Štatistika s Excelom 1. Jurečková Mária Molnárová Iveta. Štatistika s Excelom

Transcript

1 Štatstka s Excelom Jurečková Mára Molárová Iveta Štatstka s Excelom AOS 005

2 Štatstka s Excelom Za odború a jazykovú stráku zodpovedajú autor. Jedotlvé kaptoly spracoval: doc. RNDr. Mára Jurečková, CSc., kap., 4, 5, 7 RNDr. Iveta Molárová, kap., 3, 6, 8, 9 Recezet: doc. RNDr. Ľudmla Lysá, PhD. doc. RNDr. Fratšek Kôpka, CSc. RNDr. Eva Drobá, PhD. Vydala Akadéma ozbrojeých síl ge. M.R. Štefáka v Lptovskom Mkuláš Prvé vydae, 005 ISBN

3 Štatstka s Excelom 3 OBSAH PREDSLOV...7. ZÁKLADNÉ POJMY...9. Úvod do štatstky...9. Štatstcký súbor a štatstcké zaky Popsé metódy....4 Parametre základého súboru...7 Príklady a precvčee...5. PRAVDEPODOBNOSŤ...7. Náhodý pokus a áhodý jav (udalosť)...7. Vzťahy medz áhodým javm a operáce s m Pravdepodobosť a jej vlastost...30 Príklady a precvčee NÁHODNÁ PREMENNÁ Pojem a vlastost áhodej premeej Zákoy rozdelea pravdepodobost Číselé charakterstky rozdelea áhodej premeej Charakterstky polohy Charakterstky varablty Začatočé a cetrále momety Kvatly Nektoré rozdelea pravdepodobost dskrétej áhodej premeej...6

4 4 Štatstka s Excelom 3.4. Dskréte rovomeré rozdelee R() Alteratíve rozdelee A(p) Bomcké rozdelee B(p, ) Possoovo rozdelee Po(λ) Nektoré rozdelea pravdepodobost spojtej áhodej premeej Normále rozdelee (Gaussovo, Z rozdelee) N(µ,σ ) Aproxmáca dskrétych rozdeleí ormálym Rozdelea fukcí áhodých premeých χ - rozdelee Studetovo rozdelee ( t - rozdelee) Fsherovo rozdelee ( F rozdelee)...78 Príklady a precvčee VÝBEROVÉ SKÚMANIE Náhodý výber Výberové charakterstky Výberový premer Výberový rozptyl a výberová štadardá odchýlka Výberový podel Bodové odhady Neskresleý odhad Kozstetý odhad Výdatý odhad Itervalové odhady Iterval spoľahlvost pre odhad premeru µ Iterval spoľahlvost pre odhad rozptylu σ Iterval spoľahlvost pre odhad podelu π...98 Príklady a precvčee TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ Prcíp testovaa štatstckých hypotéz Test hypotézy o premere základého súboru Test hypotézy o rozptyle základého súboru...4

5 Štatstka s Excelom Test hypotézy o podele základého súboru p-hodota Test hypotézy o zhode premerov dvoch základých súborov Test hypotézy o zhode rozptylov dvoch základých súborov Test hypotézy o zhode podelov dvoch základých súborov Aalýza rozptylu (ANOVA)...38 Príklady a precvčee VYŠETROVANIE NORMALITY ROZDELENIA χ - test dobrej zhody Shaproov - Wlkov test ormalty D Agostov test ormalty...5 Príklady a precvčee NEPARAMETRICKÉ TESTY Testy o zhode premerov dvoch základých súborov Maov Whteyho U test Testy o zhode premerov k základých súborov (k 3) Kruskalov - Wallsov test Fredmaov test...67 Príklady a precvčee SKÚMANIE ZÁVISLOSTI KVANTITATÍVNYCH ZNAKOV Štatstcká závslosť Korelačá aalýza Regresá aalýza Skúmae štatstckej výzamost modelu...8

6 6 Štatstka s Excelom 8.5 Testy hypotéz používaé pr voľbe regresej fukce Použte regresej pramky Predpoklady pre použte metódy ajmeších štvorcov Ié typy regresých fukcí...94 Príklady a precvčee SKÚMANIE ZÁVISLOSTI KVALITATÍVNYCH ZNAKOV χ - test ezávslost Mery tezty závslost dvoch kvaltatívych zakov Poradová koreláca Použte asocačých a kotgečých tabulek v ých testoch...09 Príklady a precvčee... TABUĽKOVÁ PRÍLOHA...3 Tab. Koefcety Shaproovho - Wlkovho testu...4 Tab. Kvatly Shapro Wlkovej áhodej premeej W...5 Tab. 3 Kvatly D Agostovej áhodej premeej D...5 Tab. 4 Kvatly pre Ma Whteyov test pre ezávslé výbery...6 Tab. 5 Kvatly pre Ma Whteyov test pre ezávslé výbery...7 Tab. 6 Kvatly T W pre Wlcoxoov test pre závslé výbery...8 Tab. 7 Súbor PRIJÍMACIE SKÚŠKY...9 Tab. 8 Súbor AUTOBAZÁR... VÝSLEDKY PRÍKLADOV NA PRECVIČENIE...3 LITERATÚRA...33

7 Štatstka s Excelom 7 PREDSLOV Vzrastajúce možstvo a dôležtosť formác sú výrazé črty dešej spoločost. Ukazuje sa preto evyhuté vedeť formáce spracovať, sprehľadť a správe terpretovať, aby mohl byť dobrým podkladom pre dôležté rozhoduta. Matematcká štatstka má v tomto procese ezastupteľé mesto a je výzamým ástrojom a prípravu pôdy pre kvalfkovaé rozhoduta. Predkladaá učebca poúka prehľad základých štatstckých metód používaých v rozhodovacom procese v etape štatstckého spracovávaa, vyhodocovaa a aalýzy údajov. Teoretcký výklad jedotlvých metód je dopleý ávodom a ch realzácu s využtím EXCELu, ktorý je dostupý každému užívateľov Mcrosoft Offce. Od čtateľa sa vyžadujú ba základé zručost pr prác s EX- CELom. Každá kaptola kočí aplkácou vo forme rešeého príkladu a príkladm, ktoré sú určeé čtateľov a vlasté precvčee. Príklady sú rešeé v českej verz EXCELu 000. Na koc učebce sú výsledky erešeých príkladov a súbory dát, ktoré sa využívajú pr ch rešeí. Učebca je určeá predovšetkým študetom Akadéme ozbrojeých síl, ale ostatých vysokých škôl pre základý kurz matematckej štatstky. Môže byť ale vhodou pomôckou všetkým tým, ktorí majú záujem o skvaltee svojho rozhodovaa. Autorky aj touto cestou ďakujú recezetom doc. RNDr. Ľudmle Lysej, PhD. z Katolíckej uverzty v Ružomberku, doc. RNDr. Fratškov Kôpkov, CSc. zo Žlskej uverzty a RNDr. Eve Drobej, PhD. z Akadéme ozbrojeých síl ge. M. R. Štefáka za prpomeky, ktoré pomohl k skvalteu obsahu formy predkladaej učebce.

8 8 Štatstka s Excelom

9 Štatstka s Excelom 9. ZÁKLADNÉ POJMY. Úvod do štatstky Matematcká štatstka je vedá dscplía, ktorej úlohou je vyhodotť hromadé javy v prírode a spoločost a základe pozatkov z teóre pravdepodobost. Umožňuje prekúť k podstate eprehľadého možstva získaých údajov a tým lepše spozať zákoy objektívej realty. Na odhalee zákotostí skúmaých hromadých javov je potrebé v etape zsťovaa formácí zhromaždť veľké možstvo údajov a ájsť vhodú formu ch vyjadrea. Po spracovaí príslušých hodôt potom astupuje ch aalýza pre praktcké využte. Matematcká štatstka je ástroj a zvýšee kvalty rozhodovaa v ľubovoľej sfére ľudskej čost. Dlhé obdobe bola štatstka spojeá so zberaím faktov ajmä v demograf a v ekoomke, ale v súčasej dobe sa štatstcké metódy používajú a skúmae hromadých javov akéhokoľvek druhu. Prspela k tomu šroká prístuposť počítačov a možstvo softvérových produktov, ktoré majú zabudovaé štatstcké fukce. Exstujú však špecále softvérové systémy a štatstckú aalýzu (STATGRAPHICS, SAS, atď.). Jedotlvé programové produkty sa líša obsahom procedúr, ale spôsobom ovládaa. Ich výber závsí od špecfík oblastí, v ktorých chceme matematckú štatstku aplkovať.. Štatstcký súbor a štatstcké zaky Štatstka sa zaoberá javm, ktoré azývame hromadé javy. Budeme rozlšovať dva typy hromadých javov. Jede z ch je založeý a veľkom počte opakovaých pozorovaí (merae, vážee) stej vlastost jedého prvku. Koečým ceľom je čo ajlepše prblížee sa k skutočej hodote sledovaej vlastost. Svoju pozorosť však sústredíme a druhý typ hromadých javov. V tomto prípade sledujeme a može, ktorá pozostáva z veľkého počtu prvkov vlastosť, ktorú má v stej mere každý prvok tejto možy. Skúmaím hromadého javu cez dostatočý počet dvduálych javov (udalostí) pozávame jeho podstatu, vútoré vzťahy a súvslost. Napríklad úroveň absolvetov daej školy emôžeme hodotť a

10 0 Štatstka s Excelom základe jedého absolveta. Hypotézu, že a Slovesku stúpa počet rodí, ktoré majú ajvac jedo deťa, emožo formulovať bez pozorovaa väčšeho počtu rodí. Možu prvkov, a ktorých sledujeme stý hromadý jav (udalosť), azývame štatstcký súbor. Štatstckým súborom môže byť moža osôb, zverat, šttúcí a pod., ktorá je defovaá vece, lokále a časovo. Prvok štatstckého súboru azývame štatstcká jedotka. Počet jedotek v súbore azývame rozsah súboru. Štatstcký zak je vlastosť, ktorú sledujeme a štatstckých jedotkách. Skúmaé vlastost štatstckých jedotek môžu mať rôzy charakter. Delíme ch a: kvattatíve (kardále) zaky, hodoty ktorých sú reále čísla. Kvattatíve zaky delíme a dskréte (zámka z matematky, počet detí v rode), spojté (telesá výška, príjem). kvaltatíve (kategorále) zaky, ktoré slove vyjadrujú vlastosť štatstckej jedotky. Rozlšujeme kvaltatívy zak omály, ktorého hodoty e je možé usporadať tak, aby hodota zaku s vyšším poradím vyjadrovala vyšší stupeň vlastost, ako hodota s žším poradím (farba očí, štáta príslušosť), ordály, ktorého hodoty môžeme prrodzee usporadať (hodosť v armáde). Pr štatstckom spracovávaí údajov často krát ahrádzame kvaltatívy zak kvattatívym. Napríklad, kvaltatíve hodotee študeta (výborý, veľm dobrý, dobrý, evyhovel) môžeme vyjadrť číselým hodoteím (,, 3, 4). Základý štatstcký súbor rozsahu N predstavuje možu všetkých štatstckých jedotek. V prípade, že e je možé skúmať základý súbor (z časových, fačých alebo ých dôvodov), vytvárame z eho výberový súbor rozsahu < N a z hodôt x sledovaého zaku X z výberového súboru odhadujeme vlastost (parametre) základého súboru. Obr... ukazuje všeobecý postup pr rešeí štatstckých úloh.

11 Štatstka s Excelom Defíca štatstckého súboru Určee zaku Spôsob zsťovaa úplé výberové Voľba spôsobu výberu Zsťovae údajov a ch spracovae Zsťovae údajov vo výberovom súbore a ch spracovae Výpočet parametrov základého súboru Výpočet parametrov výberového súboru Odhad parametrov základého súboru Využte výsledkov aalýzy Obr.. Všeobecý postup pr rešeí štatstckých úloh

12 Štatstka s Excelom.3 Popsé metódy Pr spracovaí štatstckého súboru je dôležtou úlohou tredee súboru. Pr tredeí vytvárame skupy (tredy) štatstckých jedotek, ktoré majú rovaké hodoty skúmaej velčy. V prípade, že skúmaá velča adobúda dskréte hodoty, je každá treda zvyčaje reprezetovaá jedou hodotou tejto velčy. Ak skúmaý zak je spojtá velča, tredu reprezetuje terval jej možých hodôt. Pr tredeí je dôležté dodržať asledujúce zásady: zásada úplost - každá štatstcká jedotka musí byť zaradeá do ektorej tredy, zásada jedozačost - každá štatstcká jedotka je zaradeá práve do jedej tredy. V prípade spojtých hodôt zaku X, ktoré reprezetuje číselá os, zásadu jedozačost zabezpečíme vytváraím tredych tervalov typu a, b ), resp. ( a, b, kde a je dolá a b horá hraca príslušej tredy. Počet tervalov volíme ajčastejše od 8 0, prčom prhladame a povahu skúmaého zaku a a rozsah štatstckého súboru. V prípade, že pracujeme so štatstckým súborom rozsahu N, môžeme počet tervalov k určť podľa predpsu k = + 3,3 log N. V ektorých prípadoch zvolíme stredy príslušých tervalov za reprezetatov hodôt zaku v jedotlvých tervaloch. Početosť, ktorá je prradeá jedotlvým tredam, môže byť: absolúta - udáva počet jedotek súboru, u ktorých sa vyskytuje hodota x skúmaého zaku X, relatíva N - udáva podel absolútej početost a rozsahu súboru, kumulatíva absolúta F - je súčtom absolútych početostí všetkých j- tých tred, kde j,

13 Štatstka s Excelom 3 kumulatíva relatíva N F - udáva podel kumulatívej absolútej početost a rozsahu súboru. Tredee pomocou zvoleého softvéru a počítač vyžaduje vložee údajov do pamäte počítača a voľbu vhodej štatstckej procedúry. Dobrou ázorou predstavou o rozdeleí početostí je grafcká prezetáca výsledkov. Grafcky môžeme získaé údaje zázorť hstogramom. Jedotlvé početost sú zobrazeé obdĺžkm, ktorých základe sú rové šírke tervalu a výšky zodpovedajú príslušým absolútym, resp. relatívym početostam jedotlvých tervalov. Pre grafcké zázoree štruktúry štatstckého súboru je však možé použť rôze é dagramy, resp. grafy, ktoré poskytuje zvoleý softvér. V prípade, že sledujeme výskyt hodôt omáleho zaku, je vhodá voľba číselého kódu pre jedotlvé hodoty kvaltatíveho zaku. Pr vyhodocovaí súborov, a ktorých sledujeme rôze kvaltatíve ale kvattatíve zaky s veľkým počtom pozorovaí, je vhodé použť kotgečú tabuľku, ktorá ám umoží aalyzovať súbor ako celok, ale jeho jedotlvé čast. V pouke štatstckých softvérov je procedúra, ktorá ám umoží túto aalýzu. EXCEL Na tredee štatstckého súboru v EXCEL volíme príkaz Nástroje/Aalýza údajov. Z dalógového paelu s zo zozamu vybereme Hstogram. Táto voľba je vhodá a tredee dát a tvorbu hstogramových grafov. Uvedeá procedúra používa vstupú oblasť (zadaé hodoty skúmaého kvattatíveho zaku) a oblasť tred (zadaé číselé hrace tred). Ak ezadáme hrace tred, EXCEL sám zvolí počet tred a vytvorí tredy o rovakej šírke. Pr voľbe Vytvorť graf sa v samostatom oke objaví graf, ktorého umestee zvolíme v možostach výstupu. Pr voľbe kumulatíveho percetuáleho podelu sa v grafe zobrazí

14 4 Štatstka s Excelom percetuála kumulatíva relatíva početosť. Iý spôsob získaa hstogramu je cez voľbu vytvorea stĺpcového grafu. Pre tvorbu kotgečej tabuľky s zvolíme Údaje(Data)/Zostava kotgečej tabuľky a kotgečého grafu. Po uvedeej voľbe sa objaví oko Sprevodca kotgečou tabuľkou. V ňom špecfkujeme oblasť, v ktorej sa achádza súbor so vstupým údajm, ktoré chceme aalyzovať. V ďalšom kroku prstúpme k tvorbe vlastej tabuľky. Vo všeobecost má tabuľka štyr rozmery. Sú pod ázvam STRANA (PAGE), RIADOK (ROW), STĹPEC (COLUMN) a ÚDAJE (DA- TA). Okeko STRANA e je evyhuté vyplť. V prípade evyplea, tabuľka sa ráta zo súboru ako celku, v prípade vyplea, ráta z hodôt premeej, ktorú sme do okeka preesl. Ak okeko RIADOK vyplíme kokrétou premeou, bude výsledá tabuľka obsahovať toľko radkov, koľko je rôzych hodôt zvoleej premeej a avyše radok pre súbor spolu. V prípade evyplea tohto okeka, bude tabuľka obsahovať le jede radok s hodotam za súbor ako celok. Podobe je to v prípade zaplea okeka STĹPEC. Zaplee okeka ÚDAJE je pové. Vypleím tohto okeka špecfkujeme, podľa hodôt ktorej premeej sa početost počítajú, kokréty tvar týchto početostí, prípade ďalše údaje, ako apr. súčet, premer, maxmum, mmum a ďalše. Je možé zvolť s rôze formy prezetáce výstupu. Ak v sprevodcov kotgečou tabuľkou a kotgečým grafom zvolíme voľbu kotgečý graf, objaví sa spolu s kotgečou tabuľkou graf. Príklad. V tabulkovej prílohe sa achádza súbor PRIJÍMACIE SKÚŠKY. Obsahuje výsledky študetov a prjímacích skúškach a vysokú školu z matematky, fyzky a psychotestov. Okrem týchto údajov obsahuje aj formáce o type absolvovaej stredej školy, zámku z matematky po. semestr (desaté číslo zohľadňuje počet opravých termíov) a premerú zámku zo všetkých predmetov v. semestr. Všetky údaje sú roztredeé do dvoch skupí podľa príslušost študetov k jedej z dvoch fakúlt.

15 Štatstka s Excelom 5 Ukážeme s, ako urobíme tredee súboru a príslušý hstogram použtím EX- CELu. Našou úlohou je urobť tredee bodov, ktoré študet. fakulty v daom roku získal a prjímacích skúškach z matematky. Použjeme súbor PRIJÍMACIE SKÚŠKY a zadáme horé hrace tredych tervalov, ktoré sú 5, 0, 5, 0, 5, 30. Volíme príkazy Nástroje/Aalýza údajov/hstogram. Špecfkujeme oblasť, kde sa achádzajú hodoty, ktoré chceme aalyzovať a oblasť, v ktorej sa achádzajú hrace tredych tervalov. Potvrdeím okeka Vytvorť graf získame asledujúc výstup. Tab.. Tabuľka rozdelea absolútych početostí Třídy Četost Další 0 Hstogram Četost Další Třídy Obr.. Hstogram

16 6 Štatstka s Excelom Príklad. Zaujíma ás, aký mal študet. fakulty premerý počet bodov z matematky a fyzky a prjímacích skúškach v sledovaém roku, prčom chceme urobť tredee v závslost od typu stredej školy a hodotea z psychotestov. Ukážeme s, ako urobíme kotgečú tabuľku, ktorá bude prehľadým tredeím sledovaého zaku. Volíme príkazy Údaje(Data)/Zostava kotgečej tabuľky a kotgečého grafu. V oke Sprevodca kotgečou tabuľkou špecfkujeme oblasť, v ktorej sa achádza súbor so vstupým údajm, ktoré chceme aalyzovať. V ašom prípade to budú stĺpce stred. škola, mat., fyzka a psych. zo súboru PRIJÍMACIE SKÚŠ- KY/.fakulta. Teraz prstúpme k špecfkác vlastej tabuľky. Do okeka RIA- DOK presueme z pouky a pravej strae obrazovky zak stred. škola a do o- keka STĹPEC zak psych. Do okeka DATA presueme zak mat. a fyzka. Dvakrát klkeme myšou a preeseé zaky v okeku DATA a objaví sa oko Pole kotgečej tabuľky, kde s v okeku Súhr vybereme pre aše potreby premer. Ak ás avyše zaujíma percetuále tredee súboru, t.j. aké perceto študetov z celku je z daého typu stredej školy a má daé hodotee z psychotestu, vložíme do okeka DATA apríklad zak mat. a z okeka súhr vybereme počet hodôt. Voľbou Možost s z pouky Zobrazť data ako vybereme % z celku. Potom už le zvolíme mesto a umestee výsledej tabuľky a potvrdíme dokočť. Na zvoleom meste sa objaví výsledá tabuľka (Tab..). Z asledujúcej tabuľky Tab.. vdíme, že ajvyšší premerý počet bodov z matematky (,7) získal gymazst, ktorí z psychotestov získal hodotee. Najvyšší premerý počet bodov z fyzky (7,67) dosahl opäť gymazst, ale s hodoteím 3 zo psychotestov. Podľa očakávaa, výraze ajslabše premeré hodotee z matematky (4,09) mal absolvet učlíšť a z fyzky (4,67) absolvet obchodých akadém. Z posledého radku sa apríklad dozveme, že až 68,4% študetov malo a psychotestoch hodotee 3.

17 Štatstka s Excelom 7 Tab.. Kotgečá tabuľka psych. stred.škola Data 3 Celkový součet G průměr z mat.,7 8 6,33 4,8 průměr z fyz. 5,33 4,5 7,67 6 Počet z mat. 7,89% 5,6% 7,89%,05% OA průměr z mat. 9,7 9,7 průměr z fyz. 4,67 4,67 Počet z mat. 0,00% 0,00% 7,89% 7,89% P průměr z mat. 7,5 4 7,38 9,58 průměr z fyz. 5,5 3,33,9,03 Počet z mat. 5,6% 7,89% 34,% 47,37% U průměr z mat. 7,3,5 4,00 4,09 průměr z fyz. 5 5,64 5,06 Počet z mat.,63%,63% 8,4% 3,68% Celkem průměr z mat. 7,55 3,5 6,56 9,35 Celkem průměr z fyzka 3,67,67 9,69 0,63 Celkem Počet z mat. 5,79% 5,79% 68,4% 00,00%.4 Parametre základého súboru Súbor hodôt, ktoré sme získal pr sledovaí zaku X, charakterzuje komplexe skúmaý jav. Pr ch aalýze ás však zväčša zaujíma ba ekoľko kľúčových ú- dajov, z ktorých získame postačujúce formáce o skúmaom súbore. Teto údaje azývame parametre súboru, resp. popsé štatstky, prípade číselé charakterstky. Medz základé parametre súboru patra artmetcký premer (stredá hodota), modus a medá, ktoré charakterzujú polohu (úroveň) hodôt zaku, varačé rozpäte, rozptyl, štadardá odchýlka, ktoré charakterzujú varabltu hodôt aalyzovaého zaku. Iformácu o rozložeí hodôt zaku X ám poskyte koefcet špcatost a koefcet škmost. Blžše s ch popíšeme. Artmetcký premer x vyjadruje, aký objem hodôt zaku X v premere a jedu jedotku súboru. Je defovaý vzťahom prpadá

18 8 Štatstka s Excelom N - rozsah súboru, x = N x - hodota zaku X u -tej jedotky. N = x (.) Vážeý artmetcký premer x používame, ak pracujeme s tredeým súborom hodôt zaku X. Na jeho výpočet použjeme vzťah x = N m j= x j j (.) N - rozsah súboru, m - počet tred v súbore, j - absolúta početosť j-tej tredy (j =,,...,m), x j - hodota zaku X, ktorá reprezetuje j-tu tredu. Spomeeme aspoň ektoré dôležté vlastost artmetckého premeru: N a) ( x x) = 0, t.j. súčet odchýlok hodôt zaku od jeho artmetckého = premeru je ulový. N b) ( x + a) = x + a, t.j. ak prpočítame ku všetkým hodotám ľubovoľú N = koštatu a, potom artmetcký premer sa líš od pôvodého premeru o túto koštatu. N = c) ax = ax, t.j. ak všetky hodoty zaku ásobíme eulovou košta- N tou, potom artmetcký premer z týchto hodôt získame ásobeím pôvodého premeru touto koštatou.

19 Štatstka s Excelom 9 Modus Mo je ajčastejše sa vyskytujúca hodota zaku X, resp., v prípade tredeého súboru hodota reprezetata tredy s ajväčšou absolútou početosťou. Medá M e je hodota, ktorá súbor zsteých hodôt delí a rovako početé skupy, t.j. skupy, z ktorých prvá obsahuje 50% štatstckých jedotek, ktoré majú hodotu zaku X mešu ako medá, druhá obsahuje 50% zvyšých štatstckých jedotek, ktoré majú hodotu väčšu ako medá. Ak zoradíme všetky hodoty zaku podľa veľkost do eklesajúcej (resp. erastúcej) postupost, tak medáom bude hodota, ktorá je v strede uvažovaej postupost. e = x k+ M, ak N = k +, (.3) xk + xk+ M e =, ak N = k. (.4) V prípade tredeého súboru M e a - horá hraca tredy, ktorá predchádza medály terval, N - rozsah súboru, - počet všetkých prvkov pod medálym tervalom, - počet prvkov medáleho tervalu, h - šírka tredy. N + = a + (.5) Skutočosť, že pozáme premer, modus, resp. medá daého súboru e je postačujúcou formácou pre pops daého súboru. Pre štatstcký súbor je charakterstcká varablta (melvosť) zsteých hodôt. Na vyjadree varablty súboru použjeme asledujúce parametre.

20 0 Štatstka s Excelom Varačé rozpäte v r je ba prblžou charakterstkou varablty hodôt sledovaého zaku. Je defovaý ako rozdel ajväčšej a ajmešej hodoty kvattatíveho zaku, t.j. v r = x max - x m. (.6) Rozptyl σ predstavuje artmetcký premer druhých mocí (štvorcov) odchýlok od premeru x. Je defovaý predpsom N σ = ( x x). (.7) N V prípade tredeého súboru ho vypočítame podľa vzťahu N - rozsah súboru, m - počet tred v súbore, = m ( x j x) j N j= j - absolúta početosť j-tej tredy (j =,,...,m), x j - hodota zaku X, ktorá reprezetuje j-tu tredu. σ = (.8) K dôležtým vlastostam rozptylu patrí: a) Rozptyl koštaty je rový ule. b) Ak prpočítame ku všetkým hodotám zaku koštatu, rozptyl sa ezmeí. c) Ak všetky hodoty zaku vyásobíme koštatou a, potom rozptyl takto vzkutých hodôt je rový súču rozptylu pôvodého súboru a druhej mocy koštaty a. Štadardá (smerodajá) odchýlka σ je defovaá ako σ = σ a udáva, ako sa v premere v daom súbore odchyľujú hodoty zaku od artmetckého premeru.

21 Štatstka s Excelom σ Štadardá chyba (chyba stredej hodoty) je defovaá ako. N Nasledujúce dva parametre formujú o rozložeí hodôt aalyzovaého zaku v zmysle väčšeho zoskupea týchto hodôt v určtej čast varačého rozpäta v porovaí s ostatým časťam. Koefcet škmost S charakterzuje symetru rozdelea. Jeho hodotu vypočítame podľa vzťahu V prípade tredeého súboru N N ( x x) 3 = S =. (.9) 3 σ m 3 ( x j x) j N j= S =. (.0) 3 σ Ak S = 0, rozdelee je symetrcké, ak S > 0, hovoríme o kladej asymetr (zoškmeí) rozdelea, ak S < 0 o záporej asymetr rozdelea. Zameko koefceta škmost sgalzuje smer zoškmea a jeho absolúta hodota slu zoškmea. Koefcet špcatost K charakterzuje kocetrácu hodôt sledovaého zaku okolo jeho premeru. Na výpočet použjeme vzorec resp. N ( x x) 4 N = K = 3, (.) 4 σ ak pracujeme s tredeým súborom. m ( x x) 4 j j N j= K = 3, (.) 4 σ

22 Štatstka s Excelom Merae kocetráce v tomto prípade, je teda meraím špcatost (excesu) rozdelea početost. Ak K > 0, rozdelee je špcatejše, čo zameá, že vrchol rozdelea veľm výraze vyká. K < 0 sa prejavuje v plochost" tvaru rozdelea početost. Na vyjadree stupňa kocetráce sa používa porovae s ormálym rozdeleím, s ktorým sa blžše zozámme v kaptole 3. V prípade ormáleho rozdelea je koefcet špcatost škmost rový 0. EXCEL Na výpočet parametrov základého štatstckého súboru použtím EXCELu využjeme jeho pouku štatstckých fukcí. Nektoré základé z ch sú uvedeé v asledujúcej tabuľke. Tab.. Štatstcké fukce v EXCEL AVERAGE MODE MEDIAN MAX MIN VARP STDEVP SKEW KURT artmetcký premer modus medá maxmála hodota mmála hodota rozptyl štadardá (smerodajá) odchýlka koefcet škmost koefcet špcatost

23 Štatstka s Excelom 3 Na získae uceleého obrazu o parametroch skúmaého súboru je vhodé z pouky Aalytckých ástrojov vybrať procedúru Popsá štatstka. Pomocou tohto ástroja získame tabuľku, ktorá prehľade udáva ele hodoty základých parametrov, ale ďalše údaje, ako apr. mmála a maxmála hodota, počet prvkov, súčet hodôt, a pod. Treba pozameať, že v tabuľke popsej štatstky pod ázvom rozptyl výberu a smerodajá odchýlka eájdeme údaje, ktorý získame použtím spomíaých štatstckých fukcí VARP a STDEVP (Tab..), ale výberový rozptyl (medz štatstckým fukcam je pod ázvom VAR) a výberová štadardá (smerodajá) odchýlka (medz štatstckým fukcam je pod ázvom STDEV), o ktorých sa zmeme v kaptole 4. Príklad.4 Vypočítame základé parametre súboru z Príkladu., t.j. súboru, ktorý tvora body z matematky, ktoré študet. fakulty v daom roku získal a prjímacích skúškach. Volíme príkazy Nástroje/Aalýza údajov/popsá štatstka. V okeku Vstupá oblasť špecfkujeme oblasť, v ktorej sa achádzajú aalyzovaé údaje, poecháme špecfkácu, že údaje sú usporadaé v stĺpcoch. V prípade, že v prvom radku vybraých údajov je ázov zaku, v ašom prípade je to mat., potvrdíme okeko Popsky. V ďalšom okeku špecfkujeme výstupú oblasť a potom vyzačíme, ktoré parametre chceme a výstupe. Pre aše potreby stačí vybrať Celkový prehľad. Po stlačeí OK dostaeme a výstupe asledujúcu tabuľku.

24 4 Štatstka s Excelom Tab..3 Popsá štatstka mat. Stř. hodota 5, Chyba stř. hodoty 0,83 Medá 4,50 Modus 9,00 Směr. odchylka 5,88 Rozptyl výběru 34,56 Špčatost -0,0 Škmost 0,44 Rozdíl max-m 6,50 Mmum 3,50 Maxmum 30,00 Součet 756,00 Počet 50,00 Z tabuľky vdíme, že apr. premerý počet bodov z matematky dosahutý študetm a. fakulte v daom roku je 5,. Pozor, v okeku Rozptyl výberu sa achádza tzv. výberový rozptyl, o ktorom sa zmeme v kaptole 4. Z eho je potom vypočítaá štadardá odchýlka (Smer. odchýlka) a chyba stredej hodoty. Na výpočet týchto parametrov pre áš základý súbor použjeme príslušé štatstcké fukce. Kokréte, použtím fukce VARP (STDEVP) dostaeme, že rozptyl (štadardá odchýlka) aalyzovaého súboru je 33,87 (5,8). Podobe koefcety škmost a špcatost sú v tejto tabuľke počítaé ako tzv. štadardzovaé koefcety škmost a špcatost pre výberové súbory. Rozdely medz hodotam koefcetov škmost a špcatost v tabuľke popsej štatstky a medz hodotam, ktoré získame použtím fukcí SKEW a KURT sú však zaedbateľé. Z ostatých údajov s všmme apríklad koefcet škmost, ktorý je 0,44, čo sgalzuje poztívu asymetru. Z ďalších údajov v tabuľke je praktcká formá-

25 Štatstka s Excelom 5 ca o mmálej a maxmálej hodote získaých bodov ktoré sú a. fakulte 3,5 a 30. Z posledého radku sa dozveme, že rozsah sledovaého súboru je 50. Príklady a precvčee.5 Urobte tredee a hstogram súboru PRIJÍMACIE SKÚŠKY /.fakulta/mat. Akceptujte hrace tred poúkaé EXCELom..6 Urobte tredee a hstogram súboru PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta/ fyzka. Najskôr akceptujte hrace tred poúkaé EXCELom a potom urobte tredee pre hrace 5, 0, 5, 0, 5, 30. Coroate oba hstogramy..7 Urobte tredee a hstogram súboru PRIJÍMACIE SKÚŠ- KY/.fakulta/psych. do 3 tred..8 V tvare kotgečej tabuľky urobte percetuále tredee súboru PRI- JÍMACIE SKÚŠKY/. fakulta/ fyzka v závslost od typu stredej školy a hodotea z psychotestov. Urobte aalýzu kotgečej tabuľky..9 V tvare kotgečej tabuľky urobte tredee súboru PRIJÍMACIE SKÚŠKY/. fakulta/ matematka v závslost od typu stredej školy a hodotea z psychotestov. Urobte aalýzu kotgečej tabuľky..0 Urobte kotgečú tabuľku pre určee premerého počtu bodov získaých a prjímacích skúškach z matematky v závslost od typu stredej školy a hodotea z psychotestov. Použte súbory: a) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta b) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta Urobte aalýzu kotgečej tabuľky.

26 6 Štatstka s Excelom. Urobte kotgečú tabuľku pre určee premerého počtu bodov získaých a prjímacích z fyzky v závslost od typu stredej školy a hodotea z psychotestov. Použte súbory: a) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta b) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta Urobte aalýzu kotgečej tabuľky.. Určte premer, rozptyl, štadardú odchýlku, modus, medá, koefcet škmost a špcatost súborov: a) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta/mat. b) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/.fakulta/fyzka c) PRIJÍMACIE SKÚŠKY/. fakulta/ fyzka Porovajte údaje, ktoré získate použtím štatstckých fukcí poúkaých EXCELom s údajm, ktoré získate použtím procedúry Popsá štatstka.

27 Štatstka s Excelom 7. PRAVDEPODOBNOSŤ Matematcký základ štatstckých metód je teóra pravdepodobost, ktorá skúma zákotost v takých javoch a procesoch, kde sa vyskytujú prvky áhodost. Táto kaptola obsahuje te pojmy teóre pravdepodobost, ktoré využjeme pr popse štatstckých metód. Vhodý matematcký aparát a axomatcké vybudovae teóre áhodých javov je teóra moží.. Náhodý pokus a áhodý jav (udalosť) Okrem javov, ktoré sú určeé determstcky (fyzkále a matematcké zákoy, vzťahy medz ekoomckým velčam) sa často stretávame s javm, ktoré sa edajú opísať týmto spôsobom. Na výsledok čost, pr zachovaí rovakých podmeok, môžu vplývať aj druhoté faktory, ktorých vplyv eveme predvídať, preto dopredu e je zámy a výsledok tejto čost. Preto takúto čosť - fyzcký expermet voláme áhodý pokus (hod kockou alebo vacerým kockam, losovae prvku z ejakej možy, rozdae karet, rôze áhodé hry, arodee deťaťa stého pohlava). Spoločou vlastosťou áhodých pokusov je ch opakovateľosť. Náhodý jav (udalosť) je výsledok áhodého pokusu, ktorý pod vplyvom áhody ekedy astae, okedy e. Náhodé javy sa ozačujú A, B,.... Príklady : Pr hode kockou pade 5 bodov. Narodí sa devča. Vyrobí sa zlý výrobok. V rade stojí ajvac 5 ľudí. Zo všetkých obyvateľov mesta sa vylosuje dôchodca. Je dôležté pozať možu všetkých možých výsledkov áhodého pokusu. V ďalšom ku každému takémuto výsledku prradíme číslo, ktorým vyjadríme šacu, že daý pokus skočí s týmto výsledkom.

28 8 Štatstka s Excelom. Vzťahy medz áhodým javm a operáce s m Osobte dôležté postavee majú elemetáre áhodé javy (ozačujeme ch E, E,...), ktoré zodpovedajú rôzym základým výsledkom áhodého pokusu. Pre každý pokus je dôležté pozať všetky elemetáre áhodé javy, z ch vytvorť možu všetkých možých výsledkov pokusu = { E,,..., E E,...} Presejše: Nech moža = { E, E,..., E,...} Ω. Ω je eprázda, aspoň dvojprvková. Jej prvky sú elemetáre javy, áhodý jav je ľubovoľá podmoža možy Ω. Základé vzťahy medz javm a operáce s m a) Moža Ω predstavuje jav, ktorý astae vždy po vykoaí pokusu, volá sa stý jav a ozačuje sa I. t.j. I = Ω (Obr.. a). b) Prázda podmoža možy Ω reprezetuje emožý jav. Je to jav, ktorý po vykoaí pokusu kdy eastae, ozačuje sa φ (Obr.. b). c) Jav A je časťou javu B, ak s astaím javu A astae vždy aj jav B, čo ozačujeme A B (Obr.. c). Pre relácu plata vzťahy: A A ; A I ; A φ ; ( A B) ( B C) A C. d) Javy A, B sa rovajú (sú rovoceé), ak platí A B a súčase B A, čo ozačujeme A = B (Obr.. d). e) Jav Ā je opačý jav k javu A, ak jav Ā astae práve vtedy, keď eastae jav A (Obr.. e). f) Jav C, pr ktorom súčase astae jav A aj B azývame prek (súč) javov A, B a ozačujeme C = A B (Obr.. f ). g) Jav C, pr ktorom astae aspoň jede z javov A alebo B, azývame zjedotee (súčet) javov A, B a ozačujeme C = A B (Obr..g). h) Jav C je rozdel javov A a B (v tomto poradí) a astae práve vtedy, keď astae jav A a zároveň eastae B, čo ozačujeme h). C = A B (Obr..

29 Štatstka s Excelom 9 ) Javy A, B sú dsjukté (ezlučteľé), ak ch súčasé astae e je možé, t.j. A B = φ (Obr.. ). j) Skupa javov A, A,..., A tvorí úplý systém javov, ak A A j = φ, pre j,, j =,,..., a ak platí A A... A = Ω. k) Jav A je zložeý jav, ak sa dá vyjadrť ako zjedotee aspoň dvoch javov, rôzych od emožého javu a samotého javu A. l) Elemetáry jav E φ má vlastost: Neexstuje taký jav B φ, pre ktorý by platlo B E. Rôze elemetáre javy sú vždy dsjukté. Každý zložeý jav sa dá vyjadrť ako zjedotee elemetárych javov. Ku každému zložeému javu B exstuje elemetáry jav E tak, že E B. Pozámka. Vdíme, že s javm pracujeme ako s možam, môžeme ch zázorňovať Veovým dagramam ako a Obr.. Ω φ A B A=B A A a b c d e A B A B A-B B A B f g h Obr.. Zázoree áhodých javov pomocou Veových dagramov

30 30 Štatstka s Excelom Príklad. Hádžeme hracou kockou. Nech jav A je padute páreho počtu bodov, jav B padute alebo 4 alebo 6 bodov, jav C padute bodov, jav D padute ajvac 3 bodov, jav F padute vac ako 6 bodov. Potom vzťahy medz javm môžeme vyjadrť takto: C D, A = B D - jav, že padú aspoň 4 body F - emožý jav A D = C B C - jav, že padú 4 body alebo pade 6 bodov ( A D) - jav, že pade 5 bodov..3 Pravdepodobosť a jej vlastost Zataľ sme sa zaoberal le vzťahm medz áhodým javm. Náhodé javy majú aj ú objektívu vlastosť. Pr mohoásobom opakovaí áhodého pokusu môžeme pozorovať sté pravdelost, zákotost. Napríklad, ektoré javy astávajú častejše ako é. Skúmaím zákotostí pr pôsobeí áhody sa zaoberá teóra pravdepodobost. Každý áhodý jav môžeme kvattatíve (čísele) ohodotť, prradť mu číslo, ktoré bude vyjadrovať meru možost, že teto jav astae. Toto číslo sa azýva pravdepodobosť javu A, ozačujeme ho P(A) a v ďalšom teto pojem zavedeme presejše. Z hstorckého hľadska šel vývoj od štatstckej pravdepodobost (založeej a mohoásobom opakovaí pokusov), cez klasckú pravdepodobosť (založeej a kombatorke), cez geometrckú pravdepodobosť až po axomatckú pravdepodobosť. Dešá podoba axomatckej pravdepodobost pochádza od A.N. Kolmogorova (934).

31 Štatstka s Excelom 3 Klascká defíca pravdepodobost Je vybudovaá a tom, že moža elemetárych javov = { E E..., } Ω,, E je koečá. Ku každému elemetáremu výsledku prradíme číslo P E ), vyjadrujúce šacu pravdepodobosť, že teto výsledok astae. Pravdepodobosťou a može Ω azývame každú ezáporú fukcu P, pre ktorú platí ( E ) P( E ) P( E ) P. + = Navyše, ech všetky elemetáre javy sú rovako možé, t.j. ( E ) ( P =, pre všetky elemetáre javy. Nech jav A Ω je tvoreý m elemetárym javm z možy. Ω Potom pravdepodobosť javu A je číslo P ( A), defovaé podelom P m ( A) = prazvé prípady pre astúpee javu A. všetky možé prípady Pozámka. Číslo. P( A) 00 je pravdepodobosť javu A vyjadreá v percetách. Teto spôsob vyjadrovaa pravdepodobost je ajčastejší v bežých praktckých úlohách. Príklad. V trojdetej rode, kde arodee chlapca devčaťa bolo rovako pravdepodobé, určte pravdepodobosť asledujúcch javov: A - det sa arodl v poradí CHDCH alebochchd B - v rode majú aspoň devčatá C - v rode majú všetky det rovakého pohlava D - emajú žade devča E - majú aspoň jedého chlapca F - majú ajvac jedého chlapca.

32 3 Štatstka s Excelom Všetky možost ako sa mohl 3 det arodť tvora možu elemetárych javov Ω = { CHCHCH, CHCHD, CHDCH, DCHCH, CHDD, DDCH, DCHD, DDD } ktorá má 8 prvkov. Pravdepodobosť každého elemetáreho javu z Ω je určeá apríklad takto: Zo 00 maželských párov sa polovc arodí CH a polovc D. Z tých, čo už majú CH ako prvé deťa, sa polovc arodí D a polovc CH. A akoec, z tých, čo majú už CHD sa zas polovc arodí CH. Preto podel rodí, ktoré majú det v poradí CHDCH je z z = = 0, 5. Toto číslo dosta- 8 eme pre každý elemetáry jav z Ω, t.j. všetky elemetáre javy sú rovako možé. Určíme, ktoré elemetáre javy tvora javy A-F a ch pravdepodobost: A = { CHDCH, CHCHD} P( A) = = 0, 5, 8 4 B = { DDCH, DCHD, CHDD, DDD } P( B) = = 0, 5, 8 C = { DDD, CHCHCH } P( C) = = 0, 5, 8 D = { CHCHCH } P ( D ) = = 0, 5, 8 { CHDD, DCHD, DDCH, CHCHD, CHDCH, DCHCH CHCHCH} E =, 7 P ( E) =, 8 4 F = { DDD, DDCH, DCHD, CHDD} P( F ) = = 0, 5. 8, Príklad. 3 Pr rešeí predchádzajúceho príkladu môžeme rozmýšľať aj takto: vytvárame usporadaé trojce prvkov XXX, kde a každom meste môže byť CH alebo D (s rovakou šacou), všetkých možostí je = 8 (varáce s opakovaím), pre P =, 8 jav A sú vyhovujúce le dve možost CHDCH, CHCHD. Preto ( A ) = 0, 5 atď.

33 Štatstka s Excelom 33 Štatstcká pravdepodobosť a relatíva početosť Vychádzame z veľkého počtu ezávslých pokusov (t.j. výsledok jedého pokusu eovplyví výsledok asledujúceho pokusu), vykoaých v rovakých podmekach a sledujeme, koľkokrát astal jav A. Ak v jedej sér pokusov astal daý jav práve m-krát, tak číslo m f =, 0 m (.) azývame relatíva početosť javu A. Ak postupe zvyšujeme počet pokusov v jedotlvých sérách, dostaeme postuposť relatívych početostí f f,,... a pr veľkom počte pokusov zstíme,, f3 že sa teto relatíve početost od seba málo odlšujú, vykazujú stú stabltu. Prídeme k záveru, že exstuje koštata, okolo ktorej relatíve početost kolíšu. Preto pravdepodobosť javu A, oz. P(A) je číslo P ( A) m = lm, (.) m kde je relatíva početosť javu A. Najzámejše odôvodee tejto vlastost pochádza od J. Beroullho ako jede tvar zákoa veľkých čísel. Hovorí, že pravdepodobosť toho, že sa relatíva početosť javu A líš od pravdepodobost javu A o ľubovoľe malé ε > 0, je rová, ak je počet pokusov ekoeče veľký, t.j. m lm P p < ε =, kde P ( A) = p. (.3) To ás oprávňuje pre veľké ahradť pravdepodobosť relatívou početosťou, m t.j. P ( A) =&. (.4)

34 34 Štatstka s Excelom Príklad.4 Pr opakovaom hode kockou zsťujeme, č kocka e je falošá. Sledujeme, aká je pravdepodobosť, že pade apr. jedotka. Výsledky z 5 sérí pokusov sú v Tab... Tab.. Výsledky pokusov pr hode kockou Počet hodov Počet padutí jedotky Relatíva početosť , , , , ,644 Pr hode kockou je Ω = {,,3, 4,5, 6 }, čo prblže zodpovedá relatívym početos- = 6 tam pr 000 a 5000 pokusoch. výsledok. Preto P ( A ) = 0, 6, ale le jede elemetáry jav je prazvý Príklad.5 Aby sme mohl príklad s 3 deťm v rode vyrešť štatstckým prístupom, potreboval by sme zozberať údaje apr. z 0000 trojdetých rodí a zstť, v koľkých rodách sa arodl det v poradí CHDCH alebo v poradí CHCHD, ozačme teto počet m. Pravdepodobosť javu A odhademe pomocou relatívej početost m P ( A) = Geometrcká defíca pravdepodobost Nech Ω je moža (terval, rový útvar, prestorové teleso ) a veme vypočítať dĺžku ( obsah, objem) moží G Ω, prčom G, Ω. Zstme, aká je pravdepodobosť, že áhode zvoleý bod možy Ω pade aj do G? Pravdepodobosť tohto javu defujeme prrodzeým spôsobom ako podel mer útvarov kde µ ( G) 0, ( Ω) > 0 ( A ) ( ) ( Ω) µ G P =, (.5) µ µ sú mery ( dĺžka, obsah, objem ) útvarov.

35 Štatstka s Excelom 35 Použte tejto defíce je vhodé, ak možy Ω, G majú ekoeče veľa prvkov, ale pravdepodobosť zvolea každého bodu v Ω je rovaká. Príklad.6 Na úsečke AB s dĺžkou sú áhode zvoleé body C,D. Aká je pravdepodobosť toho, že bod C leží blžše k bodu D ako k bodu A? x A y C D B Obr.. Geometrcké zázoree príkladu Ozačíme v súlade s Obr.. 0 AC = x, AD = y. Vždy musí platť 0 x, y. Ak teto všetky možé voľby x a y zázoríme ako body [ y] x, v rove, tak štvorec 0 ; 0; a Obr..3 predstavuje možu Ω všetkých možých voleb bodov C,D a úsečke. Obsah tohto štvorca je ( Ω) = µ. Bod C leží blžše k bodu D ako k bodu A, ak platí y x < x. Oborom pravdvost tejto erovce bude časť Ω a predstavuje možu G prazvých výsledkov úlohy. Vyrešme túto erovcu a jej rešee zázorme grafcky v rove:. ( y x 0 ) ( y x < x) ( y x) ( y < x) alebo. ( y x < 0) ( y + x < x) ( y < x) ( y > 0) y=x G 0,5 Obr.. 3 Grafcké rešee príkladu

36 36 Štatstka s Excelom Obsah vyšrafovaej oblast je ( G) leží blžše k bodu D ako k bodu A je ( A) 3 µ =. Preto pravdepodobosť toho, že bod C 4 ( ) ( Ω) µ G 3 P = = = 0,75. µ 4 Axomatcká defíca pravdepodobost Klascký a geometrcký prístup v predchádzajúcch člákoch dávajú ávod ako vypočítať pravdepodobosť javu aj bez uskutočea áhodého pokusu, štatstcký prístup umožňuje vypočítať pravdepodobosť javu až po vykoaí veľkého počtu pokusov. Teoretckým zovšeobeceím týchto defící je axomatcká defíca, ktorá však edáva pramo ávod a výpočet pravdepodobost javu. Nech Ω je ľubovoľá, aspoň dvojprvková moža a S je eprázda moža, obsahujúca podmožy možy Ω. Nech S spĺňa teto podmeky: S: ak A S, potom aj jej doplok v Ω je prvkom S, t.j. A S, S: ak S A, tak aj ( A A... A... ) S, pre N. Každú fukcu P, ktorá je defovaá a može S, s hodotam v može reálych čísel, t.j. P: S R a ktorá má vlastost : A: každému javu S A: P( Ω ) =, A je prradeé ezáporé číslo ( A) P, A3: ak A, A,... A,... sú dsjukté možy z S, pre každú rôzu dvojcu moží, potom ( A A... A... ) P = ( A ) P( A ) P( A )..., P (.6) + + voláme pravdepodobosť. Prvky možy S voláme áhodé javy, číslo P(A) voláme pravdepodobosť javu A a usporadaú trojcu ( Ω, S, P ) voláme pravdepodobostý prestor. Pramo z tejto defíce vyplýva, že ak áhodý jav je zložeý z ekoľkých elemetárych javov, potom pravdepodobosť jeho astata je súčet pravdepodob-

37 Štatstka s Excelom 37 ostí jedotlvých elemetárych javov, lebo elemetáre javy sú dsjukté a možo použť axómu A3. Napríklad, ak A = { E, E E }, ( A) P( E ) + P( E ) P( ) P = +. E3 3, potom Príklad.7 Aká je pravdepodobosť, že a kocke pade číslo väčše alebo rové štyrom? Teto jav A pozostáva z troch elemetárych javov (pade štvorka, pade päťka, pade šestka), ktoré sú samozrejme dsjukté a pravdepodobosť astata každej z ch je 6. Preto ( A) = = P. Pre ľubovoľé A S, B S plata tvrdea: a) P(φ ) = 0 (.7) b) P( A ) P( A) c) B = (.8) A P( A) ( B ) d) 0 ( A) P (.9) P (.0) Dôkaz Pr asledujúcch dôkazoch stačí daý jav zapísať ako zjedotee dsjuktých javov a použť axómu A3. φ = I, I φ = φ. I Podľa A3: P ( I ) P( I φ ) = P( I ) + P( φ ) Podľa A: = + P( φ ). Preto = P( φ ) 0. A A = I a A = φ P A A = P I =. A. ( ) ( ), P ( A) + P( A) = P( A) P( A) A potom B = A ( A B) a A ( A B) = φ. Podľa A3: ( B) = P( A) + P( A B), kde P ( A B) 0. Preto P( A) P( B). Ak B P A I φ, podľa c) platí P( φ ) P( A) P( I ), t.j. 0 P ( A). =. Ďalše vlastost pravdepodobost: e) P( A B ) = P( A) P( A B ) (.)

38 38 Štatstka s Excelom Dôkaz Jav A = ( A B) ( A B ) a ( A B) ( A B ) = φ P( A) = P( A B) + P( A B). Potom P( A B ) = P( A) P( A B ).. Podľa A3 platí f) Veta o pravdepodobost zjedotea javov Ak javy A, B e sú dsjukté, edá sa aplkovať axóma A3 z axomatckej defíce. V tomto prípade platí P( A B) = P ( A) + P( B) ( A B) Dôkaz A B = A ( B A) a ( B A ) = φ P( A B) = P( A) + P( B A) P( A) + P( B) P( A B ) P. (.) A. Podľa A3 a výsledku (.) =. g) Zovšeobeceím tejto vlastost dostaeme: P U A = = = P( ) A P, j= < j ( ) P( A A... A ) ( A A ) + P( A A A ) j, j, k = < j< k K +. (.3) j k K Pozámka.3 Pravdepodobosť, že astae aspoň jede z javov A, B, C je P ( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + ( A B C) + P. h) Podmeeá pravdepodobosť Pravdepodobosť astata áhodého javu je ovplyveá aj tým, č astal ý áhodý jav. Napríklad pravdepodobosť, že športovec je basketbalsta je á v prípade, že má výšku 0 cm a á v prípade, keď má výšku 60 cm. Alebo pravdepodobosť, že sa učteľ školy stae jej radteľom je á v prípade, že je muž a á, ak je to žea. Hovoríme o podmeeej pravdepodobost javu A za podmeky, že astal jav B, čo ozačujeme P ( A B). Je defovaá vzťahom ( A B) P = P ( A B) P( B ), kde ( B ) > 0. P (.4)

39 Štatstka s Excelom 39 Pozámka.4 Ak Ω obsahuje le koečý počet prvkov, dá sa táto vlastosť dokázať, ak e, treba ju brať ako defícu (axómu A4 ). Na jedoduchom príklade objasíme pôvod tejto defíce. V telocvč je 50 športovcov, 30 z ch má ad 00 cm a z ch je 0 basketbalstov. Náhode sme vybral športovca, ktorý mal ad 00 cm. Aká je pravdepodobosť, že je to basketbalsta? Ozačíme jav B športovec je basketbalsta, jav V je vysoký ad 00 cm. Zaujíma ás pravdepodobosť ( B V ) P /. Všetkých vysokých ad 00 cm je 30, prazvé výsledky predstavujú tí z tejto skupy, ktorí sú basketbalst, tých je 0. Preto 0 30 P ( B / V ) =. Upravíme toto číslo do tvaru ( B / V ) =. P( B V ), v meovatel P ( V ). Odtaľ P ( B V ) 0 / 50 P Číslo v čtatel je 30 / 50 ( B V ) P( V ) P =. (.5) ) Veta o pravdepodobost preku (súču) javov Pravdepodobosť, že javy A,B astaú súčase je P( A B ) P( B ) P( A B) alebo P( A B ) P( A ) P( B A) = (.6) =. (.7) Je to jedoduchý dôsledok predchádzajúcej defíce podmeeej pravdepodobost. j) Jej zovšeobeceím je táto vlastosť: P ( A A... A )= P ( A ). P ( A A ). P( A3 A A ) K ( A A A A ) K P (.8)...

40 40 Štatstka s Excelom k) Nezávslosť javov Ak jav A ezávsí od toho, č astae jav B, hovoríme, že javy A, B sú ezávslé a platí P ( A B) = P( A), kde P ( A) > 0 a ( B) > 0. P (.9) Pomocou podmeeej pravdepodobost sa dá dokázať, že javy práve vtedy, keď P( A B ) = P( A ). P( B ). A, B sú ezávslé Ak sú javy ezávslé, podstate sa zjedoduší výpočet pravdepodobost preku javov: P ( A A... A )= P ( ) P( A ) K P( A ). (.0) A Príklad.8 V trojdetých (Príklad.) rodách máme zstť pravdepodobosť javu A, že sa det aroda v poradí CHDCH alebo CHCHD, prčom sme predpokladal, že pravdepodobosť arodea chlapca aj devčaťa sú rovaké, bez ohľadu a pohlave predchádzajúcch súrodecov. ( CH ) = 0, 5 P A = 0, je pravdepodobosť arodea devčaťa. P je pravdepodobosť arodea chlapca, ( ) 5 Jav A sa dá vyjadrť ako zjedotee dvoch dsjuktých javov A A, kde A je jav, že sa det aroda v poradí CHDCH a A je jav, že sa aroda v poradí CHCHD. Preto ( A A ) = P( A ) P( ) P +. A Jav A je prek (súč) troch ezávslých javov, preto P ( A ) = P( CH ) P( D) P( CH ) 0,5 0,5 0, 5 P ( A )= ( CH ) P ( CH ) P( A) P = 0, 5. P A. Nakoec ( ) = 0,5 + 0,5 = 0, 5 = = 0, 5, l) Veta o úplej pravdepodobost Nech javy H, H,..., H tvora úplý systém javov. Potom platí

41 Štatstka s Excelom 4 ( A )= P P( H ) P( A ) = H. (.) Dôkaz Jav A je zjedotee dsjuktých javov (Obr..4) = ( A H ) ( A H )... ( A H ) P ( A) = P ( A H ) P( A H ) = A = P( A )= =, preto H P( H ) P( A ) = H. H H A H 5 H 3 H 4 Obr..4 Veta o úplej pravdepodobost m) Bayesova veta Nech javy H, H,..., H tvora úplý systém javov. Potom platí P ( H A ) = k P ( H ) P( A H ) k P ( A ) k. (.) Dôkaz Vyplýva z defíce podmeeej pravdepodobost. ( H A )= P k ( H A) P( A) P k P( H ) P( A H ) = k k. P ( A ) Príklad.9 Pravdepodobosť, že vodčom auta je muž, je 0,65. Pravdepodobosť, že vodč - muž spôsobí dopravú ehodu je 0,033 a pravdepodobosť, že vodč - žea spôsobí dopravú ehodu je 0,030. Na ceste sa stala dopravá ehoda. Aká je pravdepodobosť, že ehodu spôsobla žea?

42 4 Štatstka s Excelom Ozačme jav N - stae sa dopravá ehoda a pomeujme pravdepodobost z príkladu: ( M ) = 0, 65 P je pravdepodobosť, že vodč je muž, ( Z ) = 0, 35 P je pravdepodobosť, že vodč je žea, P ( N Z ) = 0, 03 ( N M ) = 0, 033 je pravdepodobosť, že ehodu spôsobí žea, P je pravdepodobosť, že ehodu spôsobí muž. Zaujíma ás pravdepodobosť, že spôsobeú ehodu urobla žea, čo je ( Z N ) P / ( Z ) P( N Z ) P( N ) P / 0,35 0,03 = = = 0,35 0,03 + 0,65 0,033 0,386, kde pravdepodobosť ehody P ( N ) určíme pomocou vety o úplej pravdepodobost. ) Beroullho schéma Ak te stý pokus, pr ezmeeých podmekach, opakujeme vackrát a výsledok jedotlvého pokusu je ezávslý od výsledkov predchádzajúcch pokusov, hovoríme o opakovaých ezávslých pokusoch. Príkladom je losovae prvkov z ejakej možy, kde prvky po pokuse vrátme späť. Ak v každom pokuse astae jav A s pravdepodobosťou p, potom pravdepodobosť toho, že v sér ezávslých pokusov astae teto jav práve k-krát je k k Pk, = p q k, kde 0 k a q = p, (.3) a kombačé číslo k prvkov. je počet možostí ako rozmestť v usporadaej -tc k Príklad.0 Zmeňme v rode z Príkladu. pravdepodobost arodea chlapca a devčaťa P CH a (le pre lepšu ázorosť, podstatu rešea to ezmeí) takto: ( ) = 0, 5 P ( D) = 0, 49. Predpokladal sme, že pohlave druhého a treteho deťaťa v rode

43 Štatstka s Excelom 43 ezávsí od pohlava skôr arodeých súrodecov. Vypočítajte pravdepodobosť javu W, že medz 3 súrodecam je práve jedo devča. Symbolcky zapíšeme jav W ( DCHCH ) ( CHDCH ) ( CHCHD) =, čo sú avzájom dsjukté javy a arodee CH a D sú ezávslé. Preto P ( W ) = 0,49 0,5 0,5+ 0,5 0,49 0,5+ 0,5 0,5 0, ( 0,49) ( 0, 5) 3 P,3 5. Alebo = ( 0,49) ( 0, ) =. o) Ak v tejto sér pokusov výsledok každého pokusu závsí od výsledkov predchádzajúcch pokusov, hovoríme o opakovaých závslých pokusoch. Príkladom sú výbery prvkov z ejakej možy, kde prvky po pokuse evrátme späť. p) Nech je daých N prvkov, z ktorých K prvkov má daú vlastosť ( < K < N ) Zo všetkých N prvkov vybereme prvkov ( < < N ) toho, že v tomto výbere má daú vlastosť práve k prvkov je P ( A ) K N K. k k =, kde < K < N, 0 < < N N Potom pravdepodobosť 0, 0 k m{ K, }. (.4) N Dôkaz Počet všetkých možostí ako vybrať prvkov z N prvkov je, čo sú kombáce bez opakovaa. Prazvé výsledky tvora te výbery, ktoré obsahujú k prvkov s daou vlastosťou, zvyšých -k prvkov emá daú vlastosť. K Z K prvkov (osteľov vlastost) sa k prvkov dá vybrať spôsobm, zvyšých k

44 44 Štatstka s Excelom -k prvkov sa z N K prvkov ( emajú daú vlastosť) dá vybrať spôsobm. Preto P( A ) K N K. k k =. N N K k Príklady a precvčee. Čo pade častejše ako súčet a dvoch kockách, číslo 9 alebo 0? Ako je to a troch kockách?. V jedom úrade pracuje 7 že a 3 muž. Je uté zížť stav zamestacov o troch. Určte pravdepodobosť toho, že pr áhodom výbere budú prepusteí muž..3 Na 6 lístkoch sú apísaé písmeá a zostaveé slovo KARATE. Malé deťa zostavlo z ch slovo RAKETA. Ve toto deťa čítať?.4 V autobuse sa rozprávajú študet o tom, ako bolo des a skúškach. Koľkí des bol? Des ôsm a matke a štyra a fyzke. Koľkí urobl? Pat z matky a traja z fyzky. A čo Eva? Eva urobla. Rozhodte, a akej skúške bola Eva..5 V atkvaráte sa cea khy zžuje, ak má vytrhutú aspoň jedu strau, alebo sú jej stray popísaé. Kíh, ktoré majú vytrhuté stray je 0%,

45 Štatstka s Excelom 45 kíh, ktoré sú popísaé pozámkam je 30% a kíh bez chyby je 70%. Určte, aká je pravdepodobosť, že áhode vybraá kha je popísaá, ale má všetky stray!.6 Čo je pravdepodobejše, vyhrať v hre s rovoceým parterom 3 parte zo 4 alebo 5 z 8 (remíza sa eprpúšťa)?.7 Dve lode musa vyložť áklad v tom stom prístavsku. Príchody oboch lodí sú ezávslé a rovako možé v prebehu celého dňa. Určte pravdepodobosť toho, že ektorá z lodí bude museť čakať a uvoľee prístavska, ak jedu z lodí vykladajú hodu, druhú hody..8 Test sa skladá z 5 otázok, za každou je poúkutých 6 možých odpovedí, z ktorých je le jeda správa. Aby študet urobl skúšku, je potrebé zaškrtúť aspoň 0 správych odpovedí. Aká je pravdepodobosť, že študet skúšku urobí, ak a) odpovede zaškrtáva úple áhode, b) v každej otázke ve vždy vylúčť 3 zlé odpovede, ale zo zvyšých troch s musí tpovať, c) je tak prpraveý a skúšku, že a 5 otázok pozá správu odpoveď, ale a zvyšých 0 otázok s musí odpovede tpovať..9 Pre sérovo - paralelú sústavu a obrázku sú daé pravdepodobost bezporuchovej čost pre jedotlvé kompoety A, B, C, D postupe 0 = = p =,85, p 0,9, p =,89, p 0, 95.Určte pravdepodobosť bezporuchovej čost celej sústavy. A B C D

46 46 Štatstka s Excelom.0 Pravdepodobosť, že súčasá hospodárska depresa bude pokračovať aj a budúc rok, sa a základe odhadov ekoómov rová 0,. K meremu ožveu dôjde s pravdepodobosťou 0,, k výrazému ožveu s 0,5 a k prudkému hospodárskemu rastu s pravdepodobosťou 0,. Pravdepodobosť, že zsk frmy presahe 5 mlóov korú je podľa podkových maažérov v prvom prípade 0,05, v druhom 0,, v treťom 0,7, vo štvrtom 0,95. Môže mať frma pr týchto podmekach zsk väčší ako 5 mlóov?. Nech jav A astae v jedom pokuse s pravdepodobosťou p. Mmále koľko ezávslých pokusov treba uskutočť, aby teto jav v ch astal aspoň raz s pravdepodobosťou P? Odvoďte vzťah!. Autobus prchádza a zastávku každé 4 múty a elektrčka (ktorej zastávka je vedľa autobusovej) každých 6 mút. Aká je pravdepodobosť, že sa cestujúc dočká autobusu pred elektrčkou..3 V lotér je lósov, z ktorých m vyhráva. Nekto s kúpl k lósov. Aká je pravdepodobosť, že vyhrá?

47 Štatstka s Excelom NÁHODNÁ PREMENNÁ 3. Pojem a vlastost áhodej premeej Ak ku každému výsledku áhodého pokusu prradíme ejaké reále číslo, alebo ak výsledkom áhodého pokusu je heď číslo, môžeme hovorť o určtom zobrazeí. Napr. po hode kockou prradíme tomuto hodu 00 ásobok počtu bodov a kocke, alebo zstíme počet arodeých chlapcov za týždeň, č počet chýb v dktáte, alebo čas čakaa a elektrčku. Výsledky pokusov sú áhodé, preto aj teto číselé údaje, ktoré prradíme výsledkom pokusu majú áhodý charakter a astávajú s stou pravdepodobosťou. Teto typ zobrazea sa volá áhodá premeá (áhodá velča). Presejše: Ak je daý pravdepodobostý prestor ( Ω, S, P), kde Ω je koečá alebo spočítateľá moža, potom áhodá premeá (velča) X je ľubovoľá reála fukca X : Ω R. Ak Ω je espočítateľá, je stuáca trochu zložtejša. Napríklad: ak X je doba čakaa a elektrčku, ktorá chodí pravdele každých 5 mút, tak ás ezaujíma, č čakáme prese 0 mút, alebo múty, ale skôr sa zaujímame, č doba čakaa bude apr. meša ako múty, alebo č budeme čakať od do mút. Zaujímame sa teda o pravdepodobosť, že X a, b), presejše P ({ E Ω; X ( E) a; b )}). Aby sa dala určť táto pravdepodobosť, musí byť { E Ω X ( E ) < x }, S. Všeobecú defícu áhodej premeej v tomto prípade sformulujeme asledujúcm spôsobom. Náhodá premeá je ľubovoľé zobrazee X : Ω R také, že pre každé x R je moža tých elemetárych javov, ktoré sa zobraza a číslo meše ako x, prvkom možy S, t.j. { E Ω X ( E ) < x } S,. Náhodá premeá je jedozače daá, ak pozáme hodoty, ktoré adobúda a pravdepodobost, s ktorým adobúda teto hodoty. Tým je daý záko rozdelea pravdepodobost áhodej premeej, alebo kratše, rozdelee áhod-