just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
|
|
- Πραξιτέλης Σερπετζόγλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον group-aei aei.gr
2 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση z+ i = πριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ ( i) κι κτίν Αν η f διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(,3 ) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ. 4. Αν η πργωγίσιµη f έχει µέγιστο γι f = = τότε 5. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ισχύει : f ( ) > > f ( ) 6. Αν ισχύει ότι f ( ) f ( ) τότε 7. Γι κάθε > ισχύει ότι ln > 8. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο [, ] τότε έχει µόνο µι οριζόντι εφπτοµένη 9. Αν η f εφρµόζει το ΘΜΤ στο [, ] τότε δεν έχει οριζόντι εφπτοµένη. Αν lim f <, τότε f < κοντά στο. Ισχύει ότι : ηµ γι κάθε R. Αν γι ισχυει f () > R τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο * R. 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε : f() ( f ) = γι κάθε [, ] τότε η f στθερή. 4. Ισχύει ότι : λ f()d = λ f()d, λ R 5. Αν, R κι ( + i) 8 = + i τότε ( + ) 8 i = i 6. Αν lim f = κι f()> τότε ισχύει ότι lim f = Ισχύει ότι : (+εφ )d= [ εφ] π 4 π π 4 π,, π Αν η f είνι κυρτή στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R
3 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 9. i v = ή i ή ν v N. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι οι ρίζες της πργώγου της. y = f. Με δεδοµένο το σχήµ της f ν ρείτε τη µονοτονί, τ κρόττ, τ κοίλ κι τ σηµεί κµπής της f.. Αν η f λλάζει κοίλ στο R τότε έχει σηµείο κµπής 3. Έστω f :[, ] R συνεχής µε ( f ) ( f ) = γι κάθε [,] τότε ισχύει ότι f = Αν η f κοίλη στο τότε f < γι κάθε 5. Αν lim f = + ή, τότε lim f = Η εικόν f ( ) ενός διστήµτος µέσω µις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστηµ. 7. Αν γι κάθε συνεχή συνάρτηση g ισχύει ότι : f =, [,] 8. Στο σύνολο C υπάρχει κριώς ένς µιγδικός z, ώστε f g d = τότε z =. 9. Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Αν f γι κάθε [, ], τότε f d >. 3. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες σ έν διάστηµ, τότε ισχύει : f g d + f g d = f g 3. Αν οι µιγδικοί z, z έχουν εικόνες ντίστοιχ τ σηµεί Μ, Μ τότε ισχύει : M M = z + z
4 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν η συνάρτηση f δυο φορές πργωγίσιµη σε έν διάστηµ κι γι το σηµείο ισχύει f ( ) =, τότε το σηµείο,f ( ) κµπής της γρφικής πράστσης της f. ( ) Α είνι σηµείο 33. Έστω µι συνάρτηση f πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (, ) µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του τότε το f δεν είνι τοπικό κρόττο.. Αν η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ), 34. Η πόστση των εικόνων δύο µιγδικών ισούτι µε τη διφορά των µιγδικών. 35. Η f = έχει κτκόρυφη σύµπτωτη την =. 36. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 37. Αν η f δεν είνι κυρτή στο τότε είνι κοίλη στο. 38. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R κι ισχύει ότι f f e d > τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R f 39. Με δεδοµένο το σχήµ της f κι την g i) H g γνησίως ύξουσ στο [, ] ii) g( ) είνι τοπικό ελάχιστο iii) το (, ) είνι σηµείο κµπής της f iv) g( 4 ) είνι τοπικό ελάχιστο = f t dt ισχύουν : y = f 4 4. Αν η f έχει οριζόντι σύµπτωτη τότε η f έχει κτκόρυφη 4. Αν η f συνεχής στο R κι f τότε f f 5 > 4. Τ εσωτερικά σηµεί ενός διστήµτος στ οποί η f δε πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση µε το µηδέν ονοµάζοντι κρίσιµ σηµεί της f 43. Ισχύει ότι : 4 3 t e dt γι κάθε R 44. Αν η f είνι πργωγίσιµη κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ τότε : f > γι κάθε
5 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι τον µιγδικό z ισχύει z 3+ 4i = zz τότε η εικόν του κινείτι σε κύκλο µε κέντρο Κ (3,-4) κι κτίν 46. Ισχύει ότι : ( + ) f f h ρ = lim = f h h 47. Αν η f πργωγίσιµη στο (, ) κι η f διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (, ) τότε το γνησίως µονότονη στο (, ) z f δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι 48. Αν ισχύει ότι f ( A ) =R τότε η f έχει µόνο µί ρίζ. 49. Με άση το σχήµ ισχύουν τ πρκάτω: 3 f 3. ( fof ) = f ( 3) f = 3. γ. η νίσωση f ( ) 3 είνι δύντη 5. Αν z, z C, τοτε z z z + z 5. Aν γι κάθε : f f R τότε η f έχει µέγιστο κι ελάχιστο 53. Αν η f άρτι στο R τότε η f είνι 54. Οι συνρτήσεις fof f of κι είνι ίσες στο A f 55. Αν f = γι κάθε R, τότε η f είνι στθερή. 56. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στοr µε κµπή στο 57. Aν f κι g είνι τότε f g είνι f =, τότε 58. Ισχύει ότι συν lim = 59. Ισχύει ότι 6. Ισχύει ότι t t e dt = e = e e ( ln ) ηµ lim = ln 6. Αν z, w C κι ισχύει z + w = τότε ( z = κι w = )
6 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 6. Ισχύει ότι ηµ = ηµ συν 63. Ισχύει ότι + t = + t 64. Ισχύει ότι ln, ή + = + = µετλητ 65. Αν η f συνεχής στο τότε η f πργωγίσιµη στο Η f = e e έχει οριζόντι εφπτοµένη 67. Ισχύει ότι + lim = lim = 68. Ισχύει ότι lim e ln( ) 69. Ισχύει ότι lim ( e ) + + = + = + (κνόνς DLH) 7. Ένς µόνο µιγδικός ικνοποιεί την εξίσωση : z i = z 7. Αν z = z z R 7. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,4) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της 73. Η συνάρτηση fog ορίζετι ν f Α g 74. Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R τότε f < f ( + ), R 75. Aν lim f = 5 τότε lim f 5 = 76. Ισχύει ότι ηµ 3 lim = Αν lim f = 5 τότε 78. Ισχύει ότι lim = Η f ln ( ) f > γι κάθε R = + είνι σύνθεση των g = ln κι 8. Ισχύει ότι : f g h ( ) f ( h( g )) h = + = ν f, g, h ορίζοντι στο R 8. Αν ισχύει ότι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ξ : f ξ =
7 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f ( ) < f < f ( + ), R 83. Αν f f = = τότε ο άξονς εφάπτετι στην γρφική πράστση της f 84. Αν η f κυρτή στο διάστηµ, τότε η -f κοίλη στο. f 85. Ισχύει ότι 86. Αν ισχύει ότι lim f g t dt = g f f ( ) = τότε f ( ) = 87. Γι κάθε µιγδικό z C ισχύει ότι : z z = z z Αν f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] τότε ισχύει ότι : f d > 89. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικό κρόττο τότε : f γι κάθε R 9. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η ευθεί ε : y = + + είνι σύµπτωτη της συνάρτησης f στο Aν η f είνι πργωγίσιµη στο A = [,] τότε ισχύει ότι : f d + f d = f 9. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. 93. Το = είνι κρίσιµο σηµείο της f 94. Αν z, z ρίζες της Ε : z z+ = µε R τότε = z = z =. 95. Αν γι κάθε R, f τότε η f δεν έχει τοπικό κρόττο. 96. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = 3 τότε 9 z+ R z 97. Αν η f είνι πργωγίσιµη στο R κι f > f τότε υπάρχει ξ R ώστε f ( ξ ) >. 98. Αν f γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R.
8 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 99. Η ρχική συνάρτηση της f. Αν ισχύει ότι f g + κ = είνι η F = +λ < γι > κι. Αν ο + i είνι ρίζ της εξίσωσης lim g() = + τότε + lim f () = + + z + z+ = τότε κι ο i είνι ρίζ. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, ), τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( ),f ( ). 3. Το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f σε έν διάστηµ κι πό τις ευθείες, = κι = είνι ίσο µε f d. 4. Αν µι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιµη κι κοίλη σε έν διάστηµ, τότε ισχύει f < γι κάθε. 5. Αν µι ρητή συνάρτηση δεν έχει κτκόρυφη σύµπτωτη, τότε υτή έχει πεδίο ορισµού το R. 6. Αν οι ρίζες της εξίσωσης πργµτικές, τότε υτές είνι συζυγείς µιγδικοί. z + z+ γ = µε,,γ R κι, δεν είνι 7. Αν γι κάθε R ισχύει f τότε η f είνι κυρτή στο R. 8. Το = είνι θέση κρόττου της f = 9. Αν γι τον z C ισχύει ότι z = τότε z I z. Αν η f είνι δυο φορές πργωγίσιµη στο R κι f f ξ R ώστε f ( ξ ) >.. Αν f γι κάθε R τότε η f δεν έχει σηµείο κµπής. > τότε υπάρχει. Ισχύει ότι 3 t e dt > γι κάθε 3. Αν ισχύει ότι f g γι > κι lim g() = + τότε + lim = f () + 4. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο τότε είνι κι η fog κι ισχύει ότι :
9 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς ( fog) = f ( g ) g 5. Αν γι µι συνάρτηση f ισχύουν ότι : f ( ) f ( ) < κι f γι κάθε (, ), τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 6. Aν γι δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει ότι : = γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g f g κάθε. ν 7. Αν ισχύει ότι i i κ = τότε.4 ν κ = πολ. 8. Aν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει ότι : < g γι κάθε [, ], τότε f d < f 9. Ισχύει ότι συν = ηµ, R. 3. Η συνάρτηση ευθεί y = 3 g d = γι f = e + 3 έχει πλάγι σύµπτωτη στο + την. Αν f συνεχής στο Α = [, ] τότε οι τιµές f ( ) είνι οµόσηµες στο Α.. Αν γι R f = g τότε = + f g c 3. Αν η f εφρµόζει το Θ. Rolle στο A = [, ] τότε η f δεν είνι ντιστρέψιµη. 4. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ] τότε το σύνολο τιµών της είνι f ( Α ) = f ( ),f ( ). 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f = + 6. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 7. Η εξίσωση ηµ = έχει µόνο µί ρίζ ο 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο A = (, ) τότε f ( Α ) = f ( ),f ( ) 9. Αν ισχύει f = f τότε f e = κ +λ
10 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Αν z = τότε ισχύει ότι : z = z 3. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 3. Η συνάρτηση f ln( e ) 33. Η συνάρτηση 34. Ισχύει ότι : = έχει πεδίο ορισµού το f = t 4dt Ισχύει ότι * R έχει πεδίο ορισµού το A = [, + ) ln lim = συν ηµ συν lim = lim = lim = 36. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 37. Iσχύει ότι : d = = 38. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο 39. Η συνάρτηση f ln 4. Ισχύει ότι f d = έχει οριζόντι εφπτόµενη. 4. Ισχύει ότι : = lim e κ Η f = κι η g = έχουν κοινή εφπτοµένη στο. 43. Αν µι συνάρτηση f : A R είνι ντιστρεψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α. 44. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι f >, τότε > γι τις τιµές του κοντά στο. f 45. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R κι δεν έχει τοπικά κρόττ τότε f γι κάθε R. 46. Έστω η συνάρτηση f η οποί είνι κυρτή στο διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη σε υτό τότε ισχύει f > γι κάθε. 47. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είνι πντού ίση µε µηδέν στο [, ]
11 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς τότε ισχύει ότι f d >. 48. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει ότι f f 49. Aν lim f = τότε lim f = = τότε =. 5. Ισχύει ότι ln lim = 5. Αν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο A = [, ) τότε το σύνολο τιµών της είνι το f ( Α ) = f ( ),limf 5. Αν γι R ισχύει ότι f = τότε f 53. Αν f ( ) g ( ). = + = τότε οι f,g έχουν κοινή εφπτοµένη στο. ( ) 54. Η εφπτοµένη της f στο 55. Ισχύει ότι : i Im( z) = z z M,f δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε την f. 56. Γι κάθε z C ισχύει ότι 4 z = z z. 57. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 58. Αν f πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει ( f f ) () = ( f ) Αν f = 3 τότε f =. 6. Αν f = κι g = 3 τότε 6. Ισχύει ότι : e + 4 = e + 4 fg () = Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 63. Η συνάρτηση f g( ) = όπου A g =R είνι ντιστρέψιµη. 64. Η ευθεί y = 3 εφάπτετι στην f = e e 65. Ισχύει ότι : ( fog) = f ( g ) g 66. Ισχύει ότι : 67. Ισχύει ότι lim ln = ( ) f h f f = lim h h
12 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 68. Aν ισχύει ότι z = z τότε ο z είνι πργµτικός. 69. Ισχύει ότι Re( z) = z+ z γι z C 7. Αν lim f = lim f = 7. Η συνάρτηση f = e + 4 +συν έχει οριζόντι εφπτοµένη. 7. Αν η ευθεί ΑΒ µε A,f ( ) κι Β,f f λ ΑΒ = f = εφάπτετι στην f τότε 73. Αν ισχύει ότι z i = i τότε η εικόν του z νήκει σε ευθεί. 74. Αν + lim f = τότε η ευθεί y = + είνι πλάγι σύµπτωτη της f 75. Ισχύει ότι Το Ι = ( ) f f = γι κάθε A. d πριστάνει το εµδόν που περικλείετι νάµεσ 3 στη γρφική πράστση της f = µε τον άξον κι τις ευθείες = κι = 77. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο (, ) κι ισχύουν f ( ) = f ( ) κι f, γι κάθε (, ) τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 78. Αν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ] τότε γι κάθε (, ) ισχύει ότι f f f. 79. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει f στθερή στο R. 8. Αν f g =, γι κάθε R τότε η f είνι = γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις f κι g είνι ίσες. 8. Αν η f : R R είνι πργωγίσιµη κι δεν είνι ντιστρέψιµη τότε υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε η εφπτόµενη της πράλληλη στον άξον των. C στο M ξ,f f ξ ν είνι 8. Αν οι f, g είνι πργωγίσιµες στο διάστηµ = [, ], f g d f g f g d. τότε ισχύει ότι : =
13 Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς 83. Αν γι R f = g κι f = g τότε 84. Αν γι κάθε R ισχύει f = f τότε f ce f = g + c =. 85. Αν f d = τότε υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ξ = 86. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f είνι πργωγίσιµη στο. 87. Αν ισχύει ότι f f( t) e dt = τότε f = 88. Γι τη πργωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει : lim f = f ( ) 89. Αν ισχύει ότι lim f = τότε η y = είνι πλάγι σύµπτωτη της f Aν ισχύει ότι z i = z+ i η εικόν του z νήκει στην ευθεί y 9. Ισχύει ότι lim ηµ = + =. 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι f γι κάθε R, τότε η f ντιστρέψιµη. f d f t dt, όπου f συνεχής στο R. 93. Ισχύει ότι : = ( + ) 94. Ισχύει ότι : + ( ) συν + lim = 95. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε f > γι κάθε R. 96. Αν f ( ) = τότε το 97. Ισχύει ότι : f είνι τοπικό κρόττο ln ln =, > 98. Αν η f δεν είνι συνεχής στο τότε η f δεν είνι πργωγίσιµη στο 99. Ισχύει ότι : lim e + =. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο Rτότε είνι κι στο R.. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Ο(,), Α(,) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισµού της.
14 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς. Γι δυο συνρτήσεις f, g ισχύει πάντ ότι fog = gof. 3. Αν η f : R R διέρχετι πό τ σηµεί Α(,), Β(3,) τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισµού της 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 5. Αν µι συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστηµ (, ) τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµ υτό είνι το διάστηµ ( Α, Β ), όπου Α = lim f κι Β = lim f ( ) + 6. Αν το σύνολο τιµών της συνάρτησης f είνι f ( A ) =R τότε η εξίσωση f = 5 έχει µόνο µί ρίζ στο R 7. Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι f = πργωγίσιµη σε υτό τότε 8. Αν ο ριθµός z είνι φντστικός, τότε Οι ριθµοί z i i i ως προς τον άξον y y. z + z = = + + κι w ( i) = έχουν εικόνες συµµετρικές. Αν γι τον µιγδικό ριθµό z = + yi, µε, y R ισχύει ότι + =, τότε z+ i =. y 4. Αν γι τους µιγδικούς z, w ισχύει z + w =, τότε z = w =. Αν ισχύει z = τότε z = z 3. Γι µί συνάρτηση f ισχύει ότι f ( f ) f f 4. Η συνάρτηση e + e 5. Ισχύει ότι : = γι κάθε A f = t dt έχει πεδίο ορισµού το R - e + = e +, > 6. Αν z = 5 τότε ισχύει ότι : 5 iz = i z
15 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 7. Αν f d = τότε f = γι [,] 8. Ισχύει ότι : ln( + ) lim e + + = 9. Αν οι συνρτήσεις f, f, R f είνι πργωγίσιµες στο R τότε. Αν ισχύει ότι η f = f τότε f e = γι κάθε R. Αν είνι < <, τότε = + + lim. Αν µι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σηµείο τότε δεν µπορεί ν είνι πργωγίσιµη στο 3. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Γι όλους τους µιγδικούς ριθµούς z, w ισχύει η σχέση z w + z+ w = z + w 5. Αν η f είνι κυρτή στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 6. Αν η συνάρτηση f είνι κυρτή στο R τότε f >. 7. Γι κάθε z C ισχύει z i z 8. Αν γι κάθε R f τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο R. 9. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R τότε ισχύει : f d = f f d
16 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 3. Ισχύει ότι ηµ = lim + e + 3. Αν ισχύει ότι lim f() = - 4 τότε f() < 3. Η συνάρτηση f() = e έχει σύµπτωτη στο Ισχύει ότι : z+ z = Re( z), z C 34. Ισχύει ότι : = + γι κάθε > (ln ) 35. Αν γι R ισχύει ότι f τότε η f έχει το πολύ µι ρίζ στο R 36. Αν ισχύει ότι f = e γι κάθε R τότε f = e η f = e 37. Αν το είνι σηµείο κµπής της f τότε f = 38. Ισχύει ότι lim π συν = Αν f = γι κάθε R, τότε f f = κι f = =, ν δίνετι ότι 4. Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ]. Aν G είνι η πράγουσ της f στο [, ] f t dt G G, τότε = ( ) ( ) 4. Αν η f είνι κοίλη στο R τότε είνι κάτω πό όλες τις εφπτόµενες. 4. Αν η πργωγίσιµη στο R συνάρτηση f δεν είνι ντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµ [, ] στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle. 43. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο [, ], µε f ( ) < f υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: f <, τότε 44. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιµη στο (, ) f ( ) f ( ), τότε f γι κάθε (, ) κι
17 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 45. Αν γι µί συνάρτηση f : A R ισχύει ότι f κ όπου κ R γι κάθε A, τότε το κ είνι µέγιστη τιµή της f. 46. Αν υπάρχει το είνι lim f lim f =. =, τότε υπάρχει το όριο της f στο κι ε 47. Αν γι µί συνάρτηση f ισχύουν f ( ) f ( ) < κι f, τότε η f δεν είνι συνεχής στο [, ]. 48. Αν γι δύο συνρτήσεις f,g συνεχείς στο διάστηµ ισχύει f g κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f g = γι κάθε 49. Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f g κάθε [, ], τότε 5. Γι τους z, z C ισχύει: zzzz R = γι < γι 5.Αν f f < κι f γι κάθε [,] τότε η f είνι συνεχής στο [, ] 5. Αν ισχύει ότι στο R 53. Αν f ( ) f e + f = 5 τότε η f είνι γνησίως µονότονη f ( ) f e f = γι κάθε R, τότε η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο R 54. Η ηµ f = 4 t dt έχει πεδίο ορισµού το R 55. H γρφική πράστση της συνάρτησης f είνι συµµετρική της f, ως προς την ευθεί y =, 56. To Πεδίο Ορισµού της f = dt είνι το A = (,) 57. Αν f = 3 τότε f 3 = ln t
18 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 58. Αν f d τότε f γι κάθε [,] 59. Γι οποιοδήποτε µιγδικό z ισχύει z = z = z 6. Αν z, z είνι µιγδικοί ριθµοί τότε ισχύει: zz = z z 6. Μί συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f f ( ) γι κάθε A. 6. Αν f < γι R τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 63. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι κι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό. 64. Οι ρίζες της εξίσωσης z + z+ γ = µε,, γ R είνι συζυγείς. 65. Αν µί συνάρτηση f είνι - στο πεδίο ορισµού της, τότε είνι γνησίως µονότονη σε υτό. 66. Αν γι κάθε ισχύει ότι 67. Αν f f d τότε η f είνι - γι κάθε R τότε lim f ( ) = Αν µί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι δεν µηδενίζετι σε υτό, τότε η f διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ. 69. Ισχύει ότι z z z z γι κάθε z, z C 7. Ισχύει ότι Im( z) = Im( z) 7. Αν z i = z+ i τότε z R 7. Αν ισχύει ότι z + z+ 4 = µε z C τότε z = 73. Αν f = τότε το ( ) A,f είνι σηµείο κµπής
19 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς 74. Αν ισχύει ότι lim f = 4 τότε f < γι κάθε R 75. Αν ισχύει ότι z = τότε είνι z = z 76. Ισχύει ότι : z z = Im( z) 77. Αν z, z C, τοτε z + z = z + z + Re( z z ) 78. Ισχύει ότι : z i z 79. Aν γι κάθε R : f g = f = ή g = γι κάθε R 8. Αν γι R ισχύει f = τότε 3 f() = + 8. Αν γι ισχυει f () = 8. Αν f ( ) = τότε f R τότε η f είνι στθερή στο R *. = 83. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσηµο σε κθέν πό τ διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. 84. Αν z R z+ z = 85. Αν f < γι κάθε R τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R 86. Ισχύει ότι t e dt > γι κάθε R 87. Αν z = z z = z 88. Αν f f ( ) f e = = κ +λ, κ, λ R 89. Αν είνι κρίσιµο σηµείο της f τότε f = 9. Αν γι κάθε R ισχύει ότι f τότε η συνάρτηση f διτηρεί 9. Αν πρόσηµο στο R e f = f t dt, R τότε η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο R
20 Νίκος Σούρµπης Γιώργος Βρδούκς f 9. Ισχύει ότι g t dt = f g f ( ) 93. Η συνάρτηση f = dt έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ A = (,) ln t 94. Ισχύει ότι 4 t te dt > 95. Αν f = τότε το σηµείο Η f = + + έχει οριζόντι εφπτοµένη. A,f είνι σηµείο κµπής της συνάρτησης f 97. Αν z i = τότε η εικόν M( z ) νήκει σε κύκλο κέντρου K(, ) κι κτίνς ρ = 98. Αν f = τότε το σηµείο συνάρτησης f A,f είνι σηµείο κµπής της 99. Αν η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιµη, τότε η f είνι γνησίως µονότονη στο Α 3. Ισχύει ότι 4 z = z z 3 + i γι κάθε z C 3. Γι τον ριθµό z C ισχύει ότι = z z Im z i 3. Κρίσιµ σηµεί της f λέγοντι τ τοπικά κρόττ. 33. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη στο R όπου ισχύει f f d > f τότε η f είνι κυρτή στο R.
β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότερα4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
Διαβάστε περισσότερα114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν
Διαβάστε περισσότεραΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους
Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2
- 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση
Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση kanellopoulos@hotmail.com 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι
Διαβάστε περισσότεραα) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ
ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΟ Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότερα1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό
Διαβάστε περισσότερα( 0) = lim. g x - 1 -
ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ
ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Σ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΥ 8 7 μ Α ΘΕΜΑ Α Α η λύση Γι έχουμε lim πργωγίσιμη στο lim lim,οπότε μ lim φού η είνι μ Επομένως, lim η λύση, δηλδή η είνι συνεχής στο lim lim μ lim lim
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήμτος σελίδ 99 στο σχολικό Α. ) Ψ β) Η συνάρτηση,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε
Διαβάστε περισσότεραείναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα
Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Απόδειξη σελ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7-5-4 ΘΕΜΑ Ο Α. Απόδειξη σελ. 6 6 Β. Ορισμός σελ. Γ. Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ Ο. D () ln { R : > } (, + ) Η πργωγίζετι
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx =
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}
1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραολοκληρωτικος λογισμος
γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραµε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x
998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α. Τι ονοµάζετι εύρος µις µετβλητής; Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση,
Διαβάστε περισσότεραΣάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:
Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0
Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ
ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς
Διαβάστε περισσότερα) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt
ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()
Διαβάστε περισσότεραΒασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης
ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραάρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑÏΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 6 β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 67
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότεραΧαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων
Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Διαβάστε περισσότερα1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. * Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α (1, -) κι Β (7, ), έχει συντετγµένες
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους
Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i
Διαβάστε περισσότερα