Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ"

Σπύρος Λιακόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς

2 o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β]. Αν G εινι μι ργουσ της f στο [, β]. τοτε ν οδειξετε οτι : β f(t) dt = G(β) - G() Μονδες 7 A. Ν διτυωσετε το Θεωρημ Μεσης Τιμης του Διφορικου Λογισμου (Θ.Μ.Τ.) Μονδες A3. Ποτε λεμε οτι μι συνρτηση f εινι ργωγισιμη σε εν κλειστο διστημ [, β] του εδιου ορισμου της; Μονδες A. Ν χρκτηρισετε τις ροτσεις ου κολουθουν, γρφοντς στο τετρδιο σς διλ στο γρμμ ου ντιστοιχει σε κθε ροτση τη λεξη Σωστο, ν η ροτση εινι σωστη, η Λθος, ν η ροτση εινι λνθσμενη. ) Η εξισωση z z = ρ, ρ > ριστνει τον κυκλο με κεντρο το σημειο Κ(z ) κι κτιν ρ, οου z, z μιγδικοι ριθμοι. β) Αν lim f(x) <, τοτε f(x) < κοντ στο x. x x γ) Ισχυει οτι: ημx x γι κθε x συνx - δ) Ισχυει οτι: lim = x x ε) Μι συνεχης συνρτηση f διτηρει ροσημο σε κθεν ο τ διστημτ στ οοι οι διδοχικες ριζες της f χωριζουν το εδιο ορισμου της. Μονδες

Ν χρκτηρισετε τις ροτσεις ου κολουθουν, γρφοντς στο τετρδιο σς διλ στο γρμμ ου ντιστοιχει σε κθε ροτση τη λεξη Σωστο, ν η ροτση εινι σωστη, η Λθος, ν η ροτση εινι λνθσμενη.

3 o ΛΥΣΗ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) Α. Συμφων με το θεωρημ, Αν f εινι μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ Δ κι εινι εν σημειο του Δ, τοτε η συνρτηση F(x) = x f(t) dt, x Δ, εινι μι ργουσ της f στο Δ. Δηλδη ισχυει: ( x f(t) dt )' = f(x), γι κθε x Δ. η συνaρτηση a F(x) = x f(t)dt εινι μι ργουσ της f στο [,β]. Εειδη κι η G εινι μι ργουσ της f στο [,β], θ υρχει c τετοιο, ωστε G(x) = F(x) + c () Αο την (), γι x = a, εχουμε G() = F() + c = G(x) = F(x) + G() ου γινετι γι x = β: G(β) = F(β) + G() F(β) = G(β) - G() Α. Αν γι μι συνρτηση f ισχυουν: Εινι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διστημ [,β]. β f(t)dt + c = c, οοτε c = G(a) κι η () f(t) dt = G(β) - G(). Εινι ρ γ ω γ ι σ ι μ η στο νοικτο διστημ (,β). Τοτε υρχει ε ν τ ο υ λ χ ι σ τ ο ν ξ ου νηκει στο (,β) τετοιο ωστε: f(β) - f() f'(ξ) = β - Α3. Μι συνρτηση f, εινι ργωγισιμη σε εν κλειστο διστημ [, β] του εδιου ορισμου της, οτν εινι ργωγισιμη στο (, β) κι ειλεον: f(x) - f() f(x) - f(β) lim κι lim. + - x x - x β x - β Α. ) Λθος β) Σωστο γ) Σωστο δ) Λθος ε) Σωστο

Δηλδη ισχυει: ( x f(t) dt )' = f(x), γι κθε x Δ. η συνaρτηση a F(x) = x f(t)dt εινι μι ργουσ της f στο [,β].

4 o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 3 Θεωρουμε τους μιγδικους ριθμους z γι τους οοιους ισχυει: ( z )(z - ) + z - = B. Ν οδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοος των εικονων των μιγδικων z, εινι κυκλος με κεντρο Κ(, ) κι κτιν ρ = (μονδες 5) Στη συνεχει, γι κθε μιγδικο z ου νηκει στον ρνω γεωμετρικο τοο, ν οδειξετε οτι z 3 (μονδες 3) Μονδες 8 B. Αν οι μιγδικοι ριθμοι z, z ου νηκουν στον ρνω γεωμετρικο τοο εινι ριζες της εξισωσης w + βw + γ =, με w μιγδικο ριθμο, β, γ, κι Im(z ) Im(z ) = τοτε ν οδειξετε οτι: β = - κι γ = 5 Μονδες 9 B3. Θεωρουμε τους μιγδικους ριθμους,, οι οοιοι νηκουν στον γεωμετρικο τοο του ερωτημτος Β. Αν ο μογδικος ριθμος ν ικνοοιει τη σχεση: ν 3 + ν + ν + = τοτε ν οδειξετε οτι : ν < Μονδες 8

5 o ΛΥΣΗ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) Β. (z )( z - ) + z - = z + z - - = z - = z - = z - = - ορρ. Δηλδη, ο γεωμετρικος τοος των εικονων των μιγδικων z, εινι κυκλος με κεντρο το K(,) κι κτιν ρ =. Γι κθε z ου νηκει στον ιο νω κυκλο εινι: Β. z = z + z + z - = = + = 3 z 3 Aφου z, z ριζες της w + βw + γ = εινι συζυγεις με z = z Ακομη z + z = - β κι z z = γ () z + z = - β z + z = - β Re(z ) = - β Re(z ) = - β () z z = γ z z = γ z = γ (3) z = z = (z )( z - ) = z z - (z + z ) + = z - Re(z ) + 3 = (,3) γ + β + 3 = () z Im(z ) Im(z ) =,z συζυγεις Im(z ) = Im(z ) = Im(z ) = ± z = - β ± i = - ( β + ) ± i = ( β + ) + = β + = β = - Η (): γ + (- ) + 3 = γ = 5 Β3. ν 3 + ν + ν + = ν 3 = - ν - ν - ν 3 = - ν - ν - Β ν 3 = ν + ν + ν + ν + 3 ν + 3 ν + 3 (5) Εστω ν ν ν 3 ν ν 3 3 ν + ν ν 3 3 ν + 3 ν + ν Ατοο λογω της (5) Ετσι ν < ν ν ν 3 3 ν + ν ν ν 3 3 ν + 3 ν + ν 3 3 ν + 3 ν + 3

z = z + z + z - = = + = 3 z 3 Aφου z, z ριζες της w + βw + γ = εινι συζυγεις με z = z Ακομη z + z = - β κι z z = γ () z + z = - β z + z = - β Re(z ) = - β Re(z ) = - β () z z = γ z z = γ z = γ (3) z

6 3o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 5 Θεωρουμε τις συνρτησεις f,g:, με f ργωγισιμη τετοιες ωστε: (f(x) + x)(f (x) + ) = x, γι κθε x f() = κι 3 3x g(x) = x + - Γ. Ν οδειξετε οτι: f(x) = x + - x, x. Γ. Ν βρειτε το ληθος των ργμτικων ριζων της εξισωσης f(g(x)) = Γ3. Na οδειξετε οτο υρχει τουλχιστον εν x (, ) τετοιο, ωστε: f(t) dt = f(x - ) εφx x - Μονδες 9 Μονδες 8 Μονδες 8

7 3o ΛΥΣΗ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 6 Γ Εινι (f(x) + x)(f (x) + ) = x (f(x) + x)(f(x) + x) = x Θεωρουμε τη συνρτηση h(x) = f(x) + x, x. h(x) = f(x) + x h(x)h (x) = x h συνεχης h (x) x h (x) x ' = ' = + c h (x) = x + c () θροισμ συνεχων f() = Γι x = η () : h () = + c (f() + ) = c = c c = H () γινετι : h (x) = x + h(x) = Oμως x + () h(x), γιτι ν υρχει x τετοι ωστε h(x ) =, τοτε h(x ) = f() = (f(x ) + x )(f'(x ) + ) = x h(x )(f'(x ) + ) = x = x = h(x ) = f(x ) + x = f() + = Aτοο, οοτε η h δεν μηδενιζετι στο (κι συνεχης), δηλδη διτηρει ροσημο στο. Ομως γι x = h() = f() + h() = > Αρ η h(x > κι η () δινει: h(x) = x + f(x) + x = x + Γ. Εινι f(x) = x + - x f() = f(g(x)) = f(g(x)) = f() H f εινι ργωγισιμη στο (ρξεις ργωγισιμων) με (x + )' x x - x + x x = x < x + f'(x) = ( x + - x)' = - = - = < x + x + x + Eτσι η f εινι γν. φθινουσ στο, ρ κι στο, οοτε f - 3 3x 3 f(g(x)) = f() g(x) = x + - = x + 3x - = 3 Θεωρουμε τη συνρτηση φ(x) = x + 3x -, x με φ(x) = φ(x) = 6x + 6x = x(x + ) = x = η x = - Πινκς ροσημου της φ κι μονοτονις φ x φ (x) x + 6x. H φ γν.υξουσ στ (-, -] κι [, + ) H φ γν.φθινουσ στ [-, ] φ(x)

h(x), γιτι ν υρχει x τετοι ωστε h(x ) =, τοτε h(x ) = f() = (f(x ) + x )(f'(x ) + ) = x h(x )(f'(x ) + ) = x = x = h(x ) = f(x ) + x = f() + = Aτοο, οοτε η h δεν μηδενιζετι στο (κι συνεχης), δηλδη

8 Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 7 φ γν.υξουσ στο Α = (-,- ] φ(α ) = ( lim φ(x),φ(- )] = (-,- 7] x - φ γν.φθινουσ στο Α = [-,] φ(α ) = [φ(- ),φ()] = [- 7,- ] φ γν.υξουσ στο Α = [,+ ] φ(α ) = [φ() lim φ(x)) = [-,+ ) 3 3 x + Δικρινουμε ερι τωσεις Στο (-, - ] η εξισωση δεν εχει ριζ. Στο [-, ] η εξισωση δεν εχει ριζ. Στο [, + ) η εξισωση εχει κριβως μι ριζ, φου το νηκει στο φ(α 3 ) = [-, + ), οοτε υρχει x (, + ) τετοιο ωστε φ(x ) = ου εινι μονδικο φου η φ εινι γν.υξουσ στο Α 3. Τελικ η εξισωση f(g(x)) = εχει μονδικη ριζ ου νηκει στο (, + ). Γ3: Θεωρουμε τη συνρτηση Η Η(x) συνεχης στο f συνεχης στο κι η Η(x) = f(t) dt - f(x - ) εφx x -, φου x f(t) dt ργωγισιμη στο. Οοτε η εινι ργωγισιμη στο (συνθεση ργωγισιμων κι συνεχης στο, οοτε κι συνεχης στο, εφ = f(x) >, γι κθε x Η() = f(t) dt - f(- ) εφ = f(t) dt > < f(t) dt = Η( ) = f(t) dt - f() εφ = - < εφ =, f() = Οοτε ο θεωρημ Bolzano x f(t) dt, υρχει τουλχιστον εν x (, ) τετοιο, ωστε: H(x) = f(t) dt - f(x - ) εφx = f(t) dt = f(x - ) εφx x - x - f(t) dt x - x - ) ρ

Στο [, + ) η εξισωση εχει κριβως μι ριζ, φου το νηκει στο φ(α 3 ) = [-, + ), οοτε υρχει x (, + ) τετοιο ωστε φ(x ) = ου εινι μονδικο φου η φ εινι γν.υξουσ στο Α 3.

9 o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 8 Εστω f:(,+ ) μι ργωγισιμη συνρτηση γι την οοι ισχυουν: Η f' εινι γνησιως υξουσ στο (, + ) f() = f( + 5h) - f( - h) lim = h h Θεωρουμε εισης τη συνρτηση x f(t) - g(x) = dt, x (, + ) κι > a t - Ν οδειξετε οτι: Δ. f () = (μονδες ), κθως εισης οτι η f ρουσιζει ελχιστο στο x = (μονδες ). Μονδες 6 Δ. η g εινι γνησιως υξουσ (μονδες 3), κι στη συνεχει, ν λυσετε την νισωση στο 8x + 6 x + 6 8x + 5 x + 5 g(u) du > g(u) du (μονδες 6) Δ3. η g εινι κυρτη, κθως εισης οτι η εξισωση x f(t) - ( - ) dt = (f() - )(x - ), x > t - εχει κριβως μι λυση. Μονδες 9 Μονδες

f () = (μονδες ), κθως εισης οτι η f ρουσιζει ελχιστο στο x = (μονδες ). Μονδες 6 Δ.

10 o ΛΥΣΗ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) 9 Δ Eινι f() = f( + h) - f() f( + h) - f() f'() = lim = lim h h h h f( + 5h) - f( - h) f( + 5h) - f( - h) - lim = lim - lim = h h h 5f'() + f'() = 5h = u f( + 5h) - f( + u) - lim = lim 5 = 5 f' () 6f'() = h u -h = u f'() = f( + 5h) - f( + u) - lim = lim = - f'() h h h u u - u h h h h h u u Αν < x < : f (x) < f () f'() = f'() = f (x) <, οοτε η f γν.φθινουσ στο (,] Αν x > : f (x) > f () f (x) >, οοτε η f γν.υξουσ στο [,+ ) Δηλδη η f ρουσιζει ελχιστο γι x =. Δ f(t) - H εινι συνεχης στο (, + ), οοτε η g ργωγισιμη στο (, + ), με t - f(x) - g (x) = >, aφου x - f γν.υξουσ στο [, + ) οοτε f(x) f() = (το «=» ισχυει γι x = ) Ετσι Γι x > εινι g (x) >, δηλδη η g εινι γν.υξουσ στο (, + ). Εστω η συνρτηση h(x) = x+ x g(u) du, x > 8x + 6 x + 6 x + 6 8x + 5 x + 5 x + 5 g h'(x) = g(x + ) - g(x) > h γν.υξουσ Ετσι x + > x g(u) du = h(x + 5), x + 5 > 8x + 6 g(u) du = h(8x + 5), 8x + 5 > 8x + 5 h(8x + 5) > - x > - < x < Δ3 g (x) = g(u) du > g(u) du h x > h(x + 5) 8x + 5 > x + 5 8x - x > x ( - x ) > f(x) - x - f'(x)(x - ) - (f(x) - ) ργωγισιμη στο (, + ), με g (x) = (x - ) Θ.Μ.Τ. στο [, x] γι την f: υρχει ξ (, x) τετοιο ωστε: f() = f(x) - f() f (ξ) = (x - )f'(ξ) = f(x) - x - Οοτε η (): ()

φθινουσ στο (,] Αν x > : f (x) > f () f (x) >, οοτε η f γν.υξουσ στο [,+ ) Δηλδη η f ρουσιζει ελχιστο γι x =.

11 Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) f' ξ < x f'(ξ) < f'(x) f'(x) ( x - ) - (x - ) f'(ξ) f'(x) - f'(ξ) g"(x) = = > g κυρτη στο (, + ) (x -) x - x > Εινι x f(t) - ( - ) dt = (f() - )(x - ) ( -)g(x) = (f() - )(x - ) () t - f(a) - g'(a) = f() - = (a -)g'(a) (3) a - Η δοσμενη εξισωση λογω των (),(3) γινετι ισοδυνμ : ( - )g(x) = (a - )g'(a)(x - ) g(x) = g'(a)(x - ) Η εξισωση της εφτομενης της C στη θεση x = εχει εξισωση : g g() = (ε) : y - g() = g'()(x - ) (ε) : y - g() = g'()(x - ) g Η C βρισκετι νω ο την (ε) (g κυρτη), εκτος του σημειου εφης. Ετσι g(x) y g(x) g'()(x - ) με την ισοτητ ν ισχυει γι x =. Δηλδη η εξισωση g(x) = g'()(x - ) εχει μονδικη λυση την x =.

- )g'(a)(x - ) g(x) = g'(a)(x - ) Η εξισωση της εφτομενης της C στη θεση x = εχει εξισωση : g g() = (ε) : y - g() = g'()(x - ) (ε) : y - g() = g'()(x - ) g Η C

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3