2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

Transcript

1 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 Α4. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. i. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της, f ( ) δεν έχει ποτέ άλλο κοινό σημείο με τη C f. ii. Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. iii. Αν lim f( ) τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f( ) ή lim f( ). iv. Αν τότε lim a. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

2 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ v. Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3 3ln. Β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Β. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3,. 3 e Β3. Θεωρούμε επιπλέον τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : με g( ) ( ), της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία (,5) και (,). Να λύσετε την ανίσωση f g( ) 4. Β4. Να βρείτε το lim f( ). f( ) Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e. Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ef e 5 e ) έχει μία ακριβώς ρίζα. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ f f ( ) e. Γ3. Να λύσετε την ανίσωση f( ) Γ4. Να βρείτε το όριο lim. 3 ΘΕΜΑ Δ Έστω f : μία συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με f (), για την οποία ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε. Δ. Να δείξετε ότι f ( ). Δ. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της f παράσταση της συνάρτησης C στο, f () h( )., εφάπτεται και στη γραφική Δ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το (, ). Δ4. Αν με, να δείξετε ότι στο διάστημα (,) η εξίσωση f a f ln ( ) ln ( ) έχει μόνο μία ρίζα. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελίδα 99. Α. Θεωρία σελίδα 95. A3. α. Λάθος. β. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () είναι το [, ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ), με f( ) αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο επειδή f ( ) f () lim lim lim που δεν είναι πραγματικός αριθμός. Α4. i. Λάθος ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Σωστό v. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο (, ). Για κάθε, με ισχύουν: 3 3 και ln < ln 3ln < 3ln. Επομένως : 3 3ln < 3 3ln f( ) f( ). Άρα η συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Tο σύνολο τιμών της θα είναι: f ( A) lim f ( ), lim f ( ). o lim f ( ) lim 3 3ln γιατί lim( 3) 3 και lim3ln. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6

5 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ o lim f ( ) lim 3 3ln γιατί lim ( 3) και lim 3ln. Επομένως το σύνολο τιμών της f θα είναι: f( A). Β. Για είναι: ln ln 3ln ln ln e 3ln ( 3) 3ln e e f( ). Το f( A) οπότε η εξίσωση θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα (, ). Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, οπότε και -, επομένως η ρίζα θα είναι μοναδική. Β3.Είναι g() 5 και g(), οπότε g() g(). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. Επειδή g( ) ( ) θα ισχύει g ( ) για κάθε δηλαδή g. () Συνεπώς ορίζεται η συνάρτηση f g και έχει πεδίο ορισμού το. Έχουμε: f f g ( ) 4 f g( ) f () g( ) g( ) g(). g Β4. Είναι lim f( ). Για το ζητούμενο όριο θέτουμε Επομένως: u u u f( ) και u lim f ( ) lim u lim. f ( ) u u lim. f( ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το. Είναι παραγωγίσιμη με f ( ) e για κάθε. Για κάθε, με ισχύουν: e e e e και. Επομένως θα είναι: e e f ( ) f ( ). Επομένως η συνεχής συνάρτηση f θα είναι γνησίως αύξουσα και θα έχει σύνολο τιμών f lim f ( ), lim f ( ). Είναι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6

6 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ lim f ( ) lim e lim e και lim επειδή lim e και e οπότε e lim f ( ) lim e lim e lim. e o o Επομένως f lim f ( ), lim f ( ) της f είναι το γιατί το lim lim e. γιατί lim και. Όμως το πεδίο ορισμού της αντίστροφης f. Άρα D. ( f ) Γ. Για κάθε έχουμε: ef ( e 5 e ) f ( e 5 e ). Όμως f () e e οπότε η εξίσωση γίνεται f : f ( e 5 e ) f () e 5e ( 5) e 5 e e 5 e 5 e 4 f ( ) 4. Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το και 4 η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα. Επιπλέον η f είναι -. Άρα η εξίσωση θα έχει ακριβώς μία ρίζα. Γ3. Είναι f ( ) e με. Για κάθε, με ισχύουν: e e e e f ( ) f ( ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Το f( ) e οπότε η ανίσωση γίνεται: f f ( ) e f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (). f f ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 6

7 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ f ( ) e Γ4. Είναι lim lim e e lim lim e γιατί lim και lim επειδή κάθε {}. lim και για ΘΕΜΑ Δ Δ. Για κάθε έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g( ), όπου g( ) f ( ),. Για κάθε ισχύει: g g ( ) ( ). Επομένως η συνάρτηση g( ) f ( ) είναι συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και g ( ). Άρα η g διατηρεί πρόσημο στο και επειδή είναι g() f() θα ισχύει g ( ) για κάθε. Επομένως: g( ) f ( ) f ( ),. ( ) Δ. Είναι f με. f (). Άρα το σημείο Α έχει συντεταγμένες (,). Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της C f στο Α θα είναι: f ().επομένως η εφαπτομένη (ε) θα έχει εξίσωση: y f () f ()( ) y y. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 6

8 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Είναι h( ),. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε το σημείο, h( ) να είναι σημείο και της ευθείας (ε) και η κλίση της (ε) να είναι ίση με h ( ). Δηλαδή h( ). h( ) Άρα η ευθεία (ε) εφάπτεται της C h στο σημείο (,). Δ3. Είναι f (). H f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση. Ισχύει και f() f() γιατί f () και f (). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι το f ( ) lim f ( ), lim f ( ) o lim f ( ) lim ( ) o f. lim ( ) lim lim lim lim lim lim. Άρα το σύνολο τιμών της f είναι: f ( ) (, ). f a f ln ( ) ln ( ) Δ4. Η εξίσωση είναι: ( )ln f ( a) ln f ( ) ( ) ( )ln f ( a) ln f ( ) με [,]. θεωρούμε τη συνάρτηση. o Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 6

9 ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ o φ() = -ln f ( a) ln a a. () ln f ( ) ln f ( ) ln a a ( a a)( a a) a a a a ln ln ln a a a a a a ln ln ln( a a) ln( a a). a a f Είναι f ( ) f () a a ln( a a) ln. Άρα () ln( a a) και () ln( a a). Επομένως () () και από το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε: ln ( ) ln ( ) ( ) ( )ln f ( a) ln f ( ) f a f. Άρα η εξίσωση f a f ( )ln ( ) ln ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Όμως η συνάρτηση ( ) ( )ln f ( a) ln f ( ) ln f ( a) ln f ( a) ln f ( ) ln f ( a) ln f ( ) ln f ( a) είναι πολυωνυμική ου βαθμού ln f ( a) ln f ( ). Επομένως η ρίζα (,) θα είναι μοναδική. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 6