4. GaK - Cvičenia z predmetu Pravdepodobnosť a matematicka štatistika Súhrn

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. GaK - Cvičenia z predmetu Pravdepodobnosť a matematicka štatistika Súhrn"

Βάαλ Παπαγεωργίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . GaK - Cvčea z predmetu Pravdepodoboť a matematcka štattka Súhr Pravdepodobot. Na klade je ty druh vyrobku. Z celkoveho moztva ma 7% predpau hmotot a 8% predpay rozmer. Takto je zame, ze 6% z celkoveho moztva je uple bezchybych. Kolko percet preavuju kuy, ktore eplaju a jedo krterum, teda u uple zle? Ozacee: P(H) - pravdepodobot, ze vyrobok ma predpau hmotot P(H') = - P(H) pravdeopdobot, ze predpau hmotot ebude mat. P(R) - pravdep predpaho rozmeru, P(R') = - P(R) P(H R) vyrobok je bezchyby (prava hmotot a rozmer) P(H R) = P(H) + P(R) - P(H R) vyrobok ma apo jedu vlatot v poradku (H alebo R) P(H' R') vyrobok je uple chyby P H 7% P R 8% P HaR 6% P HaleboR P H + P R P HaR P HaleboR = 9 % Uple zle kuy preavuju doplok mozy tych, ktore maju apo jedu vlatot dobru, teda P(H' R') = - P(H R) = P HaleboR = %. Majme klobuk belym a cerym kralkm. Potupe vytaheme dvoch kralkov. Ak po prvom tahu vratme kralka apäť do klobuku, a) aka je pravdepodobot, ze kralk vytahuty v.tahu je cery? P(C ) a) aka je pravdepodobot C, ak kralk vytahuty v.tahu bol bely? P(C B ) Ak prveho vytahuteho echame voku, b) aka je pravdepodobot, ze kralk vytahuty v.tahu je cery? P(C ) b) aka je pravdepodobotc, ak kralk vytahuty v.tahu bol bely? P(C B ) Prklad a) je a ezavle udalot, v prklade b) u udalot uz zavle, pretoze druhy poku je ovplyvey prvym. V a) a b) a pytaju a epodmeeu pravdepodobot, aopak v a) a b) uz de o podmeeu pravdepodobot, a tak ozacee P(C B ) preavuje pravdepodobot atata C za podmeky atata B. a) P(C ) = 7 b) P(C ) = + ( ) 7 ( 7 ) =.57 a) P(C B ) = P(B C ) / P(B ) = P(B ).P(C ) / P(B ) = P(C ) = 7 Pozamka: Pr ezavlych pokuoch P(A B) = P(A) =.57 b) P(C B ) = P(B C ) / P(B ) = =.57. Vedee podku, kde 7% lud krade a rozhodlo zlodejov odhalt pomocou dektoru lž a alede tych, ktor tetom eprejdu, preputt. Detektor lž ma upeot 95%. Kolko percet zametacov bude preputeych? 7 ( 7 ) 7 =.667 Ozacee: P(Z) =.7 pravdepodobot, ze (ahode vybraty) zametaec je zlodej P(N) = - P(Z) =.9 --//-- je evy P(T N) =.95 pravdpodobot, ze evy prejde tetom P(T' N) = - P(T N) =.5 --//-- eprejde tetom P(T Z) = - P(T' Z) =.5 P(T) =? pravdepodobot, ze zametaec prejde tetom Podla vety o uplej pravdepodobot: P T P T.N P N + P T.Z P Z P T =.887 P Z.7 P N P Z P T.N.95 P T.Z.5. Do predaje elektroky u televzory dodavae ba troma frmam a to v pomere 5%, % a % celkoveho objemu dodavky. Poruchovot televzorov je v tom tom porad 7%, 5% a %. S akou pravdepodobotou bude ahode vybray televzor zly? Ak a aozaj podarlo vybrat poruchovy televzor, aka je pravdepodobot, ze bol doday prvou frmou?

Ozacee: P(H) - pravdepodobot, ze vyrobok ma predpau hmotot P(H') = - P(H) pravdeopdobot, ze predpau hmotot ebude mat.

2 Ozacee: P(F ) - pravdepodobot, ze TV je z -tej frmy P(Z F ) - pravdep., ze TV je zly za predpokladu, ze je z -tej frmy P(Z) =? pravdep., ze ahode vybraty TV je zly P(F Z) =? pravdep., ze TV je z -tej frmy, ak bolo ztee, ze je zly (Veta o uplej pravdepodobot:) P F. P Z.F P Z P F P Z.F + P F P Z.F + P F P Z.F P Z =.5.. (Bayeova veta:) P F P Z.F P F.Z P P F.Z =.67 Z 5. Hadzeme 5 kockou. Upechom pr jedom hode je padute etky.aka je pravdepodobot, ze budeme upe? Prklad je typckou aplkacou Beroulho chemy: ktora vyjadruje pravdeopdobot, ze pr -krat opakovaom pokue budeme k-krat upe. P( k, )! k! ( k)! pk ( p) k P(, 5) =. p 6 Nahoda premea 6. Baketbalta ma upeot zaahu 7%. Najdte rozdelee pravdepodobot ahodej premeej, ktorou je pocet upeych zaahov pr 5 aobom opakova pokuu. Dajme hodoty, ktore ahoda premea moze adobudat, do vektora X: p 7% 5.. X X T = ( ) + Jej rozdelee pravdepodobot moze byt dae tabulkou pravdepodobotí, alebo predpom. Kedze zo zadaa X je zrejme, ze bude mat bomcke rozdelee pravdepodobot, jej pravdepodobota fukca je daa vztahom: P comb(, ) p ( p) alteratve: P dbom(,, p) + + Dtrbuca fukca bude fukca kumulatvych pravdepodobot, teda F P alteratve: F pbom(,, p) + j+ + j = Nameto tabulky vykrelme graf pravdepodobotej aj dtrbucej fukce Streda hodota: E X P X E X =.5 Dperza P...5 F.5.8 P D X X E X D X = X X S akou pravdepodobotou a baketbalta traf apo krat? P(X > ) = - P(X ) = F =.7 Kolko krat a mu traft, aby doahol 8% upeot? Ztujeme 8% kvatl: qbom(.8,, p) =. To te a da odctat aj a grafe dtrbucej fukce Nech pr tom tom baketbaltov je ahoda premea (Y)daa uctom bodov, ktore zka poca 5 hodov, ak za kôš zka a za mute koša trat 5bodov. Najdte jej tredu hodotu: E(Y).

aka je pravdepodobot, ze budeme upe? Prklad je typckou aplkacou Beroulho chemy: ktora vyjadruje pravdeopdobot, ze pr -krat opakovaom pokue budeme k-krat upe. P( k, )! k! ( k)! pk ( p) k P(, 5) =.

3 Y X 5( X) alteratve: Y 5( ) + kedze pravdepodobot budu rovake ako pre prlue X, potom E Y P Y E Y = Nahoda premea X preavuje pocet pokazeych kuov v er ovovyrobeych televzorov. Veme, ze kazovot prevadzky je 8 kuov a vyrobkov, takto veme, ze X ma Pooovo rozdelee pravdepodobot. Aka je pravdepodobot, ze v pomeutej er a vykytu ajvac poruchove televzory? pravdepodobota fukca Pooovho rozdelea: P( ) 8 p λ p λ! e λ alteratve P( ) dpo, λ P(X ) = P(X=) + P(X=) + P(X=) + P(X=) P + P + P + P =.6 alebo pomocou dtrbucej fukce: ppo(, λ) =.6 8. Fukca hutoty pravdepodobot f() pojtej ahodej premeej X adobuda hodoty (-) pre <,+π/>, mmo tohto tervalu je ulova. a) Overte, c f() pla podmeku pre fukcu hutoty, b) ajdte dtrbucu fukcu F() a obe fukce vykrelte, c) vypoctajte tredu hodotu, dperzu a 95% kvatl ahodej premeej X d) ztte pravdepodobot P( X <.) f ( ) otherwe f + π Reee a) b) ( ) d co( ) alteratve: f( t) = co( ) F f( t) F f < co( ) otherwe f + π c) treda hodota E X t f( t) dperza D X E X =.785 D X =.7 f t t E X 95% kvatl: odhadom z grafu bude kde okolo X =, preto zadame pocatocu podmeku: q potom a kvatl q bude reem rovce F(q) =.95 : q root( F( q).95, q) q =.5 E X q.95 f.5 F.5 d) P( X <.) = F(.) F =.

pravdepodobota fukca Pooovho rozdelea: P( ) 8 p λ p λ! e λ alteratve P( ) dpo, λ P(X ) = P(X=) + P(X=) + P(X=) + P(X=) P + P + P + P =.6 alebo pomocou dtrbucej fukce: ppo(, λ) =.6 8.

4 9. Spojta ahoda premea je daa vojou dtrbucou fukcou: a) Vypoctajte kotatu A, b) f(), E X, D X, 8% kvatl a P( X<.5) c) graf F(), f() F f <.5 A + π f.5 f >.5.5 a) aby F() bola dtrbuca fukca, mu "zacat" a ule a "koct" a jedcke, v aom prpade F(-.5) = a F(.5) = F F A a tak kedze =.5 A, potom A = / b) d d + π (v fukcu F() mume zovu zadefovat) 9 co π π F f <.5 + π f.5 f >.5.5 f 9 co π π f.5.5 alteratve f otherwe d d F E X t f( t) E X =.8 D X ( t E X ) f( t) D X =. q q root( F( q).8, q) q =.9 F(.5) F =. E X q.8 f.5 F.5. Poca 5-tch tyzdov bola ledovaa vyroba paelov. Pocty ekvaltych paelov v jedotlvych tyzdoch u uvedee v tabulke. a) Vypoctajte artmetcky premer, modu, meda, rozptyl, merodaju odchylku, varacy koefcet a varacy rozah. b) Zotavte tabulku abolutej pocetot (frekveca tab.) a zobrazte ju (htogram). pael Reee a) artmetcky premer a mea( pael) a =.7 ajmeej zlych paelov: ajvac ch bolo: m( pael) = 8 ma( pael) = 8 varacy rozah: ma( pael) m( pael) =

8 D X ( t E X ) f( t) D X =. q q root( F( q).8, q) q =.9 F(.5) F =. E X q.8 f.5 F.5. Poca 5-tch tyzdov bola ledovaa vyroba paelov. Pocty ekvaltych paelov v jedotlvych tyzdoch u uvedee v tabulke.

5 pocet vetkych mera legth( pael) = 5 meda merodaja odchylka (tadard devato) varacy koefcet meda( pael) = tdev( pael) =.7 v v =.88 a Poz.: "tredy" obahuju avye jedu hodotu (9), pretoze fukca "ht" vyzaduje tervalovu povahu argumetu "tredy". odhad merodajej odch.: =.97 modu urcme z tabulky abolutych pocetotí, ako hodotu tattckeho zaku "pael" ajvyou pocetotou tdev( pael) b) pocet tred tattckeho zaku: t ma( pael) m( pael) + t =.. t + krok medz tredam: kt tredy: tredy 8 + kt ( ) tredy T = ( ) abolute pocetot: p ht( tredy, pael) p T = ( ) g kt dorm(, a, ) htogram abolutych pocetot: tu je jae rozozat modu = Ak by me chcel emprcke rozdelee tattckeho zaku vzuale porovat teoretckym rozdelem pravdepodobot ahodej premeej, ktorou by bol pocet chybych paelov za tyzde, potom prelozme htogramom gauovu krvku odhadutym parametram a ormovau a rozmer abolutych pocetot (to je ta fukca g() defovaa ad grafom) p g tredy,. Majme zovu prpad ekvaltych paelov. Tetokrat je vak je ameto povodej (eroztredeej) tabulky "pael" daa tabulka tredych pocetotí "p". Vypoctajte artmetcky premer, dperzu a meda. T Tab tredy zak: Tab treda pocetot: p Tab Reee artmetcky premer: p a a =.7 celkovy pocet (pocet mera): p dperza kumulatve pocetot ( a) p = legth( p) kp p kp T = ( ) j j =

97 modu urcme z tabulky abolutych pocetotí, ako hodotu tattckeho zaku "pael" ajvyou pocetotou tdev( pael) b) pocet tred tattckeho zaku: t ma( pael) m( pael) + t =.

6 Meda m e je defovay ako protreda hodota tattckeho zaku, ak u hodoty zaku uporadae podla velkot, teda: - ak = m+, tak m e = m+ - ak = m, tak m e = ( m + m+ ) / Pomocka: Z htogramu kumulatvych pocetot ho ztme ako hodotu a o, ktorej tlpec ako prvy doahe urove m rep. (m+)/ Takze meda m e =. Nahoda premea X, ktorou je % chybych tehel ma ormale rozdelee pravdepodobot o tredou hodotou µ = 9 a dperzou = 9, teda X ~ N(9,9). a) Vypoctajte pravdepodobot toho, ze v dodavke tehel vac ako 5% a meej ako 5% chybych tehel. b) Za ake ajze perceto chybych tehel a mozme zaruct pravdepodobotou.95? kp 6 htogram kumulatvych pocetotí µ 9 9 Reee Ulohu tohto typu mozo ret za pomoc vtavaych fukc mathcadu rovako ako pouztm tabulek.ukazeme obdva pooby. a) P( 5 < X < 5) = P 5 µ < Z < 5 µ = P 5 9 < Z < 5 9 = φ φ, kde Z = X µ je ahoda premea ormovaym ormalym rozdelem pravdepodobot, teda Z ~ N(,), φ je dtrbuca fukca ormovaeho ormaleho rozdelea, jej hodoty u zotavee do tabulek, ktore mozo ajt v mohych publkacach o matematckej tattke (teda v krptach). V Mathcade mozo dtrbucu fukcu ormaleho rozdelea ajt pod ozacem "porm" a plat φ() = porm(,, ). A tak mozme ulohu vyratat bez tabulek: P( 5 < X < 5) = P < Z < = porm(,, ) porm,, =.886, alebo jedoduche P( 5 < X < 5) = porm( 5, µ, ) porm( 5, µ, ) =.886. b) Reme rovcu P( X < q) =.95, kde q azyvame 95% kvatlom rozdelea pravdepodobot. Ak emame mozot vypoctat dtrbucu fukcu eormovaeho ormaleho rozdelea (apr. pomocou mathcadu), mume opat prejt z N(µ, ) a N(,), ktorej hodoty dtrbucej fukce u tabelovae, teda X µ q µ P( X < q) = P < < = φ q µ =.95, a v tabulke ajdeme hodotu argumetu pr hodote fukce φ()=.95. Bude to pree hodota.65. Jej a ma rovat vyraz q µ, teda z toho ztme, ze q =.65 + µ =.95. To te pomocou Mathcadu: alebo ete jedoduche: q qorm(.95,, ) + µ q qorm.95, µ, q =.95 q =.95. Nech X ~ N(,). a) Vypoctajte pravdepodobot toho, ze artmetcky premer realzac ahodej premeej X pade do tervalu (.8,.) v prpade, ze me urobl mera. b) Kolko mera mume vykoat, aby artmetcky premer padol do tohoto tervalu pravdepodobotou.95? Reee Artmetcky premer A je ahoda premea, A = X, ktorej rozdelee pravdepodobot je N µ, predpokladu ze X ma rozdelee N ( µ, ). µ za

Nahoda premea X, ktorou je % chybych tehel ma ormale rozdelee pravdepodobot o tredou hodotou µ = 9 a dperzou = 9, teda X ~ N(9,9).

7 b).95 = P.8 A. φ(. ) = φ. = φ. -, reme teda rovcu φ. q qorm.95 +,,, q =.96.Zarove q =. a z toho ( q), teda = 8.. a) P(.8 < A <.) = P.8 alebo P(.8 < A <.) = porm., µ, =.95 /. V tabulkach c Mathcade mozo ajt.975 kvatl N(,) rozdelea: A. porm.8, µ, =.68 = φ - φ( ) = porm(,, ) porm(,, ) =.68 Alteratve reee vyuzva fukcu "root", ktora umercky vypocta kore rovce v tvare f(z)=, ak je daa pocatoca (prblza) hodota ezamej "z". Naa ezama ech je. 5 Poz.: Cm preeje zadame pocatocu podmeku, tym preej vyledok dotaeme. root porm., µ, porm.8, µ,.95, = : Mume urobt apo 85 mera aby a am artmetcky premer pravdepodobotou 95% zmetl do tervalu (.8,.). Itervaly poľahlvot, tetovae hypotez. Preverovala a zdatot tudetov v koku do vyky. Vyledky u v tabulke pocetot. a) Urobte bodovy odhad tredej hodoty a dperze b) Nech ma ahoda premea X (doahuta vyka koku) rozdelee N(µ, ), potom ajdte 95% obojtray aj lavotray terval polahlvot pre µ, b) pr zamom rozptyle = b) pr ezamom, a urcte hed aj 95% obojtray terval polahlvot pre varacu Reee a) bodovy odhad tredej hodoty: α 95% a p M a = 5.6 p M p = 5 M bodovy odhad dperze: ( a) p = 88.6 bodovy odhad merod. odchylky: = 9.7 b) obojtray terval: a µ.95 = - α = P(DO < µ < HO) = P k α < < k α, kde k α je krtcka hodota N(,) rozdelea a hlade α vyzamot α. Vypoctame ju ako k α qorm,, alebo ajdeme v tabulkach pod ozacem u, -α/ kazdopade je to (-α/)% kvatl a pre α =.5 a rova k α =.96. Potom z erovc k α < a µ < k α dotaeme, ze dola hraca: DO a k α hora hraca: HO a + k α

68 Alteratve reee vyuzva fukcu "root", ktora umercky vypocta kore rovce v tvare f(z)=, ak je daa pocatoca (prblza) hodota ezamej "z". Naa ezama ech je. 5 Poz.

8 DO = 5.5 HO = 55.5 lavotray terval: a µ.95 = - α = P(DL < µ < ) = P k α < < gauovej krvky., rozdel je v tom, ze teraz a cele α preue pod lavy chvot α k α qorm,, dola hraca: DL a k α DL = 5. b) obojtray terval a µ.95 = - α = P(DO < µ < HO) = P t α < < t α, kde t α je krtcka hodota Studetovho t-rozdelea a hlade dola hraca: DO a t α α vyzamot α. Vypoctame ju ako kvatl t-rozdelea, t α qt,, alebo ajdeme v tabulkach ako t. -,α Vmme, ze parametram t-rozdelea e je treda hodota a rozptyl, ale tzv. tupe volot, v aom prpade -. Pre α =.5 bude t α =. a z erovc t α < a µ < t α dotaeme hora hraca: HO a + t α lavotray terval: α t α qt, DO = 9. dola hraca: DL a t α HO = 6. DL = 9.9 Poz.: Nameto merodajej odchylky me pouzl jej bodovy odhad. Itervalovy odhad dperze. Ak X ~ N(µ, ), potom plat = P χ P D < < H ( ) ~ χ (-). Hladame take D a H, aby platlo P D < < H < < χ = P > χ ( ) > χ = - α. Po uprave = P ( ) ( ) > >, kde χ a χ u χ χ krtcke hodoty χ (-) rozdelea. V tabulkach ch ajdeme ako kvatly χ -,-α/ a χ (v tomto porad), a -,α/ vmathcade a vypoctaju aledove χ qchq α, χ =.555 α χ qchq, χ = 7.

Vypoctame ju ako kvatl t-rozdelea, t α qt,, alebo ajdeme v tabulkach ako t. -,α Vmme, ze parametram t-rozdelea e je treda hodota a rozptyl, ale tzv. tupe volot, v aom prpade -. Pre α =.5 bude t α =.

9 Pozor, kvatly v tabulkach u zacee opace ako v Mathcade, teda apr. χ -,-α/ = qchq(α/,-). Vylede hrace tervalu polahlvot pre dperzu budu D ( ) χ D = V mete LM je zama fabrka a vyrobu alkoholu. V ahodom vybere 5domacot tohto meta a ledovala potreba alkoholckych apojov v prebehu roka. Z ahodeho vyberu a vypoctal artmetcky premer a 8.9ltrov a merodaja odchylka 8.5ltrov. Celotata premera roca potreba alkoholu a jedu domacot je µ 7.8ltrov. Na hlade vyzamot α 5% tetujte hypotezu, ze prtomot fabrky ema vplyv a vy alkoholzmu obyvatelov meta a teda potreba v mete a el od celotateho premeru. Reee Nulova hypoteza H : a = µ Alteratva hypoteza H : a > µ (alteratva je jedotraa!) Potup reea takejto ulohy je podoby ako pr urcova tervalu polahlvot, zmela a ba "flozofa" zadaa ulohy. Mume vypoctat tetovacu tattku, ozacme ju TS, a ztt c pade do tervalu ohraceeho (v aom prpade jedou) krtckou hodotou KH, teda TS < KH. Ak e, teda ak TS KH, potom ulovu hypotezu H zametame. Tetovacou tattkou je ormovay artmetcky premer (porovaj prkladom /b pravotray terval polahlvot pre tredu hodotu): a µ TS TS =.89 α Krtckou hodotou je t -,α (kvatl t-rozdelea), v Mathcade a vyrata: KH qt, KH =.68 : Kedze TS =.89 > KH =.68, zametame hypotezu o rovot tredych hodot, teda prtomot fabrky pravdepodobe zvyuje potrebu alkoholu v mete. H ( ) χ H = Ztovala a hmotot porobetoovych tvarc. Vyledky (v kg) u uvedee v tabulke. Hodota 5.98 vzbudla podozree, ze de o hrubu chybu meraa. Ztte a) Grubbovym T-tetom, b) Doovym Q-tetom a hlade vyzamot α., c hodotu treba zo uboru vyluct. merae hodoty: Reee -pocet mera: legth( X' ) -artmetcky premer: a mea( X' ) -merodaja odchylka: Uporadajme vektor X vzotupe, teda od ajmeeho po ajvac prvok: X = ort( X' ) X' ( ) T a = 5.8 a) V prpade ajvacej hodoty X za tetovacu tattku bereme X T = ( ) X a T T =.75 =.5 tdev ( X' ) a porovavame krtckou hodotou, ktoru mozo ajt ba v tabulke pre Grubbov tet: T,α =.55. b) Pr Doovom tete emume pozat a a, jeho la je vak mea. Tetovacu tattku Q =.5 porovavame tabelovaou krtckou hodotou Q,α =.8 (opat ba v tabulkach) Q X X X X : V oboch tetoch vyla tetovaca tattka vaca ako krtcka hodota, preto hodotu X = 5.98 vylucme. Pouzta lteratura: [] Bučko, M.: Pravdepodobot a matematcka tattka. VTaEL Bratlava 99. [] Dalloová, A., Mear, R.: Pravdepodobot a matematcka tattka. Navody a cvcea. STU Bratlava 98. [] Zvára, K., Štěpá, J.: Pravdepodobot a matematcka tattka. VEDA Bratlava.

Celotata premera roca potreba alkoholu a jedu domacot je µ 7.8ltrov.

Σχετικά έγγραφα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x