Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto."

Μέλαινα Θεοδοσίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ

2 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι είνι γνησίως μονότονη. Είνι χρήσιμο το εξής συμπέρσμ: Η f είνι γνησίως ύξουσ ν κι μόνο ν η f είνι γνησίως φθίνουσ. Ολικά κρόττ συνάρτησης

3 3 Συνάρτηση 1-1. Η ντίστροφη μις συνάρτησης Εάν η συνάρτηση f:αr είνι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ, τότε είνι 1-1. Έστω f:αr μι 1-1 συνάρτηση. Θέτοντς fa fx/ x A, έχουμε: f:αf(a). 1 Ορίζετι μι νέ συνάρτηση που κλούμε f, με f 1 : fa A, ως εξής: f 1 y x ν κι μόνο ν y f x. 1 Η f λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι είνι κι υτή 1-1. Έχουμε: 1 fx y f y x, οπότε f 1 1 f x x, x κι f f y y, y f A. A

1-1. Έστω f:αr μι 1-1 συνάρτηση. Θέτοντς fa fx/ x A, έχουμε: f:αf(a).

4 4 Όρι Όριο συνάρτησης στο x ο

5 5 Εάν x x f g κοντά στο xo κι τ όρι υπάρχουν, τότε πάλι είνι Στις σχέσεις 1, 2, 3, 4, η ύπρξη των lim fx xx κι lim gx xx εξσφλίζει κι την ύπρξη των ορίων που εμφνίζοντι στο ριστερό μέλος της κάθε ισότητς. Στην 5, ν υπάρχει το τότε υπάρχει κι το κι έχουμε lim fx xx lim xx την νφερόμενη ισότητ. Εάν όμως είνι lim fx ότι το όριο lim fx xx x υπάρχει κι είνι επίσης ίσο με. x fx, τότε προκύπτει Στη σχέση 6, εάν υπάρχει κάποιο πό τ όρι που εμφνίζοντι τότε υπάρχει κι το άλλο κι ισχύει η νφερόμενη ισότητ. Ισχύει κι άρ ν τότε

Στην 5, ν υπάρχει το τότε υπάρχει κι το κι έχουμε lim fx xx lim xx την νφερόμενη ισότητ.

6 6 Κριτήριο Πρεμβολής Άμεση συνέπει της πρπάνω πρότσης είνι η πρότση κτά την οποί «Εάν fx gx γι x κοντά στο xo κι lim gx, τότε lim fx Δικιολόγηση: f x g x προκύπτει ότι Από την x x x fx gx g γι x κοντά στο xo κι άρ πό το κριτήριο πρεμβολής προκύπτει ότι lim f x. x x x x.» Τριγωνομετρικά όρι Χρήσιμη είνι η πρότση κτά την οποί: Γι x, π ισχύουν οι 2

x x fx gx g γι x κοντά στο xo κι άρ πό το κριτήριο πρεμβολής προκύπτει ότι lim f x.

7 7 ημx < x < εφx. Όριο συνάρτησης στο, άπειρο όριο Εάν > 1, τότε

8 8 ενώ ν < < 1, τότε Ειδικότερ ισχύουν: lim lnx, lim lnx, lim e x, lim e x x x. x x

9 9 Συνέχει Συνέχει συνάρτησης σε σημείο Συνέχει συνάρτησης σε διάστημ

10 1 Θεώρημ Bolzano Προκύπτουν τ κόλουθ: ) Εάν Δ διάστημ, x1,x2 Δ κι f:δr συνεχής συνάρτηση με fx 1 fx 2, τότε υπάρχει xo μετξύ των x 1, x 2 με fx. Δικιολόγηση: Το συμπέρσμ υτό προκύπτει ν εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano στο κλειστό διάστημ με άκρ τους x 1, x 2. (Προσοχή: το ότι είνι x1 x2 προκύπτει πό το ότι fx 1 fx 2.) β) Εάν f:[,β]r συνεχής κι f fβ fx., τότε υπάρχει xo[,β] με Δικιολόγηση: Εάν είνι f() = ή f(β) =, τότε το συμπέρσμ ισχύει γι x β. x ή γι

Δικιολόγηση: Το συμπέρσμ υτό προκύπτει ν εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano στο κλειστό διάστημ με άκρ τους x 1, x 2.

11 11 Διφορετικά θ είνι f fβ θεώρημ Bolzano. κι το συμπέρσμ έπετι πό το γ) Που σημίνει ότι: Εάν Δ διάστημ, f:δr συνεχής συνάρτηση κι x τότε δ) είτε είνι f(x) > γι κάθε xδ, είτε είνι f(x) < γι κάθε xδ. f γι κάθε xδ, Θεώρημ Ενδιμέσων Τιμών Εάν Δ διάστημ, f:δr συνεχής συνάρτηση κι x1,x2 Δ με fx 1 fx 2, τότε γι κάθε η μετξύ των f x 1, fx 2, υπάρχει xo μετξύ των x 1, x 2 έτσι, ώστε f x η. Δικιολόγηση: Έχουμε το συμπέρσμ εφρμόζοντς το θεώρημ ενδιμέσων τιμών στο διάστημ με άκρ τους x 1, x 2. Θεώρημ Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιμής

12 12 Προσοχή: Τ,x, β x 2 1 δεν είνι κτ νάγκη μονδικά. Εάν η f:[,β]r είνι συνεχής, προκύπτει ότι Α = f() κι Β = f(β). Εάν η f είνι γνησίως ύξουσ, τότε f, β A, B f,fβ. Εάν η f είνι γνησίως φθίνουσ, τότε f, β B, A fβ,f. Εάν η f:[,β)r είνι συνεχής, τότε: ενώ εάν είνι γνησίως ύξουσ έχουμε, β A, B f, εάν είνι γνησίως φθίνουσ έχουμε, β B, A f. Όμοι εάν η f:(,β]r είνι συνεχής.

13 13 Προσοχή: όπου το διάστημ είνι νοικτό, τ Α, Β μπορούν ν πάρουν κι τις «τιμές» - κι +.

14 14 Η έννοι της πργώγου Διφορικός Λογισμός Η εξίσωση της εφπτομένης ε της Cf στο σημείο Α(xo, f(xo)) είνι Το προηγούμενο συμπέρσμ το χρησιμοποιούμε κι με τη μορφή: «Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο σημείο xo, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο xo».

προηγούμενο συμπέρσμ το χρησιμοποιούμε κι με τη μορφή: «Αν μι

15 15 Πράγωγοι βσικών συνρτήσεων

16 16 Κνόνες πργώγισης Ισχύουν επίσης οι τύποι: κθώς κι οι γενικότεροι τύποι

17 17 όπου το u είνι συνάρτηση του x, δηλδή u = u(x).

18 18 Βσικά Θεωρήμτ Θεώρημ Rolle Εάν η f δεν είνι στθερή, τότε επειδή είνι συνεχής, πίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή σε κάποιο ξ του (,β). Το σημείο υτό είνι κάποιο πό τ ξ του θεωρήμτος.

19 19 Εάν η συνάρτηση f:rr είνι πργωγίσιμη κι ισχύει f x fx, γι κάθε xr, τότε fx c e x, xr, όπου c πργμτική στθερά. Γενικότερ, έχουμε το εξής συμπέρσμ: Εάν R κι η συνάρτηση f:rr είνι πργωγίσιμη με την ιδιότητ f x fx, γι κάθε xr, τότε fx c e x, xr, όπου c πργμτική στθερά. Δικιολόγηση: Γι xr έχουμε διδοχικά τις ισότητες: f x fx, f x e x fx e x, x fx e x f x e, x f x e, f x e x c, c στθερά, f x c e x.

Γενικότερ, έχουμε το εξής συμπέρσμ: Εάν R κι η συνάρτηση f:rr είνι πργωγίσιμη με την ιδιότητ f x

20 2 Προσοχή: 1. Η ισότητ f x κρόττο στο x. δε σημίνει κτ νάγκη ότι η f προυσιάζει 2. Εάν η f:[,β]r είνι πργωγίσιμη κι προυσιάζει κρόττο στο ή στο β, τότε δεν έπετι κτ νάγκη ότι f ή f β ότν το σημείο κροτάτου νήκει στο, β.. Αυτό ισχύει 3. Εάν η f:[,β]r είνι συνεχής στο [,β] κι πργωγίσιμη στο (,β), τότε γνωρίζουμε ότι υπάρχουν,x, β f x 2 x fx f 1 x 2 1 τέτοιοι, ώστε, γι κάθε x[,β]. Εάν ξ είνι οι ρίζες της εξίσωσης f x 1,ξ2,, ξ ν στο (,β), τότε οι x, περιέχοντι στο σύνολο που ποτελείτι πό τους 1 x 2, β, ξ1,ξ2,, ξ ν.

21 21 Προσέξτε το (iii). Αν f x στο x x,β,, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,β). Αντίστοιχ, ν f x στο x x,β φθίνουσ στο (,β).,, τότε η f είνι γνησίως Μπορούμε κόμη ν ποδείξουμε τις επόμενες χρήσιμες νισότητες: ) 1 1 lnx x 1, x γι x κι β) x 1, γι κάθε x R. e x Δικιολόγηση: ) Η δεύτερη νισότητ ποδεικνύετι στην εφρμογή 2 της σελ. 266 του σχολικού βιβλίου. 1 Γι την πόδειξη της πρώτης νισότητς, θέτουμε στην lnx x 1 το x στη θέση του x κι πίρνουμε: Όμως 1 ln x lnx, άρ 1 ln x 1 1 x

22 22 ή β) Με 1 - lnx 1, x 1 1 lnx. x x t e, είνι x lnt κι η προς πόδειξη νισότητ γράφετι που ισχύει λόγω του (). e x x 1 t 1 lnt,

23 23 Κυρτές κι Κοίλες Συνρτήσεις Έστω Δ διάστημ, xo εσωτερικό σημείο του Δ κι f:δr κυρτή συνάρτηση. Τότε γι κάθε xδ ισχύει η σχέση f x fx fx x Ειδικότερ, γι xδ κι x x έχουμε: f. x x fx fx x. x Εάν η f είνι κοίλη, λλάζει η φορά στις πρπάνω νισότητες.

24 24 Εάν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι προυσιάζει κμπή στο xo, τότε η εφπτομένη της Cf στο xo διπερνά τη Cf κι το xo ντιστοιχεί σε θέση τοπικού κροτάτου της f. Ασύμπτωτες

25 25 Κνόνες de l Hospital Ότν εφρμόζουμε τον κνόν, πρέπει ν προσέχουμε ν έχουμε προσδιοριστί της μορφής ή πργωγίσιμες συνρτήσεις. Το 2 ο θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές κι οι όροι του κλάσμτος ν είνι,,.

26 26 Ο κνόνς μπορεί ν εφρμοσθεί πολλές φορές. Δηλδή εάν κτά τον υπολογισμό των ορίων προσδιοριστί ή, τότε lim xx f g f lim xx g x x x x, f lim x g x f lim x g x x x. x x οδηγούμεθ σε Οι υπόλοιπες προσδιόριστες μορφές μπορούν ν νχθούν σε κάποι πό τις ή. Συγκεκριμέν: 1) Οι προσδιοριστίες της μορφής ή έχουμε ν υπολογίσουμε το όριο lim fx gx lim f x x x κι lim gx ή x x Γράφοντς fx gx x. x f νγόμστε στη μορφή. 1 gx x εμφνίζοντι ότν κι γνωρίζουμε ότι Εάν γνωρίζουμε ότι π.χ. είνι f(x) >, τότε μπορούμε ν γράψουμε f x x g gx οπότε νγόμστε στη μορφή. 1 fx 2) Στην προσδιοριστί οδηγεί ο υπολογισμός του ορίου lim fx gx xx, ότν lim fx lim gx xx Γράφουμε x x. gx gx f x e ln fx κι νγόμστε στη μορφή Προσοχή: εδώ θ πρέπει ν είνι f(x) >.. 3) Στην προσδιόριστη μορφή lim f xx x gx, ότν lim fx 1 κι lim gx xx 1 οδηγεί ο υπολογισμός του ορίου x x.

27 27 Γράφουμε κι νγόμστε στη μορφή. gx gx f x e ln fx

28 28 Ολοκληρωτικός Λογισμός Πράγουσ συνάρτηση Αόριστο ολοκλήρωμ

29 29 Ορισμένο ολοκλήρωμ Έστω f:[,β]r συνεχής συνάρτηση. Το β x f dx εκφράζει το εμβδόν του χωρίου που ορίζετι πό τον άξον x x, τις ευθείες x =, x = β κι τη γρφική πράστση της f. Προσοχή : το μέρος που βρίσκετι πάνω πό τον άξον x x το πίρνουμε με +, ενώ το μέρος που βρίσκετι κάτω πό τον x x το πίρνουμε με -. Ορίζουμε:

30 3 Συνέπει του συμπεράσμτος υτού είνι το εξής: Αν f,g:[,β]r είνι συνεχείς συνρτήσεις με f(x) g(x) γι κάθε x[,β] κι υπάρχει xo[,β] με f(xο) > g(xο), τότε β x dx β x f g dx. Δικιολόγηση: Εφρμόζουμε το προηγούμενο συμπέρσμ γι την h(x) = f(x) g(x).

31 31 Έστω f:[,β]r συνεχής συνάρτηση κι g:[γ,δ][,β] πργωγίσιμη. Ορίζουμε την G:[γ,δ]R με Τότε gx G x ftdt. x gx gx G f. Δικιολόγηση: x Γι την F:[,β]R με F x ftdt, έχουμε ότι F x fx. Όμως είνι G(x) = F(g(x)) κι πό τον κνόν λυσίδς, έχουμε: x gx gx fgx gx G F. Πρόκειτι γι πολύ σπουδίο ποτέλεσμ. Ουσιστικά το θεώρημ μς λέει ότι ν g t ft, τότε β ftdt gβ g. Σε άλλη μορφή μπορεί ν εκφρσθεί με την ισότητ β g tdt gβ g,

32 32 όπου η g είνι συνεχής συνάρτηση. Η πργοντική ολοκλήρωση γι το ορισμένο ολοκλήρωμ εκφράζετι μέσω της ισότητς Η ολοκλήρωση με λλγή μετβλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ εκφράζετι πό την Προσοχή: Το τελευτίο συμπέρσμ ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η g είνι γνησίως μονότονη συνάρτηση. Πολύ χρήσιμ είνι τ πρκάτω: 1) fxdx 2) f xdx 2 fx, εάν η f είνι περιττή dx, εάν η f είνι άρτι. Δικιολόγηση 1)Η f είνι περιττή, άρ f x fx, γι κάθε x,. Στη συνέχει «σπάμε» το ολοκλήρωμ ως εξής: Θέτουμε I xdx fxdx fx f dx. x κι γι τον υπολογισμό του Ι εκτελούμε το μετσχημτισμό f dx

33 33 Είνι κι ενώ ότν ότν Συνεπώς το ολοκλήρωμ Ι γράφετι x t. dx = -dt x είνι t, x είνι t. t dt f tdt f x I f dx, Όπου στο τελευτίο ολοκλήρωμ θέσμε ντί t το x Το ρχικό ολοκλήρωμ λοιπόν, γίνετι: διότι f xdx f xdx fxdx f x fxdx x fx f =., 2) Η f είνι άρτι, άρ γι κάθε x,. x fx f, Όπως πριν «σπάμε» το ολοκλήρωμ: κι θέτουμε Εκτελούμε το μετσχημτισμό f xdx fxdx fx x I f dx. x t, dx οπότε κι ενώ Άρ ότν ότν dx = -dt x είνι t, x είνι t. t dt f tdt f xdx fx I f dx.

34 34 Το ρχικό ολοκλήρωμ γίνετι: xdx fxdx fxdx 2 fx f dx.

Σχετικά έγγραφα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές