ε vyjadruje pravdepodobnos, že ε x. Funkcia f(x) je tiež oznaená ako hustota

Transcript

1 7 VARIANNO KOVARIANNÁ MAICA Rozdelee áhodej vel (premeej) (môže ju predstvov ch oprv v vektor merých velí ) je vjdreé dstruou ukcou F() prvdepodoos výsktu áhodej premeej je vjdreá rekveou ukcou () Vzájomý vzh ukcí vjdrujeme rovcou ( ) F( ) ( ) P d (- < < ) (7) P( ) vjdruje prvdepodoos že Fukc () je tež ozeá ko hustot prvdepodoost áhodej vel Rovc (7) geometrck vjdruje plochu medz horzotálou osou krvkou () v tervle (- ) Frekveá ukc chrkterzuje zmeu prvdepodoost Fukce () F() sú schopé popís úplé ltcké vlstost áhodej premeej íselé vlstost áhodej premeej vjdrujeme stredou hodotou vrcou Stredú hodotu áhodej premeej ozujeme () Deová je súom áhodej premeej jej prvdepodoost v tervle (- ): ( ) ( ) d (7) Vrcu áhodej premeej ozujeme vr () leo Je deová vzhom vr () [ ( )] { } ( ) [ ] ( ) Ak ozíme že je merská ch potom () môžeme teoretck povžov z skutoú hodotu ch poet merí Pltí to v prípde že mere eude oshov hrué sstemtcké ch Vted () predstvuje stredú kvdrtckú odchýlku od stredej hodot () Kovrc medz dvom áhodým premeým je deová vzhom {[ ( )] [ ( )]} d (73) (74) Ak vrce áhodých premeých sú kovrc medz m je Koecet koreláce medz áhodým premeým je deový ( ) ( ) ρ (75) Koecet koreláce ρ je v tervle ρ (76) Mjme vektor () áhodých premeých ( ) ( ) (77) Predpokldjme že stredá hodot j je ( ) ( ) j udú: j vrce kovrce s 35

2 {[ ( )] } ( ) [ ( )] ( ) ( ) (78) { [ j j ]} ( j ) j Mtc vrcí kovrcí C áhodého vektor je deová ko { } ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ak mtc ( ) vhovuje vzhu (79) C ( ) ( ) (7) m je jedotková stredá ch ( ) je koktorová mtc áhodého vektor Iverzú mtcu ( ) ozujeme P ( ) Nzýv s mtc váhových koecetov P (7) 7 Hromdee chý v leárej ukc Predpokldjme že je merých velí s áhodým chm sú skutoé (vrové) hodot (e áhodé hodot) merej vel Pltí Nech (7) V mtcovom zápse rovce (7) udú ( ) ( ) ( ) (73) ( ) ( ) ( ) Predpokldáme že má stredú hodotu ul Mtcu vrcí kovrcí dosteme 36

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (74) C { } ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] (75) Vektor ude m rovkú mtcu vrcí kovrcí ko pretože je áhodá vel ( ) ( ) ( ) { [ ( ) ][ ( ) ] } ( ) C ( ) C (76) Nech predstvuje vrovú leáru ukcu vel (77) sú koštt deové vektorom ( ) Odvodeá hodot z merí je (78) Ch vpoítme zo vzhu (79) Pod deíce vrce vrc vel ude ( ) ( ) [ ] ( ) C (7) Rovc (7) vjdruje vrcu jedoduchej leárej ukce áhodých merí v medzch vro-kovrej mtce vektor mer Rovc vjdruje záko hromde chý jedoduchej leárej ukce áhodých premeých dosteme Ak j sú vzájom ezávslé vel potom ( j; j ) zvlášt prípd rovce (7) (7) ktorú terpretujeme ko záko hromde (preáš) stredých chý jedoduchej leárej uckce ezávslých áhodých premeých j Príkld 7 Máme dé: 3 3 mm mm 3 3 mm 3 sú vzájom ezávslé vel Úlohou je vpoít vrcu 37

4 (-3 ) (- ) mm 49 7 mm Geerlzujme terz jedoduchú leáru ukcu v rovc (78) vektor ktorý oshuje m leárch ukc merých velí v tvre ( m ) ( m ) ( ) m m m m A (7) A ( m ) m m m Mtcu vrcí kovrcí C áhodého vektor uríme zo vzhu C { } A{ [ ( ) ][ ( ) ] } A ACA ( m ) [ ( ) ][ ( ) ] m (73) V rovc (73) sme hrdl ( ) ( ) ( ( ) ) Vektor () vjdreím m leárch ukc ( záklde m merí) je vjdreý mtcou A (m) N záklde uvedeých úprv olo možé trsormov rovcu (7) do rovce (73) Rovc (73) vjdruje všeoecý záko hromde chý v mtcovom tvre vrcí kovrcí pre áhodý vektor m leárch ukcí áhodých premeých Ak máme ý áhodý vektor z z ( p ) ( p ) ( ) (74) p p p z z B z p p B ( p ) kovrú mtcu medz z uríme z rovce Cz ( p) [ ( ) ][ z ( z) ] p p { } A{ [ ( ) ][ ( ) ] } B ACB m (75) Kovrá mtc Cz vjdruje záko hromde chý dvoch áhodých vektorov leárch ukcí áhodých premeých 38

5 7 Hromdee chý v eleárej ukc Predpokldjme že máme áhodé premeé s chm že vektor má mtcu vrcí kovrcí C ( ) C ( ) (76) Nech predstvuje uovoú ukcu merí ( ) (77) Nech je prlžá hodot ( ) predstvuje prlžú hodotu vel odvodeú z merí ( ) (78) d ozme ko rozdel medz skutoou hodotou prlžou hodotou d d ( ) (79) Rovcu (77) lerzujeme rozvojom do lorovho rdu s použtím prlžých hodôt ( d d d ) d! ( ) d d d! d dd dd (73) Ak sú všetk hodot spohlvo ureé prcále derváce všších rádov môžeme v rovc (73) zed dosteme d d d d Keže ch velí sú reltíve vem mlé v poroví so skutoým hodotm môžeme derecál d d hrd s chm (73) ( ) ( ) 39

6 Rovc (73) vjdruje vzh medz chou vel chm merých velí Rovc (73) korešpoduje s rovcou (78) pre leáru ukcu Preto môžeme vrcu pís prmo pod rovce (7) {[ ( ) ] } C (73) Ak sú vzájom ekorelové (ezávslé) mer potom j pre j Rovcu (73) môžeme pís (733) Rovce (73) (733) vjdrujú záko hromde chý v eleárej ukc s áhodým premeým Záko hromde chý môžeme rozšír vektor s m eleárm ukcm ( ) ( ) (734) m ( ) Podoým postupom pr odvodeí rovce (73) môžeme získ prlžý vzh medz vektorom chý vel vektorom chý merí A : ( m ) ( ) (735) ( ) A ( m ) m m m j j (736) ( ; j ) Pre mtcu vrcí pod rovce (7) rovce (73) pltí {[ ( ) ][ ( ) ] } ACA C (737) Ke porováme rovcu (7) (73) s rovcou (733) (737) je možé vde že záko hromde chý má rovký tvr pre eleáru leáru ukcu Rozdelom je že pr eleárch ukcách je potreé ur dervácu ukce pod jedotlvých premeých ktoré plkujeme záko hromde chý 7 lps chý Predpokldjme že polohové súrdce odu P( ) mjú sledujúcu kovrú mtcu 4

7 C (738) m zmeá ktor vrce (jedotková kvdrtcká stredá ch) zmeá koktor mtce súrdíc ( ) V geodéz sto poítme stredú polohovú chu (739) p V žerskej geodéz (pr pr stve tuelov mostov) je vem dôležté docel vsokú presos vo vždovom smere (pr smer rze tuel) resp p eur presos odu v dom smere Všeoece je to možé vjdr stredou chou ezámeho odu v uovoom smere 7 Vjdree ch v polohe odu Nech predstvujú dve zložk chý súrdíc odu P( ) Premet vektor chý v uovoom smere vjdreom smeríkom ψ je (or 7) ψ s ψ cosψ cosψ sψ (74) Or 7 Vektor chý v smere ψ Aplkujeme záko hromde chý pod rovce (73) leáru ukcu ψ ψ sψ cosψ sψ cosψ ( s ψ cos ψ sψ cosψ ) ( s ψ cos ψ s ψ ) (74) Z rovce (74) je vde že vrc dervácu ψ mmum vrce: ψ s meí s hodotou smerík ψ Ke položíme rovú ule ájdeme etrém vrce tj pre smerík ψ ájdeme mmum ( sψ cosψ cosψ sψ cos ψ ) 4

8 ( ψ s ψ cos ψ ) s (74) Uprveú rovcu (74) delíme s ψ dosteme cot gψ tgψ (743) g Ke tg tg( ψ ) ψ rovc (743) má dve reše ktoré zodpovedjú smeru mmálej mmálej hodot vrce eto dv smer (smerík ψ ψ g ) sú se kolmé V záujme vreše rovce (74) uprvme goometrcké ukce sme vužl ukce (744) Do rovce (74) dosdíme výrz cos ψ s ψ cos ψ tg ψ cos ψ cos ψ ke (744) ( ) 4 C ( ) 4 ( ) ( ) 4 (745) C (746) Z rovíc (743) (745) vjdríme ukcu s ψ tgψ cos ψ (747) C C lše ukce sú cos ψ C C s ψ C cos ψ C C cos ψ (748) C Fukce (747) (748) dosme do rovce (74) uprvme C C C C ( C( ) 4 ) C C 4

9 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 C 4 ( ) 4 (749) ( ( ) 4 ) F leo F (75) ( ) 4 (75) ( ) 4 (75) Ak je prvá str rovce (743) kldá - smer mmálej hodot vrce ( ψ e ) je v leo 3 kvdrte smer mmálej hodot vrce ( ψ ) je v leo 4 kvdrte Ak prvá str rovce (743) je záporá - smer mmálej hodot vrce ( ψ e ) je v leo 4 kvdrte smer mmálej hodot vrce ( ψ ) je v leo 3 kvdrte Mmálu hodotu doshe vrc vted k uhol ψ ψ e výrz C je kldý Mmálu hodotu doshe vrc F vted k uhol ψ ψ výrz C je záporý Hodot vrcí F vjdrujú rovce (749) (75) Môžeme vjdr vrcu ψ ψ v uovoom smere ψ pomocou výrzov F cos α F s α (753) α ψ ψ e Pr prktckých výpotoch vrc v v hrdeá odhdom vrého ktor (jedotková stredá kvdrtcká ch) môže 7 lps polohovej ch krvk polohovej ch Mjme dú vrcu m (jedotkovú stredú kvdrtckú chu) kovrú mtcu polohovo ureého odu P Pod rovce (74) vpoítme stredú chu (smerodjú odchýlku) v uovoom smere α Ke vkreslíme všetk od o polárch súrdcch (α α g α ) pre α < 4 g dosteme uzvretú krvku ktorú zývme krvk polohovej ch odu P Ako ukzuje or 7 je smetrcká s ohdom mmále mmále hodot vrcí 43

10 Vzdleos od stredu krvk O po od krvke v smere α je stredá polohová ch odu v dom smere Or 7 lps stredej ch Krvk polohovej ch e je vhodá prktcké použte pretože rovce (74) (753) e sú jedoduché mtemtcké ukce Nkoko krvk polohovej ch je tvrom lízk elpse promujeme hlvú poloos elps () hodotou v smere α e vedjšu poloos elps () hodotou F v smere α kto deová elps s zýv elps polohovej ch odu P Ke použjeme smer F ko smer súrdcových osí elpsu polohovej ch vjdríme rovcou F (755) Stredú chu α elpse ch uríme geometrck V ode B elpse ch vedeme dotcu t Pät kolmce C (spusteá z odu O dotcu predstvuje od krvke chý Krvk chý je deová ko úpätc elps Vzdleos OC smere α vjdruje hodotu α tj stredú polohovú chu odu P v smere α 73 Prvdepodoos poloh odu vútr elps ch Predpokldjme že súrdce odu P( ) mjú mtcu vrcí C deovú rovcou (738) Mtc váhových koecetov chý je verzá mtc C - Ak mere e je zžeé hruou sstemtckou chou stredá hodot chý súrdíc je ( ) ( ) ch mer mjú ormále ormáleho rozdele Ke rozdelee ude spáj rekveú ukcu dvojrozmerého ( ) π C e ( C ) π ( ρ ) e ρ ( ) ρ (756) 44

11 C zmeá determt C ρ je koecet koreláce medz : C ( ρ ) Iverzú mtcu C - vpoítme pomocou determtu Mtc ρ (757) C (758) má determt D doplk ( ) ρ D D D D (759) Iverzá mtc je dá trspoovou mtcou doplkov deleou determtom mtce D D C (76) D D D D poet rovce (756) dosteme ( C ) ( ρ ) ( ρ ) ( ) ρ ρ ( ) ρ V druhom lee rovce (76) mesto sme použl z rovce (757) ρ Ak ( ) t je koštt potom môžeme pre epoet rovce (756) pís ρ t (76) (76) je uovoá kldá koštt ktorú geometrck predstvuje elps Pre rôze hodot t rôzu dosteme rôze elps Vútr kždej elps ude m polohová ch odu ( ) prvdepodoos Preto elps deová rovcou (76) s volá elps ch odu P áto deíc elps eodporuje deíc elps ch odu P vjdreej rovcou (755) pok poloh osí ude deová uhlom vpoítým pod rovce (743) Rovcu (76) trsormujeme rovcu F t (763) ktorá zuje že elps polohovej ch odvodeá z krvk polohovej ch je špecál prípd rovce (763) pre t 45

12 Prvdepodoos že od P pde dovútr elps deovej rovcou (763) pre dé t je p P F t e t (764) íselé hodot prvdepodoost p pre t 3 4 sú uvedeé v t 7 Prvdepodoos poloh odu P vo vútr elps chý uk 7 t P uku 7 môžeme terpretov tk že predelíme rovcu (759) s t dosteme t F t (765) Potom elps polohovej ch ode m vekost poloosí t t F Ak použjeme t s 86% prvdepodoosou od P ude ploche dvojásoého rozmeru poloosí elps polohovej ch 46