Περιεχόμενα. 2.1 Εισαγωγή Προγενέστερη έρευνα Ανάπτυξη υποδειγμάτων παραποίησης Πρόλογος... 11

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... Κεφάλαιο Παραποίηση λογιστικών καταστάσεων και ελεγκτική Ιστορικά στοιχεία Ελεγκτικά λάθη Ορισμοί και ερμηνεία της έννοιας της παραποίησης λογιστικών καταστάσεων Παράγοντες κινδύνου λογιστικής απάτης Ρόλος του εξωτερικού ελέγχου Η νομική ευθύνη των ορκωτών ελεγκτών Ελεγκτικά και λογιστικά πρότυπα Εταιρική διακυβέρνηση Περιπτώσεις εταιρικών σκανδάλων Κεφάλαιο 2 Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Εισαγωγή Προγενέστερη έρευνα Ανάπτυξη υποδειγμάτων παραποίησης

4 8 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Εργασίες προσδιοριστικών παραγόντων παραποίησης Ελεγκτική έκθεση ως προς την αρχή της συνέχισης της επιχειρηματικής δραστηριότητας (Gong-concern) Διάφορα άλλα θέματα σχετικά με τον εξωτερικό έλεγχο των επιχειρήσεων Μη ελεγκτικές αμοιβές και ανεξαρτησία των ελεγκτών (Non-Audt Fees & Audt ndependence) Σύνοψη...76 Κεφάλαιο 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο Εισαγωγή Τεχνικές ταξινόμησης Διακριτική ανάλυση (dscrmnant analyss) Λογιστική παλινδρόμηση (logstc regresson) Νευρωνικά δίκτυα (neural networks) Πιθανοτικά νευρωνικά δίκτυα (probablstc neural networks) Αλγόριθμος των K πλησιέστερων γειτόνων (K - nearest neghbour method) Μηχανές διανύσματος υποστήριξης (support vector machnes) Η μέθοδος UTADIS (UTltes Addtves DIScrmnantes) Η Μέθοδος MHDIS (Mult-Group Herarchcal Dscrmnaton).96 Κεφάλαιο 4 Περιγραφή δείγματος και επιλογή κριτηρίων Εισαγωγή Επιλογή του δείγματος Βασικά οικονομικά χαρακτηριστικά των επιχειρήσεων Επιλογή κριτηρίων Εισπρακτέοι λογαριασμοί και αποθέματα Λογαριασμοί απαιτήσεων Λογαριασμοί υποχρεώσεων Λογαριασμοί αποτελεσμάτων (κέρδη - ζημίες) Λογαριασμοί για το κριτήριο ρευστότητας Λογαριασμοί ρυθμού ανάπτυξης Λογαριασμός χρηματικών διαθεσίμων Μερικά βασικά στατιστικά στοιχεία του δείγματος εκμάθησης... 22

5 Περιεχόμενα Επιλογή κριτηρίων Επιλογή των κριτηρίων του δείγματος με βάση το μη παραμετρικό έλεγχο Kruskal Walls Επιλογή των κριτηρίων του δείγματος με βάση την παραγοντική ανάλυση Επιλογή λοιπών κριτηρίων Προσαρμοσμένα χρηματοοικονομικά κριτήρια Κεφάλαιο 5 Εφαρμογές Εισαγωγή Επιλογή παραμέτρων Ανάπτυξη υποδειγμάτων πρόβλεψης Αποτελέσματα της μεθόδου UTADIS Αποτελέσματα της μεθόδου MHDIS Αποτελέσματα πλησιέστερων γειτόνων Αποτελέσματα τεχνητών νευρωνικών δικτύων Αποτελέσματα πιθανολογικών νευρωνικών δικτύων Αποτελέσματα από τις μηχανές διανύσματος υποστήριξης Αποτελέσματα της διακριτικής ανάλυσης Αποτελέσματα της λογιστικής παλινδρόμησης Σύγκριση των υποδειγμάτων των μεθόδων ταξινόμησης Κεφάλαιο 6 Ανάπτυξη συνδυασμένων υποδειγμάτων Εισαγωγή Το μεθοδολογικό πλαίσιο της ανάπτυξης των συνδυασμένων υποδειγμάτων Εφαρμογή Ανάπτυξη γενικών συνδυασμένων υποδειγμάτων Ανάπτυξη προσαρμοσμένων συνδυασμένων υποδειγμάτων Ανάπτυξη συνδυασμένων υποδειγμάτων για βιομηχανικές επιχειρήσεις Ανάπτυξη συνδυασμένων υποδειγμάτων για τις υπηρεσίες Ανάπτυξη συνδυασμένων υποδειγμάτων για τις εμπορικές επιχειρήσεις...232

6 0 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6.4 Γενικά συμπεράσματα από την ανάπτυξη των συνδυασμένων υποδειγμάτων και σύγκριση με άλλες έρευνες από την περιοχή της χρηματοοικονομικής Σύγκριση με άλλες έρευνες από την περιοχή της χρηματοοικονομικής Σύνοψη Κεφάλαιο 7 Συμπεράσματα και μελλοντικές κατευθύνσεις Παράρτημα Ενδεικτικά πιστοποιητικά ελέγχου Kεφαλαίου Πιστοποιητικό χωρίς επιφύλαξη Πιστοποιητικό άρνηση γνώμης Βιβλιογραφία...26 Α Ξένη Β Ελληνική

7 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 89 Για κάθε εναλλακτική του δείγματος εκμάθησης x, f( x) < > προσθέτει την ε- ναλλακτική στη λίστα με το παράδειγμα του δείγματος εκμάθησης. β) Ο αλγόριθμος ταξινόμησης. Για την ταξινόμηση μιας εναλλακτικής προς εκτίμηση x q. Αν το σύνολο των ε- ναλλακτικών στο δείγμα εκμάθησης είναι x, x2,..., xk τότε βρείτε K εναλλακτικές του δείγματος εκμάθησης οι οποίες είναι κοντινότερες στο x q. γ) Επέστρεψε όπου δ ( ab), ) = εάν ab ^ f () x arg max δ ( c, f() x ) c C = και δ ( ab) k =, ) = 0 αλλιώς Μηχανές διανύσματος υποστήριξης (support vector machnes) Ο Vapnk (995) παρουσίασε τη μηχανή διανύσματος υποστήριξης, η οποία είναι μια μέθοδος επιβλεπόμενης μηχανικής μάθησης για την επίλυση προβλημάτων ταξινόμησης. Στο διάγραμμα 3.5 απεικονίζεται η δομή που χρησιμοποιεί μια μηχανή διανύσματος υποστήριξης προκειμένου να ταξινομήσει τις εναλλακτικές ενός προβλήματος ταξινόμησης. Σχήμα 3.5 Η μηχανή διανύσματος υποστήριξης

8 90 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Στο σχήμα 3.5 τα τετράγωνα απεικονίζουν τη μια κατηγορία ταξινόμησης, ενώ οι κύκλοι απεικονίζουν την άλλη κατηγορία ταξινόμησης. Με γνώμονα τις παραπάνω ε- ναλλακτικές οι μηχανές διανύσματος υποστήριξης προσπαθούν να δημιουργήσουν ένα βέλτιστο υπερεπίπεδο για τη διάκριση των κατηγοριών έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το περιθώριο της διάκρισης. Σε ένα πρόβλημα ταξινόμησης με δύο κατηγορίες το αναπτυσσόμενο πρόβλημα εξετάζεται στο δείγμα εκμάθησης T = { x m, d}, =, 2,..., n όπου, x R και τα δεδομένα που εισάγονται αποτελούν ένα σύνολο από m ανεξάρτητες μεταβλητές ενώ, το d {,+ } είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Ο βασικός στόχος είναι η ανάπτυξη μιας συνάρτησης f() x d η οποία θα μεγιστοποιεί την απόσταση μεταξύ των δύο κατηγοριών. Η απόσταση d μιας εναλλακτικής από τη διαχωριστική υπερεπιφάνεια, διατυπώνεται ως εξής: όπου, w x+ b d = w w: το διάνυσμα των συντελεστών των μεταβλητών, x: το διάνυσμα των μεταβλητών και b: μια σταθερά Τα SVM παρέχουν τη δυνατότητα για την ανάπτυξη μη γραμμικών διαχωριστικών υποδειγμάτων. Αυτό επιτυγχάνεται με τη μετάβαση από τον αρχικό χώρο σε ένα πολυδιάστατο ιδεατό χώρο με τη βοήθεια των συναρτήσεων πυρήνα. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διαμορφώνεται είναι: υπό τους περιορισμούς: όπου, m T mn w * w+ C g 2 = T y w * φ( x ) + b g g = 0,,..., m C: μια σταθερά η οποία δείχνει τη σχέση μεταξύ της απόστασης των δύο κατηγοριών και των σφαλμάτων ταξινόμησης,

9 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 9 g : είναι μια μεταβλητή απόκλισης - σφάλματος και φ (x ): συνάρτηση πυρήνα. Από την επίλυση του παραπάνω προβλήματος βελτιστοποίησης η συνάρτηση f (x) λαμβάνει την παρακάτω μορφή: m f() x = sgn ayφ()() x φ x + b = Στην παρούσα μελέτη χρησιμοποιήθηκαν οι παρακάτω συναρτήσεις πυρήνα για επίλυση της παραπάνω συνάρτησης: α) γραμμικός πυρήνας kxx (, ) = ( xx T, ) T kxx x x β) πολυωνυμικός πυρήνας (, ) = ( * + ) γ) πυρήνας ακτινωτής βάσης kxx (, ) = exp d x x 2 σ Τέλος, το πρόβλημα απόφασης λαμβάνει την παρακάτω μορφή: m f ( x ) = sgn ayk( x, x) + b = Η μέθοδος UTADIS (UTltes Addtves DIScrmnantes) Η πολυκριτήρια μέθοδος UTADIS αποτελεί μια παραλλαγή της UTA (UΤltes Addtves), η οποία χρησιμοποιείται όταν σκοπός είναι η ταξινόμηση εναλλακτικών σε προκαθορισμένες κατηγορίες. Η UTADIS αναπτύσσει ένα υπόδειγμα σύνθεσης των κριτηρίων αξιολόγησης έτσι ώστε το αποτέλεσμα της σύνθεσης αυτής να αποδίδει υψηλή βαθμολόγηση (σκορ) στις εναλλακτικές δραστηριότητες της πρώτης κατηγορίας και σταδιακά χαμηλότερη βαθμολόγηση στις δραστηριότητες που ανήκουν στις χαμηλότερες κατηγορίες. H μέθοδος στηρίζεται στις αρχές της αναλυτικής - συνθετικής προσέγγισης και εμφανίζεται αρχικά στα άρθρα των Devaud et al.(980), Jacquet- Lagreze and Sskos (982) και αργότερα στα άρθρα των Zopounds and Doumpos (998, 999 a,b), Doumpos and Zopounds (998) και Zopounds et. al. (999). Ο σκοπός της μεθόδου είναι η ταξινόμηση των εναλλακτικών σε κατηγορίες. Μέσα από ένα πλήθος εναλλακτικών x,x 2,...,x n, οι οποίες πρέπει να ταξινομηθούν στις προκαθορισμένες κατηγορίες C, C 2,.., C k με βάση τα κριτήρια αξιολόγησης g, g 2,, g m. Η κατηγορία C είναι εξ ορισμού η καλύτερη και η C k η χειρότερη.

10 92 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ο σκοπός της μεθόδου είναι η ανάπτυξη μιας προσθετικής συνάρτησης χρησιμότητας της μορφής: m U() g = u() g = όπου U() g είναι η ολική χρησιμότητα (global utlty) μιας εναλλακτικής δραστηριότητας x που ανήκει στο σύνολο Α, και u ( g ) είναι η μερική χρησιμότητα (margnal utlty) του κριτηρίου g. Η παραπάνω προσθετική συνάρτηση αποδίδει υψηλές βαθμολογίες στις εναλλακτικές που ανήκουν στην κατηγορία C και σταδιακά χαμηλότερες βαθμολογίες στις εναλλακτικές που ανήκουν σε χαμηλότερες κατηγορίες. Οι μερικές χρησιμότητες αντιπροσωπεύουν τη σχετική σπουδαιότητα των κριτηρίων αξιολόγησης στο υπόδειγμα ταξινόμησης. Οι συναρτήσεις μερικών χρησιμοτήτων είναι μονότονες συναρτήσεις (γραμμικές ή μη γραμμικές) οριζόμενες στην κλίμακα του κάθε κριτηρίου αξιολόγησης έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες: ug ( * ) = 0 * ( ) ug = Ο σκοπός είναι να προσδιοριστεί μέσω μιας συνάρτησης μερικής χρησιμότητας (σχήμα 3.6) ο τρόπος επίδρασης του κριτηρίου στο τελικό αποτέλεσμα. Η συνάρτηση που θα δημιουργηθεί μπορεί να έχει οποιαδήποτε μορφή, χωρίς να ξεφεύγει από το σύνολο [0,]. Ακόμα πρέπει να είναι μονότονη, δηλαδή να ικανοποιείται ο ακόλουθος περιορισμός: + ( ) ( ) ug ug 0 για + g g Στο σχήμα 3.7 απεικονίζεται η ταξινόμηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων στην περίπτωση δύο κατηγοριών, η οποία πραγματοποιείται συγκρίνοντας τις ολικές τους χρησιμότητες με ένα όριο το οποίο διαχωρίζει τις προκαθορισμένες κατηγορίες. Συγκεκριμένα, στο παράδειγμα αυτό, δραστηριότητες με ολική χρησιμότητα μεγαλύτερη του ορίου αυτού τοποθετούνται στην κατηγορία C, ενώ αντίθετα δραστηριότητες των οποίων η ολική χρησιμότητα είναι μικρότερη από το όριο αυτό εντάσσονται στην κατηγορία C 2.

11 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 93 u ( g ) 0 u ( g ) * g * g g 0 u ( g ) * g * g g 0 * g * g g Πηγή: Doumpos και Zopounds, 2002 Σχήμα 3.6 Βασικές μορφές της συνάρτησης μερικής χρησιμότητας

12 94 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ux ( ) A x x2 x 3 x 4 x 5 x 6 Κατηγορία C Όριο διαχωρισμού των κατηγοριών Κατηγορία C 2 0 Πηγή: Doumpos και Zopounds, 2002 Σχήμα 3.7 Ταξινόμηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων Η ταξινόμηση των εναλλακτικών γίνεται ορίζοντας όρια χρησιμότητας τα οποία διαχωρίζουν τις προκαθορισμένες κατηγορίες, u ( u > u 2>... > uq ). Οι κατηγορίες διαχωρίζονται με βάση τη βαθμολογία τους από την προσθετική συνάρτηση χρησιμότητας και τα όρια χρησιμότητας: Ux u x C ( ) 2 ( x ) x 2 u U < u C... U ( x ) < uq x C Q Κατά την ταξινόμηση των εναλλακτικών είναι πιθανό να εμφανιστούν δύο είδη σφαλμάτων: α. Σφάλμα παραβίασης του κάτω ορίου σ + (x). Στην περίπτωση αυτή η εναλλακτική με βάση τη βαθμολογία της κατατάχθηκε σε κατηγορία χαμηλότερη από ότι θα έπρεπε. Τότε πρέπει να προστεθεί μία ποσότητα σ + (x) στη βαθμολογία της, ώστε να μπει στην κατηγορία που πρέπει. Παρουσιάζεται επομένως, παραβίαση του κάτω ορίου μιας κατηγορίας. β. Σφάλμα παραβίασης του άνω ορίου σ (x). Ακριβώς αντίθετα από το προηγούμενο τύπο έχουμε παραβίαση του άνω ορίου της κατηγορίας, δηλαδή η εναλλακτική έχει μπει σε υψηλότερη κατηγορία από ότι θα έπρεπε. Στην περίπτωση αυτή η

13 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 95 ποσότητα σ (x) πρέπει να αφαιρεθεί από τη βαθμολογία της εναλλακτικής ώστε να ενταχθεί στην σωστή κατηγορία. Τα δύο αυτά σφάλματα ταξινόμησης απεικονίζοντας στο σχήμα 3.8 για την περίπτωση των δύο κατηγοριών. U(g) Κατηγορία C x x 2.. x m Σφάλμα ταξινόμησης σ - (x ) Όριο χρησιμότητας u ΚατηγορίαC 2 x x 2.. x m2 Σφάλμα ταξινόμησης σ + (x ) Πηγή: Doumpos και Zopounds, 2002 Σχήμα 3.8 Σφάλματα ταξινόμησης στην περίπτωση δύο κατηγοριών Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να έχουμε ταυτόχρονα και τα δύο είδη σφαλμάτων για την ίδια εναλλακτική δραστηριότητα. Τουλάχιστον το ένα από τα δύο είναι πάντα μηδέν δηλαδή, σ + σ = 0. Η αντιμετώπιση των σφαλμάτων ταξινόμησης με αυτόν τον τρόπο στην πραγματικότητα αποτελεί μια πολύ καλή προσέγγιση του πραγματικού σφάλματος της ταξινόμησης. Αν συνυπολογιστούν τα σφάλματα λαμβάνονται οι παρακάτω σχέσεις: U() x+ σ + u, x C + U() x + σ u k, x C k (k = 2, 3,, Q ) U() x σ < uk U() x <, x C Q σ u Q

14 96 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Με βάση τους παραπάνω περιορισμούς, η ελαχιστοποίηση του σφάλματος της ταξινόμησης μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω της επίλυσης ενός προβλήματος μαθηματικού προγραμματισμού, το οποίο έχει την ακόλουθη μορφή: + ( ) Q σ Q σ + σ x Ck x Ck Mn γ = Mn Q k= m k k= m k Υπό τους περιορισμούς: ( ) ( ) U x U x + ( ) U x + u σ δ, x C u + σ δ, x Ck( k = 2,3,..., Q ) u σ δ + k k 2 ( ) Q 2 U x u σ δ, x CQ k k+, * ( ) U x () U x * = = 0 u u s k =,2,..., Q 2 ( ) u x αύξουσες συναρτήσεις + σσ 0, 0 =,2,..., m Στους παραπάνω περιορισμούς η σταθερά δ είναι θετική (δ 0) και χρησιμοποιείται για την αποφυγή περιπτώσεων U() x = u k, όταν x C k. H σταθερά δ 2 χρησιμοποιείται ώστε να εξασφαλιστούν οι αντίστοιχες ανισότητες. H σταθερά s ορίζεται έτσι ώστε s>δ, δ 2 (δηλώνει την αυστηρή προτίμηση μεταξύ των ορίων χρησιμότητας που διακρίνουν τις κατηγορίες. Ως x και x * * συμβολίζονται αντίστοιχα τα διανύσματα με τις περισσότερες και τις λιγότερες προτιμητέες τιμές των κριτηρίων αξιολόγησης Η Μέθοδος MHDIS (Mult-Group Herarchcal Dscrmnaton) Η μέθοδος MHDIS (Zopounds και Doumpos 2000) είναι μια μη παραμετρική προσέγγιση βασισμένη στην πολυκριτήρια ανάλυση αποφάσεων και σε τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού. Η μέθοδος ταξινόμησης MHDIS χρησιμοποιεί την αναλυτική - συνθετική προσέγγιση της πολυκριτήριας ανάλυσης αποφάσεων, για την ταξινόμηση ενός πλήθους εναλλακτικών μέσω της ανάπτυξης ενός συνόλου συναρτήσεων

15 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 97 προσθετικής χρησιμότητας. Στόχος της μεθόδου είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού υποδείγματος λήψης αποφάσεων. Η διαδικασία που ακολουθείται για την ανάπτυξη του υποδείγματος μέσω της μεθόδου MHDIS περιγράφεται στο σχήμα 3.9. Δεδομένα: Δείγμα Eκμάθησης (n) εναλλακτικές επιχειρήσεις (x.xm) (g) κριτήρια (g..gn) (k) κατηγορίες (C.CQ) Προκαθορισμένη πραγματική ταξινόμηση Διαδικασία Ιεραρχικής Ταξινόμησης: Προσθετικές συναρτήσεις χρησιμότητας μέσω τεχνικών μαθηματικού προγραμματισμού. Για τη μεγιστοποίηση της συνέπειας μεταξύ της πραγματικής ταξινόμησης και αυτής που υπολογίζεται. Υπόδειγμα Διακριτοποίησης Ταξινόμηση Nέων Eναλλακτικών: Eπιχειρήσεων (Δείγμα Ελέγχου) Πηγή: Doumpos and Zopounds, 2002 Σχήμα 3.9 Μέθοδος MHDIS

16 98 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΑΡΑΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Θεμελιώδης παράμετρος της μεθόδου, όπως και όλων των πολυκριτήριων μεθοδολογιών, αποτελεί η ανάπτυξη ενός υποδείγματος σύνθεσης των κριτηρίων αξιολόγησης το οποίο να ανταποκρίνεται στο σύστημα προτιμήσεων και αξιών που ακολουθεί ο αποφασίζων. Όπως και στη μέθοδο UTADIS, για την ανάπτυξη του υποδείγματος υπάρχει ένα σύνολο αναφοράς αποτελούμενο από m εναλλακτικές δραστηριότητες οι οποίες περιγράφονται από ένα σύνολο n κριτηρίων αξιολόγησης g = (g, g 2,..., g n ). Βασική επιδίωξη της μεθόδου είναι η ταξινόμηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων στις προκαθορισμένες κατηγορίες. Στην παρούσα έρευνα ελήφθησαν υπόψη δύο κατηγορίες οι παραποιημένες και οι μη παραποιημένες επιχειρήσεις. Οι προτιμήσεις του αποφασίζοντος κατά τη διάκριση των δύο κατηγοριών θεωρείται ότι είναι μονότονες συναρτήσεις της κλίμακας των κριτηρίων. Όσο αυξάνει η επίδοση μιας εναλλακτικής σε ένα κριτήριο g, το οποίο κριτήριο σχετίζεται αντίστροφα με την παραποίηση λογιστικών καταστάσεων, τόσο η απόφαση που αφορά την ταξινόμηση της εταιρείας στην καλύτερη κατηγορία θα είναι μεγαλύτερη. Στη συνέχεια αφού προσδιοριστούν οι εναλλακτικές, τα κριτήρια αξιολόγησης και οι κατηγορίες ταξινόμησης πραγματοποιείται η διάκριση της κατηγορίας C από το σύνολο {C 2,... C Q }. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται σε Q- στάδια έως ότου επιτευχθεί η διάκριση όλων των κατηγοριών. Η συνάρτηση χρησιμότητας που χρησιμοποιεί η μέθοδος MHDIS έχει τη μορφή μιας προσθετικής συνάρτησης χρησιμότητας: όπου: n k k U() g= u() g [0,] = Uk () g υποδηλώνει τη χρησιμότητα για την ταξινόμηση της εναλλακτικής στην κατηγορία C Q, ενώ ως u k (g ) είναι η αντίστοιχη μερική χρησιμότητα για την ταξινόμηση κάθε εναλλακτικής στην ανάλογη κατηγορία βάσει των κριτηρίων αξιολόγησης. Παράλληλα, οι συναρτήσεις U k (g ) είναι μονότονες συναρτήσεις κανονικοποιημένες μεταξύ των τιμών 0 και. Η ταξινόμηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων προκύπτει από την ανάπτυξη δύο προσθετικών συναρτήσεων χρησιμότητας οι οποίες χαρακτηρίζουν τις κατηγορίες ταξινόμησης. Συνολικά, αναπτύσσονται 2(Q-l) προσθετικές συναρτήσεις χρησιμότητας όπου Q είναι το πλήθος των κατηγοριών και έχουν ως εξής: n = = k k U() g u() g

17 3 Μεθοδολογικό πλαίσιο 99 και = n ~ k ~ k = U() g u() g k Εάν η ολική χρησιμότητα U() g μιας εναλλακτικής είναι μεγαλύτερη από την ολική χρησιμότητα που εκτιμάται σύμφωνα με τη συνάρτηση χρησιμότητας ~ k U () g τότε η εναλλακτική θα ταξινομηθεί στην καλύτερη κατηγορία. Ομοίως, εάν η ολική χρησιμότητα μιας εναλλακτικής σύμφωνα με τη συνάρτηση χρησιμότητας ~ k U () g είναι μεγαλύτερη από την ολική χρησιμότητα που υπολογίζεται σύμφωνα με τη συνάρτηση k χρησιμότητας U() g τότε η εναλλακτική θα ταξινομηθεί στην άλλη κατηγορία. Ακολουθώντας τον κανόνα ταξινόμησης η συνολική διαδικασία της ιεραρχικής ταξινόμησης που αναφέρουμε παραπάνω μπορεί να απεικονιστεί με το σχήμα 3.0, για μια εναλλακτική x: Δείγμα Εκμάθησης U() x> U() x ~ ΝΑΙ ΟΧΙ Στάδιο x C x C ΝΑΙ U() x> U() x 2 ~2 ΟΧΙ Στάδιο 2 x C 2 x C 2 ΝΑΙ U() x> U() x 3 ~3 ΟΧΙ Στάδιο 3 x C 3 x C 3 ΤΕΛΟΣ Σχήμα 3.0 Διαδικασία ιεραρχικής ταξινόμησης μέσω της μεθόδου MHDIS

18