Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από το. Αν οι αριθμοί και 70 είναι πρώτοι μεταξύ τους (, 70 1), να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του. Πρόβλημα 2 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Πρόβλημα 3 Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 96. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 16 και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου. Πρόβλημα 4 Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε 4 ώρες ενώ το άλλο σε 5 ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις 6 μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;

2 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Πρόβλημα 2 Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος Πρόβλημα 3 Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το 1. Πρόβλημα 4 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο 90. Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο. Αν 6 και 10, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου.

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Αν,, πραγματικοί αριθμοί με 2 3 0, να δείξετε ότι: (α) (β) (γ) Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο και έστω, τυχαία σημεία στις πλευρές, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο. Να δείξετε ότι: 2 Πρόβλημα 3 (α) Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το 1. (β) Να λυθεί η εξίσωση: Πρόβλημα 4 Αν,, ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: 16 30

4 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη παξαζηάζεηο θαη Να απνδείμεηε όηη: α) β) γ) Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Πρόβλημα 3: Σε θύθιν ε είλαη δηάκεηξνο θαη ην ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ. Με πιεπξά θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν, εθηόο ηνπ θύθινπ θαη θέξνπκε ηελ. (α) Να δείμεηε όηη. (β) Αλ θαη ηα κέζα ηνπ θαη, αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη ην είλαη ξόκβνο. Πρόβλημα 4: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή.

5 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Δίνεηαι η ζςνάπηηζη με ηύπο α) Να βπείηε ηο πεδίο οπιζμού ηηρ ζςνάπηηζηρ και να αποδείξεηε όηι δεν ςπάπσει ηο β) Να αποδείξεηε όηι: αν, ηόηε Πρόβλημα 2: Να βπείηε όλοςρ ηοςρ θεηικούρ ακέπαιοςρ απιθμούρ έηζι ώζηε ηο να είναι πενηατήθιορ απιθμόρ και ηο να διαιπεί ηο. Πρόβλημα 3: Οι μαθηηέρ μιάρ ηάξηρ Λςκείος πώηηζαν ηον καθηγηηή ηοςρ ηυν Μαθημαηικών να ηοςρ πεί ηιρ ηλικίερ ηυν ηπιών παιδιών ηος. Εκείνορ ηοςρ απάνηηζε υρ εξήρ: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βπείηε ηιρ ηλικίερ ηυν παιδιών ηος καθηγηηή. Πρόβλημα 4: Δίνονηαι δύο ίζοι κύκλοι και με κένηπα και ανηίζηοισα οι οποίοι ηέμνονηαι ζηα ζημεία και. Από ηο ζημείο θέποςμε κάθεηη ζηην εςθεία η οποία ηέμνει ηον κύκλο ξανά ζηο ζημείο. Με κένηπο ένα ηςσαίο ζημείο ηος και ακηίνα θέποςμε κύκλο πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ και ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Αν η εςθεία ηέμνει ηον ζηο ζημείο και ηον ζηο ζημείο, να αποδείξεηε: α) Το ηεηπάπλεςπο είναι παπαλληλόγπαμμο. β) γ) Τα ζημεία είναι ομοκςκλικά.

6 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Να βπείηε ηο άθποιζμα όλυν ηυν θεηικών ακεπαίυν απιθμών να είναι πενηατήθιορ απιθμόρ και ηο να διαιπεί ηο., έηζι ώζηε ηο Πρόβλημα2: Αν, να δείξεηε όηι. Πρόβλημα 3: Δίνονηαι δύο ίζοι κύκλοι και με κένηπα και ανηίζηοισα οι οποίοι ηέμνονηαι ζηα ζημεία και. Από ηο ζημείο θέποςμε κάθεηη ζηην εςθεία η οποία ηέμνει ηον κύκλο ξανά ζηο ζημείο. Με κένηπο ένα ηςσαίο ζημείο ηος και ακηίνα θέποςμε κύκλο πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ και ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Αν η εςθεία ηέμνει ηον ζηο ζημείο και ηον ζηο ζημείο, να αποδείξεηε: α) Το ηεηπάπλεςπο είναι παπαλληλόγπαμμο. β) γ) Τα ζημεία είναι ομοκςκλικά. Πρόβλημα 4: Να βπείηε ηον επόμενο, καθώρ και ηον μεγαλύηεπο όπο ηηρ ακολοςθίαρ δικαιολογώνηαρ ηην απάνηηζή ζαρ.

7 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από το. Αν οι αριθμοί και 70 είναι πρώτοι μεταξύ τους (, 70 1), να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του. Προτεινόμενη Λύση Είναι: , 79, 80,, 160, Το 70 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως Συνεπώς, ο αριθμός δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 2, 5 και 7, αφού, Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι 84. Στο σύνολο υπάρχουν: 42 πολλαπλάσια του 2 17 πολλαπλάσια του 5 12 πολλαπλάσια του 7 9 πολλαπλάσια του 10 6 πολλαπλάσια του 14 2 πολλαπλάσια του 35 1 πολλαπλάσιο του 70 Άρα, ο αριθμός δεν μπορεί να πάρει τιμές του συνόλου. Τελικά, το πλήθος των τιμών του συνόλου που μπορεί να πάρει το είναι

8 Πρόβλημα 2 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Προτεινόμενη Λύση Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Συνεπώς, ο διαιρεί τις διαφορές των αριθμών αυτών ανά δύο, δηλαδή ο είναι διαιρέτης των αριθμών , και Είναι: Παρατηρούμε ότι οι μόνοι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 22, 143 και 165 είναι οι αριθμοί 1 και 11. (α) Αν 1, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 1 είναι 0. (β) Αν 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 11 είναι 7. Πρόβλημα 3 Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 96. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 16 και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου. Προτεινόμενη Λύση Είναι: 96:2 48, Συνεπώς, και 2. Ομοίως, είναι: 96:2 48, Συνεπώς, και 3.

9 Άρα, 3. Είναι: Τελικά, έχουμε 24 και: Πρόβλημα 4 Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε 4 ώρες ενώ το άλλο σε 5 ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις 6 μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου; Προτεινόμενη Λύση Έστω το αρχικό μήκος των δύο κεριών και ο χρόνος που πρέπει να περάσει, ώστε τα δύο κεριά να έρθουν στη ζητούμενη κατάσταση, 0 4. Τη χρονική στιγμή 0, έχουμε το ταυτόχρονο άναμμα των δύο κεριών. Μετά από ώρες, το ένα κερί θα χάσει το του αρχικού μήκους του ενώ το άλλο το. Τα μήκη των δύο κεριών στη ζητούμενη κατάσταση είναι και, με. Έχουμε: Συνεπώς, αν θέλουμε το υπόλοιπο του ενός κεριού να είναι το διπλάσιο από το υπόλοιπο του άλλου, θα πρέπει να ανάψουμε ταυτόχρονα τα δύο κεριά 3 ώρες και 20 λεπτά πριν τις 6 μ.μ., δηλαδή στις 2: 40 μ.μ.

10 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Προτεινόμενη Λύση Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Συνεπώς, ο διαιρεί τις διαφορές των αριθμών αυτών ανά δύο, δηλαδή ο είναι διαιρέτης των αριθμών , και Είναι: Παρατηρούμε ότι οι μόνοι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 22, 143 και 165 είναι οι αριθμοί 1 και 11. (α) Αν 1, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 1 είναι 0. (β) Αν 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 11 είναι 7. Πρόβλημα 2 Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος Προτεινόμενη Λύση Παρατηρούμε ότι 0. Θα υπολογίσουμε τον. Είναι:

11 Αφού, έχουμε (συγκεκριμένα 8). Πρόβλημα 3 Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το 1. Προτεινόμενη Λύση Το 1 διαιρεί το πολυώνυμο. Συνεπώς, το 1 είναι ρίζα του, δηλαδή 1 0. Είναι: Έχουμε: Συνεπώς, από την 1, είναι: Πρόβλημα 4 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο 90. Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο. Αν 6 και 10, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου. Προτεινόμενη Λύση Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

12 Φέρουμε την και έστω,. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 36 1 Επιπλέον, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: Από 1 και 2, έχουμε: Το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου είναι: ,5 2 Τέλος, η περίμετρος του ορθογωνίου τραπεζίου είναι:

13 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Αν,, πραγματικοί αριθμοί με 2 3 0, να δείξετε ότι: (α) (β) (γ) Προτεινόμενη Λύση (α) Γνωρίζουμε ότι Είναι: (β) Από το (α) ερώτημα, έχουμε: (γ) Από το (α) ερώτημα έχουμε:

14 Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο και έστω, τυχαία σημεία στις πλευρές, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο. Να δείξετε ότι: 2 Προτεινόμενη Λύση Είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Ομοίως, είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. 1 2 Από 1 και 2, έχουμε: 2 3 Φέρουμε την που διέρχεται από το σημείο. Είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Ομοίως, είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Από 4 και 5, έχουμε: Όμως, και (, διχοτόμοι των γωνιών,, αντίστοιχα). Άρα, από 3 και 6 είναι: 2

15 Πρόβλημα 3 (α) Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το 1. (β) Να λυθεί η εξίσωση: Προτεινόμενη Λύση (α) Το 1 διαιρεί το πολυώνυμο. Συνεπώς, το 1 είναι ρίζα του, δηλαδή 1 0. Είναι: Έχουμε: Συνεπώς, από την 1, είναι: (β) A Τρόπος Θεωρούμε το πολυώνυμο 7 6. Μια προφανής ρίζα του πολυωνύμου αυτού είναι ο αριθμός 1 (δηλαδή 1 0). Συνεπώς, το 1 είναι παράγοντας του. Είναι: : Επομένως, οι άλλες δύο λύσεις της εξίσωσης 0 είναι οι λύσεις της εξίσωσης 6 0. Είναι: ή 2 Τελικά, οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 3, 1 και 2. Β Τρόπος Είναι: ή 3 ή 2

16 Πρόβλημα 4 Αν,, ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: Προτεινόμενη Λύση Εύκολα παρατηρούμε ότι οι και είναι είτε και οι δύο άρτιοι, είτε και οι δύο περιττοί. Έστω 2, 2 με,. Η εξίσωση γράφεται: , άτοπο, αφού το 30 δεν είναι πολλαπλάσιο του 4. Έστω 2 1, 2 1 με,. Έχουμε: άτοπο, αφού το αριστερό μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι πολλαπλάσιο του 2 (εύκολα μπορούμε να δούμε ότι 1 2, ). Συνεπώς, η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

17 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη παξαζηάζεηο θαη Να απνδείμεηε όηη: α) β) γ) Λύση: α) Η παξάζηαζε γξάθεηαη Επεηδή όκσο β) Θα έρνπκε ζα πάξνπκε γ)

18 Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα Πρόβλημα 3: Σε θύθιν ε είλαη δηάκεηξνο θαη ην ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ. Με πιεπξά θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν, εθηόο ηνπ θύθινπ θαη θέξνπκε ηελ. (α) Να δείμεηε όηη. (β) Αλ θαη ηα κέζα ηνπ θαη, αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη ην είλαη ξόκβνο. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη κεζνθάζεηνο ηνπ, δηόηη θαη. Άξα Τν ζεκείν αλήθεη ζηνλ θύθιν, αθνύ ε είλαη δηάκεηξνο. (α) Φέξνπκε ην απόζηεκα ηεο ρνξδήο θαη ηόηε ην είλαη ην κέζνλ ηεο. Σην νξζνγώλην ηξίγσλν είλαη : (1). Σην ηξίγσλν, ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο. Άξα : (2). Από (1), (2) έρνπκε. (β) Σην ηξίγσλν, ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο, άξα : (3). Σην ηξηγσλν ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο, άξα : (4). Από (3), (4) έρνπκε, άξα

19 ην είλαη παξαιιειόγξακκν. Τέινο, ζην ηξίγσλν, ην Θ είλαη ην κέζνλ ηεο ΜΗ θαη ην Ζ είλαη ην κέζνλ ηεο ΟΗ, άξα. Σπλεπώο ην είλαη ξόκβνο. Πρόβλημα 4: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή. Λύση: Αλ νλνκάζνπκε ηελ ειηθία ηνπ κηθξόηεξνπ παηδηνύ, ηελ ειηθία ηνπ κεζαίνπ παηδηνύ θαη ηελ ειηθία ηνπ κεγαιύηεξνπ παηδηνύ ηόηε από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο ζα έρνπκε: { Από ηελ ζα έρνπκε Άξα από ηελ ηειεπηαία ζα έρνπκε όηη Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ κε θαη έρνπκε Επεηδή ε ηειεπηαία εμίζσζε γίλεηαη Από ηελ ζα έρνπκε Η ιόγσ ηεο γίλεηαη Αλ αθνύ ζα έρνπκε άηνπν ιόγσ ηεο. Επνκέλσο, θαη αθνύ ζα πάξνπκε Άξα, Από ηελ παίξλνπκε Δειαδή * +. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ζα έρνπκε Δνθηκάδνληαο ηηο ηηκέο * + ε κόλε πεξίπησζε ν λα είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο είλαη όηαλ θαη ηόηε Άξα νη ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή ζα είλαη

20 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ην β) Να απνδείμεηε όηη: αλ, ηόηε. Λύση: α) Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην ζύλνιν * + * + * +. Ο ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο, κεηά ηελ απαινηθή ησλ απνιύησλ, γξάθεηαη: Γηα ην όξην ζην 1, έρνπκε: θαη {, ) Άξα δελ ππάξρεη ην όξην ζην 1. β). Άξα. Επίζεο,

21 Οη αληζόηεηεο (1) θαη (2) είλαη νκνηόζηξνθεο θαη έρνπλ ζεηηθά κέιε θαη ζπλεπώο, αλ ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε θαηά κέιε, παίξλνπκε: Δειαδή. ( ) ( )( ) Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα

22 Πρόβλημα 3: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή. Λύση: Αλ νλνκάζνπκε ηελ ειηθία ηνπ κηθξόηεξνπ παηδηνύ, ηελ ειηθία ηνπ κεζαίνπ παηδηνύ θαη ηελ ειηθία ηνπ κεγαιύηεξνπ παηδηνύ ηόηε από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο ζα έρνπκε: { Από ηελ ζα έρνπκε Άξα από ηελ ηειεπηαία ζα έρνπκε όηη Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ κε θαη έρνπκε Επεηδή ε ηειεπηαία εμίζσζε γίλεηαη Από ηελ ζα έρνπκε Η ιόγσ ηεο γίλεηαη Αλ αθνύ ζα έρνπκε άηνπν ιόγσ ηεο. Επνκέλσο, θαη αθνύ ζα πάξνπκε Άξα, Από ηελ παίξλνπκε Δειαδή * +. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ζα έρνπκε Δνθηκάδνληαο ηηο ηηκέο * + ε κόλε πεξίπησζε ν λα είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο είλαη όηαλ θαη ηόηε Άξα νη ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή ζα είλαη

23 Πρόβλημα 4: Δίλνληαη δύν ίζνη θύθινη θαη κε θέληξα θαη αληίζηνηρα νη νπνίνη ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε θάζεηε ζηελ επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν μαλά ζην ζεκείν. Με θέληξν έλα ηπραίν ζεκείν ηνπ θαη αθηίλα θέξνπκε θύθιν πνπ ηέκλεη ηνπο θύθινπο θαη ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Αλ ε επζεία ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν θαη ηνλ ζην ζεκείν, λα απνδείμεηε: α) Τν ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. β) γ) Τα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην θαη έηζη θαη ζπλεπώο ε είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Επίζεο, επεηδή νη θύθινη και είλαη ίζνη, ηα ηόμα θαη είλαη ίζα θαη ζπλεπώο (ζρήκα). α), άξα. θαη αθνύ, κε αθαίξεζε παίξλνπκε, απ όπνπ. Από ηηο (1) θαη (2) πξνθύπηεη όηη ην είλαη παξαιιειόγξακκν. β) Επεηδή ην είλαη παξαιιειόγξακκν, νη δηαγώληνί ηνπ δηρνηνκνύληαη, άξα. Τν είλαη παξαιιειόγξακκν είλαη παξαιιειόγξακκν, δηόηη:, άξα θαη, άξα. Σπλεπώο νη δηαγώληνη ηνπ δηρνηνκνύληαη, απ όπνπ. Από ηηο (3), (4) έρνπκε. γ) είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ θαη, αθνύ ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη εμσηεξηθή ηνπ γσλία. Άξα, ζπλεπώο ην ηεξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν, δειαδή ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.

24 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Να βξείηε ην άζξνηζκα όισλ ησλ ζεηηθώλ αθεξαίσλ αξηζκώλ λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην., έηζη ώζηε ην Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα Οη αξηζκνί απηνί απνηεινύλ Αξηζκεηηθή πξόνδν κε πξώην όξν δηαθνξά Άξα. θαη Πρόβλημα2: Αλ, λα δείμεηε όηη. Λύση:. Άξα..

25 Πρόβλημα 3: Δίλνληαη δύν ίζνη θύθινη θαη κε θέληξα θαη αληίζηνηρα νη νπνίνη ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε θάζεηε ζηελ επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν μαλά ζην ζεκείν. Με θέληξν έλα ηπραίν ζεκείν ηνπ θαη αθηίλα θέξνπκε θύθιν πνπ ηέκλεη ηνπο θύθινπο θαη ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Αλ ε επζεία ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν θαη ηνλ ζην ζεκείν, λα απνδείμεηε: α) Τν ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. β) γ) Τα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην θαη έηζη θαη ζπλεπώο ε είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Επίζεο, επεηδή νη θύθινη και είλαη ίζνη, ηα ηόμα θαη είλαη ίζα θαη ζπλεπώο (ζρήκα). α), άξα. θαη αθνύ, κε αθαίξεζε παίξλνπκε, απ όπνπ. Από ηηο (1) θαη (2) πξνθύπηεη όηη ην είλαη παξαιιειόγξακκν. β) Επεηδή ην είλαη παξαιιειόγξακκν, νη δηαγώληνί ηνπ δηρνηνκνύληαη, άξα. Τν είλαη παξαιιειόγξακκν είλαη παξαιιειόγξακκν, δηόηη:, άξα θαη, άξα. Σπλεπώο νη δηαγώληνη ηνπ δηρνηνκνύληαη, απ όπνπ. Από ηηο (3), (4) έρνπκε. γ) είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ θαη, αθνύ ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη εμσηεξηθή ηνπ γσλία. Άξα, ζπλεπώο ην ηεξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν, δειαδή ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.

26 Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηνλ επόκελν, θαζώο θαη ηνλ κεγαιύηεξν όξν ηεο αθνινπζίαο δηθαηνινγώληαο ηελ απάληεζή ζαο. Λύση: Παξαηεξνύκε όηη νη αξηζκεηέο ησλ θιαζκάησλ γξάθνληαη δειαδή απνηεινύλ αθνινπζία κε γεληθό όξν Επίζεο νη παξνλνκαζηέο ησλ θιαζκάησλ ηεο αθνινπζίαο γξάθνληαη δειαδή απνηεινύλ αθνινπζία κε γεληθό όξν Επνκέλσο ν γεληθόο όξνο ηεο δεδνκέλεο αθνινπζίαο είλαη Άξα ν επόκελνο ησλ δεδνκέλσλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο ζα είλαη Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ κέγηζην όξν ζεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε Παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Πηζαλά αθξόηαηα ζα έρνπκε γηα Επεηδή γηα θαη γηα ηόηε ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα ( ), γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα ( ) θαη αθνύ ε είλαη ζπλερήο ζην, ζα έρνπκε νιηθό κέγηζην γηα ηελ ζην Παξαηεξνύκε επίζεο όηη Επνκέλσο ν κεγαιύηεξνο όξνο ηεο αθνινπζίαο είλαη ν