7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

Transcript

1 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje najviac jedno R tak, že [,y] f. - predpis f, ktorý každému R priraďuje najviac jedno R tak, že y = f(). Spôsoby zadania funkcie: a) rovnicou f : 3 5 b) grafom c) tabuľkou y d) slovným predpisom Definujme funkciu f s definičným oborom D(f)= 0, ) takto: ku každému číslu 0, ) priradíme také číslo y, ktoré sa rovná počtu všetkých prvočísel menších alebo rovnajúcich sa číslu. Číslo nepovažujeme za prvočíslo. Ľahko môžeme určiť usporiadané dvojice, ktoré patria funkcii f. Môžeme použiť napríklad aj tabuľku prvočísel, ale nenájdeme rovnicu, ktorá by určovala túto funkciu. V tomto prípade sa musíme pri určení funkcie obmedziť iba na slovný opis funkcie. Čo nie je funkcia? Funkciou nie je každá krivka, ktorá nezodpovedá definícii funkcie. Zistiť, že krivka nie je funkciou je veľmi jednoduché: stačí nájsť také, ktorému sme priradili aspoň dve rôzne hodnoty y. Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

2 . Rozhodnite, či je to funkcia: y y. Rovnajú sa nasledujúce funkcie? f : ; f : 3. Rozhodnite, či sa dané funkcie rovnajú: a) f : g :, b) f : g :. f : c) 3 g : Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

3 4. Grafom funkcie f : (A) parabola. 6 9 je (0/8) 3 (B) parabola bez jedného bodu. (C) hyperbola (graf lineárnej lomenej funkcie). (D) priamka. (E) priamka bez jedného bodu. 5. Vypočítajte funkčné hodnoty f() pre dané hodnoty premennej, ak je daná funkcia f. 6. Určte funkčné hodnoty f(-), f(/3), f() pre funkcie: a) f : 3 b) : g c) h : d) f 3 : 7. Vypočítajte priesečníky funkcií (z predch. príkladu) so súradnicovým osami. 8. Určte počet priesečníkov grafu funkcie f : y = ( ). ( ) so súradnicovou osou. (005A/3) 9. Daná je funkcia f : 3. Určte číslo, v ktorom funkcia f nadobúda hodnotu. 4 (0/3) 8 f : 0. Graf funkcie 4 pretína súradnicové osi v bodoch A a B. Určte vzdialenosť bodov A a B. Výsledok uveďte s presnosťou na dve desatinné miesta. (009/) 4. Graf funkcie f : 8 pretína súradnicové osi v bodoch A, B. Určte vzdialenosť stredu 3 úsečky AB od začiatku súradnicovej sústavy. (008B/6). Nech f () = 8 3. Pre čísla a, b platí f (b) = 0 a zároveň f (a) = b. Nájdite číslo a. Výsledok zapíšte s presnosťou na dve desatinné miesta. (008A/0) 3. Na obrázku je graf funkcie f. Pre funkciu g platí g() = 4. f (). Určte maimálnu hodnotu funkcie g. (008A/5, 008B/7) 3 Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

4 4. Na obrázku je graf funkcie y = f(). Na ktorom z nasledujúcich obrázkov je graf funkcie y = f(+5). (005A/8) 5. Rozhodnite, či platí veta: Dve funkcie sa navzájom rovnajú práve vtedy, keď sa rovnajú ich definičné obory i obory funkčných hodnôt. Svoje tvrdenie zdôvodnite. 6. Daná je funkcia f: y = 3, Є <-3,3>. Ktoré z bodov [0,-], [,5], [5,4], [-6,8], [-,-8] patria grafu tejto funkcie? 4 Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

5 ZÁKLADNÉ TYPY FUNKCIÍ LINEÁRNA A KVADRATICKÁ FUNKCIA. Na nasledujúcich stranách sú zobrazené grafy všetkých typov funkcií, ktoré má maturant poznať. Odvodením zo základného typu grafu grafy nasledujúcich funkcií: Lineárna funkcia f : y = f: y = 3. y = 4 y = + 5 y = -. + Kvadratická funkcia f : y = f: y = 3. y = ( - 4) y = + 5 y = -.(-4) + f : y = LINEÁRNE LOMENÁ FUNKCIA f: y = 3. y = 4 y = + 5 y = Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

6 IRACIONÁLNA FUNKCIA f : y = f: y = 3. y = 4 y = + 5 y = f : y = ABSOLÚTNA HODNOTA f: y = 3. y = 4 y = + 5 y = MOCNINOVÉ FUNKCIE Mocninová funkcia f: y = n, pričom n je párne. Napríklad: f : y = 4 f: y = 3. 4 y = ( 4) 4 y = y = -.( 4) Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

7 Mocninová funkcia f: y = n, pričom n je nepárne Napríklad: f : y = 3 f: y = 3. 3 y = ( 4) 3 y = y = -.( 4) 3 + Mocninová funkcia f: y = n, pričom n je párne a záporné Napríklad: f : y = -4 = 4 f : y = 3. 4 y = 4 4 y = y = Mocninová funkcia f: y = n, pričom n je nepárne a záporné. Napríklad f : y = -3 = 3 f : y = 3. 3 y = 3 4 y = y = Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

8 Eponenciálna funkcia y = e EXPONENCIÁLNE A LOGARITMICKÉ FUNKCIE f: y = 3. e y = e - 4 y = e + 5 y = -.e Eponenciálna funkcia y = a, ak a je >. Napríklad: y = f: y = 3. y = - 4 y = + 5 y = Eponenciálna funkcia y = a, ak a je medzi 0 a. Napríklad: y = f: y = 3. 0,5 y = 0,5-4 y = 0,5 + 5 y = -.0, Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

9 Logaritmická funkcia y = log a, ak a >. Napríklad: y = log 0 f: y = 3. log y = log ( 4) y = log + 5 y = -.log ( 4) + Logaritmická funkcia y = log a, ak a je medzi 0 a. Napríklad: y = log 0, f: y = 3. log 0,5 y = log 0,5 ( 4) y = log 0,5 + 5 y = -.log 0,5 ( 4) + Prirodzený logaritmus y = ln Aký bude mať graf? 9 Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

10 GONIOMETRICKÉ FUNKCIE Sínus f: y = 3. sin y = sin ( π) y = sin + = -. sin( π) + Kosínus f: y = 3. cos y = cos ( π) y = cos + = -. cos( π) + Tangens f: y = 3. tg y = tg ( π) y = tg + = -. tg( π) + Kotangens f: y = 3. cotg y = cotg ( π) y = cotg + = -. cotg( π) + 0 Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

11 DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT, FUNKČNÁ HODNOTA. Určte definičný obor a obor hodnôt funkcií: (Ak to nie je funkcia, nemá D(f), ani H(f)!). Určte definičné obory funkcií: a) 3, b), c) e) i) y, f), g) y, j) 3 3 m) n) q) log, k) 5 6 y r) s) log 3, d),, h) y 3 ( 4)(3 ),, l) o) tg 3 p) y t) 5 4 log u) Zistite definičný obor funkcie f :. (0/5) Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková

12 (A) ; 3 (D) (B) ; 3; (C) ; ; 3; (E) ; 3; 4. Definičný obor funkcie f () = je 5 (A) f R 5 D (B) D f ; D (D) D f ; 5 (C) f ; 5 ; (008B/3) (E) D f 5; 5. Určte obory hodnôt týchto funkcií: a) y b) c) d) 3 e) sin f) 3 log 6. Určte obor hodnôt funkcie f () = -. ( +7) + 5, definovanej na intervale ;0. (A) H(f) = 93; 45 (B) H(f) = 93;5 (C) H(f) = 93; 45 (D) H(f) = 93; 5 (E) H(f) = 45; 5 (008A/) Zotriedila: Mgr. Dana Kozáková