ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

2

3

4 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που είναι χρωματισμένα πορτοκαλί σε καθένα από τα επόμενα διαγράμματα Vehn. α) β) γ) δ) ) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που είναι χρωματισμένα πορτοκαλί σε καθένα από τα επόμενα διαγράμματα Vehn. α) β) γ) δ) ) Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω.Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις: α) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. β) Πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β. γ) Πραγματοποιείται μόνο το Β. δ) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. 5

6 4) Έστω ένας μαθητής του Β και τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής είναι άριστος στα μαθηματικά». Β: «ο μαθητής είναι άριστος στη φυσική». Να γράψετε με λόγια καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) A β) ΑΒ γ) AB δ) A-B ε) (AB) στ) (AB) ζ) (A-B) (B-A) 5) Οι μαθητές ενός σχολείου έχουν τη δυνατότητα να γραφτούν στην ομάδα ποδοσφαίρου ή στην ομάδα βόλεϊ του σχολείου. Επιλέγουμε στην τύχη έναν μαθητή του σχολείου και θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Π : ο μαθητής ανήκει στην ομάδα ποδοσφαίρου, Β : ο μαθητής ανήκει στην ομάδα βόλεϊ. Να γράψετε ως πράξεις μεταξύ των Π, Β, Π και Β τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) ο μαθητής ανήκει στην ομάδα ποδοσφαίρου ή στην ομάδα βόλεϊ, β) ο μαθητής ανήκει και στην ομάδα ποδοσφαίρου και στην ομάδα βόλεϊ, γ) ο μαθητής δεν ανήκει στην ομάδα ποδοσφαίρου, δ) ο μαθητής ανήκει στην ομάδα ποδοσφαίρου αλλά δεν ανήκει στην ομάδα βόλεϊ, ε) ο μαθητής δεν ανήκει ούτε στην ομάδα ποδοσφαίρου ούτε στην ομάδα βόλεϊ, στ) Ο μαθητής δεν ανήκει και στις δύο ομάδες συγχρόνως, ζ) ο μαθητής ανήκει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ή μόνο στην ομάδα βόλεϊ. 6) Επιλέγουμε έναν μαθητή της Γ' Λυκείου από ένα σχολείο. Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα: Θ: ο μαθητής είναι της Θεωρητικής κατεύθυνσης, Μ: ο μαθητής έχει επιλέξει Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ως μάθημα επιλογής. Να περιγράψετε με λόγια καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) ii) Θ-Μ iii) iv) Θ v) Μ vi) ( ) 7) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,..., 10} και τα ενδεχόμενα: Α = {, 4, 6, 8, 10} και Β = {1,,, 4, 5, 6}.Να περιγράψετε γλωσσικά τα παρακάτω ενδεχόμενα και να βρείτε τα στοιχεία από τα οποία αποτελούνται: α) A B β) A B γ) Α δ) Α-Β ε) B A στ) A B ζ) ( A B) η) ( A B) θ) (A-B)U(B-A) 8) Δίνεται ο επόμενος δειγματικός χώρος : Ω = {1,,,...,8} και τα ενδεχόμενα: Α = {λ Ω / λ- 5 < } και Β = {λ Ω/ η εξίσωση x 4x + λ =0 έχει πραγματικές ρίζες} α) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α και Β. β) Να βρείτε τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) πραγματοποιείται το Α ή το Β, ii) πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β, iii) δεν πραγματοποιείται το Β, iv) πραγματοποιείται το Β αλλά όχι το Α, v) δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β, vi) πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. 6

7 9) Εξετάζουμε τους φοιτητές μιας σχολής ως προς τις ξένες γλώσσες που μιλάνε. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: ο φοιτητής μιλάει Αγγλικά, Γ: ο φοιτητής μιλάει Γαλλικά, I: ο φοιτητής μιλάει Ιταλικά, α) Να περιγράψετε με λόγια τα παρακάτω ενδεχόμενα: A iii) iv) ( ) i) A ii) β) Να εκφράσετε με τη βοήθεια των A,Γ,Ι τα ενδεχόμενα: Δ: ο ο φοιτητής μιλάει τουλάχιστον δύο από τις τρεις γλώσσες, Ε: ο φοιτητής μιλάει ακριβώς μία από τις γλώσσες, Ζ: ο φοιτητής μιλάει το πολύ μία από τις γλώσσες. Εύρεση δειγματικού χώρου-ενδεχόμενα 10) Ρίχνουμε πρώτα ένα ζάρι και μετά ένα νόμισμα και καταγράφουμε τα αποτελέσματα. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 11) Μια βιοτεχνία κατασκευάζει κουτιά σε δύο μεγέθη (κανονικό ή μεγάλο), χρησιμοποιώντας ένα από τα υλικά: πλαστικό ή ξύλο και τέλος τα βάφει με ένα από τα χρώματα: λευκό, ροζ ή γαλάζιο. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο των διαφορετικών τρόπων κατασκευής των κουτιών. 1) Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: Στα αποτελέσματα των ρίψεων ήταν τουλάχιστον μία κεφαλή και Β: Στα αποτελέσματα των ρίψεων ήταν μια φορά γράμματα. Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α, Β,,,. 1) Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές και καταγράφουμε το αποτέλεσμα (κεφαλή ή γράμματα), α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: να εμφανιστεί τουλάχιστον 1 φορά κεφαλή, Β: να εμφανιστούν γράμματα στην 1η ρίψη, Γ: να εμφανιστεί ακριβώς 1 φορά κεφαλή, Δ: να εμφανιστεί η ίδια ένδειξη και τις δύο φορές. γ) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Γ και Δ ασυμβίβαστα. 14) Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: Κεφαλή στη πρώτη ρίψη. Β: Κεφαλή στη δεύτερη ρίψη. 7

8 Γ: Μόνο μία κεφαλή και στις δύο ρίψεις. Είναι τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ ασυμβίβαστα; 15) Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Έστω τα ενδεχόμενα: Α: Τουλάχιστον μία φορά κεφαλή και Β: το πολύ μία φορά γράμματα. Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α, Β,,,,. 16) Έχουμε δύο σακούλες, μια χάρτινη και μία υφασμάτινη, οι οποίες περιέχουν φρούτα. Η χάρτινη περιέχει 1 μήλο, 1 πορτοκάλι και 1 αχλάδι, ενώ η υφασμάτινη περιέχει 1 μήλο και 1 αχλάδι. Επιλέγουμε στην τύχη μία σακούλα και στη συνέχεια ένα φρούτο από αυτή. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος, β) το ενδεχόμενο Α: το φρούτο είναι μήλο, γ) το ενδεχόμενο Β: το φρούτο είναι πορτοκάλι. 17) Ένα κουτί περιέχει μπάλες, 1 άσπρη και 1 μαύρη. Επιλέγουμε από το κουτί τυχαία μία μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της την επανατοποθετούμε στο κουτί και στη συνέχεια επιλέγουμε άλλη μία μπάλα. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 18) Σε ένα κουτί υπάρχουν σφαίρες, μία κόκκινη, μία λευκή και μία μπλε. Επιλέγουμε στην τύχη μία σφαίρα, καταγράφουμε το χρώμα της επανατοποθετούμε στο κουτί. Στη συνέχεια επιλέγουμε στην τύχη άλλη μία σφαίρα και καταγράφουμε το χρώμα της. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος, β) το ενδεχόμενο να επιλέξουμε σφαίρες του ίδιου χρώματος, γ) το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μία κόκκινη σφαίρα, δ) το ενδεχόμενο να μην επιλέξουμε λευκή σφαίρα, ε) το ενδεχόμενο να επιλέξουμε ακριβώς μία μπλε σφαίρα. 19) Δύο κουτιά περιέχουν μπάλες. Το πρώτο κουτί περιέχει 1 άσπρη, 1 μαύρη και 1 κόκκινη μπάλα, ενώ το δεύτερο κουτί περιέχει 1 άσπρη και 1 μαύρη μπάλα. Επιλέγουμε στη τύχη ένα κουτί και στη συνέχεια μια μπάλα μέσα από αυτό. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) το ενδεχόμενο να επιλεγεί άσπρη μπάλα. 0) Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 όμοια μολύβια: 1 κόκκινο, 1 πράσινο, 1 μαύρο και 1 άσπρο. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. γ) Επιλέγουμε ταυτόχρονα δύο μολύβια. 8

9 1) Ρίχνουμε ένα ζάρι και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας. Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα: Α: ο αριθμός είναι περιττός, Β: ο αριθμός είναι τουλάχιστον ίσος με. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω, καθώς και τα ενδεχόμενα A, Β. β) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των παρακάτω ενδεχομένων: i) πραγματοποιείται το Α ή το Β, ii) πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β, iii) δεν πραγματοποιείται το Α, iv) πραγματοποιείται το Α, αλλά όχι το Β, v) δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β, vi) πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β. ) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α: Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης, Β: Το άθροισμα των ενδείξεων είναι μικρότερο από 4 και Γ: Το γινόμενο των ενδείξεων είναι πολλαπλάσιο του.,,,,,,. Να βρείτε τα ενδεχόμενα: ) Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 κάρτες αριθμημένες με 1,,, 4. Επιλέγουμε μια κάρτα και σημειώνουμε τον αριθμό της. Στη συνέχεια, χωρίς να τοποθετήσουμε την πρώτη κάρτα, επιλέγουμε στην τύχη μία άλλη κάρτα και σημειώνουμε τον αριθμό της. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος, β) το ενδεχόμενο Α: το άθροισμα των δύο αριθμών ναι ίσο με 5, γ) το ενδεχόμενο Β: το γινόμενο των δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο του 4, δ) το ενδεχόμενο Γ: να επιλέξουμε δύο ίσους αριθμούς. 4) Εξετάζουμε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών κατά σειρά ηλικίας τους. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος, β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: τουλάχιστον ένα παιδί είναι κορίτσι, Β: το πολύ δύο παιδιά είναι κορίτσια. i) Να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόμενα Α, Β και. ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα A, Β, A, Β και. γ) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Γ: Το δεύτερο παιδί είναι κορίτσι. Δ: Δύο διαδοχικά παιδιά είναι αγόρια. Να βρείτε τα ενδεχόμενα Γ και Δ και να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα. 5) Μεταξύ των οικογενειών με 4 παιδιά, επιλέγουμε τυχαία μία και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών με βάση τη σειρά γέννησης τους. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 9

10 β) τα ενδεχόμενα: Α: Η οικογένεια έχει μόνο ένα παιδί διαφορετικού φύλου από το δεύτερο παιδί και Β: Τα δύο μεγαλύτερα παιδιά είναι του ίδιου φύλου. 6) Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστούν συνολικά ίδιες ενδείξεις (κεφαλή ή γράμματα), α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: εμφανίστηκε φορές η ένδειξη κεφαλή, Β: ρίξαμε το νόμισμα φορές, γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα, Β- Α και Β. 7) Μια δισκογραφική εταιρεία ελέγχει τα CD που παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά CD ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 CD. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: i) Α: να βρεθεί το πολύ 1 ελαττωματικό CD, ii) Β: να βρεθούν ακριβώς ελαττωματικά CD, iii) Γ: να ελεγχθούν συνολικά 4 CD. γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα και Γ - Α. 8) Δύο φίλοι παίζουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει πρώτος παιχνίδια ή παιχνίδια στη σειρά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. 9) Δύο ομάδες Α και Β παίζουν μεταξύ τους μπάσκετ και συμφωνούν νικήτρια να είναι η ομάδα που θα νικήσει σε αγώνες (οι αγώνες δεν τελειώνουν με ισοπαλία). α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: η ομάδα Α έκανε μόνο 1 νίκη. Β: η ομάδα Α δεν έκανε καμία νίκη. Γ: η ομάδα Α έκανε τουλάχιστον 1 νίκη. γ) Πόσους το πολύ αγώνες θα παίξουν μεταξύ τους; 0) Δύο ομάδες Α και Β παίζουν μεταξύ τους μπάσκετ. Νικήτρια θα αναδειχθεί η ομάδα που θα νικήσει σε αγώνες στη σειρά ή σε αγώνες συνολικά, α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Κ: να αναδειχθεί νικήτρια η ομάδα Α, Λ: η ομάδα Β να κερδίσει τουλάχιστον παιχνίδια, γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Π: να γίνουν το πολύ 5 αγώνες, Μ: να γίνουν ακριβώς αγώνες, Ν: να γίνουν τουλάχιστον 4 αγώνες. 10

11 1) Ρίχνουμε ένα νόμισμα και σταματάμε όταν έρθουν Κεφαλές (Κ) ή Γράμματα (Γ). Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ) Μια μηχανή παράγει μεταλλικούς δίσκους. Ελέγχουμε αυτούς και τους διακρίνουμε σε καλούς (Κ) και ελαττωματικούς (Ε). Ο έλεγχος σταματάει όταν βρεθούν δύο ελαττωματικοί ή τρεις καλοί. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ώστε να έχουμε: i) έναν το πολύ ελαττωματικό. ii) δύο τουλάχιστον καλούς. ) Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. α) Να κάνετε το δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να παραστήσετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: Α: Στη η ρίψη φέρνουμε Κ. Β: Ο αριθμός των Γ υπερβαίνει τον αριθμό των Κ. Γ: Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις. γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α', AB, AB, Α-Β 4) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. α) Να βρείτε τα ενδεχόμενα. Α: Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της ης ρίψης. Β: Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9. Γ: Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του. β) Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα AB, (ΑΒ) Γ, Α-Β 5) Ρίχνουμε διαδοχικά ένα νόμισμα και ένα ζάρι. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα όταν οι ενδείξεις είναι: Α: Κ και άρτιος αριθμός. Β: Γ και αριθμός το πολύ. γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α, AB, AB, Α-Β, (Β-Α) 6) Ένα κουτί περιέχει 6 μπάλες αριθμημένες από το 1 έως το 6. Τραβάμε από το κουτί μία-μία τις μπάλες, έως ότου επιλεγεί η μπάλα με τον αριθμό 6. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. 7) Δύο φίλοι παίζουν τάβλι και συμφωνούν νικητής θα είναι όποιος κερδίσει 4 παρτίδες ή συνεχόμενες παρτίδες. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. 11

12 8) Ένα εργοστάσιο παράγει ποτήρια και τα συσκευάζει σε κουτιά των 0 τεμαχίων. Πριν την έξοδο των κιβωτίων από το εργοστάσιο γίνεται έλεγχος ποιότητας του εμπορεύματος. Από κάθε κουτί ελέγχονται στη τύχη 4 ποτήρια και όταν βρεθούν ελαττωματικά το κιβώτιο επιστρέφεται. Να βρείτε: α) το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) τα ενδεχόμενα: Α: Ακριβώς 1 ελαττωματικό. Β: Τουλάχιστον 1 ελαττωματικό. Γ: Το πολύ 1 ελαττωματικό. 9) Ένα εργοστάσιο παράγει πιάτα και τα συσκευάζει σε κουτιά των 100τεμαχίων. Το τμήμα ελέγχου ποιότητας του εργοστασίου, επιλέγει από το κουτί 4 πιάτα ένα-ένα και αν υπάρχουν ελαττωματικά ή έχουν επιλεγεί συνεχόμενα ελαττωματικά, επιστρέφει το κουτί στη μονάδα παραγωγής. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Το ενδεχόμενο το κουτί να επιστραφεί στη μονάδα παραγωγής. 40) Μια εταιρεία κατασκευής τηλεφώνων ελέγχει τα τηλέφωνα που παράγει και τα ταξινομεί σε κανονικά (Κ), σε εκείνα που έχουν ελάττωμα λειτουργίας (Χ) και σε εκείνα που έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε). Ο έλεγχος σταματάει μόλις βρεθούν τηλέφωνα τύπου Ε ή 1 τηλέφωνο τύπου Χ ή όταν έχουν ελεγχθεί συνολικά 4 τηλέφωνα. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. 41) Οι έδρες δύο κανονικών τετράεδρων είναι αριθμημένες με τους αριθμούς 1,,, 4. Ρίχνουμε συγχρόνως τα δύο τετράεδρα. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να παραστήσετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα. Α: Το άθροισμα των ενδείξεων μεγαλύτερο του 5. Β: Οι ενδείξεις άρτιοι αριθμοί. Γ: Ίδιες ενδείξεις. γ) Να βρείτε τα ενδεχόμενα AB, AB, Α-Β, (Β-Α) 4) Δύο άτομα α, β διαδοχικά πρόκειται να καθίσουν σε τρεις στη σειρά αριθμημένες καρέκλες, με τους αριθμούς 1,,. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω. β) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: «τα άτομα να καθίσουν δίπλα». 4) Η Διεύθυνση ενός Λυκείου κωδικοποιεί τους μαθητές της Γ' τάξης που προήχθησαν σύμφωνα με το αν έχουν διαγωγή κοσμιοτάτη ή καλή και σύμφωνα με την επίδοση τους η οποία χαρακτηρίζεται ως άριστα, καλά, σχεδόν καλά. Η διεύθυνση καταγράφει με 1 τον μαθητή με διαγωγή κοσμιοτάτη και με 0 τον μαθητή με διαγωγή καλή και στη συνέχεια δίπλα γράφει ένα από τα γράμματα α,β, γ ανάλογα με το αν η επίδοση του είναι άριστα, καλά ή σχεδόν καλά. Θεωρούμε το πείραμα της κωδικοποίησης ενός μαθητή. Να βρείτε: α) το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. 1

13 β) τo ενδεχόμενο: Α: «ο μαθητής έχει διαγωγή κοσμιοτάτη και επίδοση καλά ή άριστα». 44) Την 1/1/00 ημερομηνία έναρξης της χρήσης του ενιαίου ευρωπαϊκού νομίσματος ΕΥΡΩ οι τράπεζες μέσω των αυτόματων μηχανημάτων ανάληψης χρημάτων (Α.Τ.Μ.) εφοδιάζουν τους πολίτες με χαρτονομίσματα των 5, 10 και 0 ΕΥΡΩ δίνοντας τη δυνατότητα σε κάθε συναλλαγή να δίνονται χαρτονομίσματα μόνο του ενός είδους.με την είσοδο του νέου χρόνου δύο πολίτες (ο ένας μετά τον άλλο) έκαναν από μία συναλλαγή ο καθένας στο ίδιο μηχάνημα (Α.Τ.Μ.) μιας τράπεζας. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος για το είδος των χρημάτων που πήραν. 45) Σε τρεις συνεχόμενους αγώνες ποδοσφαίρου η ομάδα του Παναθηναϊκού δεν σημείωσε καμία ήττα. Να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος για τα αποτελέσματα των τριών αγώνων. β) τα ενδεχόμενα: Α: «η ομάδα έφερε τουλάχιστον δύο ισοπαλίες». Β: «η ομάδα έφερε το πολύ μία ισοπαλία». Γ: «η ομάδα έφερε ακριβώς δύο νίκες». Δ: «η ομάδα στον μεσαίο αγώνα σημείωσε νίκη». γ) Να γράψετε το ενδεχόμενο Δ στη γλώσσα των συνόλων και να το περιγράψετε λεκτικά. δ) Να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα τα ενδεχόμενα: i) A Δ και Β Γ, ii) AΔ και Β Γ. 46) Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. α) To τμήμαα1 έχει 0 μαθητές όπου οι 1 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο και οι 10 με το βόλεϊ. Επιλέγουμε ένα μαθητή του Α1. Α: «το ενδεχόμενο να ασχολείται με το ποδόσφαιρο». Β: «το ενδεχόμενο να ασχολείται με το βόλεϊ». β) Σε ένα σχολείο το 40% των μαθητών διδάσκεται Γερμανικά και το 70% Γαλλικά. Επιλέγουμε ένα μαθητή: Α: «το ενδεχόμενο να διδάσκεται Γερμανικά», Β: «το ενδεχόμενο να διδάσκεται Γαλλικά». 47) Ένας καθηγητής διορθώνει τα γραπτά 5 μαθητών του και γνωρίζει από τον επιτηρητή του διαγωνίσματος ότι μαθητές έχουν αντιγράψει. Αν ο καθηγητής διορθώσει στη τύχη γραπτά και με δεδομένο ότι ο καθηγητής έχει τη δυνατότητας διορθώνοντας ένα γραπτό να καταλάβει ότι είναι προϊόν αντιγραφής, να βρείτε: α) τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) το ενδεχόμενο ο καθηγητής να ανακαλύψει τους αντιγραφείς. 48) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β (διάφορα του κενού) ενός δειγματικού χώρου Ω, τα οποία είναι ασυμβίβαστα. Να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα τα ενδεχόμενα: α) Α και Β β) Α και Β γ) A Β και Β. 1

14 ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΚΑΙ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας 49) Γιατί οι παρακάτω εκφράσεις είναι λάθος; α) Η πιθανότητα να μείνεις Μαθηματικά είναι 0,15 και να μη μείνεις 0,75. β) Η πιθανότητα να μείνεις Μαθηματικά είναι 1 7 και να μείνεις Μαθηματικά και Χημεία 1 6. γ) Η πιθανότητα να μείνεις Mαθηματικά είναι 15% και να μείνεις Μαθηματικά ή Χημεία 10%. 50) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι μία φορά και καταγράφουμε την ένδειξη της άνω έδρας του. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων i) Α: η ένδειξη είναι άρτιος αριθμός, ii) Β: η ένδειξη είναι περιττός αριθμός και μεγαλύτερος του, iii) Γ: η ένδειξη είναι πολλαπλάσιο του ή μικρότερη του 4. 51) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα τρεις φορές και σημειώνουμε κάθε φορά την ένδειξη (κεφαλή ή γράμματα). α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Εμφανίστηκε κεφαλή ακριβώς φορές. Β: Εμφανίστηκαν γράμματα τουλάχιστον φορές. Γ: Εμφανίστηκε η ίδια ένδειξη και τις φορές. 5) Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο: Ω = {1,,,...,0} και τα ενδεχόμενα: A={xΩ/ x = πολλαπλάσιο του } και Β = { xω/ x = πολλαπλάσιο του 5} Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. α) Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα A, Β, και Β- Α. β) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( ) και Ρ(Β - Α). 5) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,4, 5, 6, 7, 8} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α = { λ Ω / η εξίσωση x + 4x + λ = 0 είναι αδύνατη στο R}, Β = { μ Ω / η εξίσωση x + μx + μ - = 0 έχει πραγματικές ρίζες}. 54) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,..., 10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Θεωρούμε επίσης ενδεχόμενα: A = {x Ω / x-4 < }, Β={x Ω / x -4x + < 0} και x 5x6 x /. x 8 14

15 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ). β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα A B και και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ( A B) και Ρ( ). 55) Ένα κουτί περιέχει 15 σφαίρες από τις οποίες οι 6 είναι κίτρινες, οι 5 είναι μπλε και οι 4 είναι ροζ. Αν πάρουμε στην τύχη μία σφαίρα από το κουτί, να βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε σφαίρα : α) κίτρινη β) ρόζ η κίτρινη γ) όχι μπλέ. 56) Σε ένα κουτί υπάρχουν άσπρες, 4 μπλε, 6 πράσινες και 8 κόκκινες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί. Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα αυτή: α) να είναι μπλε, β) να είναι άσπρη ή πράσινη, γ) να μην είναι άσπρη. 57) Σ ένα κουτί έχουμε 4 πράσινους,10 κόκκινους και 6 κίτρινους βόλους. Αν πάρουμε έναν στην τύχη,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Ο βόλος είναι κόκκινος Β : Ο βόλος δεν είναι πράσινος Γ : Ο βόλος είναι κόκκινος η δεν είναι πράσινος. 58) Ένας αριθμός σχηματίζεται με τα ψηφία,0,9 που χρησιμοποιούνται το καθένα μία φορά. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : Ο αριθμός να διαιρείται με το Β : Ο αριθμός να διαιρείται με το 4 Γ : Ο αριθμός να διαιρείται με το 5 59) Σε ένα κουτί υπάρχουν κόκκινες και πράσινες σφαίρες. Οι κόκκινες σφαίρες είναι κατά 10 περισσότερες από τις πράσινες, ενώ αν επιλέξουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί, τότε η πιθανότητα να είναι πράσινη ισούται με 0,4. Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες πράσινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. 60) Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να φέρουμε γράμματα και πέντε. 61) Ένα κουτί περιέχει άσπρες σφαίρες, 1 μπλε σφαίρες και ορισμένες πράσινες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα.η πιθανότητα η σφαίρα αυτή να είναι πράσινη είναι 0%.Να βρείτε: α) πόσες είναι οι πράσινες σφαίρες, β) την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέξαμε να είναι άσπρη ή πράσινη. 15

16 6) Ο Χρήστος και ο Στέφανος παίζουν τάβλι και βρίσκονται προς το τέλος τον παιχνιδιού. Ο Χρήστος για να κερδίσει πρέπει να φέρει «διπλές»,ενώ ο Στέφανος κερδίζει σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση. Ποια είναι η πιθανότητα για κάθε παίκτη να κερδίσει το παιχνίδι ; 6) Έστω η εξίσωση x x 0, όπου τα α,β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. 64) Σε ένα κουτί έχουμε 4 σφαίρες αριθμημένες με τους αριθμούς 1,,,4. Παίρνουμε στην τύχη από το κουτί μία σφαίρα, σημειώνουμε τον αριθμό της και την τοποθετούμε ξανά στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε δεύτερη σφαίρα και σημειώνουμε την ένδειξη της. Αν στην εξίσωση αx + 4x + β = 0, ο συντελεστής α παίρνει την τιμή της πρώτης ένδειξης και ο β της δεύτερης, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες, Β : Η εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες στο R, Γ : Η εξίσωση είναι αδύνατη στο R. 65) 5 σφαίρες αριθμημένες με τους αριθμούς 0,1,,,4 τοποθετούνται σε ένα κουτί. Παίρνουμε από το κουτί δύο σφαίρες τη μία μετά την άλλη με επανατοποθέτηση. Αν στην εξίσωση αx+β=0,x R ο συντελεστής α παίρνει την τιμή της πρώτης ένδειξης και ο β της δεύτερης,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Η εξίσωση έχει μία λύση Β : Η εξίσωση είναι αδύνατη Γ : Η εξίσωση είναι ταυτότητα 66) Οι θεατές μιας θεατρικής παράστασης ήταν x παιδιά, y άντρες και 80 γυναίκες. Επιλέγουμε τυχαία έναν θεατή. Η πιθανότητα να είναι παιδί είναι 5%, ενώ η πιθανότητα να είναι γυναίκα είναι κατά 5% μεγαλύτερη από την πιθανότητα να είναι άντρας. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι άντρες. 67) Σε ένα ξενοδοχείο μένουν Άγγλοι,Γάλλοι και Ιταλοί τουρίστες. Επιλέγουμε τυχαία έναν τουρίστα. Γνωρίζουμε ότι οι Άγγλοι τουρίστες είναι 70, ενώ η πιθανότητα να επιλέξουμε Γάλλο τουρίστα είναι 1 5 και η πιθανότητα να επιλέξουμε Ιταλό τουρίστα είναι 9 0. Να βρείτε πόσοι είναι οι Γάλλοι και πόσοι οι Ιταλοί τουρίστες. 68) Οι μαθητές της Γ Λυκείου ενός σχολείου έχουν επιλέξει να εξεταστούν πανελληνίως είτε στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας είτε στη Βιολογία Γενικής Παιδείας. Γνωρίζουμε ότι τα 4 των αγοριών και το 1 των κοριτσιών θα εξεταστούν στα Μαθηματικά. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή της Γ Λυκείου από το παραπάνω σχολείο. Η πιθανότητα ο μαθητής αυτός να είναι αγόρι και να εξεταστεί στη Βιολογία είναι 10%. 16

17 α) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι κορίτσι και να εξεταστεί στα Μαθηματικά. β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι συνολικά στη Γ Λυκείου υπάρχουν 50 μαθητές, να βρείτε: i) πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσι ii) την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να εξεταστεί στη Βιολογία. 69) Σε ένα κουτί υπάρχουν ν σφαίρες αριθμημένες από το 1 έως το ν. Επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί. Η πιθανότητα η σφαίρα αυτή να έχει περιττό αριθμό είναι κατά 4% μεγαλύτερη από το να έχει άρτιο αριθμό. Να βρείτε το πλήθος ν των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί. 70) Στις μικρές τάξεις των Δημοτικών σχολείων η αξιολόγηση των μαθητών γίνεται με ένα από τους χαρακτηρισμούς Α,Β,Γ. Σ ένα Δημοτικό σχολείο οι μαθητές των τάξεων αυτών που αξιολογήθηκαν με Α ήταν τριπλάσιοι αυτών που αξιολογήθηκαν με Γ, ενώ οι μαθητές που αξιολογήθηκαν με Β ήταν πενταπλάσιοι αυτών που αξιολογήθηκαν με Γ. Επιλέγουμε ένα μαθητή από το σχολείο αυτό. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(Β),Ρ(Γ). 71) Σ ένα τεστ Γεωγραφίας δίνονται κράτη Κ1,Κ,Κ και οι πρωτεύουσες τους Π1,Π,Π με τυχαία αντιστοίχιση και ζητείται οι μαθητές να αντιστοιχίσουν σε κάθε κράτος την πρωτεύουσα του.ένας μαθητής δίνει τυχαία την απάντηση του. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων ο μαθητής Α: Σε κάθε κράτος να αντιστοίχισε την πρωτεύουσα του, Β: Μόνο σ ένα κράτος ν αντιστοίχισε την πρωτεύουσα του, Γ : Σε κανένα κράτος δεν αντιστοίχισε την πρωτεύουσα του. 7) Ένας μαθητής διαλέγει τυχαία και ταυτόχρονα τρεις από τους αριθμούς 1, 16, 8,. Ποια η πιθανότητα οι τρεις αυτοί αριθμοί να αντιπροσωπεύουν τα μήκη των τριών πλευρών ενός τριγώνου; 7) Γράφουμε τυχαία έναν τετραψήφιο αριθμό. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «τα μεσαία ψηφία του να έχουν άθροισμα». 74) Το σύνολο {5,8,65,95 } περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών. Επιλέγουμε τυχαία και ταυτόχρονα δύο. Αν αυτά αντιπροσωπεύουν τα μέτρα των δυο γωνιών ενός τριγώνου, ποια η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι αμβλυγώνιο; 75) Γράφουμε τυχαία έναν πενταψήφιο αριθμό και θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: «τα ψηφία του με τη σειρά που γράφεται ο αριθμός, αποτελούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω0. α) Ποιες οι δυνατές τιμές του ω; β) Να βρεθεί η Ρ(Α). 17

18 Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας 76) Δίνεται το σύνολο Δ = {α,,α,α,,α4,α5}. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις μπορεί το Δ να είναι ένας δειγματικός χώρος; α) P( a1 ) 1, P( a ), P( a ), P( a4 ), P( a5 ) β) P( a1 ) 1, P( a ), P( a ), P( a4 ), P( a5 ) γ) P( a1 ) 1, P( a ), P( a ), P( a4 ), P( a5 ) ) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ={ ω1,ω,ω}. Αν είναι : και Ρ ( ω ) = 5 α,να βρείτε το α. ( 1 ) 9, P ( ) ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1,ω,ω, ω4} με Ρ(ω1) = 0,, Ρ(ω) = 0,4 και Ρ(ω) = Ρ(ω4). α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ω,ω4. β) Αν A = { ω1,ω} και Β = { ω,ω, }, να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α,Β,Α Β και A B. 79) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1, ω, ω, ω4} ο δειγματικός χώρος και τα ενδεχόμενα Α = {ω,ω} και Β = {ω,ω4} με πιθανότητες Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Β) = 0,5. Αν Ρ(ω) = 0, να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Ρ(ω) β) Ρ(ω4) γ) Ρ(ω1) δ) P(AB) ε) p[(αβ) ] 80) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1, ω, ω} με Ρ(ω1) = κ, Ρ(ω) = κ - 1 κ και Ρ(ω) = - 9 κ.να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ. 81) 1 1 Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {ω1, ω, ω, ω4} με ( 1), ( ) και ( ) Να βρείτε: α) την πιθανότητα Ρ(ω4), β) την πιθανότητα του ενδεχομένου Α = {ω, ω4}. 18

19 8) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {ω1, ω, ω, ω4,ω5}ενός πειράματος τύχης, με: Ρ(ω)= 1 4, Ρ(ω) = Ρ(ω4)= 1 4 και Ρ(ω5)= 1 α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(ω1). β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α = {ω1, ω, ω5} και Β = {ω1, ω}. Να βρείτε τις πιθανότητες: i) Ρ(Α) ii) Ρ(Β) iii) Ρ( ) iv) Ρ( ) 8) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {ω1, ω, ω, ω4}και τα ενδεχόμενα Α = {ω1, ω} και Β = {ω,ω}. Ισχύουν Ρ(Α)= 1 4,Ρ(Β) = 1 5 και Ρ(ω4) = 1 α) Να βρείτε τις πιθανότητες P(ω1), Ρ(ω) και Ρ(ω). β) Να βρείτε το ενδεχόμενο A B και στη συνέχεια να υπολογίσετε την Ρ( A B). 84) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {ω1, ω, ω, ω4} και τα ενδεχόμενα Α = {ω1, ω}, Β = {ω, ω} και Γ ={ω1, ω, ω} για τα οποία ισχύουν: Ρ(Α)= 1, Ρ(Β)= 4, Ρ(Γ)= 5 6.Να βρείτε: α) τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω β) την πιθανότητα του ενδεχομένου: Δ= ( AB) 85) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,4, 5} με Ρ(5) = Ρ(4) = 4Ρ() = Ρ() = 4Ρ(1). α) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = { λω / λ = περιττός} και Β = {λ Ω / λ > }. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(Β) και ( ) 86) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = (1,,, 4, 5} με Ρ() = Ρ() = 4Ρ(4) = 8Ρ(1). Επίσης, για το ενδεχόμενο Α = {1, } ισχύει ότι Ρ(Α) = 1 4. Να βρείτε: α) τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, β) την πιθανότητα του ενδεχομένου Β = {λ Ω / η εξίσωση x + x + λ = 0 έχει πραγματικές ρίζες. 87) Δίνεται ο δειγματικός χώρος : Ω = {1,,, 4, 5, 6} με Ρ(1) = Ρ() =x, Ρ() = Ρ(4) = x, Ρ(5) = 10x +x και Ρ(6) = x α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = {λ Ω / λ = άρτιος} και Β = {λ Ω / λ } Να βρείτε την πιθανότητα: i) του A, ii) του Β, iii) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β, iv) να πραγματοποιηθεί το Β, αλλά όχι το Α. 19

20 88) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = (1,,, 4, 5, 6} με Ρ()=Ρ()=6Ρ(1) και Ρ(6)=Ρ(5)=Ρ(4). Επίσης,για το ενδεχόμενο Α={,4} ισχύει ότι ( ).Να βρείτε : 5 α) τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, β) την πιθανότητα του ενδεχομένου: Β= { λ Ω / ισχύει x -λx + 6λ-5 > 0 για κάθε x R} 89) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,..., 10} και {ω} ένα στοιχειώδες ενδεχόμενό του., Ισχύει ότι: ( ), 5.Να βρείτε: 5, 5 5 α) τον πραγματικό αριθμό κ, β) την πιθανότητα του ενδεχομένου: Α = {ω Ω/ω = περιττός}. 90) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {1,, }. Οι πιθανότητες Ρ(1) και Ρ() είναι ρίζες της εξίσωσης 1x -16Ρ(1)x + Ρ() = 0. Να βρείτε: α) τις πιθανότητες Ρ(1), Ρ() και Ρ(), β) την πιθανότητα του ενδεχομένου: Α = {λω το πολυώνυμο Q(x)=x +λ x +5λx+7 έχει παράγοντα το x+1} 91) Δίνεται ο επόμενος δειγματικός χώρος: Ω= {1,,,..., 40} ώστε για κάθε απλό ενδεχόμενο {κ} του Ω να ισχύει Ρ(κ) = λκ. 1 α) Να αποδείξετε ότι λ = 80 β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Α = {ω Ω / ω = άρτιος} 9) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,..., ν} και τα ενδεχόμενα: Ακ = {1,,...,κ} με κ = 1,,., ν για τα οποία ισχύει Ρ(Ακ) = ( ) α) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα κάθε απλού ενδεχομένου (κ) του Ω είναι ( ) β) Να βρείτε τον αριθμό ν. 9) Έστω Ω = {1,,,4,5} δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Ρ(ω)= ν, 1 ω. ν, 4ω5 Να βρεθεί ο πραγματικός ν. 0

21 94) Τα δυνατά αποτελέσματα ω1,ω,ω,ω4 ενός πειράματος τύχης πραγματοποιούνται με συχνότητες 7 8 5,,, αντίστοιχα.να βρείτε την τιμή του χ ώστε οι συχνότητες αυτές να αντιπροσωπεύουν x x x x τις πιθανότητες των ενδεχομένων ω1,ω,ω,ω4. 95) Συνδυαστικά θέματα Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {1,, }Για κάθε απλό ενδεχόμενο {κ} του Ω ισχύει ότι k 1 Pk ( ) a α) Να αποδείξετε ότι α = 15. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α = {1,} και Β = {, }, καθώς και τη συνάρτηση: f(x) = Ρ(Α)x - 5Ρ(Β)x + 6x + Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 96) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,, 4} με Να βρείτε: α) τον ακέραιο αριθμό κ, β) τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, () (1) () και 4 x x ( ) γ) την πιθανότητα του ενδεχομένου: / lim x x 6x ) 4 (4),κΖ. k 6 Έστω Ω = {, 4, 6, 1} ένας δειγματικός χώρος. Δίνονται επίσης οι τύποι: P( k), P( k) 4 5k ένας από τους οποίους εκφράζει την πιθανότητα κάθε απλού ενδεχομένου κ του Ω. α) Να εξετάσετε ποιος από τους παραπάνω τύπους εκφράζει τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων i) Α = {α Ω/ η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της: f (x)=x -αx +(α + 1) x+011 στο σημείο της Μ(, f ()) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα x'x} ii) Β={βΩ/η γραφική παράσταση της g(x) = x - 6ex + β - 4 τέμνει τον y'y σε σημείο με θετική τεταγμένη} 98) () (5) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,, 4, 5} με (1) ().Να βρείτε : α) τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω β) την πιθανότητα του ενδεχομένου : x / f ( x) ( ) x (5 ) x 01ί ί ύ R. 1

22 99) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {0, 1,,, 4, 5} για τον οποίο ισχύουν Ρ(4) = Ρ() = 6Ρ(0) και Ρ(5) = Ρ() =4Ρ(1). Επίσης, για το ενδεχόμενο Α= {x Ω/ x - 9 < } ισχύει ότι Ρ(Α) = 7 1. α) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α. β) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. γ) Έστω s η διακύμανση των αριθμών 4λ -7, λ - 1, λ +, όπου λ Ω. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Β = {λ Ω/ s 6} 100) Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός βιβλίων Αριθμός μαθητών νi xi 0 α+4 1 5α+8 4α α-1 4 α Σύνολο 50 α) Να υπολογίσετε την τιμή του α β) Να βρείτε : i) τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές ii) τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές iii) την πιθανότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστον βιβλία 101) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 μαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Βάρος σε κιλά [ ) Fi , , α) Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιμές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παραπάνω δεδομένων. γ) Επιλέγουμε τυχαία από το δείγμα των 80 μαθητών ένα μαθητή. i) Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος μικρότερο από 65 κιλά. ii) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει βάρος μεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και μικρότερο των 75 κιλών.

23 10) Εξετάσαμε τους παίκτες ενός πρωταθλήματος μπάσκετ ως προς τον χρόνο (σε min) συμμετοχής τους στον τελευταίο αγώνα και προέκυψε ο επόμενος πίνακας: Χρόνος σε min xi νi fi Ni Fi [0,6) 4 0, (6,1) [1,18) 78 [18,4) [4,0) 0,15 Σύνολο Επίσης, γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία έναν παίκτη, τότε η πιθανότητα να συμμετείχε τουλάχιστον 1min, αλλά λιγότερο από 4min, είναι α) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των χρόνων συμμετοχής των παικτών, γ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο, δ) Επιλέγουμε τυχαία έναν παίκτη. Να βρείτε την πιθανότητα: i) ο παίκτης να συμμετείχε το πολύ 15min, ii) ο παίκτης να συμμετείχε τουλάχιστον 5 min. 10) Μια βιοτεχνία κατασκεύασε μια ποσότητα προϊόντων της σε πακέτα ομοιόμορφα. Ειδικός ποιοτικός έλεγχος που τους έγινε κατέληξε στις ακόλουθες πιθανότητες. Ενδεχόμενο Πιθανότητα Κ: Κανονικό πακέτο 8% Ε: Ελαττωματικό πακέτο ως ελλιποβαρές 5% Υ: Ελαττωματικό πακέτο ως υπέρβαρο 8% Σ : Ελαττωματικό πακέτο λόγω κακής 10% συσκευασίας. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα πακέτο ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων: α) Είναι ελαττωματικό λόγω βάρους, β) Είναι ελαττωματικό. γ) Είναι ελαττωματικό και ως προς το βάρος και ως προς τη συσκευασία. 104) Σε μια παραγωγή συσκευασμένων πακέτων ενός προϊόντος έχει υπολογιστεί ότι από αυτά έχουν: Λάθος μέγεθος (Μ) 15% Λάθος μέγεθος και χρώμα 8% Λάθος χρώμα και βάρος % Λάθος Χρώμα (Χ) 10% Λάθος μέγεθος, βάρος και 1% χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα πακέτο. Ποια η πιθανότητα αυτό να έχει λάθος μέγεθος ή (σωστό βάρος και λάθος χρώμα;)

24 105) Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσι Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο ο Χαμηλή επίδοση 7 % 5 % 8 % 6 % Μεσαία επίδοση 15 % 11 % 14 % 10 % Υψηλή επίδοση 8 % 5 % 7 % 4 % Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί και έστω τα ενδεχόμενα. Α: να είναι κορίτσι Β: να φοιτά στο λύκειο, Γ: Να έχει υψηλή απόδοση. Να περιγραφούν και να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) A B β) A Γ 106) Ρίχνουμε ένα μικρό αντικείμενο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου στου οποίου τις έδρες έχουμε σημειώσει τις ενδείξεις ε1,ε,ε,ε4,ε5,ε6. Έστω Ai ( i 1,,, 4,5, 6) το ενδεχόμενο να εμφανιστεί η ένδειξη εi. Αν Ρ(Α1)=Ρ(Α6),Ρ(Α)=Ρ(Α5) και Ρ(Α)=Ρ(Α4) να βρείτε : 1 1 α) την Ρ(Α1),όταν P( A) P( ), 8 6 β) την Ρ(Α),όταν Ρ(Α1)=Ρ(Α)=Ρ(Α5). 107) Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4) κορίτσια. α) Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. β) Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με 1 και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα 19 από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. γ) Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής; 108) Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας έκαναν για φιλανθρωπικό σκοπό. Γνωρίζουμε ότι 1 υπάλληλος έδωσε 1, υπάλληλοι έδωσαν,,ν υπάλληλοι έδωσαν ν, με ν > 4. Αν επιλέξουμε στην τύχη έναν υπάλληλο, τότε η πιθανότητα να έχει δώσει το πολύ 4 είναι 11. α) Να αποδείξετε ότι ν = 10. β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των ποσών που έδωσαν οι υπάλληλοι. 109) Αν Ρ(A Β ) = Ρ(Β ) τότε Ρ (A Β) = Ρ(Α). ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Υπολογισμός πιθανοτήτων 4

25 110) Αν Α, Β ενδεχόμενα διάφορα του αδύνατου και Ρ(Α Β) = Ρ(Β) τότε να δείξετε ότι: α) Ρ(Α Β) = 0 και β) Ρ(Α Β ) = ) Αν Α, Β ενδεχόμενα δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 0%, Ρ(Β') = 60% και P(A B) = 56% να βρεθούν οι Ρ(Β) και Ρ(Α Β). 11) Αν Ρ(B) = 0% και Ρ(A B ) = 10% να βρεθεί η τιμή της Ρ (Α Β) και της P(A B ). 11) Για τα ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ (Β )=0,6, Ρ(ΑΒ)= 5 1 και Ρ(AΒ)= 10 8.Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Ρ(Β) β) Ρ(Α) γ) Ρ (Α-Β) δ) Ρ(ΒΑ ) ε) P[(A-B)(B-Α)] στ) P(A B ). 114) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δ.χ. Ω με Ρ(Α)=0,5, Ρ(Β)=0,75, Ρ(A B)= 0,5 να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α Β,Α Β και A Β. 115) Αν P(A) = 0,, Ρ(Β) = 0,5, Ρ(A Β ) = 0,1 να βρεθεί η P(A B). 116) Αν P(A B)=0,1, Ρ (Β') = 0,8 να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Α Β β) Α Β. 117) Η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου Α έχει πιθανότητα 0%, η μη πραγματοποίηση ενός άλλου Β έχει 40% και η πραγματοποίηση ενός τουλάχιστον των Α, Β, 90%. Ποια η πιθανότητα του A B; 118) Η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο, ως προς την πιθανότητα να μη συμβεί είναι 5 προς 7. Να βρεθεί η πιθανότητα του. 119) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : 7 1 ( ), ( ) και ( ). 1 Να βρείτε τις πιθανότητες : α) Ρ(Β) β) ( ) γ) Ρ(Α-Β) δ)ρ(β-α) 10) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : ( ), ( ) και ( ).Να βρείτε τις πιθανότητες : 4 8 5

26 α) ( ) β) Ρ(Α-Β) γ) ( ) δ)ρ[(β-α) ] 11) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : 1 ( ), ( ) και ( ). 4 4 Να βρείτε τις πιθανότητες : α) Ρ(Β) β) ( ) γ) [( ) ( )] δ) ( ) 1) 5 Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με P( A) και Ρ(Β)=Ρ(Α ). 8 α) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα,να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα και τα Α,Β. β) Να αποδείξετε ότι : 5 i) ( ) ii) ( ) ) Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β ισχύουν : πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). P( A B) P( A B) και 4 ( ) 5,να βρείτε τις 6 14) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με A C Β, για τα οποία ισχύει Ρ(Α) = 1 6 και Ρ(Β) =. Να βρείτε τις πιθανότητες: α) ( ) β) ( ) γ) Ρ(Β-Α) δ) ( ) 15) Δίνονται τα ενδεχόμενα A, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε το Α να είναι 7 9 ασυμβίβαστο με καθένα από τα Β και Γ. Επίσης ισχύουν: ( ), ( ) και ( ) 10 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ). β) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. 16) Δίνονται τα ενδεχόμενα A, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω, τα οποία είναι ανά δύο 7 ασυμβίβαστα. Επίσης ισχύουν: ( ), ( ) και ( ) Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) β) ( ) γ) Ρ(Γ-Α) δ) ( ) 6

27 17) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με α) Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα. β) Να βρείτε την πιθανότητα ( ). 1 P( A), P( B) και ( ). 0 18) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: Ρ(Α- Β) = 0,1, Ρ(Β-Α) = 0,5 και ( ) = 0,9 Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) και ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) 19) Αν 1 P( A), P( B) και P( AB) να βρεθούν η Ρ(Α Β ) και η Ρ(Α Β ) 10) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: ( ) = 0,8, Ρ(Β-Α) = 0, και ( ) = 0,9 Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) και ( ), β) Ρ(Β -Α ), iii) Ρ(Α -Β). 11) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: 1 7 ( ) και ( ) ( ) 6 1 α) Να αποδείξετε ότι ( ). 6 β) Να βρείτε την ( ). 1) Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω έχουν γινόμενο πιθανοτήτων ίσο με 4 5. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών. 1) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P(A)= 1 και Ρ(Β-Α)= 1 Να βρείτε τις πιθανότητες: α) ( ) β) ( ) 7

28 14) Δίνονται τα ενδεχόμενα A, Β και Γ δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: Ρ(Α - Β) - Ρ(Β - Α) = 5 8 και 1 ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. 15) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: (Ρ(Α)) + Ρ(Α ) = Ρ(Β )(1 + Ρ(Β)) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). 16) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: 4 ( ) και Ρ(Α ) + Ρ(Β ) = Να βρείτε τις πιθανότητες: α) ( ) β) [( ) ( )] 17) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Αν βρείτε τις P( AB) ( ). 1 P( AB) και 10 6 P( A) P( B),να 5 18) Να εξετάσετε αν υπάρχουν ενδεχόμενα Α,Β του ίδιου δειγματικού χώρου, ώστε να ισχύουν 5 5 P( A), P( B) ( ) ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν ενδεχόμενα Α,Β του ίδιου δειγματικού χώρου, ώστε να ισχύουν είναι Ρ (Α) = 0,75, Ρ (Β) = 0,45 και Ρ (A B) = 0,1. Είναι δυνατό; 140) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: Ρ(Α) = Ρ(Α ), ( ) = 5 και Ρ(Β - Α) = 1 0 α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α)= 4 β) Να βρείτε τις πιθανότητες ( ),Ρ(Β) και ( ). ( ) ( ) γ) Να βρείτε την πιθανότητα 141) 5 1 Αν ( ) ( ), ( ) ( ) και,να βρείτε την πιθανότητα 1 α) Ρ(A B) και β) Ρ(Α Β) 8

29 14) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: 5 ( ) ( ) 4 ( ) και ( ). 8 Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) και ( ), β)ρ(β-α) και γ) ( ) 14) Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: ABΓ, P(A)=1/4, P(B) = 5/1, P(Γ) = 7/1. Να υπολογίσετε τις P(A Β), P(A Γ) και P(Β Γ). 144) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 0 ισοπίθανα απλά 5 0, ενδεχόμενα. Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει: να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α. 145) Έστω Α ενδεχόμενο δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητα Να αποδείξετε ότι. 4,. 1 Λεκτική περιγραφή και υπολογισμός πιθανοτήτων 146) 147) Αν Α,Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι : Ρ(Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ),όπου Γ είναι το ενδεχόμενο << Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β >>. 148) Έστω Α Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν είναι 1 ( ), να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : 4 Μ : Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α,Β. P ( A ) P ( B ) και 149) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα τον ίδιου δειγματικού χώρου με P ( A ), P ( B ), P ( A B ). Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : 1 α) να μην πραγματοποιηθεί το Α β) να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α,Β γ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,Β. 9

30 150) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α)=Ρ(Β)=0,6 και P ( A B ) 0,8, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Κ : Να πραγματοποιηθούν τα Α και το Β Λ : Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β Μ : Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β Ν : Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α, Β 151) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί το Α είναι 60%, να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 70%, να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 10%. Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β, β) να πραγματοποιηθεί το Α αλλά όχι το Β, γ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. 15) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α,B είναι να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα A, Β είναι 1 5 να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 5. Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το Β, β) να πραγματοποιηθεί το Α, γ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A, Β, δ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα A, Β, ε) να πραγματοποιηθεί το Β ή να μην πραγματοποιηθεί το Α. 15) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β είναι 7 8 να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β είναι 5 8 Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 0

31 154) Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α και να μην πραγματοποιείται το Β είναι 1 1. η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται το Β είναι 1 Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα A, Β. 155) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: ( ) = 1 8, ( ) = 1 4 και Ρ(Β-Α)= 1 Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α) και Ρ(Β), β) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β, γ) να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β. 156) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Α ) - Ρ(Α) = 1, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα A, Β είναι 9 10 Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το Α, β) να πραγματοποιηθεί το Β, αλλά να μην πραγματοποιηθεί το Α. 157) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Α ) = Ρ(Β - Α) α) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα A, Β. 1 β) Αν επιπλέον ισχύουν: ( ) και ( ) να βρείτε την πιθανότητα: 5 5 i) να πραγματοποιηθεί το Α, ii) να μην πραγματοποιηθεί το Β, iii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα, iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β 158) Αν Α,Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)= α, Ρ(Β)=β και P( AB) 1,, 0,, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : α) να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α,Β β) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,Β 1

32 159) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: 6(Ρ(Α)) + 11Ρ(Α ) = 8, Ρ(Α-Β)= 11 1 και 5 ( ) 6 α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) = 1. β) Να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α, ii) να μην πραγματοποιηθεί το Β, iii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β v) να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β 160) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Α) = Ρ(Β) = 6 ( ).Επίσης η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 7. Να βρείτε την πιθανότητα: 10 α) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα A, Β, β) να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β, γ) να μην πραγματοποιηθεί το Α ή να πραγματοποιηθεί το Β, δ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,B ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,B Προβλήματα 161) Σε μία τάξη το 40% παρακολουθεί Γαλλικά,το 1% Μουσική και το 5% και τα δύο. Φωνάζουμε ένα μαθητή από την τάξη αυτή. Ποια η πιθανότητα : << ο μαθητής αυτός να παρακολουθεί ακριβώς ένα από τα δύο αυτά μαθήματα>> 16) Σε ένα συνέδριο το 5% είναι Ασιάτες, το 55% Χριστιανοί και το 0% Ασιάτες και Χριστιανοί. Επιλέγουμε τυχαία έναν. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου Ε: Δεν είναι Ασιάτης ούτε Χριστιανός. 16) Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 0% των αυτοκινήτων δεν έχει υδραυλικό τιμόνι, το 40% δεν έχει ραδιοcd και το 15% δεν έχει ούτε υδραυλικό τιμόνι ούτε ραδιοcd. Κάποιος αγοράζει ένα αυτοκίνητο. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου το αυτοκίνητο που αγοράστηκε να έχει υδραυλικό τιμόνι και ραδιοcd. 164) Σε μια ανθοδέσμη τα 40% των λουλουδιών είναι τριαντάφυλλα και το 5% των λουλουδιών είναι κόκκινα. Επιλέγουμε τυχαία ένα λουλούδι και η πιθανότητα να βγει κόκκινο τριαντάφυλλο είναι 10%. Ποια η πιθανότητα να βγει κατά την επιλογή αυτή τριαντάφυλλο ή κόκκινο λουλούδι.

33 165) Το 45% των υπηρετούντων ανδρών σ ένα στρατόπεδο είναι Αθηναίοι. Το 10% επίσης των υπηρετούντων ανδρών είναι αξιωματικοί. Επιλέγουμε τυχαία έναν άνδρα και θεωρούμε τα ενδεχόμενα : α) K : ο επιλεγείς να είναι αξιωματικός και Αθηναίος β) Μ : ο επιλεγείς να είναι Αθηναίος η να μην είναι αξιωματικός Αν Ρ(Κ) = 5% ποια η πιθανότητα του Μ. 166) Σε δύο διαγωνίσματα Μαθηματικών που έγιναν σε μία τάξη οι μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση αποτελούσαν το 0% στο 1ο διαγώνισμα, το 40 % στο ο διαγώνισμα και το 5% και στα δύο. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης αυτής.να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : α) ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα. β) ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση το πολύ σε ένα από τα διαγωνίσματα γ) ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο σε ένα από τα διαγωνίσματα δ) ο μαθητής να έγραψε τουλάχιστον τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα 167) Σε μία πόλη το 40 /ο των κατοίκων διαβάζουν συχνά εφημερίδες,το 0 /ο διαβάζουν συχνά περιοδικά,ενώ το 10 /ο διαβάζουν συχνά και εφημερίδες και περιοδικά. Αν επιλέξουμε έναν κάτοικο στην τύχη,τότε ζητείται να υπολογιστεί η πιθανότητα επί τοις εκατό : α) Να διαβάζει συχνά εφημερίδες η περιοδικά β) Να διαβάζει συχνά εφημερίδες και όχι περιοδικά γ) Να διαβάζει συχνά περιοδικά και όχι εφημερίδες δ) Να διαβάζει συχνά η μόνο εφημερίδες η μόνο περιοδικά ε) Να μη διαβάζει συχνά ούτε εφημερίδες ούτε περιοδικά. 168) Από τις οικογένειες των 0 μαθητών μιας τάξης 5 έχουν βίντεο,5 έχουν κομπιούτερ και 4 έχουν και βίντεο και κομπιούτερ. Επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Να έχει μόνο βίντεο Β : Να έχει μόνο βίντεο η κομπιούτερ Γ : Να έχει μία τουλάχιστον συσκευή. 169) Σ ένα χωριό με 48 οικογένειες,οι 6 έχουν έγχρωμη τηλεόραση,οι 16 έχουν ασπρόμαυρη και οι 6 έχουν και έγχρωμη και ασπρόμαυρη. Αν επιλέξουμε τυχαία μία οικογένεια τον χωριού, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Να μην έχει ούτε έγχρωμη ούτε ασπρόμαυρη τηλεόραση Β : Να έχει μόνο έγχρωμη τηλεόραση. 170) Σε ένα σύλλογο με 10 μέλη, τα 50 συμμετέχουν στο χορευτικό τμήμα του συλλόγου,τα 0 στο θεατρικό τμήμα,ενώ τα 1 απ αυτά συμμετέχουν και στα δύο τμήματα.αν επιλέξουμε τυχαία ένα μέλος του συλλόγου,να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : Να συμμετέχει στο χορευτικό η στο θεατρικό τμήμα, Β : Να συμμετέχει στο χορευτικό αλλά όχι στο θεατρικό τμήμα, Γ : Να μη συμμετέχει στο χορευτικό ούτε στο θεατρικό τμήμα.

34 171) Εξετάσαμε 00 ενήλικες σχετικά με το αν έχουν δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή μηχανής. Προέκυψαν τα εξής αποτελέσματα: 160 άτομα είχαν δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου, 60 άτομα είχαν δίπλωμα οδήγησης μηχανής, 40 άτομα είχαν και δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου και δίπλωμα οδήγησης μηχανής. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω άτομα. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο αυτό: α) να έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου, β) να μην έχει δίπλωμα οδήγησης μηχανής, γ) να έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή δίπλωμα οδήγησης μηχανής, δ) να έχει δίπλωμα οδήγησης μηχανής, αλλά να μην έχει δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου, ε) να μην έχει ούτε δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ούτε δίπλωμα οδήγησης μηχανής, στ) να έχει μόνο δίπλωμα οδήγησης αυτοκινήτου ή μόνο δίπλωμα οδήγησης μηχανής. 17) Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 0% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α) γυναίκα ή φιλόλογος β) γυναίκα και όχι φιλόλογος γ) άνδρας και φιλόλογος δ) άνδρας ή φιλόλογος. 17) Από 10 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α) να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; β) να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; γ) να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 174) Μία Τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό ή μόνο καταναλωτικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένα από τα δύο προηγούμενα δάνεια είναι 0,1. α) Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει καταναλωτικό» είναι ασυμβίβαστα. β) Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) «έχει πάρει καταναλωτικό». ii) «έχει πάρει μόνο καταναλωτικό». 175) Στη Γ τάξη ενός λυκείου το 60% των μαθητών είναι κορίτσια, το 40% των μαθητών έχουν επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση και το 10% των μαθητών είναι αγόρια και έχουν επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή από την παραπάνω τάξη. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής αυτός: α) να είναι κορίτσι και να έχει επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση, 4

35 β) να είναι κορίτσι ή να έχει επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση, γ) να είναι κορίτσι και να μην έχει επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση, δ) να είναι αγόρι ή να έχει επιλέξει Θεωρητική κατεύθυνση. 176) Από τους μαθητές ενός σχολείου, το 80% μαθαίνει Αγγλικά, το 40% μαθαίνει Γαλλικά, ενώ το 10% δεν μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή από το παραπάνω σχολείο, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής αυτός: α) να μαθαίνει και Αγγλικά και Γαλλικά, β) να μαθαίνει Αγγλικά, αλλά να μην μαθαίνει Γαλλικά, γ) να μαθαίνει μόνο μία από τις γλώσσες Αγγλικά και Γαλλικά. 177) Σε έναν δήμο, οι προηγούμενες δημοτικές εκλογές έγιναν σε δύο γύρους. Το 5% των ψηφοφόρων δεν ψήφισαν στον Α' γύρο, το 45% των ψηφοφόρων δεν ψήφισαν στον Β' γύρο και το 40% των ψηφοφόρων ψήφισαν και στους δύο γύρους. Επιλέγουμε τυχαία έναν ψηφοφόρο από τον παραπάνω δήμο. Να βρείτε την πιθανότητα, ο ψηφοφόρος αυτός: α) να ψήφισε σε έναν τουλάχιστον από τους δύο γύρους, β) να μην ψήφισε σε κανέναν από τους δύο γύρους γ) να ψήφισε στον Α' γύρο και να μην ψήφισε στο Β' γύρο, δ) να ψήφισε μόνο σε έναν από τους δύο γύρους. 178) Εξετάσαμε τους φοιτητές ενός τμήματος σχετικά με το αν πέρασαν τα μαθήματα της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων. Προέκυψαν τα εξής συμπεράσματα: το 15% των φοιτητών πέρασαν τις Πιθανότητες και δεν πέρασαν τη Στατιστική, το 65% των φοιτητών πέρασαν τη Στατιστική. το 60% των φοιτητών δεν πέρασαν τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα. Επιλέγουμε τυχαία έναν φοιτητή του παραπάνω τμήματος. Να βρείτε την πιθανότητα ο φοιτητής αυτός: α) να έχει περάσει και τα δύο μαθήματα, β) να έχει περάσει το μάθημα των Πιθανοτήτων γ) να μην έχει περάσει κανένα από τα δύο μαθήματα, δ) να έχει περάσει μόνο ένα από τα δύο μαθήματα 179) Σε μια συνεστίαση τα 4 των παρευρισκόμενων αντρών και τα 5 των γυναικών είναι παντρεμένοι. 6 Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, να βρείτε την πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι: Α: ανύπαντρο Β: ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα. 180) Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Αν τα βιβλία Μαθηματικών είναι 5 περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχες πιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει: 4 5

36 181) Σε ένα επαρχιακό δρόμο θα περάσουν 4 αυτοκίνητα από τα οποία τα έχουν κόκκινο χρώμα,το 1 μπλε και το άλλο άσπρο. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α : Τα κόκκινα αυτοκίνητα να περάσουν διαδοχικά το ένα από το άλλο Β : Το άσπρο αυτοκίνητο να περάσει πρώτο και Γ : Το μπλε αυτοκίνητο να περάσει τελευταίο. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(Β),Ρ(Γ),Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΒΓ). 18) Σ ένα κατάστημα πωλούνται << τυχερές κάρτες >> προς 1 ευρώ η μία.η επιφάνεια κάθε κάρτας είναι χωρισμένη σε τέσσερα ορθογώνια και είναι καλυμμένη με τέτοιο τρόπο ώστε όταν βρέχεται,σε καθένα από τα τέσσερα ορθογώνια να εμφανίζεται ένα αντικείμενο(αστέρι,κύβος, μπάλα, πέταλο).αν εμφανιστεί και στις τέσσερις θέσεις το ίδιο αντικείμενο,ο κάτοχος της κάρτας κερδίζει 10 ευρώ. α) Να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει κάποιος αν αγοράσει μία κάρτα β) Πόσες κάρτες πρέπει να πωληθούν,ώστε ο καταστηματάρχης να κερδίσει 70 ευρώ. Συνδυαστικά θέματα 18) Έχουμε 0 σφαίρες μέσα σ ένα δοχείο, αριθμημένες από το 1 έως το 0. Επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του 5. Αν Α και Β είναι τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα των Α και Β αντίστοιχα, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: α) Ρ(Α), Ρ(Β) β) ( ) γ) ( ) ( ) ( ) 184) δ) Μία κάλπη περιέχει 0 μπάλες, από τις οποίες οι 10 είναι λευκές και οι υπόλοιπες μαύρες ή λ κόκκινες. Επιλέγουμε μία μπάλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι, ενώ να λ+1 λ είναι μαύρη είναι. Πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες μπάλες περιέχει η κάλπη; λ+5 185) Οι αριθμοί Ρ(Α) και Ρ(Β) είναι ρίζες της εξίσωσης x -x + ( ) = 0 και ισχύει ότι ( ) = 7. Να βρείτε: 1 α) τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και ( ), β) την πιθανότητα ( ), γ) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 186) Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x - 5 x +x+10. Οι πιθανότητες P(A) και P(B) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ίσες µε τις τιμές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο. α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 1 Ρ(Β) = 1 6

37 β) Για τις παραπάνω τιμές των P(A), P(B) καθώς και για ( ) =, να βρείτε τις πιθανότητες: i) P(A B) ii) P(A-B) iii) P[(A B) ] iv) P[(A-B)(Β-Α)]. 187) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Η μέση τιμή των αριθμών: 14 ( ),Ρ(Α),Ρ(Β),Ρ(Α-Β),Ρ(Α ) είναι x. 5 α) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα A,Β. Αν επιπλέον η Ρ(Β-Α) ισούται με το τοπικό ελάχιστο και η Ρ P(A B) ισούται με το τοπικό μέγιστο x x1 της συνάρτησης f( x),τότε: 5( x 1) 4 β) να αποδείξετε ότι ( ) και ( ) 5 5 γ) να βρείτε την πιθανότητα ( ) δ) να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ακριβώς από τα Α,Β. 188) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Θεωρούμε και τη συνάρτηση : 5 9 f ( x) x x x 4.Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο P( A) P( A B) σημείο της Μ(1,f(1)) έχει εξίσωση y=1x α) να αποδείξετε ότι ( ) και ( ) 4 β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία γ) Επιπλέον ισχύει ότι Ρ(Β) = i) Να βρείτε το όριο: lim x( ) όπου μ το τοπικό ελάχιστο και Μ το τοπικό μέγιστο της f. f( x) 4 4x ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Γ: να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα τουλάχιστον από τα A, Β, Δ: να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β, Ε: να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β, Ζ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A, Β. 189) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Θεωρούμε και τη συνάρτηση: f(x) = (x - Ρ(Α)) + (x + Ρ( P(A B)) α) Να αποδείξετε ότι f( ( )) =f(p(b )- l). ( ) β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 και να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της f είναι ίσο με ( ) ( ) 7

38 1 1 γ) Αν η f έχει ελάχιστο στο σημείο, και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης 1 8 ( ) ( ) της f στο,f σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα χ χ,να βρείτε την πιθανότητα : i) να πραγματοποιηθεί το Α ii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β iii) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A, Β iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 190) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι: η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 0,7, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β είναι 0,55, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα A, Β είναι 0,65. Θεωρούμε επίσης τον επόμενο πίνακα κατανομής συχνοτήτων που αναφέρεται στις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X. Kλάσεις xi vi fi Ni Fi [0,4) 8 [4,8) 10 Ρ(Β-Α) [8,1) Ρ(ΑΒ) [1,16) Ρ(ΑΒ) [16,0) Σύνολο α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) =0,1. β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β ή να μην πραγματοποιηθεί το Α. γ) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα, δ) Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων της μεταβλητής X. ε) Να βρείτε τη διακύμανση των παρατηρήσεων της μεταβλητής X. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Απόδειξη ανισοτήτων 191) Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δ. χ. Ω ισχύουν : Ρ(Α ) 0,1 και Ρ ( Β ) Ρ ( Β) να δειχθούν: α) Ρ(A B)+Ρ(Α Β) 1,4 β) τα Α, Β δεν είναι ξένα μεταξύ τους. 19) Το γινόμενο των πιθανοτήτων του Α και του συμπληρωματικού του Α είναι 0,4. Αν Ρ(Α) < Ρ(Α ) ποια η πιθανότητα του Α; 19) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α)= 5 8 και Ρ(Β)= 1. α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. 8

39 β) Να αποδείξετε ότι 1 ( ) ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α) = 4 και Ρ(Β) = 1 6. Να αποδείξετε ότι: α) ( ) β) ( ) ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,8. Να αποδείξετε ότι: 0, Ρ(Β) 0,8 196) Αν Ρ(Α)=0,75 και Ρ(Β)=0,45 τότε Ρ(A B ) 0,. 197) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με ( ) και Ρ(Α- Β) = 1 5. α) Nα βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Ισχύει ότι ( ) ( ) πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β είναι 7 9. α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ) β) Να αποδείξετε ότι : ( ) και η 199) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι ( ) ( ) 1,. Να αποδείξετε ότι : α) 0, Ρ(ΑΒ) 0,6 β) ( ) 0,6 00) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6. Να αποδείξετε ότι : α) τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα β) Ρ(ΑΒ) 0,6 και γ) Ρ(ΑΒ) 0,4. 9

40 01) Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: 0,4 και 0,7 αποδειχθεί ότι: α) τα ενδεχόμενα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 0,1 0, 4. β) 0) Για τα ενδεχόμενα Α,Β δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι,αν Ρ(Α) = 0,85 και Ρ(Β) = 0,65, τότε 0, 5 ( ) 0, 65. 0) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,9 και Ρ(Β)=0,. α) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα β) P ( A B ) 0, 9 ( ) 0,. 04) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 4 και Ρ(Β) = 1. α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. β) Να δείξετε ότι: Ρ(Α Β) 4 και Ρ(Α Β) 1 4., να 05) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 4 να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 1 4 α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β) β) Να αποδείξετε ότι : 1 ( ) ) ( ) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με ( ) x. 1 α) Να αποδείξετε ότι : 0 x β) Να αποδείξετε ότι :x1 ( ) x γ) Θεωρούμε το ενδεχόμενο : Γ: πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α,Β. Να αποδείξετε ότι : x ( ) x 07) Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Να αποδειχθεί ότι: PA B P A PB 40

41 08) Αν Α ενδεχόμενο δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: 4. 09) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι 1 ( ) ( ) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι : 1 1 α) ( ) ( ) β) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) 10) Αν Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου, να δειχθεί ότι : 1 1 α) 0 Ρ(Α) Ρ β) Ρ(Α) Ρ(Α ) ) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με και πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι 1). Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι ( ) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι :Ρ(Α)=Ρ(Β). 1) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ). Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β). 14) Μέγιστες ελάχιστες τιμές πιθανοτήτων Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α)= 5 9 και Ρ(Β)= 7 9. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των πιθανοτήτων i) Ρ(ΑΒ) ii) Ρ(ΑΒ) iii) Ρ(Β-Α) iv) Ρ(Α-Β) 15) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α)= 8 και Ρ(Β)= 5 8. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των πιθανοτήτων α) Ρ(ΑΒ) β) Ρ(ΑΒ) γ) Ρ(Β-Α) δ) Ρ(Α-Β) 41

42 16) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: Ρ(Α ) + Ρ(Β) = 1, και Ρ(Α) - Ρ(Β ) = 0,1 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των πιθανοτήτων των παρακάτω ενδεχομένων: i) Γ: πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β ii) Δ: πραγματοποιείται το Α ή το Β iii) Ε: πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα A, Β iv) Ζ: πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα A, Β 17) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: x 4x 1 ( ) lim και ( ) lim x( ) x x x( ) 8 x x 1 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των πιθανοτήτων των ενδεχομένων: i) Ρ(ΑΒ) β) Ρ(ΑΒ) ii) Γ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα A, Β iii) Δ: πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β iv) Ε: πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα A, Β 18) Έστω A, Β και X δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α) = 1 6, ( B) και A X = Β. Να βρείτε: α) την πιθανότητα Ρ(Β -Α), β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Χ). 19) Έστω A, Β και X ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α) = 9 0, Ρ(Β) = 0 και A X = Β. Να βρείτε: α) την πιθανότητα Ρ(Α - Β), β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Χ). 0) Έστω A, Β και X ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α)=Ρ(Β)=0, και A - X = Β. Να βρείτε: α) την πιθανότητα Ρ(Α-Β), β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Χ). 1) Έστω A, Β και X ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι Ρ(Α) =0,, Ρ(Β) = 0,4 και X - Α = Β. α) Να εξηγήσετε γιατί τα A, Β είναι ασυμβίβαστα β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Χ). 4

43 ) (1) () (4) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,,4}. Ισχύει ότι: (). 4 Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα A = {1,,} και Β = {1, }. α) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(ΒA ) και Ρ(Α- Β). γ) Αν για το ενδεχόμενο X ισχύει ότι Β X=A, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή πιθανότητας Ρ(Χ). ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {1,,, 4, 5} και τα ενδεχόμενα A = {1,, } και Β={1,}. Ισχύει ότι: Ρ() = Ρ() = 4Ρ( 1) = 8Ρ(4) και ( ). 10 α) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α) γ) Αν για το ενδεχόμενο X ισχύει ότι Α X=Β, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή πιθανότητας Ρ(Χ). 4) Θεωρούμε την εξίσωση: Συνδυαστικά θέματα ( ) ( ) x ( ) x 0(1),όπου Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός 4 δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Β) 0. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες. β) Έστω ότι ο αριθμός Ρ(Α) είναι μια ρίζα της εξίσωσης (1). i) Να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα είναι η Ρ(Α ). ii) Αν ισχύει ότι Ρ(Α)= 1 4, να αποδείξετε ότι Ρ(Β) 1. 5) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και p ένας πραγματικός αριθμός με 0 < p < 1. Δίνεται ότι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΒ) είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους και αποτελούν στοιχεία του συνόλου {p 1, p, p +1, p, p }. α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = p, Ρ(ΑΒ) = p και Ρ(ΑΒ) = p. β) Να αποδείξετε ότι Ρ(Β) = p p + p. γ) Να αποδείξετε ότι Ρ(Β Α) > Ρ(Α Β). 6) Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 0% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημερίδα β; β) Ορίζουμε το ενδεχόμενο Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι : 1 PB ( )

44 γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f(x)=x 1 x + P(B) x,όπου x πραγματικός αριθμός και Β 7) το ενδεχόμενο που ορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα. x Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x 5.Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού 4 χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές μεταξύ τους και ανήκουν στο σύνολο: f( x) Σ={μ, λ, f (7),f (9)} όπου μ το ελάχιστο της f και lim x x 10x16 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε τους αριθμούς μ και λ. γ) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ). δ) Να αποδείξετε ότι 1 ( ) 5 6 ε) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 7, να βρείτε την πιθανότητα : 1 i) να πραγματοποιηθεί το Β, ii) να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β. 8) Δίνονται οι αριθμοί: x1 = 0,,x = 0,6, x = 0,8,x4 = 1 και x5 = 1,4 οι οποίοι έχουν μέση τιμή x, τυπική απόκλιση s, συντελεστή μεταβολής CV και εύρος R. Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο: Κ = { x, s, CV, R} α) Να βρείτε τα x, s, CV και R. β) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β) και P(AB). γ) Να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθεί το Β, ii) να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β, iii) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 9) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {1,,, 4, 5}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β του Ω τα οποία ορίζονται ως εξής: Α = {xω/ 0 ln(x 1) < ln}, B = {xω/ (x 5x)(x 1)= 6(x 1)}. α) Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α ). β) Αν Ρ(Α) = 1, να υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Α Β ). 4 γ) Αν Ρ(Α) = 1 4 και Ρ(Β Α) = 1, να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή της πιθανότητας 8 Ρ(X), όπου Χ είναι ενδεχόμενο του Ω τέτοιο ώστε Α Χ=Β. 44

45 0) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x - lnx και ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(ΑΒ) 0. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ( ) β) Να αποδείξετε ότι: ln ( ) ( ) ( ) γ) Θεωρούμε τα σημεία: Κ(Ρ(Α), f (Ρ(Α))),Λ(Ρ(ΑΒ), f(p(ab))), Μ(Ρ(Α Β), f(p(ab))) και Ν(Ρ(Ω), f (Ρ(Ω))) της γραφικής παράστασης της f. Αν οι τετμημένες των σημείων ( ) Κ, Λ, Μ,N έχουν μέση τιμή x, να βρείτε την Ρ(Α). 4 4 i) Αν οι τεταγμένες των σημείων Κ, Λ, Μ,Ν έχουν εύρος R ln (( ) ) e, να βρείτε την Ρ(Α Β). ii) Αν Ρ(Α) = y, Ρ(Α Β) = 1 4 και Ρ(Β) = να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο Λ. 1) Δίνεται η συνάρτηση f x x x ζαριού, Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: η εξίσωση f x 0 είναι αδύνατη στο., όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου Β: η εξίσωση f x 0 έχει ρίζα το 1. Γ: η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο,7. Δ: Η C f δέχεται στο σημείο M 1, f 1 εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία y 4x 1, Γενικά θέματα στις πιθανότητες ) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = {α1,α,...,αν). Αν οι πιθανότητες Ρ(α1),Ρ(α),...,Ρ(αν) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο Ρ(α1) ίσο με τη διαφορά ω,να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(ακ),κ=1,,...,ν. ) Οι επιβάτες ενός λεωφορείου είναι 1 άντρες και 18 γυναίκες. Από τους άντρες οι 6 και από τις γυναίκες οι 8 είναι πάνω από 0 ετών. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα επιβάτη του λεωφορείου α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : ο επιβάτης είναι πάνω από 0 ετών, Β : ο επιβάτης δεν είναι πάνω από 0 ετών και Γ : ο επιβάτης είναι άντρας. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΓ) 4) Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Δίνεται ότι η πιθανότητα του Α ικανοποιεί τη συνθήκη P(A) - P(A) - 6λ 4, λr. Αν η πιθανότητα του Α είναι η ελάχιστη τιμή του λ και η πιθανότητα του Β είναι η μέγιστη τιμή λ, τότε : α) Να εξεταστεί αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. 45

46 β) Να αποδειχτεί ότι Ρ(Α Β) γ) Να αποδειχτεί ότι P(A B). 5) Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω και P A, Αν P A 4 P A 9 0, το 5 P AB, τότε: 1 P A. α) Να βρείτε το β) Να βρείτε το PB. P B είναι ρίζα της εξίσωσης γ) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. δ) Να λύσετε την ανίσωση x P A x P A P B οι πιθανότητές τους, αντίστοιχα. 4x 9x 0 και 6) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Α)Ρ(Α ) = 16, Ρ(Α Β) = 1 και P(AB)= 7.Να βρείτε την πιθανότητα: 8 α) να πραγματοποιηθεί το Α, β) να μην πραγματοποιηθεί το Β, γ) να πραγματοποιηθεί το Β αλλά όχι το Α, δ) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β. 7) Έστω Ω = {ω1, ω, ω, ω4} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του 1 1 Α= {ω1, ω} και Β= { ω, ω4}.αν είναι Ρ(Α Β) = και Ρ(Β Α) =, όπου ν θετικός 4 ακέραιος, τότε: α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) = Ρ(Α) και Ρ(Β Α) = Ρ(Β). β) Να αποδείξετε ότι ν=4. γ) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β. δ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α B. 8) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Β) = 9 [Ρ(Α)] - 7Ρ(Α) + + Ρ(ΑΒ) α) Να εκφράσετε την Ρ(Α Β) συναρτήσει της Ρ(Α). β) Να βρείτε την Ρ(Α). γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α. δ) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 5 6 i) τις πιθανότητες Ρ(Β) και Ρ(Α Β), ii) την πιθανότητα Ρ(Β - Α )., να βρείτε: 46

47 9) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω={1,,,4,5,6,7,8,9,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι A B = {1,,,4,5,6}, AB = {1,,4}, A-B = {,6} και x1 Γ x Ω / x1 α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ). β) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ. γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ. δ) Αν s είναι η διακύμανση των τιμών λ,λ,5λ, όπου λω, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου Δ = {λω / s > 4}. 40) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Θεωρούμε και τους αριθμούς: Ρ(Α), Ρ(Α ), ( ), Ρ(Ω) α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παραπάνω αριθμών. β) Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι παραπάνω αριθμοί έχουν συντελεστή μεταβολής CV = 10 4 και είναι Ρ(Α) < Ρ(Α ). i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α ). ii) Αν Ρ(Β) = 5 1 1,να αποδείξετε ότι: ( ) ) Έστω Ω = {1,,, 6} δειγματικός χώρος. α) Να δικαιολογήσετε ποιοι από τους τύπους που ακολουθούν μπορούν να θεωρηθούν κατάλληλοι και ποιοι όχι για να εκφράσουν την πιθανότητα κάθε στοιχειώδους ενδεχομένου κ του Ω. i) P(k)= 1 ii) Ρ(k)= 1 iii) P(k)= 1 k k k Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι οι ακόλουθες: 1, 1, 7, k, k,,, όπου k είναι 1 στοιχειώδες ενδεχόμενο του Ω, με πιθανότητα P(k) = k. β) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, όπου Α={kΩ : η τιμή της μεταβλητής Χ με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι το } και Β={kΩ : η μέση τιμή x =,5}. i) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα Α και Β. ii) Να βρείτε τις πιθανότητες P(A), P(B) και P(ΑΒ). 4) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση: 9 f ( x) ln(4x 1) 4x,η οποία παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο: Μ(Ρ(Α), Ρ(Β)) 4 α) Nα βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). (f (x) 16) β) Aν επιπλέον ισχύει ότι: ( ) lim να βρείτε τις πιθανότητες: x0 x 640 x i) Ρ(A B) ii) Ρ(Α B). 47

48 4) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: 1 8 ( ) και ( ).Θεωρούμε και τη συνάρτηση: 9 9 x 1 f ( x) ( ( )) x (1 ( ) 9) x xe ( ) Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M(l, f(l)) είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α). β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε). γ) Να βρείτε την πιθανότητα: i) Ρ(Α -Β ), ii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A, Β, iii) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β. 44) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(ΑΒ) =Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(ΑΒ) = 4 7 και Ρ(Α Β) = 5 10 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α Β). β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Γ: πραγματοποιείται το Β και δεν πραγματοποιείται το Α, Δ: πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α,Β Ε: πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α,Β Θεωρούμε επίσης τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων, που αναφέρεται στις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X. Κλάσεις xi νi fi Ni Fi [0,) 4 [,4) Ρ(Γ) [4,6) Ρ(Δ) [6,8) Ρ(Ε) [8,10) Σύνολο 1 α) Να συμπληρώσετε τον προηγούμενο πίνακα. β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των παρατηρήσεων της μεταβλητής X. γ) Επιλέγουμε τυχαία μία από τις παρατηρήσεις. Να βρείτε την πιθανότητα η παρατήρηση αυτή να είναι μεγαλύτερη από 7. 45) Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που παρουσιάζει τη βαθμολογία μίας ομάδας μαθητών στο μάθημα της Ιστορίας. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 10 μέχρι 0. Δίνεται ότι 10 μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 14. α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των μαθητών είναι 50. β) Να βρείτε τη διάμεσο. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. δ) Επιλέγουμε τυχαία από το δείγμα των 50 μαθητών ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα 48