ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. log x2

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ1ο Α. Αν > 0 µε 1, θ > 0 κι k R, ν δείξετε ότι ισχύει: log θ k klog θ. Μονάδες 9 Β. Ν χρκτηρίσετε τις ροτάσεις ου κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό Λάθος δίλ στο γράµµ ου ντιστοιχεί σε κάθε ρότση. Γι οοιουσδοτε θετικούς ριθµούς 1, ισχύει 1 log 1 log. log β. Το άθροισµ των ρώτων ν όρων ριθµητικς ροόδου ( ν ) είνι 1 + ν Sν ν. γ. Αν υ() είνι το υόλοιο της διίρεσης του ολυωνύµου () δι του δ(), όου δ() κι υ() είνι µη µηδενικά ολυώνυµ, τότε ο βθµός του υ() είνι µικρότερος ό το βθµό του δ(). δ. Εάν, β, γ είνι διδοχικοί όροι οοισδοτε ριθµητικς ροόδου, τότε ισχύει β γ. Μονάδες Γ. Ν συµληρώσετε στο τετράδιό σς στις ρκάτω ισότητες, τ κενά ου σηµειώνοντι µε ν µ όου > 0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος log θ β.... όου θ > 0 κι > 0 µε 1 γ. log... όου > 0 µε 1 κι R Μονάδες 6. Ν µετφέρετε στο τετράδιό σς τον ρκάτω ίνκ κι ν τον συµληρώσετε µε το είδος της µονοτονίς των συνρτσεων ηµ κι συν. Μονάδες 6 Τεχνικ Εεξεργσί: Keystone 1

2 ΘΕΜΑ ο Ν λύσετε την εξίσωση ηµ συν 0. 1 συν β. Ν οδείξετε ότι εφ ηµ + ηµ γι όλες τις τιµές του ου ορίζετι η ισότητ Μονάδες 1 Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο ίνετι το ολυώνυµο P() (5-1) , όου R. Ν κάνετε την διίρεση του P() δι του - 1 κι ν γράψετε τη σχετικ τυτότητ Μονάδες 9 β. Ν βρείτε την τιµ του, ώστε η ράνω διίρεση ν είνι τέλει Μονάδες γ. Γι, ν βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης P() 0 κθώς κι τ διστµτ στ οοί η γρφικ ράστση της ολυωνυµικς συνάρτησης P() είνι κάτω ό τον άξον. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο Α. Ν βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης 1 1 f() Β. ίνετι η συνάρτηση g() 5. Ν λύσετε την εξίσωση: 15(5 1) g() + g( + 1) + g( + ) g( + 9). Μονάδες 1 Μονάδες 1 Τεχνικ Εεξεργσί: Keystone

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Έστω ότι είνι log θ (1) Τότε σύµφων µε τον ορισµό των λογρίθµων θ έχουµε ισοδύνµ ότι θ οότε θ κ ( ) κ θ κ κ (µε κ R) log θ κ κ () (ορισµός των λογρίθµων) Τέλος η () λόγω της (1) γράφετι log θ κ κ log θ Β. β. γ. δ. Λ Σ Σ Λ Γ. µ ν µ ν log β. θ θ γ. log. ΘΕΜΑ ο Έχουµε ηµ συν 0 συν συν 0 ηµ ( ηµ ) συν 0 οότε ηµ 0 (1) συν 0 () Αό την (1) έχουµε ηµ 0 ηµ ηµ ηµ Τεχνικ Εεξεργσί: Keystone

4 οότε κ + µε κ Ζ κ + κ + κ + Αό την () έχουµε συν 0 συν συν. Άρ κ ± µε κ Ζ β. συν ηµ + ηµ 1 1 ( 1 ηµ ) ηµ + ηµ συν 1 1+ ηµ ηµ ( 1+ συν ) ηµ ηµ συν ( 1+ ) ηµ 1+ συν ηµ συν 1+ συν 1 ηµ συν συν ηµ εφ συν ΘΕΜΑ ο (5-1) Αό την ράνω διίρεση ροκύτει η τυτότητ: P() ( - 1) ( ) + -6 β. Η ράνω διίρεση είνι τέλει ότν υ γ. Γι η εξίσωση P() 0 γράφετι: ( - 1) ( ) 0 ( - 1) ( + 1) ( ) 0 ( - 1) ( + 1) ( - ) ( - 5) 0. Οι ρίζες της εξίσωσης είνι -1, 1,, 5. Η γρφικ ράστση της P() είνι κάτω ό τον ότν κι µόνον ότν P() < 0 ( - 1) ( + 1) ( - ) ( - 5) < 0, Τεχνικ Εεξεργσί: Keystone

5 ου ό τον ίνκ ροσµων ροκύτει ότι (-1, 1) (, 5). ΘΕΜΑ ο Α. Β. Το εδίο ορισµού της f είνι οι τιµές του γι τις οοίες: Θέτοντς y > 0 (1) έχουµε: (1) 1 1 y + y 1 0 y y ( y 1) y 0 y 1 log log log 5 log1 0 log 5 log log 0 log 5 Σηµ. Εάν χρησιµοοιούσµε το φυσικό λογάριθµο θ είχµε Το ρώτο µέλος της δοσµένης εξίσωσης γράφετι: log 5> 0 ln 0 ln 5 g()+g(+1)+g(+)+.+g(+9) ( ) (1) όµως το άθροισµ είνι άθροισµ των ρώτων όρων µις γεωµετρικς ροόδου µε ρώτο όρο 1 1 κι λόγο λ5. Οότε: 9 1 ( 5 1) () 5 1 Έτσι η (1) λόγω της () γράφετι: 5 1 g()+g(+1)+g(+)+ +g(+9) 5. Εοµένως η δεδοµένη εξίσωση γράφετι ισοδύνµ (5 1) Άρ (φού η συνάρτηση 5 είνι 1-1). Τεχνικ Εεξεργσί: Keystone 5