ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Transcript

1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ. Δίνεται ο αριθμός ln00 log. α) Να βρείτε τον αριθμό αr β) Nα λύσετε την εξίσωση ln 0. Δίνεται ο αριθμός ln 5log ln 5. α) Να βρείτε τον αριθμό αr β)nα λύσετε την εξίσωση ln8ln3 00 (log0000) log log 3 3. Δίνονται οι αριθμοί : και 00 α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β log log3 β) Nα λύσετε την εξίσωση 9. Δίνονται οι αριθμοί : log(00log0 00log) και α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β β) Τον αριθμητικό μέσο των αριθμών logα και logβ. ln ln 8 log Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ο τρίτος και τέταρτος όρος έχουν άθροισμα log και ο έκτος όρος όσος με log8 α) να αποδείξετε ότι : 3log και log S0 β) Να βρείτε το πηλίκο 0. Σε αριθμητική πρόοδο α =logα και ω=logω, να αποδείξετε ότι : log ( ) S 7. Σε αριθμητική πρόοδο α =lη3 και α =ln7, να αποδείξετε ότι: Sv = ν lη3 8. Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να αποδείξετε ότι:,, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. loga log log 9. Αν,, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι: lη(α+γ)+lη(α-β+γ)=ln(α-γ) 0. Αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο oga και δεύτερο όρο og.να δειχτεί ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της : ( ) g ( 3)

2 . Οι λογάριθμοι των διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων του δεύτερου και τρίτου όρου της γεωμετρικής προόδου.να βρεθούν οι πρόοδοι.. Αν σε μία αριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος log33 και ο δεύτερος όρος της log38. α) Να βρείτε την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. β) Να λύσετε την εξίσωση: 3 log log log Να βρείτε για ποιες τιμές του οι αριθμοί g, g( ), og( 3). Να βρείτε για ποιες τιμές του οι αριθμοί g, g( ), og3 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του οι αριθμοί g, g, og( ) 3. Το πολυώνυμο P() log log5 log έχει παράγοντα το -. Να βρείτε : α) την τιμή του λr β) το υπόλοιπο του P() με το + 7. Το κόστος διαφήμισης ενός προϊόντος σε χιλιάδες δραχμές δίνεται από τη συνάρτηση : K( ) 00 og(0 ), 0 όπου χ ο αριθμός των προϊόντων που θα πωληθούν.ποιο ποσό θα χρειαστεί να ξοδευτεί σε διαφήμιση για να πωληθούν : α)90 β)990 γ)9990 τεμάχια από το προϊόν f log log log. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι f log f log 3 log 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο γ) Να λύσετε ως προς την εξίσωση: 9. Δίνεται η συνάρτηση f() 3log(0 ) β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y γ) Να μελετήσετε την f ω ς προς τη μονοτονία 3 99 δ) Να λύσετε την εξίσωση 8 f 0

3 0. Δίνεται η συνάρτηση f () log β) Να υπολογίσετε το άθροισμα f()+f() γ) Να αποδείξετε ότι η f περιττή. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σημείο Μ(9,-7 ). α) Να βρείτε την τιμή του αr β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f γ) Να αποδείξετε ότι η f άρτια f () log διέρχεται από το. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σημείο Μ(-,+log). α) Να βρείτε την τιμή του αr β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f γ) Να λύσετε την ανίσωση f()< δ) Να λύσετε την εξίσωση log y f ( 3) y f () log διέρχεται από το 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() log( ) τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο με τετμημένη 9 α) Να βρείτε την τιμή του αr β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. Δίνεται η συνάρτηση f () log β) Αν ισχύει f()+f()=, να βρείτε την τιμή του αr γ) Για την τιμή του α που βρήκατε,να λύσετε την εξίσωση 3 f () 5. Δίνεται η συνάρτηση f () loglog( 0) β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y γ) Να λυθεί η ανίσωση f() 0. Δίνεται η συνάρτηση f () log log( 3 3 β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 7. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () log 00 από την αρχή των αξόνων. α) Να βρείτε την τιμή του αr διέρχεται 3

4 β) Να αποδείξετε ότι η f περιττή 8. Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς που οι φυσικοί τους λογάριθμοι έχουν άθροισμα και γινόμενο Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: 3 5 log log log log 30. Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) ισχύει, όπου ο a ρ ο όρος τάξεως ρ, α ο πρώτος της όρος, και λ ο λόγος της να αποδείξετε ότι: log log k 3. Αν logy, logzy, logz διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να λυθεί το y z σύστημα: yz 8 Αν οι αριθμοί 3,3οgy,3οgzy,7lοgz διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι: 8 = y = z Οι αριθμοί ln(3 ), ln(3 ),3ln διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε την τιμή του αr ln y β) Να λύσετε το σύστημα y 33. Αν α,β>0 και α β, δείξτε ότι: α α β β > α β β α 3. α) Να βρείτε την τιμή του αr για την οποία ισχύει ln( 3) ln(a 8) ln β) Για την τιμή του α που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση log ln log log 35. Ο θόρυβος y ενός ήχου σε db (ντεσιμπέλ) δίνεται από τον τύπο y 0log 0 όπου η πίεση που ασκεί το ακουστικό κύμα στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα μετρούμενη σε μp( μικρο Pascals, μp= 0 P). α) Πόση πίεση ασκεί ένα αθόρυβο κύμα στα μόρια του αέρα;,5 β) Ένας κεραυνός άσκησε πίεση = 0 μp στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα. Πόσο db ήταν ο θόρυβος που προξένησε; Δίνεται ότι: Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβός της τα 0dB (όσος δηλαδή ο θόρυβος του θροΐσματος των φύλλων ενός δένδρου σε ελαφρύ φύσημα του αέρα μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). 3. Ο θόρυβος L σε db (ντεσιμπέλ) που προκαλεί μια ηχητική πηγή δίνεται από τον L 0 0log 0 I όπου I το μέτρο της έντασης του ήχου σε τύπο Watt/m. α) Πόση πρέπει να ( το πολύ) η ένταση μια αθόρυβης ηλεκτρικής συσκευής;

5 β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Είδος θορύβου Θόρυβος σε db Ένταση ήχου σε Watt/m Μηχανές αεροπλάνου Jt (σε απόσταση 30m) 0 Μουσική Rock 0 (,5m μακριά από το ηχείο) Μοτοσικλέτα 80 (με κανονική εξάτμιση) Συνομιλία 0 (σε ήρεμο κλίμα) γ) Σ ένα πεζοδρόμιο δουλεύουν ταυτόχρονα σε πολύ μικρή απόσταση κομπρεσέρ που το καθένα ξεχωριστά προκαλεί θόρυβο 30 db. Πόσος ο συνολικός θόρυβος που προκαλούν και τα δύο μαζί; Δίνονται: i) Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβός της τα 0dB (όσος δηλαδή ο θόρυβος του θροΐσματος των φύλλων ενός δένδρου σε ελαφρύ φύσημα του αέρα μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). ii) log 0, Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ln( - +3) και g() = ln3+ln( -). α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f() και g(). β. Να λύσετε την εξίσωση f() = g(). γ. Να λύσετε την ανίσωση f() > g(). 38. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(). β. Να λύσετε την εξίσωση f() = ln. γ. Να λύσετε την ανίσωση f() > Δίνεται η συνάρτηση f() = a(log ) 8(log ) log(00 ) για την οποία ισχύει f(0)=5 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και την τιμή του αr.. β. Να λύσετε την εξίσωση f() =