Metódy spracovania experimentálnych výsledkov Autor pôvodného textu: Peter Ballo

Transcript

1 Spracovae výsledkov Metódy spracovaa epermetálych výsledkov Autor pôvodého tetu: Peter Ballo Každé merae je zaťažeé chybam, ktoré sú zapríčeé edokoalosťou ašch pozorovacích schopostí, epresosťou prístrojov, edokoalosťou meracej techky, edodržaím podmeok epermetu, alebo vplyvom ezámych porúch pochádzajúcch z okola. To zameá, že fyzkále velčy emožo merať absolúte prese, preto a prblížee sa skutočej hodote používame rôze, ajmä štatstcké metódy. Chyby podľa ch pôvodu môžeme rozdelť a tr hlavé skupy. Hrubé chyby vzkajú omylom pr meraí, alebo esprávym odčítaím ameraej hodoty. Pr svedomtom prístupe k merau sa m dá vyhúť, alebo pr opakovaom meraí hodoty zaťažeé hrubou chybou vylúčme z ameraého súboru. Systematcké chyby sú obvykle spôsobeé edokoalosťou metódy meraa, alebo edodržaím podmeok pr epermete. Príkladom takejto chyby je zaedbae vztlakovej sly pr vážeí v kvapale. Odstráť chyby tohto druhu možo dôsledým dodržavaím eprmetálych podmeok, alebo prpočítavaím opráv (korekcí) vyplývajúcch z povahy systematckej chyby. Náhodé chyby vzkajú pr každom meraí a emožo ch z meraa úple odstráť. Prejavujú sa tým, že pr opakovaom meraí, aj pr dodržaí rovakých epermetálych podmeok, sa jedotlvé výsledky avzájom líša. Teto druh chyby je spôsobeý veľkým možstvom áhodých vplyvov z okola, ktorých veľkosť a pôvod eveme prese určť. Pomocou teóre chýb však možo vyjadrť ch vplyv a výsledok meraa. Ako príklad výskytu jedotlvých typov chýb uvedeme merae dĺžky hraola pomocou pravítka s mlmetrovou stupcou, prčom desaty mlmetra bol určovaé odhadom. Δ Výsledky desatch meraí sú uvedeé v asledujúcej tabuľke. Číslo meraa l (mm) 57,4 57,5 57,4 47,3 57,5 57,4 57,6 57,4 57,5 57,3 l - Δ (mm) 53,4 53,5 53,4 43,3 53,5 53,4 53,6 53,4 53,5 53,3 Na pravítku stupca ezačía heď z kraja, ale až 4 mm od eho. Ak a túto okolosť pozabudeme, dopustíme sa systematckej chyby, ktorú musíme korgovať tak, že od

2 Spracovae výsledkov ameraých hodôt dĺžky odčítame Δ 4 mm. Pr podrobejšom prezretí ameraých údajov zstíme, že ameraá hodota č. 4 sa výraze líš od ostatých. Dá sa predpokladať, že pr tomto meraí sme sa dopustl hrubej chyby, a preto ju vylúčme zo súboru. Ostaté rozdely medz výsledkam predstavujú áhodé chyby. Štatstcké spracovae výsledkov Predpokladajme, že pr meraí fyzkálej velčy, ktorej skutočá hodota je s, dochádza le k áhodým chybám. Rozdel ( - s ) medz tou ameraou hodotou a skutočou hodotou velčy je chyba -teho meraa. Tú však edokážeme určť, lebo epozáme skutočú hodotu meraej velčy. Vďaka vacásobému merau tej stej velčy však môžeme určť jej pravdepodobú hodotu. Predpokladajme, že počas epermetu sme získal realzácí meraej velčy. Štatstckým metódam sa dá eakte dokázať, že artmetcký premer takto získaého súboru hodôt , () predstavuje ajpravdepodobejšu hodotu ameraej velčy. Pre dostatoče veľký počet meraí ( ) sa hodota artmetckého premeru blíž ku skutočej hodote meraej velčy. Ukazuje sa, že pr bežom epermete sa edosahuje podstaté zlepšee výsledku, ak sa počet meraí zvyšuje ad 0, takže túto hracu budeme považovať za dostatočú. Pomocou ajpravdepodobejšej epermetálej hodoty, teda pomocou artmetckého premeru, sa určuje odchýlka teho meraa Δ : Artmetcký premer má dve veľm dôležté vlastost - súčet všetkých odchýlek meraa sa rová ule: Δ 0, - súčet štvorcov odchýlek dosahuje mmálu hodotu. Δ. () Merae je tým presejše, čím sú chyby jedotlvých meraí meše. Na kvattatíve posúdee presost meraa sa zavádza parameter s ázvom smerodajá odchýlka (σ), ktorá je defovaá pomocou chýb jedotlvých meraí, a preto ju edokážeme pramo určť. Dokážeme však vypočítať tzv. odhad smerodajej odchýlky (s) ktorý počítame pomocou odchýlek jedotlvých meraí. Odhad smerodajej odchýlky jedého meraa je defovaý vzťahom: ( - ) / s. (3) - Dá sa očakávať, že pr veľkom počte meraí sa odhad smerodajej odchýlky s veľm prblíž smerodajej odchýlke σ.

3 Spracovae výsledkov Artmetcký premer súboru meraí má stote blžše k skutočej hodote velčy, ako hodota áhode vybratého meraa. Preto aj odhad jeho smerodajej odchýlky je prrodzee meší. Ako vyplýva z eaktého posúdea štatstckým metódam, odhad smerodajej odchýlky artmetckého premeru s súboru meraí a odhad smerodajej odchýlky jedého meraa s súvsa prostredíctvom vzťahu s s ( - ) ( -) ( ) ( ) /. (4) Odporúčaý postup pr spracovaí výsledkov meraa A Pr pramom meraí velčy, pr spracovaí rovako presých meraí, je vhodé postupovať asledove:. Zo súboru ameraých hodôt sa vypočíta artmetcký premer podľa vzťahu ().. Pomocou vzťahu () sa vypočítajú odchýlky Δ jedotlvých meraí. 3. Vypočíta sa odhad smerodajej odchýlky artmetckého premeru podľa vzťahu (4). 4. Výsledok meraa sa zapíše v tvare ±, a spravdla sa uvede aj relatíva s Údaj chyba meraa v percetách 00 ± s sa azýva estota meraa. s Keď chceme charakterzovať presosť použtého spôsobu meraa (meracu metódu), udávame smerodajú odchýlku jedého meraa s. Ak chceme ohodotť presosť čísla, ktoré sme získal ako artmetcký premer súboru meraí, udávame velču s. Preto je rozlšovae týchto dvoch smerodajých odchýlok v pra dôležté. B Väčšu fyzkálych velčí určujeme epramym meraím, t.j. počítame pomocou ekoľkých pramo meraých velčí, vystupujúcch vo vzťahu, ktorý vyjadruje ch vzájomú súvslosť. Predpokladajme, že hľadaá velča y je fukcou ezávsle od seba meraých velčí,,...,, prčom odhady ch smerodajých odchýlok s, s,..., s určíme výpočtom (pr vacásobom meraí), alebo z presost použtých meracích prístrojov. V takom prípade pre odhad smerodajej odchýlky s y velčy y platí vzťah kde y y s y s (5) 3 sú parcále derváce velčy y podľa pramo meraých velčí, azývaé aj ctlvost velčy y a zmey velčí. Vzťah (5) v stých prípadoch adobúda jedoduchšu formu. - Ak vzťah a výpočet epramo meraej velčy predstavuje súčet, alebo rozdel dvoch pramo meraých velčí, dostaeme výsledok (s y ) (s ) + (s ) (6)

4 Spracovae výsledkov - Ak vzťah a výpočet epramo meraej velčy predstavuje súč, alebo podel dvoch pramo meraých velčí, platí výsledok s y s s +. (7) y - Ak vzťah a výpočet epramo meraej velčy predstavuje m-tú mocu pramo meraej velčy, potom s y s m. (8) y Grafcké spracovae epermetálych hodôt Pr meraí vzájomej závslst dvoch velčí a y získame možu dvojíc (, y ). Ich grafcká reprezetáca predstavuje body v rove, prčom sa zvyčaje uslujeme týmto bodm preložť spojtú čaru. Väčša fyzkálych závslostí sa dá vyjadrť ako leára y a + b, kvadratcká y a + b + c, alebo epoecála y a e b. Závslosť hyperbolckého typu y a + b/ sa dá substtúcou / t prevesť a leáru. Aj epoecálu závslosť je možé trasformovať a leáru, keď ju logartmujeme, čím dostaeme l y l a + b. Na graf potom ako závsle premeú vyášame e y, ale l y. Nameraé dvojce (, y ), zaťažeé chybam meraa, eleža prese a predpokladaej krvke (pramke), takže optmále preložee krvky pomedz ameraé body vyžaduje použť matematcké postupy, ktoré sú už súčasťou aj temer bežých kalkulaček. Na prekladae optmálych krvek je však vhodejše použť špecalzovaé grafcké programy ktoré sú súčasťou PC, využívajúce metódu ajmeších štvorcov (apr. EXCELL). Te ele že poskytú parametre preložeých krvek (apr. smercu pramky), ale závslosť aj zobraza. Pr hľadaí optmálej pramky (tzv. leára regresa), ktorej rovcu zapsujeme v tvare y a + b, de o ájdee parametrov a, b, prčom východskovým číselým hodotam sú súradce (, y ) ameraých bodov v rove závslej a ezávsle premeej. Teóra regresej aalýzy poskytuje výsledky, ktoré s možo aprogramovať: b y y, a y ( ) b, (9) prčom sa sumuje cez všetkých ameraých hodôt. 4

5 Spracovae výsledkov Iformácu o tom, ako dobre leža epermetále body a preložeej pramke, poskytuje koefcet leárej koreláce r, ktorý je defovaý vzťahom r ( ( - ) - )( y - y) ( y - y). (0) Takto určeé číslo môže adobúdať hodoty z uzavretého tervalu < -, + >. Ak sa jeho hodota blíž k +, tak epermetále body leža blízko pramky, t.j. epermet spĺňa predpoklad leárej závslost. Ak sa hodota koefcetu blíž k ule, epermetála závslosť e je leára a je potrebé hľadať é vyjadree fukčej závslost. Výpočet parametrov ých fukčých závslostí (kvadratckej, kubckej...) je zložtejší, a ebude tu uvádzaý. Je predmetom umerckých matematckých metód. 5