ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1.5 μονάδα] Έστω Τ(x): O x έχει σταθερό υπολογιστή, L(x): O x έχει laptop, S(x): O x έχει smartphone, με τη μεταβλητή x να παίρνει τιμές από το σύνολο των φοιτητών. (α) χρησιμοποιείστε τα παραπάνω κατηγορήματα και τους κατάλληλους τελεστές να γράψετε τις προτάσεις: 1. Κάποιος φοιτητής έχει laptop, smartphone και σταθερό υπολογιστή 2. Όλοι οι φοιτητές έχουν laptop, smartphone και σταθερό υπολογιστή 3. Κάποιοι φοιτητές έχουν laptop και smartphone αλλά όχι σταθερό υπολογιστή 4. Όσοι φοιτητές έχουν laptop δεν έχουν σταθερό υπολογιστή 5. Όλοι οι φοιτητές έχουν τουλάχιστον μια φορητή συσκευή (laptop ή smartphone) (β) Γράψτε τις αρνήσεις των παραπάνω προτάσεων μεταφέροντας τον τελεστή όσο το δυνατόν πιο δεξιά και μεταφράστε τις ξανά στα ελληνικά. (α) 1. x(t(x) L(x) S(x)) 2. x(t(x) L(x) S(x)) 3. x(l(x) S(x) T(x)) 4. x(l(x) T(x)) 5. x(l(x) S(x)) (β) 1. x( T(x) L(x) S(x)) Κανένας φοιτητής δεν έχει σταθερό υπολογιστή ή λαπτοπ ή smartphone 2. x( T(x) L(x) S(x)) Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει σταθερό υπολογιστή ή λαπτοπ ή smartphone 3. x( L(x) S(x) T(x)) x( (L(x) S(x)) T(x)) x((l(x) S(x)) T(x)) Όλοι οι φοιτητές, αν έχουν λαπτοπ και smartphone έχουν και σταθερό υπολογιστή 4. x (L(x) T(x)) x ( L(x) T(x)) x(l(x) T(x)) Υπάρχει φοιτητής που έχει και laptop και σταθερό υπολογιστή 5. x ( (L(x) S(x)) Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει ούτε laptop ούτε smartphone

2 Άσκηση 2.2 [2 μονάδες] Έστω T(x,y): O x έχει ταξιδέψει στο y, όπου x παίρνει τιμές στο σύνολο των Ελλήνων και y στο σύνολο των χωρών της Ασίας. Χρησιμοποιείστε τους κατάλληλους τελεστές, ποσοδείκτες κλπ για να γράψετε τις προτάσεις: 1. Υπάρχει Έλληνας που έχει ταξιδέψει σε χώρα της Ασίας 2. Κανείς Έλληνας δεν έχει ταξιδέψει σε χώρα της Ασίας 3. Υπάρχει Έλληνας που έχει πάει στο Νεπάλ και στην Ταιλάνδη 4. Κάθε ασιατική χώρα έχει δεχτεί κάποιον Έλληνα ως επισκέπτη 5. Τουλάχιστον δύο Έλληνες έχουν πάει στην Ινδία 6. Κάποιος Έλληνας έχει πάει στη Συρία αλλά δεν έχει πάει στο Λίβανο 7. Υπάρχει Έλληνας που έχει πάει σε όλες τις ασιατικές χώρες 8. Υπάρχουν ακριβώς δύο Έλληνες που έχουν πάει στη Μιανμάρ 9. Όποιος Έλληνας ταξίδεψε στις Φιλιππίνες πήγε και στο Κατάρ 10. Ο Μάνος δεν έχει πάει ούτε στην Τουρκία ούτε στο Ισραήλ 1. x yt(x,y) 2. x yt(x,y) x y T(x,y) 3. x(t(x,νεπάλ) Τ(x,Ταϊλάνδη)) 4. y xt(x,y) 5. x1x2t(x1,ινδία) Τ(x2,Ινδία) 6. xt(x,συρία) Τ(x,Λίβανος) 7. x yt(x,y) 8. x1x2t(x1,μιανμάρ) Τ(x2,Μιανμάρ) ( x3t(x3,μιανμάρ) (x3=x1) (x3=x2)) 9. x(t(x,φιλιππίνες) Τ(x,Κατάρ)) 10. T(Μάνος,Τουρκία) T(Μάνος,Ισραήλ) (T(Μάνος,Τουρκία) T(Μάνος,Ισραήλ)) Άσκηση 2.3 [1 μονάδα] Θεωρείστε τη γραφική παράσταση της πρότασης P(x,y):y x 2 +1 Τα σημεία (x,y) του επιπέδου για τα οποία η πρόταση είναι αλήθής φαίνονται στο σκιασμένο κομμάτι

3 Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; 1. x y,p(x,y) 2. x y,p(x,y) 3. x y,p(x,y) 4. x y,p(x,y) 5. y x,p(x,y) 6. y x, P(x,y) Αληθείς είναι οι: 2,4,5,6 Άσκηση 2.4 [2 μονάδες] Διατυπώστε τις παρακάτω προτάσεις σε κατηγορηματικό λογισμό. Σε παρένθεση δίνονται τα πεδία ορισμού 1. Αν a b και b c, τότε a c (Π.Ο.: Ακέραιοι) 2. Το 4 δεν διαιρεί το n 2 +2, για κανένα n (Π.Ο.: Ακέραιοι) 3. x 3 +x+1=0 για κάποιο x (Π.Ο.: Πραγματικοί) 4. Μόνο οι τρελοί ερωτεύονται (Π.Ο.: Όλοι οι άνθρωποι) 5. Όλοι αγαπούν τα μαθηματικά (Π.Ο.: Όλοι οι άνθρωποι) 6. Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό α υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση e x =α (Π.Ο.: Πραγματικοί) 7. Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ε>0 υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός δ>0 τέτοιος ώστε xα <δ f(x)-f(α) <ε (Π.Ο.: Πραγματικοί) 8. Η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει λύση (Π.Ο.: Πραγματικοί) 9. Το τελευταίο θεώρημα του Fermat: Για κάθε ακέραιο n μεγαλύτερο του 2 δεν υπάρχουν μη μηδενικές ακέραιες τιμές των a,b,c τέτοιες ώστε a n +b n =c n (Π.Ο.: Ακέραιοι) 10. Η εικασία του Goldbach: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων αριθμών (Π.Ο.: Ακέραιοι) 1. (a b b c) a c

4 2. n4 (n 2 +2) n4 n x(x 3 +x+1=0) 4. Έστω Ε(x): Ο x ερωτεύεται και Τ(x): O x είναι τρελός x(e(x) T(x)) Σημείωση: Η ίδια πρόταση θα μπορούσε να γραφτεί σαν: Μόνο αν είναι κάποιος τρελός, ερωτεύεται. 5. Έστω Μ(x): O x αγαπά τα μαθηματικά xm(x) 6. α>0 x(e x =α) 7. ε>0 δ>0( x-α <δ f(x)-f(α) <ε) 8. x(x 2 +1=0) x(x ) 9. n>2 a,b,c 0(a n +b n =c n ) 10. Έστω Even(x): o x είναι άρτιος, που θα μπορούσε να οριστεί σαν: y(x=2y), x,y Z Έστω Prime(x): o x είναι πρώτος, που θα μπορούσε να οριστεί σαν: ( i (i x (i=1 i=x) x 1)), x,i Z H εικασία του Goldbach γράφεται: n(n>0 Even(n)) a,b(prime(a) Prime(b) n=a+b), a,b,n Z Άσκηση 2.5 [2 μονάδες] Βρείτε την άρνηση των παρακάτω παροιμιών: 1. Όποιος έχει τα γένια έχει και τα χτένια 2. Φοβάται ο Γιάννης το θεριό και το θεριό το Γιάννη 3. Άλλος δεν έκανε παιδί, μόνο η Μαριώ το Γιάννη 4. Σπίτι χωρίς Γιάννη, προκοπή δεν κάνει 5. Τον αράπη κι αν τον πλένεις, το σαπούνι σου χαλάς 6. Όλοι μιλούν για πόλεμο κι ο Γιάννης για την πίτα 7. Όπου βλέπεις μάσα κάτσε κι όπου βλέπεις ξύλο τρέχα 8. Όποιος βιάζεται σκοντάφτει 9. Καθαρός ουρανός αστραπές δε φοβάται 10. Ούτε γάτα ούτε ζημιά Υπόδειξη: Θα βοηθήσει να μετατρέψετε τις παροιμίες πρώτα σε προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού, να βρείτε τις αρνήσεις και μετά να μεταφράσετε ξανά 1. Υπάρχει κάποιος που έχει γένια αλλά δεν έχει χτένια 2. Αν φοβάται ο Γιάννης το θεριό, το θεριό δε φοβάται το Γιάννη (και ισοδύναμα αν φοβάται το θεριό το Γιάννη, ο Γιάννης δε φοβάται το θεριό 3. Αν η Μαριώ έκανε το Γιάννη τότε και κάποιος άλλος έκανε παιδί (ισοδύναμα Είτε η Μαριώ δεν έκανε το Γιάννη είτε κάποιος άλλος δεν έκανε παιδί) 4. Το σπίτι δεν έχει Γιάννη και κάνει προκοπή

5 5. Και τον Αράπη πλένεις και δε χαλάς το σαπούνι σου 6. Αν κάποιος μιλάει για πόλεμο τότε ο Γιάννης δε μιλάει για την πίτα 7. Ή βλέπεις μάσα και δεν κάθεσαι ή βλέπεις ξύλο και δεν τρέχεις 8. Υπάρχει κάποιος που βιάζεται και δε σκοντάφτει 9. Και καθαρός είναι ο ουρανός και φοβάται τις αστραπές 10. Είτε γάτα είτε ζημιά Άσκηση 2.6 [1,5 μονάδες] Μεταφράστε στα ελληνικά τις παρακάτω προτάσεις και δώστε την τιμή αλήθειας για κάθε μια από αυτές: 1. x, x x, o x είναι πρώτος αριθμός 3. n, 2 n 4. n, 2 n 5. x, y, (x=y+1) 6. x, y, (x<y) 7. x, y, (x<y) 8. x>0, y, y 2 =x Πρόταση Προτασιακού Ελληνική μεταφορά Τιμή αλήθειας x, x 2 0 Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού True είναι μη αρνητικός αριθμός x, o x είναι πρώτος αριθμός Υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός True n, 2 n Υπάρχει τουλάχιστον ένας περιττός True φυσικός αριθμός n N, 2 n Υπάρχει τουλάχιστον ένας άρτιος φυσικός True αριθμός x, y, (x=y+1) Για κάθε φυσικό αριθμό x υπάρχει ένας False φυσικός αριθμός y τέτοιος ώστε x=y+1 x, y, (x<y) Για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχει ένας True πραγματικός αριθμός y μεγαλύτερος απο τον x x, y, (x<y) Υπάρχει πραγματικός αριθμός x τέτοιος False ώστε όλοι οι πραγματικοί αριθμοί y είναι μεγαλύτεροι απ αυτόν x>0, y, y 2 =x Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε το τετράγωνο του y ισούται με x True