Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Transcript

1 Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )( δ > )( ( δ, + δ)) A < ε Funkcia f má v bode sprava itu rovnú A, ak ( ε > )( δ > )( (, + δ)) A < ε Funkcia f má v bode zl ava itu rovnú A, ak ( ε > )( δ > )( ( δ, )) A < ε Limita funkcie (nevlastná vo vlastnom bode) Hovoríme, že funkcia f má v bode nevlastnú itu +, ak ( c R)( δ > )( ( δ, + δ)) > c Funkcia f má v bode nevlastnú itu, ak ( c R)( δ > )( ( δ, + δ)) < c Limity sprava a zl ava sa v tomto prípade definujú analogicky, ako v prípade vlastnej ity vo vlastnom bode. Limita funkcie (vlastná v nevlastnom bode) Hovoríme, že funkcia f má v bode + itu rovnú A, ak ( ε > )( k R)( > k)) A < ε Funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )( k R)( < k)) A < ε

2 Limita funkcie (nevlastná v nevlastnom bode) Hovoríme, že funkcia f má v bode + nevlastnú itu +, ak ( c R)( k Rr)( > k) > c Funkcia f má v bode + nevlastnú itu, ak ( c R)( k R)( > k) < c Funkcia f má v bode nevlastnú itu +, ak ( c R)( k R)( < k) > c Funkcia f má v bode nevlastnú itu, ak ( c R)( k R)( < k) < c Funkcia má v bode itu A (resp. + resp. ) práve vtedy, ked má v bode itu A (resp. + resp. ) sprava aj zl ava. Teda ita funkcie f v bode môže neeistovat z dvoch dôvodov: - niektorá z jednostranných ít v bode neeistuje (vlastná ani nevlastná) - eistujú obe jednostranné ity (vlastné alebo nevlastné), avšak nenadobúdajú tú istú hodnotu. Limita funkcie v nevlastnom bode môže neeistovat len z prvého dôvodu. Vety o itách Ak funkcie f, g majú ity (vlastné) vo vlastnom bode, tak platí: (c ) c ( ± g()) ± g() ( g()) ( ) ( g()) g() g(), ak g()

3 Analogické tvrdenia platia pre ity zl ava, sprava a ity v nevlastných bodoch. Ak niektorá z ít funkcií f, g neeistuje, tak o ite súčtu, súčinu resp. podielu f a g nemožno nič povedat - môže eistovat vlastná, nevlastná alebo vôbec nemusí eistovat. týchto ít je nevlastná, tak výsledná ita je neurčitá v týchto prípadoch: - ( g()), pričom g() + (tzv. ita typu ) - ( g()), pričom ±, g() (tzv. ita typu ) - g(), pričom g() (tzv. ita typu ) Ak niektorá z Ak, g() a eistuje také okolie bodu, že pre všetky z tohto okolia je g() >, tak alebo g() g() + ak > ak < Ak namiesto okolia bodu uvažujeme l avé resp. pravé okolie, dostaneme analogické vety pre ity zl ava resp. sprava. Ak g() z, g(z) A a eistuje také okolie bodu, že pre z z všetky čísla z tohto okolia je g() z, tak f(g()) A. Dodatočnú podmienku g() z pre všetky z nejakého okolia bodu nemožno vynechat, čo ukazuje nasledujúci príklad: Nech funkcie f, g sú dané predpismi, R a g(y) 8 < : 3 y 2, y R platí g() 2 a teda g() 2 (a nie 3, ako by sa na pohl ad zdalo).. Potom pre všetky Ak funkcia f má v bode itu a funkcia g je na nejakom okolí bodu ohraničená, tak funkcia f g má v bode itu. Ak g() A a eistuje také okolie bodu, že pre každé číslo z tohto okolia je h() g(), tak platí h() A.

4 Funkcia f je spojitá v bode práve vtedy, ked f( ). Analogické vety platia pre spojitost funkcie f v bode zl ava resp. sprava. Zoznam dôležitých ít a k a k pre každé a, v ktorom je funkcia k spojitá α, < α < α +, < α < α +, α > α, α > + +, sin tg + arctg π 2 arctg π 2 + e ( + ) ln( + ) ( + ) e

5 , m > n +, m < n, a n n + a n n + + a + a + m + m + + b + b, m < n, a n, m n. a n n + a n n + + a m + m + + b α, α R, β > eβ ln α () β, α R, β > Typické postupy pri výpočte ít a n > a n <, m > n +, m < n, ( ) n m a n >, m < n, ( ) n m a n < a n, m n. Pri výpočte ity vo vlastnom bode najprv skontrolujeme, či dosadením za do funkcie za znakom ity dostaneme výraz, ktorý je definovaný (má zmysel). Ak áno (a funkcia je v bode spojitá), tak výsledná hodnota po dosadení je hl adanou itou. Inak vyhodnotíme typ výrazu, ktorý vznikne po dosadení. Ak výraz za znakom ity je typu, tak ita je rovná +, alebo vôbec neeistuje; to, ktorá situácia nastáva, určíme výpočtom danej ity v bode zl ava a sprava a porovnaním týchto výsledkov. Vypočítajte Riešenie: Daná ita je typu, určíme teda príslušné jednostranné ity:

6 + + (k znamienku pri znaku nekonečna: 2+ 2 čitatel aj menovatel zlomku za znakom ity kladný) (k znamienku pri znaku nekonečna: pre 2+ je pre 2+ je čitatel zlomku za znakom ity kladný, menovatel záporný) Tieto jednostranné ity sú rôzne, teda pôvodná ita v bode 2 neeistuje. Ak výraz za znakom ity je typu, tak sa snažíme vykonat úpravu výrazu, vedúcu k jeho zjednodušeniu alebo k použitiu niektorých viet o itách. Najčastejšie používané úpravy sú rozklad polynomických výrazov na súčin lineárnych alebo kvadratických (takých, ktoré nemajú reálny koreň) činitel ov, rozšírenie výrazu zlomkom s rovnakým čitatel om a menovatel om (najmä pri výrazoch obsahujúcich odmocniny), použitie goniometrických vzorcov, substitúcia (najmä pri výrazoch obsahujúcich logaritmy a cyklometrické funkcie). Možno tiež použit l Hospitalovo pravidlo. Riešenie: 5 2. Vypočítajte ( + )( 4) ( 2)( 4) Vypočítajte Riešenie: 5 5 ( 4) 2 2 ( 5)( 4 + ) ( 5)( 4 + ) 4 + Riešenie: Vypočítajte cos cos 3 2. cos cos 3 2 cos ( cos 2 ) 2 cos sin 2 2

7 ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 ( ) 2 sin cos cos sin 2. n + Vypočítajte. n / + + y Riešenie: n, y > n / + y + y n y y y y n y y (y )(y n + y n y + ) y y n + y n y + n. Riešenie: Vypočítajte arctg 3. arctg 3 3( 2 + ) 3. ( arctg ) 2 + ( 3 ) Ak za znakom ity je súčin g(), ktorý je typu, možno ho ekvivalentne prepísat do tvaru g(), čím dostaneme výraz typu. Ak za znakom ity je rozdiel g(), ktorý je typu, možno ho ekvivalentne prepísat do tvaru g() g(), čím dostaneme výraz typu. Ak za znakom ity je mocnina g(), ktorá je typu,,, možno ju ekvivalentne napísat v tvare e ln(g() ) e g() ln ; potom g() e g() ln e g() ln, čím výpočet pôvodnej ity prevedieme na výpočet ity typu. Pri výpočte ity v nevlastnom bode najprv skontrolujeme, či výraz za znakom ity nemožno vyhodnotit pomocou viet pre počítanie s itami (týka sa typov c, c,, +, ktoré dávajú výslednú itu rovnú v poradí,,, ). Ak výraz za znakom ity je typu, na výpočet použijeme l Hospitalovo pravidlo, alebo kombináciu postupov pre výpočet ít vo vlastnom bode.