Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3 η (3/5/3, 3 : )

2 Οι ντήσεις κι οι λύσεις είνι οτέλεσμ συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών του Δικτυκού Τόου mathematica.gr με βάση υλικό ου νρτήθηκε στο mathematica Συνεργάστηκν οι: Στράτης Αντωνές, Ανδρές Βρβεράκης, Βσίλης Κκβάς, Γιώργης Κλθάκης, Φωτεινή Κλδή, Σύρος Κρδμίτσης, Νίκος Κτσίης, Στάθης Κούτρς, Χρήστος Κυριζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Δημήτρης Ιωάννου, Βγγέλης Μουρούκος, Ροδόλφος Μόρης, Μίλτος Πγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοάς, Γιώργος Ρίζος, Μάμης Στεργίου, Σωτήρης Στόγις, Αλέξνδρος Συγκελάκης, Αχιλλές Συνεφκόουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Κώστς Τηλέγρφος, Σωτήρης Χσάης, Το Δελτίο διτίθετι ελεύθερ ό το δικτυκό τόο mathematica.gr

3 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μι ράγουσ της f στο [, β], τότε ν οδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β ) G ( ) Μονάδες 7 A. Ν διτυώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες A3. Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, β] του εδίου ορισμού της; Μονάδες A. Ν χρκτηρίσετε τις ροτάσεις ου κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίλ στο γράμμ ου ντιστοιχεί σε κάθε ρότση τη λέξη Σωστό, ν η ρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η ρότση είνι λνθσμένη. z z ρ, ρ ριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο ) Η εξίσωση = > όου z,z μιγδικοί ριθμοί. β) Αν lim f x <, τότε f(x) < κοντά στο x x x γ) Ισχύει ότι: ημx x γι κάθε x IR Κ z κι κτίν δ) συνx Ισχύει ότι: lim = x x ε) Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί ρόσημο σε κθέν ό τ διστήμτ στ οοί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το εδίο ορισμού της. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Η όδειξη βρίσκετι στις σελίδες του σχολικού βιβλίου. ρ, Μονάδες A. To θεώρημ βρίσκετι στη σελίδ 6 του σχολικού βιβλίου. Α3. O ορισμός βρίσκετι στη σελίδ του σχολικού βιβλίου. Αό : "Η f είνι ργωγίσιμη..., μέχρι f(x) f(β) lim IR " x β x β Α. ) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ 3

4 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οοίους ισχύει: ( z)( z ) + z = B. Ν οδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγδικών z, είνι κύκλος με κέντρο K(, ) κι κτίν ρ =. (μονάδες 5) Στη συνέχει, γι κάθε μιγδικό z ου νήκει στον ράνω γεωμετρικό τόο, ν οδείξετε ότι z 3. (μονάδες 3) Μονάδες 8 B. Αν οι μιγδικοί ριθμοί z, z ου νήκουν στον ράνω γεωμετρικό τόο είνι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγδικό ριθμό, β, γ IR, κι Im(z ) Im(z ) = τότε ν οδείξετε ότι: β = κι γ = 5 Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς o,, οι οοίοι νήκουν στον γεωμετρικό τόο του ερωτήμτος Β. Αν ο μιγδικός ριθμός v ικνοοιεί τη σχέση: v 3 + v + v + = τότε ν οδείξετε ότι: v < Μονάδες 8 ΛΥΣΗ: z z = z z = z, η δοσμένη σχέση γίνετι: Β. Εειδή Θέτoυμε οότε η δοσμένη σχέση γράφετι w=, άρ z =. z + z = z = w [, + ) (), w + w=, με λύσεις w=, w= < κι λόγω της () έχουμε Εομένως ο γ. τ. των Μ(z) είνι κύκλος με κέντρο το Κ(, ) κι ρ =. Αφού το z είνι η όστση του Μ(z) ό το Ο(,) η μέγιστη όστση είνι η OA = OK + KA = + = 3. Άρ z 3

5 Β. Αφού οι μιγδικοί z, z είνι μη ργμτικές ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ = με β, γ IR, λόγω της συνθήκης Im(z ) Im(z ) =, είνι συζυγείς μιγδικοί, έχουν μορφή z = x + yi κι z = x yi Οότε Im(z ) Im(z ) = y + y = y = y = ή y=. Αφού οι εικόνες των z, z νήκουν στον κύκλο (x ) + y =, θ είνι Άρ z = + i κι z = i. (x ) + = x = x = Β3. Χρησιμοοιώντς τους τύους Vieta, έχουμε S = z + z = Re(z ) = β = β =, Είνι v 3 Ρ = z z = = v v εομένως: z = 5 γ = 5. 3 v = v + v + v + v + 3 v + 3 v + 3 Αν υοθέσουμε ότι v τότε 3 v v = 3v + v v 3v + v= 3v + 3v+ v 3v + 3v+, άτοο. ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συνρτήσεις f,g :ΙR ΙR, με f ργωγίσιμη τέτοιες ώστε: (f (x) + x) (f (x) + ) = x, γι κάθε x ΙR f () = κι g (x) = x 3 + 3x Γ. Ν οδείξετε ότι: f (x) = x + x, x ΙR Γ. Ν βρείτε το λήθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης f( g( x) ) = Γ3. Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν x, τέτοιο, ώστε: f(t)dt = f o x x εφx Μονάδες 9 Μονάδες 8 Μονάδες 8 ΛΥΣΗ: Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύο: h(x) = f(x) + x,x ΙR 5

6 Η h είνι συνεχής ως άθροισμ της ργωγίσιμης (άρ συνεχούς) f κι της τυτοτικής. Είνι h() = f() = κι η δοθείσ σχέση γίνετι: h(x)h (x) = x φού h (x) = f (x) +, γικάθεx IR Πολλλσιάζοντς εί δύο έχουμε ισοδύνμ γι κάθε x ΙR Θέτοντς όου x= έχουμε: = h(x)h (x) x h (x) = x h (x) = x + c, c IR c= h () = εομένως h(x) = x + > h(x),γι κάθε x IR. Εειδή η h είνι συνεχής κι δε μηδενίζετι ό κνένν ργμτικό ριθμό, θ διτηρεί ρόσημο. Είνι h(x) > φού h() = >. Εομένως ισχύει γι κάθε x ΙR h(x) = x + f(x) + x = x + f(x) = x + x. x + > x x + > x x x + x> f x > γι κάθε x IR Γ. Είνι + f x = x + x f x = = x + x + Με x x x fx>, x+ > f x f ( x) = f ( x) < γι κάθε x IR x + κι συνεώς η f είνι γνησίως φθίνουσ άρ " ". Έτσι έχουμε: ( ) f = f: ( ) f g x = f g x = f g x =. Η g είνι ργωγίσιμη στο IR (τύος ολυωνυμικής) με 3 3x g ( x) = x + g ( x) = 3x + 3x. Οότε g ( x) = 3x + 3x= 3x( x+ ) = x= ή x= κι ό το ρόσημο του τριωνύμου ροκύτει ότι g ( x) > γι κάθε x (, ) (, + ) κι g ( x) < γι κάθε x (,) κι με g συνεχή στο ΙR ροκύτει ότι: η g είνι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ (, ][,, + ) κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [,]. 3 3 lim g x lim x lim x x x x Με 3x = + = = 6 x g (x) g(x) + + Ò, g( ) = <, g = < Ó Ò + +

7 3 3 lim g x lim x lim x x + x + x + κι 3x = + = =+ g x g x ροκύτει ότι ότι στο διάστημ (,] το ολικό μέγιστο της g είνι < < κι συνεώς η εξίσωση διάστημ (,]. Με g γνησίως ύξουσ κι συνεχή στο [,+ ) ροκύτει ότι ου εριέχει κι το μηδέν, ([ + )) = ) = [ + ) g, g, lim g x, x + 7 g x = είνι δύντη στο άρ υάρχει έν (μονδικό λόγω της μονοτονίς της g στο [,+ ) ) x (, + ) γι το οοίο είνι gx ( ) = Άρ η εξίσωση gx = fgx ( ) = έχει μί λύση κι μάλιστ στο διάστημ x,+. Γ3. Θεωρούμε την συνάρτηση k(x) = f(t)dt f(x )εφx η οοί είνι συνεχής στο διάστημ ΘΕΜΑ Δ φού ροκύτει ό ράξεις συνεχών κι γι την οοί ισχύουν k() = f(t)dt f( )εφ= f(t)dt> Αφού x κι κι x + > x, τότε διότι <. x + > x >, ου ισχύει, άρ f(x) > k = f(t)dt f()εφ = < Τότε σύμφων με το θεώρημ του Bolzano υάρχει τουλάχιστον έν x, τέτοιο ώστε k(x ) = f(t)dt f(x )εφx = x Έστω f : (, + ) ΙR μι ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύουν: Η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) f () = f( + 5h) f( h) lim = h h Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση g (x) = Ν οδείξετε ότι: x f(t) dt, x (, + ) κι > t Δ. f = (μονάδες ), κθώς είσης ότι η f ρουσιάζει ελάχιστο στο x = (μονάδες )., Μονάδες 6

8 Δ. η g είνι γνησίως ύξουσ (μονάδες 3), κι στη συνέχει, ν λύσετε την νίσωση στο ΙR 8x + 6 x + 6 g(u)du > g(u)du (μονάδες 6) 8x + 5 x + 5 Μονάδες 9 Δ3. η g είνι κυρτή, κθώς είσης ότι η εξίσωση ( ) x f(t) dt= ( f )( x ), x> t έχει κριβώς μι λύση. Μονάδες ΛΥΣΗ: Δ. Η f είνι ργωγίσιμη στο άρ: f( + h) f() f( + h) f () = lim = lim = IR h h h h Γι h είνι: f( + 5h) f( h) f( + 5h) f( h) + = = h h f( + 5h) f( h) f( + 5h) f( + ( h)) = = 5 + h h 5h h Είνι κι Άρ Εομένως, f( + 5h) f( + k) lim = lim = h 5h k k f( + ( h)) f( + ε) lim = lim = h h ε ε f( + 5h) f( h) f( + 5h) f( + ( h)) lim = 5 lim + lim = 5 + = 6 h h h 5h h h 6 = = δηλδή f() = Εειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) θ έχουμε: Αν < x< f (x) < f () f (x) <, άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (,] Αν x> f(x) > f() f(x) >, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, + ) Εομένως, η f ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x = f(t) Δ. Η συνάρτηση φ(t) = είνι συνεχής στο διάστημ (, + ) ως ηλίκο συνεχών συνρτήσεων, t οότε η g ορίζετι κι θ είνι ργωγίσιμη σ' υτό. 8

9 f(x) Γι κάθε x (, + ) είνι: g(x) = > γιτί x> κι f(x) > f() =. x Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση x+ G(x) = g(u) du με x (, + ). x Είνι x x+ x+ x, με G(x) = g(u) du+ g(u) du = g(u) du g(u) du >. x Η συνάρτηση G(x) = g(u)du είνι ργωγίσιμη στο (, + ) γιτί η g είνι συνεχής σ υτό. x+ Η συνάρτηση G(x) = g(u)du είνι ργωγίσιμη στο (, + ) γιτί είνι σύνθεση της h(x) = x + με την G(x). Γι κάθε x (, + ) είνι G(x) = g(x+ )(x+ ) g(x) = g(x+ ) g(x) >, φού η g είνι γνησίως ύξουσ κι x+ > x. Άρ η G είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, + ). Είνι 8x + 5 > κι x + 5 > οότε: 8x + 6 x + 6 g(u) du g(u) du G(8x 5) G(x 5) 8x + 5 x + 5 > + > + 8x + 5 > x + 5 x < x 8x < x (x ) < x x x < < x < x (,) (,) x x ΣΧΟΛΙΟ: Αό τον ορισμό της γνησίως ύξουσς συνάρτησης γι τυχί x, x του εδίου ορισμού της με x < x ίρνουμε f(x ) < f( ). Ωστόσο ισχύει κι το ντίστροφο: Αν η f είνι γνησίως ύξουσ κι f(x ) < f(x ) τότε x < x. Η όδειξη είνι ολύ λή με τη την γωγή σε άτοο: Αν υήρχε ζεύγος x, x του εδίου ορισμού της με f(x ) < f(x ) ώστε ν ισχύει x x τότε ν ήτν x < x θ είχμε f(x ) < f(x ), άτοο ενώ ν ήτν x = x τότε ό τον ορισμό της συνάρτησης θ είχμε είσης f(x ) = f(x ), άτοο. Άρ x < x. Δ3. Η g είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο διάστημ (, + ), γιτί η ως ηλίκο ργωγίσιμων συνρτήσεων. f(x) g(x) = x είνι ργωγίσιμη, 9

10 Άρ γι κάθε x (, + ) είνι: ( f(x) ) (x ) ( f(x) )(x ) f (x)(x ) f(x) + g(x) = = (x ) (x ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, x] κι ργωγίσιμη στο (, x). Εομένως, ό το θεώρημ Μέσης Τιμής θ υάρχει ξ (, x) τέτοιος, ώστε f(x) f() f(x) f(ξ) = = x x Η f είνι γνησίως ύξουσ, οότε f(x) ξ < x f (ξ) < f (x) < f (x) x f(x) < f (x)(x ) f (x)(x ) f(x) + > Άρ g(x) > γι κάθε x (, + ), δηλδή η g είνι κυρτή. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύνμ γράφετι ( )g(x) = ( f() )(x ) με x>. Η εξίσωση έχει ροφνή λύση την x =. Η εξίσωση της εφτόμενης της γρφικής ράστσης της g στο σημείο x = είνι: f() y g() = g()(x ) y = (x). Εειδή η g είνι κυρτή, γι x, θ έχουμε: f() g(x) > y g(x) > (x ) ( )g(x) > ( f() )(x) Εομένως, η εξίσωση έχει κριβώς μι λύση, την x = φού >. ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Β. η ΛΥΣΗ: (Με τριγωνική νισότητ): 3 η ΛΥΣΗ: (Αλγεβρικά ) Είνι z =, Έστω z= x+ yi. Τότε : κι : z z z = z 3 ή ενλλκτικά z =(z )+ z + =+= 3. (x ) + y = y = (x ) x x 3 x 3 9 (x ) + y = x x + + y = x + y = x 3 + = = x y x 3 z 9 3

11 Β. η ΛΥΣΗ: Β. Αφού Είνι 3 η ΛΥΣΗ: zi = ισχύει Im(z i) γι i=,. = Im(z ) Im(z ) Im(z ) + Im(z ) + =, συνεώς, ισχύουν οι ισότητες Im(z ) = Im(z ) =. Έτσι, φού Im(z ) Im(z ) =, θ ρέει Im(z ) = κι Im(z ) =, ή Im(z ) = κι Im(z ) =, άρ οι z,z είνι συζυγείς. Aντικθιστώντς στην εξίσωση του κύκλου, βρίσκουμε z = + i, z = i ή z = i, z = + i Οότε, ό τύους του Vieta ισχύουν οι ισότητες β = (z + z ) = κι γ zz z 5 = = =. Η οσότητ Im(z ) Im(z ) εκφράζει το μήκος της ροβολής της χορδής με άκρ τις εικόνες των δύο μιγδικών, στον φντστικό άξον. Η ροβολή υτή έχει μήκος μόνο στην ερίτωση ου οι εικόνες των z,z ορίζουν διάμετρο ράλληλη στον φντστικό άξον, δηλδή z = + i,z = i. Β. η ΛΥΣΗ: Η εξίσωση Συνεώς Τότε οότε w + βw + γ = έχει μιγδικές μη ργμτικές ρίζες φού Im(z ) Im(z ) = Δ= β γ < κι οι ρίζες είνι z, β ± i Δ =. Δ Δ Im(z ) Im(z ) Δ γ β γ β = = = =, γ β = γ = + β (). Είσης ισχύει β ± i Δ z, = = ( β ) ± i Δ = ( β ) + Δ = β 8β γ β = 8β + γ + = (). Αντικθιστώντς στην () την () βρίσκουμε οότε λόγω της () βρίσκουμε γ = 5. 8β + β ( β ) β + + = + = =, Β3. η ΛΥΣΗ: 3 Όμοι όως στην ρώτη λύση κτλήγουμε στο ότι ν 3 ν + 3 ν + 3. Θεωρώ την 3 f(x) = x 3x 3x 3

12 οότε = = f(x) 3x 6x 3 3(x x ) f(x) x +, ή x άρ γι x είνι γνησίως ύξουσ με f() = > Όμως, φού έχουμε ότι f( v ) θ είνι v <. 3 η ΛΥΣΗ: 3 v 3(v + v + ) Αν v τότε, οότε η σχέση ισχύει. Αν v > τότε έχουμε : ν 9 ν = 3 ν + 3 ν + 3 ν 3 ν + 3 ν + 3= 3 ν + ν v 3 3 v 3 v v 3< v v < v η ΛΥΣΗ: 3 3 Είνι: v v v v ( v v ) = = v = v + v + v = v + v + v + v v 3 v + 3 v + 3 v < 3 v + 3 v + v 3 v 3 v <. Η τελευτί νίσωση γράφετι ισοδύνμ (.χ. με σχήμ Horner γι ρ = ) κι φού v v + v + <, v + v + > (ως τριώνυμο του v με Δ = 3< ) θ είνι v <. 5 η ΛΥΣΗ: = = + + v v v v v v 3 3 Αν τώρ v, ό + + () 3 v v v () + + =, άτοο η ΛΥΣΗ: 3 Όμοι όως στην ρώτη λύση κτλήγουμε στο ότι ν 3 ν + 3 ν + 3. Άρ

13 3 3 3( v + v + ) v 3 v + 3 v + 3 v 3 v + v + 3 v v + v + v + v + v + v + v 3 v v + v + v + v + Εειδή το δεξί μέλος της νισότητς είνι ρνητικό, θ ρέει ν είνι ρνητικό κι το ριστερό μέρος οότε θ ρέει v <. 7 η ΛΥΣΗ: Αρχικά είνι v 3 3( v + v + ) ν ( ν 3) 3( v + ) Έστω ότι v ν 6 ν 6 3 v 3 v 5 ν 6 ν ν3 ν3 3 Έτσι λοιόν έχουμε: ( + ) ( + ) άτοο, λόγω της δεύτερης σχέσης. 8 η ΛΥΣΗ: Έστω ν. 3 Η σχέση γράφετι Οότε: ου είνι άτοο. Άρ ν ν ν + ν= ν ν + ν+ = (( ) ) ( ) ( ) = ν ν + ν+ = ν ν + ν + ν ν + ν = ν ν ν+ = ν ν ν+ ν ν ν 3 3 = <. Χρησιμοοιήσμε δύο φορές την νίσωση z + z z z 9 η ΛΥΣΗ: Έστω ότι v. Είνι Είνι Είσης v + v = v v + v = v ο ο + = + ο v v v v v 6 v 6 v 6 v + + = ( ), φού v κι 3 v + ο v + ο 3v+ 3 ( 3 ) 3

14 Αό, (), (3) έχουμε Άρ έινι v <. 6( v ) 3 v v v v, άτοο. 3 Γ η ΛΥΣΗ: Η δοσμένη γράφετι: f(x)f (x) + f(x) + xf (x) + x = x f(x)f (x) + f(x) + xf (x) = f (x) + xf(x) = Άρ υάρχει στθερά c ώστε f(x) + xf(x) = c, γι κάθε x IR. Γι x= ίρνουμε c= άρ f (x) xf(x) f(x) f(x) x + = + =, ' όου f(x) γι κάθε x IR. Ειλέον, φού η f είνι συνεχής στο ΙR, άρ διτηρεί στθερό ρόσημο κι φού f() = >, άρ f(x) > γι κάθε x IR. Τώρ λέον ό την f (x) + xf(x) = θεωρώντς την ως τριώνυμο του f(x) λμβάνουμε ότι γι κάθε x IR συμβίνει είτε f(x) = x + x + είτε f(x) = x x +. Η δεύτερη ερίτωση ορρίτετι κθώς ίρνει ρνητικές τιμές γι οοιοδήοτε x IR κι η ρώτη ίρνει μόνο θετικές τιμές φού Άρ f(x) = x + x > x x = x x. f(x) = x + x γι κάθε x IR ου εληθεύει τις συνθήκες του ροβλήμτος. Ενλλκτικά: Αφού βρίσκουμε f (x) xf(x) f (x) xf(x) x x f(x) x x + = + + = + + = + Γ. η ΛΥΣΗ: 3 η ΛΥΣΗ: Mορεί ν οφευχθεί η εύρεση της μονοτονίς της f, ως εξής: t () f t = t + t= t + = t+ t + = t+ t + = t + t+ t=, οότε f g x = g x = (...) ( ) Ψάχνουμε ν βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης: g(x) + g(x) =.

15 Η εξίσωση υτή είνι ισοδύνμη με την : g(x) + = g(x) + g(x) + = g(x) + g(x) = g(x) + g(x) + g(x) Όμως g(x) = x + x = x + 3x = () κι g(x) x + x x + 3x x ( x + 3) x (3) Θεωρούμε τη συνάρτηση t με τύο t(x) = x + 3x,x Οι ρίζες υτής είνι τόσες όσες κι οι ρίζες του συστήμτος (). 3 Η t είνι συνεχής κι ργωγίσιμη γι κάθε x ως ολυώνυμική με t(x) = 6x(x+ ), γι κάθε x. Ρίζες της ρώτης ργώγου είνι x= κι x=. Εξετάζοντς τη μονοτονί ροκύτει ως η t είνι γνησίως ύξουσ στο 3,,γνησίως φθί νουσ στο [,] κι γνησίως ύξουσ στο [, + ) 3 t, =, κι Είνι: t, = [, ] ([ ]) [ ] ([ )) [ ) t, + =, + φού lim t(x) = +., x + x t (x) t(x) () 3 + Ò + + Πρτηρούμε ως το μηδέν νήκει μόνο στο τρίτο σύνολο εομένως, λόγω συνέχεις κι μονοτονίς, θ υάρχει x (, + ) ώστε f(x ) =. Εομένως κι η ρχική εξίσωση έχει μί μόνο θετική ρίζ. Ó Ò + η ΛΥΣΗ: Θεωρούμε τη συνάρτηση h με h(x) = f(g(x)),x IR. Η συνάρτηση h είνι συνεχής κι ργωγίσιμη στο ΙR ως σύνθεση των συνεχών κι ργωγίσιμων συνρτήσεων f,g, με h (x) = f (g(x))g (x) = f (g(x))3x(x + ). Έχουμε ότι f(g(x)) < γι κάθε x IR. Τότε h(x) = x= ή x= κι h (x) > 3x(x + ) < < x <. Συνεώς 5 η h είνι γνησίως φθίνουσ στο A = (, ) κι ως συνεχής ισχύει h(a ) = +, + 5

16 5 η h είνι γνησίως ύξουσ στο A = [,] κι ως συνεχής ισχύει h(a ) = +, + η h είνι γνησίως φθίνουσ στο A 3 (, ) h(a 3) =, +. = + κι ως συνεχής ισχύει Συνεώς h(a ), h(a ), h(a 3) κι η h γνησίως φθίνουσ στο A 3, οότε η εξίσωση h(x) = f(g(x)) = έχει μονδική ρίζ. Γ3. η ΛΥΣΗ: Θέλουμε η εξίσωση = x f(t)dt f x εφx υτή μεττρέετι ισοδύνμ ως εξής: ν έχει μί τουλάχιστον λύση στο,. Η εξίσωση f(t)dt= f x συν x f(t)dt+ημxf x = ημ x f(t)dt = ημx x x x συν x x Θεωρούμε λοιόν τη συνάρτηση Gx = ημx f t dt η οοί είνι ργωγίσιμη στο διάστημ, (άρ κι συνεχής στο ίδιο διάστημ) διότι ροκύτει ό ράξεις μετξύ ργωγισίμων συνρτήσεων. Είνι () G= ημ f t dt= = ημ f t dt= G εομένως ικνοοιούντι στο, οι ροϋ οθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle κι συνεώς υάρχει έν τουλάχιστον x, ώστε: Με () G x =. x x G x = ημx f t dt = συνx f t dt+ f x ημx x x συνx f() t dt+ f x ημx = συνx f() t dt= f x ημx συνx f() t dt= f x ημx συνx>,φoυ x, x f() t dt= f x εφx x 6

17 Δ. η ΛΥΣΗ (γι την νίσωση): 8x + 6 Θέτουμε h(x) = g(t)dt κι ρτηρούμε ότι h( x) = h(x) δηλδή η h είνι άρτι. 8x + 5 = + +. Η h είνι ργωγίσιμη με h (x) 6x ((g(8x 6) g(8x 5) ) Άρ h() = κι h(x) > ν κι μόνο ν x>, (φού η g είνι γνησίως ύξουσ), δηλ. η h είνι γνησίως φθίνουσ στο (,] κι γνησίως ύξουσ στο [, + ). x Η ζητούμενη νίσωση είνι ισοδύνμη με την νίσωση h( x ) > h. Οότε: x x h( x ) > h x > x ( x ) > x (,) (,) 3 η ΛΥΣΗ (γι την νίσωση): Δ3. Αν η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ κι a,b,a+ h,b + h Δ με h>, τότε γι a< a+ h< b< b+ h ισχύει a+ h b+ h g(x)dx < hg(a + h) < hg(b) < g(x)dx, λόγω της μονοτονίς της g. a b Στην ερίτωση ου a< b< a+ h< b+ h εργζόμστε ομοίως στ ξέν διστήμτ [a,b],[a+ h,b + h]. Έτσι τελικά ισχύει η ισοδυνμί: η ΛΥΣΗ (γι την εξίσωση): a+ h b+ h g(x)dx < g(x)dx a < b.. Η εξίσωση γράφετι ισοδύνμ g( x) g ( x ) a b =. Ύρξη: Αφού g() =, μι ροφνής λύση είνι το x =. Μονδικότητ: Ας υοθέσουμε ότι υάρχειβ ώστε g(β) = g()(β ). g(β) g() Τότε g() = = g(ξ) γι κάοιο ξ στο νοικτό διάστημ με άκρ τ, β, άτοο φού η g β είνι, ως γνησίως μονότονη... Δ3. 3 η ΛΥΣΗ (γι την εξίσωση): Η εξίσωση έχει ροφνή ρίζ την x = κι η εξίσωση γράφετι γι x 7

18 x f(t) f() = = t x dt f() (x ) Όου γ νήκει στο (,x ) ή ή [ ] x f(t) dt t x, ου είνι άτοο. Άρ μονδική λύση το x =. g γν.υξ g(x) g() f() = g ( γ ) =g γ= x x, κι ροκύτει ό εφρμογή του Θ.Μ.Τ στο γι την g στο [,x ] Δ3. η ΛΥΣΗ (γι την εξίσωση): Θεωρούμε τη συνάρτηση h με x f(t) h(x) = ( ) dt (f() )(x ), x >. t a Η συνάρτηση h είνι συνεχής κι ργωγίσιμη στο (, + ) ως... με f(x) f(x) f() f() f() h(x) = ( ) (f() ) = ( ) = ( ) g (x) g () x x Αν x < έχουμε g(x) < g() (φού η g είνι κυρτή, άρ η g είνι γνησίως ύξουσ), οότε h(x) <,x (,), δηλδή η h είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ]. Αν x > έχουμε g(x) > g() (φού η g είνι κυρτή, άρ η g είνι γνησίως ύξουσ), οότε h(x) >,x (, + ), δηλδή η h είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ). Αφού x = είνι ρίζ της h(x) = υτή είνι μονδική, φού το x = είνι θέση ολικού ελχίστου της h.. ΣΧΟΛΙΑ: Γι το Α ) Λ (...με κτίν ρ, σελ. 99) β) Σ (σελ. 65) γ) Σ (σελ. 7) δ) Λ (Είνι ίσο με, σελ. 7) ε) Σ (σελ. 9) 8