομένα και τις ίδιες τιμές των κριτηρίων με την Περίπτωση 1 και επιτρέψουμε στον αλγόριθμο την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων πέραν του περιθωρίου τους (limit time = 200%), π.χ. κάποια δραστηριότητα να ξεκινήσει αφού έχει ολοκληρωθεί κάποια άλλη (δυνατότητα που δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην μεθοδολογία των Christodoulou et al.), τότε η ΒΛ που προκύπτει οδηγεί σε συντομότερη διάρκεια έργου 14 ημερών και φέρει τα εξής χαρακτηριστικά: Πίνακας 141. Παράδειγμα 8.8 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 - ΒΛΓΑ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F A B C D

331 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 303 Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 133. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ- ΧΜΔ) Γράφημα 134. Παράδειγμα 8.8 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ- ΧΜΔ) Με αυτόν τον τρόπο, επιτυγχάνουμε μεγαλύτερη συνολική χρήση των πόρων και συντομότερη διάρκεια, άρα και χαμηλότερο κόστος έργου. Η δυνατότητα κατάλληλης χρονικής μετακίνησης των δραστηριοτήτων αποτελεί ουσιαστική καινοτομία του προτεινόμενου μοντέλου, η οποία αν και μεγεθύνει σημαντικά τον χώρο αναζήτησης, οδηγεί ωστόσο σε λύσεις με σαφώς βελτιωμένα χαρακτηριστικά που είναι δυνατόν να εφαρμοστούν στην πραγματικότητα. Πίνακας 142. Παράδειγμα 8.8 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου 14 ημέρες Απαιτούμενοι πόροι 112 ανθρωποημέρες Μέση χρήση πόρων 8,0 εργάτες ανά ημέρα Μέγιστη χρήση πόρων 9 εργάτες Βαθμός χρήσης πόρων 0,89 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 1,18 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 50 γενιές και 50 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.

332 304 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Παράδειγμα 8.9 Αξιολόγηση Προτεινόμενης Μεθοδολογίας Βελτιστοποίησης Στον πίνακα που ακολουθεί περιγράφονται τα δεδομένα του δεύτερου θεωρητικού παραδείγματος (Case Study 2) που παρουσίασαν οι Christodoulou et al. (2009b) για να αποδείξουν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου βελτιστοποίησης της εντροπίας του έργου. Πρόκειται για απλό έργο το οποίο οι Christodoulou et al. έχουν επίσης δανειστεί από την βιβλιογραφία (Ηarris, 1990 Minimum Moment Method). Το ότι με το τρέχον πρόβλημα έχουν ασχοληθεί σε προηγούμενες εφαρμογές έμπειροι μελετητές, μας επιτρέπει την σύγκριση των αποτελεσμάτων και την εξαγωγή συμπερασμάτων για τα πλεονεκτήματα ή και τις αδυναμίες της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Το έργο αποτελείται από 11 δραστηριότητες ανάμεσα στις οποίες ισχύουν απλές σχέσεις διαδοχής τύπου FS. Για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων γίνεται χρήση ενός πόρου, έστω ενός συνεργείου εργατών (μονάδα μέτρησης: ανθρωποημέρες). Τα δεδομένα του έργου περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 143. Παράδειγμα 8.9 (11 δραστηριότητες) Christodoulou et al. (2009b), Case Study 2 Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια (ημέρες) Συνεργείο (εργάτες) ανθρωποημέρες J dj rj dj Χ rj A B C D A E A, B F B, C G C H D, E J E, G K F, G L H, J, K ΣΥΝΟΛΟ 109 Το κομβικό δικτυωτό γράφημα και τα μεγέθη χρονικού προγραμματισμού του έργου παρουσιάζονται στο σχήμα που ακολουθεί.

333 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 305 Σχήμα 62. Παράδειγμα 8.9 Κομβικό δικτυωτό διάγραμμα (Christodoulou et al., 2009b, CStudy 2) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι η B-F-K-L και η χρονική διάρκεια του έργου είναι 16 ημέρες Παράδειγμα 8.9 Περίπτωση 1 Στην παρούσα διερεύνηση θεωρούμε ότι διαθέτουμε απεριόριστους πόρους. Αναζητούμε την λύση που επιλέγει τον κατάλληλο τρόπο εκτέλεσης των δραστηριοτήτων ώστε να προκύψει κατά το δυνατόν ομοιόμορφη κατανομή πόρων σε διάρκεια έργου 16 ημερών. Οι προτεινόμενες τιμές των κριτηρίων παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 144. Παράδειγμα 8.9 Προσδιορισμός τιμών κριτηρίων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Προσδιορισμός τιμών για τα κριτήρια και τις παραμέτρους του προβλήματος 8.9 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 Κατηγορίες κόστους Μονάδα μέτρησης Τιμές κριτηρίων ΑΚ Άμεσο κόστος έργου / ανθρωποημέρα 100 ΕΚ Έμμεσο κόστος έργου (γενικές δαπάνες) / ημέρα 100 ΚΜΠ Κόστος μεταβολής πόρων / μονάδα μεταβολής 500 ΚΥΠx Κόστος υπέρβασης πόρων με βάση τους περιορισμούς διαθεσιμότητας / ημέρα υπέρβασης 0 ΚΥΧΡ Κόστος υπέρβασης χρονοδιαγράμματος με βάση αρχική λύση και κανονικές διάρκειες δραστηριοτήτων CPM / μονάδα υπέρβασης Τmin = 16 ημέρες

334 306 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Το εύρος διακύμανσης των τιμών των πόρων ορίζεται για κάθε δραστηριότητα ξεχωριστά και διαμορφώνεται από το 50% έως το 200% των κανονικών πόρων. Σε περίπτωση δεκαδικών στρογγυλοποιούμε προς τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό. Οι Christodoulou et al. (2009b) δεν επιτρέπουν την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων πέραν του περιθωρίου κάθε δραστηριότητας, για τον λόγο αυτό επιλέγουμε limit time = 0%. Πίνακας 145. Παράδειγμα 8.9 Προσδιορισμός ορίων των πόρων κάθε δραστηριότητας (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Διάρκεια Συνεργείο Low limit High limit j dj rj rmin rmax A B C D A E A, B F B, C G C H D, E J E, G K F, G L H, J, K Με βάση τις παραπάνω τιμές αναμένουμε, μία λύση κατανομής πόρων που να οδηγεί σε: (α) μεταβολή του τρόπου εκτέλεσης των δραστηριοτήτων, (β) χρονική διάρκεια έργου 16 ημερών, (γ) ομοιόμορφη κατανομή πόρων. Από την εφαρμογή του αλγορίθμου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα: Πίνακας 146. Παράδειγμα 8.9 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F A B C D A E A, B F B, C G C H D, E J E, G K F, G L H, J, K

335 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 307 Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα προφίλ απαιτήσεων σε πόρους για την ΒΛΓΑ και τις λύσεις όπως παρουσιάζονται στις ερευνητικές εργασίες Harris (1990) και των Christodoulou et al. (2009b). Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Γράφημα 135. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1- ΒΛΓΑ) Γράφημα 136. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1- ΒΛΓΑ) Βέλτιστη Λύση (Cristodoulou et al. - Harris) Γράφημα 137. Γράφημα 138. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (Cristodoulou et al.) Γράφημα 139. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (Harris) Γράφημα 140. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ)

336 308 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Η βέλτιστη λύση του αλγορίθμου (ΒΛΓΑ) για την διάρκεια των 16 ημερών οδηγεί σε ένα ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων. Ο τρόπος εκτέλεσης των δραστηριοτήτων μεταβάλλεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Από τα παραπάνω προκύπτει πως οι περιορισμοί που τέθηκαν μέσω των τιμών των κριτηρίων πληρούνται στο σύνολο τους και στην τρέχουσα εφαρμογή του αλγορίθμου. Η ΒΛΓΑ διαθέτει ελαφρώς βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με τις λύσεις των ερευνητών όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 147. Παράδειγμα 8.9 Δείκτες αξιολόγησης της λύσης του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) Βέλτιστη λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ) Αντικειμενική Συνάρτηση Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης ΑΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΕΜΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΕΚ) ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΜΠ) ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΠΟΡΩΝ (ΚΥΠ) 0 ΚΟΣΤΟΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ (ΚΥΧΡ) 0 ΣΥΝΟΛΟ f(c) Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,69 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,94 Βέλτιστη λύση (Cristodoulou et al.) Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Βέλτιστη λύση (Harris) Κριτήρια αξιολόγησης της λύσης Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,67 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,09 Διάρκεια έργου Απαιτούμενοι πόροι Μέση χρήση πόρων Μέγιστη χρήση πόρων Βαθμός χρήσης πόρων 0,68 Τετραγωνική απόκλιση χρήσης πόρων 2,29 16 ημέρες 110 ανθρωποημέρες 6,88 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες 16 ημέρες 107 ανθρωποημέρες 6,69 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες 16 ημέρες 109 ανθρωποημέρες 6,81 εργάτες ανά ημέρα 10 εργάτες Κατά συνέπεια, ο μηχανισμός αναζήτησης του αλγορίθμου επαληθεύεται με χρήση παραδειγμάτων για τα οποία γνωρίζουμε εκ των προτέρων την βέλτιστη λύση και κρίνεται αποτελεσματικός. Με βάση τα παραπάνω, μπορεί να γενικευτεί σε μεγαλύτερα ή και πιο σύνθετα παραδείγματα έργων.

337 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ 309 Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 50 γενιές και 50 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1. Θα πρέπει να σημειωθεί, όπως άλλωστε προκύπτει και από την ερευνητική εργασία των Christodoulou et al. ότι για τα παραπάνω δεδομένα, με εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης των δραστηριοτήτων δύναται να οδηγηθούμε και σε συντομότερες διάρκειες έργου από τις 16 ημέρες. Αξίζει να σημειωθεί ότι για 100 γενιές και 100 απογόνους ο αλγόριθμος οδηγεί σε ΒΛ με διάρκεια έργου 14 ημερών και ομοιόμορφο διάγραμμα κατανομής πόρων. Γράφημα 141. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-14 ημέρες) Γράφημα 142. Παράδειγμα 8.9 Προφίλ πόρων (ΒΛΓΑ- 14 ημέρες) Παράδειγμα 8.9 Περίπτωση 2 Αν διατηρήσουμε ακριβώς τα ίδια δεδομένα και τις ίδιες τιμές των κριτηρίων με την Περίπτωση 1 και επιτρέψουμε στον αλγόριθμο την χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων πέραν του περιθωρίου τους (limit time = 200%), π.χ. κάποια δραστηριότητα να ξεκινήσει αφού έχει ολοκληρωθεί κάποια άλλη ή ακόμα και μερικές ημέρες αργότερα (δυνατότητα που δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην μεθοδολογία των Christodoulou et al.), τότε η ΒΛ που προκύπτει οδηγεί σε διάρκεια έργου 16 ημερών και φέρει βελτιωμένα χαρακτηριστικά σε σχέση με την Περίπτωση 1. Αναλυτικά:

338 310 ΚΕΦ.8/ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ/ Πίνακας 148. Παράδειγμα 8.9 Επίλυση του προβλήματος (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2 - ΒΛΓΑ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Δραστηριότητα Αμέσως προηγ. Αρχική Διάρκεια Βέλτιστη λύση Διάρκεια Πόροι έναρξη λήξη j dj rj S F A B C D A E A, B F B, C G C H D, E J E, G K F, G L H, J, K Βέλτιστη Λύση (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ με χρονική μετακίνηση των δραστηριοτήτων) Γράφημα 143. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-ΧΜΔ) Γράφημα 144. Παράδειγμα 8.9 Διάγραμμα Gantt με κατανομή πόρων (ΒΛΓΑ-ΧΜΔ) Με αυτόν τον τρόπο, επιτυγχάνουμε μεγαλύτερη συνολική χρήση των πόρων, άρα και χαμηλότερο κόστος έργου. Η δυνατότητα κατάλληλης χρονικής μετακίνησης των δραστηριοτήτων αποτελεί ουσιαστική καινοτομία του προτεινόμενου μοντέλου, η οποία αν και μεγεθύνει σημαντικά τον χώρο αναζήτησης, οδηγεί ωστόσο σε λύσεις με σαφώς βελτιωμένα χαρακτηριστικά που είναι δυνατόν να εφαρμοστούν στην πραγματικότητα. Ως προς την παραμετροποίηση του ΓΑ επιλέχθηκαν 100 γενιές και 100 απόγονοι και πιθανότητα μετάλλαξης 0,1.