Σημειώσεις Πειραματικής Αντοχής Υλικών

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σημειώσεις Πειραματικής Αντοχής Υλικών Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος ΑΘΗΝΑ 2011

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ 2. ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΗ ΘΛΙΨΗ 3. ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ 4. ΣΤΡΕΨΗ 5. ΔΙΑΤΜΗΣΗ 6. ΛΥΓΙΣΜΟΣ Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ Το πείραμα του εφελκυσμού αποτελεί ίσως την σπουδαιότερη πειραματική διαδικασία μέτρησης της μηχανικής συμπεριφοράς των υλικών σε αξονικά φορτία. Η αρχή λειτουργίας των πειραμάτων εφελκυσμού στηρίζεται στην επιβολή δύο δυνάμεων, ίδιου μέτρου, ίδιας διεύθυνσης και αντίθετης φοράς, κατά τον κεντροβαρικό διαμήκη άξονα ενός υλικού (πχ κράμα Αλουμινίου 2024), με σημεία εφαρμογής τα άκρα του (σχήμα 1). P P Σχήμα 1 : Επιβολή εφελκυστικών φορτίων σε δοκίμιο Al2024. Οι επιβαλλόμενες αξονικές δυνάμεις, τείνουν να επιμηκύνουν το δοκίμιο με αποτέλεσμα, εάν οι επιβαλλόμενες δυνάμεις ξεπεράσουν μια κρίσιμη τιμή, η παραμόρφωση του δοκιμίου θα είναι μόνιμη (πλαστική παραμόρφωση). Σε πακτωμένο δοκίμιο αλουμινίου, υπό θερμοκρασία περιβάλλοντος 25 ο C, επιβάλλεται αξονικό φορτίο P, στο ελεύθερο άκρο του. Το αρχικό μήκος του δοκιμίου είναι Lo και η διατομή του είναι τετραγωνική Α m 2. Υπό την επίδραση της ανωτέρω δύναμης, παρατηρείται μία παραμόρφωση του δοκιμίου κατά ΔL. O Hooke, μελετώντας το ανωτέρω πείραμα, διαπίστωσε ότι ο παράγοντας P παραμένει σταθερός, όταν μεταβληθεί το επιβαλλόμενο ΔL φορτίο. Βάσει της ανωτέρω παρατήρησης, ο Hooke διατύπωσε τον γενικευμένο νόμο της ελαστικότητας βάσει του οποίου: Ε Α ΔL Lo = Ρ (1) Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 3

4 Όπου Ε: Μέτρο Ελαστικότητας ή μέτρο Young N/m 2 A: Διατομή υλικού m 2 ΔL: διαμήκης παραμόρφωση δοκιμίου m L O : αρχικό μήκος δοκιμίου m P: επιβαλλόμενη, κάθετη στη διατομή, δύναμη Ν Στην επιστήμη της Αντοχής των Υλικών η έννοια της δύναμης και της επιμήκυνσης που προκαλεί σε ένα στερεό δεν είναι μονοσήμαντες. Προκειμένου να ορισθούν τα πραγματικά μεγέθη της καταπόνησης, ορίζεται το μέγεθος της μηχανικής τάσης ως το πηλίκο της επιβαλλόμενης δύναμης σε ένα δοκίμιο προς την διατομή αυτού. Εφόσον η επιβαλλόμενη δύναμη F σε ένα δοκίμιο εφαρμόζεται κάθετα στην διατομή του δοκιμίου (Α Ο ), τότε η εν λόγω μηχανική τάση ονομάζεται ορθή και συμβολίζεται με το σύμβολο σ (stress). (σχήμα 2) Σχήμα 2. Ορισμός ορθής μηχανικής τάσης σ. Σε ένα δοκίμιο αρχικού μήκους L O, το οποίο υπό την επίδραση δύναμης F εμφανίζει επιμήκυνση ΔL, ορίζεται το μέγεθος ε (σχήμα 2) το οποίο καλείται ανηγμένη παραμόρφωση (strain), ή αλλιώς παραμόρφωση. Σχήμα 2. Ορισμός ανηγμένης παραμόρφωσης ε. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 4

5 Βάσει των δύο ορισμών των μεγεθών ορθής τάσεως και ανηγμένης παραμορφώσεως, ο γενικευμένος νόμος του Hooke (1), εμφανίζεται με τη μορφή της σχέσεως (2), η οποία και αποτελεί το Νόμο του Hooke για τις ορθές μηχανικές τάσεις. Όπου : σ: ορθή μηχανική τάση N/m 2 σ = Ε ε (2) Ε: Μέτρο Ελαστικότητας ή μέτρο Young N/m 2 ε: ανηγμένη παραμόρφωση Τα δοκίμια που χρησιμοποιούνται στις δοκιμές του μονοαξονικού εφελκυσμού είναι είτε κυκλικής διατομής, είτε ελάσματα με τυποποιημένες διαστάσεις, παραλληλεπίπεδης διατομής (σχήμα 3,4). Η επιμήκυνση του δοκιμίου, μετριέται στο κεντρικό τμήμα του δοκιμίου, το οποίο καλείται και ωφέλιμο μήκος (gauge length) και είναι πάντοτε μικρότερο από το συνολικό τμήμα του δοκιμίου, δεδομένου ότι τα άκρα του δοκιμίου βρίσκονται συγκρατημένα εντός των σιαγόνων αρπαγών του οργάνου (σχήμα 5). Οι μηχανές εφελκυσμού συνήθως πραγματοποιούν τις δοκιμές σε κατακόρυφη θέση, κατά την οποία το δοκίμιο τοποθετείται εντός τον αρπαγών, όπου η κάτω αρπάγη παραμένει ακίνητη, ενώ η άνω αρπάγη κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, ανάλογα με την επιλεγμένο ρυθμό κίνησης. Ο ρυθμός ανόδου της άνω αρπάγης και η ταυτόχρονη επιβολή δύναμης συγκράτησης του δοκιμίου εντός αυτής μπορεί να είναι: Α) ρυθμός παραμόρφωσης έ (strain rate) sec -1 b) Ρυθμός δύναμης N/sec c) Ταχύτητα παραμόρφωσης mm/sec Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 5

6 Σχήμα 3 : Δοκίμια μονοαξονικού εφελκυσμού χάλυβα και σκυροδέματος παραλληλεπίπεδης διατομής. [1] Σχήμα 4 : Δοκίμια μονοαξονικού εφελκυσμού κυκλικής διατομής. (α) (β) Σχήμα 5. (α) Μηχανή εφελκυσμού, (β) αρπάγες για παραλληλεπίπεδης διατομής έλασμα. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 6

7 Σχήμα 6: Διάγραμμα μονοαξονικού εφελκυσμού ελαφρά κραματωμένου χάλυβα. Στο διάγραμμα του σχήματος 6 απεικονίζεται το διάγραμμα τάσης ανηγμένης παραμόρφωσης ενός ελαφρά κραματωμένου χάλυβα, υπό συνθήκες περιβάλλοντος σε μονοαξονικό εφελκυσμό. Όπως απεικονίζεται στο διάγραμμα, το γραμμικό μέρος της καμπύλης αποτελεί την ελαστική περιοχή του υλικού. Σε όλο το εύρος της περιοχής αυτής, η άρση της επιβαλλόμενης αξονικής δύναμης επιτρέπει στο δοκίμιο να επανέλθει στο αρχικό του μήκος. Η ενέργεια παραμόρφωσης στην ελαστική περιοχή μπορεί να υπολογιστεί από το περικλειόμενο εμβαδόν του νοητού ορθογωνίου τριγώνου και αποτελεί την προσφερόμενη ενέργεια, μέσω του παραγόμενου έργου της δύναμης, η οποία ονομάζεται και ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης. Το παραβολικό τμήμα του διαγράμματος αντιστοιχεί στην πλαστική περιοχή του υλικού, όπου οι παραμορφώσεις είναι μόνιμες (μη αντιστρεπτές). Το διάγραμμα εφελκυσμού των όλκιμών υλικών σε θερμοκρασία περιβάλλοντος χαρακτηρίζεται από ορισμένα χαρακτηριστικά σημεία. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 7

8 ΟΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ (PROPORTIONAL LIMIT) Αντιστοιχεί στη θέση P του διαγράμματος και αποτελεί την οριακή τάση, πάνω από την οποία η ανηγμένη παραμόρφωση παύει να είναι ανάλογη της αντίστοιχης τάσης. Συμβολίζεται με R A. Στην περιοχή αναλογίας ισχύει ο νόμος του Hooke για τις ορθές μηχανικές τάσεις : σ = Ε. ε Το Ε είναι χαρακτηριστική σταθερά του υλικού και ονομάζεται μέτρο Ελαστικότητας ή μέτρο του Young. **Οι χυτοσίδηροι αποτελούν χαρακτηριστικό παράδειγμα υλικών στα οποία η ελαστική περιοχή όπου υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και ανηγμένης παραμόρφωσης είναι πολύ περιορισμένη. Ο προσδιορισμός του ορίου αναλογίας είναι ιδιαίτερα δύσκολη και εξαρτάται από την ευαισθησία του δυναμομέτρου. Βάσει των γερμανικών προτύπων, το όριο αναλογίας εξομοιώνεται με το όριο ελαστικότητας κα ορίζεται σαν η τάση του αντιστοιχεί σε μόνιμη επιμήκυνση 0,0003l o (0.03%) ή ακόμα πιο πρόσφατα, η τάση που αντιστοιχεί σε μόνιμη επιμήκυνση 0,0001l o (0.01%). Στην πραγματικότητα, το όριο αναλογίας δεν έχει καμία σχέση με το όριο ελαστικότητας. Στους μαλακούς και τους ημίσκληρους χάλυβες, τα δυο αυτά όρια πρακτικά συμπίπτουν. ΟΡΙΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (ELASTIC LIMIT) Το όριο ελαστικότητας (σημείο Ε) είναι η μέγιστη τάση στην οποία μπορεί να υποβληθεί ένα υλικό χωρίς να υποστεί μόνιμη (πλαστική) παραμόρφωση. Το όριο ελαστικότητας συμβολίζεται με τον όρο Re. Το όριο ελαστικότητας ορίζεται ως η τάση που προκαλεί μόνιμη παραμόρφωση ίση με το 0,0001% ή 0,03% και σημειώνεται ως δείκτης. Πχ Re 0.03 =32kp/mm 2 σημαίνει ότι μια τάση 32kp/mm 2 προκάλεσε μόνιμη παραμόρφωση 0,03% του ωφέλιμου μήκους του δοκιμίου (gauge length). **Το όριο ελαστικότητας είναι το μοναδικό σημείο στο τμήμα της ελαστικής περιοχής που πάντοτε υπάρχει, ανεξάρτητα αν υπάρχει ή όχι περιοχή που να υπακούει στο νόμο του Hooke. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 8

9 **Πάντοτε το όριο ελαστικότητας ταυτίζεται ή είναι μεγαλύτερο του ορίου αναλογίας του υλικού. ΟΡΙΟ ΔΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD POINT) Το όριο διαρροής είναι η τάση πέραν της οποίας η υφιστάμενη παραμόρφωση του δοκιμίου είναι μόνιμη. (σημεία Υ U,Y L ). Σε ορισμένα υλικά, όπως οι χάλυβες το φαινόμενο της διαρροής του υλικού φαίνεται αρκετά παράδοξο, δεδομένου ότι το υλικό συνεχίζει να παραμορφώνεται χωρίς την αύξηση της επιβαλλόμενης τάσης. (περιοχή διαρροής Υ U Y L ). Σε ορισμένες περιπτώσεις το φορτίο μειώνεται μέχρι και 30% και γιατί το λόγο εμφανίζεται ένα μέγιστο όριο διαρροής Υ U και ένα ελάχιστο Y L. Σε περιπτώσεις που το όριο διαρροής δεν είναι φανερό, ορίζουμε ένα συμβατικό σημείο διαρροής βάσει του οποίου έχουμε παραμόρφωση 0,1 ή 0,2 ή 0,5%. Γι αυτό το συμβατικό όριο διαρροής χρησιμοποιείται ο όρος yield strength ή αλλιώς proof strength αντί του yield point. ** Στο όριο διαρροής, ή περιοχή διαρροής, σε ορισμένα υλικά είναι εμφανής η εμφάνιση ενός σχηματισμού γραμμών συνήθως υπό γωνία 55 ο με το αξονικό φορτίο, οι οποίες ονομάζονται γραμμές Luders ή γραμμές Hartmann ή, Piobert. ΜΕΤΡΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (ΜΕΤΡΟ YOUNG) Το μέτρο του Young υπολογίζεται πειραματικά με την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος μέχρι το όριο αναλογίας. Είναι δηλαδή το πηλίκο τάση αναλογίας Ε = και αποδίδει την ευκολία με την οποία ένα υλικό ανηγμένη παραμόρφωση παραμορφώνεται εντός της ελαστικής του περιοχής. *** Το μέτρο ελαστικότητας των υλικών αποτελεί φυσική ιδιότητα τους και γι αυτό δεν μεταβάλλεται ανάλογα με τις πειραματικές συνθήκες. ΟΡΙΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΣΕ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ (UTS ultimate tensile strength) Αντιστοιχεί στο ανώτατο σημείο της καμπύλης του εφελκυσμού (σημείο S) και είναι γνωστό και ως όριο θραύσης του υλικού. Πρόκειται για την μέγιστη τάση του διαγράμματος και συμβολίζεται με το R m. Κατά τη Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 9

10 διάρκεια του πειράματος του εφελκυσμού, ο όγκος του δοκιμίου παραμένει σταθερός, V = S O L O = S L, κάθε επιμήκυνση συνοδεύεται από τη μείωση της διατομής του δοκιμίου, διατηρώντας σταθερό τον όγκο του. Κατά την εφελκυστική παραμόρφωση του δοκιμίου, η συνολική αντοχή του υλικού επηρεάζεται από δύο ανταγωνιστικά φαινόμενα. Πρώτον, τη μείωση της διατομής του δοκιμίου, με άμεσο αποτέλεσμα την μείωση της αντοχής του και δεύτερον την ενδοτράχυνση που προκύπτει λόγω της πλαστικής παραμόρφωσης του δοκιμίου, η οποία και αυξάνει την αντοχή του δοκιμίου. Τα δύο αυτά φαινόμενα εμφανίζονται ταυτοχρόνως σε όλο το εύρος της πλαστικής παραμόρφωσης του δοκιμίου, όπου κατά την περιοχή από το όριο διαρροής έως το UTS, επικρατεί η ενδοτράχυνση του δοκιμίου, έναντι της μείωσης της διατομής, ενώ εν συνεχεία, μεταξύ του UTS και της τάσης θραύσης του υλικού, η μείωση της διατομής αποκτά ιδιαίτερη σημασία. Στο σημείο της μέγιστης τάσης (UTS) εμφανίζεται το φαινόμενο κατά το οποίο η επιμήκυνση και η ταυτόχρονη μείωση της διατομής να μην διανέμονται ομοιόμορφα σε όλο το ωφέλιμο μήκος του δοκιμίου, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη μιας έντονης εγκάρσιας στένωσης, η οποία ονομάζεται λαιμός. Στο σχήμα 7 παρατίθεται το αρχικό δοκίμιο εφελκυσμού καθώς και το δοκίμιο μετά την εμφάνιση λαιμού κατά τη διάρκεια της εφελκυστικής δοκιμής. Σχήμα 7. Δοκίμιο εφελκυσμού πριν και κατά το πείραμα εφελκυσμού. Συνέπεια του ανωτέρω φαινομένου είναι η γρήγορη μείωση του φορτίου μέχρι την τελική θραύση του δοκιμίου στο σημείο Β. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 10

11 ΟΛΚΙΜΟΤΗΤΑ (DUCTILITY) Η ολκιμότητα ενός μετάλλου είναι η ιδιότητα του μετάλλου να παραμορφώνεται μόνιμα (πλαστικά) ανεξάρτητα από το μέγεθος των φορτίων που εφαρμόσθησαν σε αυτό. Αποτελεί μια σπουδαία ιδιότητα των μεταλλικών υλικών, η οποία επηρεάζεται από τις πειραματικές παραμέτρους των μηχανικών δοκιμών. Πχ έχει παρατηρηθεί η μείωση της ολκιμότητας ενός μεταλλικού υλικού με την μείωση της θερμοκρασίας περιβάλλοντος ή η μείωση της ολκιμότητας ενός μεταλλικού υλικού με την αύξηση του ρυθμού φόρτισης του υλικού ( ρυθμός επιβολής του φορτίου). Κατά το πείραμα του εφελκυσμού, η ολκιμότητα του δοκιμίου μετριέται με δύο βασικά μεγέθη. 1) Την παραμένουσα επιμήκυνση μετά την θραύση του δοκιμίου, εκφρασμένη σαν ποσοστό του αρχικού ωφέλιμου μήκους του δοκιμίου. Ονομάζεται παραμένουσα επιμήκυνση (elongation) και συμβολίζεται με το ε θ. Αντιστοιχεί στην ανηγμένη παραμόρφωση του δοκιμίου στη θέση Β. Α = l m l o l o 100 Όπου l m το μήκος του δοκιμίου μετά τη θραύση του. 2) Τη μείωση της διατομής του δοκιμίου στο σημείο που έσπασε (reduction of area). Z(%) = S O S m S o 100 Όπου S m η διατομή του δοκιμίου στο σημείο της θραύσης του. Στο διάγραμμα 8 παρατίθεται το διάγραμμα του μονοαξονικού εφελκυσμού κοινού χάλυβα. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος αντιστοιχεί στην δυσθραυστότητα του υλικού. Η δυσθραυστότητα, όπως θα αναφερθεί εκτενώς σε επόμενο κεφάλαιο, αποτελεί μια σπουδαιότατη μηχανική ιδιότητα των υλικών, της οποίας η ερμηνεία είναι διττή. Αποτελεί μια σύνθετη μηχανική ιδιότητα η οποία αποδίδει συγχρόνως την ικανότητα ενός υλικού να υφίσταται μεγάλες πλαστικές παραμορφώσεις πριν τη θραύση του και ταυτοχρόνως να επιδέχεται μεγάλα φορτία, δηλαδή να έχει υψηλό όριο θραύσης (UTS). Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 11

12 Η μέτρηση της δυσθαυστότητας αποτελεί μια δυναμική δοκιμή κρούσης, η οποία όμως, μπορεί να συσχετισθεί με την στατική δοκιμή του εφελκυσμού, μέσω του υπολογισμού του περικλειόμενου εμβαδού από την καμπύλη εφελκυσμού του μεταλλικού υλικού, όπως προαναφέρθηκε. Σχήμα 8. Διάγραμμα τάσης- ανηγμένης παραμόρφωσης πειράματος μονοαξονικού εφελκυσμού. Όλα τα στερεά υλικά, κατατάσσονται σε δύο βασικές κατηγορίες με κριτήριο το είδος της μόνιμης παραμόρφωσης που μπορούν να υποστούν. Έτσι, τα υλικά, τα οποία μετά την ελαστική παραμόρφωση τους υφίστανται και μόνιμες, πλαστικές καταπονήσεις ονομάζονται όλκιμα υλικά, ενώ εκείνα, τα οποία μετά την ελαστική παραμόρφωση, θραύονται ακαριαία, χωρίς να παραμορφωθούν μόνιμα, ονομάζονται ψαθυρά υλικά. ***Είναι πολύ σημαντικό να διευκρινησθεί πώς η ολκιμότητα ή η ψαθυρότητα των υλικών, αποτελούν ιδιότητες άμεσα συνδεδεμένες με τις πειραματικές παραμέτρους. Πχ, το γυαλί (SiO), το οποίο σε θερμοκρασία περιβάλλοντος αποτελεί ψαθυρό υλικό, σε θερμοκρασίες κοντά στους 600 ο C γίνεται ιδιαίτερα πλαστικό, ενώ ο χαλκός, ο οποίος είναι ιδιαίτερα όλκιμος σε θερμοκρασίες περιβάλλοντος, σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες ( ) γίνεται ψαθυρός. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 12

13 Στο σχήμα 8 παρουσιάζονται τα δύο διαγράμματα εφελκυσμού ενός όλκιμου και ενός ψαθυρού υλικού σε θερμοκρασία περιβάλλοντος. Είναι εμφανές ότι το ψαθυρό υλικό (brittle) θραύεται ακριβώς στο όριο ελαστικότητας του, αμέσως μετά την ελαστική του περιοχή (γραμμική περιοχή), ενώ το όλκιμο υλικό, εμφανίζει πλαστική παραμόρφωση, αμέσως μετά την ελαστική και εν συνεχεία θραύεται. Σχήμα 4. Διάγραμμα τάσης- ανηγμένης παραμόρφωσης πειράματος μονοαξονικού εφελκυσμού για όλκιμο και ψαθυρό υλικό σε θερμοκρασία περιβάλλοντος. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΗ ΘΛΙΨΗ Το πείραμα της μονοαξονικής θλίψεως (compression test) αποτελεί μια δοκιμή κατά την οποία το δοκίμιο φορτίζεται υπό την επίδραση δυο δυνάμεων, ίσου μέτρου, ίδιας διευθύνσεως, αντίθετης όμως φοράς, τέτοιας ώστε να προκαλείται συμπίεση του υλικού. Σχήμα 1: Σχηματική παράσταση πειράματος μονοαξονικής θλίψης. Δεδομένης της ακριβώς αντίθετης διαδικασίας (κατ αποτέλεσμα) από την αντίστοιχη του εφελκυσμού, τα διαγράμματα δύναμης-παραμόρφωσης ή ορθής τάσεως- ανηγμένης παραμορφώσεως είθισται να σχεδιάζονται στο 3 ο τεταρτημόριο όπου τα αντίστοιχα μεγέθη έχουν αρνητικά πρόσημα, σε σχέση με τα αντίστοιχα του εφελκυσμού. Όπως και σε κάθε περίπτωση αξονικής καταπόνησης ενός υλικού, όταν η επιβαλλόμενη τάση είναι μικρότερη από την τάση ελαστικότητας (young stress) που αντιστοιχεί στο όριο ελαστικότητας του υλικού, το υλικό παραμορφώνεται ελαστικά, υπό θερμοκρασίες περιβάλλοντος. Στην περίπτωση της ελαστικής παραμόρφωσης (βράχυνσης) και μέχρι το όριο αναλογίας του διαγράμματος σ-ε, ισχύει ο νόμος του Hooke για τις ορθές μηχανικές τάσεις, όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 14

15 σ = Ε ε Οι παραδοχές ισχύος του Νόμου του Hooke για τις ορθές μηχανικές τάσεις μπορούν να συμπτιχθούν στις ακόλουθες: Η επιβαλλόμενη δύναμη δρα στη διεύθυνση του κύριου άξονα της ράβδου και το σημείο εφαρμογής της είναι το κέντρο βάρους της διατομής. Ο κύριος άξονας της ράβδου είναι απολύτως ευθύγραμμος. Οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στη διατομή. Στα θλιβόμενα μέρη δεν υπάρχει κίνδυνος λυγισμού. Όλες οι κατά μήκος ίνες της ράβδου επιμηκύνονται ή συμπιέζονται ακριβώς το ίδιο. Οι διατομές που αρχικά είναι επίπεδες και κάθετες στον άξονα της ράβδου, παραμένουν έτσι και μετά την παραμόρφωση. Οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις είναι πάντα μικρότερες από την τάση αναλογίας σ Α του υλικού. Στον ακόλουθο πίνακα παρατίθενται τα βασικότερα πρότυπα κατά ASTM σχετικά με τα πειράματα θλίψεως. Standard ASTM D3574 ASTM D773 ASTM D575 ASTM D695 ASTM F-36 Description Standard Test Methods for Flexible Cellular Materials Slab, Bonded, and Method Urethane Foams Standard Test Method for Compressive (Crushing) Strength of Fired Whiteware Materials Standard Test Methods for Rubber Properties in Compression Standard Test Method for Compressive Properties of Plastics Standard Test Method for Compressibility and Recovery of Gasket Materials ***Σημαντική παρατήρησης για τις δοκιμές θλίψεως αποτελεί το γεγονός ότι γενικά αποφεύγεται η χρήση δοκιμίων με μεγάλη αναλογία μήκους/ διαμέτρου (L/D), προς αποφυγή φαινομένων λυγισμού. Γενικά, για τα δοκίμια που πρόκειται να υποβληθούν σε δοκιμή θλίψεως ισχύουν οι εξής περιορισμοί στο λόγο L/D : Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 15

16 2 L 4 για όλκιμα υλικά D 2 L 10 για ψαθυρά υλικά D Σχήμα 2: Σχηματική παράσταση τύπων παραμόρφωσης υπό θλιπτικές τάσεις καθώς και συγκριτικού διαγράμματος σ-ε για διάφορους τύπους L/D. (a) Buckling, when L/D > 5. (b) Shearing, when L/D > 2.5. (c) Double barreling, when L/D > 2.0 and friction is present at the contact surfaces. (d) Barreling, when L/D < 2.0 and friction is present at the contact surfaces. (e) Homogenous compression, when L/D< 2.0 and no friction is present at the contact surfaces. (f) Compressive instability due to worksoftening material. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 16

17 Σχήμα 3. Διάγραμμα τάσης- ανηγμένης παραμόρφωσης για ψαθυρό υλικό, (υπό θερμοκρασία περιβάλλοντος), υποβαλλόμενο σε δοκιμή εφελκυσμού (tension) και θλίψεως (compression) Στο σχήμα 3 απεικονίζεται η μηχανική συμπεριφορά ενός ψαθυρού υλικού (σε κανονική θερμοκρασία) κατά την δοκιμή του μονοαξονικού εφελκυσμού και της μονοαξονικής θλίψεως. Όπως παρατηρείται, το μέτρο του Young παραμένει σταθερό (ως φυσική ιδιότητα) ενώ το αξιοσημείωτο είναι ότι στην περίπτωση της θλιπτικής καταπόνησης το ψαθυρό υλικό εμφανίζει μία παραμόρφωση, η οποία και προηγείται της θραύσεως του, πράγμα που σε καμία περίπτωση δεν εμφανίζεται στην περίπτωση της εφελκυστικής δοκιμής. Μια επίσης πολύ σημαντική παρατήρηση που προκύπτει από το ανωτέρω διάγραμμα είναι το γεγονός ότι το ψαθυρό υλικό εμφανίζει μεγαλύτερη μέγιστη αντοχή σε θλίψη από την αντίστοιχη σε εφελκυσμό. *Στο ανωτέρω διάγραμμα, οι ρυθμοί ανηγμένης παραμόρφωσης ήσαν οι ίδιοι και για τα δύο πειράματα. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 17

18 Σχήμα 4. Διάγραμμα τάσης- ανηγμένης παραμόρφωσης για όλκιμο, (υπό θερμοκρασία περιβάλλοντος), υποβαλλόμενο σε δοκιμή θλίψεως (compression). Στο σχήμα 4 παρουσιάζεται το διάγραμμα τάσεων ανηγμένων παραμορφώσεων όλκιμου δοκιμίου σε θερμοκρασία περιβάλλοντος, το οποίο υποβάλλεται σε δοκιμή μονοαξονικής θλίψεως. Είναι πολύ σημαντικό να τονισθεί ότι κατά την εν λόγω πειραματική διαδικασία το όλκιμο δοκίμιο εμφανίζει μια βράχυνση με παράλληλη πλευρική διόγκωση. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται βαρελοποίηση (barreling) και ουσιαστικά αποτελεί το τελικό σημείο του πειράματος. Δηλαδή, το πείραμα της μονοαξονικής θλίψεως όλκιμου υλικού δεν θεωρείται περατωθέν με την θραύση του δοκιμίου (όπως στον εφελκυσμό), αλλά με την εμφάνιση της πλευρικής διόγκωσης του δοκιμίου σε ποσοστό υποβιβασμού του αρχικού του μήκους, περίπου 30%. *Γενικά, τα ψαθυρά υλικά έχουν μεγαλύτερες τιμές αντοχής σε θλιπτικά φορτία σε σχέση με τα αντίστοιχα εφελκυστικά, υπό τις ίδιες συνθήκες φόρτισης. ** Τα ψαθυρά υλικά έχουν μεγαλύτερη αντοχή σε θλιπτικά φορτία σε σχέση με τα όλκιμα, υπό τις ίδιες συνθήκες φόρτισης. Γενικά για τα ψαθυρά υλικά, ο τρόπος θραύσης των σε θλιπτικές καταπονήσεις γίνεται δια σχισμού κατά το μέγιστο διατμητικό επίπεδο (σχήμα 3). Στο σχήμα 5 δίδεται η μορφή θραύσης του ψαθυρού και του όλκιμου δοκιμίου υπό θλιπτικά φορτία. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 18

19 Σχημα5. Θραύση υπό διατμητικό επίπεδο και θραύση με βαρελοποίηση. Παρακάτω δίδεται μια μαθηματική προσέγγιση της φόρτισης αυτής, βάση της οποίας, η μέγιστη διατμητική τάση τ φ προκύπτει για φ=45 ο. σ ο, Ρ φ ο σ φ τ φ φ ο F Ρ P Y P X σ ο, Ρ F Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 19

20 συνφ = F F => F = F συνφ (1) ημφ = Px P (2) συνφ = Py P (3) σφ = Py F (4) τφ = Px F (5) Από τις (1),(2) και (3) σε συνδυασμό με τις (4) και (5), προκύπτουν οι τιμές της ορθής και της διατμητικής τάσης υπό λοξό επίπεδο γωνίας φ ο. σφ = Ρσυνφ F/συνφ = σο συν2 φ τφ = Ρημφ F/συνφ = σο 2 ημ2φ Μια ιδιαίτερη περίπτωση υλικού, το οποίο υποβάλλεται σε δοκιμή μονοαξονικής θλίψεως αποτελεί το ξύλο. Στο ακόλουθο σχήμα παρατίθενται σχηματικά οι πιθανοί τύποι θραύσεως ξύλινου δοκιμίου, υπό θλιπτικό φορτίο εφαρμοζόμενο παράλληλα στις ίνες του. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ Η μηχανική δοκιμή της καθαρής κάμψης αποτελεί μία εκ των βασικότερων μηχανικών δοκιμών που πραγματοποιούνται σε μεταλλικά και μη μεταλλικά υλικά. Ο επιθετικός προσδιορισμός καθαρή δηλώνει την ύπαρξη αποκλειστικά και μόνο καμπτικών ροπών στην φορτισμένη δοκό, με τελικό αποτέλεσμα την κάμψη της και την ανάπτυξη ορθών μηχανικών τάσεων, οι οποίες δεν οφείλονται σε αξονικά φορτία, αλλά σε καμπτικές ροπές, γι αυτό και καλούνται καμπτικές τάσεις ή ορθές τάσεις λόγω κάμψης. Συνοπτικά, οι συνθήκες που πρέπει να πληρούνται ώστε να αναπτυχθούν συνθήκες καθαρής κάμψης σε μία δοκό είναι οι ακόλουθες: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM k 0 ΣM t = 0 Στο άνω σχήμα απεικονίζεται η δοκιμή της κάμψης τριών σημείων (3 point bending test), κατά την οποία η δοκός στηρίζεται αμφιέρειστα ή ως αμφιπροέχουσα και φέρει στο μέσον της σημειακό φορτίο P. Kατά την ανωτέρω φόρτιση και από την επίλυση των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας καθώς και από τον προσδιορισμό και τον σχεδιασμό του διαγράμματος καμπτικών ροπών, προκύπτουν τα ακόλουθα: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 21

22 [M] M max = P L 4 Οι βασικές παραδοχές της καθαρής κάμψης είναι οι ακόλουθες: 1. Το ύψος h της διατοµής της δοκού είναι µικρότερο από το µισό του ανοίγματος A (h< A/2). 2. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άξονας συμμετρίας. 3. Ο ουδέτερος άξονας της δοκού (διαμήκης), ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα βάρους των διατοµών, είναι ευθύγραμμος, όταν η δοκός είναι αφόρτιστη. 4. Τα εξωτερικά φορτία είναι κάθετα στον άξονα της δοκού και βρίσκονται στο επίπεδο φόρτισης ή καµπτόµενο επίπεδο, που συμπίπτει µε το επίπεδο συμμετρίας της δοκού (διαφορετικά θα έχουµε σύνθετη κατάσταση). 5. Η δοκός είναι από υλικό µε ίδιο µέτρο ελαστικότητας (Ε) σε εφελκυσµό και θλίψη και οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι µικρότερες του ορίου αναλογίας του υλικού, άρα ισχύει ο Νόµος του Hooke. 6. Οι διατοµές (κάθετες τοµές στον άξονα είναι επίπεδες, όταν η δοκός είναι απαραµόρφωτη και παραµένουν επίπεδες και κάθετες στον άξονα, ακόµα κι όταν αυτός καµπυλώνεται µετά τη φόρτιση (υπόθεση των Bernoulli- Navier). Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 22

23 Χρήσιμα μεγέθη κάμψης Η ροπή αδράνειας (ή γωνιακή μάζα) είναι μέγεθος της μηχανικής και εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής. Συμβολίζεται με Ι και έχει διαστάσεις μάζας επί μήκος στο τετράγωνο (σε μονάδες διεθνούς συστήματος kg m 2 ). Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της απόστασης τους από έναν άξονα. Η γενική σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ενός συστήματος Ν σωματιδίων είναι η: όπου, η μάζα και απόσταση από τον άξονα περιστροφής του i-οστού σωματιδίου. Στη περίπτωση μίας συνεχούς κατανομής μάζας, η ροπή αδράνειας ενός στερεού γνωστής πυκνότητας μάζας ρ ορίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα Η ροπή αδράνειας έχει στην περιστροφική κίνηση την σημασία που έχει η μάζα στην γραμμική. Συγκεκριμένα, η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας σχετίζεται με την ικανότητα που έχουν τα σώματα να αντιστέκονται σε Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 23

24 μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης. Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα, τόσο δυσκολότερα περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας ορίζεται πάντοτε ως προς κάποιον άξονα περιστροφή. : απόσταση του σημείου με τάση σ από τον παραπάνω άξονα. Απουσία αξονικών δυνάμεων ο άξονας της ροπής αδράνειας ταυτίζεται με τον ουδέτερο άξονα της διατομής. H μέγιστη ορθή τάση:. Η δεν μπορεί να ξεπερνά μια τιμή που είναι χαρακτηριστική για το υλικό. Στα ψαθυρά υλικά μιλάμε για τη θλιπτική ή εφελκυστική αντοχή του ενώ στα όλκιμα υλικά για το όριο διαρροής. Από αυτόν τον περιορισμό προκύπτει η μέγιστη ελαστική ροπή στο στοιχείο. Κατά το σχεδιασμό στοιχείων με επιτρεπόμενες τάσεις η χαρακτηριστική τάση του υλικού μειώνεται σε κάποιο ποσοστό που δίνεται από τον συντελεστή ασφαλείας. Στόχος είναι να καλυφθεί η αβεβαιότητα της πραγματικής αντοχής και να μειωθεί η πιθανότητα αστοχίας. παρακάτω παρουσιάζονται οι ορθές τάσεις σε διατομή που κάμπτεται λόγω συγκεντρωμένης ροπής σχηματικά στο σχήμα 10.: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 24

25 Κάμψη προβόλου Ελεύθερη κάμψη, κατά την οποία το έλασμα έρχεται σε επαφή με τρεις μόνο περιοχές του εργαλείου και η γωνία κορυφής του πάνω τμήματος του εργαλείου (έμβολο) είναι πάντοτε μικρότερη της γωνίας κάμψης Κάμψη - V, κατά την οποία οι γωνίες των δύο τμημάτων του εργαλείου είναι ίσες και το έλασμα στο τέλος της διαδρομής έχει πλήρη επαφή με τις αντίστοιχες επιφάνειες του εργαλείου (αντίθλιψη), Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 25

26 Διπλή κάμψη ή κάμψη U Ελεύθερη κάμψη, κατά την οποία δεν υπάρχει καμία αντίθλιψη στο τέλος της διαδρομής του εμβόλου, με αποτέλεσμα ο πυθμένας του τεμαχίου να διαμορφώνεται έντονα κυρτός προς τα κάτω. Κλειστή κάμψη με αντίθλιψη στο τέλος της διαδρομής, κατά την οποία ο πυθμένας του τεμαχίου παρουσιάζεται στο τέλος της διαμόρφωσης ελαφρά κυρτός προς τα πάνω. Κλειστή κάμψη με συγκράτηση (μέσω ελατηρίων ή πνευματική), κατά την οποία ο πυθμένας του τεμαχίου είναι σχεδόν επίπεδος. Η διάταξη συγκράτησης χρησιμοποιείται ταυτόχρονα και για την εξόλκευση του τεμαχίου. Περιστροφική κάμψη, κατά την οποία χρησιμοποιείται εργαλείο στροφής (στροφέας) τμήματος του ελάσματος Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 26

27 Κάμψη μεταξύ ραούλων κατά την οποία με κατάλληλη μετάθεση και περιστροφή των ραούλων μεταξύ των οποίων ευρίσκεται το κατεργαζόμενο έλασμα, αλλάζει η καμπυλότητά του. 1) η ουδέτερη γραμμή είναι κεντροβαρικός άξονας της διατομής και τη διαχωρίζει σε εφελκυόμενο και θλιβόμενο τμήμα 2) όταν τα φορτία ενεργούν στο επίπεδο που περιέχει τον ένα κύριο άξονα αδράνειας της διατομής, ουδέτερη γραμμή είναι ο άλλος κύριος άξονάς της Στο[Σχ. 5] φαίνεται η τριγωνική κατανομή των ορθών τάσεων. Όταν Μz>0 τότε οι άνω είναι θλιπτικές και οι κάτω εφελκυστικές. Στη γενική κάμψη οι σχέσεις (2) γίνονται: Ενώ στην περίπτωση συμμετρικής διατομής ως προς την ουδέτερη γραμμή έχουμε: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 27

28 Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από : Ενώ η ολική γωνία στροφής από : Στην περίπτωση της καθαρής κάμψης (Μ z = σταθερό), από την (4) προκύπτει ότι 1/R = σταθερά, δηλαδή η ελαστική γραμμή είναι τόξο κύκλου. Στην περίπτωση γενικής κάμψης έχουμε την διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής Όπου y=f το βέλος κάμψης. Η διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής ισχύει εφόσον στις προϋποθέσεις που ήδη έχουμε θέσει παραπάνω προσθέσουμε ακόμη τις εξής: 1) Η καμπυλότητα σε κάθε σημείο εξαρτάται μόνο από της τιμή της καμπτικής ροπής Μ b 2) Το μέγιστο βέλος κάμψης είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με το μήκος l της δοκού 3) Το μήκος I της δοκού και το ύψος h της διατομής βρίσκονται στη σχέση : 10 h 1 20 h 4) Το ύψος h της διατομής και το πλάτος της b βρίσκονται στη σχέση : h 4 b Με τις τελευταίες παραδοχές περιορίζουμε το μέγεθος των παραμορφώσεων (στρεβλώσεων των διατομών) που έχουμε εξαιτίας των αναπτυσσόμενων διατμητικών τάσεων στη γενική κάμψη. Με διάφορους τρόπους μπορούμε να προσδιορίσουμε σε κάθε δοκό την αλγεβρική εξίσωση της ελαστικής γραμμής, ξεκινώντας από τη διαφορική της εξίσωση. Έτσι για απλές δοκούς έχω τον Πίνακα 1: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 28

29 Ελαστοπλαστική Συμπεριφορά Πίνακας 1. Όπως έχουμε αναφέρει στις περιπτώσεις διατομών όπου η ουδέτερη γραμμή αποτελεί άξονα συμμετρίας ισχύει : Όπου η W z ονομάζεται ροπή αντίστασης της διατομής και είναι καθαρά μέγεθος που εξαρτάται από την γεωμετρία της διατομής. Π.χ. Κυκλική διατομή διαμέτρου d Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 29

30 Ορθογωνική διατομή Η ροπή αντίστασης από φυσική άποψη αποτελεί μέτρο της μέγιστης ικανότητας μιας δοκού να φέρει καμπτικές ροπές στην ελαστική περιοχή. Όταν η φόρτιση αυξηθεί πέρα από τα όρια αναλογίας και ελαστικότητας, παρατηρούμε αύξηση της ταχύτητας με την οποία μεταβάλλονται οι παραμορφώσεις, καθώς και την εμφάνιση πλαστικών παραμορφώσεων. Συγκεκριμένα, αρχίζει από τις έξω-έξω εφελκυόμενες και θλιβόμενες ίνες, η είσοδος διαδοχικών τμημάτων της διατομής στην πλαστική περιοχή, μέχρι να πλαστικοποιηθεί πλήρως [Σχ.6]. Η είσοδος των πρώτων εξωτερικών ινών στην πλαστική περιοχή θα συμβεί όταν το μέγεθος της τάσης από κάμψη σ max φτάσει στο όριο διαρροής σ Δ του υλικού. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 30

31 ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΜΕΛΟΣ ΠΟΥ ΥΠΟΚΕΙΤΑΙ ΣΕ ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ Ας αναλύσουμε τώρα τις παραμορφώσεις ενός πρισματικού μέλους που έχει ένα επίπεδο συμμετρίας και υπόκειται στα άκρα του σε ίσα και αντίθετα ζεύγη Μ και Μ τα οποία δρουν στο επίπεδο συμμετρίας. Το μέλος θα καμφθει υπό την επίδραση των ζευγών, αλλά θα παραμείνει συμμετρικό ως προς το επίπεδο αυτό (σχ 4.7). Επιπλέον επειδή η ροπή κάμψης Μ είναι ίδια με οποιαδήποτε εγκάρσια διατομή, το μέλος θα καμφθει ομοιόμορφα. Έτσι η γραμμή ΑΒ κατά μήκος της οποίας η ανω επιφάνεια του μέλους τέμνει το επίπεδο των ζευγών θα έχει σταθερή καμπυλότητα. Με άλλα λόγια, η γραμμή ΑΒ, η οποία ήταν αρχικά ευθεία, θα μετασχηματίσει σε ένα τόξο κύκλου με κέντρο το C και το ίδιο θα συμβεί και στην γραμμή Α Β (δεν φαίνεται στο σχήμα) κατά μήκος της οποίας η κάτω επιφάνεια του μέλλους τέμνει το επίπεδο συμμετρίας. Επίσης, σημειώνουμε ότι το μήκος της γραμμής ΑΒ θα μειωθεί όταν το μέλλος κάμπτεται όπως δείχνει το σχήμα δηλαδή, όταν Μ>0 ενώ η Α Β θα επιμηκυνθεί. Στη συνεχεία, θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε εγκάρσια διατομή η οποία είναι κάθετη στον άξονα του μέλους παραμένει επίπεδη, και ότι αυτό το επίπεδο της διατομής διέρχεται από το C. Αν δεν ίσχυει αυτό, θα μπορούσαμε να βρούμε ένα σημείο Ε της αρχικής διατομής που διέρχεται απ το D (Sx. 4.8α) το όποιο, αφού το μέλος έχει καμφθει, δεν θα βρίσκεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στο επίπεδο συμμετρίας που περίεχε την γραμμήcd (Σχ 4.8b) Άλλα εξαιτίας της συμμετρίας του μέλους, θα υπάρχει ένα άλλο σημείο Ε το οποίο θα μετασχηματιστεί ακριβώς κατά τον ίδιο τρόπο. Ας υποθέσουμε ότι, αφού η δοκός έχει καμφθει, τα δυο σημεία θα βρίσκονται αριστερά Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 31

32 του επίπεδου που ορίζεται από την CD, όπως φαίνεται στο σχ4.8b. Επειδή η ροπή κάμψης Μ είναι ίδια σε όλο το μέλος, μια όμοια κατάσταση θα επικρατούσε σε οποιαδήποτε άλλη εγκάρσια διατομή και τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ε και Ε θα μετατοπίζονταν επίσης προς τα αριστερά. Έτσι ένας παρατηρητής στο Α θα έβγαζε το συμπέρασμα ότι η φόρτιση αναγκάζει τα σημεία Ε και Ε στις διαφορές εγκάρσιες διατομές να μετατοπίσουν προς τα εμπρός (προς τον παρατηρητή). Αλλά ένας παρατηρητής στο Β, στον οποίο η φόρτιση μοιάζει να είναι ίδια και ο όποιος παρατήσει τα σημεία Ε και Ε στις ίδιες θέσεις (εκτός του ότι έχουν αντιστραφεί τώρα ) θα κατέληγε σε αντίθετο συμπέρασμα. Αυτή η αντίφαση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα Ε και Ε θα βρίσκονται στο επίπεδο που ορίζεται από την CDκαι, ως εκ τούτου, ότι η διατομή παραμένει επίπεδη και διέρχεται από το C. Θα πρέπει να επισημάνουμε, εντούτοις ότι αυτός ο συλλογισμός δεν αποκλείει την πιθανότητα παραμορφώσεων μέσα στο επίπεδο της διατομής Ας υποθέσουμε τώρα ότι το μέλος διαιρείται σε ένα μεγάλο αριθμό μικρών κυβικών στοιχείων με έδρες παράλληλες αντίστοιχα στα τρία επίπεδα συντεταγμένων. Η ιδιότητα που έχουμε επιδείξει, απαιτεί αυτά τα στοιχειά να μετασχηματιστούν όπως φαίνεται στο σχ 4.9 όταν το μέλος υπόκειται ζεύγη Μ και Μ. Επειδή όλες οι επιφάνειες που παριστάνονται στα δυο σχεδία του σχ4.9 σχηματίζουν γωνία 90 ο μεταξύ τους, συμπεραίνουμε ότι υ χυ = υ ζχ =0και έτσι τ χυ = τ χz = 0. Όσον αφορά στις τρεις συνιστώσες της τάσης που δεν έχουμε συζητήσει ακόμη, δηλαδή τις σ y σ z και τ yz, επισημαίνουμε ότι πρέπει να είναι μηδενικές στην επιφάνεια του μέλους. Επειδή όμως οι παραμορφώσεις που εμπλέκονται δεν απαιτούν καμία αλληλεπίδραση μεταξύ των στοιχείων μιας δεδομένης εγκάρσιας διατομής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτές οι τρεις συνιστώσες της τάσης είναι ίδιες με το μηδέν σε όλο το μέλος. Αυτή η υπόθεση επαληθεύεται τόσο πειραματικά όσο και με την βοήθεια της θεωρίας ελαστικότητας, για επιμήκεις πρισματικές δοκούς που υφίστανται μικρές παραμορφώσεις. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 32

33 Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η μόνη μη μηδενική συνιστώσα της τάσης που ασκείται σε οποιοδήποτε μικρό κυβικό στοιχειό που θεωρήσαμε εδώ, είναι η ορθή συνιστώσα σ χ. Έτσι, σε κάθε σημείο ενός λεπτού μέλους που βρίσκεται σε καθαρή κάμψη, έχουμε μια κατάσταση ομοαξονικής τάσης (uniaxial stress). Ενθυμούμενοι ότι για Μ>0 οι γραμμές ΑΒ και Α Β παρατηρούνται ότι μειώνονται και αυξάνονται σε μήκος, αντίστοιχα, συμπεραίνουμε ότι η τροπή ε x και η τάση σ x είναι αρνητικές στο άνω τμήμα του μέλους (θλίψη) και θετικές στο κάτω τμήμα (εφελκυσμός) Από τα παραπάνω έπεται ότι πρέπει να υπάρχει μια επιφάνεια παράλληλη προς την άνω και κάτω επιφάνεια του μέλους, όπου οι ε x και σ x είναι μηδενικές. Η επιφάνεια αυτή ονομάζεται ουδέτερη επιφάνεια (neutral surface). Η ουδέτερη επιφάνεια τέμνει το επίπεδο συμμετρίας κατά μήκος ενός τόξου κύκλουde(σχ 4.10α)και μια εγκάρσια διατομή κατά μήκος μιας ευθείας που ονομάζεται ουδέτερος άξονας (neutrall axis) της διατομής (σχ4.10 b). Τώρα, θα επιλέξουμε την αρχή των αξόνων συντεταγμένων πάνω στην ουδέτερη επιφάνεια οποιουδήποτε σημείου από την ουδέτερη επιφάνεια να μετριέται στην y συντεταγμένη του. Συμβολίζοντας με ρ την ακτίνα τόξουde (σχ 4.10 α), με θ την επικεντρη γωνία που αντιστοιχεί στο DEκαι παρατηρώντας ότι το μήκος του τόξου DE ισούται με το μήκοςlτου απαραμορφωτου μέλους, έχουμε L=ρ*θ Θεωρώντας τώρα τόξο JK που βρίσκεται σε απόστασηyπάνω από την ουδέτερη επιφάνεια, σημειώνουμε ότι το μήκος L είναι L =(ρ-y)*θ Επειδή το αρχικό μήκος του τόξου JK ήταν ισο με L η παραμόρφωση του JKθα είναι η αν αντικαταστήσουμε δ=l -L δ=(ρ-y)θ-ρ*θ=-y*θ Η διαμήκης τροπή ε χ στα στοιχεία του JK προκύπτει διαιρώντας το δ με το αρχικό μήκος L του JK. Οπότε Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 33

34 ε χ =δ/l =(-υ*θ)/(ρ*θ) ή ε x =-y/ρ Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι η ροπή κάμψης είναι θετική, και συνεπώς ότι η δοκός στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Εξαιτίας της απαίτησης να παραμένουν επίπεδες οι εγκάρσιες διατομές, οι ίδιες ακριβώς παραμορφώσεις θα εμφανίζονται σε όλα τα επίπεδα που είναι παράλληλα με το επίπεδο συμμετρίας. Έτσι, η έκφραση της τροπής ε x ισχύει οπουδήποτε και κατά συνέπεια συμπεραίνουμε ότι η διαμήκης ορθή τροπή ε x (longitudinal normal stress) μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση y από την ουδέτερη επιφάνεια. Η τροπή ε x φτάνει στη μεγίστη απόλυτη τιμή της όταν το y είναι μέγιστο. συμβολίζοντας με cτη μεγίστη απόσταση από την ουδέτερη επιφάνεια (η οποία αντιστοιχεί είτε στην άνω είτε στην κάτω επιφάνεια του μέλους) και με ε m την μεγίστη απόλυτη τιμή της τροπής, έχουμε ε m= c/ρ ε χ = -y/c*ε m Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΡΕΨΗ Η στρέψη είναι ένα από τα είδη των απλών καταπονήσεων καταπονούνται συνήθως ράβδοι, αλλά και δοκοί. στα οποία Μια ράβδος καταπονείται σε στρέψη, όταν επάνω σε αυτήν επενεργούν ζεύγη δυνάμεων ίσων μέτρων και αντίθετων φορών που τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον κεντροβαρικό της άξονα. Τα ζεύγη των δυνάμεων αυτών προκαλούν σε κάθε διατομή της ράβδου ροπή που ονομάζεται ροπή στρέψης ή και στρεπτική ροπή. Η ροπή στρέψης συμβολίζεται με το καμπύλο διάνυσμα Μ t. Θέτοντας τα δάκτυλα του δεξιού χεριού ώστε να δείχνουν κατά τη φορά της, ο αντίχειρας δείχνει κάθετα στο επίπεδο του καμπύλου της διανύσματος. Έτσι προκύπτει το χαρακτηριστικό διάνυσμα της ροπής, το οποίο επειδή έχει τη διεύθυνση του διαμήκους άξονα χ της ράβδου, συμβολίζεται και Μ x. Η φορά της Μ x συμπίπτει με τη φορά του αντίχειρα του δεξιού χεριού. Αρκεί βέβαια ένας από τους δύο συμβολισμούς. Στην περίπτωση που τα ζεύγη αυτά είναι περισσότερα από ένα, η ροπή στρέψης σε μία διατομή προφανώς με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των ζευγών που είναι αριστερά ή δεξιά της διατομής αυτής. Στη στρεπτική καταπόνηση, η ράβδος τείνει να περιστραφεί περί τον άξονα της. Η ροπή στρέψης Μ t προκαλεί στο υλικό της ελαστικής ράβδου μόνον διατμητικές τάσεις με αποτέλεσμα να δημιουργείται μια στροφή μεταξύ των διατομών που ονομάζεται γωνία στροφής. Η πακτωμένη ράβδος, στην οποία επενεργεί το ζεύγος των δυνάμεων Ρ, καταπονείται σε στρέψη,από ροπή στρέψης Μ t =Ρ α. Το Δ.Ε.Σ παρέχει το πλεονέκτημα, η στρεπτική ροπή στο αριστερό της άκρο να φαίνεται σαν εξωτερική ροπή. Αν στη ράβδο ασκείται η μια μόνον από τις δύο δυνάμεις Ρ, η αριστερόστροφη ροπή στρέψης Μ t, θα ήταν Μ t =Ρ α = Μ t /2. 2 Τα δύο προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στην καταπόνηση της στέψης είναι τόσο ο προσδιορισμός των διατμητικών τάσεων τ, οι οποίες ονομάζονται ειδικότερα και τάσεις στρέψης, όσο και ο υπολογισμός της γωνίας στροφής των διατομών, που αντιπροσωπεύει την προκαλούμενη παραμόρφωση. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 35

36 Προκειμένου να μελετηθεί και αναλυτικά η καταπόνηση αυτή, γίνονται οι εξής απλοποιητικές παραδοχές : 1. Όλες οι διατομές της ράβδου παραμένουν επίπεδες και μετά την παραμόρφωση. Επίσης διατηρούν το σχήμα, το μέγεθος, καθώς και τη μεταξύ τους απόσταση. 2. Κάθε διατομή περιστρέφεται σαν απόλυτα στερεός δίσκος, δηλαδή σαν σύνολο, επομένως οι ακτίνες παραμένουν ευθείες. 3. Το υλικό της ράβδου είναι ομογενές και ισότροπο, ώστε οι ιδιότητες του υλικού να είναι ομοιόμορφες σε κάθε σημείο και διεύθυνση. Η διατμητική τάση τ, συνδέεται με τη γωνία διάτμησης γ μέσω του μέτρου διάτμησης G με το νόμο του Ηοοke. τ = Gγ, γ σε rad (1) Όπως υπάρχουν διαγράμματα σ-ε, υπάρχουν και αντίστοιχα διαγράμματα τ- γ. Το μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης G, συνδέεται με το Ε και με το λόγο του Poisson ν με τη σχέση : G = E/2(1+ν) (2) Παραδείγματα καταπόνησης σε στρέψη, έχουμε σε άξονες( ατράκτους) μηχανών κοίλους ή μη, όπως επίσης και ολόκληρων κτιρίων σε περίπτωση οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων. Η καταπόνηση σε στρέψη παρατηρείται επίσης στην περίπτωση που ευθείες επενέργειας των δυνάμεων δεν διέρχονται από τον κεντροβαρικό άξονα της ράβδου, όπως συμβαίνει σε μία έκκεντρα φορτιζόμενη δοκό. Πολλές φορές επίσης, συνυπάρχει με άλλες καταπονήσεις, όπως με κάμψη, εφελκυσμό. Η καταπόνηση σε στρέψη στη γενική της περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκη. Την εντατική κατάσταση ράβδου τυχαίας διατομής που καταπονείται σε στρέψη την πρωτο μελέτησε ο Saint Venant (1853). Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 36

37 ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Η διατμητική τάση τ, καθώς και η παραμόρφωση γ σε ράβδο κυκλικής διατομής τυχαίας ακτίνας r και εξωτερικής R, λόγω στεπτικής Μ t,είναι: τ=μ t /I p, γ=φ/l r,0 r R όπου Ι ρ είναι η πολική ροπή αδράνειας της κυκλικής διατομής, που αναλόγως είναι : Για συμπαγή διατομή ακτίνας R: I p =πr 4 /2 Για κοίλη, εσωτερικής ακτίνας ρ και εξωτερικής R: I p =π(r 4 -ρ 4 )/2 Για λεπτότοιχο σωλήνα πάχους t και μέσης ακτίνας r m :I p 2πr 3 m t Το παραμορφωσιακό αποτέλεσμα της στρέψης, είναι η συστροφή των διατομών μεταξύ τους κατά γωνία φ.έτσι η σχετική γωνία στροφής φ για δυο διαδοχικά σημεία Α,Β που απέχουν l είναι: φ=μ t l/gi p (φ σε rad) ή φ Β -φ Α /χ Β -χ Α =Μ t /GI p Καλείται ανηγμένη γωνία στροφής θ ( σε rad/m): θ=d φ /d x =φ/l=m t /GI p Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 37

38 Η μέγιστη διατμητική τάση παρατηρείται στη μεγαλύτερη ακτίνα R, δηλαδή στα σημεία της περιφέρειας, και επειδή W p =I p /R είναι η πολική ροπή αντίστασης της διατομής με βάση την: Τ max =Μ t /W p Για συμπαγή κυκλική διατομή η μέγιστη τιμή της τ max καθώς και η γ max αντικαθιστώντας την W p =πr 3 /2, αν D η διάμετρος, είναι: τ max =2Μ t /πr 3 =16M t /πd 3, για γ max = φ/l R Η τ στην τυχαία ακτίνα r, συναρτήσει του G και της θ, είναι: τ=gθr,(θ σε rad/m) διότι γ=θr Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 38

39 Για στοιχειώδη δίσκο, η γ είναι: Απόδειξη arc(γγ ) γ(γδ)=γdx=rdφ => γ tanγ = rdφ = rθ Αντικαθιστώντας στην (1),(3). Η διατμητική δύναμη σε διατομή da είναι τ da και η ροπή της ως προς το Κ είναι ( τ da)r.η συνολική ροπή προκύπτει ολοκληρώνοντας.από την ισορροπία των ροπών έχουμε: Μ t - (τda)r=0 => Μ Α t = r(grθda) =Gθ r^2da=gθi Α Α p dx Αν η διατομή είναι κοίλη κυκλική,η τ max εμφανίζεται και πάλι στην εξωτερική περιφέρεια ακτίνας R ενώ η τ min ( 0) στην εσωτερική ακτίνας ρ. Η φ Β -φ Α συμβολίζεται και φ Β/Α ή φ ΑΒ.Η πάκτωση θεωρείται αμετακίνητη αλλά και άστρεπτη. Για τη γωνία στροφής φ, δεχόμαστε τη σύμβαση που ισχύει και για τις στρεπτικές ροπές,ότι η θετική ροπή δημιούργει θετική γωνία στροφής, ενώ η αρνητική δημιουργεί αρνητική. Έτσι για δεξιο εξεταζόμενο άκρο η θετική ροπή δημιουργεί αριστερόστροφη γωνία, ενώ η αρνητική δεξιόστροφη. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 39

40 τ Σημειώσεις Πειραματικής Αντοχής Υλικών Για να προκύπτουν μεγάλες τιμές της I p πρέπει η κατανομή της επιφάνειας να είναι όσο γίνεται πλησιέστερα στην περιφέρεια της παρά στο κέντρο της.για το λόγο αυτό, οι κοίλες διατομές είναι αισθητά οικονομικότερες έναντι των συμπαγών, καθόσον επιτυγχάνουν καλύτερη εκμετάλλευση υλικού. Το G εκφράζει την ποιοτική αντίσταση του υλικού αφού εξαρτάται μόνον από αυτό, η δε Ι ρ την ποσοτική του αντίσταση. Το γινόμενο GI p εκφράζει τη συνολική αντίσταση της συγκεκριμένης ράβδου. Το γινόμενο GI p ονομάζεται μέτρο δυστρεψίας, ενώ το Μ t /φ=gi p /l (Nm/rad) ονομάζεται δυστρεψία.το μέτρο δυστρεψίας δηλαδή, είναι η ανηγμένη δυστρεψία μήκους l=1m. Σημειώνουμε ότι ενδιαφέρει το μέτρο της τ, και όχι το πρόσημο της. Διευκρινίζουμε όμως, ότι για τον υπολογισμό της γωνίας στροφής φ, η M t αντικαθιστάται στις ανάλογες σχέσεις με το πρόσημο της. Το αποτέλεσμα της επιβολής στρεπτικής ροπής σε ράβδο κυκλικής διατομής, είναι αφενός η ανάπτυξη διατμηματικών τάσεων τ( με μέγιστη τιμή στα σημεία της περιφέρειας) και αφετέρου η δημιουργία γωνίας στροφής φ μεταξύ των δύο άκρων της, που είναι το παραμορφωσιακό αποτέλεσμα της στρέψης. Ορθές τάσεις δεν αναπτύσσονται στη στρέψη. Η ροή των διατμητικών για διαμήκη τομή, σχεδιάζεται έτσι ώσε να ισχύει ο κανόνας αμοιβαιότητας των διατμητικών τάσεων. Για να μην αστοχεί μια ράβδος λόγω στρέψης, θα πρέπει η τ max (που εμφανίζεται στην περιφέρεια) να μην υπερβαίνει μια επιτρεπόμενη τιμή τ επ (που εξαρτάται από το υλικό της), δηλαδή : τ max R επ (συνθήκη αντοχής).επίσης θα πρέπει και η ανηγμένη γωνία στροφής θ, να μην Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 40

41 υπερβαίνει μία επιτρεπόμενη τιμή θ επ δηλαδή : θ θrεπ( παραμορφωτική συνθήκη). Πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται συγχόνως οι δύο παρακάτω συνθήκες: τ=τ επ και θ τ επ (1) Τιμές των τ επ και θ επ δίνονται απο Πίνακες.Για τον χάλυβα για παράδειγμα η θ επ είναι 0.25 /m.ειδικά για την τ επ ελλείψει άλλων στοιχείων για όλκιμα υλικά μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να λαμβάνουμε : τ επ =(0.55 εώς 0.8) σ επ (2) Αν στην (1) αντικαταστήσουμε τις τ επ και θ επ και τις λύσουμε ως προς Μ t,προκύπτουν δύο τιμές της,από τις οποίες προφανώς επιλέγουμε τη δυσμενέστερη περίπτωση, δηλαδή τη μικρότερη Μ t. Αυτή είναι και η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή της στρεπτικής ροπής που μπορεί με ασφάλεια να φέρει η ράβδος, και που συνεπώς χαρακτηρίζει την φορτο ι κανότητα της σε στρέψη.αντίστροφα, με γνωστά τα τ επ, θ επ η απαιτούμενη τιμή της διαμέτρου ώστε η ράβδος να φέρει με ασφάλεια την M t,ονομάζεται διαστασιολόγηση. ΣΤΡΕΨΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Στρέψη σε κατά τμήματα σταθερή κυκλική διατομή: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 41

42 Όταν ράβδος είναι κατά τμήματα πρισματική (Σχ. 1α), η M tγ καταπονεί τόσο το τμήμα ΑΒ ή (1), όσο και το ΒΓ ή (2), ενώ η M t καταπονεί μόνον το (1). Β Η συνολική γωνία στροφής του άκρου Γ ως προς το (άστρεπτο) Α, είναι: φ Γ Α = φ Γ φ Α = M t i l i G i I pi ν i=1, i = 1,2,3 Με τον όρο M ti εννοούμε τη στρεπτική ροπή του i τμήματος, που είναι εν γένει διαφορετική της M ti+1. Οι M ti προσδιορίζονται με τη μέθοδο των τομών. Έτσι, για τομή μεταξύ Β και Γ, εξετάζοντας το δεξιά της τομής όπου δρα η M tγ, που επειδή φαίνεται σαν να εφελκύει θεωρείται θετική. Άρα M t2 =M tγ. Για τομή μεταξύ Α,Β, εξετάζοντας το δεξιό τμήμα, η M tγ είναι θετική, ενώ η M t Β φαίνεται σαν να θλίβει τη διατομή. Έτσι είναι : M t 1 =M tγ -M t Β. Η αντίδραση M t υπολογίζεται από την ισορροπία των στρεπτικών ροπών: Α M t = 0 M t Α M t Γ +M t Β = 0 Οι μέγιστες τάσεις βέβαια, προκύπτουν διαφορετικές στα (1) και (2) και είναι: τ 1 = M t1 R 1 J 1, τ 2 = M t2 R 2 J 2 Στρέψη ράβδου μεταβλητής διατομής: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 42

43 Όταν μεταβάλλεται η διατομή (Σχ. 1β), μεταβάλλεται και η πολική ροπή αδρανείας της, δηλαδή είναι I p (χ), Σε τυχαία απόσταση χ θεωρούμε στοιχειώδη κυκλικό δίσκο μήκος dχ και (μεταβλητής) ακτίνας r(x) (που εξαρτάται δηλαδή από την απόσταση χ). Αν ασκείται και μεταβλητή ροπή Μ t (χ), έχουμε: -Η διατμητική τάση, είναι: τ(χ) = M t(x) I p (x) r(x) = M t(x) W p (x) Η μέγιστη διατμητική τάση, παρατηρείται εκεί που ο συνδυασμός Μ t (χ)/ W(x) δίνει μέγιστη τιμή. Για Μ t (χ)=σταθερό, αυτό προφανώς προκύπτει στην ελάχιστη ακτίνα, που είναι στο ελεύθερο άκρο του προβόλου (Σχ. 1β). -Η στοιχειώδης γωνία στροφής dφ, είναι: l GI p (X) dφ = M t(x) dx, οπότε σε μήκος l είναι: φ = M t(x) dx GI p (x) 0 Αν προέρχεται από κατανομή στρεπτικών ροπών m(χ) σε μήκος χ, είναι: M t (x) = m(x) x. Αν η m 0 =σταθ. (Σχ. 2α,β), είναι M t (χ) = m 0 χ (Σχ. 2γ). Για τριγωνική φόρτιση (Σχ. 2δ,ε) με μέγιστη τιμή m 0, είναι m(x) = (m 0 l)x. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 43

44 ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΣΧΥΟΣ Τα χαρακτηριστικά μεγέθη με βάση τα οποία γίνεται ο υπολογισμός ενός άξονα μεταφοράς ισχύος (που στην Μηχανολογία ονομάζεται άτρακτος), είναι η ισχύς που διαβιβάζει καθώς και η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται. Ο Μηχανικός καλείται να επιλέξει το κατάλληλο υλικό και να καθορίσει την απαιτούμενη διατομή του, ώστε η δεδομένη ισχύς να διαβιβαστεί με ασφάλεια, χωρίς δηλαδή να ξεπεραστεί η επιτρεπόμενη διατμητική τάση τ επ του επιλεχθέντος υλικού. Η τ επ δίνεται από κανονισμούς, οι οποίοι πάντως προβλέπουν τιμές πολύ χαμηλότερες από τις αντίστοιχες ορθές. Η στρεπτική ροπή M t σε κινητήρια άτρακτο που περιστρέφεται από κινητήρα (Σχ. 3α) με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και που διαβιβάζει ισχύ Ν, προκύπτει από τη σχέση: N = M t ω = M t 2πν = 2π 60 Μ tn, n σε r. p. m. Όπου η ω εκφράζεται σε rad sec, η συχνότητα περιστροφής ν σε Hz = sec 1, n σε στροφές ανά λεπτό r.p.m., Ν σε Watts (1PS = 75 kpm sec = 736Watts). Η ροπή στρέψης M t προκύπτει και από τον εύχρηστο τύπο: M t = K n, N σε PS, n σε r. p. m., M t σε kpcm Η ισχύς που παράγεται από κάποιο κινητήρα διαβιβάζεται σε άλλον άξονα, με διάφορους τρόπους, όπως: -Γρανάζι σε γρανάζι άμεσα (Σχ. 5α), ή έμμεσα μέσω αλυσίδας (Σχ. 5β). -Τροχαλία σε τροχαλία άμεσα (Σχ. 4), ή έμμεσα μέσω ιμάντα (Σχ. 6). Αμελώντας τις μικρές απώλειες ισχύος λόγω τριβών, αν (1) και (2) είναι δύο συνεργαζόμενα γρανάζια (Σχ. 3β,γ), επειδή στο κοινό σημείο επαφής τους Α η γραμμική ταχύτητα u (=ωr) είναι ίδια, τόσο για το (1) όσο και για το (2), οι λόγοι των στροφών τους, των ακτινών τους, των στρ. ροπών τους, κ.λπ. είναι: n 1 n 2 = ω 1 ω 2 = R 1 R 2 = z 1 z 2 = M t1 M t 2, u 1 = u 2, N 1 = N 2 (3) όπου z 1, z 2 ο αριθμός οδόντων του κάθε οδοντωτού τροχού (γραναζιού). Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 44

45 Δύο συνεργαζόμενα γρανάζια, ασκούν το ένα στο άλλο στο σημείο επαφής τους δύναμη F. Αν M t είναι η ροπή που διαβιβάζει το κινητήριο γρανάζι (Σχ. 3β), από την ισορροπία του για τις στρεπτικές ροπές, έχουμε: M t1 = FR 1 Η F λόγω δράσης-αντίδρασης μεταφέρεται και στο κινούμενο γρανάζι (Σχ.3β), δίνοντας ροπή ως προς το κέντρο του FR 2. Επειδή περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 2, πρέπει η απαιτούμενη για την ισορροπία του στρεπτική ροπή να είναι: M t2 = FR 2. Οι M t1, M t2 συνδέονται με την (3). -Τα ίδια ισχύουν και για συνεργαζόμενες τροχαλίες Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 45

46 ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΡΕΨΗΣ Στατικά αόριστο ή υπερστατικό λέγεται ένα πρόβλημα στρέψης, όταν ο αριθμός των αγνώστων υπερβαίνει τις εξισώσεις στρεπτικής ισορροπίας. Η διαφορά λέγεται βαθμός υπερστατικότητας. Αν Μ tα, Μ tγ οι άγνωστοι, στην αμφίπακτη δοκό του (Σχ. 7α), ισχύει: Μ tα Μ t + Μ tγ = 0 (1). H (1) δεν αρκεί, αφού είναι μία ενώ οι άγνωστοι δύο. Αναζητούμε μία ακόμη εξίσωση, την εξίσωση συμβιβαστού των (γωνιακών) παραμορφώσεων. 1 ος τρόπος: Αντικαθιστούμε τη μία πάκτωση με την αντίδραση της, έστω τη δεξιά με την Μ tγ. Αυτή τώρα φαίνεται σαν εξωτερική ροπή (Σχ. 7β). Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 46

47 Ή, εκφράζουμε τις ροπές και τις γωνίες των ΑΒ, ΒΓ συναρτήσει της Μ tγ : M ΒΓ = +Μ tγ, φ ΒΓ = M ΒΓ b GΙ Ρ, Μ ΑΓ = Μ tγ M t, φ ΑΒ = Μ ΑΒ α GI p Κατόπιν απαιτούμε το αλγεβρικό άθροισμα των φ ΑΒ, φ ΒΓ να ισούται με μηδέν: φ ΑΒ + φ ΒΓ = 0 (2) M tγ M t α GI p + M tγ b GI p = 0 (2 ) Από την (2 ) υπολογίζεται η Μ tγ. Η Μ tα υπολογίζεται από την (1). 2 ος τρόπος: Με βάση τις Μ ΑΒ, M ΒΓ του 1 ου τρόπου, εκφράζουμε τις γωνίες στροφής των τμημάτων (θεωρώντας άξονα χ προς τα δεξιά), ως εξής: φ Γ φ Β = Μ ΒΓ b GI p (3), φ Β φ Α = Μ ΑΒ a GI p (4) Λόγω των πακτώσεων όμως, είναι φ Α = φ Γ = 0, οπότε επιλύουμε το σύστημα των (1), (3), (4) ως προς τα τρία άγνωστα μεγέθη Μ tα, Μ tγ, φ Β. Γενικεύοντας, όταν αμφίπακτη ράβδος χωρίζεται σε ν διαφορετικά τμήματα, δηλ. στα (1), (2), (3), ν, που το καθένα στρέφεται από ροπή Μ ti ισχύει: Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 47

48 φ 1 + φ φ ν = 0 = 0 Μ t1 l 1 + M t 2 l M t ν l ν = 0 ή M t i l i G 1 I p1 G 2 I p2 G ν I pν G i I pi ν i=1 3 ος τρόπος: Μέθοδος της επαλληλίας Στο (Σχ. 7β) η Μ tγ στρέφει (θετικά) όλο το μήκος a+b, ενώ η Μ t στρέφει (αρνητικά) μόνο το μήκος a. Λόγω των άστρεπτων πακτώσεων (Σχ. 7α), πρέπει: φ MtΓ + φ Mt = 0 (5) M tγ (a + b) GI p + ( M t )a GI p = 0 (5 ) Από την (5 ) υπολογίζεται η Μ tγ. Ο 3 ος τρόπος είναι ο καλύτερος. -Όταν I ομοαξονικές ράβδοι στρέφονται από Μ t (Σχ. 8ε), είναι: φ α = φ β = = φ i (6) Αν ράβδοι είναι π.χ. δύο ένα μέρος Μ α της εξωτερικής ροπής, παραλαμβάνει το ένα υλικό (Σχ. 8β), και το υπόλοιπο Μ β το άλλο, οπότε (Σχ. 8δ): M a + M β = M t (7) Από το σύστημα των (6), (7) προκύπτουν οι Μ α, Μ β. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 48

49 ΣΤΡΕΨΗ ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Όταν το πάχος t (=R ρ ) δακτυλιδοειδούς διατομής είναι αξιόλογο συγκριτικά με τις ακτίνες, τότε η πολική ροπή αδράνειας είναι Ι p = π (R 4 ρ 4 ) 2. Λεπτότοιχος κυλινδρικός σωλήνας Αν το πάχος t του τοιχώματος είναι μικρό συγκριτικά με την ακτίνα (Σχ. 9α), τότε οι διατμητικές τάσεις μπορούν με ικανοποιητική προσέγγιση να θεωρηθούν σταθερές κατά μέγεθος στο πάχος t. Η μέση ακτίνα τότε είναι r m = R t 2 = ρ + t 2, οπότε η πολική ροπή αδράνειας δίνεται από τη σχέση: *Τυχαία λεπτότοιχη διατομή I p 2πr m 3 t Έστω λεπτότοιχη σωληνοειδής ράβδος τυχαίας διατομής (Σχ. 9γ ή 10α), στην οποία επιβάλλεται στρεπτική ροπή M t. H διατμητική τάση τ, είναι: τ = M t 2A m t όπου A m = 1 r ds (1) 2 s όπου: ds το στοιχειώδες τόξο που απέχει (μεταβλητή) απόσταση r από το κέντρο στροφής. A m το εμβαδόν που περικλείεται από τη μέση ακτίνα r m. -Από την (1) προκύπτει ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max θα παρατηρηθεί στο ελάχιστο πάχος τοιχώματος t min. Δρ. Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος 49