Nested and split plot designs. Κατςιλζροσ Αναςτάςιοσ

Transcript

1 Nested and split plot designs Κατςιλζροσ Αναςτάςιοσ 017

2 ΙΕΡΑΡΧΙΚΟΙ ΧΕΔΙΑΜΟΙ (nested design) Σε οριςμζνα παραγοντικά πειράματα, τα επίπεδα ενόσ παράγοντα (π.χ. Β) είναι παρόμοια αλλά όχι όμοια για τα διαφορετικά επίπεδα του άλλου παράγοντα (π.χ. Α). Μια τζτοια διάταξθ ονομάηεται ζνκετοσ ι ιεραρχικόσ (nested) ςχεδιαςμόσ, με τα επίπεδα του παράγοντα Β τοποκετθμζνα κάτω από τα επίπεδα του παράγοντα Α. παράγοντασ Α 1 3 παράγοντασ Β ι (επειδι δεν είναι όμοια τα επίπεδα του παράγοντα Β)

3 Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ με ιεραρχικό ςχεδιαςμό είναι το εξισ: Υ ijk = μ + α i +β j(i) + ε (ij)k μ : ο μζςοσ του πλθκυςμοφ α i : θ επίδραςθ του i επιπζδου του παράγοντα Α β j(i) : θ επίδραςθ του j επιπζδου του παράγοντα B ςτο επίπεδο i του παράγοντα Α. ε (ij)k : πειραματικό ςφάλμα Επειδι δεν εμφανίηεται κάκε επίπεδο του παράγοντα Β ςε κάκε επίπεδο του παράγοντα Α, δεν μπορεί να υπάρξει αλλθλεπίδραςθ μεταξφ Α και Β. Κατάτμηςη αθροίςματοσ τετραγώνων a b n a i= 1 j= 1 k= 1 b n i= 1 j= 1 k= 1 a b n ( Y -Y...) = [( Y i.. -Y...) + ( Y ij. -Y i.. ) + ( Y -Y ij. )] ijk a ( i= 1 j= 1 k= 1 a ( ijk ( ( Y -Y...) = bn Y i.. -Y...) + n Y ij. -Y i.. ) + Y -Y ij. ) ijk i=1 b i= 1 j= 1 a b n i= 1 j= 1 k= 1 ijk

4 Πίνακασ ανάλυςησ τησ παραλλακτικότητασ πειράματοσ με ιεραρχικό ςχεδιαςμό Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F ΘΜΣ* A a 1 AT A bn a i1 ( Y i.. Y...) MT A ATA ( a 1) MT MT A Β( A) n B bn A Β (εντόσ Α) a(b 1) AT B a b = n ( Y ij. -Y i.. ) i= 1 j= 1 MT B ATB a( b 1) MT B ( A ) MT υπ n B Υπόλοιπο ab(n 1) AT a b n i1 j1 k 1 ( Y ijk Y ij.) MT AT ab( n 1) Σφνολο abn 1 ΑΤ Σ = a b n ( Yijk -Y...) i= 1 j= 1 k= 1 *A και Β: Πρότυπο ΙΙ (Τυχαίων Επιδράςεων)

5 Πίνακασ Ανάλυςθσ Παραλλακτικότθτασ Πηγή παρ/τασ BE ΘΜΣ 1 ΘΜΣ ΘΜΣ 3 A a 1 σ ε bn a 1 α i i a-1 ς ε + nςb + bnςa σ e nσ β bn a 1 α i i a-1 Β (εντόσ Α) a(b 1) ς a b n i= 1 j= 1 ε + a(b-1β j( i) σ e nσ β σ e nσ β Υπόλοιπο ab(n 1) σ e σ e σ e 1 Μοντζλο ςτακερϊν επιδράςεων, Μοντζλο τυχαίων επιδράςεων και 3 Μοντζλο μεικτϊν επιδράςεων (Α προκακοριςμζνο και Β τυχαίο)

6 Y... 1,4 Παράδειγμα. Πείραμα με ιεραρχικό ςχεδιαςμό δφο παραγόντων (3Χ4) με τρεισ επαναλιψεισ. Παράγοντασ Α Α 1 Α Α 3 Παράγοντασ Β B 1 B B 3 B 4 B 1 B B 3 B 4 B 1 B B 3 B Υ ij Υ i Υ... 98

7 AT = ςυνόλου Y a b n i= 1 j= 1 k= 1 ijk Y... - abn = () (5) = 859, AT επεμβάςεων = a i=1 Y bn i.. - Y... abn = (88) + (104) 4*3 + (106) =16, AT Y Y a b a ij. i.. (7) ()... (55) (15) (88) (104) (106) B( A) i1 j1 n i1 bn 3 4*3 79 AT AT ό AT ά AT B 859, 16, ( A)

8 Πίνακασ ανάλυςησ τησ παραλλακτικότητασ πειράματοσ με ιεραρχικό ςχεδιαςμό Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F A a 1 = 16, 8,81 0,1 ns Β (εντόσ Α) a(b 1) = ,05** Υπόλοιπο ab(n 1) = ,75 Σφνολο abn 1 = ,

9 > attach(nested_design) > A=factor(A); B=factor(B) > fit=aov(y~a+error(a:b)) > summary(fit) Error: A:B Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A Residuals Error: Within Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Residuals

10 > library(emsaov) > fit=emsanova(y~a+b, data=nested_design, type=c("f","r"), nested=c(na,"a")) > fit Df SS MS Fvalue Pvalue Sig EMS A Error+3B(A)+1A B(A) < *** Error+3B(A) Residuals Error

11 > LSD.test(Y, B, 4, 4.75, console = T) Study: Y ~ B LSD t Test for Y Mean Square Error: 4.75 B, means and individual ( 95 %) CI Y std r LCL UCL Min Max B B B B Alpha: 0.05 ; DF Error: 4 Critical Value of t: least Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups B a B b B c B c

12 ΤΠΟ - ΔΙΑΙΡΕΜΕΝΑ ΣΕΜΑΧΙΑ (split plot designs) Σε κάποιεσ περιπτϊςεισ όπου υπάρχουν περιοριςμοί ςτθν τυχαιοποίθςθ των ςυνδυαςμϊν των επεμβάςεων, καταφεφγουμε ςε ζνα ειδικό πειραματικό ςχεδιαςμό όπου οι πειραματικζσ μονάδεσ (κφριεσ μονάδεσ ι τεμάχια - main units or plots), που δζχεται τισ επεμβάςεισ του ενόσ παράγοντα (κφριεσ επεμβάςεισ), διαιροφνται ςε υπομονάδεσ ι υποτεμάχια (subunits or subplots) ςτισ οποίεσ εφαρμόηονται οι επεμβάςεισ του δεφτερου παράγοντα (υποεπεμβάςεισ). Το ςχζδιο αυτό λζγεται Σχζδιο Υποδιαιρεμζνων Τεμαχίων και χρθςιμοποιοφνται ςε ςυνδυαςμό με τα ςχζδια των Τυχαιοποιθμζνων Πλιρων Ομάδων, του Λατινικοφ Τετραγϊνου ι και του Εντελϊσ Τυχαιοποιθμζνου Σχεδίου.

13 Πείραμα δφο παραγόντων (Χ3) με 3 επαναλιψεισ, ςε ςχζδιο ΤΠΟ Ομάδα 1 θ Ομάδα θ Ομάδα 3 θ α 0 β α 1 β α 0 β α 1 β 0 α 0 β 0 α 1 β α 0 β 1 α 0 β 1 α 0 β 0 α 1 β 1 α 1 β 1 α 1 β 1 α 0 β 0 α 1 β 0 α 0 β 1 α 1 β α 0 β α 1 β 0 Πείραμα δφο παραγόντων (Χ3) με 3 επαναλιψεισ, ςε διάταξθ των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων, ςε ςχζδιο ΤΠΟ. Ομάδα 1 θ Ομάδα θ Ομάδα 3 θ α 0 α 1 α 1 α 0 α 1 α 0 α 0 β α 1 β α 1 β α 0 β 0 α 1 β α 0 β α 0 β 1 α 1 β 1 α 1 β 1 α 0 β 1 α 1 β 1 α 0 β 0 α 0 β 0 α 1 β 0 α 1 β 0 α 0 β α 1 β 0 α 0 β 1

14 Περιπτώςεισ χρηςιμοποίηςησ ςχεδίου υπο-διαιρεμζνων τεμαχίων: Οριςμζνεσ πειραματικζσ επεμβάςεισ ζχουν μεγαλφτερεσ απαιτιςεισ ςτθν εφαρμογι τουσ. Αφξθςθ των πλθροφοριϊν που παίρνουμε από τα πείραμα. Χρειαηόμαςτε μεγαλφτερθ ευαιςκθςία για τισ ςυγκρίςεισ οριςμζνων παραγόντων από ότι ςε άλλουσ ι ξζρουμε εκ των προτζρων ότι ςε οριςμζνουσ παράγοντεσ παρατθροφνται μεγαλφτερεσ διαφορζσ. Οι επεμβάςεισ που εφαρμόηονται ςτα υποτεμάχια παρουςιάηουν μικρότερθ παραλλακτικότθτα ςε ςχζςθ με αυτζσ που εφαρμόηονται ςτα κφρια τεμάχια. Για αυτό το λόγο εφαρμόηουμε ςτα υποτεμάχια τισ επεμβάςεισ που 1) ζχουν λιγότερεσ απαιτιςεισ, ) ζχουν μεγάλθ ςθμαςία, 3) περιμζνουμε να παρουςιάςουν μικρότερεσ διαφορζσ ι 4) πρζπει να ςυγκρικοφν με μεγαλφτερθ ευαιςκθςία.

15 Στθ ςτατιςτικι ανάλυςθ των ςχεδίων των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων πρζπει να λάβουμε υπόψθ τθν παρουςία των δφο διαφορετικϊν μεγεκϊν των πειραματικϊν μονάδων (κφριεσ μονάδεσ-τεμάχια και υπομονάδεσ-υποτεμάχια) που χρθςιμοποιικθκαν για τον ζλεγχων των παραγόντων. Υπάρχουν δφο ςφάλματα τα οποία αντιπροςωπεφουν: α) τθν παραλλακτικότθτα μεταξφ των κυρίων τεμαχίων μζςα ςτισ ομάδεσ (υπόλοιπο a) κακϊσ και β) τθν παραλλακτικότθτα μεταξφ των υποτεμαχίων μζςα ςτα κφρια τεμάχια (υπόλοιπο b). ΔΙΠΑΡΑΓΟΝΣΙΚΟ Σ.Π.Ο. ΤΠΟΔΙΑΙΡΕΜΕΝΑ ΣΕΜΑΧΙΑ Πηγή παρ/τασ BE Πηγή παρ/τασ BE Ομάδεσ r 1 Ομάδεσ (R) r 1 A a 1 A a 1 (R)X(A) ι υπόλοιπο (a) (r 1)(a 1) B b 1 B b 1 AB (a 1)(b 1) AB (a 1)(b 1) Υπόλοιπο (r 1)(ab 1) Υπόλοιπο (b) (r 1)a(b 1) Σφνολο abr 1 Σφνολο abr 1

16 Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ υποδιαιρεμζνων τεμαχίων που ακολουκεί το ςχζδιο των τυχαιοποιθμζνων πλιρων ομάδων: Υ ijk = μ + ρ i + α j + β k + (ρα) ij + (αβ) jk + ε ijk μ : ο μζςοσ του πλθκυςμοφ ρ i : οι επαναλιψεισ i α j : θ επίδραςθ του j επιπζδου του κυρίου τεμαχίου (ρα) ij : θ αλλθλεπίδραςθ του i επιπζδου τθσ ομάδασ με το j επίπεδο του κυρίου τεμαχίου β k : θ επίδραςθ του k επιπζδου του υποτεμαχίου (αβ) jk : θ αλλθλεπίδραςθ του j επιπζδου του πρϊτου παράγοντα με το k επίπεδο του δευτζρου παράγοντα ε ijk : θ απόκλιςθ τθσ Y ijk από τον πλθκυςμιακό μζςο του ij πλθκυςμοφ Y Κατάτμηςη αθροίςματοσ τετραγώνων ijk ( Y i.. -Y... ) + ( Y. j. -Y... ) + ( Y.. k -Y... ) + ( Y ij. -Y i.. -Y. j. + Y... ) + ( Y. jk -Y. j. -Y.. k + Y... ) + ( Y -Y ij. -Y. jk + Y.. ) -Y... = j a i= 1 j= 1 n= 1 r a b b j= 1 k= 1 n (ομάδα) (παράγοντα Α) (παράγοντα Β) (υπόλοιπο a) (αλλθλεπίδραςθ) (υπόλοιπο b) r a b r a ( Y -Y..) = ab ( Y i.. -Y...) + br ( Y. j. -Y...) + ar ( Y.. k -Y...) + b ( Y ij. -Y i.. -Y. j. + Y...) ijk i=1 r a b ( Y. jk -Y. j. -Y.. k + Y...) + ( Y -Y ij. -Y. jk + Y. j. ) i= 1 j= 1 n= 1 j=1 ijk k=1 i= 1 j= 1 ijk +

17 Πίνακασ Ανάλυςησ τησ Παραλλακτικότητασ Τποδιαιρεμζνων Σεμαχίων ςε ςχζδιο ΣΠO Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F ΘΜΣ Ομάδεσ (R) r 1 ab r Y i.. Y... i1 MT R ATo ( r 1) ab R A (Κφρια τεμάχια) a 1 br a Y. j. Y... j1 MT A ATA ( a 1) MT MT A RA b ( ) rb a j /( a 1) RXA ι υπόλοιπο (a) (r 1)(a 1) b r a Y ij. Y i.. Y. j. Y... i1 j1 MT RA ATRA ( r 1)( a 1) b ( ) B (Υποτεμάχια) b 1 ar b Y.. k Y... k 1 MT B ATB ( b 1) MT B MT ra b /( ab 1) k ΑXB (a 1)(b 1) r a b ( Y. jk -Y. j. Y.. k + Y...) - j= 1 k= 1 MT AB ATAB ( a 1)( r 1) MT AB MT r ab /( a 1)( b 1) jk Υπόλοιπο (r 1)a(b 1) r a b ( Y -Y ij. Y. jk + Y. j. ) ijk - i= 1 j= 1 n= 1 AT MT ( r 1) a( b 1) Σφνολο abr 1 a b n Y ijk Y... i1 j1 n1

18 Παράδειγμα: Τυχαιοποίθςθ πειράματοσ δφο παραγόντων (4Χ3), με τζςςερισ επαναλιψεισ, ςε Σχζδιο Τυχαιοποιθμζνων Πλιρων Ομάδων. > trt1=c("a1","a","a3","a4") > trt=c("b1","b","b3") > design=design.split(trt1,trt,r=3,design = ("rcbd"), randomization = T) > design plots splots block trt1 trt A3 B A3 B A3 B A B A B A B A1 B A1 B A1 B A4 B A4 B A4 B plots splots block trt1 trt A3 B A3 B A3 B A B A B A B A4 B A4 B A4 B A1 B A1 B A1 B plots splots block trt1 trt A B A B A B A4 B A4 B A4 B A1 B A1 B A1 B A3 B A3 B A3 B1

19 Παράδειγμα: Πείραμα δφο παραγόντων (4Χ3), με τρεισ επαναλιψεισ, ςε ςχζδιο T.Π.Ο. Α (κφρια τεμάχια) Β (υποτεμάχια) Ομάδεσ 1 3 Α 1 Β Β Β Σφνολα Α Β Β Β Σφνολα Α 3 Β 4 31 Β Β Σφνολα Α 4 Β Β Β Σφνολα Σφνολα Ομάδων Α 1 Α Α 3 Α 4 Σφνολα Β Β Β Σφνολα

20 ... ras 410 4*3*3 4669,44 Ανάλυςθ με βάςθ τα κφρια τεμάχια AT R r Y ab (95)... (17) 4*3 i.. 5,06 AT A j Y. j. rb (78)... (83) 3*3 581 ij Y ij. b (17)... (35) 3 845, AT RA AT A AT R 1,17

21 Ανάλυςθ με βάςθ τα υποτεμάχια AT B k Y ra (89) (00) 3*4 (11).. k 554,06 AT AB Y r ij ij. AT A AT B (14)... (7) 3 AT A AT 66,83 AT. Yijk ,56 AT. 6,44 συν A B AB R RA

22 Πίνακασ Ανάλυςησ τησ Παραλλακτικότητασ για το ΣΠΟ Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F Ομάδα (R) r 1 = 5,06 16,08 6,15 A (Κφρια τεμάχια) a 1 = 3 581,00 193,667 95,50 RXA ι υπόλοιπο (α) (r 1)(a 1) = 6 1,17,08 B (Υποτεμάχια ) s 1 = 544,06 7,08 164,58 AXB (a 1)(r 1) = 6 66,83 11,139 6,73 Υπόλοιπο (β) (r 1)a(s 1) = 16 6,44 1,653 Σφνολο abr 1 = ,56

23 > attach(split_plot) > A=factor(A); B=factor(B); Block=factor(Block) > library(agricolae) > sp.plot(block, A, B, Y) ANALYSIS SPLIT PLOT: Y Class level information A : a1 a a3 a4 B : b1 b b3 Block : 1 3 Number of observations: 36 Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Block e-05 *** A e-05 *** Ea B e-11 *** A:B ** Eb Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

24 > fit=aov(y ~ Block + A*B + Error(Block/A)) > summary(fit) Error: Block Df Sum Sq Mean Sq Block Error: Block:A Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Error: Within Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) B e-11 *** A:B ** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

25 υγκρίςεισ επεμβάςεων για το ςχζδιο των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α. Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β. *E(a) rb *E(b) ra Ε(a)=ΜΤ RXA ι ΜΤ υπολοίπου(α) Ε(b)= ΜΤ υπολοίπου(β) Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α (π.χ. a 1 b 1 vs a 1 b 3 ). *E(b) r Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ςτο ίδιο ι ςε διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα Β (π.χ. a 1 b 1 vs a b 1 ι a 1 b vs a b ). *( E( α ) + (b-1)*e(b)) rb Υπολογιςμόσ ΒΕ με τθν προςζγγιςθ Satterthwaite BE'= [(b-1)*e [(b-1)*e BE (b) (b) (b)] +E (α) ] [E + BE (α) ] (a)

26 Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ανεξάρτθτα από τον παράγοντα Β. > LSD.test (Y, A, 6,.08, console=true) # ΒEυπ(α) = 6 και ΜTυπ(α) =,08 Study: Y ~ A LSD t Test for Y Mean Square Error:.08 A, means and individual ( 95 %) CI Y std r LCL UCL Min Max a a a a Alpha: 0.05 ; DF Error: 6 Critical Value of t: least Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups a a a b a4 9. b a b

27 Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ανεξάρτθτα από τον παράγοντα Α. > LSD.test (Y, B, 16, 1.653, console=true) # ΒEυπ(b) = 16 και ΜTυπ(b) = 1,653 Study: Y ~ B LSD t Test for Y Mean Square Error: B, means and individual ( 95 %) CI Y std r LCL UCL Min Max b b b Alpha: 0.05 ; DF Error: 16 Critical Value of t: least Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups b a b b b c

28 Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α (π.χ. a 1 b 1 vs a 1 b 3 ). > LSD.test(Y[A=="a1"],B[A=="a1"], 16, 1.653, console = T) # ΒEυπ(β)=16 και ΜTυπ(β)=1,653 Study: Y[A == "a1"] ~ B[A == "a1"] LSD t Test for Y[A == "a1"] Mean Square Error: B[A == "a1"], means and individual ( 95 %) CI Y.A...a1.. std r LCL UCL Min Max b b b Alpha: 0.05 ; DF Error: 16 Critical Value of t: least Significant Difference:.5396 Treatments with the same letter are not significantly different. Y[A == "a1"] groups b a b b b c

29 Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ςτο ίδιο ι ςε διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα Β (π.χ. a 1 b 1 vs a b 1 ι a 1 b vs a b ). # Εab = (Ea +(b-1)*eb)/(b*r) > Eab=(.08 +(3-1)*1.653)/(3*3) > Eab [1] # ΒΕ (αβ)=(ea +(b-1)*eb)^/(ea^/dfa +((b-1)*eb)^/dfb) > dfab=(.08 +(3-1)*1.653)^/(.08^/6 +((3-1)*1.653)^/16) > dfab [1]

30 > LSD.test(Y[B=="b1"],A[B=="b1"], dfab, Eab, console = T) # dfab = 0,78 και Εab =0,593 Study: Y[B == "b1"] ~ A[B == "b1"] LSD t Test for Y[B == "b1"] Mean Square Error: A[B == "b1"], means and individual ( 95 %) CI Y.B...b1.. std r LCL UCL Min Max a a a a Alpha: 0.05 ; DF Error: Critical Value of t: least Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y[B == "b1"] groups a a a b a c a c

31 ΤΠΟ ΔΙΑΙΡΕΜΕΝΕ ΟΜΑΔΕ (Strip-plot or Split-block designs) Στο ςχζδιο αυτό οι επεμβάςεισ του παράγοντα Α τοποκετοφνται ςτισ κφριεσ πειραματικζσ μονάδεσ όπωσ ςτο ςχζδιο των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων, αλλά οι επεμβάςεισ του παράγοντα Β τοποκετοφνται ςε ςειρζσ - λωρίδεσ (strip) κάκετα ςτισ κφριεσ μονάδεσ του παράγοντα Α. Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ υποδιαιρεμζνων ομάδων είναι το εξισ: Υ ijk = μ + r i + α j + (rα) ij + β k + (rβ) ik + (αβ) jk + ε ijk (ρβ) ij : θ αλλθλεπίδραςθ του i επιπζδου τθσ ομάδασ με το k επίπεδο του κυρίου τεμαχίου

32 Παράδειγμα: Πείραμα δφο παραγόντων (4Χ3), με τρεισ επαναλιψεισ. Ομάδα Ι a 4 a 3 a 1 a b 1 a 4 b 1 a 3 b 1 a 1 b 1 a b 1 b 3 a 4 b 3 a 3 b 3 a 1 b 3 a b 3 b a 4 b a 3 b a 1 b a b Ομάδα ΙΙ a a 4 a 3 a 1 b 1 a b 1 a 4 b 1 a 3 b 1 a 1 b 1 b 3 a b 3 a 4 b 3 a 3 b 3 a 1 b 3 b a b a 4 b a 3 b a 1 b Ομάδα ΙΙΙ a 4 a 3 a a 1 b 3 a 4 b 3 a 3 b 3 a b 3 a 1 b 3 b 1 a 4 b 1 a 3 b 1 a b 1 a 1 b 1 b a 4 b a 3 b a b a 1 b

33 Πίνακασ Ανάλυςησ τησ Παραλλακτικότητασ Τποδιαιρεμζνων Ομάδων Πηγή παρ/τασ BE ΑΣ ΜΣ F ΘΜΣ* Ομάδεσ (R) r 1 AT R ΜΤομ A a 1 AT A ΜT A ΜT A /ΜΤυπ(α) RXA ι υπόλοιπο (α) (r 1)(a 1) AT RA ΜΤυπ(α) B b 1 AT B ΜT B ΜT B /ΜΤυπ(β) RXΒ ι υπόλοιπο (β) (r 1)(b 1) AT RB ΜΤυπ(β) AXB (a 1)(b 1) AT AB MT AB ΜT AB /ΜTΤυπ(γ) Υπόλοιπο (γ) (r 1)(a 1)(b 1) AT Υ MΤυπ r b ( a ( ) ( ) b ) r ( a 1)( b 1) ab rb ( a 1) ( ) ra ( b 1) a ( ) R a j k jk Σφνολο rab 1 AT Σ *A και Β προκακοριςμζνα και Ομάδεσ τυχαίεσ Πρότυπο ΙΙΙ (Μεικτϊν επιδράςεων)

34 Παράδειγμα: Τυχαιοποίθςθ πειράματοσ δφο παραγόντων (4Χ3), με τρεισ επαναλιψεισ. > trt1=c("a1","a","a3","a4") > trt=c("b1","b","b3") > r=3 > design.strip(trt1,trt,r=3) plots block trt1 trt A4 B1 1 A4 B A4 B A3 B A3 B A3 B A1 B A1 B A1 B A B A B A B plots block trt1 trt A B A B A B A4 B A4 B A4 B A3 B1 0 0 A3 B3 1 1 A3 B A1 B1 3 3 A1 B3 4 4 A1 B plots block trt1 trt A4 B A4 B A4 B A3 B A3 B A3 B A B A B A B A1 B A1 B A1 B

35 > attach(strip_plot) > A=factor(A); B=factor(B); Block=factor(Block) > library(agricolae) > strip.plot(block, A, B, Y) ANALYSIS STRIP PLOT: Y Class level information A : A4 A3 A1 A B : B1 B3 B Block : 1 3 Number of observations: 36 model Y: Y ~ Block + A + Ea + B + Eb + B:A + Ec Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Block A * Ea * B Eb B:A Ec Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * cv(a) = 50.8 %, cv(b) = 33.7 %, cv(c) = 4.7 %, Mean = 14

36 υγκρίςεισ επεμβάςεων για το ςχζδιο των υποδιαιρεμζνων ομάδων Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α. Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β. *E(a) rb *E(b) ra Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Β. Ε(a)=ΜΤ RXA ι ΜΤ υπολοίπου(α) Ε(b)=ΜΤ RXB ι ΜΤ υπολοίπου(β) [ E( α ) + (b-1)*e(c)] rb Ε(c)= ΜΤ υπολοίπου(γ) Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α. [ E( b ) + (a-1)*e(c)] ra Σφγκριςθ δφο επεμβάςεων ςε διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα Α και παράγοντα Β. [ ae( a) + be( b) + (ab- a-b)*e(c) ] rab

37 > LSD.test(Y, A, 6, 50.63, console = T) Study: Y ~ A LSD t Test for Y Mean Square Error: A, means and individual ( 95 %) CI Y std r LCL UCL Min Max A A A A Alpha: 0.05 ; DF Error: 6 Critical Value of t: least Significant Difference: Treatments with the same letter are not significantly different. Y groups A a A ab A bc A c

38 ΤΠΟ ΤΠΟΔΙΑΙΡΕΜΕΝΑ ΣΕΜΑΧΙΑ (Split-split-plot) Tο ςχζδιο αυτό είναι μία επζκταςθ του ςχεδίου των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων με τρεισ παράγοντεσ. Τα υποτεμάχια διαιροφνται άλλθ μία φορά και δθμιουργοφνται τα φπο-υποτεμάχια, ςτα οποία τοποκετοφνται τα επίπεδα του τρίτου παράγοντα. Το γραμμικό πρότυπο πειράματοσ φπο-υποδιαιρεμζνων τεμαχίων είναι το εξισ: Υ ijk = μ + r i + α j + (rα) ij + β k + (αβ) jk + ε ijk + γ l + (αγ) jl + (βγ) kl + (αβγ) jkl + ζ ijkl γ κ : θ επίδραςθ τθσ k φπο-υποεπζμβαςθσ (αγ) jl : θ αλλθλεπίδραςθ τθσ j κφριασ επζμβαςθσ και l φπο-υποεπζμβαςθσ (βγ) kl : θ αλλθλεπίδραςθ τθσ k φπο- και l φπο-υποεπζμβαςθσ (αβγ) jkl : θ αλλθλεπίδραςθ τθσ j κφριασ, τθσ k φπο- και l φπο-υποεπζμβαςθσ ζ ijkl : το πειραματικό ςφάλμα που ζχει ςχζςθ με το ijkl φπο-υποτεμάχιο

39 Φπο-υποτεμάχιo Επανάλθψθ 1 θ Επανάλθψθ θ Επανάλθψθ 3 θ Υποτεμάχιo A1 B1 Γ1 A1B Γ3 A1 B3 Γ A3 Β Γ3 A3 Β3 Γ1 A3 Β1 Γ3 A Β1 Γ1 A Β Γ3 A Β3 Γ1 A1 B1 Γ3 A1 B Γ A1 B3 Γ1 A3 Β Γ1 A3 Β3 Γ A3 Β1 Γ A Β1 Γ A Β Γ A Β3 Γ3 Κφριo τεμάχιo A1 B1 Γ A1 B Γ1 A1 B3 Γ3 A3 Β Γ A3 Β3 Γ3 A3 Β1 Γ1 A Β1 Γ3 A Β Γ1 A Β3 Γ A3 Β Γ A3 Β1 Γ1 A3 Β3 Γ3 A1 Β3 Γ1 A1 Β1 Γ A1 Β Γ1 A3 Β Γ1 A3 Β3 Γ3 A3 Β1 Γ A3 Β Γ1 A3 Β1 Γ3 A3 Β3 Γ A1 Β3 Γ A1 Β1 Γ A1 Β Γ A3 Β Γ A3 Β3 Γ1 A3 Β1 Γ1 A3 Β Γ3 A3 Β1 Γ A3 Β3 Γ1 A1 Β3 Γ3 A1 Β1 Γ1 A1 Β Γ3 A3 Β Γ3 A3 Β3 Γ A3 Β1 Γ3 A Β3 Γ1 A Β Γ A Β1 Γ1 A Β Γ A Β3 Γ A Β1 Γ3 A1 Β Γ A1 Β3 Γ3 A1 Β1 Γ1 A Β3 Γ A Β Γ1 A Β1 Γ A Β Γ1 A Β3 Γ1 A Β1 Γ A1 Β Γ1 A1 Β3 Γ A1 Β1 Γ A Β3 Γ3 A Β Γ3 A Β1 Γ3 A Β Γ3 A Β3 Γ3 A Β1 Γ1 A1 Β Γ3 A1 Β3 Γ1 A1 Β1 Γ3

40 Πίνακασ Ανάλυςησ τησ Παραλλακτικότητασ για το ΣΠΟ Πηγή παρ/τασ BE ΜΣ ΘΜΣ Ομάδεσ (R) r 1 ΜΤομ Κφρια τεμάχια (A) a 1 ΜΤ Α (R)X(A) ι υπόλοιπο (a) (r 1)(a 1) ΜΤυπ(α) Υποτεμάχια (B) b 1 ΜΤ Β (A)X(B) (a 1)(b 1) ΜΤ ΑΒ Υπόλοιπο (β) (r 1)a(b 1) ΜΤυπ(β) Υπο-υποτεμάχια (Γ) c 1 ΜΤ Γ (A)X(Γ) (a 1)(c 1) ΜΤ ΑΓ (Β)X(Γ) (b 1)(c 1) ΜΤ ΒΓ (A)X(B)X(Γ) (a 1)(b 1)(c 1) ΜΤ ΑΒΓ Υπόλοιπο (r 1)ab(c 1) ΜΤυπ(γ) c ( ) bc ( ) ( ) rbc ( a 1) c bc c c ( ) ( ) rac ( b 1) rc ( a 1)( b 1) c ( ) rab ( c 1) rb ( a 1)( c 1) ra ( b 1)( c 1) r ( a 1)( b 1)( c 1) ( ) l k ( a ) ( ) a j ( a ) jl kl ( ) jk jkl Σφνολο abcr 1

41 υγκρίςεισ επεμβάςεων για το ςχζδιο των φπο-υποδιαιρεμζνων τεμαχίων Τα τυπικά ςφάλματα που αφοροφν τισ επιδράςεισ των Α και Β είναι τα ίδια με το ςχζδιο των υποδιαιρεμζνων τεμαχίων. Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Γ. *E(c) rab Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Γ ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α. *E(c) rb Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Γ ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Β. *E(c) ra Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Γ ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α και του Β. *E(c) r

42 Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ςτο ίδιο ι διαφορετικό επίπεδο του παράγοντα Γ. [( c -1) E( c) +E(b) ] rac Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Β ςτο ίδιο επίπεδο του παράγοντα Α και του Γ. [( c -1) E( c) +E(b) ] rc Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ςτο ίδιο ι διαφορετικό επίπεδο του παράγοντα Γ. [( c -1) E( c) +E(a) ] rbc Σφγκριςθ επιπζδων του παράγοντα Α ςτο ίδιο ι διαφορετικό επίπεδο του παράγοντα Β και του Γ. [ b( c -1) E( c) + ( b -1)E (b) +E(a) ] rbc

43 > library(agricolae) > f=system.file("external/ssp.csv", package="agricolae") > ssp=read.csv(f) > attach(ssp) > ssp.plot(block,nitrogen,management,variety,yield) ANALYSIS SPLIT-SPLIT PLOT: yield Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) block nitrogen e-05 *** Ea management e-10 *** nitrogen:management Eb variety <.e-16 *** variety:nitrogen ** variety:management variety:nitrogen:management Ec Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * cv(a) = 11.4 %, cv(b) = 7.8 %, cv(c) = 10.7 %, Mean =

44 > fit=aov(yield~block+nitrogen*management*variety+error(block/nitrogen/management)) > summary(fit) Error: block Df Sum Sq Mean Sq block Error: block:nitrogen Df Sum Sq Mean Sq nitrogen Error: block:nitrogen:management Df Sum Sq Mean Sq management Error: Within Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nitrogen ** management e-06 *** variety < e-16 *** nitrogen:management nitrogen:variety e-05 *** management:variety nitrogen:management:variety Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *