ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.

Transcript

1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ ζηον ηπιγωνομεηπικό κύκλο. Άξοναρ ημιτόνων εκσ y y 90 0 ή π ζθσ Άξοναρ σςνευαπτομένων εθσ Σπιγωνομεηπικόρ κύκλορ ιέγεηαη ν θύθινο αθηίλαο ξ= πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ αξρή Ο(0,0) ελόο θαξηεζηαλνύ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ ή π - Άξοναρ σςνημιτόνων - σ ζπλσ 0 0 ή 60 0 ή π Άξοναρ ευαπτομένων εκ0 ν =0, ζπλ0 0 =, εθ0 ν =0, ζθ0 ν = -- εκ =, ζπλ =0, εθ =--, ζθ =0 εκπ=0, ζπλπ=-, εθπ=0, ζθπ=-- εκ =-, ζπλ =0, εθ =--, ζθ = ή π. Βαζικέρ ηπιγωνομεηπικέρ ανιζώζειρ - ημ - ζςν Η εθ και η ζθ μποπούν να πάποςν οποιαδήποηε ηιμή ζηο. ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0

2 4. Βαζικοί ηύποι ημ + συν = ημ = - συν συν = - ημ εφ σφ = εφ = σφ σφ = εφ ημ εφ = συν συν σφ = + εφ = +σφ = ημ συν ημ 5. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί βαζικών ηόξων. ημ ζςν εθ π 6 π 4 ζθ π 6. Αναγωγή ζηο ππώηο ηεηαπηημόπιο. π-α π+α -α ή π-α εκ ζπλα ζπλα εκα -εκα -ζπλα -ζπλα -εκα ζπλ εκα -εκα -ζπλα -ζπλα -εκα εκα ζπλα εθ ζθα -ζθα -εθα εθα Σθα -ζθα -εθα ζθ εθα -εθα -ζθα ζθα εθα -εθα -ζθα ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0

3 ΜΝΗΜΟΝΙΚΟ ΣΡΟΠΟ Αιιάδνπκε νλόκαηα θαη ςάρλνπκε ην πξόζεκν Π.ρ ζπλ( +α)=-εκα Αιιάδνπκε κόλν νλόκαηα Π.ρ εκ( -α)=ζπλα +α π-α Η Ο Δελ αιιάδνπκε νλόκαηα, ςάρλνπκε κόλν πξόζεκν. Π.ρ ζπλ(π+α)=-ζπλα π π+α Γ 0 ή π -α ή π-α -α +α Αιιάδνπκε ηα νλόκαηα θαη ςάρλνπκε Δελ αιιάδνπκε νλόκαηα, ςάρλνπκε κόλν πξόζεκν. Π.ρ εκ(-α)=-εκα ην πξόζεκν. Π.ρ εκ( -α)=-ζπλα Αλ κπξνζηά έρνπκε π ή π ή α δελ αιιάδνπκε νλόκαηα κόλν ςάρλνπκε ην πξόζεκν. Αλ κπξνζηά έρνπκε ή αιιάδνπκε νλόκαηα θαη ςάρλνπκε ην πξόζεκν. Κάζε θνξά, ζα βάδνπκε ην πξόζεκν ηνπ αξηζκνύ πνπ αληηζηνηρεί ζην ηεηαξηεκόξην ζην νπνίν βξίζθεηαη ε ηειηθή πιεπξά ηεο γσλίαο. Π.ρ. ζέινπκε ην εκ( +α), ην εκίηνλν ζην δεύηεξν ηεηαξηεκόξην είλαη ζεηηθό άξα ην πξόζεκν είλαη +. Άξα εκ( +α)=+ζπλα. Παρατήρηση:Για το ππόσημο των τπιγωνομετπικών απιθμών στα τέσσεπα τεταπτημόπια απκεί να θυμόμαστε την λέξη ΟΗΓ : Ο: Σην ν ηεηαξηεκόξην όια ζεηηθά Η: Σην ν ηεηαξηεκόξην κόλν ην εκίηνλν ζεηηθό Ε: Σην ν ηεηαξηεκόξην κόλν ε εθαπηνκέλε ζεηηθή : Σην 4 ν ηεηαξηεκόξην κόλν ην ζπλεκίηνλν ζεηηθό. ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0

4 . f()=ημ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΚΓ ΤΝΑΡΣΗΓΙ Πεδίν νξηζκνύ : Πεξηνδηθή κε πεξίνδν π Μνλνηνλία αθξόηαηα 0 εκ κεγ.. ειαρ Γξαθηθή παξάζηαζε 0,5 0-0,5 0 π/ π π/ π -. f()=ζςν Πεδίν νξηζκνύ : Πεξηνδηθή κε πεξίνδν π Μνλνηνλία αθξόηαηα 0 εκ κεγ. Γξαθηθή παξάζηαζε 0 - ειαρ. 0 κεγ. 0,5 0 0 π/ π π/ π -0,5 - ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0 4

5 . f()=πημω, όπος π, ω >0 Τν ξ θαζνξίδεη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο, πνπ είλαη ίζε κε ξ θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο πνπ είλαη ίζε κε ξ. Τν σ θαζνξίδεη ηελ πεξίνδν ηεο ζπλάξηεζεο πνπ είλαη ίζε κε. Σα ίδια ζςμπεπάζμαηα ιζσύοςν και για ηην f()=πζςνω, όπος π, ω >0 ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0 5

6 .ημ=α ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΚΓ ΓΞΙΩΓΙ Αλ α [-,] ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε Αλ α [-,] ηόηε ππάξρεη ζ, ηέηνηνο ώζηε α=εκζ.τόηε :.σςν=α Αλ α [-,] ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε Αλ α [-,] ηόηε ππάξρεη ζ, ηέηνηνο ώζηε α=εκζ.τόηε : σςν=σςνθ =κπ θ. ευ=α Τόηε ππάξρεη ζ, ηέηνηνο ώζηε α=εθζ.τόηε : ευ=ευθ =κπ+θ 4.συ=α Τόηε ππάξρεη ζ, ηέηνηνο ώζηε α=ζθζ.τόηε : συ=συθ =κπ+θ ΠΡΟΟΧΗ!! -σςνθ = σςν(π-θ) σςνθ=ημ -ημθ = ημ(-θ) ημθ=σςν -ευθ = ευ(-θ) ευθ=συ -συθ = συ(-θ) συθ=ευ Παπαηήπηζη Αλ έρνπκε =θπ ή =θπ, θ κπνξνύκε λα γξάθνπκε =κπ, θ. Αλ έρνπκε =θπ+ ή =θπ-, θ κπνξνύκε λα γξάθνπκε =κπ+, θ. Αλ έρνπκε =θπ ή =(θ+)π, θ κπνξνύκε λα γξάθνπκε =κπ, θ. ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0 6

7 η ΜΟΡΦΗ ημ=α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο γηα ην α : Αλ α [-,] ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε Αν 0<α< τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ= 6 ή 4 ή ή άλλη γωνία αντίστοιχα ώστε: ημθ=α και η εξίσωση γίνεται ημ=ημθ και από τους βασικούς τύπους βρίσκουμε : =κπ+θ ή =κπ+π-θ κ. Αν -<α<0 τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ ώστε: ημθ=α και η εξίσωση γίνεται ημ= -ημθ ημ= ημ(-θ) και εφαρμόζουμε τους τύπους. Παραδείγματα: Να επιλυθούν οι εξισώσεις: α) ημ= η ΜΟΡΦΗ σςν=α β) ημ= γ) ημ= - Δηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο γηα ην α : Αλ α [-,] ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε Αν 0<α< τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ= 6 ή 4 ή ή άλλη γωνία αντίστοιχα ώστε: συνθ=α και η εξίσωση γίνεται συν=συνθ και από τους βασικούς τύπους βρίσκουμε : =κπ+θ ή =κπ-θ κ. Αν -<α<0 τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ ώστε: συνθ=-α και η εξίσωση γίνεται συν= -συνθ συν= συν(π-θ) και εφαρμόζουμε τους τύπους. Παραδείγματα: Να επιλυθούν οι εξισώσεις: α) συν= β) συν= γ) συν= - η ΜΟΡΦΗ ευ=α Δηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο γηα ην α : Αν α>0 τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ= 6 ή 4 ή ή άλλη γωνία αντίστοιχα ώστε: εφθ=α και η εξίσωση γίνεται εφ=εφθ και από τους βασικούς τύπους βρίσκουμε : =κπ+θ κ. Αν α<0 τότε από τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε γωνία θ ώστε: εφθ= - α και η εξίσωση γίνεται εφ= -εφθ εφ= εφ(-θ) και εφαρμόζουμε τους τύπους. Παραδείγματα: Να επιλυθούν οι εξισώσεις: α) εφ= β) 0 ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0 7

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επωτήσειρ ανάπτςξηρ. ** Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α) εκ - εκ + = 0 β) εκ ζ = ( - ζπλζ) γ) εθ 4-4εθ + = 0 γ) ζπλ-7εκ + = 0 δ) ζπλ εκ - = 0 ε) ( - ζπλ) = εκ. Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : i. εκ= ζπλ ii. ζπλ+εκ=0 iii. εκ(- )= ζπλ(- ) iv. ζπλ= εκ ζην [0,π]. Να ιπζεί ε εμίζσζε εκ - +=0 4. Να ιπζεί ε εμίζσζε 5. Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο i. εκ ζπλ +εκ = +ζπλ ii. (-εκ) +εκ-=0 iii. εκεθ-=εκρ - εθ 6.Να ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο i. ζπλ + εκ + = 0 ii. ζπλ + = εκ + 4ζπλ iii. εκ + ζπλ = εκ. 7. Οη εηήζηεο πσιήζεηο ελόο βηνκεραληθνύ πξντόληνο (ζε εθαηνληάδεο θνκκάηηα) δίλνληαη t θαηά πξνζέγγηζε από ηνλ ηύπν s 50 0, όπνπ t ν ρξόλνο ζε έηε κε t= λα 6 αληηζηνηρεί ζην 00 θαη 0 t 0 i. Να βξείηε πνην έηνο νη πσιήζεηο είλαη θνκκάηηα. ii. Να βξείηε πνην έηνο έρνπκε ην κεγαιύηεξν αξηζκό πσιήζεσλ θαη πόζεο είλαη απηέο. (Απ. i. t= ή t=5 ή t= ή t=7. ii. t= ή t=5 θαη s=6.000 θνκκάηηα) 8. Έζησ ε ζπλάξηεζε f α. Αλ 0 4 λα βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο f, θαη ηηο ηηκέο ηνπ πνπ ηηο παξνπζηάδεη. β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f f 0 [Απ. α) Γηα =π f κεγ. =5. Γηα =π f ειαρ. =-.β) 4 ή ]. ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ Β ΛΤΚΓΙΟΤ /9/0 8