Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Transcript

1 Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ. Αν (<0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. Μονάδες 0 Α.. Έστω µί συνάρτηση συνεχής σ έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέµε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ; Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Γι κάθε µιγδικό z ισχύει z β. Αν υπάρχει το lim ( > 0, τότε (>0 κοντά στο xo. x x o γ. H εικόν (Δ) ενός διστήµτος Δ µέσω µις συνεχούς κι µη στθερής συνάρτησης είνι διάστηµ. δ. Ισχύει ο τύπος ( x ) =x x-, γι κάθε x R. β β ε. Ισχύει η σχέση gʹ( dx = [ ( g( ] ( ʹ( g( dx, όπου, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β]. β

2 Α.. Σχολικό βιβλίο σελ. 5. Α.. Σχολικό βιβλίο σελ.7 Β.. Λ β. Σ γ. Σ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ o Θεωρούµε τη συνάρτηση (=(x) µε x.. Ν ποδείξετε ότι η είνι. Μονάδες 6 β. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη συνάρτηση - της κι ν βρείτε τον τύπο της. γ. i) Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την ευθεί y=x. Μονάδες 4 ii) Ν υπολογίσετε το εµβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κι -. Μονάδες 7 (=(x) µε x.. (=(x)>0, γι κάθε x>, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο [, ), οπότε η είνι κι, άρ υπάρχει -. β. Έστω y=( (x) =y (x) =y, πρέπει y, άρ x= y (φού x 0, λόγω του ότι x ) έχουµε x= y. Άρ - (y)= y µε y. Τελικά - (= x µε D = [, ) γ. i) Επειδή οι C, C είνι συµµετρικές ως προς την y=x τ σηµεί τοµής των C, C κι y=x βρίσκοντι πό τη λύση δύο εκ των εξισώσεων (= - (, (=x, - (=x. Λύνουµε την (=x (x) =x (x) =x (x) (x)=0 (x)(x)=0 (x)(x)=0.

3 Εποµένως x= ή x=. Λύνουµε την (= - (, (x) = x (x) = x (x) 4 = ( x ) (x) 4 (x)=0 (x)[(x ) ]=0 (x) = 0 ή (x) = οπότε x= ή x=. Επειδή η (= - ( έχει τις ίδιες λύσεις µε την (=x, η - (=x έχει επίσης τις ίδιες λύσεις,οπότε τ κοινά σηµεί των C, C κι της y=x είνι τ Α(, ())=A(, ), B(, ())=B(, ). ii) Εφόσον τ σηµεί τοµής είνι Α, Β το ζητούµενο εµβδό είνι: Ε(Ω) = ( ( dx = ( x dx (λόγω συµµετρίς των C, C µε την y= = ( x ) x dx = ( x ) ( x ) dx = ( x )( x ) dx Άρ x (x)(x) Ε(Ω) = ( x 5x 6) dx = x x x = (9 5 8) ( 0 ) = = =9 4 =5 =. Άρ Ε(Ω)= τ.µ. ΘΕΜΑ o Δίνοντι οι µιγδικοί ριθµοί z, z, z µε z. Ν ποδείξετε ότι: i. z. ii. z z 4 κι Re(z z ). = κι zzz=0. Μονάδες 9 β. Ν βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z στο µιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος του τριγώνου που σχηµτίζουν υτές.

4 . i. ος τρόπος: z z = z z z z = z z = z (zz)( z )=(zz)( z ) 4z z z z z z z z =4z z z z z z z z z z =z z z z ληθές. Οµοίως z άρ z. ος πρόπος: z µε z=zz z =, οπότε z = z (zz)( z )=(zz)( z ) z z z z zz z =4z z z z z z z z z z z=z z z z z z z z= z z z=0 () Από zz=z έχουµε z = = άρ z = (zz)( z )= z z z z zz z = z z z= z z z=0, οπότε η () ισχύει. Όµοι δείχνουµε ότι z. ος τρόπος Αν (ΑΒ) τότε (ΑΒ) =(zz)( z )= =z z z z zz z =(z z z)=(z z z). Όπως προηγούµεν πό zz=z προκύπτει z z z= άρ (ΑΒ) =()= άρ (AB)= κι όµοι (ΒΓ)=(ΑΓ)=. ii. ος τρόπος z ( ) z = =4 άρ Έχουµε z 4 (zz)( z ) 4 z z z 4. z z z z z z z z z 4 Re(z z ) 4

5 Re(z z ) Re(z z ). ος τρόπος z z 4. Επειδή τ A(z), B(z) σηµεί του κύκλου C: z =, ΑΒ χορδή συνεπώς (ΑΒ) ρ (ΑΒ) z z 4. z β. Αν A(z), B(z), Γ(z), επειδή οι µιγδικοί z, z, z επληθεύουν την εξίσωση z =, ο γεωµετρικός τόπος των Α, Β, Γ είνι ο κύκλος C: z = ή C: x y =. Από i) ερώτηµ: z (AB)=(AΓ)=(ΒΓ) συνεπώς το ΘΕΜΑ 4o Δ ΑΒΓ είνι ισόπλευρο. x Δίνετι η συνάρτηση (= lnx. x. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού κι το σύνολο τιµών της συνάρτησης. β. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση (=0 έχει κριβώς ρίζες στο πεδίο ορισµού της. Μονάδες 5 γ. Αν η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g(=lnx στο σηµείο Α(, ln) µε >0 κι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης h(=e x στο σηµείο Β(β, e β ) µε β R τυτίζοντι, τότε ν δείξετε ότι ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης (=0. Μονάδες 9 δ. Ν ιτιολογήσετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g κι h έχουν κριβώς δύο κοινές εφπτόµενες. Μονάδες x. Είνι (= ln x γι ν ορίζετι η συνάρτηση πρέπει x κι x x>0, άρ το πεδίο ορισµού της Α=(0,) (, ).

6 Η είνι πργωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της σν πράξεις µετξύ πργωγισίµων µε ( x )ʹ( x ) ( x )( x )ʹ x x (= = = ( x ) x ( x ) ( x ) <0 γι x κάθε x (0, ) κι (, ). x Είνι lim ( = lim( ln = ( ) = x 0 x 0 x x lim ( = lim( ln = lim( ( x ) ln = ( ) 0 =, x x x x x άρ επειδή γνήσι φθίνουσ στο (0, ), ((0,))= (lim (, lim ( ) = (, ) = R x x 0 Ακόµη lim ( = lim( ( x ) ln = ( ) 0 = x x x x κι lim ( = lim ( ln = lim ( ( x ) ln = ( ) =, x x x x x οπότε φού η είνι γνήσι φθίνουσ στο (, ) είνι ((, ))= ( lim (,lim () = (, ) = R x x Εποµένως το σύνολο τιµών της είνι το R. β. Επειδή ((0,))=R κι 0 Ρ κι συνεχής υπάρχει x (0,) ώστε (x)=0 που είνι µονδικό φού είνι γνήσι φθίνουσ. Επίσης επειδή ((, ))=R κι 0 R κι συνεχής υπάρχει x (, ) ώστε (x)=0 που είνι µονδικό φού είνι γνήσι φθίνουσ. Άρ η έχει δύο µόνο ρίζες στο πεδίο ορισµού της. γ. Η εφπτοµένη της g(=lnx στο Α(, ln) µε >0 επειδή g πργωγίσιµη µε g (= x είνι : ψln= ( x ) ή ψ= x ln () Η εφπτοµένη της h(=e x στο Β(β, e β ) µε β R επειδή h πργωγίσιµη µε h (=e x είνι ψe β =e β (xβ) ή ψ=e β xe β βe β () Γι ν τυτίζοντι οι δύο ευθείες πρέπει: β = = = = e β ln ln ln ντικθιστώντς e β = β β ln = e βe ln = β ln έχουµε: ln= ( ln ) ln= ln ln =

7 ln ( ) = ln = ln ( ) = ln = ln = 0, που σηµίνει ότι είνι ρίζ της εξίσωσης (=0. δ. Επειδή τώρ το σύστηµ των εξισώσεων γι ν τυτίζοντι οι δύο εφπτοµένες β = e έχει δύο µονδικές λύσεις γι το πό (β) β β ln = e βe x (0,) κι x (, ) οπότε υπάρχουν κι δύο τιµές γι το β πό την e β =, κι εποµένως έχουµε δύο κοινές εφπτοµένες. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ) Τ σηµερινά θέµτ, έχουν χρκτηριστικό ότι δεν κλύπτουν µεγάλο κι σηµντικό µέρος της ύλης. Απιτούσν περισσότερο λγεβρική πρά συνθετική ικνότητ µε ποτέλεσµ εύκολ οι υποψήφιοι ν οδηγηθούν σε διέξοδο λόγω πράξεων. β) Οι πρπάνω λύσεις είνι ενδεικτικές.