ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) 4 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης 14 Φεβρουαρίου 014 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή 14 Μαρτίου 014 Πριν από την λύση των ασκήσεων να μελετώνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των ενοτήτων στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της τέταρτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 5 (Παράγωγος) Ενότητα 6 (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) Ενότητα 7 (Ακρότατα) Ενότητα 8 (Το ανάπτυγμα Taylor) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ. Δάσιου. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα μελετήσετε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στο φάκελο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ στο study.eap.gr ή στην ιστοσελίδα ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Παράγωγοι, Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού, Σειρές Taylor. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι - η κατανόηση της έννοιας της παραγώγου και των εφαρμογών της στον υπολογισμό ορίων, εύρεσης ακρότατων και μελέτης συνάρτησης - η ανάπτυξη και εφαρμογή της πολυωνυμικής προσέγγισης μέσω των σειρών Taylor. Αιτιολογείστε προσεκτικά ΟΛΕΣ τις απαντήσεις σας ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> /7

2 Άσκηση 1 (0 μονάδες) Α) (Μον. 9) Να εξετάσετε πού παραγωγίζονται οι επόμενες συναρτήσεις και να υπολογίσετε την (πρώτη) παράγωγο, όπου αυτή ορίζεται, (a, b >0). i) f( ) =, ii) ( ) (ln ) b / a g=, iii) h ( ) = e at Β) (Μον. 11) Θεωρούμε τις συναρτήσεις (της πραγματικής μεταβλητής t) y1 () t = e sin( bt) και at 1 1 y () t = e cos( bt) (a, b >0). Να βρείτε πίνακα Α τέτοιον ώστε y '( t) y ( t) = A. Ποιές είναι y'( t) y( t) οι ιδιοτιμές αυτού του πίνακα; Δείξτε ότι οι συναρτήσεις y1( t), y1'( t), y1''( t ), είναι γραμμικά εξαρτημένες (υπόδειξη: βρείτε συντελεστές Α, Β έτσι ώστε y1''() t = A y1'() t + B y1() t ). ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> /7

3 Άσκηση (0 μονάδες) 1 Α) (Μον. 6) Δείξτε ότι e 1 για στο (-,1) και η ισότητα ισχύει μόνο για =0. Ποιά είναι η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας στο γράφημα της y = e στο σημείο (0,1); (Υπόδειξη: η ανισότητα ισοδυναμεί με (1 e ) 1 στο (-,1) ). Β) (Μον. 5) Υποθέτουμε οτι f(0) = 0 και ( ) στο διάστημα [0, + ). Δείξτε ότι f ( ) στο διάστημα [0, + ). f για την συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f Γ) (Μον. 9) Ισχύει η πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή σε διάστημα Δ, τότε 1+ f ( 1) + f ( ) f για κάθε 1, στο Δ. Εφαρμόστε σε κατάλληλες συναρτήσεις την n n n πρόταση αυτή για να δείξετε τις ανισότητες: i) , ii) 1+ e 1 e e,, στο [0,+ ), n=,,, 1 + 1, πραγματικοί, iii) 1+ 1ln( 1) + ln( ) ln, + 1, στο (0,+ ). 1 ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 4/7

4 Άσκηση. (0 μονάδες) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια ln ln(1 + ) i) lim ii) lim iii) + 0 sin( ) ln(ln n) iv) lim v) lim, ( n N ) vi) lim 0 n nln n n lim + nln( n) n ln( n) + +, ( n N ) ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 5/7

5 Άσκηση 4 (0 μονάδες) Α) (Μον. 7) Δίνεται η συνάρτηση t t f ( ) = e όπου t θετική παράμετρος. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή t Μ(t) της f t όταν βρίσκεται στο διάστημα [0,+ ). Στην συνέχεια να βρεθεί η τιμή της θετικής παραμέτρου t για την οποία η τιμή Μ(t) γίνεται ελάχιστη. Β) (Μον. 9) Να διερευνήσετε για σημεία καμπής τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 5/ i) f ( ) = +, ii) g( ) = + sin, iii) f ( ) = ln. Γ) (Μον. 4) Να εξετάσετε ύπαρξη ασύμπτωτων ευθειών στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων + ln, ln, e. ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 6/7

6 Άσκηση 5 (0 μονάδες) Α) (Μον. 4) Να υπολογιστούν οι τρείς πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος Maclaurin της sinh e. B) (Μον. 4) Να υπολογιστούν οι τέσσερις πρώτοι μη μηδενικοί όροι του αναπτύγματος Maclaurin της Γ) (Μον. 1) Χρησιμοποιώντας τα αναπτύγματα Maclaurin της εκθετικής, ημιτόνου και συνημιτόνου εξετάστε αν οι συναρτήσεις sin 1 cos( ) 1 e,, επεκτείνονται για =0 με τιμή που θα προσδιορίσετε ώστε να είναι αναλυτικές σε διάστημα γύρω από αυτό. Δώστε το ανάπτυγμα Maclaurin και το αντίστοιχο διάστημα σε κάθε περίπτωση που γίνεται η αναλυτική επέκταση. ΠΛΗ1 ΕΡΓ_ <ΟΝΟΜ/ΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ> 7/7