με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

Transcript

1 Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση. ) Αν γι μι συνάρτηση f: υπάρχουν, με τέτοι, ώστε f f, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο Α. β) Αν γι μι συνάρτηση f: ισχύει ότι f γι κάθε A, τότε η f έχει ελάχιστο το Α. γ) Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής κι -, τότε είνι γνησίως μονότονη. δ) Γι κάθε πολυώνυμο ισχύει ότι lim. ε) Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη στο,, κι το lim f υπάρχουν κι τ lim f στ) Αν τ όρι lim f, lim f κι lim g. δεν υπάρχει, τότε δεν δεν υπάρχουν, τότε δεν υπάρχει κι το όριο lim f g. ζ) Το όριο μις συνάρτησης f στο εξρτάτι πό την τιμή της συνάρτησης στο σημείο υτό. η) Είνι lim. θ) Είνι lim. ι) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο,, τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί ν είνι της μορφής,. μονάδες Α. Στ πρκάτω σχήμτ δίνοντι οι γρφικές πρστάσεις τεσσάρων συνρτήσεων. Ν γράψετε σε κάθε μί ποιες πό τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano ισχύουν κι ποιες όχι. Ακόμη ν νφέρετι πόσες ρίζες έχει η κθεμί πό τις συνρτήσεις υτές. Ν Δικιολογήσετε τις πντήσεις σς. C β C Θέμ Β Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο γι την οποί ισχύει ότι β f γι κάθε. μονάδες 44 Β. Ν βρείτε όλους τους δυντούς τύπους της f. μονάδες 4 Έστω f,. Β. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. μονάδες 5 Β. Ν βρείτε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των f κι f. Στη συνέχει ν κάνετε τη γρφική τους πράστση στο ίδιο σύστημ ξόνων. μονάδες 5 Β 4. Ν υπολογίστε τ όρι: μονάδες C β C 4 β

2 f ) lim f β) lim f γ) lim e f B 5. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό, τέτοιο, ώστε Θέμ Γ f f 4 5 f f Έστω οι συνρτήσεις f,g : γι τις οποίες ισχύει ότι g f,. μονάδες 5 Γ. Ν δείξετε ότι η g f είνι ντιστρέψιμη. μονάδες 4 Γ. Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη. μονάδες 4 f f f f. μονάδες Γ. Ν λύσετε την εξίσωση g f Γ 4. Ν υπολογίσετε το όριο lim. 5 5 μονάδες 5 Γ 5. Ν βρείτε τις συνρτήσεις f,g ν ισχύει ότι g f f e e. μονάδες Θέμ Δ Δίνετι η συνάρτηση Δ. Ν ποδείξετε ότι ln. f lim f ln,. μονάδες 5 Δ. Ν βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ln 8. μονάδες 4 Δ. Ν δείξετε ότι γι κάθε, με ισχύει ότι e e. μονάδες 5 ln Δ 4. Ν λύσετε την εξίσωση ln e. μονάδες Δ 5. Ν ποδείξετε ότι lim ln ln e μονάδες 5 Κλή επιτυχί! Στέλιος Μιχήλογλου

3 Λύσεις Θέμ Α Α. ) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ στ) Λ ζ) Λ η) Λ θ) Σ ι) Σ,, όμως f, f δηλδή f f ισχύει το Θ.Β. Επειδή η C δεν τέμνει τον, η εξίσωση f δεν έχει ρίζες στο,. Η C δεν είνι συνεχής στο,, οπότε δεν είνι συνεχής στο,. Όμως φού f κι f. Η C τέμνει τον σε έν σημείο, οπότε η εξίσωση f ρίζ στο,. C δεν είνι συνεχής στ κι β, οπότε δεν είνι συνεχής στο,.όμως f f φού f κι f. Η C τέμνει τον σε έν σημείο, οπότε η εξίσωση f,. C δεν είνι συνεχής στο β, οπότε δεν είνι συνεχής στο,. Επειδή f,f είνι f f.η C 4 τέμνει τον σε έν σημείο, οπότε η εξίσωση f έχει μι,. Α. Η C είνι συνεχής στο Η ρίζ στο Η 4 ρίζ στο Θέμ Β Β. f f Γι κάθε είνι κι γι υτό δεν f f f f κι επειδή η f είνι συνεχής διτηρεί στθερό πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ, κι,. Άρ f f. Οι δυντοί τύποι της f είνι:, ή f, ή f f Β. Έστω, με οπότε είνι - κι ντιστρέφετι. f,,, τότε: f f ή f,, έχει μι έχει μι άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο,, Αν τότε, ενώ ν τότε, άρ f, οπότε, f B. Γι,., : f f ή ή που πορρίπτετι. Γι : f f πορρίπτετι ή πορρίπτετι ή δεκτή.

4 uu u f u u u Β 4. ) lim lim lim u u f u β) Είνι lim f γ) lim u u, οπότε u f u u u 5 4 u u u u u u u u u lim f lim u lim f u u f u f u lim e f lim e u u u Είνι e u e u e e e u e u u. Επειδή u u u u u u κριτήριο πρεμβολής είνι κι Β 5. u lim e u u 4 5 f f lim e lim e, πό το u u Αντικθιστώντς όπου ρ το, η εξίσωση γίνετι: f f Έστω g 7 4 8,, Είνι g 7 4 8,. g Με χρήση του σχήμτος Horner η g γίνετι: g Έστω h 4,,. Είνι h, h 4 δηλδή επειδή η h είνι συνεχής ως πολυωνυμική, υπάρχει, τέτοιο, ώστε h ποδεικνύετι ότι η h είνι γνησίως ύξουσ, οπότε το ρ είνι η μονδική της ρίζ. g h g h. Είνι κι h h κι. Εύκολ Θέμ Γ Γ. Έστω, με g f g f

5 ή Η () είνι εξίσωση ου βθμού ως προς δύντη. Επειδή γι g f g f Γ. Έστω () με είνι 4 οπότε είνι, η g f, με f f, τότε gf gf g f g f g f.άρ η f είνι - κι ντιστρέφετι. f f f f f f f f Γ. g f ή. g f g f g f g f Γ 4. Έστω g f u τότε g f u Ότν 5. gof ή τότε g f u 5. Όμως u είνι - κι ντιστρέφετι. gof 5 lim g f u 5 άρ u. g f u u u Τότε: lim lim lim lim 5 u u u 5 g f u 5 u u 5 u u 4 lim u u u u u 4 Γ 5. f e ln. Τότε: gf g ln ln,, άρ Θέμ Δ g f f e e g f f g f e f e g ln ln, ln ln Δ. f lim lim Δ. f lim ln ln lim ln ln ln 8 ln 8 f 8. Έστω, με, τότε ln ln f γνησίως ύξουσ στο,. κι ln ln f f Είνι lim f lim ln κι lim f lim ln.

6 Η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο, f lim f, lim f,. Επειδή 8f, υπάρχει τέτοιο, ώστε ύξουσ, το είνι μονδικό., οπότε έχει ντίστοιχο σύνολο τιμών: f 8 κι επειδή η f είνι γνησίως e Δ. e e e ln ln ln e ln ln f f που ισχύει φού η f είνι γνησίως ύξουσ κι Δ 4. Επειδή e ln γι κάθε, έχουμε: ln f Η εξίσωση είνι δύντη. - Αν - Αν ln f η εξίσωση γίνετι: ln ln e ln ln ln ln f f f f f f f f. Επειδή f η είνι δεκτή λύση. Δ 5. lim ln ln e lim f ln ln e lim f ln f u u lim f f lim u u lim u u γιτί u u u u u u. Είνι lim lim u u u u u u u, οπότε πό το κριτήριο u u u u πρεμβολής είνι κι lim. u u