Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Transcript

1 νάλυση Γ ΛYKEIOY Μθημτικά Προσντολισμού 9 - Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά 65 Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις

2 Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι ληροφορικής Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 9.7 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή μέσω διδικτύου ροορίζετι γι σχολική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιοοίηση ρκεί ν μην λλάξει η μορφή της Μίλτος Πγρηγοράκης Μθημτικός M.Ed. Χνιά 9

3 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 67 ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Μι συνάρτηση : R R με έχει την ιδιότητ οδείξετε ότι. γι κάθε R. Ν. Έστω μι συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της στο R. Αν κι F γι κάθε R, τότε Ν ρείτε τον τύο της. * Έστω F μι ρχική της συνεχούς συνάρτησης : R R, με την ιδιότητ: F F F γι κάθε R, όου. Ν οδειχθεί ότι: Α) F F μι τουλάχιστον ρίζ στο R., Β) η εξίσωση έχει. Bρείτε συνάρτηση : R R ν ισχύει συν, R κι.5 Έστω : R R συνεχής συνάρτηση κι F μι ράγουσά της στο R. Αν F F F, R κι, R, ν λύσετε την εξίσωση.6 N ρείτε τις ρχικές συνρτήσεις της συνάρτησης με R.7 Ν ρείτε μι ρχική της συνάρτησης ln,,.8 Αν η συνάρτηση με την ιδιότητ y y,,y R έχει ρχική, τότε υτή είνι της μορφής c R.9 Στη δεκετί του 98 ο γκόσμιος ρυθμός κτνάλωσης ετρελίου σε εκτομμύρι ρέλι ετησίως δινότν ό τον τύο R(t) = k (ln)t, όου t είνι ο ριθμός των ετών μετά το 98. Στις ρχές του 98 ο ρυθμός ήτν εκτ. ρέλι τον χρόνο. Ν ρείτε: Α) την γκόσμι κτνάλωση ετρελίου t χρόνι μετά το 98, Β) σε όσ εκτομμύρι ρέλι νερχότν η γκόσμι κτνάλωση ετρελίου κτά τη ερίοδο ( ln,7). Μι ετιρεί έχει διιστώσει ότι το ορικό κόστος λειτουργίς της είνι, 5 8 δολάρι την ημέρ, όου είνι ο ριθμός των μονάδων ροϊόντος ου ράγοντι ημερησίως. Αν η ετιρεί έχει άγι έξοδ δολάρι την ημέρ, ν ρείτε: Α) το ημερήσιο κόστος ργωγής μονάδων ροϊόντος, Β) την ύξηση του κόστους, ν ντί μονάδων ρχθούν 6 μονάδες ροϊόντος σε μι ημέρ.. Νερό φεύγει ό την ρύση έτσι ώστε t min μετά το άνοιγμ της ρύσης ν χύνετι με ρυθμό 8t 5 dm/min. Πόσο νερό έφυγε κτά την διάρκει των τριών ρώτων λετών ;. 'Εν κινητό κινείτι άνω σε άξον κι η τχύτητά του σε cm/sc τη χρονική στιγμή t δίνετι ό τον τύο υ(t) t(t ). Αν τη χρονική στιγμή t το κινητό ρίσκετι σε όστση cm ό την ρχή των ξόνων, ν ρεθεί η θέση του τη στιγμή t Μ. Πγρηγοράκης 9-

4 68 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ TO ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ. H συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ισχύει ότι d, d 5 ν υολογίσετε τ : udu, d, d κι d. Αν ()d 5, g()d, ρείτε τ: Α) [() g()]d Β) [g() () 5]d.5 Αοδείξτε ότι 5 d d.6 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,,γ,δr δ γ δ d d d γ d ν δείξετε ότι:.7 Έστω ότι ()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το g t dt d.8 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,, γ, δr γ δ γ δ d d d d δ γ ν δείξετε ότι: d d.9 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,,γ,δr δ γ δ d d d γ d. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,,γ,δr t d dt t dt d δ δ γ γ ν οδείξετε ότι: ν οδείξετε ότι:. Έστω ότι ()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το g t dt d

5 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 69 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( ) (t )dt (ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ). Βρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: ln tdt K G F t dt N ln t t t ln tdt dt ln t. Ν ρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: M() dt ln t, F t dt 5, G H() t t dt ln t dt t. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R, ν ρείτε όου υάρχει την ράγωγο των συνρτήσεων G F t dt με, t H dt t t dt.5 Ν ρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο της συνάρτησης t dt G G G ω t du t dt K t ημ t dt.7 N οδείξετε ότι: συν(t) συν(t) dt dt,, R.8 Ν ρεθεί η F ν Α) Β) ln t F ln tdt dt u y du dy F συν tdt ημ tdt.9 Αν συνεχής στο R, ν δείξετε ότι: t u du dt u u du t Α) u ημ ημu du συνu (t)dt du u Β). Υολογίστε το t dt d t. Ν οδειχτεί ότι ντιστρέφοντι οι συνρτήσεις: κι F() t dt G() ημ t dt. Δείξτε ότι δεν υάρχει συνάρτηση, συνεχής y στο R ώστ ν ισχύει: tdt,,y R y.6 Ν ρείτε τη δεύτερη ράγωγο της y F() dt dy t ημ t Μ. Πγρηγοράκης 9-

6 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ d Fd F F Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ:. Α) ( ) d Β) ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ d Γ) 5 ημ συν d ημ 6 5 d 6 d. Α) 6 d Β) d Γ) 5 d d.5 A) d B) ( ) d Γ) d 6 d.6 Α) ln d B) d Γ) ( )d d.7 Α) d Β) ln g u du - με ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: u g g ΣΥΝΘΕΣΗ g() g ()d.8 A) ( ) d B) ή ln(ln ) d Γ) d ln d.9 Α) d Β) d Γ) ( ) d d. Α) d Β) 7 6 d Γ) 5 d ln ln(ln ) ln d. Α) d Β) d Γ) d ln( ) d. Α) 5 d Β) ( ) d Γ) (ln ) d d. Α) ln( ) d Β) d Γ) 6 d d

7 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 7. Α) ln d Β) d Γ) ln ln d ( ln ) d Ε) ln d.5 Α) d Β) 6 d Γ) 6 6 d d.6 Α) 7 ( ) d Β) d Γ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Περίτωση: θμός P < θμός Q. Ελέγχω ρώτ μήως ο ριθμητής είνι η ράγωγος του ρονομστή δηλδή ν P() Q () Q() Q() = Q'() d Q() Q P τότε d d ln Q() ln Q() ln Q() ΜΟΡΦΗ: ν κ λ μ γ d, με.7 Ν υολογισθεί το ολοκλήρωμ ΛΥΣΗ γ. Τότε εργάζομι όως στο ράδειγμ: d. 5 6 Η συνάρτηση () έχει A R {,} κι είνι 5 6 () ( )( ) = ln Q() c. Ανζητούμε τους A,B R, ώστε ν ισχύει A B, γι κάθε R {,}, όου έχουμε (A B ) A B ( )( ), R {,}. Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθε R {,}, ν κι μόνο ν Εομένως, A B ή, A B 5 7 d d d... 5 ln 7 ln A 5. B 7 ν Αν ο ρονομστής είνι της μορφής Q ρ ρ... ρ, τότε:... ν P() A Α Α Q() ρ ρ ρ ν..8 Α) d Β) Β) 7 d Γ) d 6 7 d λ P() ΜΟΡΦΗ: d με P() ολυώνυμο θμού κι γ, τότε κάνουμε τη διίρεση κλ κ γ.9 Α) d Β) d Γ) d d ΡΙΖΕΣ.5 Α) d Β) d Γ) d d Ε) d Μ. Πγρηγοράκης 9-

8 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ λ, d Τότε: κ ΜΟΡΦΗ:.5 Α) d Β) u, lnu, du d ( συνήθως κτλήγω σε ρητή ) d Γ) d d.5 Α) d Β) d Γ) d ( ) ln( ) d ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ.5 Α) ()g '()d ()g() ()g()d d Β) d.5 Α) ( ) ( )d Β) ( )d Γ) συνd.55 Α) ( )d Β) d Γ) d d.56 Α) ln d Β) ln( )d Γ) ln ( )d ln d.57 Α) ln( )d Β) ln( )d Γ) 5 ln( 9)d ΓΕΝΙΚΕΣ.58 Α) ( ) d Β) d d Γ) d 5.59 Α) ln d Β) σφ ln( )d Γ) 6 d ln( ) d.6 Α) d Β) d Γ) d d.6 Α) ( ) d Β) ( ) d Γ) d ( ) d ( )

9 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 7.6 Α) d Β) ln d Γ) d d.6 Α) ln d Β) d Γ) d d.6 Α) d Β) d Γ) (ln )d d.65 Α) d Β) d Γ) d d ημ.66 Α) d Β) d Γ) d d.67 Α) d Β) ln d Γ) ln d 5 d.68 Α) d Β) d Γ) d d.69 A) d Β) ln d Γ) d ln ln d.7 Α) d Β) ln d Γ) d d d Β).7 Α) d Γ) d ln d.7 Α) d Β) d Γ) 6 ( )d d.7 Α) d Β) ln d Γ) d d.7 Α) log d Β) d Γ) d d Μ. Πγρηγοράκης 9-

10 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.75 Α) ln d Β) d Γ) ln d ln d.76 A) d B) -t (- t) dt d Γ) ln d d.77 Α) ln d Β) d Γ) d ln d.78 Α) d Β) d Γ) ln - d d.79 Ν υολογίσετε τ I, J ότν I d J d.8 A).8 Α) ln d B) d Β) d Γ) 5 εφ εφ d Γ) - t t dt d d.8 Α) συν ημ d Β) ημ συν d Γ) t dt d.8 Α) d Β) d.8 Α) d Β) ln d **.85 Α) d ** Β) 6 5 d.86 Α) d Β) ln d ln,.87 Εστω η συνάρτηση (),. Ν ρείτε το d

11 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού d κι ρείτε τ.88 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο,. δείξτε ότι d ημ συνd, 6 συν d, συν ημ 6 6 συνt ημt I dt, J dt συνt ημt συνt ημt ln,.89 Δίνετι η συνάρτηση (), ολοκλήρωμ I ()d κι στη συνέχει ν υολογίστε το I.9 Έστω η συνάρτηση, συν,. Ν ρείτε γι οι τιμή του R ορίζετι το. Ν ρείτε το.9 Βρείτε τις ρχικές συνρτήσεις των συνρτήσεων d κι g, R ημ, R.9 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ ημ d ημ συν d.9 Ν οδειχτεί ότι: συν ημ ημ συν ημ συν d.9 Αν η συνάρτηση :[,] (, ) έχει συνεχή ράγωγο κι,, ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I () () d ().95 N οδειχτεί ότι ln d ln 6.96 Αν ν ν Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ d κι d..97 Έστω ( ), (, ), g μι συνεχής συνάρτηση στο R κι >, ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ a ln I g( ( )) d a.98 Αν ( ), (, ), ν οδείξετε ότι dt dt t (t ) t Μ. Πγρηγοράκης 9-

12 76 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.99 Εστω η ν () ν.6 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση γι την οοί ισχύει, γι κάθε R Ν Α) Αοδείξτε ότι η είνι συνεχής στο Β) Ν ρείτε το d ln,. Έστω η συνάρτηση (), A) Ν ρείτε γι οι τιμή του R ορίζετι το ολοκλήρωμ το υολογίσετε. I ()d κι στη συνέχει ν οδείξετε ότι Α), γι κάθε R. Β) 5 6 ( 5)d ()d..7 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, με,,. Αοδείξτε ότι: d d d. Ν ρείτε τις ρχικές των συνρτήσεων g ln k ημ.8 Αοδείξτε ότι d ln, λ, g ημ. Έστω ργωγίσιμη συνάρτηση :, R με, κι. Ν ρείτε το d. Έστω μι συνάρτηση με συνεχή κι γι την οοί ισχύει ( ) (), ν υολογίσετε το (). () () ημd. Αν. Αν η συνάρτηση έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο ν οδείξετε ότι d.5 Έστω ργωγίσιμη στο R με κι, R.Υολογίστε το, d.9 * Αν ότι η είνι συνεχής κι ότι, ν οδείξετε d. Aν η συνάρτηση είνι συνεχής στο, ν οδείξετε ότι ημd κι ν υολογίσετε το I. ***Yολογίστε το ημ d t. Έστω η συνάρτηση ημ d dt d t, συν, Α) Αοδείξτε ότι η είνι συνεχής στο R Β) Ν ρείτε το d

13 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σουδών 77. Έστω συνάρτηση, ργωγίσιμη στο, κι γι την οοί ισχύει ότι: ()d () κι () c ( ) Α. Ν υολογίσετε την τιμή του c. Β. Ν δείξετε ότι Γ. Ν υολογίσετε το ( )d ()d ()d. Aν η συνάρτηση είνι συνεχής στο,, δείξτε ότι d d.5 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ισχύει t dt.δείξτε ότι.6 Δείξτε ότι R d d,.7 * Αν, g ργωγίσιμες στο R, κι υάρχουν, R ώστε g γι κάθε R, δείξτε ότι:.8 Αν (t)dt g() g() λ, λ R κι lim, ρείτε το λ κι υολογίστε το I d.9 Αν συνεχής στο R κι ισχύει ότι () t dt ( ) ν ρεθεί το t t dt () t dt. Δίνετι η ργωγίσιμη συνάρτηση : R R με σύνολο τιμών το R η οοί ικνοοιεί τη σχέση οδείξετε ότι, γι κάθε R. Ν t dt ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ... Τζουρς κτευθυνσης 5 7 /8. Δείξτε ότι ν η συνάρτηση :, R εινι συνεχης κι εριττη τότε ()d ενώ ν είνι συνεχής κι άρτι τότε ()d ()d. Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R με την ιδιότητ ( ) ( ) () γι κάθε R. Ν οδειχθούν τ εξής: Α) Η συνάρτηση, είνι άρτι, Β) ()d ()d Η συνάρτηση : R R είνι συνεχής, άρτι κι έχει ερίοδο T. Ν οδείξετε ότι: T T T ()d ()d. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι άρτι. Ν οδείξετε ότι: A) B) (ημ)d (ημ)d (συν)d (συν)d.5 Ν οδείξετε ότι d συν Μ. Πγρηγοράκης 9-

14 78 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.6 Ν ρείτε τον τύο συνάρτησης, ου είνι ορισμένη κι συνεχής στο, κι ισχύει ότι: () d.7 Ν ρεθεί ο τύος της συνάρτησης ου είνι συνεχής στο R κι ισχύει ότι d d d.8 Ν ρείτε τον τύο της συνάρτησης : R R γι την οοί ισχύει ότι κι tdt γι κάθε R.9 Η συνάρτηση : R R είνι συνεχής κι γι ισχύει ότι t t tdt κάθε R Ν ρείτε τον τύο της. Βρείτε συνεχή συνάρτηση g:, ώστε ν ισχύει ότι g ( ) g ( ) R d d. Η συνάρτηση είνι ορισμένη κι συνεχής στο κι, κι γι κάθε, ισχύει ln ( ) d t ln ( t) dt 5 Α) Ν δείξετε ότι,, Β) Ν ρείτε το ( ) d ( ) ( ). Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση :[,] R γι την οοί ισχύει ότι () () () 5 () γι κάθε [,]. N οδείξετε ότι. Aν F είνι μι ρχική της συνάρτησης : R R κι γι κάθε R ισχύει ότι F F, ν ρείτε τον τύο της συνάρτησης. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση : R R ν ισχύει ότι () ( ) F, R όου () F είνι ρχική της y με F..5 Δίνετι η συνάρτηση, συνεχής στο[,] γι την οοί ισχύουν: d κι d. Ν δείξετε ότι: ().6 * Έστω F μι ρχική της συνεχούς συνάρτησης : R R, με την ιδιότητ: F F F, [,] γι κάθε R, όου. Ν οδειχθεί ότι: Α) F F, Β) η εξίσωση έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο R..7 * Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ F γι κάθε R. Αν, ν οδείξετε ότι

15 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σουδών 79 ΥΠΑΡΧΕΙ).8 Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο R κι ισχύει κι d. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ, ώστε ξ ξ.9 **Η συνάρτηση είνι συνεχής στο,. Ν οδείξετε ότι υάρχει, d o o ώστε. Έστω συνάρτη συνεχής στο R. Δείξτε ότι υάρχει ξ, ώστε t dt ξ. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι ισχύει ( ) d (,) ώστε o. Ν οδείξετε ότι υάρχει. Αν συνεχής κι γνήσι ύξουσ κι g συνεχής κι γνήσι φθίνουσ στο, με g t dt ν δείξετε g κι tdt ότι υάρχει γ, ώστε γ gγ. Έστω συνάρτηση, με συνεχή ράγωγο στο R κι d ώστε d ξ ξ,. Έστω :,,, ργωγίσιμη στο, με κι. Αοδείξτε ότι υάρχει R συνάρτηση συνεχής στο d. Δείξτε ότι υάρχει ξ, :.5 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση :, R με. Ν οδείξετε ότι η t dt έχει μι εξίσωση : τουλάχιστον λύση στο, ξ.6 *** Έστω συνάρτηση συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση t dt t dt t dt έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ.7 Αν Ι Ι ν ν ν ν ν Ι εφ d, ν N *, δείξτε ότι, v κι ν υολογίσετε το Ι 5. ν.8 Αν Iν d, ν Ν ν οδείξετε ότι I ν ν ν I ν, ν Ν*.9 Αν δείξετε ότι I.5 Αν οδείξετε ότι: I ν ln ν ν ν ln d, ν Ν* I ν, ν Ν* ν I συν d με ν Ν* ν I I ν ν ν ν ν ν με ν 9-

16 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.5 Ν οδείξετε τις νισότητες: Α) Β) Γ) d 5 ημ ln γι κάθε ln d.5 Δείξτε ότι 5 5 d d.5 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι, R τότε () d ().5 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, με γι κάθε,. Ν οδείξετε ότι γι κάθε, t dt t t dt.55 Η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνήσι 6 ύξουσ στο R, δείξτε ότι tdt.56 Αν ( ) ( )ln,,τότε : i) Ν μελετήσετε την ως ρος τη μονοτονί, τις σύμτωτες της σύνολο τιμών της ii) Ν οδείξετε ότι η εξίσωση t dt C κι ν ρείτε το, έχει μί κριώς θετική ρίζ iii) iv) Δείξτε ότι ( ) ln, Δείξτε ότι t ( t )dt ( t )dt.57 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, με γι κάθε, d d d d. Ν οδείξετε ότι.58 Η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R. Δείξτε ότι tdt t dt.59 Η συνάρτηση είνι κυρτήέ στο, με. Ν οδείξετε ότι t dt.6 Έστω η συνάρτηση, συνεχής στο,. d d Δείξτε ότι.6 Η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο R. Ν δείξετε ότι d d.6 Η συνρτήσεις κι g είνι συνεχείες στο, με γι κάθε, η g είνι γνησίως ύξουσ,. Ν οδείξετε ότι,, g t dt g t t dt.6 Αν n-, γι κάθε,, ν οδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ) κι στη συνέχει δείξτε ότι ln ( ) ln ( ) d

17 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 8 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.6 Α) Η συνάρτηση είνι ορισμένη στο,, -, με συνεχή ρώτη ράγωγο στο,. Δείξτε ότι () () ()d ()d 5 Β) Αν ρείτε το Γ) N δείξετε ότι ()d. ln d d.65 Έστω η συνάρτηση ημ, Ν ρείτε το ολοκλήρωμ I ()d.66 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση : R R τέτοι ώστε γι κάθε R. A) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ B) Ν δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον o,. τέτοιο ώστε o o o Γ) Ν υολογίσετε το d.67 Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο R κι ισχύει κι ln () γι κάθε R. Α) Αοδείξτε ότι η ντιστρέφετι. Υολογίστε το. I ()d ()d.68 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R γι την οοί ισχύει ότι κι ln ( ) γι κάθε R Α) Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ. Β) Λύστε τις εξισώσεις, Γ) Υολογίστε το d d.69 Έστω συνάρτηση. με. Δείξτε ότι Α ln ln ln ln γι Β η ντιστρέφετι στο, Γ Αν η ντίστροφη της είνι συνεχής, τότε d d.7 Α) Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R. Ν δείξετε ότι οι εξισώσεις ( ) κι είνι ισοδύνμες στο D D Β) Αν την εξίσωση: ( ).7 Αν το t dt, R, ν λύσετε ( ). ( ) d ln, (,+ ), ν υολογίσετε ΟΡΙΑ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ***(ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ).7... Τζουάρς δεσμες 8.6/.7 Ν υολογίσετε το ln lim.7 Ν υολογίσετε το dt lnt lim t dt Μ. Πγρηγοράκης 9-

18 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΜΒΑΔΑ.7 Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων g, κι h().75 Δίνετι η συνάρτηση (). Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C, την λάγι σύμτωτη της, κι τον άξον C τις ευθείες.76 Δίνετι η συνάρτηση με τύο () ln. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της γρφικής ράστσης της στ σημεί με τετμημένες κι. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω, ου ερικλείετι ό τη C κι τις δύο εφτόμενες..77 Έστω E(λ) το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κμύλη y κι τις ευθείες, λ (λ ), τον άξον. Ν ροσδιορίσετε την ευθεί ου χωρίζει το ράνω χωρίο σε δύο ισεμδικά χωρί..78 Δίνετι η συνάρτηση () ( ) Α) Ν υολογίσετε το εμδόν Et του μέρους του ειέδου, τ σημεί M, y του οοίου, ικνοοιούν τις σχέσεις: t με t κι y () Β) Ν υολογίσετε το.79 Αν lim E(t) t κι F ρχική της με F ν ρείτε το εμδο του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της F κι τους άξονες, yy.8 Έστω η συνεχής συνάρτηση με D ώστε () κι R γι κάθε R. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C τον κι τις ευθείες κι.8 Έστω οι συνρτήσεις, g με A Ag R / / κι ισχύει g γι κάθε R. Αν γνωρίζουμε ότι η C h της συνάρτησης h() () g() διέρχετι ό το σημείο A(, ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις C,C g.8 Δίνετι η συνάρτηση ln Ν υολογίσετε τ εμδά E των χωρίων ου ερικλείοντι ό τη.8 Αν ln εφ, ) N οδείξετε ότι C τον άξον κι την ευθεί, ln γι κάθε, ) Ν υολογίσετε το εμδόν του είεδου χωρίου ου ορίζετι ό την γρφική ράστση της κι τις ευθείες y, κι.8 Έστω η συνάρτηση, δύο φορές ργωγίσιμη με γι κάθε R. Αν η ρουσιάζει τοικό κρόττο στο o με τιμή μηδέν κι ν ρείτε το εμδόν του χωρίου μετξύ της γρφικής ράστσης της συνάρτησης, του άξον κι των ευθειών κι

19 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 8.85 Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη κι ισχύει, R d Α) Ν ρείτε τον τύο της κι Β) Ν ρείτε την οριζόντι σύμτωτη της C στο Γ) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη τις ευθείες κι. C την ράνω σύμτωτη κι ημ.86 Δίνετι η συνάρτηση,, Ν οδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κι είνι C τον άξον κι τις ευθείες Ε ln..87 Δίνετι η συνάρτηση με τύο, ln. Ν οδείξετε ότι η είνι, συνεχής κι ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου, το οοίο ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις κι..88 N ρείτε το εμδόν του χωρίου ου εριέχει τ σημεί Μ, y με κι ln y.89 N οδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου εριέχετι νάμεσ στην κμύλη την ευθεί y ισούτι με 6 y κι.9 Έστω E,το εμδόν του χωρίου ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης y, τον άξον y y κι την ευθεί y,. Αν η ευθεί υτή κινείτι κάθετ στον y y κτά τη θετική φορά υτού (δηλ. το ), κι με τχύτητ m / sc ν ρεθεί ο ρυθμός μετολής του εμδού E, ότν 7..9 Αν ( ),, τότε : i) Ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης (ε) της γρφικής ράστσης της συνάρτησης στο σημείο της Μ,( ), με. ii) Ν ρείτε το εμδό του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, την εφτομένη (ε) κι τον άξον. iii) Αν έν σημείο Μ κινείτι στη γρφική ράστση της έτσι, ώστε ν ομκρύνετι ό τον άξον y y με ρυθμό μονάδες το δευτερόλετο, ν ρείτε το ρυθμό μετολής του εμδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κτά την οοί η τετμημένη του είνι ίση με μονάδες. iv) Ν ρείτε λ, τέτοιο, ώστε η ευθεί με εξίσωση λ ν χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεμδικά χωρί. Μ. Πγρηγοράκης 9-

20 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ.9 Έστω η συνεχής συνάρτηση :, R γι την οοί ισχύει ότι y y y με, y,. Α) Ν οδείξετε ότι ln,, Β) Ν λύσετε την εξίσωση γι κάθε Γ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων, h g κι την ευθεί..9 Α) Aνισότητ Bunyakovsky-Cauchy- Schwarz: Αν, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο,, ν g d () d g() d. δείξετε ότι Β) Ν οδείξετε ότι ) ()d ()d ) ()d ()d.9 Δίνετι η συνάρτηση συνεχής στο διάστημ,, ργωγίσιμη δύο φορές στο διάστημ, οοί είσης γνωρίζουμε ότι κι γι κάθε, γι την Αοδείξτε ότι: Α) H δεν έχει σημεί κμής Β) Γ) H είνι κοίλη,, Ε) () () (() )d.95 Η συνάρτηση : R R είνι συνεχής κι γι κάθε R, ισχύει: Α) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση ντιστρέφετι. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί. γ Ν λύσετε τις εξισώσεις: κι δ Ν οδείξετε ότι d.96 * Έστω η συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ F γι κάθε R. Αν ν οδείξετε ότι:

21 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 85 Τ εόμεν ΘΕΜΑΤΑ είνι ό ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (Οι ηγές νφέροντι όου υάρχουν).97 Έστω δύο φορές ργωγίσιμη στο R με ()=γι την οοί ισχύουν : () γι κάθε R () () - im = - - Α. Ν ρείτε την εξίσωση εφτομένης της γρφικής ράστσης της στο σημείο Α(,()) Β. Δείξτε ότι υάρχει μονδικό ξ(,) στο οοίο η ρουσιάζει ελάχιστο. () Γ. Ν λυθεί στο [,+ ) η εξίσωση = ημ συν. Δ. Αν Ε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της, την y κι τις ευθείες, δείξτε ότι..98 Δίνετι συνάρτηση : (,+ )R ργωγίσιμη με συνεχή ράγωγο στο (,+ ) γι την οοί ισχύουν : F είνι μι ράγουσ της στο (,+ ) 7-F(7) > (6)-F(6) -() + γι κάθε (,+ ) im + όου είνι η μεγλύτερη ρίζ της εξίσωσης + Α. Δείξτε ότι (μονάδες 5) κι στη συνέχει ότι n-, γι κάθε, Β. Μελετήστε την ως ρος τη κυρτότητ κι τ σημεί κμής (μονάδες 5) κι στη συνέχει δείξτε ότι υάρχει 5 ξ, : = + ξ ξ ξ Γ. Δείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ) κι στη συνέχει δείξτε ότι ln () ln () d.99 Δίνετι συνάρτηση δύο φορές ργωγίσιμη στο, με,. Ν οδείξετε ότι: Α. Υάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές,, με Β Υάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο ώστε, κι σύνολο τιμών το, τέτοι ώστε Γ. Υάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο ώστε. Δ Η ευθεί y τέμνει την C σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημ,. Ε Υάρχουν,, με τέτοι ώστε Μντουλίδης. Μ. Πγρηγοράκης 9-

22 86 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω συνάρτηση ργωγίσιμη στο R με γι κάθε Rκι έστω ότι η γρφική ράστση της τέμνει τον yy σε σημείο με τετγμένη. Ισχύει κόμ η σχέση ( ) () () γι κάθε R. Α) Ν ρεθεί ο τύος της. Β) Αν υτής κι της i) Ν οδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ότι η γρφική της ράστση έχει με τον άξον συμμετρίς έν μόνο κοινό σημείο με θετική τετμημένη. ii) Υλικό σημείο M κινείτι κτά μήκος της C ξεκινώντς ό το σημείο ου η C τέμνει τον yy κι η ροολή του M στον Ο ομκρύνετι με τχύτητ cm/s.ν οδείξετε ότι ο ρυθμός μετολής της γωνίς '( ) την χρονική στιγμή ου ισούτι με rad/s. iii) Αν g() κι τις ευθείες κι, () ν υολογίσετε το εμδόν κθώς κι το lim E του χωρίου ου ερικλείετι ό την. C g τον. Δίνοντι οι συνρτήσεις (), R, g() ln, 8 A) Ν μελετήσετε ως ρος την μονοτονί κρόττ την συνάρτηση () () g(), κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της. Β) Γι οιες τιμές του R οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων,g έχουν : δύο έν κνέν κοινό σημείο. Γ) Στην ερίτωση όου οι C, C g δεν έχουν κοινά σημεί δείξτε ότι στο σημείο όου η κτκόρυφη όστση των C, C g ρουσιάζει κρόττο, οι εφτομένες των γρφικών ρστάσεων των,g είνι ράλληλες. Ν μελετήσετε ως ρος τ κοίλ την y=δ() κι ν οδείξετε ότι : i) γι κάθε, με ισχύει ότι : g( ) g( ) g ( ) ( ) ii) 5 ()d ()d Δούκς. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση : :, με < () <, ώστε ν ισχύει: ()= () () +5 γι κάθε,. Α. Ν μελετήσετε την ως ρος τη μονοτονί, τ κρόττ κι το ρόσημο. Β. Ν δείξετε ότι:. Γ. Ν δείξετε ότι η γρφική ράστση της έχει κριώς έν σημείο κμής. Δ. Αν δίνετι ότι : = κι d =, ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι = d

23 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 87. Έστω συνάρτηση : η οοί είνι γνησίως μονότονη, συνεχής κι τέτοι ώστε lim. Ν οδείξετε ότι Α Η είνι γνησίως ύξουσ Β,, Δ Υάρχει μονδικός ριθμός, τέτοιος ώστε Γ Ε Υάρχει, τέτοιος ώστε lim 5 κι lim Μντουλίδης. Δίνετι η συνάρτηση με τύο: Α. Ν ρείτε το εδίο ορισμού της. = Β. Ν οδείξετε ότι υάρχουν κριώς δυο σημεί Α,, εφτόμενες της γρφικής ράστσης της είνι ράλληλες στον οριζόντιο άξον Γ. Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν σημείο Γ ξ, ξ ράστσης της είνι ράλληλη στον οριζόντιο άξον. B, με < < στ οοί οι στο οοίο η εφτομένη της γρφικής Δ. Ν οδείξετε ότι υάρχει διάστημ της μορφής, με > στο οοίο η είνι γνήσι ύξουσ. Ε. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της κι τους άξονες συντετγμένων. ημ ημ ημ ΣΤ. Ν ρείτε τ όρι : i) lim κι ii) lim + + ln.5 Γι την φορές ργωγίσιμη συνάρτηση : ισχύουν: = = γι κάθε. Ν οδείξετε ότι: Α.,. Β. κι στη συνέχει ότι η εξίσωση έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ Γ. Η είνι γνήσι ύξουσ. d Δ. i) ii),. iii) Αν, τότε Μ. Πγρηγοράκης 9-

24 88 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.6 Θεωρούμε την ργωγίσιμη συνάρτηση : η οοί γι κάθε ικνοοιεί τη σχέση. Α. Ν γίνει μελέτη κι γρφική ράστση γι τη συνάρτηση g. Β. Ν δείξετε ότι,. Γ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση Δ. Ν οδείξετε ότι, ως ρος την μονοτονί κι τ κρόττ. d d. F d. Ε. Έστω F μι ράγουσ της στο, με F ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ΣΤ. Έστω h στο,. i. Ν δείξετε ότι η h ντιστρέφετι κι ν ρείτε την h ii. Αν το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C C h, τους άξονες, y y κι την ευθεί κι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη, τον άξον κι τις κτκόρυφες ευθείες στ άκρ του διστήμτος ου ορίζετι η h h, ν δείξετε ότι. Μντουλίδης.7 Δίνετι η δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση στο κι τέτοι ώστε ;,,, Α. Ν δείξετε ότι Β.) Ν ρείτε την εφτομένη (ε) της γρφικής ράστσης της στο σημείο A, ) Ν δείξετε ότι υάρχει μονδικό, στο ν είνι ράλληλη στον άξον Γ) τέτοιο ώστε η εφτομένη της γρφικής ράστσης της Ν ρείτε το εμδόν Ε() του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, τον άξον, την εφτομένη της στο κι τις ευθείες = κι ) Αν το μετάλλετι με ρυθμό 5cm/sc, ν ρείτε το ρυθμό του τη χρονική στιγμή ου είνι cm Δ. ) Αν η g είνι κυρτή στο κι g, ν δείξετε ότι oι γρφικές ρστάσεις των,g τέμνοντι το ολύ σε έν σημείο στο, ) Αν F ρχική της στο κι, ν δείξετε ότι ισχύει : F F γι κάθε, Αρσάκειο

25 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 89.8 Δίνετι η συνάρτηση γι την οοί ισχύουν γι > κι Α. Ν δείξετε ότι ln, B. Ν δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μονδική λύση στο, Γ. Αν g ln, ) Ν ορίσετε τη συνάρτηση g ) Ν λύσετε την νίσωση g Δ. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, τον άξον κι τις ευθείες, = Αρσάκειο.9 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση :,, η οοί ικνοοιεί τις σχέσεις: ln, γι κάθε,, γι κάθε, () = Α. Ν οδείξετε ότι,, () Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση ντιστρέφετι κι ν ορίσετε τη συνάρτηση. Γ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί, την κυρτότητ κι ν οδείξετε ότι, Δ. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d ln 7 5 Ε. Ν οδείξετε ότι. Αρσάκειο. Δίνοντι οι συνρτήσεις : ln ln,,, με g ln, γι κάθε κι Α Ν δείξετε ότι Β ) Ν δείξετε ότι Γ Ν δείξετε ότι g, γι κάθε, γι κάθε > ) Ν δείξετε ότι Δ ) Ν δείξετε ότι η g έχει κτκόρυφη σύμτωτη ) Αν h g γι, ν ρείτε το lim h Αρσάκειο Μ. Πγρηγοράκης 9-

26 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω η ργωγίσιμη στο [,] συνάρτηση με Ν δείξετε ότι : κι γι κάθε, Α. Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι ότι. Β. κι γι κάθε, Γ. d ln Δ. Αν, τότε : i) Η είνι κυρτή.. ii) Ν ρείτε, ώστε το εμδόν ου ορίζετι ό την της C στο σημείο C τις ευθείες =,, ν γίνετι ελάχιστο Αρσάκειο = κι την εφτομένη. Έστω συνάρτηση με γι κάθε, της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό την ρχή των ξόνων. Αν γι τη συνάρτηση ισχύει : Α. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Β. Ν δείξετε ότι Γ. γι κάθε, τότε y du με, y, u Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως ρος την κυρτότητ, ν ρείτε το σημείο κμής της κι ν δείξετε ότι, γι κάθε Δ. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, την ευθεί με εξίσωση y κι την οριζόντι σύμτωτης της C στο. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση : με, η οοί ικνοοιεί τη σχέση.θεωρούμε είσης συνάρτηση ά είνι ρχική της. Α. Ν οδείξετε ότι :, Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι κυρτή κι ότι η Γ. Ν λύσετε στο διάστημ, την εξίσωση Δ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση g ως ρος την κυρτότητ κι τ σημεί κμής. Ε. Ν οδείξετε ότι g F F, όου F Λεόντιος t dt t dt

27 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 9. Δίνετι η δύο φορές ργωγίσιμη στο R συνάρτηση γι την οοί ισχύουν : Δεν υάρχει εφτομένη της γρφικής ράστσης της ου ν είνι ράλληλη στην ευθεί : y, κι ( () ) () γι κάθε R Aν η εφτομένη της γρφικής ράστσης της στο σημείο της, έχει κλίση είνι σύμτωτη της γρφικής ράστσης της στο, τότε: Α Β Γ Δ Ν οδείξετε ότι η είνι κοίλη Ν οδείξετε ότι '(), R Ν υολογίσετε το lim ( ()) κι η ευθεί y ln Αν E το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, τον άξον κι τις ευθείες =, =, ν δείξετε ότι : E < Ε Αοδείξτε ότι d d γι κάθε R Δούκς.5 Δίνετι η ργωγίσιμη συνάρτηση : με σύνολο τιμών το η οοί ικνοοιεί τη σχέση, γι κάθε Α. Ν ρείτε τις ρίζες της κι το ρόσημο της. Β. Ν δείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ότι, γι κάθε. Γ. Ν ρείτε τ κοινά σημεί της γρφικής ράστσης της συνάρτησης κι της ευθείς : y. Δ. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης κι την ευθεί : y. Ε. Ν δείξετε ότι dt. Αρσάκειο t.6 Έστω :, δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση με γι κάθε, κι γι κάθε. Α. Ν οδείξετε ότι Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της Γ. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφή της Δ. Αν,,, ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης g ln, τον άξον κι την ευθεί Μ. Πγρηγοράκης 9-

28 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.7 Δίνοντι οι συνρτήσεις,g : γι τις οοίες ισχύουν, κι g. Aν οι γρφικές ρστάσεις των,g δέχοντι σε κοινό τους σημείο, κοινή εφτομένη (ε) ου διέρχετι ό την ρχή των ξόνων, τότε : Α. Ν δείξετε ότι κι η κοινή εφτομένη είνι η : y. Β. Αν είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση t, t υολογίσετε το lim E t t. t t t, t κι ν, ν δείξετε ότι : t t Γ. Αν είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης g, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση t, t, ν δείξετε ότι : t Δ. Ν δείξετε ότι t E t t t t 7 t t t, t, γι κάθε t Αρσάκειο.8 Θεωρούμε συνρτήσεις,g γι τις οοίες ισχύουν (), g ορισμένη κι ργωγίσιμη στο (, ) με g() ln g() ln, Α. Ν μελετηθεί η ως ρος τη μονοτονί κι ν δειχθεί ότι g() ln, Έστω F ρχική της με F() τότε Β.) Ν λυθεί η νίσωση F( ) F( ln ) στο (, ) όου F ρχική της ) Ν υολογισθεί το όριο lim F() Γ. Η εξίσωση () g() έχει κριώς μι ρίζ στο (,) Δ. Δείξτε ότι F κυρτή στο (,)

29 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 9.9 Έστω συνάρτηση g :, γι την οοί ισχύουν g κι, γι κάθε, g g Έστω είσης η κυρτή συνάρτηση :,, τέτοι ώστε :.. g d. κι g ln Α. Ν οδείξετε ότι g ln γι κάθε > κι ότι g γι κάθε > Β. Ν οδείξετε ότι, κι ότι υάρχει ξ, τέτοιο ώστε: Γ.. Ν οδείξετε ότι: γι κάθε,. Έστω κι Ε το εμδόν του χωρίου ου σχημτίζετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης, τον άξον, τον άξον yy κι την ευθεί. Ν οδείξετε ότι () < γι κάθε κι ότι:, E d Αρσάκειο. Θεωρούμε συνάρτηση, δύο φορές ργωγίσιμη στο με συνεχή δεύτερη ράγωγο '() ''() ''() '(), Α Ν οδειχθεί '() () '() () Β. Δείξτε ότι υάρχουν, (,): '( ) ''( ) Ειλέον ν ισχύει '() ''()d κι ''( ) Γ.) Δείξτε ότι είνι κοίλη ) Δείξτε ότι ''()d γ) Δείξτε ότι υάρχει (,): ''( ) Δ. Αν η εξίσωση (o )( ) ''() ln έχει ρίζ την (,) τότε ν οδειχθεί ότι ln Μ. Πγρηγοράκης 9-

30 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω μι μη στθερή συνάρτηση : R R τέτοι ώστε: ( ) ( ) γι κάθε R κι F μι ράγουσ της στο R τέτοι ώστε F ( )d Α. i) Αοδείξτε ότι η είνι συνεχής στο ότι είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφη της. ii) Ν ρείτε το d B. Αν δίνετι ότι η είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο R με ν υολογίσετε τ όρι: lim F lim () ln( ) Γ. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C τη C κι την ευθεί =.. Έστω :, R ργωγίσιμη τέτοι ώστε γι κάθε R ν ισχύει: κι g : R R τέτοι ώστε γι κάθε R ν ισχύει:, g κι g ( ) g( ) Α. Ν ρείτε τ κι κθώς κι τον τύο της g () () () Β. Ν ρείτε τον τύο της g, ν τη μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί κι ν ρείτε το εδίο τιμών της. Γ. Αν () κι g του χωρίου ου ερικλείετι ό τη ν λύσετε την εξίσωση C τη C g κι τις ευθείες κι g (Μονάδες ) κι ν ρείτε το εμδόν Δ. Ν υολογίσετε τ ολοκλήρωμτ: συν d ημ d ln d. Έστω συνάρτηση : R R ργωγίσιμη στο R με ( ) ( ) ( ) γι κάθε R Έστω h ράγουσ της στο R τέτοι ώστε h. Α. i) Ν ρείτε τον τύο της ii) Γι ν ρείτε την κυρτότητά της (Μονάδες ) κι το ρόσημο της h Β. Ν οδείξετε ότι d 6. Γ. Αν g() g() g() g() ν οδείξετε ότι υάρχει μονδικό ξ ( ξ) ώστε h( Δ. Ν ρείτε το λήθος ριζών της εξίσωσης ) γι τις διάφορες τιμές του R g' ξ

31 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 95. Δίνετι η γρφική ράστση μις συνάρτησης ( ) η οοί έχει σύμτωτη τον άξον y y. Με τη οήθει της γρφικής της, ν ντήσετε στ ρκάτω ερωτήμτ: Β. Ν ρείτε το εδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της. Β.i. Ν ρείτε ν υάρχουν τ σημεί συνέχεις της συνάρτησης, κθώς κι τ σημεί στ οοί δεν είνι ργωγίσιμη, δικιολογώντς τον ισχυρισμό σς. ii. Ν ελέγξετε ν η συνάρτηση έχει σημεί κμής κι ν δικιολογήσετε τον ισχυρισμό σς. Β. Ν ρείτε ν υάρχουν τ ρκάτω όρι: ( ) a. lim ( ( )). lim γ. lim ( ) ημ ( ) B. Αν ειλέον ισχύει ότι lim ( ) εφτομένης της συνάρτησης στο o. Β5. Δίνετι ειλέον η συνάρτηση g() με τύο g( ), R. τότε: i. Ν ρείτε τον τύο της, γι. ii. κι η είνι συνεχής στο, ν ρείτε την εξίσωση Αν γνωρίζετε ότι g ( ),, N ρείτε το εμδόν μετξύ της γρφικής ράστσης της συνάρτησης, του άξον κι των ευθειών,. (Μκούρος) Μ. Πγρηγοράκης 9-

32 Μονοτονί Κοίλ - Ασκήσεις γι λύση 96 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ό το «ΕΚΚΕΝΤΡΟΝ» ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ //ΕΚΚΕΝΤΡΟΝ.5 Ν λυθεί η εξίσωση στο R. ln ln. Α) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση λύσετε τις εξισώσεις:. είνι στο R, κι στη συνέχει ν.6 Αν ln λύσετε την εξίσωση ln.7 Ν λυθεί η εξίσωση, R τότε ν,. Α) Β) Γ) ln ( ) ln 5, κι.8 Έστω η συνάρτηση :, γι κάθε, ( ) ln R με κι F μι ρχική της στο,. Ν οδείξετε τη μονοτονί F κι ν λύσετε τις εξισώσεις: F( ) F F F κι στο,.9 Έστω η συνάρτηση ln, Α) Ν οδείξετε ότι η είνι κι ν λύσετε τις εξισώσεις: ημ ν, συν ημ συν κι ν,. Έστω η συνάρτηση, R. A) Αοδείξτε ότι η είνι εριττή κι Β) Λύστε την εξίσωση Γ) Ν λυθεί η εξίσωση ln Ν ρείτε τους, R γι τους οοίους ισχύει ότι 5. Δίνετι η συνάρτηση R. Ν λύσετε την εξίσωση, ( ) ( ). Αν 5 εξίσωση 5 R, ν λυθεί η 6. Δίνετι μι συνάρτηση :, την ιδιότητ R με γι κάθε,. Αν η εξίσωση έχει μονδική ρίζ τότε: Α) Ν οδείξετε ότι η είνι Β) Ν λύσετε την εξίσωση στο,.5 Α) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση,, είνι κυρτή. Β) Ν λύσετε την εξίσωση Γ) Ν λύθεί η εξίσωση στο, στο, Μ. Πγρηγοράκης

33 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 97.6 Έστω ότι η συνάρτηση : R R είνι δύο γι φορές ργωγίσιμη στο R ισχύει ότι κάθε R, R R κι τ σημεί A(,) κι B(6,5) ρίσκοντι στη γρφική ράστση της. Έστω ότι η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη κι γνησίως ύξουσ στο R. Αν F είνι μι ρχική της, ν λύσετε στο R την εξίσωση F F F F Α. Ν οδείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη Β. ) Ν λυθεί η εξίσωση νίσωση 5 ) Ν λύσετε την εξίσωση 5 κι η 5 ln + =6.7 Ν μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί κι τ κοίλ τη συνάρτηση ln, Α) Ν λυθεί η εξίσωση ln στο, Β) Ν λύσετε την εξίσωση στο,.8 Α. Ν μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί τη, R συνάρτηση Β. Ν λύσετε την νίσωση:.9 Έστω η συνάρτηση : R R με ( ) γι κάθε R Α) Αοδείξετε τη μονοτονί κι τ κοίλ της B) Αοδείξτε ότι η είνι άρτι συνάρτηση. Γ) N λύσετε την εξίσωση ( ) Ν λύσετε την εξίσωση. Έστω η συνάρτηση : R R, συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο R κι έστω F μι ράγουσ της στο R. Λύστε στο R την εξίσωση F F F F. Α) Ν μελετήσετε τη μονοτονί κι τ κρόττ της συνάρτησης Β) Ν λυθεί η εξίσωση ln ln ln ln. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση 6, R κι ν λύσετε την εξίσωση. Ν λύσετε την εξίσωση.5 Έστω η συνάρτηση λυθεί η εξίσωση ως ρος τ κοίλ 6 5 ln, R γι R. Ν.6 Έστω η συνάρτηση : R R η οοί είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο R. Ν λύσετε την εξίσωση, στο.7 Έστω συνάρτηση :, ιδιότητ:, γι κάθε,,,. Α) N οδείξετε ότι είνι B) Ν λυθεί η εξίσωση R με την στο, Γ) Ν λυθεί η εξίσωση ημ στο, Μ. Πγρηγοράκης 9-

34 98 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.8 Ν λύσετε την εξίσωση στο,.9 Ν λύσετε την εξίσωση ln στο,.5 Ν λυθεί η εξίσωση ln στο,.5 Η συνάρτηση : R R είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο R. Ν λυθεί η εξίσωση.5 Έστω η συνάρτηση,. ln Ν λυθεί η εξίσωση 5 5, στο.5 Έστω η συνάρτηση : R R, R η οοί είνι γνησίως ύξουσ κι ισχύει ότι ( ) A) Ν λυθεί η εξίσωση B) Ν λυθεί η εξίσωση

35 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ 99 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ //ΕΚΚΕΝΤΡΟΝ.5 Αοδείξτε ότι γι κάθε..55 Αοδείξτε ότι ln ln γι κάθε.56 Ν οδειχτεί ότι κάθε R ln ln γι.57 Έστω η συνάρτηση ln, Ν δείξετε ότι γι κάθε ισχύει ότι 7.58 Αν, R ν δειχτεί ότι,, R.59 Αν, με ν δείξετε ότι, γι κάθε.6 Έστω η συνάρτηση : R R ου είνι γνήσι φθίνουσ κι κοίλη στο R. Ν δειχθεί ότι γι κάθε ισχύει (ln ) ( ) ( ) (ημ ).6 Έστω συνάρτηση : R R η οοί είνι γνησίως ύξουσ στο R. Ν οδείξετε ότι γι κάθε * R.6 Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ κι ν d ln οδείξετε την νισότητ a, ln γι κάθε.6 Ν δειχθεί ότι γι κάθε, ισχύει.65 Ν δειχθεί ότι γι κάθε R, ισχύει ότι ln.66 Ν οδειχτεί η νισότητ.67 Α) Δείξτε ότι γι κάθε ln γι κάθε Β) Αν,,γ με γ ν οδείξετε ότι γ γ.68 Ν οδειχτεί η νισότητ ln ln ln ln.69 Ν οδειχτεί η νισότητ ln( ) ln ln ln( ) ln, στο,.6 Έστω η συνάρτηση με Α) Αοδείξτε ότι η ρουσιάζει ελάχιστο Β) Αοδείξτε την νισότητ γ γ γι κάθε,,γ γ.7 Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο R με κι - 5. Ν οδείξετε ότι:.7 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι κυρτή στο R. N οδείξετε ότι 5 Μ. Πγρηγοράκης 9-

36 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.7 Έστω ότι η συνάρτηση : R, είνι δύο φορές ργωγίσιμη, κυρτή κι γνήσι ύξουσ στο R. Αν η συνάρτηση ύξουσ στο R ν οδειχτεί ότι a γι κάθε, R.7 Δίνετι η συνάρτηση με,. Ν οδειχτεί ότι: είνι γνήσι ημ ( ) ln, Α) η είνι γνήσι φθίνουσ στο (,) Β) ημ ημ ημ με, (,).79 N οδείξετε ότι συν γι κάθε.8 Ν οδειχτεί ότι γι κάθε.8 Αν ότι ln, R, οδείξτε γι κάθε,.8 Αν ισχύει ότι, με, R,ν οδείξετε ότι. γι κάθε R.8 Έστω μ R. Αν γι κάθε R ισχύει.7 Αν η συνάρτηση F είνι κοίλη στο, ν οδείξετε ότι F F F F F γι.75 Έστω η συνάρτηση : R R με συνεχή κι γνήσι ύξουσ κι ότι. Ν δείξετε γι κάθε,.76 Έστω η συνάρτηση, δύο φορές ργωγίσιμη, γνησίως ύξουσ κι κοίλη στο R με. Ν οδείξετε ότι γι κάθε.77 Δίνετι η συνάρτηση t ln ln t, t,. Ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης στο σημείο με τετμημένη νισότητ ln(ln ) ln κι ν οδείξετε την μ 5, δείξτε ότι μ.8 Έστω η συνάρτηση, ργωγίσιμη στο, γι την οοί ισχύει ότι κι ( ) γι κάθε,. Αν ισχύει ότι γι κάθε, '( ) ( ),,.85 Έστω μι συνάρτηση :,. Αν γι κάθε ισχύει ότι συν, ν οδείξετε ότι ημ γι κάθε ν οδειχτεί ότι R με.86 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : R R με R R, η οοί ικνοοιεί τη σχέση:, γι κάθε R A) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι.78 Ν οδειχτεί ότι γι κάθε γνήσι ύξουσ κι ν ρείτε τη συνάρτηση B) Ν λύσετε την νίσωση κι ν οδείξετε ότι γι κάθε

37 Ασκήσεις γι λύση Ορισμένο Ολοκλήρωμ.87 Έστω η συνεχής συνάρτηση με εδίο ορισμού το ιδιότητ,, σύνολο τιμών το,8 κι την ( ) d. Ν δείξετε ότι : Α) 7 8, γι κάθε, Β) ( ) d Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο d d,. Δείξτε ότι.9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R,. Αν ο είνι ργμτικός ριθμός μεγλύτερος του έν, ν οδείξετε ότι d d d.95 Ν οδειχτεί ότι.96 Ν οδείξετε ότι ημ d ln d.89 Ν οδείξετε ότι: ln t dt,.9 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι ισχύει ότι 6 7 d d. Ν οδείξετε ότι.9 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι ισχύει ότι οδείξετε ότι. Ν d d.9 Η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ισχύει ότι, γι κάθε. Ν οδείξετε ότι d.97 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνήσι ύξουσ κι R ν οδειχτεί ότι 5a t dt a 5a γι κάθε a.98 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής γνήσι ύξουσ στο R. Γι κάθε, R, ν οδείξετε ότι t dt t dt t dt.99 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής γνήσι ύξουσ στο R κι ίρνει μόνο θετικές τιμές. 6 t dt γι κάθε Δείξτε ότι tdt,. Αν συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R κι > ν δειχτεί ότι t dt t dt.9 Έστω η συνάρτηση ν οδείξετε ότι t ln dt 8 ln t 8, R,. Έστω ότι η συνάρτηση είνι συνεχής κι κοίλη στο R. Ν οδείξετε ότι tdt tdt με Μ. Πγρηγοράκης 9-

38 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω οι συνρτήσεις,, κι,, G F F όου F είνι ρχική της στο,. Ν οδείξετε ότι η G είνι κυρτή κι ότι t dt t dt. Έστω η συνάρτηση,. Ν οδείξετε ότι dt, t γι κάθε,. Έστω η κυρτή συνάρτηση τέτοι ώστε,, :, R,. Ν οδείξετε ότι: γι κάθε,. Αν E είνι το εμδόν του χωρίου ου σχημτίζετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης, τον άξον, τον άξον yy κι την ευθεί. Ν οδείξετε ότι ( ) γι κάθε, κι ότι: d E.5 Έστω η συνάρτηση ln, R Ν ρείτε την εφτομένη στο σημείο κμής της γρφικής ράστσης της κι ν οδείξετε ότι ( t )dt κι 8 ( t )dt.6 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση, με κι κάθε. Ν οδείξετε ότι γι t dt t dt ισχύει.7 Δίνoντι οι συνρτήσεις, g :[,] R συνεχείς κι γνησίως ύξουσες στο,. Ν δειχθεί ότι ( ) d g( ) d ( ) g( ) d.8 Έστω συνάρτηση : R R η οοί είνι ργωγίσιμη κι ισχύει ότι κάθε R. Ν οδείξετε ότι γι, ρείτε τη μονοτονί της κι ν οδείξετε ότι d d d ν.9 Ν δειχτεί ότι d d. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R κι R ν οδείξετε ότι a a a t dt γι κάθε. Δίνετι η συνάρτηση :,. Ν οδείξετε ότι: Α) tdt Β) t t dt t, γι κάθε dt R με. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, με,,. Ν οδείξετε ότι d d d d

39 Μονοτονί Κοίλ - Ασκήσεις γι λύση ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ // ΕΚΚΕΝΤΡΟΝ. Έστω η συνάρτηση, R. Ν λυθεί η νίσωση. Αν στο, ln λύσετε την νίσωση ln.5 Δίνετι η συνάρτηση, με, Rτότε ν ln,. Ν λύσετε την νίσωση 6.6 Ν λυθεί η νίσωση εφ ότν,,.7 Ν λυθεί η νίσωση ln ln στο,..8 Ν ρείτε τ διστήμτ ου η γρφική ράστση της 7, Rείνι «κάτω» ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης g 7, R.9 Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R, γι την οοί ισχύει ότι γι κάθε R. Ν οδειχτεί ότι η είνι γνησίως ύξουσ κι ν λυθεί η νίσωση. Η συνάρτηση :, R είνι δύο φορές ργωγίσιμη κι κοίλη στο,. Ν λύθεί η νίσωση. Έστω η συνάρτηση,. ln Ν λυθεί η εξίσωση 5 5, στο. Δίνετι συνάρτηση ln, γι κάθε. Ν οδείξετε τη μονοτονί της, κι ν λύσετε τις νισώσεις: Α) Β) ( ) γι ln Γ) στο,. Έστω η συνάρτηση 5 ( ), R. Ν οδειχτεί ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο R Ν λύσετε στο σύνολο των ργμτικών ριθμών την νίσωση: 7( ) 5 ( ). Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R με σύνολο τιμών R R. Αν η είνι γνησίως μονότονη κι η κι B,, τότε A B C διέρχετι ό τ σημεί A,5 Ν οδείξετε τη μονοτονί της Ν λύσετε την νίσωση: (5 ) Γ Ν λύσετε την νίσωση 5 Λύστε την νίσωση ln.5 Έστω η συνάρτηση ( ) με R. Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ κι ν λύθεί η η νίσωση Μ. Πγρηγοράκης

40 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.6 Έστω η συνάρτηση ln R, A) N οδείξετε ότι είνι ντιστρέψιμη κι ν ρεθεί το εδίο ορισμού της B) Ν λυθεί η νίσωση ln Γ) Ν λυθεί η νίσωση ( ).5 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R, γι την οοί ισχύει ότι ( ), R ( ) Α) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ. Β) Ν λυθεί η νίσωση ( ) ( ) στο R Γ) Ν λυθεί η νίσωση ln.7 Αν 5 νίσωση 5.8 Αν 5, R, ν λυθεί η 5, ν λυθεί η νίσωση ln γι.9 Ν λύσετε την νίσωση. Ν λύσετε την νίσωση ln( ) ln( ),,. Ν λύσετε την νίσωση ln. N λύσετε την νίσωση. Έστω συνάρτηση : R R με ln, R. Αν F είνι μι ράγουσ της, ν λύσετε στο R την νίσωση ημ ημ F F F F ημ. Έστω συνάρτηση : R R τέτοι ώστε η συνάρτηση h με ( ) h( ) ( ) ν είνι γνησίως ύξουσ. Ν ρείτε την μονοτονί της κι ν λύσετε την νίσωση: ( ) ( ) Ν λυθεί η νίσωση στο, t dt t dt.6 Δίνετι η συνάρτηση : R R η οοί είνι γνησίως φθίνουσ στο R. Ν λυθεί η νίσωση ().7 Δίνετι η συνάρτηση ( ),,. Ν λυθεί η νίσωση ( ) ( ) ln.8 Ν λυθεί η νίσωση : στο R.9 Έστω η συνάρτηση : R R με. Ν οδείξετε ότι τη μονοτονί της συνάρτησης στο g λύσετε την νίσωση, κι ν στο,. Δίνετι η συνάρτηση :, y γι κάθε y,, () (y) γνωστό ότι ισχύει η ισοδυνμί R, με. Αν είνι, ν οδείξετε τη μονοτονί της κι ν λύσετε τις νισώσεις: Α) ( ) ( ) ( ), R. B) 7 6

41 Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 5. Ν λύσετε την νίσωση στο, Ν μελετήσετε τη συνάρτηση. ln, ως ρος τη μονοτονί κι τ κοίλ Α) Ν λυθεί η νίσωση ln στο, Β) Ν λύσετε την νίσωση στο,.8 Α) Ν μελετήσετε τη μονοτονί κι τ κρόττ της συνάρτησης Β) Ν λυθεί η νίσωση ln ln Γ) Ν λυθεί η νίσωση ln ln.9 Α) Ν ρείτε τ ρόσημ των συνρτήσεων 5 5 κι g( ), R 5 Ν λύσετε την νίσωση 5. Δίνετι η συνάρτηση. Ν λύσετε την νίσωση, R ( )( ) ( )( ). Δίνετι η συνάρτηση R. Ν λύσετε την νίσωση, ( ) ( ).5 Δίνετι η συνάρτηση : R R γι την οοί ισχύει ότι ( ) () γι κάθε R. Ν λύσετε την νίσωση.6 Έστω η συνάρτηση :,, με g κι η συνάρτηση η οοί είνι γνησίως φθίνουσ. Α) Αοδείξτε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ. Β) Ν λυθεί η νίσωση Ν λύσετε την νίσωση με γνώστους τ,,,.5 Έστω η συνάρτηση ln, Α) Ν λύσετε την νίσωση 6 5 ln,.5 Θεωρούμε τη συνάρτηση :, με R Α) Ν μελετήσετε την ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ. Β) Ν λυθεί η νίσωση 9.5 Έστω συνάρτηση : R R γι την οοί ισχύει ότι γι κάθε R Α) Ν οδείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο R κι εριττή, ν ρείτε τις τιμές,, κθώς κι το ρόσημο της Β) Ν ρείτε τους, R γι τους οοίους ισχύει ότι 5 Γ) Ν λύσετε την νίσωση N λυθεί η νίσωση Μ. Πγρηγοράκης 9-

42 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω η συνάρτηση : R R ου είνι.5 γνησίως ύξουσ στο R. Ν λύσετε την νίσωση ln ln.5 Δίνετι ότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R. Α) Ν λύσετε την νίσωση 5 Β) Ν λύσετε την νίσωση 6.55 Έστω συνάρτηση : ( ) ισχύει ( ) γι κάθε R R R γι την οοί Α) Ν οδείξετε τη μονοτονί της Β) Ν λύσετε στο R τις νισώσεις: κι Γ) Ν λύσετε στο R την νίσωση.56 Η συνάρτηση g : R R, είνι γνησίως ύξουσ κι ισχύει g g γι κάθε R. Ν λύσετε την νίσωση 5.57 Ν λυθεί η νίσωση 5 6 log log log log.58 Ν λυθεί η νίσωση, g g ln στο.59 Ν λυθεί στο R η νίσωση.6 Δίνετι η συνάρτηση, ln( ), A) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση ντιστρέφετι κι ν ρείτε το εδίο ορισμού της B) Ν λύσετε την νίσωση Γ) Ν λύσετε την νίσωση.6 Ν λύσετε την εξίσωση στο,.6 Έστω συνάρτηση, R Α) Ν οδείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο R Β) Ν λύσετε την νίσωση.6 Δίνετι η συνάρτηση ln,, νίσωση. Ν λύσετε την d d.6 Έστω η συνάρτηση με ln, R Ν λυθεί η νίσωση ln,,.65 Θεωρούμε συνάρτηση ορισμένη στο R με (), η οοί είνι ργωγίσιμη κι ισχύει ( ) ( ) γι κάθε R νίσωση ( ).. Ν λύσετε την