Παραγοντικοί χεδιαςμοί. Κατςιλζροσ Αναςτάςιοσ

Transcript

1 Παραγοντικοί χεδιαςμοί Κατςιλζροσ Αναςτάςιοσ 07

2 ΠΑΡΑΓΟΝΣΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΣΑ (factorial experiments) Ωσ παράγοντασ ορίηεται το είδοσ τθσ πειραματικισ επζμβαςθσ που εφαρμόηεται ςτο πείραμα και επίπεδο ο αρικμόσ των επεμβάςεων που ζχει ο παράγοντασ. Τα επίπεδα των παραγόντων μπορεί να είναι κατθγορικά ι/και ςυνεχι και προκακοριςμζνα (Fixed Effects) ι τυχαία (Random Effects). Τα παραγοντικά πειράματα αναλφουν τθν επίδραςθ δφο ι περιςςοτζρων παραγόντων αλλά και των ςυνδυαςμϊν των επιπζδων των παραγόντων (αλλθλεπίδραςθ) ςε μία μεταβλθτι. Η αλλθλεπίδραςθ ορίηεται ωσ θ ανόμοια αντίδραςθ των επεμβάςεων ενόσ παράγοντα ςτα διάφορα επίπεδα του άλλου παράγοντα που δεν μπορεί να αποδοκεί ςτθν τφχθ.

3 Κατηγορίεσ παραγοντικών πειραμάτων Πλήρη παραγοντικά πειράματα Περιζχουν όλουσ τουσ πικανοφσ ςυνδυαςμοφσ των επιπζδων των παραγόντων και χρθςιμοποιοφνται για ςυγκριτικοφσ ςκοποφσ ( κ, 3 κ, 3x4, split plot κ.α.). Μη πλήρη ομάδων παραγοντικά πειράματα Ζνα πλιρεσ παραγοντικό με τθν μζκοδο τθσ ανάμειξθσ διαιρείται ςε ομάδεσ οι οποίεσ περιζχουν λιγότερεσ επεμβάςεισ από ότι απαιτεί μια πλιρθσ επανάλθψθ. Κλαςματικά παραγοντικά πειράματα. Χρθςιμοποιοφνται για να πάρουμε πλθροφορίεσ για τισ κφριεσ επιδράςεισ και τισ αλλθλεπιδράςεισ χαμθλισ τάξθσ, εκτελϊντασ μόνο ζνα κλάςμα του πλιρουσ παραγοντικοφ ςχεδιαςμοφ. Εφαρμόηονται ςε διαχωριςτικά πειράματα ( 3-, Plackett-Burman κ.α.). Μεθοδολογία αποκριτικήσ επιφάνειασ. Τα ςχζδια αυτά χρθςιμοποιοφνται για τον προςδιοριςμό των επιπζδων των παραγόντων ϊςτε να επιτευχκεί θ βζλτιςτθ τιμι τθσ μεταβλθτισ απόκριςθσ (Central composite, Box-Behnken κ.α.).

4 Πλεονεκτήματα παραγοντικών πειραμάτων Τα παραγοντικά πειράματα είναι πολφ αποτελεςματικά γιατί προςεγγίηουν καλφτερα ςτον πραγματικό κόςμο, παρζχοντασ πλθροφορίεσ με μικρι αφξθςθ του κόςτουσ. Παρζχουν εκτιμιςεισ των αλλθλεπιδράςεων. Αφξθςθ τθσ ακρίβειασ λόγω τθσ κρυμμζνθσ επανάλθψθσ. Μειονεκτήματα παραγοντικών πειραμάτων Μερικοί ςυνδυαςμοί επεμβάςεων μπορεί να μθν εμφανίηουν ενδιαφζρον. Είναι δφςκολθ θ ερμθνεία των αποτελεςμάτων ειδικά ςε μεγάλου βακμοφ αλλθλεπιδράςεισ. Αν προςκζςουμε πολλοφσ παράγοντεσ και επίπεδα μπορεί να αυξθκεί πάρα πολφ το μζγεκοσ του πειράματοσ.

5 Επιλογή των παραγόντων Η επιλογι των παραγόντων εξαρτάται από το ςτάδιο, τθν τεχνικι, τισ ςυνκικεσ και τον ςκοπό του πειράματοσ. Επιλογή των επιπζδων Η επιλογι των επιπζδων εξαρτάται από τουσ παράγοντεσ (ποςοτικοί ποιοτικοί), από το ςτάδιο του πειράματοσ (π.χ. προκαταρτικό), το είδοσ μεταβλθτισ και τον ςκοπό τθσ ζρευνασ. Συνικωσ ο αρικμόσ των επιπζδων κα πρζπει να επιτρζπει τθν εκτίμθςθ του ςφάλματοσ με τουλάχιςτον 8 0 βακμοφσ ελευκερίασ και τα επίπεδα πρζπει να διαφζρουν κατά τθν ίδια ποςότθτα και να ζχουν τον ίδιο αρικμό παρατθριςεων. Αν ενδιαφερόμαςτε μόνο για τθν κλίςθ τθσ αντίδραςθσ είναι καλφτερα να χρθςιμοποιοφμε δφο επίπεδα ενϊ αν υποπτευόμαςτε ότι θ δεν είναι ευκεία τότε για να τθν εξετάςουμε χρειαηόμαςτε τρία ιςαπζχοντα επίπεδα ι κεντρικά ςθμεία ι πιο πολλά επίπεδα ςτο ςθμείο τθσ καμπφλθσ.

6 Παράδειγμα: Αντικατάςταςθ και ςφγκριςθ δφο απλϊν πειραμάτων με ζνα διπαραγοντικό. Παράγοντασ Α: Τρία επίπεδα και πζντε επαναλιψεισ Πηγή παρ/τασ BE A a = Υπόλοιπο a(n ) = Σφνολο an = 4 Παράγοντασ Β: Τζςςερα επίπεδα και πζντε επαναλιψεισ Πηγή παρ/τασ BE B b = 3 Υπόλοιπο b(n ) = 6 Σφνολο an = 9 Διπαραγοντικό Α και Β: Τρία και τζςςερα επίπεδα με τρεισ επαναλιψεισ Πηγή παρ/τασ BE A a = B b = 3 AB (a )(b ) = 6 Υπόλοιπο ab(n ) = 4 Σφνολο abn = 35 Περιςςότερεσ πλθροφορίεσ λόγω τθσ αλλθλεπίδραςθσ των επιπζδων των παραγόντων Α και Β. Ακόμα και ςε απουςία αλλθλεπίδραςθσ ζχουμε επιπλζον επαναλιψεισ για τουσ παράγοντεσ. Περιςςότερουσ βακμοφσ ελευκερίασ του ςφάλματοσ για τθν εκτίμθςθ του ςφάλματοσ. Οριακι αφξθςθ του μεγζκουσ του πειράματοσ.

7 Παράδειγμα : Παράγοντασ Β β 0 β b () a ab [(ab b) (a ())] n A α 0 α Παράγοντασ Α Οι απλζσ επιδράςεισ των παραγόντων Α και Β δίνονται για μεν τον παράγοντα Α από τισ διαφορζσ (ab b)/n και (a ())/n ςε κάκε επίπεδο του Β, για δε τον Β από τισ διαφορζσ (ab a)/n και (b ())/n ςε κάκε επίπεδο του Α. Οι κύριεσ (μζςεσ) επιδράςεισ (μζςοσ όροσ των απλϊν επιδράςεων) των παραγόντων Α και Β υπολογίηονται με ωσ εξισ: B [(ab a) (b ())] n Η αλληλεπίδραςη υπολογίηεται ωσ θ μζςθ διαφορά των απλϊν επιδράςεων του παράγοντα Α ι του Β. AB [(ab b) (a ())] [(ab a) (b ())] n n

8 Παράδειγμα : Απλζσ επιδράςεισ Κφριεσ (Μζςεσ) επιδράςεισ - Αλλθλεπιδράςεισ Συνδυαςμόσ επεμβάςεων Παράγοντασ Β Επανάλθψθ 3 Παράγοντασ Α επίπεδο α 0 α Απλι επίδραςθ β (40 8)/3 = 4 β (46 34)/3 = 4 Απλι επίδραςθ (34 8)/3 = (46 40)/3 = Σφνολο α 0 β () α β a α 0 β 0 34 b α β ab A [(ab b) (a ())] [(46 34) (40 8)] n 6 B [(ab a) (b ())] [(46 40) (34 8)] n 6 AB [(ab b) (a ())] [(46 34) (40 8)] n 6 4 0

9 β0 β Απουςία αλλθλεπίδραςθσ (Α = 4, Β = και ΑΒ = 0) 6 α0 α α0 α β0 β Παρουςία αλλθλεπίδραςθσ (κατεφκυνςθσ) (Α =, Β = - και ΑΒ = - 3) α0 α β0 β Παρουςία αλλθλεπίδραςθσ (ςυγκλίνουςα ι αποκλίνουςα) (Α =,3, Β = 3,6 και ΑΒ =,6)

10 Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ που ακολουκεί το εντελϊσ τυχαιοποιθμζνο ςχζδιο Υ ijk = μ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk μ = ο μζςοσ όροσ των αβ επεμβάςεων α i = θ επίδραςθ του i επιπζδου του πρϊτου παράγοντα - επζμβαςθ β j = θ επίδραςθ του j επιπζδου του δεφτερου παράγοντα - επζμβαςθ (αβ) ij = θ αλλθλεπίδραςθ του i επιπζδου του πρϊτου παράγοντα με το j επιπζδου του δεφτερου παράγοντα ε ijk = θ απόκλιςθ τθσ Υ ijk από το μζςο του ij πλθκυςμοφ Προϋποθζςεισ: τα ε ijk είναι ανεξάρτθτα, ακολουκοφν κανονικι κατανομι και προζρχονται από ζνα πλθκυςμό με τθν ίδια διαςπορά.

11 Κατάτμηςη Αθροίςματοσ Σετραγώνων Y Y.. ( ) ijk Y ijk i j ij ijk a i : ωσ Y i.. Y... j : ωσ Y. j. Y... ijk : ωσ Yijk Y ij. Οπότε : Y ijk Y Y i.. Y... Y. j. Y... Y ij. Y i.. Y. j. Y... Y Y... ijk ij Αν υψϊςουμε ςτο τετράγωνο τθν πιο πάνω ταυτότθτα για κάκε παρατιρθςθ και ακροίςουμε όλεσ τισ παρατθριςεισ: a b n i j k a b a b a b n Y Y.. bn Y i.. Y... an Y. j. Y... n Y ij. Y i.. Y. j. Y... Y Y ij. ijk i j i j i j k ijk

12 Ανάλυςθ τθσ Παραλλακτικότθτασ για το ΕΤΣ Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F ΘΜΣ* A a AT A bn a Y i.. Y... i MT A ATA ( a ) MT A MT e bn a B b AT B an b Y. j. Y... j MT B ATB ( b ) MT B MT e an b AB (a )(b ) AT AB n a b Y ij. Y i.. Y. j. Y.. i j MT AB ATAB ( a )( b ) MT AB MT e n ab Υπόλοιπο ab(n ) Σφνολο ab AT AT MT ab( n ) AT a b n Y ijk Y ij. i j k a b n Y ijk Y... i j k e *A και Β: Πρότυπο Ι (Στακερϊν επιδράςεων)

13 Πίνακασ Ανάλυςθσ Παραλλακτικότθτασ Πηγή παρ/τασ BE ΘΜΣ ΘΜΣ ΘΜΣ 3 Α a ς ε a bn α i a i ς e nς αβ bnς α ς ε nς αβ a bn α i a i Β b ς ε an a i b β i ς e nς αβ anς β ς e anς β ΑΒ (a-)(b- ) ς ε n a b αβ i j (a)(b) ij ς e nς αβ ς e nς αβ Υπόλοιπο ab(n- ) ς e ς e ς e Μοντζλο ςτακερϊν επιδράςεων, Μοντζλο τυχαίων επιδράςεων και 3 Μοντζλο μεικτϊν επιδράςεων (Α προκακοριςμζνο και Β τυχαίο)

14 Παράδειγμα: Τυχαιοποίθςθ πειράματοσ δφο παραγόντων με δυο και τρία επίπεδα αντίςτοιχα, με τζςςερισ επαναλιψεισ, ςε Εντελϊσ Τυχαιοποιθμζνο Σχζδιο. > library(agricolae) > trt=c(,3) > outdesign=design.ab(trt, r=4, design=c("crd"), randomization=true) > outdesign plots r A B plots r A B

15 Παράδειγμα : Πείραμα δφο παραγόντων (Χ3) ςε ςχζδιο Ε.Τ.Σ. Παράγοντασ Β Παράγοντασ Α a a 5 b Σφνολο Μ.Ο. 9,5 6 7,75 9 b 9 9 Σφνολο Μ.Ο. 6 8,5, b Σφνολο 6 60 Μ.Ο. 5,5 5 5,5 Σφνολο Μ.Ο. 3,7 9,8,75

16 Η δοκιμαςία D Agostino Pearson K για ζλεγχο τησ κανονικότητασ Η δοκιμαςία D'Agostino-Pearson K ελζγχει αν ζνα δείγμα προζρχεται από κανονικά κατανεμθμζνο πλθκυςμό χρθςιμοποιϊντασ τισ ςτατιςτικζσ δοκιμαςίεσ των ςυντελεςτϊν λοξότθτασ και κφρτωςθσ, b και b. Η ςτατιςτικι δοκιμαςία Κ είναι θ εξισ: και ακολουκεί τθν χ κατανομι με βακμοφσ ελευκερίασ / 3 ) ( ) ( x x n x x n m m b n i i n i i 3 ) ( ) ( x x n x x n m m b n i i n i i ) ( ) ( b Ζ b Ζ Κ

17 > A=factor(A);B=factor(B);R=factor(R); > fit=aov(y~a+b+a*b) > res=residuals(fit) > library(fbasics) > dagotest(res) Title: D'Agostino Normality Test Test Results: STATISTIC: Chi Omnibus: Z3 Skewness: Z4 Kurtosis: 0.46 P VALUE: Omnibus Test: Skewness Test: Kurtosis Test:

18 > attach(factorial_x3_crd) > bartlett.test(split(y, list(a,b))) Bartlett test of homogeneity of variances data: split(y, list(a, B)) Bartlett's K-squared = 5.745, df = 5, p-value = 0.33 > library(car) > levenetest(y~a*b, center="mean") Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = "mean") Df F value Pr(>F) group

19 ... abn 8 *3*4 333,5 AT ijk Y ό ijk , AT A i Yi.. bn (64) (8) 3403,66 333,5 88,6 AT B j Y. j. an (6) (98) 8 () 354,5 333,5 8 AT AB Y n ij ij. AT A AT B (38)... (60) 4 AT A AT 49, συνόλου A B AB

20 Πίνακασ Ανάλυςθσ τθσ Παραλλακτικότθτασ για το ΕΤΣ Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F F πιν. A a = 88,6 88,7 3,69 4,4 B b = 8 4,00 30,63 3,55 AB (a )(b ) = 49,33 4,67 6,63 Υπόλοιπο ab(n ) = 8 67,00 3,7 Σφνολο abn = 3 43,5

21 > attach(factorial_x3_crd) > A=factor(A);B=factor(B);R=factor(R) > fit=aov(y~a+b+a*b) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A *** B e-06 *** A:B ** Residuals Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 *

22 Επειδι θ αλλθλεπίδραςθ Α x Β είναι ςθμαντικι, ςχολιάηονται οι διαφορζσ μεταξφ των ςυνδυαςμϊν των επιπζδων των δφο παραγόντων. ΕΣΔ AB = t[a,beυ ]* *ΜΤυπ n =,* *3,7 4,86 Επζμβαςθ Μζςοσ όροσ a,b 6 A a,b 3 5,5 A a,b 3 5 A a,b 9,5 Β a,b 8,5 BC a,b 6 C * Αν θ αλλθλεπίδραςθ Α x Β δεν ιταν ςθμαντικι, ςχολιάηονται οι διαφορζσ μεταξφ των επιπζδων του παράγοντα Α ανεξάρτθτα από τα επίπεδα του παράγοντα Β, κακϊσ και οι διαφορζσ μεταξφ των επιπζδων του παράγοντα Β ανεξάρτθτα από τα επίπεδα του παράγοντα Α, υπολογίηοντασ τισ αντίςτοιχεσ τιμζσ τθσ ΕΣΔ. ΕΣΔ A = t[a,beυ ]* *ΜΤυπ bn και ΕΣΔ B = t[a,beυ ]* *ΜΤυπ an

23 > library(agricolae) > LSD.test (fit, c ("A", "B"), console = T) Study: fit ~ c("a", "B") LSD t Test for Y Mean Square Error: 3.7 A:B, means and individual ( 95 %) CI Y std r LCL UCL Min Max : : : : : : Alpha: 0.05 ; DF Error: 8 Critical Value of t:.009 least Significant Difference:.8663 Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups : 6.0 a :3 5.5 a :3 5.0 a : 9.5 b : 8.5 bc : 6.0 c

24 > interaction.plot(a, B, Y) > interaction.plot(β, Α, Y)

25 Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ που ακολουκεί το ςχζδιο των τυχαιοποιθμζνων πλιρων ομάδων. Υ ijk = μ + ρ i + α j + β k + (αβ) jk + ε ijk μ = ο μζςοσ όροσ των αβ επεμβάςεων ρ i = θ επίδραςθ τθσ i ομάδασ α j = θ επίδραςθ του j επιπζδου του πρϊτου παράγοντα - επζμβαςθ β k = θ επίδραςθ του k επιπζδου του δεφτερου παράγοντα - επζμβαςθ (αβ) jk = θ αλλθλεπίδραςθ του i επιπζδου του πρϊτου παράγοντα με το j επιπζδου του δεφτερου παράγοντα ε ijk = θ απόκλιςθ τθσ Υ ijk από το μζςο του ij πλθκυςμοφ Προϋποθζςεισ: τα ε ijk είναι ανεξάρτθτα, ακολουκοφν κανονικι κατανομι και προζρχονται από ζνα πλθκυςμό με τθν ίδια διαςπορά.

26 Κατάτμηςη Αθροίςματοσ Σετραγώνων Χωρίηουμε τθν διάφορα Y ijk Y... ςτα εξισ μζρθ: Y ijk Y i.. Y... Y. j. Y... Y.. k Y... Y. jk Y. j. Y.. k Y... Y Y i.. Y... Y. jk Y... ijk Αν υψϊςουμε ςτο τετράγωνο τθν πιο πάνω ταυτότθτα για κάκε παρατιρθςθ και ακροίςουμε όλεσ τισ παρατθριςεισ: r i j k r a a b j k b r Y Y.. ab Y i.. Y... br Y. j. Y... ar Y.. k Y... ijk i r Y. jk Y. j. Y.. k Y... Y Y i.. Y... Y. jk a b i j k a j ijk b k

27 Πίνακασ Ανάλυςθσ τθσ Παραλλακτικότθτασ για το ΤΠΟ Πηγή παρ/τασ Ομάδα r A a BE ΑΣ ΜΣ F ΘΜΣ* ATo ab AT A bn r Y i.. Y... i a Y i.. Y... j ATo MTo ( r ) MT A ATA ( a ) MT o MT MT A MT e ab o e br a B b AT B ar b Y.. k Y... k MT B ATB ( b ) MT B MT e ar b AB (a )(b ) AT AB r a b Y. jk Y. j. Y.. k Y... j k MT AB ATAB ( a )( b ) MT AB MT e r ab Υπόλοιπο (r )(ab ) AT r a b Y ijk Y i.. Y... Y. jk i j k AT MT ( ab )( r ) e Σφνολο abr ΑΤσ r a b Y ijk Y.. i j k *A, Β και Ομάδεσ: προκακοριςμζνα, Πρότυπο Ι (Στακερϊν επιδράςεων)

28 Παράδειγμα: Τυχαιοποίθςθ πειράματοσ δφο παραγόντων (4Χ3), με τζςςερισ επαναλιψεισ, ςε Σχζδιο Τυχαιοποιθμζνων Πλιρων Ομάδων. > library(agricolae) > trt=c(4,3) > outdesign=design.ab(trt, r=4, design=c("rcbd"), randomization=true) > outdesign plots block A B plots block A B plots block A B plots block A B

29 Παράδειγμα : Πείραμα δφο παραγόντων (4Χ3) ςε ςχζδιο Τ.Π.Ο. Α a a a 3 a 4 Β b b b 3 b b b 3 b b b 3 b b b 3 Σφνολα θ ομάδα θ ομάδα θ ομάδα Σφνολα a a a 3 a 4 Σφνολο b b b Σφνολο

30 ... abr 456 4*3* AT ijk Y ό ijk AT o i Yi.. ab (44) (5) (6),6 AT A j Y. j. rb (40)... (39) 9 99,77 AT B k Y.. k ar (44) (46) (66) 4,66 AT AB Y r jk. jk AT A AT B (9)... (34) 3 AT A AT 48, o 35,6. συνόλου A B AB

31 Πίνακασ Ανάλυςθσ τθσ Παραλλακτικότθτασ για το ΤΠΟ Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F F πιν. Ομάδα r =,6 6,08 3,8057* 3,44 A a = 3 99,77 330,59 06,86*** 3,05 B b = 4,66,33 7,756** 3,44 AB (a )(b ) = 6 48, 4,37 5,88***,55 Υπόλοιπο (r )(ab ) = 35,6,59 Σφνολο abr = 35 3

32 > attach(factorial_4x3_rcbd) > A=factor(A);B=factor(B);Block=factor(Block) > fit=aov(y~a+b+block+a*b) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A e-6 *** B ** Block * A:B e-09 *** Residuals Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 *

33 Επειδι θ αλλθλεπίδραςθ Α x Β είναι ςθμαντικι ςχολιάηονται οι διαφορζσ μεταξφ των ςυνδυαςμϊν των επιπζδων των δφο παραγόντων. w q a MT,59 ( p max, v)* 5,4* 3,75 n 3 Συνδυαςμόσ Μζςοσ Όροσ a 3,b 3 a a 4,b 0,33 a a 3,b 8,66 ab a,b 3 5,66 bc a 3,b 5 bcd a 4,b 4,66 cd a 4,b 3,33 de a,b,33 de a,b 9,66 ef a,b 3 6,33 fg a,b 4 g a,b 3 g

34 > library(agricolae) > HSD.test(fit,c ("A", "B"), console = T) Study: fit ~ c("a", "B") HSD Test for Y Mean Square Error: Alpha: 0.05 ; DF Error: Critical Value of Studentized Range: Minimun Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups a3:b a a4:b a a3:b ab a:b bc a3:b bcd a4:b cd a:b de a4:b de a:b ef a:b fg a:b g a:b g

35 > interaction.plot(b, A, Y)

36 Παράδειγμα: Διπαραγοντικό πείραμα x3 ςε Λατινικό Τετράγωνο Πηγή παραλλακτικότητασ BE Ομάδα Σειρά ab = 5 Ομάδα Στιλθ ab = 5 A a = B b = AB (a )(b ) = Υπόλοιπο (ab )(ab ) = 0 Σφνολο (ab) = 35

37 Παράδειγμα: Τριπαραγοντικό πείραμα xx3 με τζςςερισ επαναλιψεισ ςε Τ.Π.Ο. Πηγή παραλλακτικότητασ BE Ομάδα r = 3 A a = B b = Γ c = AB (a )(b ) = ΑΓ (a )(c ) = ΒΓ (b )(c ) = ΑΒΓ (a )(b )(c ) = Υπόλοιπο (r )(abc ) = 33 Σφνολο rabc = 47