ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ : Κ. ΠΕΚΜΕΣΤΖΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΙΚΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ : Κ. ΠΕΚΜΕΣΤΖΗ"

Ἀληκτώ Μαυρίδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Συμπλήρωμα ως προς 2 Booth, Modified Booth Reduntant αριθμητικά συστήματα Signed Digit αριθμητική Κανονική παράσταση αριθμών ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΘΡΟΙΣΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ

4 Αφαίρεση σε συμπλήρωμα ως προς 2 35 () () 2 35 () -23 () 2 8 => -9 5

5 Μορφή συμπληρώματος ως προς 2 X n 2 n i 2 i 2 i x n x Στο συμβατικό δυαδικό σύστημα έχουμε: = = 75 Σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2 έχουμε: = = -64+=

6 Πρόσθεση αριθμών σε μορφή συμπληρώματος ως προς Σφάλμα υπερχείλισης

7 Πρόσθεση αριθμών σε μορφή συμπληρώματος ως προς Σφάλμα υπερχείλισης

8 Πλήρης αθροιστής ου τύπου (όλες οι είσοδοι και οι έξοδοι θετικές) a(+) b(+) c in (+) c out (+) s(+) ab cin ab c in c out s c out a b s s a b c (a b)c out c in in c in ab a + b + c in = 2 c out + s

9 Πλήρης αθροιστής 2 ου τύπου - (μια είσοδος και μια έξοδος αρνητική) a(-) b(+) c in (+) c out (+) s(-) ab c in ab c in c out s - c out c out a b s s a b (a b)c in c in ab c in a b c out c in -a + b + c in = 2 c out - s s

10 Πλήρης αθροιστής 3 ου τύπου -2 (δύο είσοδοι και μια έξοδος αρνητική) a(-) b(-) c in (+) c out (-) s(+) ab c in ab c in cout s -2 c out c out a b s s a b (a b)c a b in c in c in ab c out c in -a - b + c in = -2 c out + s s

11 Πλήρης αθροιστής 4 ου τύπου -3 (και οι τρεις είσοδοι και οι δύο έξοδοι αρνητικές). a(-) b(-) c in (-) c out (-) s(-) ab c in ab cin s c out -3 c out c out a b s s a b c in (a b)c ab a b in c in c out c in -a - b - c in = -2 c out - s s

12 Αθροιστής διάδοσης κρατουμένου αριθμών σε συμπλήρωμα ως προς 2 B3 A3 B2 A2 B A B A Cout C3 C2 C C S4 S3 S2 S S

13 Αφαιρέτης διάδοσης κρατουμένου θετικών αριθμών. Αποτέλεσμα σε συμπλήρωμα ως προς 2 (a-d) d a b out b in r d 3 a 3 d 2 a 2 d a d a b out Sub b 3 Sub b 2 Sub b Sub b r 3 r 2 r r

14 Αφαιρέτης διάδοσης κρατουμένου θετικών αριθμών. Αποτέλεσμα σε συμπλήρωμα ως προς 2 d 3 a 3 d 2 a 2 d a d a b out b 3 b 2 b b r 3 r 2 r r d 3 a 3 d 2 a 2 d a d a b out b 3 b 2 b b r 3 r 2 r r

15 Αφαιρέτης διάδοσης κρατουμένου αριθμών σε συμπλήρωμα ως προς 2 +d 3 -a 3 -d 2 +a 2 -d +a -d +a -b out -b 3 -b 2 -b -b +r 3 +r 2 +r +r d 3 a 3 d 2 a 2 d a d a b out b 3 b 2 b b r 3 r 2 r r

16 Απλοποιημένος Παράλληλος Πολλαπλασιαστής τύπου CS θετικών αριθμών 6Χ6 bit A 5 i a i 2 i B 5 i b i 2 i p p p 9 p 8 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p

17 Παράλληλος Πολλαπλασιαστής αριθμών 6Χ6 bit σε συμπλήρωμα ως προς i 2 i i A a a i 2 i i B b b p p p 9 p 8 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p

18 Πολλαπλασιαστής αριθμών σε συμπλήρωμα ως προς 2 με τη χρήση πλήρη αθροιστή ου τύπου p p p 9 p 8 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p

19 Απλοποιημένος πολλαπλασιαστής συμπληρώματος ως προς δύο p p p 9 p 8 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p

20 Ο Αλγόριθμος του Booth n n 2 i B b 2 b i i Ο αριθμός B μπορεί να γραφεί ισοδύναμα: 2 B B B 2B = bn -B = bn 2 n 3 bn n 2 zn n 2 b... b... z... b b z b z z b, z b b, z2 b b2,..., zn 2 bn 3 bn 2 zn 2bn bn 2 bn bn 2 bn Ισχύει πάντα z b b i i i Επομένως, ο αριθμός B δίνεται από τη σχέση n B z i i 2 i

21 Ο Αλγόριθμος του Booth Έστω το γινόμενο P A B όπου B bn bn 2... bb και A an an 2... aa Σύμφωνα με τον αλγόριθμο του Booth έχουμε P A B n i ( b i i bi ) A 2 Σε κάθε βήμα i, το Χ πολλαπλασιάζεται με τα {-,, } σύμφωνα με το αποτέλεσμα της αφαίρεσης των δύο διαδοχικών ψηφίων του πολλαπλασιαστή Υ. Πίνακας 2.4 Κωδικοποίηση Booth b i b i- Κωδικοποιημένα ψηφία z i =(b i- - b i ) Σχόλια Δεν υπάρχει σειρά από Τέλος σειράς από - Αρχή σειράς από Μέση σειράς από Αν b i b i- = ή Υ i Υ i- = ολίσθηση στο άθροισμα των μερικών γινομένων αριστερά Αν b i b i- = πρόσθεση του A στο άθροισμα των μερικών γινομένων και ολίσθηση Αν b i b i- = αφαίρεση του A από το άθροισμα των μερικών γινομένων και ολίσθηση.

22 Κυκλώματα κωδικοποίησης & ελέγχου πολλαπλασιαστή Booth Πίνακας 2.9 Σχέση σημάτων ελέγχου με την κωδικοποίηση Booth b i b i- Κωδικοποιημένα ψηφία Z i =b i- - b i P Q Σχόλια Πρόσθεσε Πρόσθεσε A - Αφαίρεσε A Αφαίρεσε s in a i P P P b i- Q Q Q b i c out c in a i s out

23 Παράλληλος Πολλαπλασιαστής Booth 3x3 a 2 a a Booth_ cell Booth_ cell Booth_ cell b Booth_ cell Booth_ cell Booth_ cell b Booth_ cell Booth_ cell Booth_ cell b 2 p 4 p 3 p 2 p p

24 Τροποποιημένος αλγόριθμος του Booth (Modified Booth algorithm) n n n n i 2 j 2 j 2 j MB j i 2 2 j 2 2 j 2 ( 2 j 2 2 j )2 j 4 i j j j b B z z z z z b z 2 z b b 2 ( b b ) 2 b b b MB j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2' 327 ( ) compl 4 3 () Booth ( 2) Modified Booth Booth

25 Κωδικοποίηση Τροποποιημένου Αλγόριθμου Booth Πίνακας 2.6 Κωδικοποίηση του τροποποιημένου αλγόριθμου του Booth b I+ b i b i- Κωδικοποίηση Booth z i+ MB b j Κωδικοποίηση τροποποιημένου Booth z i = 2z i+ +z i = b i - 2b i+ + b i-

26 MODIFIED BOOTH ENCODING TABLE Binary bits Modified Encoded Digit b j Booth's b 2j+ b 2j b 2j - Digit sign=s j =One j 2=Two j or a i s j s j a i One j a i Two j Two j One j b2 j b 2 j b2 j one b b j 2 j 2 j two ( b b ) one s j j 2 j 2 j b 2j. j p j, i (b) Partial Product Generator (a) Modified Booth Encoding

27 An 8x8 MB multiplication 2k 2 2k i n n ' 2k 2 i 2 s i B b b b b b b k MB MB MB MB MB 2 j k k 2 MB j j b b... b b b 2. k k MB 2i 2j b j 2 j 2 i j P A B A ct PP k n j j, n j, i i PP p 2 p 2 p (( a s ) one ) (( a s ) two ) j, i i j j i j j k k 2 j n 2 j n j j j ct 2 2 ( 2 ). i p,8 p,7 p,6 p,5 p,4 p,3 p,2 p, p, = 2 PP p,8 p,7 p,6 p,5 p,4 p,3 p,2 p, p, n = 2 2 PP p 2,8 p 2,7 p 2,6 p 2,5 p 2,4 p 2,3 p 2,2 p 2, p 2, n = 2 4 PP 2 p 3,8 p 3,7 p 3,6 p 3,5 p 3,4 p 3,3 p 3,2 p 3, p 3, n 2 = 2 6 PP 3 n 3 x 5 x 4 x 3 x 2 x x x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x x = X

28 A MB multiplier circuit COR (high)= (...)2 n n-bit A PP Generator PP Generator PP 2 Generator 3 bits 3 bits 3 bits MB Encoding b b b 2 b 3 b 4 b 5 PP k- Generator CSA Tree C S Fast CLA Adder P=A B 3 bits COR (low)= c in,k- c in,2 c in, c in, n-bit b 2k-2 b 2k-

29 Αθροιστής CARRY-SAVE (CSA) z 7 y 7 x 7 z 6 y 6 x 6 z 5 y 5 x 5 z 4 y 4 x 4 z 3 y 3 x 3 z 2 y 2 x 2 z y x z y x s 8 c 7 s 7 c 6 s 6 c 5 s 5 c 4 s 4 c 3 s 3 c 2 s 2 c s c s c - Z Y X (n) - bit C.S. ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ S C (n+) - bit

30 Διπλός Αθροιστής CARRY-SAVE (CSA) ή Συμπιεστής 4:2 W Z Y X n-bit W Z Y X n-bit C.S. ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ (n+)-bit C S n-bit Συμπιεστής 4:2 C.S. ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ C S (n+)-bit S C (n+)-bit

31 Adder 4:2 αριθμών σε Συμπλήρωμα ως προς 2 x y n- n- z y y n- x z x z X Y Z W c c n- c c s w s 4:2 n- s w w adder c c n-2 c c sn- s s C S

32 Πολλαπλασιαστής δυαδικού δένδρου (6 Μερικά γινόμενα) A - A 2-3 A 4-5 A 6-7 A 8-9 A - A 2-3 A o Επίπεδο καταχωρητών (ΕΚ) + + 2o (ΕΚ) + ΣΑ i

33 Κανονική Παράσταση Προσημασμένου Ψηφίου Canonical Signed Digit Representation Έστω ο αριθμός: =5 Ισοδύναμα γράφεται βασιζόμαστε στην ιδιότητα Γενικά, συνεχόμενες μονάδες μπορούν να αντικατασταθούν με μια μονάδα υψηλότερης τάξης και στην χαμηλότερη τάξη (LSB) της σειράς. Έστω ο αριθμός =238 μετασχηματίζεται ως εξής: 2 k k 2 2 k

34 Μετατροπή δυαδικού σε Κανονική Παράσταση : Επιλέγουμε την πρώτη σειρά από μονάδες ξεκινώντας από το LSB. : Το αποτέλεσμα της πρώτης αντικατάστασης είναι υπογραμμισμένο. Επιλέγουμε την επόμενη σειρά μονάδων. : Επιλέγουμε την τελευταία σειρά μονάδων. : Τελικό διάνυσμα σε κανονική SD αναπαράσταση.

35 Απλοποιημένος Σειριακός-Παράλληλος Πολλαπλασιαστής a = (.) Αν τροφοδοτούμε με μηδενικά στη φάση του αδειάσματος, δεν χρειάζεται Reset. a = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = x i s 2 Reset D D D D s c 2 c D shift x x x x 2 x 3 (new x) p=ax p p p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 (new p)

36 Σειριακός Πολλαπλασιαστής με το συντελεστή σε κανονική παράσταση a = (.) Για x σε συμπλήρωμα ως προς 2 και συντελεστή σε κανονική παράσταση απαιτείται επέκταση προσήμου του x. Στη φάση του αδειάσματος αντί για μηδενικά θα επαναληφθεί το πρόσημο (εδώ στο τέλος χρειάζεται Reset). a =(.-) shift x x x x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (new x) p=ax p p p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 (new p)

Σχετικά έγγραφα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς