ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις νισοτήτων ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Αν f συνεχής στο [, ], τότε ν f ()d lim f ( ξκ ) ν + κ. Εισήµνση Το ολοκλήρωµ δεν εξρτάτι ό τη µετλητή, δηλδή f ()d f (y)dy f (t)dt κ. λ.. Το ολοκλήρωµ εξρτάτι ό τ άκρ ολοκλήρωσης, κι τη συνάρτηση f.. Εέκτση του ορισµού f ()d f ()d κι f ()d. Ολοκλήρωµ κι εµδόν Αν f συνεχής κι f() στο [, ], τότε Ε(Ω) f ()d y y f() Ω Ο

2 . Ιδιότητες λ f ()d λ f ()d όου λ R νεξάρτητος του. [f () + g()]d f ()d + g()d [ λ f () +µ g()]d λ f ()d +µ g()d, όου λ, µ R νεξάρτητοι του. Αν,, γ οοιδήοτε σηµεί διστήµτος, τότε ισχύει γ f ()d f ()d + f ()d γ Αν f συνεχής στο [, ] µε f() γι κάθε [, ], κι η f δεν είνι ντού στο [, ], τότε f ()d > ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Εισήµνση Στο σύµολο f ()d το κινείτι ό το µέχρι το κι η f είνι συνεχής.. Εισήµνση Στην ιδιότητ λ f ()d λ f ()d ο λ δεν ρέει ν εξρτάτι ό το.. Εµδόν ορθογωνίου c d Ε(Ω) c( ) y y c Ω O

3 . Εέκτση ιδιότητς Αν f, g συνεχείς στο διάστηµ [, ] µε f() g() γι κάθε [, ], τότε f ()d g()d (όχι ντίστροφ) (ρέει < ) Αόδειξη f() g() f() g() f ( ) g( ) d. Προφνής ιδιότητ f ()d g()d f ()d g()d f() g() f ()d g()d (όχι ντίστροφ) 6. Προφνής ιδιότητ Αν f ()d κι f() στο [, ] f() στο [, ] Αόδειξη Αν γι κάοιο ήτν f(), τότε θ ήτν f ()d > 7. Προφνής ιδιότητ Αν f ()d τότε f() στο [, ], ή η f δεν διτηρεί ρόσηµο στο [, ]

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ], ν οδείξετε ότι f ( )d 6 f ( )d 7 Σχόλιο Εειδή 7 9( ) 9 d 9 d, ρκεί ν οδείξουµε ότι f ( )d 6 f ( )d f ( )d 6f ( )d + f ( ) 6f ( ) + 9 d 9 d 9 d [ f ( ) ] d ου ισχύει φού [ f ( ) ] Όλ τ µεττρέουµε σε ολοκληρώµτ. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, ] µε f() > γι κάθε [, ]. Ν οδείξετε ότι f ( ) + d f ( ) Λύση Εειδή ( ) d d Σχόλιο, ρκεί ν οδείξουµε ότι f ( ) + d f ( ) d f ( ) + d f ( ) d f ( ) + d f ( ) f() + f ( ) [ f ( )] + f() [ f ( ) ] ου ισχύει Όλ τ µεττρέουµε σε ολοκληρώµτ

5 . Ν οδείξετε ότι d + Εειδή ( ( )) d d d, ρκεί ν οδείξουµε ότι d d d d d + d ( + )d + + ( ) + ( ) ου ισχύει Όλ τ µεττρέουµε σε ολοκληρώµτ. Θεωρούµε ργωγίσιµη συνάρτηση f, τέτοι ώστε f () < γι κάθε [, ] κι f(). Ν οδείξετε ότι f ( )d d Αό µονοτονί συνάρτησης σε Αρκεί ν οδείξουµε ότι f ( )d d νισότητ ολοκληρωµάτων [f ( ) ]d f() f () < f () < f () < [f() ] < () Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f(), [, ] Η () h () < h γν. φθίνουσ στο [, ] Οότε: h h() h() h() h() f()

6 6. Έστω η συνάρτηση f(),, ηµ i) Ν την εξετάσετε την f ως ρος την µονοτονί κι τ κρόττ ii) Ν δείξτε ότι d ηµ 6 i) Η f είνι συνεχής στο, µε f () ηµ (ηµ ) (ηµ ) ηµ + συν ηµ Άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ µε f ma f( ) ηµ κι f min f( ) ηµ ii) (i) ηµ Αλλά () Σχόλιο d ί d Ε ορθογων ου ( ) ηµ d d < d ηµ d ηµ Αό µονοτονί συνάρτησης σε νισότητ ολοκληρωµάτων d d () Σχόλιο d ηµ 6

7 7 6. Ν δείξετε ότι d Η οδεικτέ νίσωση γράφετι Έστω f() d + d + d + ( + ) d + + συνεχής στο [, ] µε f () + > Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, ], οότε f ma f() + + κι f min f() Εοµένως f () + Σχόλιο Αό κρόττ συνάρτησης σε νισότητ ολοκληρωµάτων +. Αλλά () d ( + ) d d ( ) κι ( + ) d + (+)d () Σχόλιο (+)d ( + )( ) + 7. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, ] µε f() > κι f() γι κάθε [, ]. Αν f ()d [ [ f () ] d ] f ()d f ()d, ν ρείτε το f ()d f ()d Αλλά [ [ f () ] d ] f ()d [ f ()d ] f ()d d d ( ) Σχόλιο () () f ()d Θέτουµε f ()d [ f ()d () λ [λ ] λ Άρ λ λ + λ ] f ()d () λ > (φού f() > κι f() θ είνι f ()d λ λ λ ή λ ορρίτετι φού < f ()d > )