Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Transcript

1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené číslo k číslu z: z = a bi z z = a + b ak ω =, tak ω = ω absolútna hodnota (veľkosť, modul) komlexného čísla: z = a + b operácie s komplexnými číslami: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d) (a + bi) (c + di) = (a c) + i(b d) (a + bi) (c + di) = (ac bd) + i(bc + ad) a+bi c+di = (a+bi)(c di) (c+di)(c di) = ( ) c +d (ac + bd) + i(bc ad) Goniometrický tvar komplexného čísla: z(= a + bi) = r(cos ϕ + i sin ϕ), kde r = z a tg ϕ = b a, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. Násobenie komplexných čísel v goniometrickom tvare: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ), z = r (cos ϕ + i sin ϕ ): z z = (r r )(cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )) Exponenciálny tvar komplexného čísla: re iϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) e iϕ = (e x ) x=iϕ = ( j = 4k i j i j = 4k + = j = 4k + i j = 4k + j= xj j= j! ) x=iϕ = (iϕ) j j! = j= { j je párne, t.j. i j = j je nepárne i j ϕ j (j)! + j= = ( ) j i j+ ϕ j+ (j+)!. e iϕ = ϕj j= ( )j (j)! + i ϕj+ j= ( )j (j+)! = cos ϕ + i sin ϕ. Moivrova veta (Moivre): Nech z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Potom z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n N. Použitím exponenciálneho tvaru komplexného čísla dostávame, že predošlá veta platí aj pre reálne exponenty, t.j. n R. Súčtové vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Niektoré vlastnosti goniometrických funkcií tg x = sin x cos x, cos x cotg x = sin x, x = π 8 cos(x) je párna funkcie, t.j. cos( x) = cos(x) sin(x) je nepárna funkcia, t.j. sin(x) = sin(x) cos( π x) = sin x, sin( π x) = cos x cos( π + x) = sin x, sin( π + x) = cos x Verzia 9-9 x rad, x rad = 8 π x.

2 π rad 6 sin cos tg cotg - π 4 π π π π 5π 4 6 π π 5π 4π π 5π 7π π rad π π rad π 5π 6 π 4 π π π π 4 π 6 sin - cos tg - - cotg Funkcie sin, cos, tg and cotg sú periodické s periódami (po rade) π, π, π, π, t.j. pre ľubovoľné k Z platí: sin(x + kπ) = sin x, cos(x + kπ) = cos x, tg(x + kπ) = tg x, cotg(x + kπ) = cotg x. II i I π α π+α α cos α sin α α=π α III i IV Komplexné n-té odmocniny z n-tá odmocnina z - ω C: ω n = ω = e i π n - primitívna n-tá komplexná odmocnina z Ak ω je n-tá odmocnina z, tak aj ω k, k Z je n-tá odmocnina z jednotky. Diskrétna Fourierova transformácia Motivácia: k danému polynómu f(x) = a + a x a n x n, treba vypočítať jeho hodnoty v hodnotách n-tých komplexných odmocnín z jednotky, t.j. v bodoch ω =, ω = e i π n, ω,..., ω n.

3 Diskrétna Fourierova transformácia vektora (a, a,..., a n ) je vektor (f(ω ), f(ω ),..., f(ω n )). a + a a n a + a ω a n ω n a + a ω a n ω (n )... = a + a ω n a n ω (n )(n ) a a a... =... ω ω... ω n ω ω4... ω (n ) ω n ω (n )... ω (n )(n ) ( ω (i )(j )) ij a n a a a... a n = H a. Preto diskrétna Fourierova transformácia n-rozmerného vektora a je H a, kde H je matica typu n n, s prvkami H ij = ω (i )(j ) a ω = e π n i je primitívna n-tá komplexná odmocnina z. Inverzná diskrétna Fourierova transformácia Spätná transformácia z vektora (f(ω ),..., f(ω n )) na pôvodný vektor (a,..., a n ). H a H (H a) = a H = n (ω (i )(j ) ) ij = n (( ω ) (i )(j ))ij = n ( ω(i )(j ) ) ij = n H Teda k n-rozmernému vektoru x je inverzná DFT H x = n H x. Zložitosť FFT pre ľubovoľné n Veta..5 (Wilf) - Nech n = p α pα pα k k je kanonický rozklad čísla n na prvočísla. Potom zložitosť FFT pre rozmer vektora n, t.j. počet komplexných násobení potrebný na výpočet, je Príklady n (α (p ) + α (p ) α k (p k )).. Vypočítajte nasledovné súčiny: (a) ( 9i)(+5i), (b) (4+i)(+i), (c) (cos π 4 +i sin π 4 ) 5(cos π +i sin π )

4 . Vyjadrite v goniometrickom (exponenciálnom) tvare nasledujúce komplexné čísla: (a) + i, (b) i, (c) + i, (d) i (e) + i, (f) i, (g) i. Vypočítajte: (a) ( + i), (b) ( i), (c) (5 + 5 ), (d) ( i) 4. Zvoľte si ľubovoľný vektor s a), b), c), d) 4, e) 6 f) 8 g) (aj komplexnými) súradnicami a zistite jeho DFT. Následne skúste vypočítaním inverznej DFT overiť správnosť výpočtu. 5. Napíšte všeobecný vzorec pre a) DFT, b) inverznú DFT. 6. Zistite zložitosť FFT pre vektor s a) 5, b) 854, c) 6, d) 7, e) 4 súradnicami. Riešené príklady Určte goniometrický a exponenciálny tvar komplexného čísla i. z = i, x = ( z = ). i + ( ) = 4 =. Hľadáme riešenie sústavy: cos ϕ = a sin ϕ =. Vidíme, že príslušný uhol (ak uvažujeme riešenia [, π)) treba hľadať v 4. kvadrante, t.j. v intervale [ π, π), alebo [ π, ]. sin( x) = sin x cos( x) = cos x Preto, pri substitúcii ψ = ϕ sa naša sústava zmení na cos ψ =, sin ψ =, pričom riešenie hľadáme v. kvadrante. Použitím známych hodnôt pre sin a cos dostávame, že ψ = π = 6. Preto ϕ = π = π π = 5 π.o Trochu iné riešenie určenia výsledného uhla: nech cos ϕ = a, sin ϕ = b, kde a, b sú známe tabulkové hodnoty pre. kvadrant, t.j. (, ), (, ), (, ), (, ), (, ). Nech toto zodpovedá uhlu ϕ. Potom, ak výsledok má byť v I. kvadrante, tak je to samotné ϕ, v II. kvadrante je to π ϕ, v III. kvadrante je to π + ϕ a IV. kvadrante to je π ϕ. Výsledok: z = (cos 5 π + i sin 5 π) = ei 5 π. 4

5 Vypočítajte ( i ) 5. Najprv si určíme goniometrický (či exponenciálny) tvar komplexného čísla i. Podľa predošlého príkladu je to (cos 5 π + i sin 5 π). Potom, podľa Moivrovej [Moavrovej] vety platí: ( i ) 5 = ((cos 5 π + i sin 5 π))5 = 5 (cos(5 5 5 π) + i sin(5 π)). Potrebujeme zistiť, ktorý uhol z intervalu [, π) dáva tie isté hodnoty sin a cos ako uhol 5 5 π. Teda potrebujem nájsť vhodný násobok periódy týchto funkcií (π): 5 5 π = 75 π = 58π + π = 9 π + π. Výsledok: 5 (cos π + i sin π ) = 5 ( + i ) = 4 ( + i ). Spočítajte DFT pre vektor (7, 6, ) a overte správnosť výpočtu pomocou inverznej DFT. ω k = ω =, k Z ω = e i π = cos π+i sin π = cos( π + π 6 )+i sin( π + π 6 ) = sin π 6 +i cos π 6 = +i. (Použili sme súčtové vzorce: sin( π +x) = cos x, cos( π +x) = sin x.) ω = e i 4 π = cos 4 π+i sin 4 π = cos(π+ π )+i sin(π+ π ) = cos π i sin π = i. (Použili sme vzorce pre sin(π + x) = sin x a cos(π + x) = cos x.) Preto matica v DFT je rovná: w w w w w w = w w = w w w 4 w + i i w i + i Pre DFT máme: + i i i + i 6 = 7 + 6( + i ) + ( i ) 7 + 6( i ) + ( + i = i ( ) 7 = 7 + i ( + ) + i 5 7 i 5 Výsledok: DFT vektora (7, 6, ) je vektor (4, 7 + i 5, 7 i 5 ). 5

6 Skúška správnosti: Matica pre inverznú DFT je rovná H, preto na overenie treba vypočítať 4 + i i 7 i + i + i 5 = 7 i 5 4 i + i 7 + i i + i 5 = 7 i i i ( i )( 7 + i 5 ) + ( + i )( 7 i 5 ) = 4 + ( + i )( 7 + i 5 ) + ( i )( 7 i 5 ) i ( ) = 8 = i ( ) Vypočítajte inverznú DFT k vektoru (,,, ) a urobte skúšku priamou DFT. 4 ω = e i π 4 = e i π = cos π + i sin π = i. ω ω ω ω ( ω (i )(j )) 4 ij = ω ω ω ω 4ω ω ω 4 ω 6 = ω ω ω 6 ω 9 ω ω ω ω ω ω ω ω 4ω ω ω ω = i i 4 = ω ω ω ω i i i i = i + + i 4 = 4 4 = i i + i + i Výsledok: (,,, ). Skúška správnosti: + i i = + + i + i =. i i i + + i 6

7 Určte zložitosť FFT pre vektor so 8-timi súradnicami. 8 = 9 = 4 45 = 5. Preto zložitosť FFT (počet komplexných násobení) je 8(( ) + ( ) + (5 )) = 8( ) = 8. 7