ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μθημτικά θετικής κι τεχνολογικής κτεύθυνσης», σελίδ 9 (ii) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μθημτικά θετικής κι τεχνολογικής κτεύθυνσης», σελίδ 34 Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μθημτικά θετικής κι τεχνολογικής κτεύθυνσης», σελίδ. Α3. ) ΛΑΘΟΣ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β. ) Η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο, με () (), επομένως είνι γνησίως ύξουσ στο,. Επειδή η συνάρτηση είνι κι συνεχής στο κλειστό διάστημ,, συμπερίνουμε ότι το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ [(),()]=[-,]. β) Ισχύει : z i z z (0i) z (0 0 i). Επομένως οι εικόνες του μιγδικού z+ i,, R νήκουν στη μεσοκάθετο του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ Α(0,) κι Ο(0,0), δηλδή στην ευθεί y=, που σημίνει ότι Im( z). γ) Επειδή Im( z), έχουμε z κ i w z z (κ i) (κ i) κ i (κ i)(κ i) i, άρ z 0, οπότε ορίζετι ο w γι κάθε R. Επομένως ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

2 κ i κ κi κ κ i κ κ κ κ 3 w R 0 κ 0 () Αρκεί ν ποδείξουμε ότι η εξίσωση () έχει μι κριβώς ρίζ ως προς στο R, φού R(z) Θεωρούμε τη συνάρτηση Στο διάστημ [-,0] γι τη g ισχύουν: 3 g(κ) κ κ, R. Eίνι συνεχής στο [-,0] ως πολυωνυμική κι g(0) g( ) 0 Επομένως, σύμφων με το θεώρημ Bolzano η εξίσωση g(κ)=0 θ έχει μί τουλάχιστον λύση στο (-,0). Επειδή g(κ)=6κ 0 γι κάθε R, η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ στο R φού είνι συνεχής κι g ( )>0 γι κάθε R. Αυτό σημίνει ότι η εξίσωση g(κ)=0 έχει μονδική λύση στο R. Άρ υπάρχει κριβώς μι τιμή του R(z) τέτοι, ώστε ο ριθμός wz z ν είνι πργμτικός. Β. ) Είνι z. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(), η οποί είνι συνεχής στο R ως πολυωνυμική. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης φ oh είνι: R : 0 R : 0 R :,. A R : h() [,] R : h() R : β) Η συνάρτησης φ oh Έστω, 0, Άρ η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ, με, τότε έχουμε: ως σύνθεση συνεχών. h( ) h( ) ο ο h( ) h( ) h ( ) h ( ) φ οh είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ 0, Επομένως ισχύει : 0 ( oh)(0) ( oh)() ( oh)() h(0) h() h() () h() () φ(), γι κάθε 0, Άρ ( ), γι κάθε [0,]. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η γρφική πράστση της συνάρτησης ποτελείτι πό το τμήμ της γρφικής πράστσης της ln με κι το συμμετρικό ως προς τον άξον τμήμ της γρφικής πράστσης της ln, 0<< που βρίσκετι κάτω πό υτόν. (Βλέπε σχ.βιβλίο σελ.36). Η C φίνετι στο πρκάτω σχήμ. Η συνάρτηση γράφετι κι έχει πράγωγο ()= ln, = -ln, 0<<, > -, 0<< Γι = έχουμε: - ln-0 lim = lim = lim = DLH ln-0 0 lim = lim = lim = DLH Άρ η συνάρτηση δεν είνι πργωγίσιμη στο. y=ln Γ. Λύνουμε τ συστήμτ:, y= κι y= - ln y=, 0<< ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

4 4 y=ln y= ln Άρ A, - y= - ln y=ln - - ln = = = y= y= - Άρ Β, =,. Επομένως = = Γ3. Η εξίσωση εφπτομένης της C στο Α είνι: - : y- = - y-= - y= -+ Η εξίσωση εφπτομένης της C στο Β είνι: : y- = - (επειδη ) - - y-= - - y= - ++ Κι επειδή είνι. Γ4. Βρίσκουμε τ σημεί τομής της με τους άξονες. Έχουμε γι =0, y=+ κι γι y 0, =. Άρ η τέμνει τον άξον τον άξον yy N 0,+. >0 στο Το εμβδόν του τριγώνου ΟΜΝ είνι: a a E OM ON a, a 0. a a Θεωρούμε τη συνάρτηση : Είνι g = +, >0. + στο σημείο M, g = g = =. 4 κι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

5 5 Επομένως το εμβδόν του τριγώνου ΟΜΝ μεγιστοποιείτι γι =. Γι = η γίνετι: - y=, άρ διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. ΘΕΜΑ Δ Δ. ) Γι κάθε 0, + έχουμε = + ln ln c ln c Είνι, οπότε ln c c. Άρ ln, 0 β) Επειδή η είνι συνεχής στο 0 έχουμε ln 0 lim lim ln lim. Όμως lim ln κι lim, 0 0 επομένως εφρμόζουμε κνόν D L Ηopital κι έχουμε: ln ln 0 lim lim ln lim lim lim lim ( ) Άρ 0 0. ()-(0) ln+ (ln+) γ) Είνι lim lim lim lim (ln ) Άρ η δεν είνι πργωγίσιμη στο 0. ln. 0 ln 0 ln Δ. Γι κάθε 0, είνι Είνι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

6 0 ln 0 ln Ο πίνκς μετβολών της είνι 6 Η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ 0,, φού είνι συνεχής σε υτό κι ()<0 γι κάθε 0,,, φού είνι συνεχής σε υτό κι κι γνησίως ύξουσ στο ()>0 γι κάθε,,προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 0 (άκρο διστήμτος) το 0 0 κι ολικό ελάχιστο στο το. Δ3. Γι κάθε 0, είνι () κι επειδή η είνι συνεχής στο 0 συμπερίνουμε ότι η είνι κυρτή στο 0,. Έστω ότι υπάρχουν τρί σημεί συνευθεικά τ A,, B,, 3 3 C. Τότε λ ΑΒ λβγ 3 3 ( Ι ) Γ, της Η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε κθέν πό τ διστήμτ, κι,, οπότε θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ 3 τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ 3 Η ( Ι ) ισοδύνμ γράφετι ξ ξ 3 3. κι έν που είνι άτοπο, γιτί η () 0, άρ η είνι γνησίως ύξουσ, οπότε είνι κι " ". Δ4. ()+κ +κ ()+κ--κ 0 (ΙΙ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h()=()-κ-+κ, [0,+ ), οπότε η (ΙΙ) γράφετι h() h(). Δηλδή η h προυσιάζει κρόττο στο που είνι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της κι είνι πργωγίσιμη σε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc

7 υτό. Άρ σύμφων με το θεώρημ του Frmat θ ισχύει h ()=0. Είνι γι κάθε (0,+ ) h ()= ()-κ=ln+-κ. h ()=0 -κ=0 κ=. 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κωνστντίνος Μθημτικός ΜSc