Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου"

Ῥόδη Δεσποτόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γενικές σκήσεις σχ. Βιβλίου ου κεφλίου. Ν χρησιµοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( ηµ )d f ( ηµ )d ηµ i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d +ηµ u du d κι u u Έστω Ι ( ) f ( ηµ )d Ι ( ) ( u) f ηµ u ( du) ( u) f ηµ u ( du) Αλλά ηµ( u) ηµu, άρ Ι ( ) ( u) f u du Ι ( ηµ ) Ι ( ηµ ) ( u) f u du [ f ηµ u du u f ( ηµ u)]du Ι ( ) Ι f ( ηµ u)du u f ( ηµ u)du Ι f ( ηµ u)du Ι Ι f ( ηµ u)du Ι Ι f ( ηµ u)du f ( ηµ )d i ηµ ηµ Έστω A d d +ηµ +ηµ Θεωρούµε τη συνάρτηση f(u) () A f ( ηµ )d () ( i ) u, u R, οότε f(ηµ) + u f ( ηµ )d ηµ +ηµ

2 ηµ d +ηµ ηµ ηµ d d + συν συν () Θέτουµε συν u, οότε du ηµd, u () Α du u du () u Ανζητάµε ριθµούς, β έτσι ώστε ν ισχύει u β + u u+ γι κάθε u ± ( + u) + β(u ) ( + β)u + β β κι + β Άρ u (u ) (u+ ) ( ) κι β u u+ () Α u u+ du ln u ln u (ln ln) (ln ln ) ln 8 8

3 . Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d ηµ Ανζητάµε ργµτικούς ριθµούς, β έτσι ώστε ν ισχύει β + + γι κάθε ± ( + β) + β + β κι β Άρ ( ) (+ ) ( ) κι β + d d ln ln + (ln ln) ( ln ln ) (ln ln ln ln + ln + ln) ( ln) ln i ηµ ηµ Ι d d ηµ d ηµ συν () Θέτουµε συν u, οότε du ηµ d κι / / u / () Ι du u du u du u ( i ) ln

4 . Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ du (u+ )(u + ) Κι στην συνέχει τ ολοκληρώµτ συν d, i ( ηµ + )( ηµ + ) e (e + )(e + ) Ανζητούµε ργµτικούς ριθµούς κι β έτσι ώστε ν ισχύει β + γι κάθε u, µε u, (u+ )(u + ) u+ u+ (u + ) + β(u + ) ( + β)u + + β οότε du (u+ )(u + ) Γι το I i Ι d + β κι +β κι β ( + )du ln u + ln u + + c u+ u+ συν d θέτω : ηµ u οότε du συνd άρ ( ηµ + )( ηµ + ) du ln u + ln u + + c ln ηµ + ln ηµ + + c (u+ )(u + ) e Γι το Ι d θέτω : e u οότε du e d άρ (e + )(e + ) Ι du ln u + ln u + + c (u+ )(u + ) ln e + ln e + + c ln(e + ) ln(e + ) + c

5 5. Αν I ν + ν+ d, ν N Ν υολογίσετε το άθροισµ: I ν + Ι ν +, ν N i Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: Ι ο, Ι, Ι I ν + Ι ν + + ν+ d + ( ν+ ) + + d ν+ ν+ ( + ) d + + ν+ ν+ + ( ) d + ν+ (+ ) ) d + i Ι ο ν+ d d + ν+ ν+ ν+ d + ln( + ) ln Γι ν ( Ι ο + Ι Ι Ι ο Ι ln Γι ν ( Ι + Ι Ι Ι Ι + ln + ln

6 6 5. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν δείξετε ότι Θέτουµε g() u Θ οδείξουµε ότι g() h() ( ) f (u)( u)du f ()d du f (u)( u u)du, R κι h() ( f ( )d ), R g() f (u)( u)du [f (u) uf (u)] du f (u)du uf (u)du g () g () g () h () f (u)du + ( f (u)du uf (u)du f (u)du f (u)du + f() f() f (u)du () f (u)du () ) ( uf (u)du) Αό (), () g () h () g() h() + c () Αλλά g() f (u)( u u)du κι h() ( f ( )d ) Η () γι g() h() + c + c c Η () g() h()

7 7 6. ίνετι η συνάρτηση F() f ()d, όου f () u du Ν βρείτε το εδίο ορισµού των συνρτήσεων f κι F. i Ν οδείξετε ότι η F είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή. Η συνάρτηση g(u) u, u (, ] [, + ) είνι συνεχής στο. Γι ν ορίζετι η f, θ ρέει τ άκρ κι ν βρίσκοντι στο ίδιο διάστηµ. Κι εειδή [, + ), θ ρέει κι [, + ). Άρ Οµοίως i D F [, + ). ( ) ' f ()d F () f() u F () f () du () > γι κάθε (, + ) () Οότε η F είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ). Κι εειδή < F () < F () () H () γι F () u du H () < F () F γνησίως ύξουσ D f [, + ). H () F () > στο (, + ) F κυρτή στο [, + )

8 8 7. ίνοντι τ ολοκληρώµτ F() e συν d κι G() eηµ d, R Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ F() + G() κι F() G() κι στην συνέχει τ ολοκληρώµτ F() κι G() i Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ Ι eσυν d κι J e d ηµ F() + G() eσυν d + eηµ d (eσυν + eηµ )d e ( συν +ηµ )d e d e () F() G() e συν d eηµ d e ( συν ηµ )d e συν d () Έστω Α() e συν d τότε Α() (e ) συν d Α() e συν + e ηµ A() 5A() e συν + e ηµ A() 5 (e συν + e ηµ ) δηλδή eσυν eηµ d e συν + (e ) ηµ d e συν + eηµ eσυν d e συν + e ηµ e συν d e συν + e ηµ A() () F() G() 5 (e συν + e ηµ ) () () + () F() 5 (e συν + e ηµ ) + e

9 9 F() (e συν + e ηµ) + e 5 () () () G() e 5 (e συν + e ηµ ) i G() F() e συν d Άρ Ι e (e συν + e ηµ) 5 F () ( ' συν ) eσυν d Οµοίως J e (e ) 5 F ()d [ ] e d F() F() F() e συν ( ) ράξεις e (e ) 5

10 8. To χωρίο ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f() + κι την ευθεί y 5 χωρίζετι ό την ευθεί y +, > σε δύο ισεµβδικά χωρί. Ν βρείτε την τιµή του Τ σηµεί Α κι Β έχουν τετµηµένες τις ρίζες της εξίσωσης + 5 ή Άρ Α(, 5) κι Β(, 5) Γ Τ σηµεί Γ κι έχουν τετµηµένες τις ρίζες της εξίσωσης + + ή Άρ Γ(, +) κι (, +) Η γκρίζ εριοχή έχει ίσο εµβδόν µε την ράσινη Ε Γ Η Ε ΑΒΓ Ε Γ Η Ε Γ Η [ ( )]d Ε ΑΒΗ Ε + + [ ]d + [ ]d ΑΒΗ [5 ( + )]d [5 ]d [ ]d ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) C f

11 9. Ν βρεθεί το εµβδόν Ε(λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f(), τον άξον των κι τις ευθείες, λ, λ >. i Ν βρεθούν οι τις τιµές του λ έτσι, ώστε Ε(λ) ii Ν βρεθούν τ lim Ε( λ ) κι lim Ε( λ ) λ Ότν λ > ( ράσινη εριοχή) λ Ε(λ) d λ Ότν < λ < (γκρίζ εριοχή) λ λ + y Ζ C f Ε(λ) d λ Ότν λ το i Ε(λ) Ε(λ) λ λ µε λ > ή λ λ λ ή λ λ λ ή λ Ο y λ Η Α µε λ < λ Β Γ λ ή λ ii lim Ε( λ ) λ lim Ε( λ ) λ + lim ( ) + λ lim ( ) λ + λ + λ

12 . Έστω f κι g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, β]. Ν οδείξετε ότι : β β Αν f() g() γι κάθε [, β], τότε f ()d g()d i Αν m η ελάχιστη κι Μ η µέγιστη τιµή της f στο [, β], τότε β m( β ) f ()d M( β ) ii Με την βοήθει της νισότητς εφ > γι κάθε (, ), ν οδείξετε ηµ ότι η συνάρτηση f(), (, ) είνι γνησίως φθίνουσ κι στη συνέχει ν οδείξετε ότι : ) ηµ γι κάθε, 6 β) ηµ d 6 iν) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f() e είνι γν. φθίνουσ στο [, + ) κι στην συνέχει µε την βοήθει της νισότητς e + γι κάθε R, ν οδείξετε ότι : ) e γι κάθε [, ] κι β) e d f() g() f() g() γι κάθε [, β], άρ β [f () g()]d i β β f ()d g() d β f ()d g()d m f() Μ γι κάθε [, β ii ' β ( i ) κι β β β m d f () d Μ d m(β ) β f ()d M(β ) ηµ f () συν ηµ () ηµ εφ > > ηµ > συν συν ηµ < συν () f () < στο (, ), ) Είνι 6 f f γν. φθίνουσ στο ( ) f f () f 6

13 β) iν) ηµ ( ii ) ηµ ηµ 6 ηµ 6 ηµ 6 ηµ ηµ d 6 6 ηµ d f() e f () e < στο (, + ) f γν. φθίνουσ στο [, + ) ) Έστω τυχίο [, ] Είνι f f() f() e e e () e + γι κάθε R Θέτοντς όου το ίρνουµε Αό τις (), () e β) + e ( i ) 6 ( + )d 6 e + e () e d d + e d e d

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =