Pravdepodobnosť a štatistika

Transcript

1 Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil Róbert ovotý ovotyr Typeset by L A TEX. Illustratios by jpicedt. Fuctio plots by guplot.

2 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 9 TESTOVAIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 39 Obsah 4 iektoré špeciále rozdeleia 4 4. iektoré diskréte typy rozdeleí Biomické rozdeleie Bi, p Poissoovo rozdeleie Poλ Geometrické rozdeleie Geop iektoré spojité typy rozdeleí Rovomeré rozdeleie Ra, b Expoeciále rozdeleie Exδ ormále rozdeleie a, Chí-kvadrát rozdeleie χ -rozdeleie Studetovo rozdeleie t-rozdeleie Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie F -rozdeleie Cetrále limité vety 3 6 áhodé vektory viacrozmeré áhodé veličiy 4 6. Združeé a margiále rozdeleie Diskréte a absolúte spojité rozdeleie v R Podmieeé rozdeleie v R Charakteristiky áhodého vektora Regresia ako tred závislosti a ak je ezáme Potom testovým kritériom je g X X a a S +S S + S + pričom uvedeé g t +. b ak. A opäť rozlíšime dva prípady: X X a a, S + S i. Ak > 30 a > 30, môžeme t-rozdeleie aproximovať ormovaým ormálym rozdeleím. Testové kritérium a kritický obor bude: g X X a a 0, S + S W 0 {x, x : g u α } ii. Ak 30, 30, použijeme testové kritérium: g X X a a S + S tγ. kde γ je ezámy počet stupňov voľosti t-rozdeleia. Určíme ho asledove: II Matematická štatistika 7 Popisá štatistika a áhodý výber 7. Základé pojmy a metódy áhodý výber a výberové charakteristiky Štatistika a jej rozdeleie Kritický obor: t α γ t α S + t α S S + S W 0 {x, x : g u α } 8 Teória odhadov 9 8. Bodové odhady Itervalové odhady Testovaie štatistických hypotéz Základé pojmy a metódy iektoré parametrické testy jedovýberové Metódy hľadaia ajlepšieho kritického oboru W Príklady kritických oborov W 0 pre ormále a expoeciále rozdeleie Testy zhody pre dva ezávislé výbery Testy zhody dvoch stredých hodôt Testy zhody dvoch rozptylov Testy zhody dvoch rozptylov V tomto prípade ide o tzv. F -testy. Hypotézy položíme asledove: H 0 :, H :. ak a, a sú záme, použijeme asledové testové kritérium a kritický obor: g S 0 S 0 S 0 S F, 0 W 0 {x, x : g F α/, g F α/, }. ak a, a sú ezáme, použijeme toto testové kritérium a kritický obor: g S S S S F, W 0 {x, x : g F α/, g F α/, } Pri testovaí zhody dvoch stredých hodôt pre, ezáme musíme ajprv otestovať zhodu dvoch rozptylov! Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

3 38 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri LITERATÚRA 3. ech V Exδ. Budeme testovať parameter δ. Hypotézy položíme asledove: H 0 : δ δ 0, H : δ δ < δ 0, alebo H : δ > δ 0, alebo H : δ δ 0 Potom použitá štatistika a príslušé kritické obory budú: g X δ { χ W 0 X : X χ α }, δ ak δ < δ0 Literatúra [] Rieča a kol.: Pravdepodobosť a matematická štatistika, Bratislava 984 [] Potocký a kol.: Zbierka úloh z pravdepodobosti a matematickej štatistiky, Bratislava 986 [3] Skřiváková: Pravdepodobosť v príkladoch, Košice 999 [4] Aděl: Matematika áhody, Praha 000 W 0 { X : g χ α }, ak δ > δ0 { W 0 X : g χ α g χ }, α ak δ δ 0 Tu je potrebé dopísať asledové časti: Odvodeie ajlepšieho kritického oboru W 0 eparametrické testy zamiekový test, Dixoov test Párový t-test 9.3 Testy zhody pre dva ezávislé výbery Uvažujme dva ezávislé výbery z ormáleho rozdeleia. V X, X,..., X a,, X V X, X,..., X a,, X Potom X X ezávislé. a, a, a a,. kovariaciu pozáme, je rová 0, pretože výbery sú Rozlišujeme dva typy testovaej zhody: A. test zhody dvoch stredých hodôt B. test zhody dvoch rozptylov 9.3. Testy zhody dvoch stredých hodôt Hypotézy položíme asledove: Rozlišujeme dva prípady: H 0 : a a, H : a a. ak, sú záme ide o u-test. Testovým kritériom a kritickým oborom sú: g X X a a + W 0 {x, x : g u α } X X a a +. ak, sú záme ide o t-testy. Opäť máme dve možosti: 0, Teto materiál pokrýva látku z letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika, ktorý predáša RDr. Valéria Skřiváková a Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach. Jeho obsahom sú defiície, vety a dôkazy, ktoré odzeli a predáškach v akademickom roku 00/003. Materiál bol vytvoreý výhrade pre iterú potrebu študetov PrírF UPJŠ Košice. Text ebol autorizovaý a môže obsahovať chyby, preklepy, či chýbajúce časti budem však rád, keď ich ozámite a adrese ovotyr@skmi.sciece.upjs.sk. a teto materiál sa evzťahuje žiada záruka. Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

4 4 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 9 TESTOVAIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 37 4 iektoré špeciále rozdeleia 4. iektoré diskréte typy rozdeleí 4.. Biomické rozdeleie Bi, p Defiícia 4. Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má biomické rozdeleie s parametrami, p, ak adobúda hodoty x k k, k 0,,..., s pravdepodobosťami p k P X k p k p k, p 0,,, k 0,,..., k Iterpretácia biomického rozdeleia. Beroulliho schéma realizujeme ezávislých pokusov s možými výsledkami ω, ω, pričom P {ω} p, p 0,. Priraďme situácii astal jav ω hodotu a eastal jav ω hodotu 0. Potom áhodá veličia X majúca biomické rozdeleie s parametrami, p reprezetuje počet úspešých pokusov z pokusov.. distribučá fukcia k0 F x k<x k0 p k p k k. charakteristická fukcia ϕt e itk p k p k pe it k p k pe it + p k k F x 9.. Príklady kritických oborov W 0 pre ormále a expoeciále rozdeleie. ech V a,. a test parametra a, ak je záme v ďalšom bude používaá ekaoická prologovská otácia?-a záme poz. sadzač b test parametra a, ak je ezáme;?-a ezáme c test parametra, ak a je záme;?- a záme d test parametra, ak a je ezáme;?- a ezáme a?-a záme H 0 : a a 0, H : a a < a 0 alebo H : a 0 > a a alebo H : a a 0 je záme, preto použijeme štatistiku Kritické obory budú b?-a ezáme W 0 W 0 W 0 g X a { X : X a { X : X a { X : X a 0, u α }, ak a < a 0 } u α, ak a > a 0 u α }, ak a a x g X a t S W 0 {X : g t α }, ak a < a 0 W 0 {X : g t α }, ak a > a 0 c?- a záme W 0 { X : g t α }, ak a a 0 3. charakteristiky polohy a variability Dôkaz: Obr. : Distribučá fukcia biomického rozdeleia ϕ t pe it + p ipe it EX p DX p p ϕ 0 i p i m m EX p ϕ t ip [ pe it + p pie it e it + pe it + p ie it] g S 0 χ W 0 { X : g χ α }, ak < 0 W 0 { X : g χ α }, ak > 0 { W 0 X : g χ α g χ }, α ak 0 d?- a ezáme g S χ W 0 { X : g χ α }, ak < 0 W 0 { X : g χ α }, ak > 0 { } W 0 X : g χ α g χ α, ak 0 Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

5 36 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4 IEKTORÉ ŠPECIÁLE ROZDELEIA 5 4. zistiť, či realizácia testovacieho kritéria g je z W 0 a urobiť záver pre prax a ak g 0 W 0, potom H 0 zamietame a prijímame H b ak g 0 / W 0, potom H 0 ezamietam a daej hladie výzamosti slabší záver. Môžeme urobiť ový výber alebo zmeíme hladiu výzamosti. Deleie testov. podľa toho, čo testujú a parametrické testy b eparametrické testy. podľa počtu zrealizovaých výberov a jedovýberové b dvoj- a viacvýberové 9. iektoré parametrické testy jedovýberové Budeme predpokladať, že výber pochádza buď z ormáleho alebo expoeciáleho rozdeleia, teda V a,, resp. V Exδ. ϕ 0 i p p + EX p + p DX p p p p p p 4.. Poissoovo rozdeleie Poλ Defiícia 4. Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má Poissoovo rozdeleie s parametrom λ, ak adobúda hodoty x k, k 0,,... s pravdepodobosťami p k P X k λk k! e λ, λ > 0, k 0,,,... Iterpretácia Poissoovho rozdeleia. áhodá veličia X majúca Poissoovo rozdeleie s parametrom λ reprezetuje počet prípadov, v ktorých astal sledovaý jav pri eobmedzeej realizácii daého pokusu za jedotku času. apr. počet zákazíkov v obchode za časovú jedotku.. distribučá fukcia F x λ k k! e λ e λ λ k k! k<x k<x Parametrický test testuje ezámy parameter θ rozdeleia F x, θ pre θ Θ, z ktorého výber V pochádza. Uvažujme hypotézu H 0 : θ θ 0, kde θ 0 je skutočá hodota parametra alebo hodota, o ktorej si myslím, že je skutočá :-. Potom pre H prichádza do úvahy jeda z asledových hypotéz: H : θ θ 0, H : θ > θ 0, H : θ < θ 0 Prvá z uvedeých hypotéz je tzv. obojstraá alteratíva hypotéza, zvyšé dve sú jedostraé alteratíve hypotézy. Hypotéza H 0 je tu azývaá jedoduchou hypotézou, ostaté zase zložeými alteratívymi hypotézami. F x Metódy hľadaia ajlepšieho kritického oboru W 0. eyma-pearsso pri jedostraých alteratívych hypotézach. test podielom pomerom vierohodostí pri obojstraých alteratívych hypotézach eymaova-pearssoova metóda. Za kritický obor vezmeme: { } W 0 X : LX, θ LX, θ 0 cα, kde θ 0 je skutočá hodota parametra θ, θ je hodota θ v alteratívej hypotéze a cα je koštata závislá iba od hladiy výzamosti malo by byť cα 0, iak ie je čo odhadovať. V dôkaze sa ukáže, že W 0 v tomto tvare zaručí miimále β. Podiel vierohodostí. Kritický obor položíme: { LX, W 0 X : θ } LX, θ 0 L α, kde θ je maximály vierohodý odhad parametra θ, θ 0 je skutočá hodota θ a L α je koštata závislá iba od hladiy výzamosti. L α, lebo podľa defiície LX, θ > LX, θ 0. Obr. : Distribučá fukcia Poissoovho rozdeleia. Pre x idúce do ekoeča sa bude výška schodíkov zmešovať, úroveň sa edosiahe v žiadom koečom bode.. charakteristická fukcia itk λk ϕt e k! e λ e λ k0 λe it k0 Posledá suma je vlaste Taylorov rozvoj výrazu e. Teda máme 3. charakteristiky polohy a variability ϕt e λ e λeit e λeit EX λ DX λ k! k Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

6 6 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 9 TESTOVAIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 35 Dôkaz: ϕ t e λeit λie it 4..3 Geometrické rozdeleie Geop ϕ 0 i λ i m EX λ ϕ t iλ e λeit λie it e it + e λeit ie it ϕ 0 i λλ + EX λλ + DX λ + λ λ λ Defiícia 4.3 Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má geometrické rozdeleie s parametrom p, ak adobúda hodoty x k k, k 0,,... s pravdepodobosťami p k P X k p p k, p 0,, k 0,,... Iterpretácia geometrického rozdeleia. áhodá veličia X majúca geometrické rozdeleie s parametrom p vyjadruje počet eúspechov pred prvým úspechom pri eobmedzeej realizácii pokusov v Beroulliho schéme.. distribučá fukcia F x p p k. charakteristická fukcia ϕx e itk p p k p p e it k k0 k<x Pozrime sa a čley. Z defiície je p 0,, teda aj p 0,. Už sme si ukázali, že e it. Teda aj ich súči je v absolútej hodote meší ako. To ale zameá, že suma je kovergetý geometrický rad. Teda. 3. charakteristika polohy a variability ϕx k0 p pe it EX p p DX p p Dôkaz: Dôkaz ie je áročý, preechávame ho čitateľovi. 4. iektoré spojité typy rozdeleí 4.. Rovomeré rozdeleie Ra, b Defiícia 4.4 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia X má rovomeré rozdeleie a itervale a, b, ak má hustotu pre x a, b fx b a a < b; a, b R 0 iak 3. Opäť vyjdeme z obojstraého itervalu spoľahlivosti, ktorý si však predstavíme v tvare X < a < X +, u α Podľa zadaia chceme, aby < a hľadáme. Po dosadeí a výpočte získame > Testovaie štatistických hypotéz 9. Základé pojmy a metódy Štatistická hypotéza H každý predpoklad týkajúci sa rozdeleia F x, θ, z ktorého V pochádza. Testovaie štatistických hypotéz overovaie správosti ášho predpokladu Testovacie kritérium gx,..., X je vhode zvoleá štatistika Kritický obor W je tá časť možiy všetkých realizácií áhodého výberu V, ktoré vedie k zamietutiu testovaej hypotézy. Kritická hodota k α tá hodota, ktorá delí možiy všetkých realizácií V a kritickú oblasť a jej doplok. ulová hypotéza H 0 testovaá hypotéza. Alteratíva hypotéza H hypotéza, ktorú staviame proti ulovej hypotéze H emusí byť doplok H 0 9. Chyby pri testovaí štatistických hypotéz. chyba. druhu testovaú hypotézu H 0 zamietame, hoci je správa. chyba. druhu hypotézu H 0 ezamietame, hoci je espráva Defiícia 9. Pravdepodobosť chyby. druhu je číslo α a azýva sa hladia výzamosti testu. Pravdepodobosť chyby. druhu je číslo β α P g 0 W H 0 β P g 0 / W H a číslo β sa azýva sila testu β P q 0 W H pravdepodobosť, že správe zamietam ulovú hypotézu Pozámka 9. Ideále by bolo, keby sa dalo α, β súčase miimalizovať. Dá sa ukázať, že zižovaím α sa zvyšuje β a aopak. Preto sa zvolí α ľubovoľe malé a hľadá sa kritický obor, ktorý zabezpečí pre daé α miimále β. Dostaeme ajlepší kritický obor a hladie α oz. W α, W 0. ajčastejšou voľbou je α 0,05, príp. 0,, resp. 0,0. Postup pri testovaí štatistických hypotéz. vysloviť hypotézy H 0, H. zvoliť testové kritérium g a hladiu výzamosti α 3. ájsť ajlepší kritický obor W 0 9 apr. môžeme položiť ulovú hypotézu stredá hodota je 5 a alteratívu hypotézu stredá hodota ie je 5 v tomto prípade je alteratíva hypotéza doplkom ulovej. V prípade stredá hodota je 5 a stredá hodota je väčšia ako 5, už alteratíva hypotéza doplkom ie je. Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

7 34 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4 IEKTORÉ ŠPECIÁLE ROZDELEIA 7 iv. Má platiť: P χ X < < χ α α δ α Výsledý iterval spoľahlivosti: X P χ < δ < X χ α α α Pozámka 8.4. Iterval spoľahlivosti má byť čo ajkratší, pre symetrické rozdeleia typu 0,, t to astáva pre α α α, Takéto hodoty sa však používajú aj pri esymetrickom rozdeleí χ.. Ak chceme odhad le z jedej stray, použijeme taký istý postup. Odvodeé odhady sú obojstraé. Možo však uvažovať aj jedostraý odhad resp. jedostraý iterval spoľahlivosti, kedy ezámy parameter je odhad iba zdola príp. iba zhora. Potom rozozávame ľavostraý 8 iterval spoľahlivosti zdola položíme α α, α 0 pravostraý iterval spoľahlivosti zhora položíme α 0, α α Príklad 8.5 Podik dodáva do obchodu balíčky sušieok, ktorých hmotosť má rozdeleie a, 5. áhodým výberom 5 balíčkov sa zistila priemerá hmotosť 50 g. Určte:. 95%-ý iterval spoľahlivosti pre stredú hmotosť. horú medzu stredej hmotosti, ktorá z pravdepodobosťou 0,95 ebude prekročeá 3. aký by mal byť miimály rozsah výberu, ak chceme zaručiť chybu odhadu stredej hmotosti mešiu ako g s pravdepodobosťou 0,95 Riešeie: Zo zadaia V a, 5, 5.. Chceme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak 5 je záme te je takýto: X u α < a < X + u α Bodovým odhadom a je X 50, 5, 5. Chceme 95%-ú spoľahlivosť, teda α 0,95 0,05, α/ 0,05. Môžeme dosadiť: 50 u α < a < 50 + u α Kvatily ájdeme v tabuľkách a po dosadeí ám vyjde požadovaý iterval spoľahlivosti: 48,04 < a < 5,96. a výpočet horej medze potrebujeme vlaste určiť pravostraý iterval spoľahlivosti. Využijeme výpočet z predchádzajúceho bodu: a < X + u α Teraz však položíme α α 0,05. Dosadíme, kvatily ájdeme v tabuľkách a získame 8 Pozor! V publikácii Potocký a kol. je to aopak! a < 5,64 fx a b x Obr. 3: Hustota rovomerého rozdeleia spojitej áhodej veličiy Iterpretácia rovomerého rozdeleia. áhodá veličia X s rovomerým rozdeleím Ra, b reprezetuje dobu čakaia a pravidele sa opakujúcu udalosť. apr. doba čakaia a MHD ak prídeme a zastávku v áhodom okamihu, čas čakaia má rovomeré rozdeleie miimále čakáme 0 miút, maximále miút, kde je časový iterval medzi príchodmi spojov.. distribučá fukcia 0 ak x < a 0 ak x b F x ft dt x b a dt x a ak x a, b b a. charakteristická fukcia Pozámka 4. F x a a Obr. 4: Distribučá fukcia rovomerého rozdeleia ϕt eitb e ita ib at b e itx fx dx b a t R {0} b a e itx dx b a [ e itx EX, DX sa počítajú z defiície, ie podľa vzťahu ϕ k 0 i k m k, lebo bod 0 emôžeme v tomto prípade dosadiť. 3. charakteristika polohy a variability EX x fx dx b x dx [ x b a a b a [ ] EX x 3 b b a b3 a 3 3 a 3b a a + ab + b b DX a + ab + b a + b a ab + b 3 ] b it ] b a b a a b a EX a + b a b Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

8 8 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 8 TEÓRIA ODHADOV Expoeciále rozdeleie Exδ Defiícia 4.5 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia má expoeciále rozdeleie s parametrom δ ak má hustotu fx δ e x/δ ak x > 0 0 ak x 0 Iterpretácia expoeciáleho rozdeleia áhodá veličia X s expoeciálym rozdeleím Exδ reprezetuje dobu čakaia a áhode sa vyskytujúce udalosti dobu čakaia a obsluhu, doba životosti súčiastky.. distribučá fukcia x 0 ak x 0 F x ft dt x δ e t/δ dt [ ] e t/δ x [e x/δ ] e x/δ ak x > 0 δ charakteristická fukcia ϕt 0 δ δ 5 δ 0 δ 5 Obr. 5: Hustota rozdeleia Exδ δ 5 δ 0 δ Obr. 6: Distribučá fukcia rozdeleia Exδ e itx δ e x/δ dx δ [e it x] δ δit e δit x δ dx δ 0 δit 0 itδ, t R [ e δit x V ďalšom budeme pojem áhodá veličia majúca expoeciále resp. ié rozdeleie ozačovať ako X Exδ. δ δit δ ] 0 b Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak je ezáme. i. Vhodým bodovým odhadom pre a je X. ii. Vhodou štatistikou je g X a t S S slúži ako odhad pre ezámy parameter iii. g t α, g t α iv. Má platiť: P t α < X a < t α α S Výsledý iterval spoľahlivosti určíme ho podobe ako v predchádzajúcom prípade: X S t α < a < X + S t α c Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter, ak a je záme. i. Vhodým bodovým odhadom pre je S0 X i a, kde a EX i košt ii. Vhodou štatistikou je g S 0 iii. g χ, g α χ α iv. Má platiť: χ P χ < S 0 α < χ α α V tomto prípade však musíme dať pozor ato, že rozdeleie χ ie je symetrické. Výsledý iterval spoľahlivosti bude teda po úpravách: P S 0 χ α < < S 0 χ α α d Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter, ak a je ezáme.. V Exδ i. Vhodým bodovým odhadom pre je S ii. Vhodou štatistikou je g S χ iii. g χ, g α χ α iv. Má platiť: P χ < S α < χ α α Opäť musíme vziať do úvahy asymetriu rozdeleia χ. Výsledý iterval spoľahlivosti po úpravách: S P χ < < S χ α α Teraz máme le jede prípad - budeme odhadovať parameter δ i. Vhodým bodovým odhadom δ je X ii. Vhodou štatistikou je g X δ iii. g χ, g α χ α χ α Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

9 3 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4 IEKTORÉ ŠPECIÁLE ROZDELEIA 9 g je α -kvatil štatistiky g. Z podmieky P g g α vyplýva, že P g < g α, čo je ekvivaleté tomu, že F g P g < g α. Ďalej opäť použijeme spojitosť a rýdzu mootóosť fukcie F, a obe stray rovosti aplikujeme F. g je teda α -kvatil štatistiky g. F F g F α g F α Príklady koštrukcie pre itervaly spoľahlivosti. V a,. Pre itervaly spoľahlivosti rozdeleia a, máme 4 prípady: a iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak je záme b iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak je ezáme c iterval spoľahlivosti pre parameter, ak a je záme d iterval spoľahlivosti pre parameter, ak a je ezáme. V Exδ. V a, a Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak je záme. Postup: i. Vhodým bodovým odhadom pre a je X. ii. Vhodou štatistikou je g X a 0, iii. g u α, g u α u-kvatily sú kvatily ormovaého ormáleho rozdeleia iv. Má platiť: aším cieľom je vyjadriť parameter a: P P g < g < g α P u α < X a < u α α P u α < X a < u α α P u α X < a < u α X α X u α < a < X u α α Teraz využijeme vlastosť, že u α u α ormovaé ormále rozdeleie je symetrické: P X u α < a < X + u α α 3. charakteristiky polohy a variability Dôkaz: ϕ t EX δ, DX δ iδ iδ itδ itδ + i t δ iδ t δ it + ϕ 0 iδ EX δ ϕ iδ t itδ 3 iδ i δ itδ 3 δ ϕ 0 i 0 3 EX δ 0 3 δ DX EX E X δ δ δ 4..3 ormále rozdeleie a, Defiícia 4.6 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia X má ormále Gaussovo rozdeleie s parametrami a,, ak má hustotu fx π x a e pre x R, a,, > 0 Iterpretácia ormáleho rozdeleia. áhodú chybu v meraí.. distribučá fukcia áhodá veličia X a, reprezetuje apr. x F x ft dt x e t a dt π Teto itegrál ale emá primitívu fukciu medzi elemetárymi fukciami. Preto sa hodoty F x aproximujú pre špeciály prípad a 0,, čím dostaeme tzv. ormovaé štadardizovaé ormále rozdeleie , -5,5 5, Obr. 7: Hustota rozdeleia a, pre rôze hodoty a, Iterval spoľahlivosti je teda X u α ; X + u α. charakteristická fukcia Parameter čítame sigma kvadrát. ϕt e ita t Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

10 0 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 8 TEÓRIA ODHADOV 3 3. charakteristiky polohy a variability ormovaé ormále rozdeleie. ϕ t e ita t ia t eita t ia t ϕ 0 ia EX a ϕ t e ita t ia t ia t + e ita t ϕ 0 i a + EX a + DX EX E X a + a U X EX DX ech X a,. Potom áhodá veličia X a 0, Dôkaz: Ak X a, práve vtedy, keď ϕ X t e ita t. Chceme dokázať, že U 0, práve vtedy, keď ϕ U t e t. Počítajme: ϕ U t ϕ X a v.?? t ϕ δ X+ a t e it a ϕx t e it a e i t a / t e ita e ita / t e t Pozámka 4. Distribučá fukcia ormovaého ormáleho rozdeleia sa zvyke ozačovať Φu. Veta 4. pravidlo 3 ech X a,. Potom P X a < 3 0,9973. Dôkaz: X a P X a < 3 P < 3 Z vlastostí ormovaého ormáleho rozdeleia má áhodá veličia X a U 0,. Teda máme P U < 3 P U 3, 3 Φ3 Φ 3 Φ3 Φ3 Φ3 0, ,9973 Pozámka 4.3 Výzam rozdeleia 0, Z ormovaého ormáleho rozdeleia sa dajú odvodiť tri špeciále typy rozdeleí χ, t a F -rozdeleie, ktoré sú dôležité v matematickej štatistike. Súčet veľkého počtu ezávislých áhodých veličí má za veľmi všeobecých podmieok približe ormovaé ormále rozdeleie. To je podstatou cetrálych limitých viet Chí-kvadrát rozdeleie χ -rozdeleie Defiícia 4.7 Hovoríme, že áhodé veličiy X, X,..., X sú ezávislé, ak sú ezávislé im odpovedajúce javy, t. j. platí P X < x, X < x, X 3 < x 3 P X i < x i a ájdeie maxima tejto fukcie je potrebé ájsť body, v ktorej adobúda prvá derivácia ulovú hodotu a z ich vybrať bod, v ktorom druhá derivácia je záporá. Overeie druhej derivácie: λ l Lx, λ x i λ λ x i 0 λ x i X λ λ l Lx, λ λ λ λ λ x i λ λ čiže aozaj: X je maximálym vierohodým odhadom parametra λ. 8. Itervalové odhady Cieľom je a základe realizácie áhodého výberu V skoštruovať taký iterval θ, θ, ktorý s vopred daou pravdepodobosťou obsahuje ezámy parameter θ. Defiícia 8.8 ech áhodý výber V F x, θ, kde θ Θ. Iterval θ, θ, kde θ, θ, pre ktorý platí < 0 P θ < θ < θ θθ0 α, 8.6 kde α 0,, θ 0 je skutočou hodotou parametra θ a θ, θ 0 Θ; sa azýva 00 α%-ý iterval spoľahlivosti pre parameter θ. Číslo α sa azýva koeficiet spoľahlivosti. Pozámka 8.3 Číslo α si volíme ajčastejšie α 0,05 príp. 0,0 alebo 0,, tz. dostaeme 95% 90%, 99% iterval spoľahlivosti. Postup pri koštrukcii itervalu spoľahlivosti. Vychádzame z ejakého vhodého bodového odhadu parametra θ. Doplíme bodový odhad a vhodú štatistiku g 3. ájdeme čísla g, g také, že P g g α, P g g α, 8.7 kde α + α α, g < g, α, α, α 0,, g, g R. 4. Sčítaím rovíc 8.6 a 8.7 dostaeme P g g + P g g α + α α P g < g < g α Zo vzťahu 8.8 ekvivaletými úpravami získame tvar 8.6. P g < g < g α 8.8 Čísla g, g vo vzťahu 8.7 sú vlaste kvatily, ak distribučá fukcia štatistiky g je spojitá a rastúca. Zo spojitosti distribučej fukcie tiež vyplýva, že P g g α P g < g, čo je vlaste iverzá fukcia F. Teda F g α g F α, Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

11 30 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4 IEKTORÉ ŠPECIÁLE ROZDELEIA Defiícia 8.4 Hovoríme, že bodový odhad g gx,..., X je ajlepším estraým odhadom parametra θ rozdeleia F x, θ, ak platí:. Eg θ. Dg Dg, pre g ľubovoľý estraý odhad Defiícia 8.5 Hovoríme, že bodový odhad g gx,..., X je kozistetým odhadom parametra θ rozdeleia F x, θ, ak platí: ε > 0 : lim P Eg θ ε 0 Pozámka 8. a určeie kozistetosti bodového odhadu sa epoužíva defiícia, ale postačujúca podmieka: lim Eg θ & lim Dg 0 g je kozistetý odhad Metóda hľadaia vhodého bodového bodového odhadu metóda maximálej vierohodosti Defiícia 8.6 ech áhodý výber V pochádza z rozdeleia daého hustotou zákoom rozdeleia f i x i, θ, kde θ Θ. Vierohodostou fukciou azývame fukciu Lx, θ Lx,..., x, θ f i x i, θ Defiícia 8.7 Maximále vierohodým odhadom parametra θ rozdeleia F x, θ azývame taký bod θ, v ktorom vierohodostá fukcia adobúda maximum, t. j. Hľadaie θ. 0 θ θ. Lx,θ θ Lx,θ θ θ θ < 0 θ Θ : Lx, θ Lx, θ V prípade, že hustota je expoeciáleho typu, tak θ ájdeme ako bod, v ktorom adobúda maximum fukcia l Lx, θ. Príklad 8. ech V Poλ. ájdite maximály vierohodý odhad parametra λ. Riešeie: X Poλ p k P X x k λk k! e λ. Počítajme vierohodostú fukciu: Lx, λ λ xi x i! e λ xi λ ii x i! e λ V tomto prípade bude výhodejšie počítať maximum logaritmu vierohodostej fukcie. xi llx, λ l λ l x i! λ x i l λ l x i! λ Defiícia 4.8 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia Y má chí-kvadrát rozdeleie o stupňoch voľosti, ak má hustotu f y Γ y e y ak y > 0 0 ak y 0 Ozačujeme Y χ Vlastosti rozdeleia chí-kvadrát. χ 5 χ 0 χ Obr. 8: Hustota rozdeleia χ. Rozdeleie χ ie je symetrické 3. Kvatily sa tabelizujú pre,..., 00. Pre > 00 sa toto rozdeleie aproximuje ormálym rozdeleím,.. Charakteristická fukcia, charakteristiky polohy a variability. 3. Platí asledová vlastosť: ϕt, EY, DY it Y χ Y kde X i 0, a veličiy X i sú ezávislé Studetovo rozdeleie t-rozdeleie X i, Defiícia 4.9 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia T má Studetovo rozdeleie t-rozdeleie o stupňoch voľosti, ak má hustotu f t + β, + t 3 Čím väčšie je, tým má rozdeleie bližšie k symetrickému. pre t,, Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

12 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 8 TEÓRIA ODHADOV Obr. 9: Hustota rozdeleia t Platí: ϕ g t ϕ X t ϕ Xi ϕ t. Predstavme si čley v dolom idexe v tvare Xi ax + b a /, X bude tvoriť suma, a b bude ulové. Veta??, bod 3. hovorí, že ϕ ax+b e itb ϕ X at. Použijeme ju a áš prípad: ϕ g t e 0 ϕ t vl. ϕ ϕ Xi δ t. Použijeme teraz predpoklad o expoeciálom rozdeleí a teda posledý ϕ g t i δ t δ it }{{} košt. pre i Xi it it Ak sa pozrieme a posledý čle a a rovosť v 7.5, zistíme, že ϕ g t je práve v tomto tvare, až a parameter, ktorý je v posledom člee dvojásobý. Preto Vlastosti t-rozdeleia. Rozdeleie t je symetrické. Kvatily sú tabelovaé pre 30. Pre väčšie sa toto rozdeleie aproximuje pomocou rozdeleia 0,.. Charakteristiky polohy a variability. 3. Platí: ET 0, DT, pre > T t T kde X i 0, a veličiy X i sú ezávislé. X X i 4..6 Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie F -rozdeleie Defiícia 4.0 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia Z má Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie F -rozdeleie s, stupňami voľosti, ak má hustotu fz β z + + z ak z > 0, 0 ak z 0 Vlastosti F -rozdeleia. Rozdeleie F, ie je symetrické. Kvatily sú tabelovaé pre 00, 00. Pre > 00 alebo > 00 odhadujeme toto rozdeleie ormálym rozdeleím EZ, DZ. Pre iterpoláciu kvatilov v tabuľkách sa používa vzťah. Charakteristiky polohy a variability. F α, F α, EZ, DZ + + 4, > Teória odhadov g X χ. Úlohou teórie odhadov je a základe áhodého výberu V čo ajlepšie odhadúť ezámy parameter θ rozdeleia F x, θ. Rozozávame dva typy: bodový odhad itervalový odhad 8. Bodové odhady Úlohou bodového odhadu je ahradiť ezámu hodotu parametra θ hodotou vhode zvoleej štatistiky. Defiícia 8. ech V F x, θ, kde θ Θ. Bodovým odhadom parametra θ azývame ľubovoľú vhode zvoleú fukciu áhodého výberu štatistiku g, takú, že Kritéria vhodosti bodového odhadu estraosť evychýleosť kozistetosť výdatosť... g gx,..., X Defiícia 8. ech V F x, θ, kde θ Θ. Hovoríme, že bodový odhad g gx,..., X je estraým evychýleým odhadom parametra θ, ak platí: Eg EgX,..., X θ Defiícia 8.3 Hovoríme, že bodový odhad g gx,..., X je asymptoticky estraým odhadom parametra θ rozdeleia F x, θ, ak platí: lim EgX,..., X θ Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

13 8 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 5 CETRÁLE LIMITÉ VETY 3 3. Počítajme: g S def. X i X X i a X a [ ] X i a + X a X i a X a X i a X a X i a + X a Použijeme teraz trik: upravíme sumu X i a: X i a X i a X i a X a a pokračujeme vo výpočte g g X i a X a X i a + X a 5 X i a X a + X a 5 Xi a X a Xi a X a V poslede uvedeom rozdieli má mešeec rozdeleie χ pozri začiatok dôkazu bodu. Ak sa pozrieme do mešiteľa a výraz pod mociou, tak vidíme, že teto výraz má rozdeleie 0,. Jeho mocia má však rozdeleie χ 6?. Celý rozdiel má teda tiež rozdeleie χ 7, čo sme chceli dokázať. 4. Z vlastostí t-rozdeleia vzťah 4. vieme, že T X X i t, ak X 0, a sú X i sú ezávislé. je potrebé dopísať dôkaz Veta 7.4 ech V Exδ. Potom g X δ χ. Dôkaz: Dôkaz vykoáme metódou charakteristických fukcií. Z vlastostí rozdeleí platí: 6 Je iekde vpredu taká veta 7 Je veta o tom, že súčet zachováva rozdeleie? X Exδ akk ϕ X t itδ 7.4 Y χ akk ϕ Y t it / áhodá veličia Z F, práve vtedy, keď Z Y Y X i, X i kde Y i χ i, pre i, a X,..., X, X,..., X 0, a sú avyše ezávislé. 5 Cetrále limité vety Podstatou cetrálych limitých viet je fakt, že súčet veľkého počtu ezávislých áhodých veličí za veľmi všeobecých podmieok má asymptoticky ormále rozdeleie. Tieto podmieky spresia asledové tri vety. Veta 5. Moivre-Laplace ech S X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s rozdeleím X i Bi, p Ap vykoávame le jede pokus. Potom ormovaá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: Ŝ S p 0,, p p t. j. Veta 5. Feller-Lideberg ech S lim F s Φs Ŝ X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s idetickým rozdeleím a s koečou stredou hodotou EX i a < a koečou disperziou DX i < pre i,...,. Potom áhodá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: Ŝ S a 0,, Veta 5.3 Ljapuov ech S X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s koečou stredou hodotou EX i < pre i,..., a koečou disperziou DX i < pre i,...,. ech platí Ljapuovova podmieka 3 E X i EX i 3 lim DX i Potom áhodá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: 0 S EX i Ŝ 0, DX i Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

14 4 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 7 POPISÁ ŠTATISTIKA A ÁHODÝ VÝBER 7 6 áhodé vektory viacrozmeré áhodé veličiy 6. Združeé a margiále rozdeleie ech je daý pravdepodobostý priestor Ω, A, P. Uvažujme kartézsky súči itervalov I, x, x..., x, kde x i R, pre i,...,. Defiícia 6. Zobrazeie X X, X,... X : Ω R sa azýva áhodým vektorom v R, ak vzorom ľubovoľého itervalu v R typu I je jav, t. j. platí X I {ω Ω : X ω < x, X ω < x,..., X ω < x } A Pozámka 6. Vektor X, X,..., X je áhodý vektor práve vtedy, ak zložky X i sú áhodé veličiy. Defiícia 6. Reála fukcia F X : R 0, defiovaá vzťahom F X x, x,..., x P X < x, X < x,..., X < x sa azýva združeou distribučou fukciou áhodého vektora X,..., X. Distribučé fukcie zložiek áhodého vektora F i x i pre i,..., azývame margiále distribučé fukcie. Veta 6. ech F X x,..., x je združeou distribučou fukciou áhodého vektora X X,..., X. Potom platí: lim F x,..., x a lim F x,..., x 0 i:xi i:xi F x,..., x je eklesajúca vzhľadom a každú premeú F x,..., x je zľava spojitá vzhľadom a každú premeú Dôkaz: Dôkaz je podobý ako v prípade R pozri miulý semester. Veta 6. ech F x,..., x je združeou distribučou fukciou áhodého vektora X,..., X. Potom pre margiále distribučé fukcie zložiek platí: F Xi F i x i lim x j j i F x,..., x Dôkaz: Dôkaz urobíme pre. Bez ujmy a všeobecosti chceme dokázať, že F x lim F x, x. Uvažujme postuposť reálych čísel {x } x takú, že pre ide {x }. Potom lim F x, x x lim x F x, x lim x P X < x, X < x Ozačme A {ω Ω : X ω < x X ω < x }. Postuposť javov {A } je rastúca ezabudite si to premyslieť! a preto podľa pozámky?? je lim A A. Pokračujeme vo výpočte výrazu : lim P A spojitosť P P lim A x x P A Máme V X,..., X. Jedotlivé zložky X i a, práve vtedy, keď ϕ Xi t e it a t Zaškatuľkovaé sú práve EX i a a DX i. Pre X by teda malo platiť: ϕ Xt e it a t. Overme to: ϕ Xt ϕ vl. ϕxt t Xi ϕ Xi t Jedotlivé veličiy X i sú ezávislé, môžeme teda použiť vetu 6.5, bod 3. t ϕ Xt ϕ Xi e i a t t e i a t t e ita čo sme chceli overiť. 7.3 Štatistika a jej rozdeleie Defiícia 7. ech V F x, θ, θ Θ. Štatistikou azývame takú fukciu áhodého výberu V, rozdeleie ktorej ezávisí od parametra θ rozdeleia F x, θ, z ktorého výber pochádza. g gx,..., X Veta 7.3 ech V a,. Potom pre asledové štatistiky platí:. g X a. g S 0 0, χ 3. g S χ 4. g X a S t Dôkaz:. Overme, či g X a 0,. V X,..., X a,, teda aj jedotlivé zložky X i a,. Z vety 7. vieme, že X a, t,. Teda E X a, D X a môžeme rozdeleie ormovať, čím dostávame X a / X a 0,. Platí 5, že Y X i χ práve vtedy, keď X i 0, a áhodé veličiy X i sú ezávislé. Chceme ukázať, že uvedeá štatistika g sa dá apísať v tomto tvare. g S 0 X i a Xi a Z predpokladu X i a,, teda Xi a 0,. Potrebujeme overiť ešte ezávislosť, ale tá je zaručeá už z defiície áhodého výberu V je tvoreý ezávislými áhodými veličiami. Overili sme oba predpoklady a teda z ekvivalecie vyplýva požadovaé rozdeleie χ. 5 ale skäde? Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

15 6 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri. charakteristiky variability výberové rozptyly S S 0 S X i X X i a, a EX i je košt. pre všetky i X i X eskôr ukážeme, že S [čítame: S kvadrát] ie je dobrou charakteristikou variability. Výberový rozptyl S 0 [S 0 kvadrát] budeme používať, ak pozáme stredú hodotu. Ak ju epozáme, použijeme výberový rozptyl S [S kvadrát]. 3. charakteristiky závislosti výberový korelačý koeficiet kde K X,Y R X,Y K X,Y, S X S Y X i Y i X Ȳ a S X X X. Veta 7. ech áhodý výber V pochádza z rozdeleia F x, θ, ktoré má koečú stredú hodotu EX i a pre i,..., a koečú disperziu DX, pre i,...,. Potom. E X a. D X 3. ES 0 ES 4. ES Dôkaz:. EX E. DX D X i 3. ES0 E X i D EX i EXi a a a X i }{{} ezávislé DX i DXi a X i a EX i a EX i EX DX 4. Druhú erovosť v 3 a dôkaz 4 zatiaľ poechávame a pozorého čitateľa Veta 7. ech V a,. Potom X a,. Dôkaz: Dôkaz urobíme metódou charakteristických fukcií. Už vieme, že parametrami ormáleho rozdeleia, z ktorého pochádza X, sú a, pozri predošlá veta. Chceme ukázať, že X má práve ormále rozdeleie. 6 ÁHODÉ VEKTORY VIACROZMERÉ ÁHODÉ VELIČIY 5 P {ω Ω : X ω < x X ω < x } P {ω Ω : X ω < x } {ω Ω : X ω < x } distr. záko P {ω Ω : X ω < x } {ω Ω : X ω < x } Pozrime sa teraz a prieik pod pravdepodobostou fukciou. Prvý čle tvorí vlaste X < x, druhý čle je celý pravdepodobostý priestor Ω pretože x a zjedocujeme rastúcu postuposť. Ich prieik je teda práve prvý čle prieiku a teda môžeme pokračovať vo výpočte: P X < x F x F X x Pozámka 6. Podľa vety 6., ak pozáme združeú distribučú fukciu, vieme určiť jedozače všetky margiále distribučé fukcie. Vo všeobecosti to aopak eplatí; ak pozáme margiále distribučé fukcie, evieme jedozače skoštruovať združeú distribučú fukciu. Výimku tvorí prípad ezávislých áhodých veličí. Ak P X < x,... X < x P X i < x i, potom F x,..., x F i x i. 6. Diskréte a absolúte spojité rozdeleie v R Defiícia 6.3 Hovoríme, že áhodý vektor X, Y má diskréte rozdeleie, ak existujú postuposti reálych čísel {x i } i I, {y j } j J a odpovedajúca postuposť kladých čísel {p ij } i I,j J tak, že platí: p ij P X x i, Y y j & p ij a F x, y xi<x yj<y p ij i I j J Pravdepodobosť p ij sa azýva združeý záko rozdeleia áhodého vektora X, Y. Defiícia 6.4 Hovoríme, že áhodý vektor X, Y má absolúte spojité rozdeleie, ak existuje ezáporá, v R itegrovateľá fukcia fx, y taká, že platí: fx, y dy dx & F x, y x y fu, v dv du Fukcia fx, y sa azýva združeou hustotou áhodého vektora X, Y a platí fx, y F x, y x y Veta 6.3 ech p ij je združeý záko rozdeleia diskréteho áhodého vektora X, Y. Potom pre margiále zákoy zložiek platí: p i p ij a p j p ij j i Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

16 6 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 7 POPISÁ ŠTATISTIKA A ÁHODÝ VÝBER 5 Dôkaz: Bez ujmy a všeobecosti dokážeme prvý vzťah druhý vzťah sa dokáže aalogicky. Vyjdeme z margiálej distribučej fukcie v. 6. def. F x lim F x, y lim y y xi<x yi<y p ij xi<x lim y yi<y p ij Ak y a počítame sumu cez všetky y j < y, je to v podstate to isté ako výpočet sumy pre všetky j. Máme teda F x p ij, z čoho p i p ij xi<x j j }{{} pi Veta 6.4 ech fx, y je združeou hustotou spojitého áhodého vektora X, Y. Potom pre margiále hustoty zložiek platí: f x fx, y dy a f y fx, y dx Dôkaz: Opäť bez ujmy a všeobecosti dokážeme prvý vzťah a opäť vyjdeme z margiálej distribučej fukcie: F x v. 6. lim y x F x, y def. lim lim y y y x y fu, v dv du fu, v dv du x fu, v dv du Ozačme v posledom dvojom itegráli fu fu, v dv a to sa ám hodí do defiície, pretože F x x fu du. Stačí už le premeovať premeé vo vyjadreí fu a dostaeme požadovaé tvrdeie. Pozámka 6.3 V časti 6. sme vybudovali aparát potrebý a dokázaie vety??, bod 3. EaX ± by aex ± bey Dôkaz: Podľa vety o preose itegrácie pre fukciu dvoch premeých platí: EaX ± by ax ± by fx, y dy dx }{{} gx,y a x fx, y dy v. 6.3 a x f x dx ± b dx ± b y fx, y dx dy y f y dy a EX ± b EY 6.3 Podmieeé rozdeleie v R Defiícia 6.5 ech X, Y je diskréty áhodý vektor so združeým zákoom rozdeleia p ij P X x i, Y y j, i I, j J. určíme variačé rozpätie R x max x mi. určíme počet itervalov k typicky 5 k 5 3. určíme dĺžku itervalu a i, b i : h. R, pričom h vhode zaokrúhlime ahor ak by sme k zaokrúhľovali adol, posledá hodota by emusela patriť do žiadeho itervalu 4. zostrojíme tabuľku početostí pre itervaly, pričom početosť itervalu bude počet hodôt, ktoré padú do itervalu. Za reprezetata itervalu berieme považujeme stred itervalu x i. 5. akreslíme histogram stĺpčeky šírky h 6. vypočítame charakteristiky zaku x k x i m i x kor a i + h j i m j m i x kor x i + h m i+ m i m i m i+ m i 7. áhodý výber a výberové charakteristiky evýhodou popisej štatistiky je utosť vyčerpávajúceho zisťovaia, čo v praxi často zameá potrebu fiacií, času atď. Rovako meraie môže v iektorých prípadoch spôsobiť zičeie meraého prvku, čo opäť zemožňuje opakovaé zisťovaie. Upustíme teda od tohto spôsobu zisťovaia a budeme realizovať áhodé reprezetatíve výbery o rozsahu. Prvky reprezetatívej vzorky sú ositeľmi hodôt sledovaého zaku x i, možo ich považovať za áhodé veličiy X i. Defiícia 7. -rozmerý áhodý vektor V X,..., X, kde X i pre i,..., sú ezávislé áhodé veličiy s idetickým áhodým rozdeleím F i x i, θ F x, θ, sa azýva áhodý výber o rozsahu z rozdeleia F x, θ. oz. V F x, θ Pozámka 7.. θ je ezámy parameter s hodotami z parametrického priestoru Θ.. Keďže zložky V sú ezávislé, pre distribučú fukciu áhodého vektora platí: F x,..., x, θ F i x i, θ Charakteristiky áhodého výberu sú dobrými odhadmi skutočých charakteristík základého štatistického súboru.. charakteristika polohy výberový priemer X X i Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

17 4 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 6 ÁHODÉ VEKTORY VIACROZMERÉ ÁHODÉ VELIČIY 7 mediá x prostredá hodota. Hodoty usporiadame podľa veľkosti a ájdeme prostredú hodotu. x + ak je epáre x x + x ak je páre V prípade, že je páre, v podstate umelo vytvoríme prostredý čle. Charakteristiky variability štatistického zaku aalógia k DX s [s-kvadrát]. s K x i x m i x i x Aalogicky podľa výpočtového tvaru DX m m máme aalógia k QX s x i x QX x 0,75 x 0,5 Hodoty x 0,5 a x 0,75 určíme podobe ako pri mediáe. Dohoda: ak hodota x existuje, zarátame ju dvakrát, iak ie. variačé rozpätie R x max x mi variačý koeficiet zaku x V x s x x 00% Ak V x < 30%, hovoríme o dobrej charakteristike. V prípade, že V x > 50%, je potrebé použiť ié charakteristiky polohy. charakteristiky závislosti zakov. a každom prvku štatistického súboru sledujeme dva zaky korelačý koeficiet rx, y Výraz kx, y je kovariacia odhad. rovica regresej priamky kx, y s x s y, kde kx, y x i xy i ȳ. regresá priamka: y ȳ rx, y sy s x x x. regresá priamka: x x rx, y sx s y y ȳ resp. iý tvar. regresej priamky: y ȳ rx, y sy s x x x Pozámka 7. Ak je rôzych hodôt štatistického zaku veľa 0, potom dáta triedime do itervalov typu a i, b i alebo a i, b i tak, že každý krajý bod je tam práve raz. Postup: Potom podmieeé rozdeleie áhodého vektora X za predpokladu Y defiujeme ako P X x i Y y j P X x i, Y y j, i I, j J, pričom P Y y j > 0 P Y y j Odpovedajúca podmieeá distribučá fukcia je daá vzťahom F x y xi<x P X x i Y y j Defiícia 6.6 ech X, Y je spojitý áhodý vektor, ktorého rozdeleie je daé združeou hustotou fx, y. Potom podmieeá hustota áhodej veličiy X za podmieky Y defiujeme ako fx y fx, y f y Odpovedajúca podmieeá distribučá fukcia je defiovaá vzťahom F x y Pozámka 6.4. Aalogicky defiujeme fukciu F y x. x ft y dt. Môžeme defiovať aj podmieeé charakteristiky podľa vzťahu EX k Y spoj. 6.4 Charakteristiky áhodého vektora x k fx y dx. Charakteristika polohy áhodého vektora X, X,..., X je defiovaá ako vektor stredých hodôt EX,..., X EX,..., EX. Defiícia 6.7 Kovariačou maticou K X áhodého vektora X X,..., X azývame symetrickú maticu daú prvkami K ii DX i, i,..., K ij E[X i EX i X j EX j ] covx i, X j, i,..., ; i Číslo K ij covx i, X j azývame kovariaciou áhodých vektorov X i, X j. Defiícia 6.8 Korelačou maticou áhodého vektora X X,..., X azývame symetrickú maticu R X ϱ ij i,j s prvkami ϱ ii, i,..., ϱ ij covx i, Y j DXi DX j, i, j,...,, pričom DX i > 0, i,..., Číslo ϱ ij ϱx i, X j sa azýva korelačý koeficiet áhodých vektorov X i, X j, pričom i j. Pozámka 6.5. Disperzia variacia, rozptyl je špeciálym prípadom kovariacie pre i j. Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

18 8 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 7 POPISÁ ŠTATISTIKA A ÁHODÝ VÝBER 3. Výpočtový tvar kovariacie je Tabuľkové spracovaie dát. Usporiadame dáta do eklesajúcej postuposti covx i, X j E[X i EX i X j EX j ] E[X i X j X i EX j X j EX i +EX i EX j ] }{{}}{{} košt. košt. EX i X j EX i EX j EX j EX i + EX i EX j EX i X j EX i EX j. Veta 6.5 ech áhodé veličiy X, Y sú ezávislé. Potom platí:. EX Y EX EY. DX ± Y DX + DY 3. ϕ X+Y t ϕ X t ϕ Y t Dôkaz:. ech X, Y sú ezávislé. To je však práve vtedy, ak zodpovedajúce javy sú ezávislé a teda F x, y F x F y, ale aj fx, y f x f y. Podľa vety o preose itegrácie: EX }{{ Y } gx x y fx, y dy dx ezávislosť Podľa vety z matematickej aalýzy možo posledý čle apísať ako: x f x dx y f y dy EX EY xy f x f y dy dx x x... x Ak sa údaje opakujú, vziká tabuľka početostí, obsahuje absolúte a relatíve početosti, kumulatíve početosti a kumulatíve relatíve početosti. x i x x... x K absolúta početosť m i m m... m K K m i relatíva početosť kumulatíva početosť kumulatíva relatíva početosť mi m m... K m i m m + m... K mi m m+m... mk K m i K mi K m i K mi Keďže podľa zákoa veľkých čísel mi p i pre, môžeme defiovať empirickú distribučú fukciu z ameraých hodôt. Distribučú fukciu odhademe z tabuľky kumulatívych relatívych početostí. F x m i xi<x Grafické metódy. Polygó je spojicový diagram spájajúci ajčastejšie body [x i, m i ]. Histogram je stĺpcový diagram. Používa sa v prípade veľkého možstva hodôt do 0 v tomto m i. Pre kovariaciu platí, že covx, Y EX Y EX EY a EX EY EX EY 0. Podľa vety??, bodu 3. o vlastostiach disperzie, platí rovosť DX ± Y DX + DY ± covx, Y DX+DY. Čle covx, Y je však rový ule, preto dostávame požadovaú rovosť. 3. Vyjdime z defiície charakteristickej fukcie: ϕ X+Y t Ee itx+y Ee itx e ity. Pozrime sa bližšie a obidva čley vo vútri. Premeé i, t v expoete sú koštaty, áhodé veličiy X a Y sú ezávislé. Potom sú ale ezávislé aj čley itx a ity a dokoca aj čley e itx a e ity. Ďalej podľa už dokázaého bodu máme po úprave Ee itx Ee ity ϕ X t ϕ Y t, čo sme chceli dokázať.... Pozámka 6.6 Posledú vetu možo zovšeobeciť: stredú hodotu súčiu ezávislých veličí možo spočítať ako súči ich stredých hodôt, disperziu súčtu ezávislých veličí možo vyrátať ako súčet ich disperzií, a charakteristickú fukciu súčtu ezávislých áhodých veličí možo vypočítať ako súči charakteristických fukcií jedotlivých áhodých veličí. Skrátee zapísaé: E X i EX i, D X i DX i, t ϕ Xi t ϕ Xi Veta 6.6 vlastosti ϱx, Y ech ϱx, Y je korelačý koeficiet áhodého vektora X, Y. Potom platí:. ak X, Y sú ezávislé, potom ϱx, Y 0. ak X, Y sú lieáre závislé, potom ϱx, Y prípade zadelíme hodoty do itervalov. Výpočtové metódy. Charakteristiky polohy štatistického zaku: aritmetický priemer x budeme ho používať ako odhad stredej hodoty. x x i K x i m i modus x ajpočetejšia hodota zaku x x i Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

19 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 6 ÁHODÉ VEKTORY VIACROZMERÉ ÁHODÉ VELIČIY 9 Časť II Matematická štatistika História koree už v staroveku. Starovek sčítaie ľudu a majetku vojeské a daňové účely Egypt, Čía, Mezopotámia Stredovek vzik a kosolidácia ových štátov zisťovaie geografických údajov, hospodársky a politický popis štátu. status stav štátu. ovovek 7. stor. politická aritmetika v aglosaských krajiách Petty, Grad. Vzik zárodkov poisťovíctva a z toho vyplývajúca tvorba úmrtostých tabuliek Huyges. Do 0. storočia tzv. popisá štatistika, hlavý pricíp je vyčerpávajúce zisťovaie čím viac údajov, tým lepšie výsledky. 0. stor. využívaie aparátu pravdepodobosti v jadre. Vzik matematickej iduktívej štatistiky pricíp spočívajúci v áhodom výbere 7 Popisá štatistika a áhodý výber 7. Základé pojmy a metódy Štatistický súbor skupia prvkov, ktoré sú predmetom štatistického skúmaia a ktoré majú spoločú vlastosť. apr. skupia študetov a predáške, skupia výrobkov vyrobeých a jedom stroji Rozsah štatistického súboru počet prvkov štatistického súboru. Ozačujeme. Štatistický zak sledovaá vlastosť prvkov. Ozačujeme x. apr. váha, výška, vedomosti, farba očí. Štatistické dáta ameraé hodoty štatistického zaku Oz. x, x,..., x. Deleie štatistických zakov kvatitatíve dajú sa jedozače čísele vyjadriť kvalitatíve edajú sa vyjadriť jedozače číslom, saha je ich kvatifikovať Etapy štatistickej práce. štatistické zisťovaie hromadeie dát. spracovaie štatistických dát 3. vyhodocovaie výsledkov; záver pre prax Štatistické zisťovaie hromadeie dát. Štatisticky sa zisťujú dáta, je potrebá dôkladá evidecia. Získame východzie dáta x, x,..., x. Spracovaie štatistických dát.. tabuľkové. grafické 3. výpočtové Spracovaie sa koá troma spôsobmi: 3. ak X, Y sú ľubovoľé áhodé veličiy, tak ϱx, Y Dôkaz:. Ak X, Y sú ezávislé, potom podľa vety 6.5, bodu platí, že EX Y EX EY. Pre kovariaciu platí: covx, Y EX Y EX EY 0. Ale potom ϱx, Y covx,y 0. }{{} DX DY EX EY. ech X, Y sú lieáre závislé. Bez ujmy a všeobecosti môžeme predpokladať, že Y ax+b. Počítajme: ϱx, Y z výp. tvaru EX Y EX EY E[X ax + b] EX EaX + b DX DY DX DaX + b V ďalšom kroku využijeme vlastosti stredej hodoty a disperzie. Ďalej si všimeme čle DaX + b v meovateli. Veličiy ax a b sú zrejme ezávislé, môžeme teda použiť vetu 6.5, pričom však Db 0. Teda ϱx, Y vl. E, D aex + b EX aex b EX DX a DX Teraz odmocíme čley v meovateli. Keďže DX > 0, máme po vyásobeím oboch DX a ich ásledom odmoceí čle DX. Koštata a po odmoceí ám však dá a. V čitateli ám po sčítaí vypadú čley b EX a zo zvyšých dvoch čleov vyjmeme a pred zátvorku. ϱx, Y aex EX a DX Z posledých alteratív teda vyplýva, že ϱx, Y. a DX a DX a { ak a > 0 a ak a < 0 3. ech X, Y sú ľubovoľé. Uvažujme výraz E[tX EX + Y EY] 0. Ak výraz vo vútri stredej hodoty ebude záporý, tak aj stredá hodota bude ezáporá. Upravujme postupe teto výraz: E[t EX EX + X EY + tx EXY EY] 0 t DX + DY + t covx, Y 0 Uvažujme kvadratickú rovicu s premeou t. Počítajme diskrimiat za predpokladu, že rovica má ajviac jede reály koreň. 4 cov X, Y 4 DX EY 0 cov X, Y DX DY, 6. a cov X, Y Postupe predelíme zlomok výraz je ezáporý vyplýva to z erovostí 6. a 6., aby sme a pravej strae získali a odmocíme s ohľadom a absolúte hodoty: cov X,Y DX DY covx,y DX DY covx,y DX DY 0 ϱx, Y Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr

20 0 PRAVDEPODOBOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 6 ÁHODÉ VEKTORY VIACROZMERÉ ÁHODÉ VELIČIY Pozámka 6.7. K tvrdeiu ak X, Y sú ezávislé, potom ϱx, Y 0 obráteá veta eplatí.. K tvrdeiu ak X, Y sú lieáre závislé, potom ϱx, Y platí aj opačé tvrdeie. Korelačý koeficiet ϱx, Y je mierou lieárej závislosti. V matematickej štatistike sa používa: ak ϱx, Y > 0,8, hovorieva sa o silej lieárej závislosti, ak 0,3 ϱx, Y 0,8 ide o mieru lieáru závislosť, ak ϱx, Y < 0,3, hovoríme o slabej lieárej závislosti. 6.5 Regresia ako tred závislosti Tred smer závislosti áhodých veličí X, Y sa dá graficky zázoriť tzv. regresou čiarou. Y X Y X Y X Y Obr. 0: Lieára, parabolická, hyperbolická závislosť a ezávislosť V praxi sa ajčastejšie používa lieára závislosť, ktorej zodpovedá regresá priamka 4. Defiícia 6.9 Regresou priamkou závislosti Y a X. regresou priamkou azývame priamku kde koeficiety a, b spĺňajú podmieku y ax + b, X Sa,b a Sa,b b 0 stacioáry bod 0 stacioáry bod. difereciál má byť kladý Upravme ajprv košt. {}}{ Sa, b E[Y EY ax EX + EY aex b] E [ Y EY + a X EX + + ax EXY EY + Y EY a X EX ] Aplikujme E : DY + a DX + EY aex b a covx, Y + 0 Počítajme parciálu deriváciu podľa a: Sa, b a Sa, b b adx + EY aex b EX covx, Y EY aex b Obe parciále derivácie položíme rové 0, teda ich môžeme upraviť adx + EY aex b EX covx, Y EY aex b Postupou úpravou dostaeme a covx, Y DX a[dx + E X] + bex covx, Y + EX EY b EY a EX covx, Y DY DY ϱx, Y DX DY DX DX Potrebujeme však ešte overiť, že druhý difereciál je aozaj kladý. Túto úlohu však preechávame a čitateľa. a E[Y ax + b] je miimále koeficiety miimalizujú stredú kvadratickú odchýlku. Koeficiety a, b azývame regresými koeficietami. Veta 6.7 ech ϱx, Y je korelačý koeficiet áhodých veličí X, Y. Pre. regresú priamku závislosti Y a X platí: DY y EY ϱx, Y x EX DX Potom a ϱx, Y DY DX, b EY aex. Dôkaz: Dôkaz vykoáme použitím metódy ajmeších štvorcov. Chceme miimalizovať výraz Sa, b EY ax + b. Má platiť: 4 Dá sa jedoduchšie popísať ako apr. hyperbola. V okolí hyperboly vieme často priamkou dobre aproximovať. Predáša RDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. eautorizovaý text. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert ovotý, ovotyr