Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov. Κοινή ιδιότητα σημείων τμήματος Εισαγωγή χωρικής πληροφορίας Εξομάλυνση πεδίου κατατάξεων

Transcript

1 Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Κοινή ιδιότητα σημείων τμήματος Εισαγωγή χωρικής πληροφορίας Εξομάλυνση πεδίου κατατάξεων

2 Κόστος τμηματοποίησης Δυαδικοποίηση Κόστος σφαλμάτων σημειακής κατάταξης Κόστος κατακερματισμού 2

3 Βασικές σχέσεις γειτονιάς και παρέας 1ης τάξης 2ης τάξης γειτονιά παρέες 3

4 Τυχαία πεδία Markov Πεδίο κατατάξεων : διακριτές τιμές (κλάσεις, κατηγορίες) Pr {X (s)= x (s)}>0 X (s) όλες οι κατατάξεις είναι δυνατές Pr {X (s)= x (s) X (r )= x (r ), r s }= Pr {X ( s)=x (s) X (r )= x (r), r N ( s)} N (s) γειτονικά σημεία Η πιθανότητα αλλαγής κατάταξης μικρότερη από την πιθανότητα όμοιας κατάταξης Αλληλουχία εξαρτήσεων, το όλο προκύπτει από το σύνολο των επιμέρους τοπικών εξαρτήσεων 4

5 Τυχαία πεδία Gibbs Τάξη : μεγάλη πιθανότητα Αταξία : μικρή πιθανότητα Ενέργεια = άθροισμα δυναμικών όλων των παρεών Μεγάλο δυναμικό όταν υπάρχει ανομοιότητα στην παρέα ίδια διαφορετικά 5

6 Δυναμικό εξαρτώμενο από δεδομένα Σε περίπτωση διαφορετικών κατατάξεων σε παρέα, η πιθανότητα είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο τα αντίστοιχα δεδομένα διαφέρουν Ομοιότητα Δυναμικό w (m, n)=exp ( I (m) I (n) ) σ ζ w (m, n) 6

7 Ανάλυση δεδομένων 7

8 Δεδομένα και εξομάλυνση Ελαχιστοποίηση E (x)=e S ( x )+ E D ( x) Πολλά τοπικά ελάχιστα / διακριτές μεταβλητές Κλίση της ενέργειας : τοπική βελτίωση - άπληστη τεχνική - πιθανοκρατική μέθοδος 8

9 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών Βέλτιστη απόφαση σε ένα σημείο με δοσμένο όλο το υπόλοιπο πεδίο γειτονιά ενός σημείου 1 2 ( y (m, n) μ ) ζ a k (m, n) k 2 2σ a k (m, n) πλήθος γειτονικών καταταγμένων k 9

10 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών Initialization: for each pixel p { current_label(p) := init_label(p) } change_pixels := number_of_pixels Iterations: while (change_pixels!= 0) { change_pixels := 0 for each pixel p { previous_label(p) := current_label(p) } for each pixel p { current_label(p) := find_optimal_label(p) if (current_label(p)!= previous_label(p)) { change_pixels++ } } } 2 arg min ( y (m, n) μ k ) decreasing arg min 1 2 ( y (m, n) μ ) ζ a k (m,n) k 2 2σ 10 J. Besag, On the statistical analysis of dirty pictures, Journal of the Royal Statistical Society}, Series B, 1986.

11 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών αρχικοποίηση αποτέλεσμα με ζ = 1,5 σφάλματα: 0,01% 11

12 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών 12

13 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών αρχικοποίηση Μεσαία τιμή και Μέγιστη πιθανοφάνεια Φθινόπωρο 2016 ζ = 1,5 ζ=1 Μεσαία τιμή 13 13

14 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών 14

15 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών αρχικοποίηση αποτέλεσμα με ζ = 1,5 15

16 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών αρχικοποίηση 16

17 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών πλημμυρίδα αρχικοποίηση 17

18 Αλγόριθμος επαναλαμβανόμενων τοπικά επικρατουσών τιμών πλημμυρίδα αρχικοποίηση 18

19 Δύο κλάσεις : ελάχιστη τομή / μέγιστη ροή Ελαχιστοποίηση E ( X )= (m,n) L x (m, n) D p (1)+ (m,n) L (1 x (m, n)) D p (0)+ ζ 2 ( x (m, n) x (k, l)) (k,l ) γ (m,n) Ελάχιστη τομή σε διμερή γράφο D. Greig, B. Porteous and A. Seheult, Exact maximum a posteriori estimation for binary images, Journal of the Royal Statistical Society, Series B,

20 Μέγιστη ροή / ελάχιστη τομή Συνθήκες για τη ροή f (u, v ) f (u, v ) c (u, v) f (v,u)= f (u, v) f (u, w)=0, u s, u t w V (s,u) E f ( s, u)= f (v,t) (v,t ) E Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Μηδενική αρχική ροή σε όλες τις ακμές Ενόσω υπάρχει διαδρομή p από την πηγή στη δεξαμενή Χωρητικότητα διαδρομής c(p) ίση με την ελάχιστη χωρητικότητα ακμής της διαδρομής Για κάθε ακμή (u,v) της διαδρομής f (u, v ) f (u, v )+c ( p) f (v,u)= f (u, v) 20

21 Μέγιστη ροή / ελάχιστη τομή ζ =2 Μέγιστη ροή : 15 Ακμές τομής [ ] [ ] (1,4) (1,5) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6)

22 Δύο κλάσεις : ελάχιστη τομή / μέγιστη ροή 22

23 Δύο κλάσεις : ελάχιστη τομή / μέγιστη ροή 23

24 Δύο κλάσεις : ελάχιστη τομή / μέγιστη ροή 24

25 Πολλές κλάσεις : αλλαγές κατηγοριών Κλίση της ενέργειας : τοπική βελτίωση = μία κίνηση - άπληστη τεχνική - πιθανοκρατική μέθοδος Αλλαγές σε μεγάλα σύνολα εικονοστοιχείων Μία αλλαγή Εναλλαγή α-β Επέκταση α Y. Boykov, O. Veksler and R. Zabih, Fast approximate energy minimization via graph cuts, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

26 Πολλές κλάσεις : επέκταση α Αναγωγή στο πρόβλημα της τομής γράφου για δύο κλάσεις Ελάχιστη τομή γράφου / μέγιστη ροή Y. Boykov, O. Veksler and R. Zabih, Fast approximate energy minimization via graph cuts, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

27 Τομή γράφου : γραμμικός προγραμματισμός Δυαδικές μεταβλητές x p (a) pixel p : label a x pq (a, b) pixel p : label a, pixel q : label b d (a,b)=d(b, a) 0=d (a, a) Γραμμικός προγραμματισμός : πρωτεύον / δευτερεύον Σχεδόν βέλτιστη προσεγγιστική λύση N. Komodakis and G. Tziritas, Approximate labeling via graph cuts based on linear programming, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

28 Τομές γράφων : γραμμικός προγραμματισμός 28