Testy dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)

Transcript

1 TESTY DOBREJ ZHODY

2 Testy dobrej zhody = testy hypotéz zhody rozdelení (= testy dobrej zhody / ft testy / Goodness of Ft Tests) Overujeme, č emprcké rozdelene je štatstcky zhodné s nektorým z teoretckých rozdelení pravdepodobnost, prípadne s ným emprckým rozdelením. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)

3 Testy dobrej zhody Pearsonov Ch-kvadrát ( ) test (unverzálny test pre dskrétne aj spojté dstrbučné funkce s dostatočne veľkým rozsahom n) Kolmogorovov test (test pre jednoznačne určené spojté dstrbučné funkce) Kolmogorovov-Smrnovov test (test zhody dvoch emprckých dstrbučných funkcí) Testy normalty cez momenty (testy normalty pomocou koefcentu škmost a špcatost) Testy extrémnych hodnôt (za predpokladu normalty súboru dát)

4 Všeobecný postup 1. Navrhnúť predpokladaný typ rozdelena pravdepodobnost, napr. na základe grafckého zobrazena rozdelena početností emprckých údajov. Odhadnúť parametre vybraného rozdelena (ntervaly spoľahlvost) 3. Overť zhodu rozdelena výberových údajov s vybraným rozdelením s odhadnutým parametram pomocou testov dobrej zhody

5 Príklad 1 - test (Normálne rozdelene) Náhodným výberom bola vybratá vzorka rozsahu n = 50. Frekvenčná tabuľka Počet ntervalov k = 5 Rozsah ntervalu h = Mn = 6, Max = 14 z n =50 Overte na hladne významnost = 5%, č emprcké rozdelene početností zodpovedá normálnemu rozdelenu.

6 Výpočet bodových odhadov parametrov rozdelena z n =z *n =(z -premer) *n suma stĺpcov: výberový premer: 9.84 = 49 / 50 výberová smerodajná odchýlka:.8 = 54,7 / (50-1)

7 Absolútna početnosť Relatívna kumulatívna početnosť Emprcké rozdelene N[10,4] Graf rozdelena emprckých početností Graf kumulatívnej emprckej dstrbučnej funkce 10.00% Další; % ; % 80.00% 1; 88.00% 14; % ; % 10; 56.00% 10 1; ; 6 14; % 8; 8.00% % Tredy 0.00% 6; 4.00% Další Tredy

8 Teoretcké rozdelene N[10,4] Graf hustoty pravdepodobnost normálneho rozdelena N[10,4] Graf kumulatívnej dstrbučnej funkce normálneho rozdelena N[10,4]

9 Četnost Četnost Teoretcké a emprcké rozdelene N[10,4] Graf hustoty pravdepodobnost normálneho rozdelena N[10,4] Graf kumulatívnej dstrbučnej funkce normálneho rozdelena N[10,4] 10.00% ; % 80.00% 1; 88.00% 14; % ; % 10; 56.00% 10 1; ; 6 14; % 8; 8.00% % Třídy 0.00% 6; 4.00% Třídy

10 Testy dobrej zhody Hodnoty skúmanej vybranej premennej - náhodne vybranej vzorky rozsahu n, sú rozdelené do k tred (varačné tredene) Porovnáva sa mera zhody pozorovaných emprckých početností n týchto tred s teoretckým početnosťam np zodpovedajúcm týmto tredam (p teoretcká pravdepodobnosť výskytu hodnôt z -tej tredy podľa skúmaného zákona rozdelena pravdepodobnost (normálne, Possonove, bnomcké rozdelene a né))

11 Testovaca charakterstka testu dobrej zhody P P k ( n ) k n n 1 1 Charaktestka P alebo má rozdelene s počtom stupňov voľnost k-1-r, kde r je počet odhadnutých parametrov predpokladaného teoretckého rozdelena, n sú emprcké, skutočne zstené početnost hodnôt x /z p je teoretcká pravdepodobnosť, že hodnoty náhodnej velčny leža v -tom ntervale

12 Testovaca charakterstka testu dobrej zhody P ( ) P k 1 ( n Charakterstka P alebo má rozdelene s počtom stupňov voľnost k-1-r, ) kde r je počet odhadnutých parametrov predpokladaného teoretckého rozdelena, k je počet tred varačného tredena n sú emprcké, skutočne zstené početnost hodnôt x dskrétnej premennej alebo ntervalov (t -1 ; t hodnôt z spojtej premennej a np sú príslušné teoretcké, očakávané početnost. N je rozsah výberového súboru p je pravdepodobnosť hodnoty premennej s predpokladaným rozdelením, resp. pravdepodobnosť ntervalu hodnôt je teoretcká pravdepodobnosť, že hodnoty náhodnej velčny leža v - tom ntervale (t -1 ; t spojtej premennej. k 1 n n

13 Postup výpočtu testu (t -1 ; t t -1 v -1 Φ ( v -1) p n*p ran Coch- n*p (po cochranov) Coch Početnost -ran sčítané (np -n ) /(np ) 1 5 ; ok 5.8 ok ( 7 ; ok 1.50 ok ( 9 ; ok ok ( 11 ; ok ok ( 13 ; sčítať sčítať 6 1 = P = 0,65 Horná a dolná hranca ntervalu (pokračovane predchádzajúcej tabuľky) Dolná hranca ntervalu. Prvý a posledný nterval zabezpečuje pokryte celého teoretckého rozsahu rozdelena Hodnota normovanej náhodnej velčny v 1 (z - x) s 1 Dstrbučná funkca normovaného normálneho rozdelena - hodnoty sú tabelované, pre z < 0, platí ( v 1) 1 ( v 1) Teoretcká pravdepodobnosť, že hodnoty náhodnej velčny leža v -tom ntervale (rozdel hodnôt dvoch po sebe dúcch radkov) p v ) ( v ) ( 1

14 Cochranovo pravdlo je požadované splnene podmenky n.p >= 5 pre = 1,,..., k. ( = 1,,..., k). Splnene tejto podmenky možno dosahnuť dodatočne, zlučovaním susedných tred. Avšak jej prísne dodržavane je nutné ba pr malom počte stupňov voľnost. Bolo overené, že pre k-1-r 3 stačí, aby 4 a pre k-1-r 6 stačí, aby 1 ; ( =1,,... k).

15 Postup výpočtu χ testu dobrej zhody (t -1 ; t t -1 v -1 Φ ( v -1) p n*p cochran n*p (po cochranov) cochr Početnost an sčítané (np -n ) /(np ) 1 ( 5 ; ok 5.8 ok ( 7 ; ok 1.50 ok ( 9 ; ok ok ( 11 ; ok ok ( 13 ; sčítať 6 = P = 0,65 Neplatí nerovnosť 0,65 = P > χ γ;k-1-r = 3,84, preto hypotézu H 0 nezametame na hladne významnost. Údaje pochádzajú z normálneho rozdelena. g 0.95 r (počet parametrov rozdelena)= k-1-r = 4-1- = 1 Tabelovaná hodnota kvantlu: g (k-1-r) =3.84

16 Príklad - test (Bnomcké rozdelene) Bolo skúmané dodržavane šestch pravdel domáceho poradku nájomníkm. Jednoduchý náhodný výber 00 bytov odhall nasledujúce skutočnost. Na 5%-nej hladne významnost vykonajte test hypotézy a určte, č vzorka pochádza z rozdelena, v ktorom počet prestupkov (zo šestch možných prestupkov = n) na 1 byt je bnomcky rozdelená náhodná premenná. H 0 : Počet prestupkov na 1 byt vo všetkých mestských bytoch je bnomcky rozdelený s pravdepodobnosťou úspechu v každom pokuse p=0,3. H 1 : Počet prestupkov na jeden byt v celom meste ne je opísateľný bnomckým rozdelením.

17 Príklad - test P k 1 ( n ) k 1 n n (Bnomcké rozdelene) Počet možných prestupkov na 1 byt početnosť početnosť prestupkovp Teoretcký počet n*p početnost cochran n*p (po cochranov) cochransčítané (np -n ) /(np ) ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok sčítať sčítať sčítať sčítať k = 7 alfa = 0.05 n x n x p P( x). p. 1 p x X n p DX n. p. 1 p E. n n!. pre n k 0; nak 0 x k!( n k)! k=počet ntervalov = 7 E(X)= 1.8 = n= 6 p= 0.3

18 Príklad - test P k 1 ( n ) k 1 n n (Bnomcké rozdelene) Počet možných prestupkov na 1 byt početnosť početnosť prestupkovp Teoretcký počet n*p početnost cochran n*p (po cochranov) cochransčítané (np -n ) /(np ) ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok sčítať sčítať sčítať sčítať r (počet parametrov rozdelena)= p = 5. g 0.95 k (po Cochranov)= 5 k-1-r = 5-1- = g (k-1-r) = 5.99 Testovaca charakterstka P ne je väčša ako ch-kvadrát, preto hypotézu H0 nezametame na hladne významnost Údaje pochádzajú z bnomckého rozdelena.

19 Príklad - test (Possonovo rozdelene) Pr výrobe sa môže vyskytovať určtý počet chýb na 1 výrobku. Predpokladá sa, že rozdelene počtu chýb sa rad Possonovým rozdelením. Jednoduchým náhodným výberom sme vybral stý počet výrobkov. Počty chýb sú uvedené v tabuľke. Test zhody s Possonovým rozdelením vykonajte na hladne významnost a. H 0 : Výsledky expermentu sú realzácou náhodnej velčny s Possonovym rozdelením. H 1 : Výsledky expermentu ne sú realzácou náhodnej velčny s Possonovym rozdelením

20 Príklad - test P k 1 ( n ) k 1 n n (Possonovo rozdelene) Pearson Posson k= 6 Počet chýb x Počet výrobko v počet chýb spolu p Teoretcký počet výrobkov n*p cochran n*p (po cochranov) cochran početno st sčítané (np -n ) /(np ) ok ok ok 4.47 ok ok ok sčítať sčítať sčítať sčítať 5 a vac sčítať sčítať p P( x) e x x! E X D(X ) = 44/75 K = počet ntervalov = 6 E(x) = E =.7188 K = počet ntervalov po Cochranov= 3

21 0, 0,95 Príklad - test P k 1 ( n ) k 1 n n (Possonovo rozdelene) Pearson Posson k= 6 Počet chýb x Počet výrobko v počet chýb spolu Teoretcký počet výrobkov n*p n*p (po početno st sčítané (np -n ) /(np ) p cochran cochranov) cochran ok ok ok 4.47 ok ok ok sčítať sčítať sčítať sčítať 5 a vac sčítať sčítať Krtcký obor: χ 0,95;(k-1-r) = χ 0,95 ;(3-1-1) =χ 0,95 ;(1) = P = 0.14 ne je > preto H0 nezametam. Na hladne významnost α = 0.01 môžeme rozdelene počtu chýb považovať za Possonovo s parametrom λ =

22 0, 0,95 Príklad 3 - test P k 1 ( n ) k 1 n n (Exponencálne rozdelene) f t,. e 0. t t t 0 0 E T 1/ 1/ D T

23 0, 0,95 Príklad 4 Kolmogorovov test Kolmogorovov test Parametre rozdelena: Premer: 100 Rozptyl: 4 sm.odch.: Alfa 0.01 Rozsah 3 H 0 : Uvedený výberový súbor pochádza z rozdelena N(100; 9). H 1 : Uvedený výberový súbor pochádza z ného rozdelena. x n N (x -m)/s F (x ) F 8 (x ) E E E Výsledok testu: tabelovaná krtcká hodnota testovacej charakterstky hodnota D1 = > 0.33 = D0.01(3) = D(n) t.j. H 0 zametame. Výberový súbor nepochádza z daného rozdelena.

24 0, 0,95 Príklad 5 Kolmogorovov-Smrnovov test Máme k dspozíc údaje o popolnatost vzorek uhla z dodávok dvoch banských závodov (v % popola): I. 5, 4,8 1,9 5,6 5,5 3,4 5,3 6,4 3,5 3,8 II. 4,8 5,0 5,7 5,4 5,5 4,4 4, 5,0 5,3 5,0 Pomocou Kolmogorovovho-Smrnovho testu preverte na hladne významnost 5% hypotézu, že obdva výberové súbory pochádzajú z toho stého základného súboru. Zadane: súbor1: súbor H 0 : Obdva výberové súbory pochádzajú z toho stého základného súboru. H 1 : Výberové súbory nepochádzajú z toho stého základného súboru. (ak sú rozsahy výberov malé) Ak sú rozsahy výberov veľké, testovane je podobné ako pr Kolmogorovovom teste cez ntervaly. Varačný rad:

25 0, 0,95 Príklad 5 Kolmogorovov-Smrnovov test Rešene: j I j-1 I j <I j-1 ;I j ) F 10 (x) G 10 (x) F 10 (x) - G 10 (x) (.- ; 1.9) <1.9; 3.4) <3.4; 3.5) <3.5; 3.8) <3.8; 4.) <4.; 4.4) <4.4; 4.8) <4.8; 5) <5; 5.) <5.; 5.3) <5.3; 5.4) <5.4; 5.5) <5.5; 5.6) <5.6; 5.7) <5.7; 6.4) <6.4;. )

26 0, 0,95 Príklad 5 Kolmogorovov-Smrnovov test Rešene: d n. max Fn ( x) Gn ( x) 0.05 xr n 1 = 10 n = 10 testovaca charakterstka d = 10 * 0,4 = 4 Hypotézu H 0 zametame, ak testovaca charakterstka je väčša ako tabelovaná hodnota = 7 - ne je väčša - nezametam H 0

27 0, 0,95 Príklad 6 Testy extrém.hodnôt Zadane: 0.05 extrém: n = 1 Prvotná tabuľka 1 Na hladne významnost 5% rozhodnte pomocou Grubbsovho a Dxonovho testu, č hodnota 3 je extrémna. H 0 : Hodnota NIE JE extrémna. H 1 : Hodnota JE extrémna. max pre extrémy spomedz mnmálnych hodnôt, použť príslušné vzorce Rešene: Varačný rad: usporadať hodnoty prvotnej tabuľky od najmenšej hodnoty po najväčšu 13 A) Grubbsov test: 1 výberový premer: výb. smer. odchýlka: testovaca charakterstka: T(1) =.509 >.387= T0.05(1) H 0 zametame 18 Hodnota 3 JE xn xn 1 16 B) Dxonov test Q( n) extrémna. xn x testovaca charakterstka: Q(1) =0.417 > 0.376= Q0.05(1) t.j. H 0 zametame 16 Hodnota 3 JE 14 extrémna. T n x n x. s n n 1

28 u 0, 0,95 1 g u 1 g Príklad 7 Testy normalty pomocou koefcentu škmost a špcatost H 0 : Výberový súbor pochádza zo súboru s normálnym rozdelením. H 1 : Výberový súbor nepochádza zo súboru s normálnym rozdelením. Test normalty pomocou koefcentu škmost. D 3 = škmosť = abs(g 3 )= NIE JE > = D 3 *u (1+ g )/ rozsah súboru = 3 alfa= 0.05 t.j. H 0 nezametame Výberový súbor pochádza z normálneho rozdelena. = Test normalty pomocou koefcentu špcatost. D 4 = špcatosť = abs(g 4 +6/(n+1))= NIE JE > = D 4 *u (1+ g )/ rozsah súboru = 3 alfa= 0.05 t.j. H 0 nezametame Výberový súbor pochádza z normálneho rozdelena. =