ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 7 Α. (α) Ψευδής 4 3 (β) Για την συνάρτηση f( ) =,επειδή η f στο R η 4 = είναι κυρτή στο R. Εντούτοις η f ( ) δεν είναι θετική στο R αφού f = 4 είναι γνησίως αύξουσα f = Α3. Το (γ) είναι το ψευδές συμπέρασμα. Α4. (α)λάθος (β)σωστό (γ)σωστό (δ) Σωστό (ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με 5 f ( ) = = = Άρα f ( ) < σε κάθε ένα από τα διαστήματα Α = (,), Α = (, ) Επομένως η f γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. Η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α άρα το σύνολο τιμών της είναι : f A = lim f, lim f =, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ

2 διότι: = = = lim lim ( ) 5 αφού lim = και < για < lim = lim = Η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α άρα το σύνολο τιμών της είναι: f A = lim f, lim f =, διότι : = = = lim lim ( ) 5 αφού lim = και > για > lim = lim = Άρα f ( A ) = (,) (, ) B. Επειδή τα σύνολα τιμών είναι ξένα μεταξύ τους άρα η f είναι επομένως αντιστρέφεται.το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f άρα για κάθε έχουμε Άρα f ( ) = y = y = y y y =y y ( y) =y = y f =, Παρατήρηση: To ερώτημα αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί και χωρίς τη βοήθεια f = f... = ) και να του Β,αποδεικνύοντας ότι η f είναι - : βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης λύνοντας την εξίσωση f( ) παίρνοντας τους κατάλληλους περιορισμούς για το y. = y ως προς ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ

3 B3. f ( ) 5 = = = ( ) 4 3 f > > > > ( ) ( ) f < < < < 3 Στο διάστημα (,) η f κοίλη ενώ στο διάστημα Από το Β. έχουμε lim f ( ) =, lim f ( ) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της f Από το Β. έχουμε lim f ( ) = και οριζόντια ασύμπτωτη της f και στο ( ) και στο ( ) Η γραφική της παράσταση είναι:, η f κυρτή. = επομένως η ευθεία = lim f = άρα η ευθεία y= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ

4 Β4. Θεωρούμε τη συνάρτηση ΘΕΜΑ Γ 5 h( ) = f( ) h( ) = h( ) =, Ισχύει h( ) > για κάθε [ 3,5] το ζητούμενο εμβαδόν είναι Γ (α) Η 5 5 και είναι συνεχής στο διάστημα αυτό άρα 5 5 τμ Ε = h d = d = 5ln = 5ln f = α = α είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με α f ( ) = α ln α και f ( ) = α ln α α α f > για κάθε R άρα η f κυρτή. Προφανώς A-τρόπος ( ) M,f σημείο της C f,η εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ Έστω είναι ε:y f = f y= f f f Εφόσον η y= είναι η εφαπτομένη της f τότε οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία μόνο λύση λόγω κυρτότητας της f. f f f = ( ) = και ( ) ( ) Δηλαδή: f ( ) = () και f( ) = () H εξίσωση () f( ) = α =, προφανής ρίζα = η οποία είναι μοναδική εφόσον η f κυρτή και η y= είναι η εφαπτομένη της. f = ln α = α= e και B-τρόπος H εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της θα βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ

5 Έχουμε f( ) επαφής = για κάθε R και η ισότητα ισχύει μόνο για το σημείο Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() = α, R για την οποία ισχύει φ φ = για κάθε πραγματικό αριθμό και παρατηρούμε ότι,δηλαδή φ( ) φ Άρα η φ παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση =,είναι παραγωγίσιμη σε αυτό με φ ( ) = α ln α άρα από θεώρημα Fermat φ ( ) =. α Δηλαδή: Γ-τρόπος α ln α = ln α = α = e α ( ),f ώστε : Επειδή εφάπτονται υπάρχει σημείο ( ) = = f α = = α = α = α ( ) = = = f α ln α ln a α e eln α α Η εξίσωση eln α = α έχει προφανή ρίζα α = e και επειδή η συνάρτηση m = eln παρουσιάζει στη θέση = e μέγιστο το μηδέν η ρίζα είναι μοναδική. Αιτιολόγηση e m ( ) = και e e > m ( ) = = = = e e e > m ( ) > > > < e e e > m ( ) < < < > e Δηλαδή η συνάρτηση m( ) έχει μέγιστη τιμή την me = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ

6 (β) Η g δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, ) με g ( ) g = < ( ) άρα η g κοίλη στο (, ) Η εξίσωση εφαπτομένης της g στο = και = είναι : y g( ) = g ( )( ) = =, g ( ) = άρα g ln Άρα η εξίσωση εφαπτομένης είναι η y= g = Γ. H h( ) = e ( ) ln( ) παραγωγίσιμη στο Α (, ) h ( ) = e ln ( ) = f ( ) g( ) A-τρόπος Η g κοίλη επομένως g( ) g( ) f( ) επομένως B-τρόπος Ισχύει e = με και η ισότητα ισχύει για = άρα f g > δηλαδή η h γνησίως αύξουσα. για κάθε Rμε την ισότητα να ισχύει για = άρα e για κάθε R με την ισότητα να ισχύει για = Ισχύει ln για κάθε > με την ισότητα να ισχύει για = άρα ln ( ) για κάθε > με την ισότητα να ισχύει για = με βάση τα παραπάνω ln ( ) e για κάθε > επομένως f( ) g( ) Α = (, ) Για κάθε > έχουμε: > δηλαδή η h γνησίως αύξουσα στο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ

7 e e e e e ln e e e e e ln e e :e Γ3. H εξίσωση Διότι: > e e e e ln e e e e ln e e > ( h:γνη.αύξουσα ) h e > h e e > e e > f >,, [ ] e 3 ισοδύναμα γράφεται: f (t ) dt = g(t) dt e e 3 3 f (t ) dt = g(t) dt f t dt = ln t dt 3 3 f t dt = f t dt = e e e e ln ( t ) dt = ( t ) ln ( t ) dt = ( t ) ln ( t ) ( t ) dt t e = e t = e e = 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση [, ] ως πολυωνυμική με Διότι f t dt > f e k = f t dt η οποία είναι συνεχής στο k = < και k = f t dt > = > για κάθε R άρα και f e = > οπότε Επομένως από θεώρημα Bolzano η εξίσωση k( ) = έχει μια τουλάχιστον μια ρίζα στο μοναδική., και λόγω μονοτονίας k = 3 f t dt > η ρίζα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ

8 Γ4. α ( t) = α( t) = t c και επειδή α = άρα α( t) ΘΕΜΑ Δ = t β ( t) = β( t) = t c και επειδή β = 3άρα β( t) = t 3 Το ζητούμενο εμβαδόν με βάση το σχήμα είναι ( t 3) ( t) t 3 t 3 3t 6t 9 Ε = d = = = t E t 3t 6t 9, t,3 = ( ) [ ] t To εμβαδό γίνεται ίσό με το μηδέν όταν: E t 3t 6t 9 t 3, t,3 = ( ) = = [ ] ή ενναλακτικά: To εμβαδόν γίνεται μηδέν όταν α( t) = β( t) t = 3 Για να βρούμε το μέγιστο: E t = 6t 6t,t,3 E t > 6t 6 > t <, t,3 E t < 6t 6 < t >, t,3 Επομένως τη χρονική στιγμή t = το εμβαδό γίνεται μέγιστό Παρατήρηση: H συνάρτηση του εμβαδού θα μπορούσε να υπολογιστεί α t θεωρώντας το σχήμα τραπέζιο με μεγάλη βάση το β( t ),μικρή βάση το και ύψος τη διαφορά β( t) α( t) Α, f είναι: Δ. Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο ε:y f = f H f παραγωγίσιμη στο R άρα και συνεχής επομένως θα είναι συνεχής στο = άρα θα ισχύει: f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 8 ΑΠΟ

9 Οπότε: ln ln f ( ) = lim f ( ) = lim = lim = Εφόσον παραγωγίσιμη στο R τότε ισχύει : Οπότε: D.L.H f f f f f ( ) = lim = lim ln f( ) f( ) DLH ln ln f = lim = lim = lim = lim = Άρα ε:y = ( ) y= ( ) Για < : ( ) ( ) f f = e f f = f f f( ) f = f f f f f = f f = > f Εφόσον το σύνολο τιμών της f είναι το (, ) Για ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln > :f = = = > Ισχύει ln για κάθε > και η ισότητα ισχύει μόνο για = άρα για κάθε > ισχύει : ln < ln < f ( ) > για κάθε R άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α = R. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 9 ΑΠΟ

10 Δ. Έστω φ( ) = ln, φ = ln = ln < H φ παραγωγίσιμη στο (, ) με για κάθε > και επειδή η φ συνεχής στο = άρα η φ είναι γνησίως φ. φθίνουσα στο [, ) άρα για ( ) ( )( ln ) ( ) ( ln ) 4 3 ( ) ( ) > :f = = = φ( ) ln ln = = = < f f f f f < :f ( ) = = > f f H f κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) Δ3. 9 f(α) υπάρχει R: f( ) = 9 το είναι μοναδικό διότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα αντικαθιστώντας = στη σχέση g f 9 Προκύπτει: g( ) = άρα η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ(, ), επίσης g( ) g( ) για κάθε R άρα στη θέση = η g έχει ελάχιστο οπότε από θεώρημα Fermat: g ( ) = Η εξίσωση εφαπτομένης της g στο σημείο Μ είναι η y= άρα ο εφάπτεται στην C g ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ

11 Δ4 Θέτω (*) f ( ) = f = t επομένως d = dt άρα tf t dt = tf ( t) dt = tf ( t) f ( t) dt = (*) 3 f t ( ) = f f f = f f( ), άρα : f f( ) f f f = = = f f f 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ