β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Aν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι πάντοτε συνεχής στο Aν η f δεν είνι συνεχής στο, τότε η f είνι πργωγίσιμη στο 3 Αν η f έχει δεύτερη πράγωγο στο, τότε η f είνι συνεχής στο 4 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει z = zz z = z γ z = z δ z = z ε iz = z 5 Αν η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο [, ] κι συνεχής στο (, ], τότε η f πίρνει πάντοτε στο [, ] μι μέγιστη τιμή 6 Κάθε συνάρτηση που είνι στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη 7 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι lim f ( ) = τότε lim f ( ) = (εκτός ύλης) 8 Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε f ( ) d = f ( ) f ( ) d 9 Αν lim f ( ) > τότε f ( ) > κοντά στο Αν f ( ) d,τότε κτ νάγκη θ είνι ( ) f γι κάθε [, ] Η εικόν f ( ) ενός διστήμτος μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης διάστημ f είνι Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, ], στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle 3 Έστω συνάρτηση f ορισμένη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, ] κι σημείο [ ] οποίο η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντ ισχύει ότι f ( ) = 4 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι υπάρχει ( ) f ( ) =, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( ) f ( ) <, 5 Αν z ένς μιγδικός ριθμός κι z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z στο, τέτοιο ώστε

2 6 Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν f ( ) > γι κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είνι κυρτή στο 7 Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ ισχύει f ( ) d = f ( ) + c, c R 8 Αν μί συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του ρίσκετι «πάνω» πό τη γρφικής της πράστση 9 Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ κι έν εσωτερικό σημείο του Αν η f είνι πργωγίσιμη στο κι f ( ) =, τότε η f προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ z z z + z z + z Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν f ( ) > στο (, ) κι f ( ) < στο ( ), τότε το f ( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f Μι συνάρτηση f : A R είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιοδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή : ν = τότε f ( ) = f ( ) 3 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με συνεχή πρώτη πράγωγο, τότε ισχύει : f ( ) g ( ) d = f ( ) g( ) f ( ) g( ) d 4 Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος δύο μιγδικών ριθμών είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους 5 lim f ( ) = l ν κι μόνο ν lim f ( ) = lim f ( ) = l + 6 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο ( ) = ( ) ( ) κι ισχύει : ( f g ) f g 7 Έστω μί συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Αν f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το 8 Έστω f μί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] Αν G είνι μί πράγουσ της f στο [, ] τότε f ( t) dt = G( ) G( ) 9 Αν μί συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 3 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους,

3 3 Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδίο ορισμού R κι ορίζοντι οι συνθέσεις f o g κι g o f, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες 3 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι y = που διχοτομεί τις γωνίες oy κι oy f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί 33 Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε κ N κι κ lim κ f ( ) = κ lim f ( ), εφόσον το f ( ) κοντά στο, με 34 Αν η f είνι συνεχής στο [, ] με f ( ) < κι υπάρχει ξ (, ) f ( ) > 35 Αν υπάρχει το lim ( f ( ) g( ) ) ώστε f ( ξ ) =, τότε κτ νάγκη +,τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f ( ) κι lim g ( ) f 36 Αν η f έχει ντίστροφη συνάρτηση κι η γρφική πράστση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεί ψ =, τότε το σημείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της f 37 Αν lim f ( ) = κι f ( ) > κοντά στο τότε lim f ( ) = + 38 Αν η f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ισχύει f ( t) dt = f ( ) f ( ) γι κάθε 39 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ κι δε μηδενίζετι σ υτό,τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε ή είνι ρνητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ 4 Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πργωγός της είνι ίση με το λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ 4 Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ) με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο ( ) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο (, f ( )) υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 4 Το μέτρο της διφοράς δυο μιγδικών ριθμών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους 43 Αν γι δυο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι f o g κι g o f, τότε είνι υποχρεωτικά f o g g o f, Α είνι 44 Οι εικόνες δυο συζυγών μιγδικών ριθμών z, z είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον 45 Αν η συνάρτηση f έχει πράγουσ σε έν διάστημ κι λ R *,τότε ισχύει λ f ( ) d = λ f ( ) d

4 46 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει z = z 47 Αν υπάρχει το lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοντά στο 48 Η εικόν f ( ) ενός διστήμτος μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ 49 Ισχύει ο τύπος ( 3 ) = 3, γι κάθε R 5 Ισχύει η σχέση f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) d όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] 5 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει z z z + z 5 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο κι g( ), τότε η συνάρτηση πργωγίσιμη στο κι ισχύει f f ( ) g ( ) f ( ) g( ) ( ) = g [ g( )] f g είνι 53 Γι κάθε ισχύει [ ln ] = 54 Μι συνάρτηση f : Α R είνι ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει κριώς μι λύση ως προς 55 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, ] τότε f ( t) dt = G( ) G( ) 56 Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [, ] κι γι κάθε [, ], ισχύει f ( ) τότε f ( ) d > 57 Έστω f μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο, τότε f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του 58 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεση g o f είνι συνεχής στο 59 Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε κάθε διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε g( ) f ( t) dt f ( g( )) g = ( ) με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμολ έχουν νόημ

5 6 Αν > τότε lim = 6 Η εικόν f ( ) διστήμτος μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ 6 Αν f, g, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ [, ], τότε f ( ) g ( ) d = f ( ) d g ( ) d 63 Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε f ( t) dt = f ( ), γι κάθε 64 Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ ( A, Β ) όπου A lim f ( ) + = κι Β = lim f ( ) 65 Έστω δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Αν οι f, g είνι συνεχείς στο κι f ( ) = g ( ) γι κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε ισχύει f ( ) = g( ) γι κάθε 66 Αν μι συνάρτηση f : Α R είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f ( f ( )) =, Α κι f ( f ( y)) = y, y f ( Α) f ισχύει: 67 Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 68 Ότν η δικρίνουσ της εξίσωσης z + z + γ = με,,γ R κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγδικών 69 Αν μι συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο R κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( ) > γι κάθε πργμτικό ριθμό γ 7 Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ κι,,γ τότε ισχύει: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d 7 Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες 7 Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ, τότε η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξιρέση το σημείο επφής τους 73 Το ολοκλήρωμ f ( ) d είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον γ

6 74 Αν, πργμτικοί ριθμοί τότε + i = = ή = 75 Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, ) (, ) U κι l ένς πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυνμί : lim f ( ) = l lim( f ( ) l) = 76 Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί,τότε ισχύει z z = z z 77 Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμοί Α λέμε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο Α, ότν f ( ) f ( ) γι κάθε Α 78 συν lim = 79 Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σημείο του πεδίο ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 8 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι ισχύει f ( ) < γι κάθε [, ],τότε το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες = κι τον άξον είνι E( Ω ) = f ( ) d ν 8 Αν z είνι ένς μιγδικός ριθμός τότε γι κάθε θετικό κέριο ν ισχύει ( z ) ( ) = z ν =, 8 Η συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της f το πολύ σε έν σημείο 83 Αν lim f ( ) = κι f ( ) < κοντά στο τότε lim f ( ) = + 84 Έστω η συνάρτηση f ( ) ισχύει f ( ) = συν = εφ Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R = R { / συν = } κι 85 H δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών ριθμών + i κι γ + δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτινών τους 86 Έστω συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο, τότε η πράγωγος της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 87 Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ ( Α, Β ), όπου Α = lim f ( ) κι Β = lim f ( ) +

7 88 ( συν ) ηµ =, R 89 Αν lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοντά στο 9 Αν f ( ) =, = >,τότε ισχύει ( ) 9 Αν ορίζοντι οι συνρτήσεις f o g κι g o f, τότε πάντοτε ισχύει f o g = g o f 9 Αν lim f ( ) = + ή, τότε lim = f ( ) 93 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι ισχύει f ( ) γι κάθε [, ], τότε f ( ) d 94 Γι κάθε z C ισχύει z = z z 95 Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζουμε z = 96 Μι συνάρτηση f : Α R λέγετι, ότν γι οποιδήποτε, Α ισχύει η συνεπγωγή : f f ν τότε ( ) ( ) = 97 Γι κάθε R = R { / συν = } ισχύει ( εφ ) συν ηµ 98 Ισχύει ότι lim = 99 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι ευθεί y = που διχοτομεί τις γωνίες oy κι oy f είνι συμμετρικές ως προς την Γι κάθε μιγδικό ριθμό z = + i,, R ισχύει z z = Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο Α ( ολικό ) μέγιστο το f ( ), ότν f ( ) f ( ), γι κάθε Α Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως μονότονη σε έν διάστημ, τότε είνι κι στο διάστημ υτό 3 Αν lim f ( ) = κι f ( ) > κοντά στο, τότε lim f ( ) = + 4 Κάθε συνάρτηση f που είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό

8 5 Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον πργμτικό άξον 6 Μι συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει κριώς μί λύση ως προς 7 Αν είνι lim f ( ) = +, τότε f ( ) < κοντά στο 8 ( ) σφ = ηµ -{ / ηµ = }, R = [ ( ) ( )] 9 f ( ) g ( ) d, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] f g + f ( ) g( ) d Η γρφική πράστση της συνάρτησης f είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της f Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών + i κι γ + δ i είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτινών τους Αν είνι < <, τότε lim = + 3 Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο, τότε δεν μπορεί ν είνι πργωγίσιμη στο 4 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της f στο, τότε f ( t) dt = G( ) - G( ) [, ]

9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ γ 4δ 4ε 5 6 Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Λ