Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Transcript

1 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν χ στο [ κ,κ], κ =,,, ν θεωρούμε τυχίο σημείο ξ κ (μορεί ν είνι κι έν ό τ άκρ κι σχημτίζουμε το άθροισμ: ν S = f ( ξ Δ + f ( ξ Δ + + f ( ξ Δ = f ( ξ Δ v v κ κ= το οοίο ονομάζουμε άθροισμ Rimann της f στο [, ] Το σύνολο των άκρων = < < < < v = των διστημάτων ονομάζουμε διμέριση Ρ ν του [, ] κι τ ξ, ξ,, ξ v ενδιάμεσ σημεί της διμέρισης Το ροηγούμενο άθροισμ έχει όριο ότν ν + το οοίο ονομάζουμε ολοκλήρωμ Rimann της f στο [, ] κι είνι νεξάρτητο ό την ειλογή των σημείων ξ,ξ,,ξ v της διμέρισης Ρ ν κι το συμολίζουμε με f ( d Έτσι έχουμε: f d = im f( ξ Δ ν v + κ = Τ, ονομάζοντι όρι ολοκλήρωσης Aν ως ξ κ ειλέξουμε τ δεξιά άκρ των διστημάτων τότε ξκ = + κδ = + κ κι ο ροηγούμενος τύος γίνετι: ν ν f d = im f κ v + + ν κ= ν ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο [, ] ισχύει f, γι κάθε [,] τότε το ορισμένο ολοκλήρωμ της f στο [, ] εκφράζει το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κμύλη της f τον άξον κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι = Άρ με f είνι f ( d Όως ορίστηκε το ολοκλήρωμ ροϋοθέτει ότι < Μι εέκτση του ορισμού ότν γίνετι ως εξής: κ

2 66 Αν = τότε f d = Αν > τότε f ( d = f ( d λf d = λ f d, λ R [ λf + μg ] d = λ f d+ μ g d, όου λ,μ R γ Ισχύει f d = f d f d +, όου f συνεχής στο Δ κι,, γ Δ γ Σχόλιο: Δεν είνι ρίτητο το γ ν είνι μετξύ των, ρκεί ν νήκει στο Δ 6 6 χ f d = f d f d +, ν, 6, νήκουν στο εδίο ορισμού της f κι η f είνι συνεχής σ υτό 5 Αν κι f, g συνεχείς στο [, ] με f g γι κάθε [,] τότε 6 f d f d, 7 cd = c ( f d g d κι η f είνι συνεχής στο [, ] 8 Με χρήση των ροηγούμενων ιδιοτήτων ν f συνεχής στο [, ] με m, Μ ολικό ελάχιστο κι ολικό μέγιστο της f, ντίστοιχ στο [, ] τότε m f M οότε md f d Md δηλδή m( f d Μ( Γι ν δείξουμε μι διλή νισότητ με ολοκλήρωμ μελετούμε την υό ολοκλήρωση (ή ολοκληρωτέ συνάρτηση ως ρος τ κρόττ κι εφρμόζουμε την ιδιότητ 8 χ Ν δειχθεί ότι d 6 Έχουμε f = ου είνι γνησίως ύξουσ στο[,] οότε: m = =, M = = 8 Άρ 8 γι κάθε [,] τότε d d 8d δηλδή d 8( f d 6 Συνρτήσεις ου ορίζοντι ό ολοκλήρωμ με μετλητά όρι ολοκλήρωσης Θεώρημ: Αν f συνεχής στο Δ κι, Δ τότε η συνάρτηση F = f( t dt είνι μι ράγουσ της f στο Δ, δηλδή ( F' = f f t dt f = Η συνάρτηση F είνι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της Πρτήρηση: Τη μετλητή ονομάζουμε μετλητή ολοκλήρωσης κι ν τ όρι ολοκλήρωσης είνι στθεροί ριθμοί το οτέλεσμ θ είνι στθερό ως ρος τη μετλητή ολοκλήρωσης Αν όμως εκτός της μετλητής ολοκλήρωσης υάρχει στη συνάρτηση κι άλλη μετλητή κι στθερά όρι τότε το εξγόμενο είνι συνάρτηση της άλλης μετλητής χ ( t f( t dt είνι συνάρτηση του ενώ το t f d είνι συνάρτηση του t

3 67 Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού (ΘΘΟΛ Αν F( μι ράγουσ της f στο Δ κι f συνεχής στο Δ κι, νήκουν στο Δ τότε: f ( d = F ( F ( = [ F ( ] Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης στο ορισμένο ολοκλήρωμ είνι νάλογες των μεθόδων ου νφέρμε στο όριστο ολοκλήρωμ Υενθυμίζουμε: Μέθοδος ργουσών Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά ράγοντες Μέθοδος ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί Μέθοδος Ολοκλήρωση με τη μέθοδο των ργουσών Αφορά τ ολοκληρώμτ των συνρτήσεων γι τις οοίες γνωρίζουμε την ράγουσ Πράδειγμ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: i d +, ii d, iii ημ d + 6, iv d i ( = + = είνι: [ + ] ( 7 d = = = ii Είνι ( = = 8 = ( [( ] ( d = = = = iii Είνι συν ημ ημ + = + + = οότε ημ d συν συν συν + = + = + + = συν συν ημ συν = + = = = = =

4 = + 6 = = iv Είνι ( ( οότε [ d = + 6] = 5 6 = 5 = + 6 Πράδειγμ Ν υολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμ + d Θέτουμε f = + Η f είνι συνεχής στο R ως άθροισμ συνεχών Αν : f = + ( f = f = Αν < < : f = + ( + f = + + f = Αν : f = ( + f = f = 6 ν Άρ f = ν < < 6 ν Είνι f = ( d+ ( d+ ( 6 d = = d d d 6 d = [ ] [ ] [ ] 6 6 = Κτηγορί Μέθοδος Πργοντική ολοκλήρωση f' g d = [ f g ] - f g' d ή f g d = [ F g ] [ ] - F g' d = f G - f' G d όου F, G ράγουσες των f, g ντίστοιχ κι η ειλογή κτάλληλης ράγουσς γίνετι με τ ίδι κριτήρι όως κι στ όριστ ολοκληρώμτ Πράδειγμ Ν υολογιστούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: n = I = + d, I = d, I d, I = συνd, ( [ ] I = + d = + d = ( ( = + Ι5 = συνd

5 69 ( [ ] [ ] I = d= d d = = = n n n n n n n I n n n d n = nd = + = = n n + d = I = ημ d = ημ ημd = συν d = [ ] [ ] συν συνd ( I = 9Ι I + ( I = + Ι5 = συνd Αρχικά ειλύουμε το όριστο ολόκλήρωμ Ι = συνd Έχουμε συνd συνd συν ( συν = = d = ( συν ημd συν = + = + ημd = συν + ημ συνd οότε συνd συν ημ = + δηλδή συν + ημ συνd = + c = + ( Ισχύει ( συνd = ( συν + ημ οότε συν ( συν ημ ( Εομένως, I= ( συν ημ + d = = ( συν + ημ ( συν ημ + d = = ( συν + ημ ( ημ + ημ d = ( συν ημ [ ημ] = + d = ( συν + ημ ημ+ c = + = = ( συν+ ημ ( ημ ημ = ( = + ( = Εομένως, I συν ημ [ ημ] 5

6 7 Πράδειγμ Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ: d, ( [ ] d = d = + ' d = [ ] [ ] [ = + d = ] = ( = = + = nd nd n ( n = d = = nd, n n d = d = = = = 9 = + 9 συν d συνd = ( ημ ' d = [ ημ] ( ' ημd = [ ] = + συν = + συν συν = ημ ημ ημd = Κτηγορί Μέθοδος Μέθοδος Αντικτάστσης Εκφράζετι ό τους τύους g f ( g g ' d = f ( u du όου u = g, du = g ' d Πράδειγμ 5 g Ν υολογιστούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: εφ I =, συν Ι = d, συν I = d ημ + ημ+, I = 6 σφ( n d, 5 5 = I d n n( n I = εφ d = εφ ( εφ 'd θέτουμε u = εφ οότε du = ( εφ 'd συν Αν = τότε u = Αν = τότε u = Έχουμε I u = u du = =

7 7 I = d Θέτουμε u = οότε du du = d d = Αν = τότε u = Αν = τότε u = Είνι du u [ u ] [ ] I = = = = ( ημ ' du A B I = d = = + du = ημ + ημ + u + u + u+ u+ (θέσμε ημ = u u= n n συνu I = 6 σφ n n ' d = 6 σφudu du ( ημu du = n = = 6 6 ημu ημu 6 [ ] [ ] n ημu du = n ημu = nημ nημ = n = n d Ι5 = Θέτουμε n( n = u οότε [ n n ] d = du d = du n n( n n 5 Αν = τότε ( 5 u = n n = n5 Αν = τότε ( u = n n = n I = du n u n n5 n n 5 n u = = n5 Έχουμε [ ] Εφρμογές με ντικτάστση = φ( t Πράδειγμ 6 Ν υολογιστεί το ορισμένο ολοκλήρωμ: ρ I = ρ d, ρ>, ντικθιστώντς = ρημθ, ρ Ν οδείξετε ότι: i Ι = f d =, ν η f είνι εριττή στο [,] ii Ι = f d = f d ν η f είνι άρτι στο [,] Θέτουμε = ρημθ κι γι ν είνι - ίρνουμε με = ρ είνι ημθ = οότε Είσης d = ρσυνθdθ κι θ, θ =, με = ρ είνι ημθ = οότε θ = ρ = ρ ρ ημ θ = ρ συν θ = ρσυνθ + συνθ Έχουμε Ι = ρσυνθ ρσυνθdθ = ρ συν θdθ ρ dθ = = = ρ dθ ρ συνθdθ + = [] [ ] ρ θ + ρ ημθ = ρ Σχόλιο: Το ολοκλήρωμ Ι εκφράζει το εμδόν ημικυκλίου κτίνς ρ

8 7 Αν η f εριττή τότε f( = f στο [,] Έχουμε Ι = f d+ f d = I+ J Γι το Ι θέτουμε = u οότε d = du Αν = τότε u = Αν = τότε u = f εριττή Έχουμε I= f( u( du = f( u du = f d ( οότε ( Ι = f d+ f d = ii Ομοίως ν f άρτι τότε ( f( = f στο [,] κι έχουμε: Ι = f d + f d f d f d = + Θέτουμε = u οότε d = du Αν = τότε u = κι ν = τότε u = Έχουμε I = f( u( du + f d = f( u du+ f d = Πράδειγμ 7 = f d + f d = f d Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: Ι = d, Ι = d, θέτοντς = ημt + κι = εφt ντίστοιχ Θέτουμε = ημt οότε d = ( ημt dt ή d = συνtdt Αν = είνι = ημt ημt = οότε t = Αν = είνι = ημt ημt = οότε Έτσι t = I = d = ημ t συνt dt = ημ t συνt dt = + συνt συν t συνt dt = συν t dt dt = = [] dt+ συνt dt = t + [ ημt] = + ημ ημ = Γι τον υολογισμό του Ι θέτουμε = εφt οότε d ( εφt = dt ή d = dt συν t Αν = είνι εφt = εφt = εφ οότε t = Αν = είνι εφt = εφt = εφ οότε t =

9 7 Έτσι Ι = d = dt = dt = + + εφ t συν t ημ t συν t + συν t συν t dt dt [] t = = = = ημ t + συν t συν t Πράδειγμ 8 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] ν οδείξετε ότι: i f ( ημ d = f ( συν d f ημ d = i Θέτουμε = t τότε d = t dt ή d = dt Αν = τότε = t t = Αν = τότε = t t = ii f ημ d Έτσι t f ημ d f ημ t = dt f συνt dt f συν d = = ii Θέτουμε = t τότε d = ( t dt ή d = dt Αν = τότε = t t = Αν = τότε = t t = Έτσι f ( ημ d = ( t f( ημ ( t dt = ( t f( ημt dt = t = f( ημt dt tf( ημt dt = = f ημ d f ημ d Δηλδή f ( ημ d = f ( ημ d f ( ημ d f ( ημ d = f( ημ d = f ( ημ d f ημ d Κτηγορί Μέθοδος Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ κι η ράγωγός της Εύρεση του εδίου ορισμού της F = f( t dt Βρίσκουμε το σύνολο ορισμού της ρος ολοκλήρωσην συνάρτησης κι ιτούμε τ άκρ ν είνι στο ίδιο διάστημ ώστε η ολοκληρούμενη συνάρτηση ν είνι συνεχής

10 7 Πράδειγμ 9 Ν ρεθεί το σύνολο ορισμού των συνρτήσεων κι η ράγωγός τους F = t dt, G = t tdt Πρέει t t ήt t (, ] [, + Εειδή το [, κι το [, + Άρ A = [, + κι F' = Πρέει t t t( t ( t F + t [,] [, + Εειδή το [, κι το [, + Άρ A [, G = + κι G' = + ρέει + ρέει Εύρεση του εδίου ορισμού σύνθετης συνάρτησης ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ g H = f( t dt, με f( t συνεχή στο Δ Αιτούμε στο διάστημ του εδίου ορισμού της f( t ου νήκει το στο ίδιο διάστημ ν νήκει κι η g ( Εννοείτι ότι έχουμε άρει τους εριορισμούς ου ιτούντι γι την g ( Όσον φορά κι την ράγωγο της Η είνι H' = f( g g' g Δηλδή ( f( t dt f( g g' = Πράδειγμ + Ν ρεθεί το ευρύτερο σύνολο στο οοίο είνι ργωγίσιμη η H = 5 tdt κθώς κι η ράγωγός της Πεδίο ορισμού της f( t 5 t Α =,5 Το εδίο ορισμού της g = + = είνι το ( ] είνι το R +,5 + 5 Πρέει: ( ] [,] Άρ το εδίο ορισμού της Η ( είνι : A [,] H = κι ( ( H' = = f φ γ Η ράγωγος της g = ( f t dt Ειλέγουμε Α f h φ h φ g = f( t dt+ f( t dt = f( t dt+ f( t dt h Οότε g' = f( h h' + f( φ φ'

11 75 δ Η ράγωγος της g = ( t f( t dt g = ( t f( t dt = f( t dt tf( t dt = f( t dt tf( t dt ( ( Άρ ( ( g' f t dt f t dt = + tf t dt = f( t dt+ = f( t dt ε Η ράγωγος της g = ( t f( t dt g ( = f ( t dt tf ( t dt ( ( = Άρ g' = f( t dt+ f f g f t dt tf t dt = f( t dt g' ζ Οι μορφές g = f( t dt, h = f t dt, Φ f = dt ργωγίζοντι φού ρώτ μετσχημτίζουμε τ ολοκληρώμτ κάνοντς ντίστοιχ t τις ντικτστάσεις t = u, u t = Κτηγορί Μέθοδος 5 Εύρεση του τύου συνάρτησης f ότν γνωρίζουμε σχέση στην οοί υάρχει f dt Πργωγίζουμε τη δοσμένη σχέση ώστε ν εξλείφοντι τ ολοκληρώμτ Η τυχούσ στθερά ου θ ροκύψει, υολογίζετι ν θέσουμε σε υόθεση κι συμέρσμ όου το έν όριο ολοκλήρωσης όως φίνετι στ ρκάτω ρδείγμτ Πράδειγμ u t Αν G = f( t dt όου f( t = du >, t > ν ρεθεί η G" ( u u G' = f = du Άρ G" = = Εομένως G" ( = = u Πράδειγμ Ν ρεθεί συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει ότι t f ( t dt = f (

12 76 Πργωγίζουμε τ δύο μέλη της υόθεσης κι έχουμε: ( f = f + f ' ράξεις f' = f ' = f = + c Στην υόθεση γι = έχουμε f = Στο συμέρσμ γι = έχουμε f = + c = + c c = Άρ f = + Πράδειγμ Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο (, + η οοί ικνοοιεί την σχέση ( f t dt= n, > Ν ρείτε το f( κι το f( ( f t dt = n οότε ( f t dt n = ( f = n + ( f = n + ( Η ( γι = γίνετι: f = n+ f( = f( = Η ( γι = γίνετι: ( f = n+ f( = n + n+ f ( = n + f ( = Πράδειγμ Ν ρείτε την συνεχή στο R συνάρτηση f κι την τιμή του λ ν ισχύει: f ( t dt = 8 λ γι κάθε R Ισχύει f ( t dt = 8 ( Πργωγίζουμε κι τ δύο μέλη οότε: λ ( f ( t dt ( 8 = f = f = Θέτουμε στην ( f( t = t κι λ t λ έχουμε : tdt = 8 = 8 λ = 8 λ + λ = 8 λ = λ = ή λ = Πράδειγμ 5 ( Ν ρεθεί συνεχής συνάρτηση f:r R με ( f t f = + + dt γι όλ τ + t R

13 77 Ότν ργωγίζουμε γι ν εξλείψουμε έν ολοκλήρωμ λύνουμε ως ρος υτό ώστε ν εξλείφετι με την ρώτη ργώγιση f f( t Έτσι έχουμε : = + dt Πργωγίζουμε τ δύο μέλη κι έχουμε: + + t f f f ( c f c = = = (χρησιμοοιήσμε την ρότση: f' = f f = c Στην υόθεση γι = έχουμε f = ( c Άρ f Στο συμέρσμ γι έχουμε f = = + = = c Πράδειγμ 6 Ν ρεθεί συνάρτηση f :R R ργωγίσιμη κι γι την οοί ισχύει η σχέση: t f = ημ+ f( t dt ( t Αρχικά μετσχημτίζουμε το ολοκλήρωμ I = f( t dt Θέτουμε t = u t = u ( t dt = du dt = du dt = du Αν t = τότε u = Αν t = τότε u = u Άρ το ολοκλήρωμ γίνετι: u u I = f u du = f u du = f u du Έτσι u f = ημ + f ( u du u f ημ f u du Άρ ( f = ( ημ + u f ( u du = + ( f + f ' = ( ημ + ( ( ημ + u f ( u du f + f' = ημ + συν + f f' = ημ+ συν Άρ f = συν + ημ+ c ( Θέτουμε = στις ( κι ( κι έχουμε: f = κι f = c Άρ c = c= Άρ f = συν + ημ +

14 78 Κτηγορί Μέθοδος 6 Όως είδμε η συνάρτηση F = f( t dt είνι ργωγίσιμη στο διάστημ Δ στο οοίο η f είνι συνεχής κι Δ Την συνάρτηση λοιόν υτή μορούμε ν την συνντήσουμε σε οοιοδήοτε θέμ συνέχεις κι ργώγων χ Bolzano, κρόττ το Θ Frmat, κμυλότητ, όρι, σύμτωτες, σε θέμτ Roll κι Μέσης Τιμής Στ λυμέν ρδείγμτ ου κολουθούν θ τονιστούν κάοι σημεί ου θέλουν μεγλύτερη ροσοχή Πράδειγμ 7 dt, > Δίνετι η συνάρτηση f = dt,, t + Ν οδείξετε ότι είνι συνεχής κι ργωγίσιμη Αν >, η f = dt είνι ργωγίσιμη άρ κι συνεχής Αν,, η f dt = είνι ργωγίσιμη κι συνεχής t + Εομένως η f( είνι συνεχής στο, (, + Θ οδείξουμε ότι η f είνι συνεχής στο = dt dt Έχουμε: im f = im dt t + = t + =, im f ( = im dt dt + = = dt κι f = = Άρ η f είνι συνεχής στο t + Θ οδείξουμε ότι η f είνι ργωγίσιμη στο = Έχουμε: dt dt f f t im im + im t + = = = im + = im = + f f dt dt κι im im im = = = im = Άρ f' = κι εομένως η f( είνι συνεχής κι ργωγίσιμη Είνι f ( t dt f ( =, dt =

15 79 Πράδειγμ 8 Ν ρεθούν τ κρόττ της συνάρτησης ( t F = t 5t+ dt Θ ρούμε το εδίο ορισμού της ( t F = t 5t+ dt Το εδίο ορισμού της ( ( t f t = t 5t+ είνι το R Το εδίο ορισμού της g = είνι το R κι εειδή g = R γι κάθε R έχουμε ότι το εδίο ορισμού της F είνι το R ( ( t ( ( F' = t 5t 5 + = + = 5 + ( F' = 5 + = ( 5 + = = ή 5 + = = ή = ή = = ή= ή= ή = ή= έχουμε : Πίνκς ροσήμου των τιμών της F Άρ γι =, =, =, η F ρουσιάζει τοικό ελάχιστο ίσο με F(, F(, F ντίστοιχ, ενώ γι =, = η F ρουσιάζει τοικό μέγιστο ίσο με F(, F ντίστοιχ Έχουμε: ( t F = t 5t+ dt= Πρτηρούμε ότι : η F είνι άρτι στο R διότι γι κάθε R ισχύει ( ( t ( t F = t 5t+ dt = t 5t+ dt = F Εομένως F( = F κι F( = F Έχουμε F ( = ( t 5t+ t dt= ( t 5t+ ( t dt= [( t ] ( t t = t 5t+ dt + t 5 dt t 5t dt + = + = ( t [ t] t t 5 = dt = t 5 + dt = [ t 5 ] + = + 5 = + + = + =

16 8 Άρ F = F = Ανάλογ υολογίζουμε το F( = F Πράδειγμ 9 + Έστω F = t+ dt Ν δείξετε ότι η συνάρτηση F στο = ρουσιάζει ρνητικό ελάχιστο + Δίνετι F = t+ dt ( f t t = +, A [, f = + g = +, Ag = R Εομένως ζητάμε εκείν τ R ώστε ( + [, + δηλδή ου ισχύει γι κάθε R διότι Δ< Άρ AF ( F' = t+ dt = + + +, A = R + Έχουμε F' = = + = = F' + + >, R φού Δ< Πράγμτι λοιόν γι = η F ρουσιάζει ελάχιστο κι ίσο με F Μένει ν οδείξουμε ότι F < ος τρόος + t Έχουμε: F t dt ( t ( t + = + = dt + + = = + t = + = + = <, διότι < < < = R

17 8 ος τρόος Έχουμε F = t + dt = t + dt ( Εειδή t+ > γι κάθε ( ισχύει t+ dt > t+ dt < F < t, Πράδειγμ Ν ρεθεί το όριο της ημt t dt f = ότν ημ συν Έχουμε: ( ημt t dt ημ imf im = = im = ημ im = ( ημ συν συν συν ( ημ ημ συν ημ im im ημ συν = = + συν + συν ημ Πράδειγμ Έστω > > κι η συνεχής συνάρτηση f: (, + R με f ( t dt = κι έστω g = + f( t dt, > Ν δειχθεί ότι υάρχει έν τουλάχιστον (, ώστε: Η εφτομένη της C g στο (,g είνι ράλληλη στον g = + f Εξετάζουμε ν εφρμόζετι το Θ Roll γι την g στο [,] Η g συνεχής στο [,] Η g ργωγίσιμη στο (, υοθ g = + f( t dt = + =, g = + f( t dt = + = Δηλδή g = g Άρ ό το Θ Roll υάρχει τουλάχιστον έν (, τέτοιο ώστε ( εφτόμενη στο g είνι ράλληλη στον ( g' =, οότε η

18 8 Αό υόθεση έχουμε: g = + f( t dt g = + f( t dt f( t dt = g f( t dt = ( g ( Πργωγίζουμε τ δύο μέλη της ( κι έχουμε: f ( t dt ( g ( f ( ( ( g ( ( g ( = = + f = g + g' ( Θέτουμε στην ( όου το κι έχουμε : f = g + g' f = g + (διότι ό ερώτημ το g f = + g' = Κτηγορί Μέθοδος 7 Ανισότητες με ολοκληρώμτ Γνωρίζουμε ότι ν f γι τ [,] τότε f d (θεωρί ή f d > ν η f δεν έχει τιμή γι κάθε [,] Αν f g γι τ [,] τότε f d g d Αόδειξη f g f g d f d g d γ Αν η f είνι συνεχής στο [,] με ελάχιστη τιμή m κι μέγιστη τιμή M οότε ή m f M τότε md f d Md m( f d Μ( Πράδειγμ Δίνετι η συνάρτηση f: (, + Rμε f >, f' + f = κι η Cf ερνά ό σημείο A, Ν ρεθεί η συνάρτηση f f( t Ν δειχθεί ότι f dt t f' f' + c = Άρ d d nf c f f = = + = f

19 8 Εειδή η C f διέρχετι ό το A, έχουμε: f( = = = c= Άρ f = + c c + ( t + f t Έστω g( t = =, t [,] t t t + t + t + ( t + t t t t t + ( t + g' ( t = = = < οότε η g είνι γνησίως φθίνουσ στο [, ] Έχουμε g( = = κι g = = t t t ( + f f Εειδή < t < g < g( t < g( (διότι η g είνι γνησίως φθίνουσ f f( t t γι κάθε t [, ] f f( t Άρ dt dt dt t f( t f dt ( t Εφρμογή του κριτηρίου ρεμολής γι την εύρεση ορίου Πράδειγμ Δίνετι η συνάρτηση f =, R + Ν μελετηθεί ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ + Ν υολογιστεί το im f ( t dt + ( + f' = = + = + + ( + + f' = = Είσης f' > < κι f' < > Άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [, + κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,] Εομένως η f ρουσιάζει στο = μέγιστο, το f = = Με > κι t [,+ ] κι εειδή η f είνι γνησίως φθίνουσ έχουμε: t + f( + f( t f Ολοκληρώνουμε ως ρος t κι έχουμε: f( + dt f( t dt f dt f( + dt f( t dt f dt (οι οσότητες f( +, f( είνι στθεροί όροι στην ολοκλήρωση ως ρος t + f( + ( + f( t dt f( + + f + f( t dt f εομένως im f ( + im f ( t dt im f ( κι

20 8 + im im f ( t dt im ( im + f ( t dt + Άρ im + f ( t dt = + Κτηγορί Μέθοδος 8 Ανγωγικοί τύοι Πράδειγμ Ν δειχθεί ότι ν Iv = ημ d = Ι ν ν Είνι Ι = ημ ν d = ημ ν ημd = ημ ν ( συν d = ν [ ν ] ( ν = ημ συν + ημ συνd = ν ν ν = ημ συν ημ συν ν ημ ( ημ + συνd = ν ν = + ν ημ συν d = ν ημ ημ d = ν ν ν ν = ν ημ ημ d = ν ημ d ν ημ d = = ( ν Ι ( ν Ι = ( ν Ι νι + Ι Ι + νι Ι = ( ν Ι ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Ι = Ι Ι = Ι ν ν ν ν ν ν Δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν δειχθεί ότι ν f συνεχής στο [,] ισχύει f d = f( + d Αν f συνεχής στο [,] ισχύουν: (Α: u = + με άκρ =, u = =, u = f ( d f ( d = [ ] f d = f + f d (Υ: f d = f d+ f d, d = du κλ, u = κλ

21 85 γ Αν f συνεχής στο R κι,, γ R τότε ισχύει f d = + f( γ d + γ (Υ: = u γ, =, u = + γ =, u = + γ, d = du κλ Αν η f είνι συνεχής στο R με,,θ R κι θ > τότε f d = θ f d θ θ (Υ: u = κλ θ + 5 Αν f = f( + γι κάθε [,] ν δειχθεί ότι f d = f d (Υ: = + u, =, u = =, u =, d = du κλ 6 Αν f συνεχής στο [,] κι f + f( + = c γι κάθε [,] ισχύει: f d ( f + = [ f f ] = + (Υ: f ( + d = c( f d, u = + κλ γι το ολοκλήρωμ του ρώτου μέρους 7 Έστω συνάρτηση f :R R με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο R έτσι ώστε f" γνήσι ύξουσ, [ f + f" ] συνd =, γ f' Ν δειχθεί ότι η γρφική ράστση της f έχει κριώς έν σημείο κμής (Α: Βρίσκουμε ότι f' = = στο [, ] γι την f' Εφρμόζετι το Θ Roll υάρχει, :f" = κι εκτέρωθεν του η f" λλάζει ρόσημο άρ = σημείο κμής f" γνήσι μονότονη άρ μονδική ρίζ το 8 Έστω f συνεχής στο R με f γι κάθε R κι f = tf ( t dt, γι κάθε R Ν ρεθεί ο τύος της f t =, u = (Α: Mε u = t t =, u =, du = dt, dt = du f = uf ( u du f = uf ( u du f' = f f' f' = d d f = f =, f = Υόθ = + c f Συμ = f =, c= = + f

22 Έστω f συνεχής στο R τέτοι ώστε f γι κάθε Rκι g = 5+ f( t dt, R Ν δειχθεί ότι η εξίσωση g = έχει μόνο μί ρίζ στο (, (Υ: g =, g( = 5 f( t dt λλά f ( t dt dt = 8 g( < κλ, Bolzano Έστω h = f( t dt κι g = h( t dt Ν δείξετε ότι g = ( t f( t dt + T Αν η f είνι εριοδική με ερίοδο Τ τότε f d = f d + T T + T (Υ: Έχουμε f d = f d+ f d = I+ I γι το I θέτουμε T = y+ T d = du = T, u = Ι = f u + T du = f u du, Τ = ερίοδος = + T u = Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ + Τ T T I = f d I= f d = f d+ f d = f d d + + d γ + d Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ ημ συνd ημd γ + ημ d Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ 5 d d 5 Αν I v ν * = εφ d, ν N ν δείξετε ότι ισχύει: Iv = Iv, γι κάθε v v ν 6 Αν I = ( n d, v ν N * ν δείξετε ότι ισχύει: v v I = v I, γι κάθε v 7 Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι ισχύουν: f = f = g = g = ν δείξετε ότι: f g d = f g d

23 87 8 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [, ] τέτοι ώστε f = f( + γι κάθε [,] + Ν δείξετε ότι: f d = f d 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] ν δείξετε ότι: v μ μ v d ( = d με μ, ν > v Αν Iv = d, v Ν Ν δείξετε ότι γι κάθε v, I v = v I v κι ν υολογίσετε το I Ν δείξετε ότι: f d = f d+ f( d Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ d ( n + d γ Ν υολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ συν d ( ημ + d n d γ + n d Έστω συνάρτηση f η οοί είνι συνεχής στο [, ] κι γι την οοί ισχύει: f < γι κάθε [,] Ν δείξετε ότι η εξίσωση f ( t dt = έχει μονδική λύση στο (, 5 Ν ρείτε την συνεχή συνάρτηση f :R R γι την οοί ισχύει f ( d = f ( + (Γενικές Εξετάσεις Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύουν: f + f" ημd = κι f = 5 ν ρείτε το f( 7 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [ ] R ν δείξετε ότι f d =, κι ισχύει f + f = γι κάθε

24 88 8 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει ( f t dt γι κάθε R ν ρείτε το f( 9 Δίνετι η συνάρτηση F = t dt Ν ρείτε το εδίο ορισμού της Δίνετι η συνάρτηση F = t tdt Ν ρείτε το εδίο ορισμού της Ν ρείτε το εδίο ορισμού της συνάρτησης F με τύο ( F = n dt Έστω συνάρτηση f ργωγίσιμη στο R Ν δείξετε ότι f' = f, R ν κι μόνο ν f = c, R Αν f = f( t dt+ ν ρείτε την συνεχή συνάρτηση f στο R λ λ + + Αν ισχύει f d = ν ρείτε το λ R λ λ + 9 Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Δίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο [,], γι την οοί ισχύει: f d = f d ( Ν οδείξετε ότι: Η συνάρτηση g = f( t dt είνι ργωγίσιμη στο [,] Η εξίσωση f + f( = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες ρ, ρ με < ρ < < ρ < γ Αν η συνάρτηση f είνι εριττή στο [,], τότε f ( t dt, γι κάθε [,] =