ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Transcript

1 Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =. 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. i) Η f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii) Η f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ iv) H f έχει άξονα συμμετρίας τον y y Σ Λ v) Η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των Σ Λ vi) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική με άξονα συμμετρίας τον y y προς τη γραφική παράσταση της g () = 5. Σ Λ vii) Ισχύει ότι f () > f (/5) Σ Λ viii) Ισχύει ότι f ( 999 ) > f ( 000 ) Σ Λ i) Το σημείο Α (0, ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f Σ Λ ) Το σημείο M( 5 ) 5,. * Ισχύει ότι: i) ανήκει στη γραφική παράσταση της f. <, για κάθε R Σ Λ ii) ( ) ( 5) iii) ( ) >, για κάθε R, για κάθε R Σ Λ iv) (-) =, αν ακέραιος Σ Λ v) (-) + = -, αν ακέραιος Σ Λ. * Ισχύει ότι: i) (+) - = αν = Σ Λ ii) (-) =, αν = 0 Σ Λ iii) + =, αν = Σ Λ iv) - =, αν = Σ Λ v) (-) + = αν = - Σ Λ 4. * Ισχύει ότι: i) (0,8) > (0,8) y, αν < y Σ Λ ii) (,5) < (,5) y, αν < y Σ Λ Σ Σ Λ Λ 45

2 iii) < y 5, αν < y 5 Σ Λ iv) (0,) < (0,) y, αν > y Σ Λ v) (e) > (e) y, αν > y Σ Λ y vi), αν > y > Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ.) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R - {} Ε. το σύνολο R * Σχ.. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ. ) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το σύνολο R Γ το διάστημα ( 0, + ) Δ. το σύνολο R - {} Ε. το σύνολο R * Σχ.. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α έχει πεδίο ορισμού Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R - {} Δ. το σύνολο R Ε. το σύνολο R * 4. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ.) είναι 46

3 Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0 ) Δ. το διάστημα ( 0, + ) Ε. το σύνολο R * 5. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = Σχ. (Σχ. 4) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0 ] Δ. το σύνολο R * Ε. το διάστημα ( 0, + ) Σχ.4 6. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α έχει σύνολο τιμών Α. το διάστημα ( 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0) Δ. το διάστημα [ 0, + ) Ε. το σύνολο R * 7. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f ()= 4 (Σχ. 5) Α. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Β. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0,). Γ. τον άξονα y y σε σημεία. Δ. έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Ο Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. Σχ.5 8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = 4 (Σχ.6) 47

4 Α. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Β. τον άξονα y y σε σημεία. Γ. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0, ). Δ. έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα Ο Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. Σχ.6 9. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α με 0 <α Α. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0, ) Β. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Γ. τον άξονα y y σε σημεία. Δ. έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη του y y Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. 0. * Η συνάρτηση με τύπο f () = 5 (Σχ.7) είναι: Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη Σχ.7. * Η συνάρτηση με τύπο f () = 5 (Σχ.8) είναι Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη Σχ.8. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α < είναι πάντοτε 48

5 Α. γνησίως φθίνουσα Β. σταθερή Γ. περιοδική Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με α > είναι πάντοτε Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη 4. * Στο Σχ. 9 είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = Σχ.9 α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = είναι Α. Γ. Β. Δ. Ε. - β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο h () = είναι Α. Β. 49

6 Γ. Δ. Ε. 5. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = - είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της f () = (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. την ευθεία y = Γ. την ευθεία y = - Δ. τον άξονα Ε. κέντρο το Ο(0,0) 6. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = παράσταση της f () = 5 (Σχ.) ως προς 5 είναι συμμετρική με την γραφική Σχ. 50

7 A. τον άξονα B. τον άξονα y y Γ. την ευθεία y = 5 Δ. την ευθεία y = 5 Ε. κέντρο το Ο(0, 0) Σχ. 7. * Έστω η συνάρτηση f () =. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Α. η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ) Β. η f έχει σύνολο τιμών το σύνολο R Γ. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού oης Δ. η γραφική της παράσταση τέμνει τον στο σημείο Α(0, ) Ε. η γραφική της παράσταση έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των. 8. * Έστω η συνάρτηση με τύπο f () = Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Β. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Γ. η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ). Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Δ. η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y y στο σημείο Μ (0, /) Ε. η γραφική παράσταση της f τέμνει τον στο σημείο Ν (, 0) 9. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () > f () B. f () < f () Γ. f () f () Δ. f () = f () E. f () = f () 0. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () < f () Β. f () f () Γ. f () > f () Δ. f () = f () E. f () = f (). * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε δεν είναι σωστή η Α. f (0,5) < f (0,8) Β. f (-) > f (-) Γ. f Δ. f (, ) > f (-, ) E. f ( ) > f ( 5) > f 5 7. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε i f είναι ίσος με Α. Β. 4 9 Γ. 9 Δ. Ε. 5

8 . * Αν α > 0, μ, ν θετικiί ακέραιοι με ν τότε το α μ ν ισούται με μ Α. α ν α Β. α μ ν Γ. α ν μ Δ. ν α μ Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 4. * Το 5 ισούται με Α. 5 Β. Γ. Δ. -5 Ε * Αν = 7, τότε το είναι Α: 7 Β: /9 Γ: 0 Δ: Ε: 9 6. * Δίνεται η εξίσωση 5+ 0 = 6. Τότε το είναι Α. ή - Β. ή Γ. - ή - Δ. 0 Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 7. * Αν = 6, τότε το είναι Α. 4 Β. Γ. Δ. - Ε * Αν f () =, τότε το f (f ()) ισούται με Α. 6 B. 8 Γ. Δ. E * Η εξίσωση + = έχει λύση τον αριθμό Α. - Β. - Γ. Δ. Ε *Η εξίσωση + = - Α. έχει λύση ένα θετικό αριθμό Β. έχει λύση ένα αρνητικό αριθμό Γ. έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό 0 Δ. είναι αδύνατη Ε. έχει λύση την = 0. Δίνεται η ανίσωση >. Τότε ισχύει Α. > B. = 0 Γ. < Δ. E. =. * Δίνεται η ανίσωση. Τότε ισχύει A. B. = - Γ. Δ. > E. >. * Δίνεται η ανίσωση 5 + < 65. Tότε ισχύει Α. = B. Γ. = 5 Δ. > E. < 4. * Δίνεται η ανίσωση 6 8. Tότε ισχύει Α. 6 B. 4 Γ. > 4 Δ. = 6 5

9 E. τίποτα από τα προηγούμενα 5. * Η ανίσωση < αληθεύει Α. Για (, ) Β. Για (, ] Γ. Για (, 0) Δ. Για (, + ) Ε. Για κάθε R 6. * Έστω η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α. Ποιο από τα παρακάτω σημεία αποκλείεται να ανήκει στη γραφική παράσταση της f; A. (-, 8), B. (0, ), Γ. (, -7), Δ. (, ) Ε. (, ) 7. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f () = και g() = e. Τότε ισχύει ότι Α. f (e) = g (e) B. f (e) > g(e) Γ. f () < g () Δ. f > g Ε. f = g 8. ** Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = e και y = e (Σχ.) που τέμνονται στο σημείο Α( o,e). Το ο είναι ίσο με Α. e B. Γ. Δ. e Ε. Ερωτήσεις διάταξης Σχ.. * Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς Α = 0,5 Β = Γ = Δ = Ε =. * Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς Α = 0,5 Β = Γ = 0,5 0,5 Δ = Ε = 0 5,. ** Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων, αν R Α = 0,5 B = Γ = Δ = Ε = e Ερωτήσεις αντιστοίχισης. Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. 5

10 Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β f f f f f () = 4 () = 8 () = 4 4 () = 4 5 () = 4 Σχ.4 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C. Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β 5 f ( ) = f ( )= f ( )= f4 ( )= f5( )= Σχ.5 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C 54

11 Ερώτηση συμπλήρωσης. Στο διπλανό σχήμα υπάρχει η γραφική παράσταση C της f () =, η καμπύλη C συμμετρική της C ως προς τον άξονα y y, η καμπύλη C συμμετρική της C ως προς τον άξονα και η καμπύλη C 4 συμμετρική της C ως προς την αρχή O (0,0) των αξόνων. Σχ.6 Να συμπληρώσετε στον παρακάτω πίνακα τους τύπους των συναρτήσεων f (), f () και () των οποίων οι C, C και C 4 αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις αντίστοιχα. f 4 Καμπύλη C C C C 4 Τύπος f () = - f () = f () = f 4 () = συνάρτησης 55

12 Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) = 8 ii) = 7 iii) = iv) = 7 v) = 6. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) = ii) ( ) ( ) 9 = 4 iii) 4 = 6 iv) 9 =0 v) + + = 4 vi) = 50. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) = 0 ii) 5 = iii) = 0 iv) 4 + = 0 v) + 4 = 4. ** Να λύσετε τις εξισώσεις + i) ( 5 + 5) = 5. ** Να λύσετε τις εξισώσεις ημ i) = ii) ημ συν = 9 6. ** Να λύσετε τις ανισώσεις i) < ii) ii) e + e = e + e < 4 + ημ 5 + ημ ημ συν iii) ( ) ημ 4 = 5 iii) ( 0, 5) < 0, 5 iv) < ** Να λύσετε τα συστήματα i) + y+ 9 = + y 4 = 8 ii) = + y = 8 iii) y 4 = y = 9 iv) 9 8. ** i) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις συναρτήσεις: f( )= y y = = 4 6 και g( )= ii) Να εξηγήσετε γιατί οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y y. 9. ** Αν f και g δύο συναρτήσεις με f( ) = ( + ) α α και g ( ) = ( α α ) να αποδείξετε ότι: f (+y) = f () f (y) + g() g(y). 0. ** i) Να βρείτε τo (α 5) ώστε η f( )= α α 5 ii) Να βρείτε το α, (α 0) ώστε η g( )= 5 α να είναι γνησίως αύξουσα. να είναι γνησίως φθίνουσα. 56

13 . ** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( )= ( k ) α) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f; β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του k για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f () να περνάει από το σημείο P,.. δ) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f () να περνάει από το σημείο Σ (, ).. ** Σ ένα ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο. Η θερμοκρασία (πυρετός) Θ (t) του ασθενούς t ώρες μετά την λήψη του φαρμάκου δίνεται από τον τύπο Θ( t) = 6+ 4 t σε βαθμούς Κελσίου. α) Να βρείτε πόσο πυρετό είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμακο. β) Να βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα πάρει την φυσιολογική τιμή των 6,5 C. γ) Αν η επίδραση του αντιπυρετικού διαρκεί 4 ώρες πόση θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η επίδραση του φαρμάκου.. *** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = kα, 0 < α και k R i) Να βρείτε τους λόγους: f ( + ) f( + ), f( ) f( + ), ii) Να βρείτε τους λόγους: f ( + ) f( + 6), f( ) f( + ), f( + 7) f( + 6) f( + 6) f( + ) iii) Να αποδείξετε ότι ο λόγος των τιμών της f () που αντιστοιχούν σε ζεύγη τιμών της μεταβλητής που ισαπέχουν είναι σταθερές. (Ζεύγη τιμών που ισαπέχουν είναι (, + ), ( +, + 6), ( +, + 5) κλπ. Σχ.7 iv) Στο σχήμα 7 δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας εκθετικής συνάρτησης και μιας παραβολής. ρησιμοποιώντας το ερώτημα (iii), να βρείτε ποια είναι η γραφική παράσταση της εκθετικής. Παρατήρηση: Το ερώτημα (iii) εφαρμόζεται ως κριτήριο αναγνώρισης μίας καμπύλης αν είναι γραφική παράσταση εκθετική και ως κριτήριο αναγνώρισης αν ένας πίνακας τιμών, y ορίζει μία εκθετική συνάρτηση. 4. ** Ένα δείγμα 5 Kgr ενός ραδιενεργού ισοτόπου διασπάται σύμφωνα με τον τύπο: Q( t) = Q e όπου Q (t) παριστάνει την ποσότητα που απομένει μετά από χρόνο t, Q o = Q ( 0 ) η αρχική ποσότητα o kt (για t = 0) και k σταθερά που εξαρτάται από το υλικό.αν το μισό του αρχικού δείγματος διασπάστηκε σε 0 min., να βρείτε πόση ποσότητα ραδιενεργού υλικού θα έχει απομείνει μετά από 40 min. 5. ** Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων παρατηρεί ότι: i) ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400. ii) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν.00. Αν ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων aίναι P(t) kt o = Ρ, όπου Ρ(t) ο αριθμός των βακτηριδίων oε χρόνο t, Ρ 0 o αρχικός αριθμός και k σταθερά που εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων τότε:α) Να βρείτε τη σταθερά k.β) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. 57

14 γ) Σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί; 6. ** α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = k 4 είναι η καμπύλη του σχήματος 8 να βρείτε το k. β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = 8 α είναι η καμπύλη του σχήματος 9 να βρείτε το α. Σχ.8 γ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α - είναι η καμπύλη του σχήματος 0 να βρείτε το α. Σχ. 9 δ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = kα είναι η καμπύλη του σχήματος να βρείτε τα k, α. Σχ. 0 Σχ. 58

15 ε) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = k α είναι η καμπύλη του σχήματος να βρείτε τα k, α. Σχ. 7. * Να βρείτε το σημείο ο σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) ii) iii) iv) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 59

16 Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. * Αν 0 < α και θ > 0 ισχύει η ισοδυναμία. log α θ= α = θ. Σ Λ. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α α = α Σ Λ log. * Αν 0 < α ισχύει ότι α θ α = θ Σ Λ 4. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α = Σ Λ 5. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α α = Σ Λ 6. * Αν θ > 0 ισχύει ότι log(0θ) = +logθ Σ Λ θ 7. * Αν θ > 0 και θ 0 ισχύει ότι log = logθ 0 Σ Λ 8. * Αν θ > 0 και θ 0 ισχύει ότι logθ = θ Σ Λ log 9. * Ισχύει ότι log = log 9 0. * Ισχύει ότι ln7 ( ) = e Σ Λ Σ Λ. * Στο σχήμα 7 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = log Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. 7 i) H f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ). Σ Λ ii) H f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Σ Λ iv) H f έχει άξονα συμμετρίας τον. Σ Λ v) H f έχει ασύμπτωτη του αρνητικού ημιάξονα των y y Σ Λ vi) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφι-κής παράστασης της g( ) vii) Ισχύει ότι f ( ) f ( ) = 0 ως προς την ευθεία y =. Σ Λ < Σ Λ viii) Το σημείο (,0) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ i) To σημείο (0,) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ ) Tο σημείο (0,) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ. * Ισχύει ότι: i) log > lne, για κάθε > 0 Σ Λ ii) log < lne για κάθε > 0 Σ Λ iii) log0 = Σ Λ iv) lne = Σ Λ 60

17 0 v) log = loge e Σ Λ. * I) Αν < y τότε log < logy Σ Λ ii) Αν < y τότε ln > lny Σ Λ iii) Αν < y τότε log iv) Αν < y τότε log > log y Σ Λ > log y Σ Λ 4. * Στο σχήμα 8 φαίνονται οι γραφι-κές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους f ( ) = ln και g( ) = e. Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: Σχ. 8 i) Οι γραφικές παραστάσεις των f και g είναι συμμετρικές ως την ευθεία y =. Σ Λ ii) Οι γραφικές παραστάσεις των f και g δεν τέμνονται. Σ Λ iii) Οι γραφική παράσταση της f τέμνει τον στο (,0). Σ Λ iv) Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον y y στο (0,). Σ Λ v) Ισχύει ότι f ( ) < g( ) Σ Λ ζφ ζφ vi) Ισχύει ότι f < g η θ χψ ηθ χψ Σ Λ vii) H f και η g είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις στα πεδία ορισμού τους. Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι A. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) y y=log Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R -{} O 6

18 . * Tο πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι Σχ. A. το διάστημα ( 0, + ) B. το διάστημα [ 0, + ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R-{} Σχ.. * Το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log α με 0 < α είναι Α. Το διάστημα [ 0, + ) B. Το σύνολο R Γ. Το διάστημα ( 0, + ) Δ. Το σύνολο R* E. Το σύνολο R-{} 4. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0 ) Γ. το διάστημα ( 0, + ) Δ. το διάστημα (, 0) E. το σύνολο R Σχ. 5. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.4) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0 ) Γ. το διάστημα ( 0, + ) Δ. το σύνολο R Ε. το διάστημα (, 0) 6 Σχ. 4

19 6. * Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log α με 0 < α είναι Α. Το διάστημα [ 0, + ) Β. Το σύνολο R Γ. Το διάστημα ( 0, + ) Δ. Το διάστημα (, 0 ) Ε. Το διάστημα (, 0] 7. * Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log 4 (Σχ.5) τέμνει Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα και τον άξονα y y Γ. μόνο τον άξονα στο σημείο (,0) Δ. τον άξονα σε δύο σημεία Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.6) τέμνει 4 Σχ. 5 Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα και τον άξονα y y Γ. μόνο τον άξονα σε δύο σημεία Δ. τον άξονα στο σημείο (,0) Ε. τίποτα από τα παραπάνω Σχ * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με ο < α έχει γραφική παράσταση που τέμνει Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα στο σημείο (,0) Γ. τον άξονα και τον άξονα y y Δ. τον άξονα σε δύο σημεία Ε. τίποτα από τα παραπάνω 0. * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με ο < α < είναι πάντοτε Α. γνησίως αύξουσα Β. σταθερή Γ. άρτια Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με α > είναι πάντοτε Α. γνησίως αύξουσα Β. περιττή Γ. σταθερή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η συνάρτηση με τύπο f () = log (Σχ.7) είναι 0 6

20 Α. γνησίως αύξουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα y O y=log /0. * Η συνάρτηση με τύπο f () = log (Σχ.8) είναι Α. γνησίως αύξουσα Β. περιοδική Γ. σταθερή Δ. γνησίως φθίνουσα y Σχ. 7 y=log Ε. τίποτα από τα παραπάνω O 4. * Η συνάρτηση με τύπο f () = ln (Σχ.9) είναι Α. γνησίως αύξουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα παραπάνω y O Σχ. 8 y=ln Σχ ** Για την συνάρτηση με τύπο f () = ln (Σχ.0) δεν ισχύει ότι Α. έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ) Β. έχει σύνολο τιμών το διάστημα [ 0, + ) Γ. έχει ελάχιστο το 0 για = Δ. είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Ε. τέμνει τον άξονα y y. Σχ. 0 64

21 6. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g ()= log (Σχ. ) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0,0) Γ. την ευθεία y = Δ. την ευθεία y= - Ε. τον άξονα. Σχ. 7. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = log (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0,0) Γ. την ευθεία y = - Δ. την ευθεία y = E. τον άξονα. Σχ. 65

22 8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = e είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g ()= ln (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0, 0) Γ. την ευθεία y = Δ. την ευθεία y = - E. τον άξονα. Σχ. 9. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g()= log α όταν 0<α ως προς Α. τον άξονα y y Β. την ευθεία y = Γ. το σημείο (0,0) Δ. την ευθεία y = - E. τον άξονα 0. * Η ισοδυναμία log α = y = α y ισχύει πάντοτε με τις προϋποθέσεις Α. R και α > 0 Β. [0,+ ) και 0 α Γ. (0,+ ) και ο < α Δ. R και α Ε. 0 και α 0. * Αν log = 5 τότε το είναι ίσο με Α. Β. Γ. - Δ. Ε. 0. * Αν log = 4 τότε το είναι ίσο με Α. 7 Β. Γ. 64 Δ. 8 Ε: 9. * Αν log 64 = τότε το είναι ίσο με Α. Β. 6 Γ. 8 Δ. Ε. 6 4.* Η παράσταση log 5 είναι ίση με Α. Β. log5 Γ. 5 Δ. log E. 0 5.* Η παράσταση log α α με 0<α είναι ίση με Α. α B. Γ. α Δ. 0 Ε. α 6. * Η παράσταση log α με 0 < α είναι ίση με Α. α Β. Γ. α Δ. 0 Ε. α 7. * Η παράσταση log00 είναι ίση με Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. 00 Ε * Η παράσταση log + log7 είναι ίση με Α. log9 B. log4 Γ. log 7 Δ. log5 E. log7 9. * Η παράσταση log - log είναι ίση με Α. log9 B. log5 Γ. log6 Δ.log E. log4 0. * Η παράσταση log είναι ίση με Α. log6 B. log5 Γ. log Δ. log E. τίποτα από τα προηγούμενα 66

23 . * Η παράσταση log log είναι ίση με Α. log B. log Γ. log Δ. log Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η παράσταση log5+ log8 είναι ίση με Α. 6 Β. log 00 Γ. 5 log 4 Δ. Ε. log * Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η Α. log5< log5 Β. log log 5 5 Γ. log5 > log5 Δ. log5 = log5 Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 4. * Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η log 5< log 7 Α. log 5> log 7 Δ. 5. * Ο log (4- ) ορίζεται αν log 5 log 7 Β. Ε. τίποτα από τα προηγούμενα log 5= log 7 Γ. Α. > B. - < < Γ. < - Δ. = E. = - 6. * Ο log - δεν ορίζεται αν Α. > B. Γ. - < < Δ. < - E. = 7. * Η συνάρτηση f () = log(-6) + log(7-) ορίζεται αν Α. = 6 B. < 6 Γ. > 7 Δ. = 7 E. 6 < < 7 8. * Αν log [log (-)] = 0 τότε το είναι ίσο με A. B. Γ. Δ. 4 Ε ** Αν logθ =,6 τότε ο θ ανήκει στο διάστημα Α. (0,) Β. (,) Γ. (,5) Δ. (5,0) Ε. (0,00) 40. ** Αν ισχύει log (ημ)= 0 τότε είναι Α. = κπ+ π Β. = κπ+ π Γ. = κπ 4 Δ. = κπ+π Ε. = κπ π 4. ** Αν ισχύει log(εφ)= 0 τότε είναι π Α. = k π+ Β. Δ. = k π E. π = Γ. 4 k π+ = kπ 4. * Αν log50 - log = log τότε το είναι ίσο με π 4 = k π+ Α. 00 Β. 5 Γ. 5 Δ. 48 Ε.,5 π 6 67

24 4. * Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους f () = ln και y = τέμνονται στο σημείο A( o, ) (Σχ.4). Τότε το ο είναι ίσο με Α. e B. Γ. Δ. e Ε. Σχ. 4 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β f () = log f () = ln f () = log + f 4 () = log Σχ.5 f 5 () = log 4 - Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C. * Κάθε ισότητα της στήλης Α του πίνακα (Ι) ισοδυναμεί με μια ισότητα της στήλης Β. 68

25 Πίνακας (Ι) Στήλη Α. log α = 8. log 8 α =. ln = +ω 4. ωln = Στήλη Β Α. α 8 = Β. ω = e Γ. ω = e Δ. α = 8 Ε. = e ω+ ΣΤ. α = 8 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε ισότητα της στήλης Α να αντιστοιχεί η ισοδύναμή της ισότητα που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) 4. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν λογαριθμικές παραστάσεις και στη στήλη Β διάφορα αναπτύγματα. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β. log y. ln(y ). ln(0y) Α. log - logy Β. ln + lny Γ. log - logy Δ. ln0 + ln + lny Ε. + ln + lny Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε λογαριθμική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί το ανάπτυγμά της που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) 4. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν αναπτύγματα και στη στήλη Β κάποιες παραστάσεις. Πίνακας (Ι) 69

26 Στήλη Α Στήλη Β. log4 - log + logy. logα + logβ - logγ. ln - lny + A. log 4 y Β. ln e y Γ. ln y Δ. ln [ ( + e)( e ) ] Ε. log αβ γ Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε ανάπτυγμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η ισοδύναμή του παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) Ερωτήσεις διάταξης Να τοποθετήσετε σε μια σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:. * Α = log0,5 B = log Γ = log. * Α = log Β = log Δ = 0 Ε = Γ = log 5 Δ = 0 Ε =. * Α = log Β = log Γ = log Δ = 0 Ε = Να τοποθετήσετε κατά σειρά μεγέθους τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: 4. * Α = log 0. 5 Β = log Γ = log Δ = 0 a) An 0 < < b) An > Ερωτήσεις συμπλήρωσης. * Να συμπληρώσετε τα κενά στις ισότητες που ακολουθούν: 70

27 i) log 5 = ii) log 5 5 = iii) log = iv) log ρ = v ) log α ( α ) =, ρ R. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: vi) log 5 5 = vii) log 6 6 = viii) log 6 = i) ln = vii) ln = i) log α = ii) log α α = iii) log α α = iv) log α = v) log α α = vi) log k = i) log α = ) log α = 0 vii) log α = viii) log α = Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να λύσετε τις εξισώσεις: i) log( + ) = log( ) ii) log( + ) = + log( ) ln iii) log( ) log( ) = log( 4 ) log iv) ln =. ** Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (log0 log 5) = log( 4 ) ii) log ( 4 + 4) = + log ( ). ** Να λύσετε τις εξισώσεις: + iii) log ( 9 ) = i) log + log + log = ii) log (log ) = log (log ) iii) log [log (log )] = ** α) Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 log β) Να λύσετε την εξίσωση: log log 00 log = *** Αν σε μία αριθμητική πρόοδο (α ν ) ο πρώτος όρος είναι α = log και ο δεύτερος όρος της είναι α = log 8. α) Να βρείτε την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. β) Να λύσετε την εξίσωση: log ω 9 log ω 9 log ω + 8= ** i) Να αποδείξετε ότι: 7. ** i) Να αποδείξετε ότι: log log log log = ii) Να λύσετε την εξίσωση: = 54 log5 log5 = αν 0 < ii) Να λύσετε την εξίσωση log5 log5 + = 64 iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά α log y log logβ γ log α 8. ** i) Να αποδείξετε ότι = y με,y > 0 β = γ με (0 < α,β,γ ) ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log + y = 0 log y = iii) Αν οι λύσεις του (ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: log[log( * + logθ 0)]=0 να βρείτε το θ R + 7

28 9. ** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( ) = log i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) Να δείξετε ότι f( ) log ( = )( ) log [log ( )]. ( ) iii) Να λύσετε ως προς λ R την εξίσωση: λ f (4) = log λ+ + ( - λ) log log( + ) 0. ** Να λύσετε την εξίσωση: ( + ) = 00( + ).. ** Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς που οι φυσικοί τους λογάριθμοι έχουν άθροισμα και γινόμενο ν. ** Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: log + log + log + + log = ν. ** Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο (α ν ) ισχύει α ρ = k α, όπου ο α ρ ο όρος τάξεως ρ, α ο πρώτος της όρος, και λ ο λόγος της να αποδείξετε ότι: (ρ )logλ = logk 4. ** Να βρείτε το o σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) ii) iii) iv) 5. ** Να βρείτε: α) τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες η γραφική παράσταση της f( ) = log ( + ) (Σχ.6). β) Το k ώστε το σημείο P, k να ανήκει στη γραφική της παράσταση. 6. ** Να λύσετε την εξίσωση ln(συν) = 0. Σχ. 6 7

29 7. ** Ο θόρυβος y ενός ήχου σε db (ντεsιμπέλ) δίνεται από τον τύπο y = 0log όπου η πίεση που 0 ασκεί το ακουστικό κύμα στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα μετρούμενη σε μρ (μικρο Pascals, μρ= 0-6 Ρ). α) Πόση πίεση ασκεί ένα αθόρυβο κύμα στα μόρια του αέρα; β) Ένας κεραυνός άσκησε πίεση = 0 6, 5 μρ στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα. Πόσο db ήταν ο θόρυβος που προξένησε; Δίνεται ότι: Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβός της είναι το 0dB (όσος δηλαδή ο θόρυβος του θροΐσματος των φύλλων ενός δέντρου σε ελαφρύ φύσημα του αέρα - μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). 8. ** Ο θόρυβος L σε db (ντεσιμπέλ) που προκαλεί μια ηχητική πηγή δίνεται από τον τύπο L = 0 + 0log (0 - I) όπου Ι το μέτρο της έντασης του ήχου σε Watt/m. α) Πόση πρέπει να είναι (το πολύ) η ένταση μια «αθόρυβης» ηλεκτρικής συσκευής; β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Είδος θορύβου Mηχανές αεροπλάνου Jet (σε απόσταση 0m) Μουσική Rock (,5m μακριά από το ηχείο) Μοτοσικλέτα (με κανονική εξάτμιση) Συνομιλία (σε ήρεμο κλίμα) Θόρυβος σε db Ένταση ήχου σε Watt/m γ) Σ' ένα πεζοδρόμιο δουλεύουν ταυτόχρονα σε πολύ μικρή απόσταση κομπρεσέρ που το καθένα ξεχωριστά προκαλεί θόρυβο 0 db. Πόσος είναι ο συνολικός θόρυβος που προκαλεί και τα δύο μαζί; Δίνονται: i) Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβος της είναι 0dB (όσος δηλαδή είναι ο θόρυβος του θροίσματος των φύλλων του δένδρου σε ελαφρό φύσημα του αέρα - μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). ii) log 0,