Matematická štatistika
|
|
- Τέρις Καψής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematcká štatstka Trochu hstóre: Starovek sčítae ľudu a majetku (vojeské a daňové účely) Egypt, Čía, Mezopotáma Stredovek vzk a kosoldáca ových štátov zsťovae geografckých údajov, hospodársky a poltcký pops štátu. status = stav štátu. Novovek 7. stor. poltcká artmetka v aglosaských krajách Petty, Grad. Vzk zárodkov posťovíctva a z toho vyplývajúca tvorba úmrtostých tabulek Huyges). Do 20. storoča tzv. popsá štatstka, hlavý prcíp je vyčerpávajúce zsťovae (čím vac údajov, tým lepše výsledky). 20. stor. využívae aparátu pravdepodobost (v jadre). Vzk matematckej (duktívej) štatstky prcíp spočívajúc v áhodom výbere Pojem štatstka je veľm obšíry. V prax sa eraz streteme so slovým spojeam: štatstcky bolo zsteé, že... alebo štatstka hovorí, že.. prčom je podaá formáca o stej skutočost (apr. premerý zárobok alebo hmotosť, sledovaosť stej televízej stace, žvotosť výrobkov, spotreba bezíu, volebé preferece atď.). Takáto formáca je stopercete pravdvá le vtedy, ak sa zstl skúmaý štatstcký zak (zárobok, hmotosť, sleduje - esleduje atď.) pre každú štatstckú jedotku, t. j. pre každý objekt skúmaa. To sa však dá le zredkavo realzovať, mohlo by to byť fače áročé alebo by to stratlo zmysel (apr. pr zsťovaí žvotost výrobkov by sme zlkvdoval celú výrobu). Preto sa zstí skúmaý zak a áhodom výbere - vybraej vzorke a zo získaých údajov sa urobí zovšeobecee vo forme štatstckého záveru o celom základom súbore, t. j. o celej može štatstckých jedotek, ktorá je predmetom skúmaa. Základé pojmy a metódy Štatstcký súbor skupa prvkov, ktoré sú predmetom štatstckého skúmaa a ktoré majú spoločú vlastosť. Rozsah štatstckého súboru počet prvkov štatstckého súboru. Ozačujeme. Štatstcký zak sledovaá vlastosť prvkov. Ozačujeme x. Delee štatstckých zakov: kvattatíve dajú sa jedozače čísele vyjadrť: vek, výška, hmotosť kvaltatíve edajú sa vyjadrť jedozače číslom; saha je ch kvatfkovať: farba očí, pohlave, árodosť Štatstcké dáta ameraé hodoty štatstckého zaku. Ozačujeme x, x 2,..., x.
2 Absolúta početosť číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa v súbore M vyskytuje hodota zaku x. Ozačujeme. Relatíva početosť podel, kde je absolúta početosť hodoty zaku x a je rozsah súboru M. Etapy štatstckej práce:. štatstcké zsťovae (hromadee) dát 2. spracovae štatstckých dát 3. vyhodocovae výsledkov; záver pre prax Štatstcké zsťovae (hromadee) dát. Pre štatstcky zsťovaé dáta je potrebá dôkladá evdeca. Získame východze dáta x, x 2,..., x. Spracovae štatstckých dát:. tabuľkové 2. grafcké 3. výpočtové Tabuľkové spracovae dát. Dáta usporadame do eklesajúcej postupost x x 2... x Ak sa údaje opakujú, vzká tabuľka početostí, obsahuje absolúte a relatíve početost, kumulatíve početost a kumulatíve relatíve početost. Grafcké metódy. Polygó početost je spojcový dagram spájajúc (ajčastejše) body [x, m ]. Hstogram je stĺpcový dagram. Používa sa v prípade veľkého možstva hodôt (do 20) v tomto prípade zadelíme hodoty do tervalov. 2
3 Kruhový dagram vyjadruje početosť pomocou kruhových výsekov. Výpočtové metódy. Štatstcké charakterstky - číselé hodoty reprezetujúce celý štatstcký súbor: A) Charakterstky polohy charakterzujú úroveň hodôt zaku v štatstckom súbore. Medz ajpoužívaejše charakterstky polohy patra premery (artmetcký - x, geometrcký - x g, harmocký - x h ), medá - med(x), modus - mod(x). B) Charakterstky varablty charakterzujú meru rozptýlea hodôt zaku. Na merae varablty sa používa varačé rozpäte - R = x max x m, premerá odchýlka - e, smerodajá odchýlka - σ, rozptyl - σ 2 a ďalše, apr. varačý koefcet zaku x V(x) Ak V(x) < 30%, hovoríme o dobrej charakterstke. V prípade, že V(x) > 50%, je potrebé použť é charakterstky polohy. 3
4 Charakterstky závslost 2 zakov: korelačý koefcet r Výpočty charakterstík: Artmetcký premer ozačujeme x x + x x artmetcký premer hodôt x, x 2,..., x x = = x = ak majú hodoty x početosť, hovoríme o vážeom artmetckom premere: x. + x xk. k x = Geometrcký premer ozačujeme x g geometrcký premer hodôt x, x 2,..., x x g = 2 x. x2... x v prax sa využíva apr. pr určovaí premerého tempa výroby = k = x Harmocký premer ozačujeme x h harmocký premer hodôt x, x 2,..., x xh = = x x x 2 = x v prax sa využíva apr. pr určovaí premerého času výroby súčastky Medá Modus ozačujeme med(x) je to prostredý čle spomedz hodôt x, ak sú usporadaé podľa veľkost ak je rozsahom súboru páre číslo, med(x) určíme: x + x med(x) = + ; =... artmetcký premer prostredých dvoch čleov 2 2 ozačujeme mod(x) je to ajčastejše sa vyskytujúca hodota v súbore Varačé rozpäte ozačujeme R... R = x max x m varačé rozpäte je rozdel medz maxmálou a mmálou hodotou. Varačé rozpäte skúmaého zaku poskytuje základý pohľad a melvosť hodôt zaku v štatstckom súbore. Jeho veľkosť závsí ba od krajých hodôt, prčom jeda z ch alebo obe môžu byť extréme hodoty pre daý súbor etypcké, a preto môžu predstavu o varablte zače skresľovať. 4
5 Premerá odchýlka ozačujeme e... e =. = x x Premerá odchýlka je lepšou charakterstkou varablty ako varačé rozpäte, akoľko jej veľkosť závsí od každej ameraej hodoty štatstckého súboru. Smerodajá odchýlka. 2 ozačujeme σ... σ = ( x x) ozačujeme s... s =. ( x x) 2 Rozptyl. 2 výberový - ozačujeme s 2... s 2 2 =. ( x x) smerodajá odchýlka a rozptyl ctlvejše charakterzujú varabltu hodôt súboru, zvýrazňujú váhu odchýlok hodôt od x, dávajú formácu o rozptýleí hodôt okolo x populačý - ozačujeme σ 2... σ 2 = ( x x) Varačý koefcet ozačujeme V(x)... V(x) = x σ. 00% vyjadruje meru varablty v percetách artmetckého premeru. Koefcet koreláce ozačujeme r vyjadruje stupeň súvslost medz dvoma zakm x a y k r = σ.σ x y k =. ( x x)(. y y) = σ x = ( x x) σ y = ( y y) 5
6 Korelačý koefcet adobúda hodoty z tervalu -;. Ak 0 r < 0,3 medz zakm X a Y je ulový stupeň väzby. Ak 0,3 r < 0,5 medz zakm X a Y je mery stupeň väzby. Ak 0,5 r < 0,7 medz zakm X a Y je výzačý stupeň väzby. Ak 0,7 r < 0,9 hovoríme o vysokom stup väzby medz zakm X, Y. Ak 0,8 r medz zakm X a Y je veľm tesá väzba. Príklad : Vyhodoťte štatstcky písomú prácu žakov, v ktorej získal asledové zámky: 3, 2,,, 2, 2, 3, 4, 4,, 2, 3, 3, 3, 5, 4, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3,, 3. Zostrojte tabuľku rozdelea početostí. Rešee: Štatstcký súbor tvora žac, ktorí písal písomú prácu. Každý žak je štatstckou jedotkou. Pozorovaým zakom x je získaá zámka, ktorá adobúda päť hodôt, 2, 3, 4, 5. Rozsah súboru je = 25. Hodoty usporadame do eklesajúcej postupost, čím dostaeme postuposť:,,,, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5. Prostredý zak tejto postupost má hodotu 3, t.j. mod(x) = 3. Najčastejše sa vyskytujúc zak má hodotu 3, t.j. med(x) = 3. Tabuľka rozdelea početostí získaých zámok má asledujúc tvar: Premerá zámka z daej písomej práce je x = 3. Tabuľka rozdelea početostí umožňuje získať ektoré formáce rýchlo a v prehľadej forme. Napríklad zo stĺpca absolúta početosť môžeme zstť, koľko žakov z tredy apísalo písomku a 3, je ch 0. Koľko žakov apísalo písomku lepše ako a štvorku zstíme zo stĺpca kumulatíva početosť, vdíme, že ch je 2. V prípade, že by sme chcel vyjadrť početosť žakov, ktorí apísal písomku lepše ako a štvorku v percetách, príslušú hodotu 0,84 v stĺpc kumulatíva relatíva početosť vyásobíme 00. Dostávame, že 84 % žakov dostalo z písomky lepšu zámku ako 4. 6
7 Varačé rozpäte: R = 5 = 4 Premerá odchýlka: e = Smerodajá odchýlka:. = x x =.2,2 = 0, x - σ = 2 a x + σ = 4... ťažsko výsledkov písomky v okolí jej premeru tvora zámky od 2 po 4, t.j. určtým spôsobom sa tam vymykajú zámky a 5. Varačý koefcet: V(x) =,09.00% = 39,2 % 2,6 Polygó je spojcový graf. Vzke spojeím bodov [x ; f ], =, 2,..., k. Polygó môžeme dostať aj z hstogramu, a to tak, že spojíme lomeou čarou stredy horých strá všetkých stĺpcov hstogramu. 7
8 Kruhový dagram rozdelea početostí zámok Príklad 2: Zstte premerý ročý koefcet rastu výroby podku, ak jeho výroba je zazameaá v asledujúcej tabuľke: 8
9 Rešee: Ročé koefcety rastu výroby sú: k = =,05; k2 = =,02; k3 = =, Platí: = k 3 = k 2 k 3 = k k 2 k 3. Predpokladajme, že rast výroby je rovomerý s ročým koefcetom rastu k. Potom platí : = k = k. k = k. k. k k k 2 k 3 = k. k. k, t. j. ( k ) 3 3 = k k 2 k 3 k = 3 k. k. k =,05.,02.,, Premerý ročý koefcet rastu výroby v podku je,7. Počítal sa geometrcký premer. Príklad 3: Určte premerý čas, ktorý potrebuje jede robotík a výrobu jedého výrobku z údajov v asledujúcej tabuľke: x ozačuje čas (v mútach) potrebý a výrobu jedého výrobku. Rešee: Pozorovaým zakom x je čas potrebý a výrobu jedého výrobku. Údaje zapíšeme do tabuľky rozdelea početostí: Rozsah výberového súboru je = 5 = f = 0. Uvažujme o počte výrobkov, ktorý vyroba títo desat robotíc za jedu hodu (t.j. za 60 mút) Teto počet je: výrobkov
10 Ak ozačíme x h premerý čas jedého robotíka potrebý a výrobu jedého výrobku, tak platí: =. 0, t. j. x h = x h 0 x h = 6, Premerý čas potrebý a výrobu jedého výrobku je prblže 6,7 múty. V tomto prípade bol pr výpočte použtý harmocký premer. Harmocký premer charakterzuje charakterstku polohy súboru hodôt, ak teto hodoty predstavujú výkoové lmty. Príklad 4: Auto prešlo 50 km. Prvých 0 km šlo rýchlosťou 50 km/h, ďalších 0 km rýchlosťou 80 km/h, potom 0 km rýchlosťou 90 km/h, ďalších 0 km rýchlosťou 60 km/h a posledých 0 km rýchlosťou 80 km/h. Akou premerou rýchlosťou šlo auto? Rešee: Premerú rýchlosť počítame podľa vzťahu v = s/t, kde v ozačuje premerú rýchlosť, s dráhu a t ozačuje čas. Platí: t = t + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 = s /v + s 2 /v 2 + s 3 /v 3 + s 4 /v 4 + s 5 /v 5 = 0/50 + 0/80 + 0/90 + 0/60 + 0/80 v = s/t = = 68,7 Auto šlo premerou rýchlosťou 68,7 km/h. Aj v tomto prípade bol pr výpočte použtý harmocký premer. Pozámka: V štatstckej prax sa ajčastejše ako charakterstka polohy používa artmetcký premer, lebo závsí od všetkých pozorovaých hodôt. Je však veľm ctlvý a to, ak sú ektoré hodoty zaku extréme veľké alebo malé. Extréme hodoty môžu spôsobť, že premer e je ajlepšou charakterstkou polohy. V takýchto prípadoch treba použť ú charakterstku polohy. 0
11 Príklad 5: U žakov bol zazameaý asledujúc počet hodí vymeškaých z vyučovaa: 5, 2, 6, 8, 0, 7, 5, 0, 2, 5, 6. Premerý počet vymeškaých vyučovacích hodí je: 76 x =.( ) = = 6 hodí. Vdíme, že v dôsledku jedej extrémej hodoty je premerý počet vymeškaých hodí zače skresleý a evysthuje počet absecí v sledovaej skupe 0 žakov. V takýchto prípadoch použjeme ektorú z ďalších charakterstík polohy, apríklad medá - prostredá hodota, ktorú ozačujeme med(x). Je to hodota, ktorá sa achádza v strede súboru hodôt usporadaého do eklesajúcej postupost: 2, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 0, 0. Med(x) = 6 vymeškaých vyučovacích hodí. Príklad 6: Pr štatstckom zsťovaí bol ameraé hodoty:, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9. Rozsah súboru = ; artmetcký premer x = 5,8; med(x) = 5. Príklad 7: Pr štatstckom zsťovaí bolo ameraých týchto 2 hodôt:, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 0. Med(x) = (5 + 6)/2 = 5,5. Modus je hodota zaku x, ktorá má v štatstckom súbore ajväčšu početosť. Rovako ako medá aj modus je charakterstka polohy, pre výpočet ktorej epotrebujeme všetky ameraé hodoty a rozdel od artmetckého premeru. Modus môžeme určť ba vtedy, keď sa početost f hodôt x zaku x odlšujú. Ak sú početost rovaké, emôžeme určť modus. Príklad 8: Pr pozorovaí dskréteho štatstckého zaku bol zsteé teto hodoty: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8. V tomto prípade e je možé určť modus, pretože všetky pozorovaé hodoty majú rovakú početosť. Príklad 9: V súbore hodôt 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8 má ajväčšu početosť hodota 7, preto mod(x) = 7. Pozámka: Ak v súbore vystupujú dve alebo vac avzájom susedacch hodôt rovako často a ch početosť je väčša ako početosť ostatých hodôt, tak modus vypočítame ako artmetcký premer ajfrekvetovaejších hodôt.
12 Príklad 0: Pr pozorovaí dskréteho štatstckého zaku bol zsteé teto hodoty: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. Hodoty 5 a 6 sa v tomto súbore vyskytujú s rovakou frekvecou (po tr razy), teda mod(x) = (5 + 6)/2 = 5,5. Pozámka: Ak exstujú dve avzájom esusedace hodoty s relatíve ajväčším početosťam, tak obe teto hodoty uvádzame ako modus. V takomto prípade hovoríme, že rozdelee je bmodále (dvojvrcholové). Pr grafckom zázoreí je modus hodota a x-ovej súradc, v ktorej polygó početostí dosahuje maxmum. Vo väčše prípadov je artmetcký premer ajlepšou charakterstkou polohy, pretože sa počíta zo všetkých ameraých hodôt. Artmetcký premer by sa však emal počítať v ektorých prípadoch, apríklad vtedy, ak je rozdelee vacvrcholové (apr. bmodále). Vtedy treba upredostť modus. Rovako pre kvaltatíve údaje sa ako charakterstka polohy používa modus. Pr asymetrckom rozdeleí treba upredostť medá. Príklad : U 0 žakov bol zsteé ch výšky (zak X) a hmotosť (zak Y). Aký je stupeň väzby medz výškou a hmotosťou týchto žakov. Nameraé hodoty a príslušé výpočty sú uvedeé v asledujúcej tabuľke: 57 x = = 57, cm a y = = 48,4 kg 0 2
13 r = = = ( x x)(. y y) 65, ,8. 374, 4 ( x x). ( y y) = = 0,856 Vypočítaá hodota koefceta koreláce vyjadruje, že medz výškou a hmotosťou desatch žakov je vysoký stupeň väzby. Príklad 2: Určte medá, modus, artmetcký premer a varačé rozpäte pre štatstcký súbor: 25, 42, 45, 36, 38, 3, 29, 35, 40, 42, 39, 37, 33, 4, 45. Rešee: Usporadaý súbor: 25, 29, 3, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 42, 42, 45, 45 med(x) = 38 ; mod(x) = = 43,5 ; 5 x = 588 x = = = 37,2 ; R = = Príklad 3: Dvaja strelc streľajú do terča a zásahy s zapsujú. Prvý strelec zasahol 7, 8 a 9, druhý strelec, 0 a 3. Vypočítajte premeré odchýlky, rozptyl a smerodajé odchýlky počtu astreľaých bodov oboch strelcov. Rešee: Ozačme x počet astreľaých bodov. strelca a x počet astreľaých bodov 2. strelca. Vypočítame artmetcké premery počtu astreľaých bodov u oboch strelcov: To zameá, že obaja strelc premere astreľal 8 bodov. Naprek tomu, že premeré výkoy oboch strelcov sú rovaké, ch výkoy sú rozdele. Túto odlšosť vyjadríme pomocou premerej odchýlky, ktorej hodotu vypočítame pomocou asledujúcch tabulek: 3
14 . strelec: 2. strelec: Pozámka: Pretože súčet odchýlok hodôt zaku od ch artmetckého premeru je rový ule, pr výpočte premerej odchýlky sa počítal súčet absolútych hodôt uvedeých odchýlok. Ďalšou možosťou ako odstráť vplyv zameka je umocť odchýlky a druhú. Ak odchýlky umocíme a druhú, eleže odstráme vplyv zameka, ale zároveň zvýrazíme extréme hodoty v súbore - malé odchýlky (meše v absolútej hodote ako ) budú po umoceí ešte meše a veľké odchýlky sa umoceím ešte vac zväčša. Tým je motvovaá defíca rozptylu a smerodajej odchýlky. Rozptyl a smerodajá odchýlka. strelca je: Rozptyl a smerodajá odchýlka 2. strelca je: Z vypočítaých hodôt smerodajých odchýlok vdíme, že kým zásahy prvého strelca sa od artmetckého premeru odchyľujú o meej ako v oboch smeroch (leža teda medz 7 a 9), zásahy druhého strelca sa odlšujú od premeru vac ako o 5 (leža medz 3 a 3). Presejše preto streľal. strelec. 4
15 Úlohy. Určte medá, modus, artmetcký premer, rozptyl, smerodajú odchýlku, varačé rozpäte a varačý koefcet zaku x v štatstckom súbore: 2x 9, 7x 0, 9x, x 5, 5x 7, 6x 9, 3x 2, 0x 25, 9x 29, 4x Meraím v laboratóru bol zsteé asledujúce dĺžky súčastky (v mm): {302;30;32;30;33;38;305;309;30;309} Vypočítajte artmetcký, geometrcký premer, modus a medá. 3. Auto šlo prvú polovcu cesty premerou rýchlosťou v = 20 km/hod a druhú polovcu cesty premerou rýchlosťou v 2 = 80 km/hod. Akou premerou rýchlosťou auto šlo? 4. Dvaja poľovíc, poľovík A a poľovík B súťažl v streľbe a terč. Ktorý z ch streľal presejše a súťaž vyhral, ak získal asledujúce zásahy: A = {9;8;8;8;7} a B = {0;0;8;7;5}? 5
APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU
Moderé vzdelávae pre vedomostú spoločosť/ Projekt je spolufacovaý zo zdrojov EÚ APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU Fakulta elektrotechky a formatky Eva Ostertagová Táto publkáca vzkla
Διαβάστε περισσότεραMetódy spracovania experimentálnych výsledkov Autor pôvodného textu: Peter Ballo
Spracovae výsledkov Metódy spracovaa epermetálych výsledkov Autor pôvodého tetu: Peter Ballo Každé merae je zaťažeé chybam, ktoré sú zapríčeé edokoalosťou ašch pozorovacích schopostí, epresosťou prístrojov,
Διαβάστε περισσότεραRozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky
Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραŠtatistika s Excelom 1. Jurečková Mária Molnárová Iveta. Štatistika s Excelom
Štatstka s Excelom Jurečková Mára Molárová Iveta Štatstka s Excelom AOS 005 Štatstka s Excelom Za odború a jazykovú stráku zodpovedajú autor. Jedotlvé kaptoly spracoval: doc. RNDr. Mára Jurečková, CSc.,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραVYHODNOCOVANIE CHYBY MERANIA
YHODNOCOANIE CHYBY MERANIA doc RNDr Drahoslav ajda, CSc Ceľom meraa je pozať skutočú hodotu fyzkálej velčy Avšak pr meraí akejkoľvek fyzkálej velčy sa dopúšťame epresost, takže výsledok meraa sa líš od
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα( ) 3. Štatistika 1 Charakteristiky tvaru rozdelenia Indexy. Miery šikmosti a špicatosti. (1) Koeficient šikmosti. γ = x x n
Štatstka Charakterstky tvaru rozdelea dexy 3. redáška Mery škmost a šcatost Škmosť (asymetra) osuute vrcholu rozdelea očetostí oztíve zoškmeé rozdelee vrchol rozdelea je osuutý od artmetckého remeru doľava
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραUCL LCL X R. X, σ, Cpk SPÔSOBILOSŤ PROCESU TS ISO
UCL CL X R LCL X, σ, Cpk SPÔSOBILOSŤ PROCESU TS 6949 ISO CIEĽ Vysvetlť zmysel zsťovana spôsoblost procesu a popísať spôsob, ako ju zsťovať. G. TAGUCHI KLASICKÝ PRÍSTUP KU KVALITE MODERÝ PRÍSTUP KU KVALITE
Διαβάστε περισσότεραx j hodnota štatistického znaku x - aritmetický priemer ni absolútna početnosť m počet tried hšt ti ti kéh m počet tried hšt ti ti kéh
4. Bodový odhad Pricíp bodového odhadu spočíva v odhade ezámych parametrov (stredej hodoty, rozptylu, smerodajej odchýlky, atď.) prostredíctvom výberových charakteristík, ktoré sú reprezetovaé jedým číslom
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα1 Koeficient kovariancie
Koreláciou rozumieme vzájomý lieáry vz tah závislos t) dvoch áhodých premeých X a Y 1. Teto vz tah môˇze by t priamy tj. s rastúcimi hodotami jedej premeej rastú hodoty druhej premeej a aopak alebo epriamy
Διαβάστε περισσότεραRegresná analýza x, x,..., x
Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα2.1 Charakteristiky polohy
2 POPISNÉ CHARAKTERISTIKY Výsledkom prvého kroku spracovaia štatistických údajov je usporiadaie aalyzovaých hodôt do kotigečých alebo frekvečých tabuliek. Častokrát, predovšetkým pri porovávaí viacerých
Διαβάστε περισσότεραZáklady metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
Διαβάστε περισσότεραMateriálové bilancie
2. Mateálové blace s chemckou eakcou 2. Mateálové blace s chemckou eakcou Píklad 1 - Sytéza amoaku Píklad 2 - Neutalzáca Píklad 3 - Etyléoxd Píklad 4 - Fosfo Píklad 5 - ezé Píklad 6 - Sía - Metá Píklad
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie číselné rady a kritériá ich konvergencie a divergencie
Príklady a precvičovaie číselé rady a kritériá ich kovergecie a divergecie Ústredým problémom teórie reálych číselých radov je vyšetrovaie ich kovergecie, resp divergecie Ak {a } = je daá postuposť reálych
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραZNAKY. Ordinálne znaky = možno usporiadať, ale nie je podstatná veľkosť rozdielu!
ZNAKY Merateľé = kvatitatíve Majú veľkosť = ordiále Počítateľé = kvalitatíve Bez veľkosti = omiále Číselé charakteristiky (veľkosť, premelivosť, tvar rozdeleia) = možo odhadovať itervalovým odhadom a testovať
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα2.4 OPAKOVATEĽNOSŤ A REPRODUKOVATEĽNOSŤ NORMOVANÝCH SKÚŠOK A VYJADRENIE NEISTÔT MERANÍ
.4 OPAKOVATEĽNOSŤ A REPRODUKOVATEĽNOSŤ NORMOVANÝCH SKÚŠOK A VYJADRENIE NEISTÔT MERANÍ Normovaé metódy okrem kompletých postpov popisjú aj spôsob spracovaia a vyhodoteia výsledkov meraia. Pri dodržaí podmieok
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A ZÁKLADNÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY Duša Kežo, Miriam Adrejiová, Gabriela Ižaríková 2011 RECENZOVALI: prof. RNDr. Marti Bača, CSc. prof. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραTesty dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)
TESTY DOBREJ ZHODY Testy dobrej zhody = testy hypotéz zhody rozdelení (= testy dobrej zhody / ft testy / Goodness of Ft Tests) Overujeme, č emprcké rozdelene je štatstcky zhodné s nektorým z teoretckých
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραKombinatorické identity Peter πtr Korcsok
Kobatorcké detty Peter πtr Korcsok ØÖ Øº Tátopredáškapredvádzazákladékobatorckéetódydokazovaa V prvej čast je každá techka struče popísaá a dopleá jedoduchý rešeý príklado, druhú časť poskytuje čtateľov
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραLABORATÓRNE CVIČENIA Z FYZIKÁLNEJ CHÉMIE
VYSOKOŠKOLSKÉ SKRIPTÁ Pedagogcká fakulta Travskej uverzty Já Regul LORTÓRNE CVIČENI Z FYZIKÁLNEJ CHÉMIE Doc. Ig. Já Regul, CSc. Recezet: Doc. Ig. Mára Lkešová, CSc. RNDr. Zuzaa Melchová, PhD. Vydala Pedagogcká
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραODHAD HODNOTY BYTU NA PODKLADE PONUKOVÝCH CIEN
ODHAD HODNOTY BYTU NA PODKLADE PONUKOVÝCH CIEN Mila Nič Abstrakt Základe vzťahy zo štatistiky. Základý súbor údajov a výbery z tohoto súboru. Číselé a grafické vyhodoteie výberu údajov s využitím programu
Διαβάστε περισσότερα1 lim. Analýza výstupných dát simulácie Odhad neznámej strednej hodnoty
V. Solá, KIVT FEI STU Bratslava 6 : Aalýza výstupých dát smuláce Odhad ezámej stredej hodot Cetrála lmtá veta CLV: Nech,,... sú IID áhodé premeé so stredou hodotou µ a koeou dsperzou σ. Potom x R platí:
Διαβάστε περισσότερα1 Merania, neistoty a korelácie Popis dát Typy dát Zobrazovanie dát Priemery
ŠTATISTIKA V RADIAČEJ FYZIKE O B S A H Merana, nestoty a koreláce... 3. Pops dát... 3.. Typy dát... 4.. Zobrazovane dát... 5. Premery... 6.. Artmetcký premer... 6.. Alternatívy artmetckému premeru... 7.3
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα1.2 MATERIÁLOVÉ BILANCIE S CHEMICKOU REAKCIOU
1. MERIÁLOVÉ ILNCIE S CHEMICKOU REKCIOU M - R - Píklad 1 - moak 1: Do eaktoa vstupujú dusíka a 6 mol vodíka. V eaktoe pebeha exotemcká eakca so 100 pecetou kovezou dusíka. N + 3 H NH 3 Vypočítajte: a.rozsah
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραZNAKY Počítateľné = kvalitatívne Merateľné = kvantitatívne Majú veľkosť = ordinálne. Neparametrické odhady (napr. intervalový odhad mediánu)
ZNAKY Počítateľé kvaltatíve Merateľé kvattatíve Majú veľkosť ordále Bez veľkost omále Číselé charakterstky (veľkosť, premelvosť, tvar rozdelea) možo odhadovať tervalovým odhadom a testovať pomocou parametrckej
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότερα10 Určitý integrál, jeho výpočet a aplikácie
Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Určtý tegrál, jeho výpočet plkáce. Motvác k určtému tegrálu Úvodom s udeme zoerť jedou úlohou z geometre, rešee ktorej vede k zvedeu pojmu určtý tegrál.
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραKatedra informatiky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR.
Katedra iformatiky Fakulty matematiky, fyziky a iformatiky Uiverzity Komeského v ratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR Eduard Toma RTISLV 008 OSH EDURD TOMN OSH PREDHOVOR 4 PREHĽD OZNČENÍ 5 ZÁKLDY MTEMTICKEJ
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnosť a štatistika
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA Vladislav Gajdošík Kozistecia a asymptotická reprezetácia odhadu LWS Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedúci diplomovej
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραDOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnosť a štatistika
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika ( pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RNDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil
Διαβάστε περισσότεραPostupnosti. Definícia :
Postuposti Defiícia : Postuposť je fukcia, ktorej defiičým oborom je možia všetkých prirodzeých čísel alebo jej podmožia typu { 1,,3... k }. Postuposť defiovaú a možie všetkých prirodzeých čísel, azývame
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότερα