Κεφάλαιο 4 : ΤΡΟΠΟΙ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ. τρόπους µετάδοσης της θερµότητας :

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 : ΤΡΟΠΟΙ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 4.1. Η µετάδοση της θερµότητας Τα φαινόµενα µετάδοσης της θερµότητας εµφανίζονται όταν παρουσιαστεί µεταβολή της θερµοκρασίας µέσα σε ένα σύστηµα (περιβάλλον, κτίριο, σώµα κλπ). Οι συνέπειες αυτών των φαινοµένων στα κτίρια είναι σηµαντικές ακόµη και στην περίπτωση µικρών θερµοκρασιακών διαφορών. Η θερµική άνεση του ανθρώπινου σώµατος είναι ένας ενεργειακός ισολογισµός της µετάδοσης θερµότητας που παράγεται στον ανθρώπινο οργανισµό και διαχέεται στο περιβάλλον µέσω του δέρµατος. Για τη φυσική των κατασκευών, η µετάδοση της θερµότητας ενδιαφέρει ως θερ- µική ροή (δηλαδή ποσό θερµότητας που ανταλλάσσεται ανά µονάδα χρόνου) και ως κατανοµή θερµοκρασιών. Η θερµοµόνωση έχει στόχο την παρεµπόδιση της θερµικής ροής, ενώ η αύξηση της θερµικής ροής απαιτεί εναλλάκτες θερµότητας. Αντικείµενο της θερµοδυναµικής είναι ο µετασχηµατισµός των διαφορετικών µορφών ενέργειας και η εξεύρεση των συνθηκών ισορροπίας. Στη µετάδοση της θερµότητας ισχύουν οι αρχές της θερµοδυναµικής (όπως ο νόµος διατήρησης της ενέργειας και το αξίωµα µετάδοσης της θερµότητας από τη θερµότερη προς την ψυχρότερη περιοχή), ωστόσο καθοριστικός παράγων της µελέτης των φαινοµένων είναι ο χρόνος, δηλαδή η διαδικασία εξίσωσης των θερµοκρασιών µέσα από αντιστάσεις. Γενικά, µετάδοση θερµότητας ανάµεσα σε δύο σώµατα είναι η ανταλλαγή ενέργειας λόγω διαφοράς θερµοκρασίας. Για να υπάρξει µετάδοση απαιτείται διαφορά θερµοκρασίας. ηλαδή η εξίσωση των θερµοκρασιών αποτρέπει κάθε θερµική ανταλλαγή. Θεωρητικά και εργαστηριακά, η θερµική ανταλλαγή ενέργειας εξελίσσεται µε τρεις διακριτούς µηχανισµούς, τρεις διακεκριµένους τρόπους µετάδοσης της θερµότητας : -µε αγωγή θερµότητας, -µε ακτινοβολία θερµότητας

2 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 2 -µε συναγωγή (ή ορθότερα µε µεταφορά) θερµότητας. Στην πραγµατικότητα, οι επιµέρους τρόποι µετάδοσης θερµότητας συνυπάρχουν, συνδυάζονται και αλληλοεπιδρούν. Σύστηµα είναι το κλειστό και περιορισµένο σύνολο των σωµάτων που περιλαµβάνονται στη µελέτη ενός προβλήµατος : -όταν σε όλα τα σηµεία ενός συστήµατος οι θερµικές ροές (και οι θερµοκρασίες) είναι ανεξάρτητες της εξέλιξης του χρόνου, δηλαδή σταθερές και αναλλοίωτες, η κατάσταση του συστήµατος χαρακτηρίζεται στάσιµη, -όταν οι θερµικές ροές (και οι θερµοκρασίες) µεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, η κατάσταση του συστήµατος είναι µη στάσιµη (άστατη), -όταν η θερµοκρασία των σηµείων µεταβάλλεται περιοδικά, δηλαδή τα φαινόµενα επαναλαµβάνονται, τότε η κατάσταση του συστήµατος είναι σχεδόν στάσιµη. Οµογενές, είναι το σώµα του οποίου οι βασικές ιδιότητες διατηρούνται αναλλοίωτες σε όλα τα σηµεία. Ισότροπο, είναι το σώµα του οποίου οι βασικές ιδιότητες διατηρούνται αναλλοίωτες σε κάθε κατεύθυνση. Η ισχύς και το ακρίβεια των παραπάνω ιδανικών χαρακτηριστικών εξαρτάται από την επιθυµητή ακρίβεια της διερεύνησης ενός συστήµατος. Η αξιοπιστία τους εξαρτάται από το επίπεδο προσέγγισης των σωµάτων. Σε µικροσκοπική εξέταση, η ισοτροπία και η οµοιογένεια αφορούν την θέση των ατόµων στο κρυσταλλικό πλέγµα. Για τη µετάδοση της θερµότητας η µελέτη των φαινοµένων είναι µακροσκοπική, δηλαδή όλα τα στερεά σώµατα θεωρούνται ισότροπα, ακόµη και τα πορώδη, µε την προϋπόθεση ότι οι διαστάσεις των πόρων είναι ελάχιστες σε σχέση µε το µέγεθος της διατοµής του υλικού.

3 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας Αγωγή θερµότητας Αγωγή είναι η ανταλλαγή θερµικής ενέργειας, λόγω διαφοράς θερµοκρασίας, ανάµεσα σε δύο περιοχές ενός στερεού, υγρού ή αερίου σώµατος ή ανάµεσα σε δύο σώµατα που βρίσκονται σε φυσική επαφή. Θεωρητικά η ανταλλαγή ενέργειας κατά την αγωγή δεν συνοδεύεται από µετακίνηση ύλης (µορίων). Η αγωγή είναι ο µοναδικός τρόπος µετάδοσης θερµότητας στο εσωτερικό ενός οµογενούς, συµπαγούς και αδιαφανούς στερεού. Στα υγρά και στα αέρια συνυπάρχει µε τη µεταφορά θερµότητας (συναγωγή) και συχνά συνδυάζεται µε την ακτινοβολία θερµότητας. Ο νόµος του Fourier, µε µια σειρά απλοποιητικές παραδοχές όπως η συνέχεια του υλικού και η σταθερότητα του όγκου του, εκφράζει τη γραµµική σχέση της θερµικής ροής ως προς τη θερµοκρασιακή πτώση, µέσω του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας. Σε µονοδιάστατο θερµοκρασιακό πεδίο ο τύπος της αγωγής θερµότητας είναι : Q λ = - λ Α (dθ / dχ) όπου συµβολίζεται µε Q λ η ροή θερµότητας (Q), λ η θερµική αγωγιµότητα ( W/mK) Α η επιφάνεια διαµέσου της οποίας (κάθετα) συντελείται η θερµική ροή (m 2 ) dθ / dχ η πτώση θερµοκρασίας στην κατεύθυνση χ Το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι η µετάδοση θερµότητας συνοδεύεται από πτώση της θερµοκρασίας. Η θερµική αγωγιµότητα λ εκφράζει την θερµική ροή από τη µονάδα επιφανείας για θερµοκρασιακή πτώση ενός βαθµού. Η θερµική αγωγιµότητα είναι σηµαντική ιδιότητα των υλικών και εξαρτάται από τη χηµική σύσταση, την κατάσταση και τη δοµή του υλικού, αλλά και τη θερµοκρασία. Η θερµική αγωγιµότητα αποτελεί το βασικό κριτήριο επιλογής των υλικών θερµοµόνωσης (σε στάσιµη κατάσταση).

4 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 4 Στα καθαρά µέταλλα (χαλκός, σίδηρος, λευκοσίδηρος) η θερ- µική αγωγιµότητα αυξάνει παράλληλα µε τη θερµοκρασία. Στα συµπαγή δοµικά υλικά, η θερµική αγωγιµότητα εξαρτάται από την υγρασία και αυξάνει περίπου κατά 0,1% ανά βαθµό αύξησης της θερµοκρασίας. Στα θερµοµονωτικά υλικά, η αγωγιµότητα αυξάνει κατά 0,4% ανά βαθµό αύξησης της θερµοκρασίας. Στα σύνθετα, πορώδη δοµικά υλικά, η αγωγιµότητα εκφράζεται ως ισοδύναµη θερµική αγωγιµότητα. Στα αέρια η θερµική αγωγιµότητα εξαρτάται από την πίεση και αυξάνει µε την θερµοκρασία, ενώ στα υγρά µειώνεται. Σε τοίχο µε αγωγιµότητα λ, µε σταθερή διατοµή s, χωρίς θερµική πηγή, σε στάσιµη κατάσταση, από το νόµο Fourier προκύπτει : Q λ / Α = - θ1 θ 2 λ dθ υποθέτοντας ότι η θερµική ροή είναι ανεξάρτητη της θερµότητας, ύστερα από ολοκλήρωση ισχύει : Q λ = Α λ ( θ 0 - θ 1 ) / s = θ / (s / λα) Ονοµάζουµε θερµική αντίσταση R λ στην αγωγή θερµότητας, το µέγεθος s / λα, οπότε ονοµάζουµε θερµική αγωγιµότητα το µέγεθος : 1 / R λ = λα / s αυτό το µέγεθος, στην περίπτωση της µοναδιαίας επιφάνειας ( Α = 1), ονοµάζεται ειδική θερµική αγωγιµότητα του συστήµατος : Λ = λ / s κατ` αναλογία, ειδική θερµική αντίσταση του συστήµατος είναι το µέγεθος : 1 / Λ = s / λ Η θερµική αγωγιµότητα και το αντίθετο της, η θερµική αντίσταση, ορίστηκαν κατ` αναλογία προς τα αντίστοιχα µεγέθη του Ηλεκτρισµού και αποτελούν θεµελιώδεις έννοιες του Κανονισµού Θερµοµόνωσης. Προβλήµατα ορολογίας, λόγω µετάφρασης των γερµανικών δεδοµένων εµφανίζουν τον όρο θερµική αντίσταση µε την ονοµασία αντίσταση θερµοδιαφυγής και τον όρο ειδική θερµική αγωγιµότητα µε την ονοµασία συντελεστής θερµοδιαφυγής.

5 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας Θερµική ακτινοβολία Ακτινοβολία είναι ο τρόπος µετάδοσης της θερµικής ενέργειας απο το θερµότερο προς το ψυχρότερο σώµα, χωρίς φυσική επαφή, µε ηλεκτροµαγνητική µορφή. Η θερµική ακτινοβολία εκπέµπεται από όλα τα σώµατα, συνέχεια, προς όλες τις κατευθύνσεις. Η ακτινοβολία καλύπτει το φάσµα υπεριωδών, ορατών και υπέρυθρων συχνοτήτων. Η διάδοση εφαρµόζεται και µέσω του κενού, µε τη ταχύτητα του φωτός. Η γνωστότερη και πολυτιµότερη θερµική ακτινοβολία προέρχεται από τον ήλιο. Μαύρο (µέλαν) είναι το σώµα που απορροφά όλα τα µήκη κύ- µατος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. ηλαδή έχει συντελεστή απορρόφησης ίσο µε τη µονάδα. Άσπρο (λευκό) είναι το σώµα που δεν απορροφά κανένα µήκος κύµατος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. ηλαδή έχει συντελεστή απορρόφησης ίσο µε το µηδέν. Εποµένως, το σύνολο της προσπίπτουσας ακτινοβολίας ανακλάται. Γκρίζο (φαιό) είναι το σώµα που απορροφά όλα τα µήκη κύµατος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας εξίσου, δηλαδή σε ποσοστό συχνοτικά σταθερό. Έχει συντελεστή απορρόφησης µεταξύ µηδέν και µονάδας. Το µη απορροφούµενο ποσοστό ακτινοβολίας ή ανακλάται ή διαπερνά το υλικό (πχ ύαλος). Γίνεται αποδεκτό πως στα γκρίζα σώµατα ισχύει ο νόµος των συνηµίτονων του Lambert, σύµφωνα µε τον οποίο η ποσότητα της ενέργειας που µπορούν να απορροφήσουν είναι ίση µε την ενέργεια που εκπέµπουν, δηλαδή ο συντελεστής απορρόφησης ισούται µε το συντελεστή εκποµπής. Στην πραγµατικότητα κανένα φυσικό σώµα δεν διαθέτει απόλυτα τις παραπάνω ιδιότητες. Κάθε σώµα χαρακτηρίζεται από τρεις ενεργειακές ιδιότητες (εκποµπή, περατότητα, ανάκλαση) των οποίων η αλληλόδραση βρίσκεται σε ισορροπία. ηλαδή το άθροισµα των αντίστοιχων τριών συντελεστών (ε συντελεστής εκποµπής, τ συντελεστής περατότητας και r συντελεστής ανάκλασης) είναι σταθερό : ε + τ + r = 1

6 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 6 Οι παραπάνω συντελεστές είναι συναρτήσεις του µήκους κύµατος και της θερµοκρασίας. Ωστόσο γίνεται αποδεκτό πως τα δοµικά υλικά είναι γκρίζα σώ- µατα, εποµένως ακολουθούν το νόµο του Lambert ( α = ε) και υπακούν στην παραπάνω ενεργειακή ισορροπία των επιµέρους συντελεστών, χωρίς άλλη διερεύνηση των απαραίτητων προϋποθέσεων. Ο νόµος των Stefen - Boltzmann εκφράζει την ενεργειακή ακτινοβολία µιας ιδανικής, µαύρης επιφάνειας : Q r = σ Α Τ 4 όπου συµβολίζεται µε Q r η θερµική ακτινοβολία (θερµική ροή) σε W σ η σταθερά των Stefen - Boltzmann σ = 5, σε W/m 2 K 4 Α το εµβαδόν της ακτινοβολούσας επιφάνειας σε m 2 Τ η θερµοκρασία της επιφάνειας σε βαθµούς Kelvin Η θερµοδυναµική κλίµακα Kelvin είναι αντίστοιχη της κλίµακας Κελσίου, µε γραµµική µετατόπιση κατά 273,15 µονάδες, δηλαδή το απόλυτο µηδέν (0Κ) όπου διακόπτεται κάθε ηλεκτροµαγνητική εκποµπή αντιστοιχεί σε θερµοκρασία -273,15 0 C. Γίνεται αποδεκτό ότι ο νόµος Stefen - Boltzmann ισχύει και στα γκρίζα σώµατα, για ένα ποσοστό εκποµπής, δηλαδή είναι : Q r = σ Α ε Τ 4 όπου ε ο συντελεστής εκποµπής θερµικής ακτινοβολίας της γκρίζας επιφάνειας. Ο ήλιος θεωρείται µαύρο σώµα σε θερµοκρασία επιφανείας Κ. Κάθε σώµα εκπέµπει θερµική ακτινοβολία προς όλες τις κατευθύνσεις. ηλαδή δύο σώµατα ανταλλάσσουν θερµική ακτινοβολία. Εποµένως η µεταδιδόµενη θερµότητα προκύπτει ως διαφορά εκποµπών. Για δύο απέναντι, παράλληλα και απέραντα µαύρα επίπεδα η διαφορά της θερ- µικής ακτινοβολίας (από το θερµότερο στο ψυχρότερο) είναι : 4 Q = σ Α 1 (Τ 1 - Τ ) = - σ Α 2 (Τ 2 - Τ 4 1 )

7 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 7 Γίνεται φανερό από την παραπάνω σχέση πως η µεγάλη διαφορά που υφίσταται µεταξύ των τρόπων µετάδοσης της θερµότητας µέσω αγωγής και µέσω ακτινοβολίας οφείλεται στο επίπεδο θερµοκρασίας. ηλαδή στην αγωγή ανταλλάσσεται ενέργεια συναρτήσει της διαφοράς θερµοκρασίας, ανεξάρτητα του επιπέδου θερµοκρασίας, ενώ στην ακτινοβολία (διαφορές τετάρτης τάξης) η ενέργεια εξαρτάται και απο την διαφορά και από τα απόλυτα µεγέθη των θερµοκρασιών ( µολονότι θεωρητικά οι ιδιότητες των σωµάτων παραµένουν ανεξάρτητες της θερ- µοκρασίας). Επειδή κατά την µαθηµατική ανάλυση της διαφοράς των δύο θερµοκρασιών τετάρτης τάξης προκύπτει ένας σταθερός και ένας µεταβλητός παράγων (σε συνάρτηση µε τη φορά της ακτινοβολίας), ο παραπάνω τύπος µπορεί να διατυπωθεί ως εξής : Q r = K r (Τ 1 - Τ 2 ) = (Τ 2 - Τ 1 ) / R r όπου ονοµάζουµε το µέγεθος K r ειδική αγωγιµότητα θερµικής ακτινοβολίας και το µέγεθος R r αντίσταση της θερµικής ακτινοβολίας. Αντίστοιχα µε τους όρους της θερµικής αγωγής συµβολίζουµε ανά µονάδα επιφανείας ως h r τον συντελεστή ειδικής αγωγιµότητας και ως 1/ h r τον συντελεστή αντίστασης (στην γαλλική και αγγλική βιβλιογραφία, ή a s και 1/ a s στο γερµανικό κανονισµό). Στην περίπτωση που τα παραπάνω απέραντα επίπεδα είναι γκρίζα, δηλαδή ακτινοβολούν µε συντελεστές εκποµπής ε 1 & ε 2 τότε προκύπτει ότι : 4 Q = σ Α 1 (Τ 1 - Τ 4 2 ) / ( 1/ε 1 + 1/ε 2-1 ) δηλαδή στον παρανοµαστή της σχέσης εµφανίζεται το ποσοστό της ανταλλασσόµενης ενέργειας µεταξύ των επιπέδων ως άθροισµα δύο φθινουσών γεωµετρικών ακολουθιών. Το µέγεθος Φ 12 = 1 / ( 1/ε 1 + 1/ε 2-1 ) ονοµάζεται παράγων γεωµετρικής µορφολογίας (αριθµός ακτινοβολίας στη γερµανική βιβλιογραφία) και περιγράφει τη γεωµετρική σχέση και την ποιότητα των επιφανειών (δηλαδή τη σχέση των γωνιών πρόσπτωσης και των ποσοστών θερµικής εκποµπής).

8 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 8 Με ε κ συµβολίζεται ο συντελεστής κάθετης εκποµπής και µε ε ο συντελεστής ολικής ακτινοβολίας µιας επιφάνειας. Γενικά, στα µέταλλα, ο συντελεστής εκποµπής αυξάνει παράλληλα µε τη θερµοκρασία, ενώ στα αµέταλλα και τα δοµικά υλικά µειώνεται Μεταφορά (συναγωγή) θερµότητας Συναγωγή είναι ο τρόπος µετάδοσης της θερµότητας που εµφανίζεται κατά την κίνηση ενός ρευστού και παρουσιάζεται σε ανταλλαγές ενέργειας µεταξύ ρευστού και στερεού σώµατος (τοιχώµατος), τα οποία έρχονται σε επαφή. Στην πραγµατικότητα είναι συνδυασµός των φαινοµένων της αγωγής θερµότητας και της µεταφοράς µάζας : το τοίχωµα αποδίδει θερµότητα στην κρύα στρώση του ρευστού µε το οποίο έρχεται σε επαφή, η θερµαινόµενη στρώση µεταδίδει τη θερµότητα µε αγωγή σε άλλες κρύες στρώσεις, λόγω µετάδοσης της θερµότητας το ρευστό τίθεται σε κίνηση. Ιδιαίτερες φάσεις της συναγωγής είναι η αλλαγή κατάστασης του ρευστού (η πρόκληση βρασµού σε ένα υγρό ή η συµπύκνωση των ατµών ενός αερίου). Ανάλογα µε την κίνηση του ρευστού µεταβάλλεται ο ρυθµός µετάδοσης της θερµότητας (πχ φυσώντας κρυώνει το φαγητό, επίσης δύσκολα αποτρέπονται οι ενεργειακές απώλειες σε υαλοστάσια εξαιτίας του ανέµου) Ανάλογα λοιπόν µε τα αίτια της κίνησης, διακρίνουµε δύο τρόπους συναγωγής : στην ελεύθερη συναγωγή η κίνηση του ρευστού οφείλεται σε διαφορές πυκνότητας, δηλαδή διαφορές θερµοκρασίας, στην υποχρεωτική συναγωγή η κίνηση του ρευστού υπάρχει ανεξάρτητα από τις διαφορές θερµοκρασίας. Η ροή του ρευστού χαρακτηρίζει τη µεταβολή, το ρυθµό της συναγωγής. Σε στρωτή ροή, η οµαλή κίνηση του ρευστού παράλληλα στο τοίχωµα, χωρίς ανάδευση των στρώσεων του, περιορίζει την θερµική ανταλλαγή. Σε τυρβώδη ροή, η ανώµαλη και στροβιλώδης κίνηση του ρευστού, µε έντονη ανάδευση των στρώσεων του, αυξάνει τη συναγωγή θερµότητας, επιταχύνοντας την επαφή του τοιχώµατος µε

9 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 9 συνεχώς νέες, ψυχρές στρώσεις και αυξάνοντας την ανταλλαγή ενέργειας. To πεδίο εµφάνισης του φαινοµένου της συναγωγής θερµότητας είναι η οριακή στρώση του ρευστού, σε επαφή µε το τοίχω- µα (περιορισµένος χώρος όπου παρατηρούνται µεταβολές ταχύτητας και θερµοκρασίας). υναµική οριακή στρώση ενός ρευστού είναι το λεπτό στρώ- µα, σε επαφή µε το τοίχωµα, όπου η επίδραση του ιξώδους του ρευστού θεωρείται αµελητέα και όπου η ταχύτητα του ρευστού, εξαιτίας της γειτνίασης µε το τοίχωµα, δεν υπερβαίνει θεωρητικά το 99% (πρακτικά µέχρι 95%) της ταχύτητας µακριά από το τοίχωµα. Κατά αναλογία, θερµική οριακή στρώση ενός ρευστού είναι το λεπτό στρώµα όπου εντοπίζονται µεταβολές στη θερµοκρασία του ρευστού, εξαιτίας της επαφής µε το τοίχωµα, µέχρι το θεωρητικό ποσοστό 99% (πρακτικά 95%) της θερµοκρασίας µακριά από το τοίχωµα. Η οριακή θερµική στρώση είναι το στρώµα το ρευστού που βρίσκεται υπό την άµεση επήρεια της θερµοκρασίας του τοιχώµατος. Οι δύο οριακές στρώσεις, δυναµική και θερµική, δεν συµπίπτουν. Η θερµική οριακή στρώση εξαρτάται από την αντίστοιχη δυναµική οριακή στρώση καθώς η ταχύτητα και το είδος της ροής του ρευστού καθορίζουν την κατανοµή των θερµοκρασιών στο εσωτερικό του : -έξω από την δυναµική οριακή στρώση κυριαρχεί το ιξώδες του ρευστού, δεν υπάρχουν οι δυνάµεις τριβής µε το τοίχωµα, -µέσα στην δυναµική οριακή στρώση οι τριβές καθορίζουν το είδος της ροής (στρωτή ή τυρβώδη) και εποµένως το µέγεθος της ανάδευσης του ρευστού, το πάχος της θερµικής οριακής στρώσης και κατ`επέκταση τη µεταβολή (τη χρονική συνιστώσα) της θερµικής ροής. Γενικά, σε οµαλή ροή, οι στρώσεις δεν αναδεύονται, κινούνται παράλληλα, η µετάδοση θερµότητας γίνεται µε αγωγή, το οριακό στρώµα του ρευστού µεγαλώνει κατά µήκος της ροής. Αντίθετα, σε τυρβώδη ροή, στρώσεις αναδεύονται, κινούνται παράλληλα και κάθετα στη ροή, οι θερµαινόµενες στρώσεις αποµακρύνονται και ολοένα νέες, ψυχρότερες στρώσεις εµφανίζονται σε επαφή µε το

10 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 10 τοίχωµα, η µετάδοση της θερµότητας συνδυάζει αγωγή και µεταφορά (συναγωγή). Η σχέση που εκφράζει το πολύπλοκο φαινόµενο της συναγωγής είναι : Q c = a Α ( θ 0 - θ ) όπου συµβολίζεται µε θ 0 η θερµοκρασία του τοιχώµατος σε 0 C, θ η θερµοκρασία του ρευστού µακριά από το τοίχωµα, σε 0 Ç, Α το εµβαδόν της επιφάνειας κάθετα στη θερµική ροή, σε m 2 a ο συντελεστής θερµικής συναγωγής σε W/m 2 K Ο συντελεστής συναγωγής είναι µια ειδική αγωγιµότητα και ονοµάζεται στον Κανονισµό Θερµοµόνωσης συντελεστής θερµικής µετάβασης. Η παραπάνω σχέση ορισµού του συντελεστή συναγωγής λέγεται καταχρηστικά νόµος του Newton. Ο συντελεστής συναγωγής είναι σύνθετο µέγεθος καθώς εκφράζει σύνθετα και πολύπλοκα φαινόµενα (αγωγή, µεταφορά). Η τιµή του µεταβάλλεται στην έκταση της επιφάνειας και εξαρτάται από την οµαλότητα και τη γεωµετρία του τοιχώµατος, την ταχύτητα, την τάξη µεγέθους και τις φυσικές ιδιότητες του ρευστού. Υπολογιστικά, ο συντελεστής συναγωγής προκύπτει µε τον ορισµό ενός τοπικού συντελεστή και, ύστερα από ολοκλήρωση στα όρια, µε την εύρεση ενός µέσου συντελεστή για το σύνολο της επιφάνειας. Κατ` αναλογία προς τα χαρακτηριστικά µεγέθη της θερµικής αγωγής και της θερµικής ακτινοβολίας, ορίζουµε για τη θερµική συναγωγή : -την θερµική αντίσταση Κ c = a Α = Q c / θ -την ειδική αγωγιµότητα R c = 1/ αα = 1 / Κ c 4.5. Συνδυασµοί τρόπων µετάδοσης Στις εφαρµογές των κατασκευών (τοίχωµα σε επαφή µε υγρό ή αέριο στις δύο πλευρές του, σωλήνες µέσα σε τοίχωµα κλπ) εµφανίζονται ποικίλοι συνδυασµοί

11 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 11 των τρόπων µετάδοσης της θερµότητας. Κάθε πρόβληµα περιγράφεται µε ένα σύνολο από επιµέρους εξισώσεις, για κάθε διακεκριµένο τρόπο µετάδοσης, σε κάθε επιµέρους περιοχή. Η µαθηµατική διατύπωση των επιµέρους φαινοµένων προκύπτει από τη θεώρηση µιας µερικής θερµικής ροής, θερµοκρασίας και θερµικής αντίστασης, η επίλυση του προβλήµατος δίδεται µε την κατάστρωση ενός συστήµατος θερµικών ροών, διαφορών θερµοκρασίας και θερµικών αντιστάσεων. Στόχος των υπολογισµών είναι ο υπολογισµός του συντελεστή θερµοπερατότητας κάθε κτιριακού στοιχείου, απαίτηση που αποτελεί την βάση του Κανονισµού Θερµοµόνωσης. Για την κατάστρωση του µαθηµατικού συστήµατος σε µια κατασκευαστική εφαρµογή, γίνεται συνήθως η παραδοχή της στάσιµης κατάστασης και συνδυάζεται η αγωγή θερµότητας µε την ακτινοβολία ή/και µε τη συναγωγή θερµότητας. Για την εξεύρεση της συνδυασµένης φυσικής κατάστασης του φαινοµένου, χρησιµοποιούνται οι κανόνες επίλυσης των ηλεκτρικών κυκλω- µάτων (θερµικές αντιστάσεις σε σειριακή ή παράλληλη σύνδεση) Οριακές συνθήκες υπολογισµού Η µαθηµατική περιγραφή των προβληµάτων µετάδοσης της θερµότητας προκύπτει από την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όπου οι θερµοκρασιακές µεταβολές είναι χωρικές και χρονικές συναρτήσεις. Η λύση των γενικών, διαφορικών εξισώσεων ικανοποιεί τις συγκεκριµένες αρχικές και οριακές συνθήκες κάθε προβλήµατος. Οι αρχικές συνθήκες περιγράφουν την κατανοµή των θερµοκρασιών στο χώρο, στο εσωτερικό ή στην επιφάνεια ενός στερεού, σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή που εκλαµβάνεται ως έναρξη της χρονικής εξέλιξης. Συνήθως, γίνεται η απλοποιητική παραδοχή της σταθερής κατανοµής των θερµοκρασιών (ίδια τιµή σε όλα τα σηµεία, κατά την χρονική στιγµή µηδέν).

12 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 12 Οι οριακές συνθήκες περιγράφουν τη χρονική µεταβολή της θερµοκρασίας, ή της ταχύτητας της (της θερµικής ροής) ή του συνδυασµού τους, στις οριακές επιφάνειες του στερεού. Οι συνηθέστερες οριακές συνθήκες είναι : α) Συνθήκη Dirichlet Λέγεται συνθήκη 1ου τύπου ή επιβεβληµένη θερµοκρασία. Η θερµοκρασία στην οριακή επιφάνεια έχει ή πρέπει να λάβει µια δεδοµένη τιµή. Σε απλές περιπτώσεις, η τιµή της θερµοκρασίας είναι σταθερή. Όταν η θερµοκρασία έχει τιµή µηδέν, η συνάρτηση είναι οµογενής (πχ η κατά συνθήκη παραδεκτή θερ- µοκρασία για δάπεδα ή τοιχώµατα υπογείων σε βάθος 2µ κάτω από το έδαφος). β) Συνθήκη Neumann Λέγεται συνθήκη 2ου τύπου ή επιβεβληµένη θερµική ροή. Η θερµική ροή στην επιφάνεια έχει ή πρέπει να λάβει µια δεδοµένη τιµή. Στις απλές περιπτώσεις, η τιµή της θερµικής ροής είναι σταθερή. Όταν η θερµική ροή έχει τιµή µηδέν, η συνάρτηση είναι οµογενής (πχ η τέλεια µονωµένη επιφάνεια, που απαγορεύει τη δίοδο της θερµικής ροής). Χρησιµοποιείται στην περίπτωση µελέτης της µετάδοσης θερµότητας από ηλιακή ακτινοβολία σε ένα δοµικό στοιχείο. γ) Συνθήκη Fourier Λέγεται συνθήκη 3ου τύπου ή συναγωγή. Το τοίχωµα έρχεται σε επαφή µε το ρευστό, µε δεδοµένη θερµοκρασία έξω από την οριακή στρώση και µε δεδοµένο συντελεστή συναγωγής στην οριακή επιφάνεια του τοιχώµατος. Συχνά αντί του συντελεστή συναγωγής χρησιµοποιείται ο συνολικός συντελεστής ανταλλαγής θερµότητας (δηλαδή το άθροισµα των συντελεστών συναγωγής και ακτινοβολίας). Είναι η πιο εύχρηστη συνθήκη καθώς περιγράφει την επαφή ενός τοιχώµατος µε την ατµόσφαιρα.

13 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 13 δ) Συνθήκη 4ου τύπου Ως οριακή επιφάνεια εκλαµβάνεται η επιφάνεια επαφής δύο στερεών. Απο την αρχή διατήρησης της ενέργειας προκύπτει η εξίσωση των θερµικών ροών εκατέρωθεν της οριακής επιφάνειας. Χρησιµοποιείται στα πολυκέλυφα δοµικά στοιχεία, µε την παραδοχή της τέλειας θερµικής επαφής των επάλληλων κελυφών. ε) Μη γραµµικές οριακές συνθήκες Υπάρχουν διάφοροι µη γραµµικοί τύποι οριακών συνθηκών. Η συνηθέστερη συνθήκη περιγράφει την εξίσωση της θερµικής ακτινοβολίας (η οποία προσπίπτει στην επιφάνεια ενός δοµικού στοιχείου) και της θερµικής ροής (η οποία φτάνει µε θερµική αγωγή στην επιφάνεια του στοιχείου και µετατρέπεται σε α- κτινοβολία) Μονοδιάστατη αγωγή θερµότητας σε στάσιµη κατάσταση Η γενική εξίσωση του θερµοκρασιακού πεδίου, δηλαδή η συνάρτηση της θερ- µικής ροής από τη θερµοκρασιακή πτώση, για αγωγή θερµότητας σε ένα στερεό είναι : θ η θερµοκρασία σε 0 C ρ c ( θθ / θt) = div ( λ grad θ) όπου συµβολίζεται µε ρ το ειδικό βάρος σε Kg/ m 3 c η ειδική θερµότητα σεj/kg K λ η θερµική αγωγιµότητα σε W/m K t ο χρόνος σε sec Η διερεύνηση των φαινοµένων και η επίλυση των προβληµάτων της αγωγής θερµότητας µέσα στα στερεά βασίζεται στην παραδοχή της απουσίας πηγών θερµότητας. Με αυτή την υπόθεση, οι µεταβολές της θερµοκρασίας των στερεών οφείλονται αποκλειστικά στην επίδραση των αρχικών συνθηκών στις οριακές επιφάνειες

14 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 14 των στερεών, δηλαδή συµβατικά δεν υφίσταται ούτε απελευθέρωση, ούτε δέσµευση θερµότητας στο εσωτερικό των σωµάτων. Μία άλλη παραδοχή στη µελέτη των τοιχωµάτων (τοίχοι, δάπεδα, οροφές) είναι η µαθηµατική σύµβαση της απειρίας των δύο διαστάσεων τους (ύψος - µήκος) και η συγκέντρωση του ενδιαφέροντος στο µέγεθος της διατοµής (πλάτος) Αντίσταση θερµοδιαφυγής - συντελεστής θερµοπερατότητας Η αντίσταση θερµοδιαφυγής δεν είναι φυσικό µέγεθος, αλλά χαρακτηριστικό του δοµικού στοιχείου. Ο ορισµός προκύπτει ύστερα από τις παραδοχές της στάσιµης κατάστασης του στερεού (σταθερό θερµοκρασιακό πεδίο) και της µονοδιάστατης ροής : 1/ Λ = θ / q όπου συµβολίζεται µε 1/Λ η αντίσταση θερµοδιαφυγής σε m 2 K/ W θ η διαφορά θερµοκρασίας σε Κ, q η πυκνότητα της θερµικής ροής σε W/m 2 Συχνά εµφανίζεται το αντίστροφο µέγεθος, ο συντελεστής θερµοδιαφυγής Λ (σε W/m 2 K). Επιλύνοντας, σύµφωνα µε τις ίδιες παραδοχές την εξίσωση του θερµοκρασιακού πεδίου (νόµος Fourier) προκύπτει ότι : q = (λ / s) θ Η εξίσωση των επιµέρους µεγεθών δίδει : 1/ Λ = s / λ ή Λ = λ / s ηλαδή η αντίσταση και ο συντελεστής θερµοδιαφυγής εξαρτώνται από τις φυσικές ιδιότητες (θερµική αγωγιµότητα) και τη γεωµετρία (διατοµή) του δοµικού στοιχείου. Για τον προσδιορισµό της αντίστασης θερµοδιαφυγής των σύνθετων δοµικών στοιχείων, σε στάσιµη κατάσταση και µονοδιάστατη µορφή εφαρµόζεται πάλι η αρχή διατήρησης της ενέργειας : η θερµική ροή που διασχίζει τις ισόθερµες επιφάνειες του στοιχείου διατηρείται σε ισορροπία, εποµένως οι ισόθερµες του

15 Κεφάλαιο 4 : Τρόποι µετάδοσης της θερµότητας. 15 δοµικού στοιχείου είναι επίπεδα παράλληλα στις επιφάνειες του. Επίσης για τη µελέτη των σύνθετων στερεών υποθέτουµε ότι η θερµική επαφή των διαφορετικών υλικών είναι τέλεια, δηλαδή η θερµική αντίσταση µεταξύ των διαφόρων στρώσεων είναι µηδενική. Ο συντελεστής θερµοπερατότητας είναι ένα βοηθητικό µέγεθος που προκύπτει από το συνδυασµό της αντίστασης θερµοδιαφυγής του τοιχώµατος και των συντελεστών συναγωγής των πλευρών του : Κ = 1 / ( 1/α 1 + 1/Λ + 1/α 2 )