Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Γεώργιος Σαρρής του Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 6631 Θέμα «Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο» Επιβλέπων Γρηγόριος Καλύβας Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιούλιος 2012

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο» Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Γεωργίου Σαρρή του Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 6631 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Γρηγόριος Καλύβας, Καθηγητής Ο Διευθυντής του Τομέα Ευθύμιος Χούσος, Καθηγητής

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο» Φοιτητής: Γεώργιος Σαρρής Επιβλέπων: Γρηγόριος Καλύβας Περίληψη Στην εργασία αυτή περιγράφεται η διαδικασία σχεδίασης ενός ενισχυτή χαμηλού θορύβου, ο οποίος αποτελεί το πιο κρίσιμο κομμάτι ενός δέκτη υψηλών συχνοτήτων όσον αφορά τη θορυβική συμπεριφορά. Η μέθοδος εφαρμόζεται στη σχεδίαση ενός ενισχυτή χαμηλού θορύβου στη συχνότητα των 1.42 GHz, ο οποίος θα αποτελέσει το πρώτο στάδιο του δέκτη ενός ραδιοτηλεσκόπιου. Τέλος σχεδιάζεται η πλακέτα πάνω στην οποία υλοποιείται ο ενισχυτής και παρουσιάζονται τεχνικές μέτρησης πολύ χαμηλού θορύβου.

4 Στους γονείς μου, Μιχάλη και Γεωργία.

5 Ευχαριστίες: Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Γρηγόρη Καλύβα για την πολύτιμη βοήθεια και υποστήριξη που μου παρείχε κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας αυτής. Επίσης θα ήθελα να πω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον επίκουρο καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Ευσταθίου για την απεριόριστη και ανεκτίμητη στήριξη και βοήθεια που μου έχει προσφέρει όλα τα χρόνια που είμαι φοιτητής στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδάκτορα ηλεκτρολόγο μηχανικό Μιχάλη Παπαμιχαήλ για τη βοήθεια που μου παρείχε σε πρακτικά θέματα σχεδίασης και στην εκμάθηση του πακέτου ηλεκτρομαγνητικής εξομοίωσης Momentum. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, στους οποίους αφιερώνεται και η εργασία αυτή, για την απεριόριστη ηθική και υλική στήριξη που μου παρέχουν όλα αυτά τα χρόνια. Γ. Σαρρής Πάτρα 2012

6 Περιεχόμενα: Εισαγωγή 1 Κεφάλαιο 1: Βασική θεωρία γραμμών μεταφοράς. 3 Κεφάλαιο 2: Παράμετροι σκέδασης (S παράμετροι) και κέρδη ισχύος 12 Κεφάλαιο 3: Ο χάρτης Smith 44 Κεφάλαιο 4: Θόρυβος 52 Κεφάλαιο 5: Σχεδιασμός δικτυωμάτων προσαρμογής (matching networks). 68 Κεφάλαιο 6: Ευστάθεια 88 Κεφάλαιο 7: Κύκλοι σταθερού κέρδους, εικόνας θορύβου και λόγου στάσιμου κύματος Κεφάλαιο 8: Μεθοδολογία σχεδίασης ενισχυτή χαμηλού θορύβου 111 Κεφάλαιο 9: Σχεδιασμός και υλοποίηση narrowband LNA στα 1.42GHz. 125 Κεφάλαιο 10: Μετρήσεις Θορύβου. 161 Παράρτημα Α: Διγραμμικοί Μετασχηματισμοί. 178 Παράρτημα Β: Εξισώσεις γραμμής μικροταινίας. 180 Παράρτημα Γ: Τα μη ιδανικά παθητικά στοιχεία και τα μοντέλα τους.189 Βιβλιογραφία...199

7 Σχεδίαση και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για εφαρμογή σε ραδιοτηλεσκόπιο. Εισαγωγή Στις μέρες μας οι τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές έχουν κατακλύσει το τεχνολογικό τοπίο. Η καθημερινότητα των ανθρώπων περιλαμβάνει μια πληθώρα δραστηριοτήτων, οι οποίες στηρίζονται στην επικοινωνία μεταξύ τους και όχι μόνο. Όλοι σήμερα χρησιμοποιούν κινητά τηλέφωνα προκειμένου να έρχονται ανά πάσα στιγμή σε επαφή με άτομα του περιβάλλοντός τους. Η ραγδαία ανάπτυξη και εξάπλωση του Internet έχει ενώσει τους υπολογιστές όλου του κόσμου δημιουργώντας έναν ιστό τεραστίων διαστάσεων. Οι εφαρμογές όμως δε σταματούν εδώ. Η εξέλιξη των επικοινωνιών έχει επηρεάσει και ένα σύνολο επιστημών, όπως την ιατρική. Με την εμφύτευση ενός κυκλώματος στο ανθρώπινο σώμα, ο γιατρός μπορεί ανά πάσα στιγμή να παρακολουθεί την κατάσταση του ασθενούς και να λαμβάνει τις κατάλληλες αποφάσεις που επιτάσσουν τα δεδομένα που λαμβάνει. Τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι πλέον ζωτικό κομμάτι του σύγχρονου τρόπου ζωής. Στο βάθος κάθε τηλεπικοινωνιακής εφαρμογής υπάρχουν τα συστατικά που την υλοποιούν. Αυτά είναι κατά κύριο λόγο ηλεκτρονικά κυκλώματα, τα οποία συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν πολύπλοκα συστήματα και εφαρμογές. Οι δύο κύριες οντότητες ενός συστήματος με δυνατότητες επικοινωνίας είναι ο πομπός και ο δέκτης. Ο πομπός επεξεργάζεται και μετατρέπει το σήμα στην κατάλληλη συχνότητα και μορφή που επιβάλλει το κανάλι. Το σήμα στη συνέχεια μετατρέπεται σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στην κεραία και μεταδίδεται στο μέσο. Ο δέκτης από την άλλη δέχεται το σήμα που στάλθηκε σε μορφή ιδιαίτερα εξασθενημένη λόγω της διέλευσής του μέσω του καναλιού. Σκοπός του είναι, αφού το λάβει να το επεξεργαστεί ώστε να μας το δώσει στην αρχική του μορφή. Ας δούμε με λίγη περισσότερη λεπτομέρεια το σύστημα του δέκτη. Μια τυπική μορφή δέκτη φαίνεται στο σχήμα 1. Σχ.1. Υπερετερόδυνος δέκτης. Το ιδιαίτερα εξασθενημένο σήμα εισέρχεται στην είσοδο του πρώτου ενισχυτή (αριστερά), ο οποίος έχει την ευθύνη να το ενισχύσει τόσο ώστε οι υπόλοιπες βαθμίδες να μπορούν να το επεξεργαστούν. Το σήμα αυτό έχει ενσωματωθεί σε ένα σήμα υψηλής συχνότητας (οι χαμηλές συχνότητες δεν μπορούν να μεταδοθούν μέσω του αέρα) και πρέπει να επανέλθει στην αρχική χαμηλή συχνότητα ώστε να επεξεργαστεί στο δέκτη. Ο μείκτης πολλαπλασιάζει το σήμα αυτό με το σήμα του τοπικού ταλαντωτή. Ο μείκτης εξάγει δύο σήματα. Το ένα έχει ως συχνότητα το άθροισμα των συχνοτήτων των σημάτων εισόδου και το άλλο έχει ως συχνότητα τη διαφορά τους. Στο δέκτη κρατάμε τη διαφορά τους και το άλλο σήμα φιλτράρεται από ένα κατωπερατό φίλτρο. Το σήμα που μένει ενισχύεται και περνά στον αποδιαμορφωτή (demodulator). Ο τελευταίος απομακρύνει το σήμα υψηλής συχνότητας 1

8 Εισαγωγή στο οποίο έχει ενσωματωθεί το αρχικό σήμα και μας δίνει το σήμα στην γνήσια μορφή του. Τέλος το σήμα αυτό ενισχύεται και είναι ίδιο με αυτό που εισήλθε στον πομπό προς επεξεργασία. Μία πολύ σημαντική παράμετρος των συστημάτων αυτών είναι ο θόρυβος. Σα θόρυβο μπορούμε να θεωρήσουμε γενικά οποιοδήποτε ανεπιθύμητο σήμα το οποίο εμφανίζεται στις εφαρμογές μας. Αυτός μπορεί να είναι σήματα από γειτονικά κανάλια ή σήματα τα οποία γεννιούνται στο εσωτερικό των κυκλωμάτων και έχουν να κάνουν με την κίνηση των φορέων φορτίου (οπές, ηλεκτρόνια). Κάθε σύστημα επομένως, ακόμα και αν λειτουργεί σε περιβάλλον χωρίς κανένα σήμα θα παράγει κάποιο σήμα θορύβου, το οποίο θα έχει μικρό πλάτος και ισχύ. Τα σήματα που χειρίζεται ένας δέκτης φθάνουν σε αυτόν σε πολύ ασθενή μορφή. Αν το σήμα αυτό είναι πάρα πολύ εξασθενημένο και το πλάτος του είναι μικρότερο από το πλάτος του θόρυβο το σύστημα δε μπορέσει να το αναγνωρίσει καν, πόσο μάλλον να το επεξεργαστεί. Θα το ερμηνεύσει ως θόρυβο και θα είναι σα να μην εισήλθε σε αυτόν. Για να μπορέσει λοιπόν ένα σύστημα να χειριστεί πολύ μικρά σήματα στην είσοδο, πρέπει να παράγει όσο το δυνατόν λιγότερο θόρυβο. Όπως θα δούμε παρακάτω, ο θόρυβος ενός συνόλου συστημάτων που συνδέονται σε αλυσίδα (cascade) εξαρτάται από το θόρυβο και το κέρδος της πρώτης βαθμίδας [1]. Επομένως ο ενισχυτής μετά την κεραία πρέπει να εισάγει στο σύστημα όσο το δυνατό λιγότερο θόρυβο και επιπλέον να παρουσιάζει αξιόλογο κέρδος. Ο ενισχυτής αυτός ονομάζεται ενισχυτής χαμηλού θορύβου (Low Noise Amplifier, LNA) και αποτελεί το πιο κρίσιμο στοιχείο του δέκτη, αφού είναι αυτό που στην ουσία καθορίζει πόσο καλά ο τελευταίος θα αναγνωρίζει και θα επεξεργάζεται τα μικρά σήματα. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η σχεδίαση ενισχυτών χαμηλού θορύβου, οι οποίοι παρουσιάζουν πολύ χαμηλό θόρυβο σε συνδυασμό με αξιόλογο κέρδος και ευσταθή λειτουργία. Προκειμένου να σχεδιαστεί μια τέτοια βαθμίδα πρέπει να υπάρχει καλή γνώση της θεωρίας σχεδίασης σε RF και μικροκυματικές συχνότητες. Το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο παρουσιάζεται στα πρώτα 7 κεφάλαια. Στο κεφάλαιο 8 γίνεται εφαρμογή των εννοιών και παρουσιάζεται η μεθοδολογία σχεδίασης ενός τέτοιου ενισχυτή. Στο κεφάλαιο 9 η μεθοδολογία αυτή χρησιμοποιείται για τη σχεδίαση ενός LNA στη συχνότητα των 1.42GHz, ο οποίος θα χρησιμοποιηθεί ως η πρώτη βαθμίδα μετά την κεραία στο δέκτη ενός ραδιοτηλεσκόπιου, το οποίο θα χρησιμοποιηθεί για παρατηρήσεις στη ζώνη του υδρογόνου. Τέλος στο κεφάλαιο 10 παρουσιάζονται τεχνικές μέτρησης χαμηλού θορύβου, ώστε να εξακριβωθεί η ικανοποιητική λειτουργία του κυκλώματος που σχεδιάστηκε. 2

9 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Κεφάλαιο 1. Βασική Θεωρία Γραμμών Μεταφοράς Το πιο βασικό στοιχείο των μικροκυματικών κυκλωμάτων είναι οι γραμμές μεταφοράς και οι κυματοδηγοί. Τα στοιχεία αυτά στις υψηλές συχνότητες αντικαθιστούν τα απλά καλώδια στα κυκλώματα μικρών συχνοτήτων. Με το πιο συνηθισμένο στοιχείο από τα δύο να είναι οι γραμμές μεταφοράς, οι κυματοδηγοί χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητη η μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ισχύος σε μεγαλύτερες αποστάσεις. Οι γραμμές μεταφοράς εκτός του το ότι είναι το βασικό στοιχείο διασύνδεσης σε επίπεδο κυκλώματος αλλά και συστήματος έχουν και άλλες ιδιότητες, όπως για παράδειγμα το μετασχηματισμό εμπέδησης, που είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη σχεδίαση μικροκυματικών κυκλωμάτων. Στο κεφάλαιο αυτό λοιπόν γίνεται μια στοιχειώδης ανάλυση, παρόμοια με αυτή της παραπομπής [1], των γραμμών μεταφοράς για λειτουργία μόνιμης ημιτονοειδούς κατάστασης. Μέσω αυτής προκύπτουν αυτές οι πολύ χρήσιμες ιδιότητές τους. 1.1 Κατανεμημένο μοντέλο γραμμής μεταφοράς Υπάρχουν πολλά είδη γραμμών μεταφοράς. Κάποια συνηθισμένα είδη είναι η δισύρματη γραμμή μεταφοράς, το ομοαξονικό καλώδιο και η γραμμή μικροταινίας. Η τελευταία βρίσκει σημαντική εφαρμογή στην σχεδίαση και την κατασκευή μικροκυματικών ενισχυτών. Λόγω της λειτουργίας των γραμμών μεταφοράς σε υψηλές συχνότητες, το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στις τελευταίες είναι συγκρίσιμο με το φυσικό μήκος των γραμμών μεταφοράς. Επομένως οι γραμμές τελευταίες δεν μπορούν να αντιμετωπισθούν ως συγκεντρωμένα στοιχεία και για την περιγραφή τους είναι απαραίτητη η ανάπτυξη κατάλληλου κυκλωματικού μοντέλου που περιγράφει τον κατανεμημένο χαρακτήρα τους. Εδώ θα γίνει η ανάπτυξη του μοντέλου αυτού και θα περιγραφεί η συμπεριφορά τους όσον αφορά τάσεις και ρεύματα χωρίς να χρειαστεί να καταφύγουμε στις εξισώσεις Maxwell. Η ανάλυση με βάση τις τελευταίες παρουσιάζεται στην παραπομπή [11]. Ένα ηλεκτρικό μοντέλο για τη γραμμή μεταφοράς παρουσιάζεται στο σχήμα 1.1. Η γραμμή μεταφοράς μπορεί να θεωρηθεί ως ένα δίθυρο που λαμβάνει ισχύ από μια πηγή σήματος V s και την αποδίδει σε ένα φορτίο Z L. l Zs Vs + - Z L Σχ. 1.1 Η γραμμή μεταφοράς μήκους l ως δίθυρο που λαμβάνει ισχύ από την πηγή τάσης Vs και την αποδίδει στο φορτίο Z L. 3

10 Βασική θεωρία γραμμών μεταφοράς Το μήκος της l μπορεί να διαιρεθεί σε πολλά μικρά και όμοια κομμάτια μήκους Δx όπως φαίνεται στο σχήμα 1.2. Κάθε τμήμα Δx μπορεί να μοντελοποιηθεί με 4 συγκεντρωμένα στοιχεία, τα οποία είναι τα εξής: Μία εν σειρά αντίσταση ανά μονάδα μήκους RΔx, η οποία μοντελοποιεί τις ωμικές απώλειες που σχετίζονται με τον αγωγό που υλοποιεί τη γραμμή. Μία εν σειρά επαγωγή ανά μονάδα μήκους LΔx, η οποία μοντελοποιεί την αυτεπαγωγή της γραμμής που υπάρχει λόγω του μήκους της. Μια εγκάρσια χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους CΔx, η οποία μοντελοποιεί τη χωρητικότητα που υπάρχει. Αυτή οφείλεται στον πυκνωτή που σχηματίζεται και έχει σαν πλάκες τον αγωγό σήματος και τον αγωγό επιστροφής ενώ σα διηλεκτρικό έχει το υλικό που παρεμβάλλεται μεταξύ αυτών (αέρας στις εναέριες γραμμές ή άλλο διηλεκτρικό υλικό στην περίπτωση της ομοαξονικής γραμμής και της μικροταινίας). Μια εγκάρσια αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους GΔx, η οποία μοντελοποιεί τις απώλειες του διηλεκτρικού μέσου μεταξύ των αγωγών. Οι παράμετροι αυτές παραμένουν σταθερές για όλο το μήκος της γραμμής σε περίπτωση που η τελευταία είναι ομοιόμορφη. l Zs RΔx LΔx Vs + - GΔx CΔx Z L Δx Σχ. 1.2 Το κατανεμημένο μοντέλο της γραμμής μεταφοράς που αποτελείται από απειροστά μικρά τμήματα, το καθένα από τα οποία μοντελοποιείται με κατανεμημένα κυκλωματικά στοιχεία. Στο σχήμα 1.3 φαίνεται ένα από τα τμήματα μήκους Δx για μια γενικής μορφής γραμμή μεταφοράς (Σχ. 1.3.α) και για μια γραμμή χωρίς απώλειες (Σχ. 1.3.β) καθώς και οι τάσεις και τα ρεύματα στις θύρες εισόδου και εξόδου. Επειδή το κύκλωμα της γραμμής μεταφοράς έχει κατανεμημένο χαρακτήρα, οι τάσεις και τα ρεύματα είναι συναρτήσεις της θέσης και του χρόνου (όχι μόνο του χρόνου όπως στα συγκεντρωμένα κυκλώματα). Στη θύρα εισόδου η τάση και το ρεύμα είναι v(x, t) και i(x, t), ενώ στη θύρα εξόδου v(x + Δx, t) και i(x + Δx, t). 4

11 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο i(x,t) i(x+δx,t) i(x,t) i(x+δx,t) + RΔx LΔx + + RΔx LΔx + v(x,t) GΔx CΔx v(x+δx,t) v(x,t) GΔx CΔx v(x+δx,t) Δx Δx (α) (β) Σχ. 1.3 Το μοντέλο για ένα απειροστό τμήμα μήκους Δx στο οποίο παρουσιάζονται και οι τάσεις και τα ρεύματα στις θύρες εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. 1.2 Γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες Εφαρμόζοντας τους κανόνες τάσεων και ρευμάτων του Kirchhoff στον βρόχο του κυκλώματος στο σχήμα 1.3.α και χρησιμοποιώντας φάσορες παίρνουμε τις εξής εξισώσεις για τα ρεύματα και τις τάσεις που υπάρχουν στη γραμμή: v(x, t) = Re V(x)e jωt = Re[Ae j(βx ωt) + Be j(βx+ωt) ] (1.1) i(x, t) = Re I(x)e jωt = Re[ A Z 0 e j(βx ωt) B Z 0 e j(βx+ωt) ] (1.2) Για πραγματικούς συντελεστές A και B οι εξισώσεις γίνονται: v(x, t) = Acos(ωt βx) + Bcos(ωt + βx) (1.3) i(x, t) = A Z 0 cos(ωt βx) B Z 0 cos(ωt + βx) (1.4) όπου β 2 = ω LC (1.5) Η σταθερά β ονομάζεται σταθερά διάδοσης (propagation constant) και έχει μονάδες ακτίνια ανά μέτρο (rad/m). 5

12 Βασική θεωρία γραμμών μεταφοράς Το μέγεθος β συνδέει ρεύμα με τάση. Έτσι σε αναλογία με τα συγκεντρωμένα κυκλώματα μπορούμε ωl να ορίσουμε την χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής, η οποία είναι: Ζ 0 = ωl β = ωl ω LC = L C (1.6) Για γραμμή χωρίς απώλειες η χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής μεταφοράς είναι πραγματική. Για γραμμή με απώλειες είναι μιγαδική και το φανταστικό μέρος έχει να κάνει με τις απώλειες. Οι συναρτήσεις Acos(ωt βx) και Bcos(ωt + βx) είναι κυματοσυναρτήσεις. Οι τάσεις και τα ρεύματα πλέον δεν είναι απλές συναρτήσεις του χρόνου αλλά κύματα, δηλαδή εξαρτώνται και από τη θέση. Αυτό οφείλεται στον κατανεμημένο χαρακτήρα της γραμμής μεταφοράς στις υψηλές συχνότητες. Ας εξετάσουμε λοιπόν τα κυματικά χαρακτηριστικά των τάσεων και των ρευμάτων που προκύπτουν. Έστω η συνάρτηση v 1 (x, t) = Acos(ωt βx). Ας θεωρήσουμε τη θέση x σταθερή και ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της ως προς το χρόνο. Η συνάρτηση v 1 (0, t) μεταβάλλεται ημιτονοειδώς καθώς αυξάνεται ο χρόνος t όπως φαίνεται στο σχήμα 1.4. Το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών ίσων τιμών του περιοδικού σήματος (για ωt=2π) ορίζεται ως η περίοδός του και δίνεται από τη σχέση: ωt t=t = 2π ή Τ = 2π ω = 1 f Σχ.1.4 Eξέλιξη της συνάρτησης v 1 (x, t) με το χρόνο (σχήμα 1.3.3(a) από Guillermo Gonzalez, Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and design, 2 nd edition). Στη συνέχεια ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ως προς τη μεταβολή τη θέσης. Θέτουμε λοιπόν t=0 και η συνάρτηση v 1 (x, 0) = Acos(βx) παρουσιάζεται στo σχήμα

13 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Σχ.1.5 Eξέλιξη της συνάρτησης v 1 (x, t) με τη θέση (σχήμα 1.3.3(b) από Guillermo Gonzalez, Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and design, 2 nd edition). Εδώ η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ίσων τιμών του σήματος ορίζεται ως το μήκος κύματος, το οποίο δίνεται από τη σχέση βx x=λ = 2π ή λ = 2π β (1.7) Θεωρούμε τώρα δύο τιμές της συνάρτησης v 1 (x, t) σα συνάρτηση του χρόνου και της θέσης. Επικεντρώνουμε την προσοχή μας σε ένα σημείο σταθερής φάσης, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.6 και παρατηρούμε που βρίσκεται για κάποια χρονική στιγμή t 1 και για μια χρονική στιγμή t 2 >t 1. Σχ.1.6 Υπολογισμός της ταχύτητας φάσης (σχήμα 1.3.3(c) από Guillermo Gonzalez, Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and design, 2 nd edition). Έχουμε λοιπόν v 1 (x 1, t 1 ) = Acos(βx 1 ωt 1 ) και v 2 (x 1, t 1 ) = Acos(βx 2 ωt 2 ) 7

14 Βασική θεωρία γραμμών μεταφοράς και ισχύει v 1 (x, t 1 ) = v 2 (x, t 2 ) το οποίο οδηγεί σε βx 1 ωt 1 = βx 2 ωt 2 και τελικά θα έχουμε: v p = x 2 x 1 t 2 t 1 = ω β = ω = 1 ω LC LC (1.8) που είναι η ταχύτητα φάσης του σημείου α. Όταν ένα σήμα αποτελείται από πολλές συχνότητες μεταδίδεται με την ταχύτητα ομάδας dβ dω (ταχύτητα του κυματοδέματος), ενώ μια μεμονωμένη συχνότητα μεταδίδεται σε ένα μέσο με την ταχύτητα φάσης. Κάθε διαφορετική συχνότητα λόγω της διαφορετικής ταχύτητάς του στη γραμμή, υφίσταται διαφορετική στροφή φάσης καθώς μεταδίδεται κατά μήκος της. Βέβαια στην περίπτωση μιας γραμμής μεταφοράς χωρίς απώλειες η ταχύτητα ομάδας είναι ίδια με την ταχύτητα φάσης και ανεξάρτητη από τη συχνότητα, μιας και από την εξίσωση 1.8 έχουμε dβ = 0. Λέμε λοιπόν ότι μια dω γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες δεν παρουσιάζει φαινόμενα διασποράς. Στην πραγματικότητα όμως επειδή η γραμμή έχει απώλειες και άλλες μη ιδανικότητες, είναι πρέπον να υπολογίζεται η διαφορετική συμπεριφορά της γραμμής πάνω σε σήμα κάθε συχνότητας που διαδίδεται μέσω αυτής με τη βοήθεια της ανάλυσης Fourier. Αν αντικαταστήσουμε την (1.18) στην (1.27) βάσει της (1.28) θα πάρουμε: λ = 2π β = 2π ω LC = v p f = v pt (1.9) που είναι η κυματική εξίσωση. Αν το μέσο είναι το κενό, τότε v p = c = m s. Δηλαδή το μήκος κύματος είναι η απόσταση που διανύει ένα κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. Αφού η ποσότητα ω β της (1.8) είναι θετική, τότε για t 2 > t 1, υποχρεωτικά θα ισχύει x 2 > x 1. Άρα όσο ο χρόνος περνάει το σημείο σταθερής φάσης κινείται προς τα δεξιά. Άρα η εξίσωση v 1 (x, t) = Acos(ωt βx) παριστάνει ένα κύμα το οποίο ταξιδεύει με ταχύτητα φάσης v p από την πηγή προς το φορτίο. Το κύμα αυτό ονομάζεται εξερχόμενο κύμα όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στην πηγή και προσπίπτον όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στο φορτίο. Παρόμοια ανάλυση για το κύμα Βcos(βx 1 + ωt 1 ) μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αυτό κινείται με ταχύτητα v p αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση (προς την πηγή). Αυτό το κύμα ονομάζεται εισερχόμενο όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στην πηγή, ενώ ανακλώμενο όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στο φορτίο. Από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιούμε τους όρους προσπίπτον και ανακλώμενο κύμα υποθέτοντας ότι ο παρατηρητής μας βρίσκεται στο φορτίο. Οι εξισώσεις (1.3) και (1.4) λοιπόν μας δείχνουν ότι σε μια γραμμή μεταφοράς οι τάσεις και τα ρεύματα αποτελούνται από μια συνιστώσα προσπίπτοντος και μια συνιστώσα ανακλώμενου κύματος, γεγονός το οποίο μαρτυρά την ύπαρξη στάσιμων κυμάτων στη γραμμή. Αν υιοθετήσουμε αναπαράσταση με φάσορες το προσπίπτον κύμα Acos(βx ωt) συμβολίζεται με την ποσότητα 8

15 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Αe jbβx, ενώ το ανακλώμενο Βcos(βx + ωt) σχετίζεται με την ποσότητα Βe jbβx. Η ποσότητα βx ονομάζεται ηλεκτρικό μήκος της γραμμής και έχει μονάδες μοίρες ή ακτίνια. Στο σχήμα 1.7 φαίνεται μια γραμμή μεταφοράς μήκους l, χαρακτηριστικής εmπέδησης Z 0, στο ένα άκρο της οποίας είναι συνδεδεμένο ένα φορτίο Ζ L. Υπάρχουν δύο τρόποι αναπαράστασης του προβλήματος. Ο ένας φαίνεται στο σχήμα 1.7(α), όπου η πηγή φαίνεται να βρίσκεται στη θέση x=0, ενώ το φορτίο στη θέση x=l. Το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα παριστάνονται με τα κυματιστά βέλη. Γ ΙΝ (d) l l Z 0 Αe -jbx Be jbx Z L Z 0 Αe jbd Be -jbd Z L x=0 x=l (α) d=l d=0 (β) Σχ.1.7 Προσπίπτον και ανακλώμενο κύμα σε γραμμή μεταφοράς μήκους l και χαρακτηριστικής εμπέδησης 50Ω. Σε ορισμένα προβλήματα είναι απαραίτητο να κινούμαστε προς τα θετικά καθώς προχωράμε από το φορτίο προς την πηγή. Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνουμε την αντικατάσταση x = l d. Πλέον έχουμε για τις τάσεις και τα ρεύματα: V(d) = A 1 e jβd + B 1 e jβd (1.10) και Ι(d) = A 1 Ζ 0 e jβd B 1 Ζ 0 e jβd (1.11) όπου το εκθετικό με τον θετικό εκθέτη συμβολίζει πλέον το προσπίπτον κύμα, ενώ αυτό με τον αρνητικό εκθέτη συμβολίζει το ανακλώμενο. Στις παραπάνω σχέσεις είναι Α 1 = Αe jβl και Β 1 = Βe jβl. Σα συντελεστή ανάκλασης ορίζουμε το λόγο του ανακλώμενου προς το προσπίπτον κύμα κατά μήκος της γραμμής μεταφοράς. Στο σχήμα 1.7(β) ο συντελεστής ανάκλασης στην είσοδο της γραμμής είναι: Γ ΙΝ (d) = B 1e jβd A 1 e jβd = B 1 A 1 e 2jβd (1.12) Ο συντελεστής ανάκλασης του φορτίου, συμβολίζεται με Γ 0 και είναι 9

16 Βασική θεωρία γραμμών μεταφοράς Γ 0 = Γ ΙΝ (0) = B 1 A 1 Άρα η (1.12) μπορεί να εκφραστεί ως: Γ ΙΝ (d) = B 1e jβd A 1 e jβd = Γ 0e 2jβd (1.13) Λόγω της (1.13) οι (1.10) και (1.11) καταλήγουν στη μορφή: V(d) = A 1 e jβd + Γ 0 e jβd = A 1 e jβd (1 + Γ 0 e j2βd ) (1.14) Ι(d) = A 1 Ζ 0 e jβd Γ 0 e jβd = A 1 Ζ 0 e jβd (1 Γ 0 e j2βd ) (1.15) όπου η τιμή της μιγαδικής σταθεράς A 1 βρίσκεται χρησιμοποιώντας μια γνωστή τιμή της τάσης V(d), συνήθως την τιμή της στην πηγή, για d=l. H τελευταία εξαρτάται από το μέτρο και τη φάση της πηγής καθώς και από την εμπέδησή της, που συνδέεται στο σημείο l. Η εμπέδηση σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής ορίζεται ως ο λόγος: Ζ ΙΝ (d) = V(d) I(d) = Z 0 e jβd +Γ 0 e jβd (1.16) e jβd Γ 0 e jβd Αφού ξέρουμε την τιμή της εμπέδησης του φορτίου, δηλαδή Ζ ΙΝ (0) = Ζ L, μπορούμε να βρούμε το συντελεστή ανάκλασης στο φορτίο από τη σχέση (1.16). Προκύπτει ότι: Γ 0 = Ζ L Z 0 Z L +Z 0 (1.17) H (1.17) είναι πολύ σημαντική σχέση γιατί μας λέει ότι για Ζ L = Z 0 (Γ 0 = 0) υπάρχει μηδενική ανάκλαση σήματος από το φορτίο προς την πηγή. Μια τέτοια γραμμή, η οποία τερματίζεται στη χαρακτηριστική της αντίσταση, ονομάζεται ταιριασμένη γραμμή (matched line) και συμπεριφέρεται σα γραμμή άπειρου μήκους. Αντικαθιστώντας την (1.17) στην (1.16) παίρνουμε: Ζ ΙΝ (d) = Z 0 (Ζ L + Z 0 )e jβd + (Ζ L Z 0 )Γ 0 e jβd (Ζ L + Z 0 )e jβd (Ζ L Z 0 )Γ 0 e jβd = Z 0 Z L cos(βd) + jz 0 sin(βd) Z 0 cos(βd) + jz L sin(βd) = Z 0 Z L +jz 0 tan (βd) Z 0 +jz L tan (βd) (1.18) 10

17 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο H (1.18) μας επιτρέπει, για δεδομένο φορτίο, να υπολογίσουμε την εμπέδηση που φαίνεται σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής μεταφοράς. Εδώ γίνεται φανερή η πολύ σημαντική ιδιότητα της τελευταίας να μετασχηματίζει την εμπέδηση φορτίου σε μία άλλη στην είσοδό της. Εκμεταλλευόμαστε αυτήν την ιδιότητα στο σχεδιασμό δικτύων προσαρμογής, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Για γραμμή με απώλειες η σχέση (1.18) μετατρέπεται στη σχέση Ζ ΙΝ (d) = Z 0 Z L +jz 0 tan (γd) Z 0 +jz L tan (γd) (1.19) Όπου R + jωl Ζ 0 = G + jωc είναι η μιγαδική χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής μεταφοράς και γ = α + jβ όπου α είναι η σταθερά που σχετίζεται με τις απώλειες που προκαλεί στο σήμα η γραμμή μεταφοράς. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, η ταυτόχρονη ύπαρξη ενός προσπίπτοντος και ενός ανακλώμενου κύματος στη γραμμή δημιουργεί ένα μοτίβο στάσιμου κύματος, το οποίο περιγράφεται από μια ημιτονοειδή συνάρτηση που το πλάτος είναι συνάρτηση της θέσης. Από την εξίσωση (1.14) έχουμε: V(d) = A Γ 0 e j2βd (1.20) Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι η μέγιστη τιμή του V(d) είναι: V(d) max = A 1 (1 + Γ 0 ) (1.21) ενώ η ελάχιστη τιμή είναι V(d) min = A 1 (1 Γ 0 ) (1.22) Οι εξισώσεις (1.21) και (1.22) χρησιμοποιούνται για την εύρεση του λόγου στάσιμου κύματος τάσης (Voltage standing wave ratio, VSWR), ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος της μέγιστης τιμής του πλάτους του στάσιμου κύματος προς την ελάχιστη τιμή του. Άρα θα έχουμε: VSWR = V(d) max V(d) min = 1+ Γ 0 1 Γ 0 (1.23) 11

18 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Κεφάλαιο 2. Παράμετροι σκέδασης (S παράμετροι) και κέρδη ισχύος. Ένας τρόπος αναπαράστασης των διθύρων στις χαμηλές συχνότητες είναι οι black box παράμετροι. Το δίθυρο αντιμετωπίζεται σα μαύρο κουτί και το μόνο που γνωρίζουμε για αυτό είναι κάποιες σχέσεις μεταξύ των τάσεων και ρευμάτων στην είσοδο και στην έξοδό τους. Για δίκτυα χαμηλών συχνοτήτων συνήθως χρησιμοποιούνται οι z, οι y, οι h ή οι ABCD παράμετροι. Στις υψηλές συχνότητες όμως η χρήση των παραπάνω είναι δύσκολη έως αδύνατη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για να μετρηθούν οι παραπάνω παράμετροι απαιτούνται ανοιχτοκυκλώματα και βραχυκυκλώματα θυρών, τα οποία είναι πολύ δύσκολο να υλοποιηθούν για μεγάλο εύρος ζώνης στις μικροκυματικές συχνότητες. Επίσης τα μικροκυματικά transistor υπό συνθήκες ανοιχτοκυκλώματος και βραχυκυκλώματος είναι πολύ πιθανό να ταλαντώσουν. Επομένως είναι αναγκαία η χρήση μιας άλλης αναπαράστασης, η οποία λαμβάνει υπ όψη της τον κυματικό χαρακτήρα των μεγεθών στα κυκλώματα μικροκυματικών συχνοτήτων και περιγράφει το δίθυρο με βάση τα προσπίπτοντα και τα ανακλώμενα κύματα στις θύρες του. 2.1 O Πίνακας σκέδασης Εισάγοντας το συμβολισμό V + (x) = Ae jβx και V (x) = Βe jβx μπορούμε να γράψουμε: V(x) = Ae jβx + Be jβx = V + (x) + V (x) (2.1) και Ι(x) = A Ζ 0 e jβx B Ζ 0 e jβx = Ι + (x) Ι (x) = V+ (x) Επίσης ο συντελεστής ανάκλασης ανάμεσα είναι: Ζ 0 V (x) (2.2) Ζ 0 Γ(x) = V (x) V + (x) (2.3) Κανονικοποιώντας τα παραπάνω μεγέθη με βάση τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής μεταφοράς θα έχω: 12

19 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος v(x) = V(x) Z 0 i(x) = Z 0 I(x) a(x) = V+ (x) Z 0 και b(x) = V (x) Z 0 Άρα μπορούμε να γράψουμε τις (2.1) και (2.2) στη μορφή: v(x) = a(x) + b(x) (2.4) i(x) = a(x) b(x) (2.5) b(x) = Γ(x)a(x) (2.6) Από τις εξισώσεις (2.4) και (2.5) μπορούμε να βρούμε το κανονικοποιημένο προσπίπτον και το κανονικοποιημένο ανακλώμενο κύμα, συναρτήσει των κυκλωματικών ρευμάτων και τάσεων: a(x) = 1 1 [v(x) + i(x)] = [V(x) + Z 2 2 Z 0 I(x)] (2.7) 0 b(x) = 1 1 [v(x) i(x)] = [V(x) Z 2 2 Z 0 I(x)] (2.8) 0 Μέχρι τώρα έχουμε αναφέρει τη γραμμή μεταφοράς σα δίθυρο αλλά την αντιμετωπίσαμε σα μονόθυρο τερματίζοντας το ένα άκρο και μελετώντας τις συνιστώσες πρόσπτωσης και ανάκλασης στο άλλο. Μια πιο ρεαλιστική διάταξη μικροκυματικού κυκλώματος παρουσιάζεται στο σχήμα 2.1 και αποτελείται από ένα δίθυρο δίκτυο, το οποίο συνδέεται με το υπόλοιπο σύστημα με γραμμές μεταφοράς. Στη θύρα 1 (x 1 = l 1 ) θεωρούμε ότι έχουμε μια συνιστώσα προσπίπτοντος κύματος a 1 (l 1 ) και μια συνιστώσα ανακλώμενου κύματος b 1 (l 1 ). Ομοίως στη θύρα 2 (x 2 = l 2 ) έχουμε ένα προσπίπτον κύμα a 2 (l 2 ) και ένα ανακλώμενο κύμα b 2 (l 2 ). Μπορούμε επομένως να γενικεύσουμε την σχέση (2.6) και να γράψουμε: b 1 (l 1 ) = S 11 a 1 (l 1 ) + S 12 a 2 (l 2 ) 13

20 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο και b 2 (l 2 ) = S 21 a 1 (l 1 ) + S 22 a 2 (l 2 ) Οι δύο παραπάνω σχέσεις σε μητρική μορφή γράφονται ως: b 1(l 1 ) b 2 (l 2 ) = S 11 S 12 a 1(l 1 ) (2.9) S 21 S 22 a 2 (l 2 ) Οι ποσότητες a 1 (l 1 ), b 1 (l 1 ), a 2 (l 2 ), b 2 (l 2 ) είναι τιμές των προσπιπτόντων και ανακλώμενων κυμάτων σε συγκεκριμένες θέσεις (θύρες 1 και 2). Οι παράμετροι S 11, S 12, S 21, S 22 αποτελούν συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης και ονομάζονται παράμετροι σκέδασης (scattering parameters) ή S παράμετροι. Ο πίνακας [S] = S 11 S 12 S 21 S 22 ονομάζεται πίνακας σκέδασης. a 1(x) a 1(l 1) a 2(l 2) a 2(x) Z 01 Δίθυρο Z 02 Δίκτυο b 1(x) b 1(l 1) b 2(l 2) b 2(x) Θύρα 1 x 1=l 1 Θύρα 2 x 2=l 2 Σχ.2.1 Προσπίπτοντα και ανακλώμενα κύματα σε ένα δίθυρο δίκτυο. Ο όρος S 11 a 1 (l 1 ) αντιπροσωπεύει την συνεισφορά του προσπίπτοντος κύματος a 1 (l 1 ) στο ανακλώμενο κύμα b 1 (l 1 ). Ομοίως ο όρος S 12 a 2 (l 2 ) αντιπροσωπεύει τη συνεισφορά του προσπίπτοντος κύματος a 2 (l 2 ) στο ανακλώμενο κύμα b 1 (l 1 ). Οι S παράμετροι στις θύρες του δικτύου μετρούνται με τον τρόπο που παρουσιάζεται παρακάτω. S 11 = b 1(l 1 ) a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 )=0 S 12 = b 1(l 1 ) a 2 (l 2 ) a 1 (l 1 )=0 (Συντελεστής ανάκλασης εισόδου με την έξοδο τερματισμένη στη χαρακτηριστική της αντίσταση) (Συντελεστής αντίστροφης μεταφοράς από έξοδο σε είσοδο με την είσοδο τερματισμένη στη χαρακτηριστική της αντίσταση) 14

21 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος S 21 = b 2(l 2 ) a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 )=0 S 22 = b 2(l 2 ) a 2 (l 2 ) a 1 (l 1 )=0 (Συντελεστής ευθείας μεταφοράς από είσοδο σε έξοδο με την έξοδο τερματισμένη στη χαρακτηριστική της αντίσταση) (Συντελεστής ανάκλασης εξόδου με την είσοδο τερματισμένη στη χαρακτηριστική της αντίσταση) Όταν το δίθυρο είναι ένα transistor οι S παράμετροι μετρούνται σε ένα συγκεκριμένο σημείο πόλωσης εφαρμόζοντας μικρό σήμα στην κατάλληλη θύρα και τερματίζοντας κατάλληλα την άλλη. Επίσης οι παράμετροι μεταβάλλονται με τη συχνότητα και για το λόγο αυτό παίρνουμε διαφορετικές μετρήσεις για την κάθε συχνότητα. Η μέτρηση γίνεται με τη βοήθεια ενός VNA (Vector Network Analyzer) [19]. Ο τρόπος μέτρησης των S παραμέτρων γίνεται εμφανής από την παραπάνω περιγραφή τους. Για τη μέτρησή τους χρειάζεται η κατάλληλη θύρα να είναι τερματισμένη στη χαρακτηριστική της αντίσταση ώστε a 1 (l 1 ) ή a 2 (l 2 ) να είναι ίσες με μηδέν. Για παράδειγμα για να μετρήσουμε την παράμετρο S 11 πρέπει να μετρήσουμε το λόγο b 1(l 1 ) στη θύρα εισόδου τερματίζοντας τη θύρα 2 στη χαρακτηριστική a 1 (l 1 ) της αντίσταση ώστε a 2 (l 2 ) = 0. Με αυτόν τον τρόπο όλο το κύμα που κατευθύνεται στο φορτίο απορροφάται από το τελευταίο με αποτέλεσμα να υπάρχει μηδενική ανάκλαση και να μη γυρίζει ποσότητα ενέργειας πίσω στο δίθυρο. Η διάταξη της μέτρησης φαίνεται στο σχήμα 2.2. S 11=b 1(l 1)/a 1(l 1) Z OUT Z S=Z 01 + E _ a 1(l 1) b 1(l 1) Two-port network a 2(l 2) Z 01 Z 02 Port 2 Port 1 x x 2=l 2 1=l 1 b 2(l 2) ZL=Z02 Σχ.2.2 Διάταξη για τη μέτρηση της παραμέτρου S 11. Από την παραπάνω συζήτηση μπορούμε να κάνουμε μια σημαντική παρατήρηση. Για να μετρήσουμε την S 11 φροντίσαμε ώστε η γραμμή μεταφοράς να τερματίζει στη χαρακτηριστική της εμπέδηση. Όμως η εμπέδηση Ζ ΟUT δεν είναι απαραίτητο να είναι ίδια με την εμπέδηση Z 02 της γραμμής μεταφοράς. Αυτό δε μας απασχολεί όταν μετράμε S παραμέτρους γιατί εφόσον έχουμε ταίριασμα μεταξύ της γραμμής μεταφοράς και του φορτίου δεν υπάρχει συνιστώσα a 2 (l 2 ), το οποίο και πρέπει να ικανοποιείται σύμφωνα με τον ορισμό της μέτρησης. Βλέπουμε λοιπόν το πλεονέκτημα των S παραμέτρων όσον αφορά την περιγραφή υψίσυχνων δικτύων. Για να τις μετρήσουμε χρειάζεται απλά οι θύρες να τερματίζονται στη χαρακτηριστική τους αντίσταση. Δε χρειάζονται πλέον δοκιμές ανοιχτοκυκλώματος και βραχυκυκλώματος, οι οποίες είναι δύσκολα να επιτευχθούν και μπορεί να προκαλέσουν αστάθεια. 15

22 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Μια άλλη παρατήρηση βασίζεται στο γεγονός ότι οι S παράμετροι είναι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης, όχι όμως με την γενική έννοια του όρου. Κι αυτό γιατί παριστάνουν σχέσεις μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος με τις θύρες προσαρμοσμένες στη χαρακτηριστική τους αντίσταση αποτελώντας έτσι στοιχείο ταυτότητας για κάθε δικτύου. Οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης έχουν πιο γενικό νόημα, καθώς περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ των παραπάνω ποσοτήτων ανεξάρτητα από τις εμπεδήσεις τερματισμού. Σε περίπτωση που η τελευταίες είναι ίσες με αυτές των θυρών, οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης ταυτίζονται με τις S παραμέτρους. 2.2 Πίνακας σκέδασης αλυσίδας Σε πολλές περιπτώσεις έχουμε δίκτυα συνδεδεμένα σε συνδεσμολογία καταρράκτη (cascade networks). Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τις S παραμέτρους αλυσίδας. Αυτές ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι συνιστώσες πρόσπτωσης και ανάκλασης εισόδου να είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές, ενώ οι συνιστώσες εξόδου οι ανεξάρτητες. Άρα έχουμε a 1(l 1 ) b 1 (l 1 ) = T 11 T 12 a 2(l 2 ) (2.10) T 21 T 22 b 2 (l 2 ) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (2.9) και (2.10) μπορούμε να σχετίσουμε τις S παραμέτρους με τις T ως εξής: T 11 T 12 T 21 και T 22 = 1 S 22 S 21 S 21 S 11 1 S 11S 22 (2.11) S 21 S 21 S 11 S 12 S 21 S 22 = Τ 21 Τ 11 Τ 11 Τ 21Τ 12 Τ 11 1 Τ 12 Τ 11 Τ 11 (2.12) Οι παραπάνω σχέσεις είναι χρήσιμες όταν έχουμε διασυνδεδεμένα δίκτυα όπως φαίνονται στο σχήμα 2.3. Εδώ βλέπουμε ότι τα κύματα στην έξοδο του πρώτου δίθυρου είναι πανομοιότυπα με τα κύματα στην είσοδο του δεύτερου. Δηλαδή έχουμε: b 2x a 2x = a 1y b 1y Επομένως: a 1x b = T x 11 1x T 21 x T 12 x T x b 2x 22 a 2x 16

23 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος και a 1y b = T 11 1y y T 21 y T 12 y T y b 2y 22 a 2y Ο συνολικός T πίνακας της διάταξης του σχήματος 2.3 είναι ο εξής: a 1x b = T x 11 1x T 21 x T 12 x T 22 x T 11 y T 21 y T 12 y T y b 2y 22 a (2.13) 2y Ο συνολικός πίνακας του δικτύου προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των πινάκων των επιμέρους διθύρων. Έτσι πολύ εύκολα μπορούμε να υπολογίζουμε τη συμπεριφορά μεγάλων δικτύων που αποτελούνται από άλλα συνδεδεμένα σε μορφή καταρράκτη. N x N y a 1x T 11 x T 12 x b 2x a 1y T 11 y T 12 y b 2y b 1x T 21 x T 22 x a 2x b 1y T 21 y T 22 y a 2x Σχ.2.3 Δύο δίθυρα σε συνδεσμολογία καταρράκτη. 2.3 Μετατόπιση επιπέδων αναφοράς Για να μετρήσουμε τα χαρακτηριστικά ενός μικροκυματικού δίθυρου πρέπει συνήθως να συνδέσουμε σε αυτό γραμμές μεταφοράς. Επιπλέον από τη στιγμή που μετράμε οδεύοντα κύματα πάνω στις γραμμές πρέπει να προσδιορίσουμε σε ποιο σημείο ακριβώς έγινε η μέτρηση. Οι θέσεις αυτές ονομάζονται επίπεδα αναφοράς. Το παραπάνω ζήτημα είναι μεγάλου πρακτικού ενδιαφέροντος γιατί πολλές φορές χρησιμοποιούμε off the shelf εξαρτήματα από διάφορους κατασκευαστές, οι οποίοι μας δίνουν κάποιους πίνακες μετρήσεων που έχουν πραγματοποιηθεί σε συγκεκριμένο σημείο της διάταξης. Για παράδειγμα στο σχήμα 2.4 βλέπουμε μία διάταξη η οποία αποτελείται από ένα δίθυρο δίκτυο (πιθανώς ένα transistor) και γραμμές μεταφοράς, οι οποίες έχουν αναρτηθεί στα άκρα του. Έστω στις θύρες 1 και 2 συνδέονται άλλες συσκευές και θέλουμε να ξέρουμε τις S παραμέτρους εκεί για να δούμε πώς οι συσκευές αυτές αλληλεπιδρούν με το transistor. Ο κατασκευαστής μας δίνει παραμέτρους μετρημένες στα επίπεδα αναφοράς των θυρών 1 και 2. Πρέπει με κάποιο τρόπο να ανάγουμε τις μετρημένες παραμέτρους στα επίπεδα αναφοράς 1 και 2. θ1=βl1 θ2=βl2 a1(0) b1(0) a1(l1) b1(l1) Δίθυρο Δίκτυο a2(l2) b2(l2) a2(0) b2(0) Θύρα 1' x1=0 Θύρα 1 x1=l1 Θύρα 2 x2=l2 Θύρα 2' x2=0 17

24 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Σχ.2.4 Μικροκυματικό δίθυρο με γραμμές μεταφοράς. Τα επίπεδα αναφοράς συμβολίζονται με διακεκομμένες γραμμές. Για τα επίπεδα αναφοράς 1 και 2 ισχύει η σχέση (2.9) η οποία επαναλαμβάνεται εδώ για λόγους ευκολίας: b 1(l 1 ) b 2 (l 2 ) = S 11 S 12 a 1(l 1 ) (2.14) S 21 S 22 a 2 (l 2 ) Για τις θύρες 1 και 2 μπορούμε να γράψουμε: b 1(0) b 2 (0) = S 11 S 21 S 12 S a 1(0) (2.15) 22 a 2 (0) Όταν δηλαδή βλέπουμε το δίκτυο από τις θύρες 1 και 2 οι παράμετροι της σχέσης (2.15) περιγράφουν τη συμπεριφορά του, ενώ αν το δούμε από τις θύρες 1 ή 2 οι παράμετροι της σχέσης (2.14). Για τα οδεύοντα κύματα πάνω στις γραμμές μπορούμε να γράψουμε: b 1 (l 1 ) = b 1 (0)e jθ 1 α 1 (l 1 ) = α 1 (0)e jθ 1 b 2 (l 2 ) = b 2 (0)e jθ 2 α 2 (l 2 ) = α 2 (0)e jθ 2 όπου οι εκθετικοί όροι συμβολίζουν τις φασικές μετατοπίσεις των κυμάτων καθώς ταξιδεύουν πάνω στη γραμμή μεταφοράς. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στην (2.14) έχουμε τα εξής: b 1(0) b 2 (0) = S 11e j2θ1 S 12 e j(θ1+θ2) S 21 e j(θ 1+θ 2 ) S 22 e j2θ a 1(0) (2.16) 1 a 2 (0) Συγκρίνοντας την (2.16) με την (2.15) παίρνουμε S 11 S 12 S 21 S = S 11e j2θ1 S 12 e j(θ1+θ2) 22 S 21 e j(θ 1+θ 2 ) S 22 e j2θ (2.17) 1 Και S 11 S 12 = S 11 e j2θ 1 S 12 e j(θ 1+θ 2 ) S 21 S 22 S 21 e j(θ 1+θ 2 ) S 22 e j2θ (2.18) 1 18

25 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος Οι παραπάνω σχέσεις μας δίνουν τη σχέση μεταξύ των S παραμέτρων στις θύρες 1 και 2 (μετρημένες) και στις θύρες 1 και Ιδιότητες των S παραμέτρων Στα μικροκυματικά συστήματα αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η ισχύς που μεταφέρεται από το κύκλωμα στο άλλο (από το ένα σημείο του συστήματος στο άλλο). Αυτή συνήθως είναι περιορισμένη και όλος ο σχεδιασμός των κυκλωμάτων και συστημάτων βασίζεται στην αποτελεσματική μεταφορά και αξιοποίησή της. Επομένως αξίζει να μελετήσουμε τη συμπεριφορά των διθύρων όσον αφορά την ισχύ στις υψηλές συχνότητες. Οι S παράμετροι που εισάγαμε στις προηγούμενες υποενότητες βοηθούν σημαντικά στη μελέτη αυτή. Στο σχήμα 2.5 φαίνεται ένα δίθυρο δίκτυο, το οποίο έχει γραμμές μεταφοράς προσαρτημένες και στις δύο θύρες του. Οι γραμμές είναι χωρίς απώλειες και άρα οι χαρακτηριστικές εμπεδήσεις τους είναι πραγματικές (αυτό ισχύει και στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές αφού η χαρακτηριστική εμπέδηση είναι τα 50Ω). Σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.1) και (2.2) οι τάσεις και τα ρεύματα στις θύρες του κυκλώματος είναι: V i (x i ) = V + i(x) + V i(x) (2.19) και Ι i (x i ) = Ι + i(x) Ι i(x) = V+ i (x) όπου i = 1 ή 2. Ζ 0 V i (x) (2.20) Ζ 0 Όλα τα μεγέθη που έχουν πάρει μέρος στους υπολογισμούς μας ως τώρα είναι σε peak τιμές. Τα όργανα όμως μετράνε rms τιμές. Επομένως οι παραπάνω εξισώσεις για rms μεγέθη γίνονται: V i,rms (x i ) = V + i,rms(x) + V i,rms(x) και Ι i,rms (x i ) = Ι + i,rms(x) Ι i,rms(x) όπου οι rms τιμές προκύπτουν από τις peak τιμές αν τις διαιρέσουμε με 2. Άρα έχουμε V i,rms (x) = V i(x i ) 2 19

26 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο V + i,rms(x) = V i + (x i ) 2 κ.ο.κ. l 1 l 2 I 1(x 1) I 2(x 2) + + Z 01 Δίθυρο V V 2(x 2) 1(x 1) Δίκτυο Z 02 Θύρα 1' x 1=0 Θύρα 2 Θύρα 1 x x 2=l 2 1=l 1 Θύρα 2' x 2=0 Σχ.2.5 Δίθυρο δίκτυο με γραμμές μεταφοράς πραγματικής χαρακτηριστικής εμπέδησης. Εισάγοντας και εδώ κανονικοποιημένες τιμές θα έχουμε: v i (x i ) = V i(x i ) Z 0 i i (x i ) = Z 0 I i (x i ) a i (x i ) = V+ i(x i ) Z 0 = Z 0 I i + (x i ) και b i (x i ) = V i(x i ) = Z 0 I i (x i ) Z 0 Οι (2.19) και (2.20) μπορούν να εκφραστούν σε μορφή παρόμοια με αυτή της υποενότητας 2.1 v i (x i ) = a i (x i ) + b i (x i ) i i (x i ) = a i (x i ) b i (x i ) Άρα η κανονικοποιημένη προσπίπτουσα και ανακλώμενη τάση δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις με τις εμπεδήσεις κανονικοποίησης να είναι οι χαρακτηριστικές εμπεδήσεις των γραμμών μεταφοράς: 20

27 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος a i (x i ) = 1 2 [v i(x i ) + i i (x i )] = 1 2 Z 0i [V i (x i ) + Z 0i I i (x i )] (2.21) b i (x i ) = 1 [v 2 i(x i ) i i (x i )] = 1 [V 2 Z i (x i ) Z 0i I i (x i )] (2.22) 0i Η μέση πραγματική ισχύς που σχετίζεται με το προσπίπτον κύμα τάσης είναι: P i + (0) = Re V + i,rms(0)(i + i,rms (0)) = 1 2 Re V+ i(0)(i + i (0)) = 1 2 Re V+ i(0) (V+ i (0)) = 1 V + i(0) 2 Z 0i 2 Z 0i = 1 2 a i(0) 2 = a i,rms (0) 2 (2.23) Ομοίως η μέση πραγματική ισχύς που σχετίζεται με το ανακλώμενο κύμα είναι: P i (0) = Re V i,rms(0)(i i,rms (0)) = 1 2 Re V i(0)(i i (0)) = 1 2 Re V i(0) (V i (0)) = 1 V i(0) 2 Z 0i 2 Z 0i = 1 2 b i(0) 2 = b i,rms (0) 2 (2.24) 1 Οι γραμμές μεταφοράς είναι χωρίς απώλειες και επομένως 1 2 a i(0) 2 = 1 2 a i(x i ) 2 και 1 2 b i(0) 2 = 2 b i(x i ) 2. Οι σχέσεις (2.23) και (2.24) δείχνουν τις ισχείς που σχετίζονται με το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα αντίστοιχα. Ας κοιτάξουμε τώρα ένα πιο ρεαλιστικό κύκλωμα, όπως αυτό στο σχήμα 2.6, το οποίο είναι το κύκλωμα του σχήματος 2.5 μαζί με μία πηγή ημιτονοειδούς διέγερσης E1 και εσωτερικής εμπέδησης Ζ 1 = Ζ 01 και ένα φορτίο εμπέδησης Ζ 2 = Ζ 02. Έτσι η θύρα 2 είναι τερματισμένη στη χαρακτηριστική της εμπέδηση. Οι χαρακτηριστικές εμπεδήσεις είναι πραγματικές και ίσες με 50Ω όπως είθισται στα μικροκυματικά συστήματα. Η εμπέδηση Z T1 είναι η εμπέδηση εισόδου του δίθυρου στο σημείο x 1 =l 1. Από τη στιγμή που η θύρα 2 τερματίζεται στην χαρακτηριστική της εμπέδηση, μπορούμε να γράψουμε για το φορτίο στο σημείο x 2 =0: V 2 (0) = Z 02 I 2 (0) (2.25) και αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην (2.21) προκύπτει: 21

28 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο a 2 (0) = 1 2 Z 02 [V 2 (0) + Z 02 I 2 (0)] = 1 2 Z 02 [ Z 02 I 2 (0) + Z 02 I 2 (0)] = 0 Άρα δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα από το φορτίο προς το δίθυρο αφού Ζ 2 = Ζ 02. Στο σημείο x 1 =0 έχουμε: V 1 (0) = E 1 Z 01 I 1 (0) (2.26) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2.21) επομένως θα έχουμε: a 1 (0) = 1 2 Z 01 [V 1 (0) + Z 01 I 1 (0)] = 1 2 Z 01 [E 1 Z 01 I 1 (0) + Z 01 I 1 (0)] = 1 2 Z 01 E 1 και από την εξίσωση (2.23) έχουμε a 1 (0) = 1 2 Z 01 E 1 ή a 1 (0) 2 = E 1 2 και 4Ζ 01 P + 1 (0) = 1 a 2 1(0) 2 = E 1 2 (2.27) 8Ζ 01 Z T1 l 1 l 2 I 1 (0) I 1 (l 1 ) I 2 (l 2 ) I 2 (0) Z 1 =Z 01 + E 1 + V 1 (0) _ a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 ) + + Z 01 V 1 (l 1 ) Two-port V 2 (l 2 ) Z 02 _ network _ b 1 (l 1 ) b 2 (l 2 ) + V 2 (0) _ Z 2 =Z 02 _ Port 1 x 1 =0 Port 2' Port 1' x x 1 =l 2 =l 2 1 Port 2 x 2 =0 Σχ.2.6 Δίθυρο δίκτυο με γραμμές μεταφοράς πραγματικής χαρακτηριστικής εμπέδησης που οδηγείται από ημιτονοειδή πηγή στη θύρα 1 και τροφοδοτεί φορτίο ταιριασμένο στη γραμμή μεταφοράς της θύρας 2. 22

29 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος Η σχέση (2.27) είναι πολύ σημαντική αφού μας δίνει τη διαθέσιμη ισχύ από την πηγή Ε 1 εσωτερικής αντίστασης Ζ 1. Όταν η πηγή αυτή τροφοδοτεί γραμμή μεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης ίσης με την εσωτερική αντίσταση της πηγής καλούμε την ποσότητα (2.27) P AVS. Η ποσότητα αυτή ονομάζεται η διαθέσιμη ισχύς της πηγής και είναι η (μέγιστη) ισχύς που μπορεί να δώσει η συγκεκριμένη πηγή υπό 1 συνθήκες προσαρμογής. Από τη στιγμή που η γραμμή δεν έχει απώλειες, ισχύει a 2 1(0) 2 = 1 a 2 1(l 1 ) 2 και επομένως η διαθέσιμη ισχύς στη θύρα εισόδου του δικτύου είναι ίση με τη διαθέσιμη ισχύ της πηγής. Το δίθυρο σε αυτή την περίπτωση λαμβάνει τη μέγιστη δυνατή ισχύ από την πηγή η οποία είναι ανεξάρτητη από την εμπέδηση εισόδου του δίθυρου Z Τ1. Αντίθετα όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής δεν είναι ίση με τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής μεταφοράς, η ισχύς που παρέχει η πηγή στο δίκτυο που είναι συνδεδεμένος στους ακροδέκτες της δεν είναι η μέγιστη που μπορεί να δώσει (διαθέσιμη ισχύς P AVS ). Η ισχύς που σχετίζεται με το προσπίπτον κύμα 1 a 2 1(0) 2 δεν είναι πλέον ίση με τη διαθέσιμη ισχύ P AVS της πηγής. Ας εξετάσουμε τώρα την επίδραση που έχει στην κυματική συμπεριφορά του δικτύου η εμπέδηση εισόδου του δικτύου Z Τ1. Για να μελετήσουμε αυτή την επίδραση ας υποθέσουμε ότι Ζ 1 = Ζ 01. Αντικαθιστώντας τη σχέση (2.26) στην (2.27) θα έχουμε τα εξής: 1 2 a 1(0) 2 = E 1 2 = E 1E 1 = [V 1(0) + Z 01 I 1 (0)][V 1 (0) + Z 01 I 1 (0)] 8Ζ 01 8Z 01 8Z 01 = [ V 1(0) 2 +Z 01 V 1 (0)I 1 (0)+Z 01 V 1 (0)I 1 (0)+Ζ 2 01 I(0) 2 ] (2.28) 8Z 01 Ακόμα από τη σχέση (2.22) μέσω της (2.26) έχουμε: 1 b 2 i(0) 2 = [ V 1 (0) 2 Z01 V 1 0 I 1 0 Z 01 V 1 0 I Ζ 2 01 I(0) ] (2.29) 8Z 01 Αφαιρώντας την (2.29) από την (2.28) παίρνουμε: 1 2 a 1(0) b i(0) 2 = 1 4 [V 1 (0)I 1 (0) + V 1 (0)I 1 (0)] = 1 2 Re[I 1(0)V 1 (0)] (2.30) που αντιπροσωπεύει την ισχύ που παρέχεται στη θύρα 1 και επειδή η γραμμή είναι χωρίς απώλειες και στη θύρα 1. Καλούμε την ποσότητα αυτή P 1 (0) και έχουμε P 1 (0) = 1 2 a 1(0) b i(0) 2 Ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους είναι ίσος με τη διαθέσιμη ισχύ της πηγής και ισχύει: 23

30 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο 1 2 b i(0) 2 = P AVS P 1 (0) (2.31) Η ποσότητα 1 b 2 i(0) 2 είναι η ανακλώμενη ισχύς από τη θύρα 1 (αλλά και από τη θύρα 1 αφού η γραμμή είναι χωρίς απώλειες). Η παραπάνω συζήτηση μας οδηγεί σε κάποια σημαντικά συμπεράσματα. Αν η πηγή έχει εσωτερική εμπέδηση ίση με τη χαρακτηριστική εμπέδηση της γραμμής μεταφοράς και Z Τ1 = Ζ 01, παρέχει στο κύκλωμα ισχύ ίση με την διαθέσιμη ισχύ της. Η τελευταία εισέρχεται στη θύρα 1 και ταξιδεύει μέσω του προσπίπτοντος κύματος κατά μήκος της γραμμής μεταφοράς και μπαίνει ολόκληρη στο δίθυρο. Στη θύρα 1 αν ισχύει Z Τ1 Ζ 01, έχουμε ανάκλαση και η διαθέσιμη ισχύς από την πηγή δεν εισέρχεται ολόκληρη στο δίθυρο και ένα μέρος της προσπίπτουσας ισχύος 1 a 2 1(0) 2 ανακλάται. Το ανακλώμενο μέρος είναι ίσο με μεταφοράς) είναι η 1 2 b i(0) 2. Η «καθαρή» ισχύς που παρέχεται στο δίκτυο (δίθυρο και γραμμές P 1 (0) = P 1 (l 1 ) = 1 2 a 1(0) b i(0) 2 Αντικαθιστώντας την (2.25) στην (2.22) έχουμε b 2 (0) = 1 2 Z 02 [V 2 (0) Z 02 I 2 (0)] = 1 2 Z 02 [ Z 02 I 2 (0) Z 02 I 2 (0)] = Ζ 02 Ι 2 (0) Άρα 1 2 b 2(0) 2 = 1 2 Ι 2(0) 2 Ζ 02 Η ποσότητα αυτή αναπαριστά την ισχύ που μεταφέρεται στο φορτίο και τη συμβολίζουμε με P 2 (0) = 1 b 2 2(0) 2. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τις S παραμέτρους στις θύρες 1 και 2, δηλαδή τις S παραμέτρους του δίθυρου. Στα σημεία αυτά είναι x 1 = l 1 και x 2 = l 2. Επομένως για την παράμετρο S 11 έχουμε: S 11 = b 1 (l 1 ) a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 )=0 = V 1 (l 1 ) V + 1 (l 1 ) V + 2 (l 2 )=0 (2.32) ή από την εξίσωση (1.17) S 11 = Z Τ1 Ζ 01 Z Τ1 +Ζ 01 (2.33) 24

31 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος Η παραπάνω εξίσωση μας λέει ότι η παράμετρος S 11 είναι ο συντελεστής ανάκλασης στη θύρα 1 με τη θύρα 2 τερματισμένη στη χαρακτηριστική της εμπέδηση Ζ 02, δηλαδή α 2 = 0. Ο υπολογισμός της S11 στην θύρα 1 μπορεί να γίνει με τον τρόπο που περιγράψαμε στην υποενότητα 2.3 ή με τον υπολογισμό της εμπέδησης στο σημείο x 1 = 0. Αν θεωρήσουμε την ποσότητα S 11 2, τότε από τις εξισώσεις (2.27) και (2.31) βρίσκουμε S 11 2 = b 1 (l 1 ) 2 a 1 (l 1 ) 2 a 2 (l 2 )=0 = P AVS P 1 (l 1 ) P AVS ή P 1 (l 1 ) = P 1 (0) = P AVS (1 S 11 2 ) (2.34) Η σχέση (2.34) μας λέει ότι η ποσότητα S 11 2 δηλώνει το ανακλώμενο μέρος της συνολικής ισχύος που παρέχεται στη θύρα 1. Σε περίπτωση που έχουμε S 11 >1, η ποσότητα της ισχύος που ανακλάται από τη θύρα 1 είναι μεγαλύτερη από αυτή που παρέχεται (προσπίπτει) σε αυτή και είναι πολύ πιθανή η εμφάνιση ταλαντώσεων, καθώς πλέον η θύρα συμπεριφέρεται σαν πηγή. Η παράμετρος S 21 στο δίθυρο (θύρες 1 και 2 ) δίνεται από τον εξής τύπο: S 21 = b 2 (l 2 ) a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 )=0 = Ζ 02Ι 2 (l 2 ) = Ζ 02Ι 2 (l 2 ) Ζ 01 Ι + 1 (l 1 ) I2 + Ζ (l 2 )=0 01 Ι + 1 (l 1 ) I2 + (l 2 )=0 (2.35) όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει επειδή I 2 (l 2 ) = I 2 + (l 2 ) I 2 (l 2 ) και I 2 (l 2 ) = 0. Προκειμένου να βρούμε την παράμετρο S 21 = b 2 (l 2 ) a 1 (l 1 ) a 2 (l 2 )=0 αντικαθιστούμε το δίκτυο του σχήματος 2.6 με αυτό το σχήματος 2.7, στο οποίο έχουν βρεθεί τα ισοδύναμα Thevenin των θυρών 1 και 2. Z T1 I 1 (l 1 ) I 2 (l 2 ) Z 01 E 1,TH + + V 1 (l 1 ) _ a 1 (l 1 ) b 1 (l 1 ) Two-port network a 2 (l 2 ) b 2 (l 2 ) + V 2 (l 2 ) _ Z02 _ Port 2 Port 1 x x 1 =l 2 =l

32 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο Σχ.2.7 Δίθυρο δίκτυο στο οποίο τα κυκλώματα των θυρών εισόδου και εξόδου έχουν αντικατασταθεί με τα ισοδύναμα κατά Thevenin. Στη θύρα 1 η τάση Thevenin (τάση ανοιχτοκύκλωσης) είναι Ε 1,ΤΗ = Ε 1 e jβl 1 και η αντίσταση Thevenin ίση με Z 01. Στη θύρα 2 η ισοδύναμη κατά Thevenin αντίσταση είναι ίση με Z 02. Από την εξίσωση (2.21) παίρνω: Ι 1 + (l 1 ) = a 1(l 1 ) Z 01 = 1 2Z 01 [V 1 (l 1 ) + Z 01 I 1 (l 1 )] (2.36) Από το σχήμα 2.7 έχουμε ότι: V 1 (l 1 ) = Ε 1,ΤΗ Ζ 01 Ι 1 (l 1 ) (2.37) Αντικαθιστώντας την (2.36) στην (2.35) θα πάρουμε: Ι 1 + (l 1 ) = Ε 1,ΤΗ 2Z 01 (2.38) Ακόμα στην έξοδο του κυκλώματος ισχύει: V 2 (l 2 ) = Ζ 02 Ι 2 (l 2 ) (2.39) Αντικαθιστώντας τις (2.38) και (2.39) στην (2.35) έχουμε: S 21 = Ζ 01 Ζ 02 V 2 (l 2 ) Ε 1,ΤΗ (2.40) Η εξίσωση (2.40) μας λέει ότι η S 21 αναπαριστά έναν συντελεστή ευθείας μετάδοσης από τη θύρα 1 στη θύρα 2. Προκειμένου να υπολογίσουμε την S 21 στις μη τονούμενες θύρες 1 και 2 στο σχήμα 2.6 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (2.17). Από την εξίσωση (2.40) μπορούμε να πάρουμε: S 21 2 = 1 V 2 (l 2 ) 2 2 Ζ 02 Ε 1,ΤΗ 2 8Ζ 01 Η οποία μας λέει ότι η ποσότητα S 21 2 αναπαριστά το λόγο της ισχύος που παρέχεται στο φορτίο Z 02 (P L ) προς τη διαθέσιμη ισχύ της πηγής Ε 1,ΤΗ (που εδώ είναι ίση με την P AVS ). O λόγος P L PAVS 26

33 Παράμετροι σκέδασης και κέρδη ισχύος ονομάζεται transducer κέρδος ισχύος G T. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική ποσότητα στη σχεδίαση μικροκυματικών κυκλωμάτων. G T = S 21 2 (2.41) Για Z 01 =Z 02 =Z 0 έχουμε από την (2.40): S 21 = V 2 Ε 1,ΤΗ 2 και το transducer κέρδος ισχύος γίνεται: G T = S 21 2 = V 2 Ε 1,ΤΗ 2 2 Προκειμένου να προσδιορίσουμε και τις άλλες δύο S παραμέτρους χρησιμοποιούμε το κύκλωμα του σχήματος 2.8 όπου και πάλι τα κυκλώματα με τις γραμμές μεταφοράς στις θύρες του δικτύου έχουν αντικατασταθεί με τα ισοδύναμα κατά Thevenin. Τώρα οδηγούμε τη θύρα 2 με μια ημιτονοειδή τάση και η τάση του ισοδυνάμου Thevenin θα είναι Ε 2,ΤΗ. Z T2 I 1 (l 1 ) I 2 (l 2 ) Z 01 + V 1 (l 1 ) _ a 1 (l 1 ) b 1 (l 1 ) Two-port network a 2 (l 2 ) b 2 (l 2 ) + V 2 (l 2 ) _ + _ Z02 E 2,TH Port 2 Port 1 x x 1 =l 2 =l 2 1 Σχ.2.8 Δίθυρο δίκτυο στο οποίο τα κυκλώματα των θυρών εισόδου και εξόδου έχουν αντικατασταθεί με τα ισοδύναμα κατά Thevenin. Ισχύουν τα S 22 = Και b 2 (l 2 ) a 2 (l 2 ) a 1 (l 1 )=0 = Z Τ2 Ζ 02 Z Τ2 +Ζ 02 (2.42) 27

34 Σχεδιασμός και υλοποίηση ενισχυτή υψηλών συχνοτήτων πολύ χαμηλού θορύβου για ραδιοτηλεσκόπιο S 12 = 2 Ζ 02 Ζ 01 V 1 (l 1 ) Ε 2,ΤΗ Η παράμετρος S22 είναι ο συντελεστής ανάκλασης στη θύρα 2 για τη θύρα 1 τερματισμένη στη χαρακτηριστική της εμπέδηση, ώστε a 1 (l 1 ) = 0. Η παράμετρος S12 παριστάνει έναν συντελεστή αντίστροφης μετάδοσης από τη θύρα 2 στη θύρα 1. Αφού βρήκαμε τις S παραμέτρους για τις θύρες του δίθυρου, μπορούμε να προσαρτήσουμε και πάλι τις γραμμές και μέσω της σχέσης (2.17) να τις υπολογίσουμε και σε οποιοδήποτε σημείο πάνω σε αυτές. Η παράμετρος S 22 2 παριστάνει το ανακλώμενο μέρος της συνολικής ισχύος που παρέχεται στη θύρα 2. Σε περίπτωση που το μέτρο της είναι μεγαλύτερο του 1, η θύρα λειτουργεί σαν πηγή και είναι πιθανό να εμφανιστούν ταλαντώσεις. Η παράμετρος S 12 2 παριστάνει ένα ανάστροφο transducer κέρδος ισχύος και δίνεται από τη σχέση: S 12 2 = 1 V 1 (l 1 ) 2 2 Ζ 01 Ε 2,ΤΗ 2 8Ζ 02 Oι S παράμετροι συνήθως μετρούνται σε ένα σύστημα για το οποίο ισχύει Z 01 =Z 02 =Z 0. Σε αυτή την περίπτωση οι S παράμετροι λέμε ότι μετρούνται σε ένα σύστημα Z 0. Έστω ότι το σύστημα υπό μέτρηση (Device Under Test, DUT) είναι ένα transistor. Σε περίπτωση που το transistor κληθεί να λειτουργήσει σε ένα διαφορετικό σύστημα, το κέρδος ισχύος transducer δεν είναι ίδιο με αυτό που υπολογίστηκε παραπάνω. Στην υποενότητα 2.6 επιχειρούμε να εξάγουμε εκφράσεις για διάφορα κέρδη ισχύος σε μικροκυματικά κυκλώματα που ισχύουν ανεξάρτητα από τις εμπεδήσεις πηγής και φορτίου. Ο παραπάνω υπολογισμός των S παραμέτρων έγινε για κυκλώματα στα οποία υπάρχουν γραμμές μεταφοράς στις οποίες ταξιδεύουν κύματα. Σε κυκλώματα με αποκλειστικά συγκεντρωμένα στοιχεία δεν μπορούμε να εκφράσουμε τα ρεύματα τάσης και ρεύματος όπως προηγουμένως γιατί δεν υπάρχουν γραμμές μεταφοράς και έτσι δεν μπορούμε να ορίσουμε μια χαρακτηριστική εμπέδηση Z 0. Παρ όλα αυτά σε αναλογία με την ανάλυση που προηγήθηκε μπορούμε να ορίσουμε τα κύματα ισχύος, τα οποία δεν είναι παρά ένα μαθηματικό κατασκεύασμα το οποίο έχει τις ίδιες ιδιότητες με τα κύματα a και b που υπολογίστηκαν νωρίτερα. Με βάση αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τις γενικευμένες S παραμέτρους, οι οποίες είναι S παράμετροι που περιγράφουν τη συμπεριφορά συγκεντρωμένων κυκλωμάτων. Όσα αναφέρθηκαν στην παράγραφο αυτή δεν χρησιμοποιούνται στα πλαίσια της εργασίας αυτής και δε θα αναλυθούν. Ο αναγνώστης που θέλει να τα μελετήσει μπορεί να αναφερθεί στην παραπομπή [1], η οποία περιέχει μια πολύ λεπτομερή παρουσίασή τους. 2.5 Πίνακες σκέδασης ν-θυρων δικτύων Όσα αναφέρθηκαν παραπάνω μπορούν να επεκταθούν και σε δίκτυα με μεγαλύτερο αριθμό θυρών. Ένα τέτοιο δίκτυο που αποτελείται από n θύρες φαίνεται στο σχήμα 2.9. Υποθέτουμε ότι οι γραμμές μεταφοράς είναι χωρίς απώλειες με χαρακτηριστικές εμπεδήσεις Ζ 0i για i από 1 έως n. Για την μελέτη 28