VYHODNOCOVANIE CHYBY MERANIA

Transcript

1 YHODNOCOANIE CHYBY MERANIA doc RNDr Drahoslav ajda, CSc Ceľom meraa je pozať skutočú hodotu fyzkálej velčy Avšak pr meraí akejkoľvek fyzkálej velčy sa dopúšťame epresost, takže výsledok meraa sa líš od skutočej hodoty Rozdel medz skutočou hodotou X a ameraou x je chyba meraa ε, ε X - x X Chyba môže byť kladá aj záporá Ak je chyba kladá, musíme ju k ameraej hodote prpočítať, aby sme dostal správu hodotu Ak je záporá, tak ju musíme odpočítať, X x ± ε () Teto vzťah zameá, že skutočá číselá hodota velčy X sa achádza v tervale hodôt od x - ε do x ε Relatíva chyba: Ak vyjadríme chybu relatíve k meraej velče, hovoríme o relatívej chybe εr: Často sa udáva v percetách Rozozávame chyby: Systematcké (sústavé) Náhodé Osobé X X x x ε r () X X X Patra sem chyby meracích prístrojov (zdroj chyby je zámy, e je záma veľkosť chyby) Ďalej chyby vyplývajúce zo spôsobu (metódy) meraa a pod Odstráme ch použtím dokoalejších prístrojov a vhodejšou metódou meraa Sú spôsobeé áhodým, epravdele sa meacm vokajším podmekam a vplyvm Nedajú sa úple odstráť, ale môžeme ch určť z vacásobe opakovaých meraí ďalšom sa budeme zaoberať vyhodocovaím tohoto druhu chýb To sú chyby spôsobeé oslabeou pozorosťou expermetátora, esprávym odčítaím z prístrojov a pod Odstraňujú sa dôsledosťou pr prác I Staovee áhodej chyby Pre staovee áhodej chyby je dôležté určť optmály počet opakovaí meraa, t j taký počet meraí, ktorého zväčšovae sa eprejavuje výrazým zmešovaím výsledej chyby meraa ýsledok fyzkáleho meraa môžeme pokladať za áhodú velču radacu sa ormálym zákoom rozdelea ďalšom predpokladajme, že pr meraí dochádza le k áhodým chybám Merame velču X, ktorej skutočá hodota je x ýsledok -tého meraa je x a chyba -tého meraa ε Tak môžeme apísať: x x ± ε () zhľadom a štatstcký charakter chyby môžeme prepokladať, že sa s rovakou pravdepodobosťou budú vyskytovať kladé aj záporé chyby Nech bolo vykoaé meraí

2 s výsledkam x, x, x Stredú hodotu týchto meraí je ajlepše charakterzovať artmetckým premerom ameraých hodôt x ( x x x ) x (4) Čím väčší bude počet meraí, tým presejše sa bude zhodovať artmetcký premer so skutočou hodotou a v lmtom prípade ekoeče veľkého počtu meraí sa artmetcký premer stotoží so skutočou hodotou Nepresosť vykoaých meraí charakterzujeme: A Stredou kvadratckou chybou (odchýlkou) jedého meraa δ defovaou vzťahom: δ ε, ε δ (5) Táto chyba zameá, že ak okolo áhode vybraého meraa opíšeme terval šírky δ, bude skutočá hodota ležať v tomto tervale s pravdepodobosťou 68% B Pravdepodobou chybou jedého meraa ϑ Rozumeme ňou takú odchýlku, že pravdepodobosť výskytu skutočej hodoty v tervale ±ϑ okolo jedého áhode vybraého meraa je 50% Je defovaá vzťahom: ϑ δ, ϑ ε (6) C Maxmálou chybou χ Zameá, že pravdepodobosť výskytu skutočej hodoty v tervale okolo jedého áhode vybraého meraa je 99,7%, čo je praktcky stota χ δ, χ ε (7) Môžeme očakávať, že artmetcký premer pr koečom, ale dostatoče veľkom počte urobeých meraí sa líš od skutočej hodoty veľm málo a potom odchylky -tého meraa od artmetckého premeru, defovaé asledove x, (8) x sa málo líša od skutočej chyby ε -tého meraa Môžeme ch použť pre výpočet stredej kvadratckej odchýlky (chyby) a tým aj pre výpočet pravdepodobej chyby a maxmálej chyby δ, (9)

3 4 ϑ δ, χ δ (0) zťah (8) umožňuje výpočet stredej kvadratckej chyby jedého meraa z odchýlek od artmetckého premetu Nepresosť (odchýlka) artmetckého premeru od skutočej hodoty meraej fyzkálej velčy je meša ež epresosť jedého áhode vybraého meraa Túto epresosť charakterzujeme stredou kvadratckou chybou artmetckého premeru δ a je defovaá asledove δ () ( ) a pomocou ej aj stredá pravdepodobá chyba a stredá maxmála chyba artmetckého premeru vzťahm ϑ δ, () χ δ () II Spracovae výsledkov pramych meraí Ak máme spracovať séru meraí urobeých za rovakých podmeok, postupujeme asledove Z ameraých hodôt x určíme artmetcký premer x podľa vzťahu (4) Staovíme zdalvú chybu pre každé jedotlvé merae tak, že odčítame príslušú ameraú hodotu x od artmetckého premeru x podľa vzťahu (8) ypočítame druhú mocu týchto zdalvých chýb a potom ch sčítame 4 Podľa toho, akú chybu chceme staovť, použjeme príslušý vzťah Napr: pre výpočet stredej kvadratckej chyby artmetckého premeru použjeme vzťah () 5 ýsledok celého meraa zapíšeme v tvare: ýsledá hodota meraej velčy artmetcký premer z ameraých hodôt ± chyba Napr: pr meraí dĺžky tyče L, zázam vyzerá takto: x x ± chyba (4) L (,5 ± 0,0) m (5) Pr počte opakovaých meraí mešom ako 00 ( < 00) má zmysel chybu udávať ba a jedu platú číslcu, tj zaokrúhľujeme a jedu platú číslcu (cfru) a a taký stý počet mest (aký sa vyskytuje v chybe) zaokrúhľujeme aj artmetcký premer Pr každom zápse výsledku uvádzame okrem číselej hodoty meraej velčy aj jej rozmer Prtom dôslede používame SI sústavu

4 5 ýsledky meraa a výpočet chyby môžeme zapísať do tabuľky apr takto: Počet meraí Nameraá x velča [ ] x x [ ] x - x Tabuľka I [ ] III Chyby epramych meraí čast I sme mlčky predpokladal, že vyšetrovaú velču môžeme merať pramo, apr hrúbku drôtu, dĺžku tyče, čas a pod Iokedy však fyzkálu velču určujeme pomocou zákoa alebo vzťahu v ktorom vystupuje vacero velčí a každú meraú velču samozrejme určujeme s chybou Ukážeme s, ako určíme chybu fyzkálej velčy, ktorá súvsí s vacerým fyzkálym velčam získaým meraím Nech vyšetrovaá velča X je fukcou vacerých premeých velčí a, b, c, ( a,b,c ) X f (6) Chyby, s ktorým sú ameraé velčy a,b,c,, ozačme a, b, c, a budeme ch v tejto čast považovať za kladé Môžu to byť chyby odhaduté alebo vypočítaé podľa predchádzajúcch vzťahov ýsledú chybu vyšetrovaej velčy určíme podľa asledového vzťahu a b c X ( a) ( b) ( c ) (7) Ak a, b, c sú strede kvadratcké chyby, X je tež stredá kvadratcká chyba Často používame k ohodoteu hľadaej velčy X relatívu chybu a to: - maxmálu relatívu chybu X X max a a b b f (a,b,c,) c c (8) - a stredú relatívu chybu: ( a) ( b) ( c ) a b c (9) X X f (a,b,c,)

5 6 Príklad: Máme určť objem valca premeru d a výšky h, ktoré sme zmeral s chybou d a h π d h, 4 ( d) ( h ) d h, dh d d h (0) π π 4 Pr číselom výpočte do vzťahu (0) dosadzujeme za d a h stredé hodoty (apr artmetcký premer) a potom pod d a h rozumeme chyby artmetckého premeru ( δ d, δ h alebo ϑ d, ϑh alebo χ d, χ h ) a pod potom odpovedajúco rozumeme jedu z chýb artmetckého premeru ( δ, ϑ, χ ) Úloha: Určte objem hraola alebo drôtu ýsledky meraa zapíšte podľa vzoru tabuľky I Merae ohodoťte chybam δ, ϑ a χ podľa vzťahov (), (), () a (0) Úloha je prevzatá, dopleá a opraveá, zo skrípt: Doc RNDr Drahoslav ajda, CSc, Doc Ig Júlus Štela, CSc, RNDr Jaroslav Kovár, Ig Ctbor Musl, CSc, RNDr Iva Bella, Doc Ig Igor Jamcký, CSc Návody k laboratórym cvčeam z fyzky, vydala Žlská uverzta vo vydavateľstve EDIS, ezmeeé vydae, rok 00