HY118-Διακριτά Μαθηματικά
|
|
|
- Ανάκλητος Αντωνόπουλος
- 3 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Διάλεξη #07 Τρίτη, 09/03/2021 Το υλικό των διαφανειών έχει Αντώνης Α. Αργυρός βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 09-Mar
2 Την προηγούμενη φορά Εκφραστική ικανότητα του κατηγορηματικού λογισμού Παραδείγματα ποσοτικοποιημένων εκφράσεων που μπορούν να αποδοθούν στον κατηγορηματικό λογισμό 09-Mar
3 Κι άλλα παραδείγματα Έστω μεταβλητές x, yμε π.ο.τους ακέραιους αριθμούς Στην παρακάτω πρόταση, ποιό είναι το νόημα του κατηγορήματος Α; x (Α(x) ( y (x=2y))) 09-Mar
4 Κι άλλα παραδείγματα x (Α(x) ( y x=2y)) Για κάθε ακέραιο x, o xέχει την ιδιότητα Ααν και μόνο αν είναι ο διπλάσιος κάποιου άλλου ακέραιου Οι ακέραιοι xπου έχουν την ιδιότητα Αείναι το διπλάσιο κάποιου άλλου ακέραιου... ΑΡΤΙΟΙ 09-Mar
5 Κι άλλα παραδείγματα Έστω μεταβλητές x, y, zμε π.ο.τους ακέραιους αριθμούς Στην παρακάτω πρόταση, ποιό είναι το νόημα του κατηγορήματος P; x ( ) P(x) ((x>1) ( yz ((x=yz) (y 1) (z 1)))) 09-Mar
6 Κι άλλα παραδείγματα x (P(x) ((x>1) ( yz ((x=yz) (y 1) (z 1))))) Ένας ακέραιος xέχει την ιδιότητα P, αν και μόνο ανείναι μεγαλύτερος από το1 και δεν αποτελεί γινόμενο κάποιων άλλων δύο ακεραίων,καθένας από τους οποίους είναι διαφορετικός της μονάδας.... ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 09-Mar
7 Η εικασίατου Goldbach (αναπόδειχτη) Χρησιμοποιώντας τα Α(x) και P(x) από τις προηγούμενες διαφάνειες, x( (x>2 Α(x)) ). p q (P(p) P(q) (p+q= x)) Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων. 09-Mar
8 Μπορεί η κατηγορηματική λογική να εκφράσει την πρόταση τα περισσότερααντικείμενα έχουν την ιδιότητα P ; Όχι! Μπορεί η κατηγορηματική λογική να εκφράσει το πολλάαντικείμενα έχουν την ιδιότητα P ; Όχι, επίσης 09-Mar
9 Συμπερασμός στον κατηγορηματικό Υποθέσεις: λογισμό, παράδειγμα 1. Οι άνθρωποι είναι θνητοί 2. Οι θεοί είναι αθάνατοι Θέλουμε να εξετάσουμε την αλήθεια της πρότασης: Κανείς άνθρωπος δεν είναι θεός 09-Mar
10 Παράδειγμα συμπερασμού Προτασιακές μορφές: 1. Η(x) = Οx είναι άνθρωπος 2. Μ(x) = Οx είναι θνητός 3. G(x) = Οx είναι θεός Το x είναι μεταβλητή που ορίζεται σε ένα σύνολο που περιλαμβάνει θεούς και ανθρώπους 09-Mar
11 Παράδειγμα συμπερασμού Υποθέσεις: οι άνθρωποι είναι θνητοί x(η(x) Μ(x)) οι θεοί είναι αθάνατοι x(g(x) M(x)) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: ( Κανείς άνθρωπος δεν είναι θεός. ) x (H(x) G(x)) 09-Mar
12 Απόδειξη με ισοδυναμίες Αρκεί να δείξουμε ότι η πρόταση (( x(h(x) M(x)) ( x(g(x) M(x)))) ( x(g(x) H(x))) είναι ταυτολογία. Πράγματι, (( x(h(x) M(x)) ( x(g(x) M(x)))) ( x(g(x) H(x))) (( x(g(x) M(x))) ( x(h(x) M(x))) ( x(g(x) H(x))) (( x(g(x) M(x))) ( x( M(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x( G(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x ( G(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) ( x(g(x) H(x))) p p T ΟΕΔ 09-Mar
13 Μίαάλλη απόδειξη x (Η(x) M(x)) ( οι άνθρωποι είναι θνητοί ) και x (G(x) M(x)) ( οι θεοί είναι αθάνατοι ). Υποθέστεότι x (H(x) G(x)).Ας το ονομάσουμε a. Για αυτό το a,ισχύει ότι H(a) G(a).Τότε Από την πρώτη υπόθεση προκύπτει ότι: M(a). Από την δεύτερη υπόθεση ότι: M(a).Αντίφαση! Επομένως, δεν μπορεί να ισχύει η υπόθεσή μας ότι x (H(x) G(x)). Επομένως, προκύπτει ότι: x (H(x) G(x)) ( Δεν υπάρχει άνθρωπος που να είναι θεός. ) 09-Mar
14 Αποφασισιμότητα Είδαμε δύο τρόπους ελέγχουισοδυναμιών στον προτασιακό λογισμό: 1. Ελέγχοντας τους πίνακες αληθείας 2. Χρησιμοποιώντας νόμους ισοδυναμίας Είδαμε πως το(1) μπορεί να γίνει αλγοριθμικά. Λέμε ότι το να δείξουμε την ισοδυναμία προτάσεων στον προτασιακό λογισμό είναι ένα πρόβλημα αποφασίσιμο (decidable) 09-Mar
15 Αποφασισιμότητα Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναμιών στον προτασιακό λογισμό είναι πρόβλημα αποφασίσιμο: μπορούμε να αποφανθούμε για το κατά πόσον μία ισοδυναμία ισχύει ή όχι με αλγοριθμικό τρόπο (ανεξάρτητα αν αυτός μπορεί να απαιτεί πάρα πολύ χρόνο) Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναμιών στον κατηγορηματικό λογισμό είναι, γενικά, πρόβλημα μη αποφασίσιμο Επομένως, η απόδειξη θεωρημάτων παραμένει «τέχνη»(και για τους ανθρώπους και για τους υπολογιστές!) Ωστόσο, κάτω από προϋποθέσεις, προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού είναι αποφασίσιμες 09-Mar
16 09-Mar
17 PROLOG Μερικές γλώσσες προγραμματισμού βασίζονται ολοκληρωτικά στην κατηγορηματική λογική Η πιόγνωστή είναι ηprolog. Ένα πρόγραμμα στην Prolog είναι ένα σύνολο από προτάσεις ( δεδομένα/γεγονότα ) και( κανόνες ) της κατηγορηματικής λογικής. Η είσοδος στο πρόγραμμα είναι μία πρόταση/ερώτηση Θέλουμε να ξέρουμε αν αυτή είναι αληθής ή ψευδής Ο μεταγλωττιστής τηςprolog κάνει κάποιο αυτοματοποιημένο αφαιρετικό συμπερασμό για να αποφασίσει κατά πόσον το ερώτημα απαντάται σαν συμπέρασμα από τα δεδομένα 09-Mar
18 Δεδομένα στηνprolog Απλές, μη-σύνθετες προτάσεις προτασιακού λογισμού. π.χ., αρέσει(γιάννης,μαρία) Μικροί χαρακτήρες για σταθερές και κατηγορήματα, κεφαλαίοι για μεταβλητές. 09-Mar
19 Κανόνες στηνprolog Μίακαθολικά ποσοτικοποιημένη πρότασητης γενικής μορφής x y(p(x,y) Q(x)), όπου xκαι yείναι μεταβλητές, και P, Q κατηγορήματα. ΣτηνProlog: q(x) :- p(x,y). Παράδειγμα: αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). 09-Mar
20 Σύζευξη -διάζευξη Η λογική σύζευξη κωδικοποιείται χρησιμοποιώντας όρους σε ένα κανόνα οι οποίοι χωρίζονται με κόμμα. Η λογική διάζευξη κωδικοποιείται με την ύπαρξη πολλών κανόνων. Π.χ., η x(((p(x) Q(x)) R(x)) S(x)) μπορεί να γραφεί στην Prolog ως: s(x) :- p(x),q(x) s(x) :- r(x) 09-Mar
21 Συμπερασμός στηνprolog Όταν δίνουμε μία ερώτηση στην Prolog, αυτή Ψάχνει για να καθορίσει αν η ερώτηση μπορεί να αποδειχτεί από τα διαθέσιμα δεδομένα. Αν ναι, επιστρέφει αληθές, αλλιώς ψευδές. Αν η ερώτηση περιλαμβάνει μεταβλητές, επιστρέφονται όλες οι τιμές που κάνουν την ερώτηση αληθή. 09-Mar
22 Παράδειγμα απλού προγράμματος στηνprolog Παράδειγμα προγράμματος: αρέσει(γιάννης,μαρία). αρέσει(μαρία,κώστας). αρέσει(γιάννης, γιάννης). αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). Παράδειγμα ερώτησης:? αρεστός(z) επιστρέφει: Mar
23 Παράδειγμα απλού προγράμματος στηνprolog Παράδειγμα προγράμματος: αρέσει(γιάννης,μαρία). αρέσει(μαρία,κώστας). αρέσει(γιάννης, γιάννης). αρεστός(x) :- αρέσει(χ,υ). Παράδειγμα ερώτησης:? αρεστός(z) επιστρέφει:... μαρία γιάννης 09-Mar
24 PROLOG Η PROLOG έχει και άλλα κατασκευάσματα (π.χ. I/O), αλλά η λογική είναι ο «σκηρός πυρήνας» της. 09-Mar
25 09-Mar
26 Βασικές μέθοδοι απόδειξης
27 Αποδείξεις Στα μαθηματικά, μία απόδειξηείναιμία διαδικασία που καθορίζει με αυστηρό τρόπο την αλήθεια μίας πρότασης. 09-Mar-21 27
28 Ορολογία Αξίωμα: Μία πρόταση την οποία θεωρούμε αληθή χωρίς απόδειξη και η οποία εξυπηρετεί στο να ορίζει τις βασικές δομές με βάση τις οποίες προσπαθούμε να βγάλουμε περαιτέρω συμπεράσματα. Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων: Μορφές συλλογισμών που οδηγούν από υποθέσεις σε συμπεράσματα. Θεώρημα: Μία πρόταση η οποία έχει αποδειχτεί ότι είναι αληθής. 09-Mar-21 28
29 Oρολογία Λήμμα Ένα θεώρημα μικρής σημασίας που χρησιμοποιείται προκειμένου να αποδείξουμε ένα θεώρημα μεγαλύτερης σημασίας. Πόρισμα-Ένα θεώρημα μικρής σημασίας το οποίο αποδεικνύεται εύκολα ως συνέπεια της απόδειξης ενός σημαντικότερου θεωρήματος. Εικασία Μία πρόταση για την οποία πιστεύουμε πως είναι αληθής, αλλά η αλήθεια της οποίας δεν έχει αποδειχτεί. Θεωρία Το σύνολο όλων των θεωρημάτων τα οποία μπορούν να αποδειχτούν από ένα δοσμένο σύνολο αξιωμάτων. 09-Mar-21 29
30 Θα μελετήσουμε ορθούς (αλλά και εσφαλμένους!)κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, καιαρκετές στρατηγικές απόδειξης. 09-Mar-21 30
31 Σημασία Η απόδειξη ενός θεωρήματος μας επιτρέπει να βασιστούμε στην ορθότητά του ακόμα και στις πιο κρίσιμες/ειδικές περιπτώσεις. Πέρα από τα μαθηματικά, η απόδειξη θεωρημάτων έχει επίσης εφαρμογές στην επαλήθευση προγραμμάτων (program verification), την ασφάλεια υπολογιστών, τα αυτοματοποιημένα συστήματα εξαγωγής συμπερασμάτων, κλπ. 09-Mar-21 31
32 Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, γενική μορφή Ένας κανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων είναι ένα πρότυποτο οποίο καθορίζει πως εάν ένα σύνολο από προϋποθέσεις αληθεύουν, τότε μπορούμε να συνάγουμε ότι ένα συμπέρασμαείναι αληθές. προϋπόθεση 1 προϋπόθεση 2 συμπέρασμα σημαίνει επομένως 09-Mar-21 32
33 Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων & «εάν τότε» Κάθε ορθόςκανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων αντιστοιχεί σε μία πρόταση της μορφής «εάν τότε» η οποία αποτελεί ταυτολογία. προϋπόθεση 1 Κανόνας προϋπόθεση 2 Συμπέρασμα Αντίστοιχη ταυτολογία: ((προϋπ.1) (προϋπ.2) ) Συμπέρασμα 09-Mar-21 33
34 Μερικοίκανόνεςγια τον προτασιακό λογισμό p Κανόνας της πρόσθεσης p q p q p Κανόναςτης απλοποίησης p Κανόνας της σύζευξης q p q 09-Mar-21 34
35 Modus Ponens & Tollens p p q q q p q p Κανόνας modus ponens (κανόνας επιβεβαίωσης) Κανόνας modus tollens (κανόνας άρνησης) 09-Mar-21 35
36 «Συλλογισμοί» p q q r p r p q p q Κανόνας του υποθετικού συλλογισμού Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισμού Αριστοτέλης ( π.χ.) 09-Mar-21 36
37 Ορθότητα των κανόνων εξαγωγής συμπερασμάτων Για καθέναν από αυτούς τους κανόνες, μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε την ορθότητά τους... Παράδειγμα: Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισμού: ((p q) p) q Το ότι η παραπάνω πρόταση αποτελεί ταυτολογία μπορεί πολύ εύκολα να αποδειχτεί υπολογίζοντας τον πίνακα αληθείας της. 09-Mar-21 37
38 Υπενθυμίζω Η πρόταση p q έχει το νόημα η p q είναι ταυτολογία Η πρόταση p q έχει το νόημα η p q είναι ταυτολογία 09-Mar-21 38
39 Τυπικές αποδείξεις Μία τυπική (formal)απόδειξη ενός συμπεράσματος C, δοσμένων προϋποθέσεων p 1, p 2,, p n αποτελείται από μία πεπερασμένη ακολουθία βημάτων, κάθε ένα από τα οποία εφαρμόζει κάποιο κανόνα εξαγωγής συμπερασμάτωνστις προϋποθέσειςή σε ήδη αποδεδειγμένες προτάσειςγια να εξάγει μία νέα αληθή πρόταση, μέχρι να καταλήξει στο συμπέρασμα C. 09-Mar-21 39
40 Ορθότητα και αλήθεια Λέμε ότι μία απόδειξη είναι ορθήαν ποτέ δεν οδηγεί από αληθείςυποθέσειςσε ψευδή συμπεράσματα. 09-Mar-21 40
41 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 41
42 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές 09-Mar-21 42
43 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 43
44 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 44
45 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 45
46 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 46
47 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι 09-Mar-21 47
48 Υποθέσεις/συμπέρασμα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλμένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συμπέρασμα είναι αληθές ή ψευδές 09-Mar-21 48
49 Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Έστω οι εξής υποθέσεις: Δεν έχει ήλιο και κάνει κρύο. Αν κολυμπήσουμε τότε σημαίνει πως έχει ήλιο Αν δεν κολυμπήσουμε θα κάνουμε βαρκάδα. Αν κάνουμε βαρκάδα, θα γυρίσουμε σπίτι νωρίς. Δοσμένων αυτών των προϋποθέσεων αποδείξτε ότι Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς χρησιμοποιώντας κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων. 49
50 Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Δεν έχει ήλιο και κάνει κρύο Αν κολυμπήσουμε σημαίνει πως έχει ήλιο. Αν δεν κολυμπήσουμε θα κάνουμε βαρκάδα. Αν κάνουμε βαρκάδα, θα γυρίσουμε σπίτι νωρίς. Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς ήλιος= Έχει ήλιο ; κρύο= Κάνει κρύο ; κολύμπι= Θα κολυμπήσουμε ; βαρκάδα = Θα κάνουμε βαρκάδα ; νωρίς= Θα γυρίσουμε στο σπίτι νωρίς. 50
51 Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Οι προϋποθέσεις μπορούν να γραφούν ως εξής: (1) ήλιος κρύο (2) κολύμπι ήλιος (3) κολύμπι βαρκάδα (4) βαρκάδα νωρίς 51
52 Παράδειγμα τυπικής απόδειξης Βήμα Απόδειξη από 1. ήλιος κρύο Προϋπ.#1. 2. ήλιος Απλοποίηση της1. 3. κολύμπι ήλιος Προϋπ.#2. 4. κολύμπι Modus Tollensστις2,3. 5. κολύμπι βαρκ. Προϋπ.#3. 6. βαρκάδα Modus Ponens στις 4,5. 7. βαρκάδα νωρίς Προϋπ.#4. 8. νωρίς Modus Ponens στις 6,7. 52
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017
ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013
ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά
Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.
Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα
Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή
Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από
Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος
Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις
Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of
Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες
Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης
Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ
ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1.5 μονάδα] Έστω Τ(x): O x έχει σταθερό υπολογιστή, L(x): O x έχει laptop, S(x): O x έχει smartphone, με τη μεταβλητή
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Mar-18
Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες
ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής
ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:
Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων
Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]
Κανονικές μορφές - Ορισμοί
HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen
Διακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική
Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,
, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός
Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό Λογισμό 1 ης Τάξης (First Order Predicate Calculus) Οι περισσότερες γλώσσες επερώτησης σχεσιακών βάσεων δεδομένων βασίζονται στον Σχεσιακό Λογισμό
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 15-Mar-18
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά
Λογικός Προγραμματισμός
Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).
Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων
Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Τα προγράμματα μιας (κλασικής) γλώσσας προγραμματισμού
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε
Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες
Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. Όταν γράφουμε
Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή