ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στο Σετ αυτό περιλαμβάνονται θέματα Πιθανοτήτων που έχουν δοθεί σε εξετάσεις παρελθόντων ετών στα Τμήματα Γεωλογικό και Πληροφορικής της Σχολής μας. Αντίστοιχα θέματα, όσο αφορά τα μαθηματικά εργαλεία (με άλλες εκφωνήσεις), αναμένονται και σε εξετάσεις στο Τμήμα Φυσικής. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ (1) (Α) Θεωρήστε τα ενδεχόμενα Α και Β σε ένα χώρο πιθανότητας. Να δειχθεί ότι P(A B) 1 [P(A) + P(B)] P(A B) (Β) Μια μεταλλευτική εταιρία προχωρά σε γεωτρήσεις προκειμένου να ανιχνεύσει την ύπαρξη αξιοποιήσιμου κοιτάσματος ενός σπάνιου μετάλλου. Γνωρίζει από την εμπειρία της ότι 1 στις 1000 γεωτρήσεις θα χτυπήσει εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα. Το τεστ που χρησιμοποιεί για να ελέγξει εάν αυτό συμβαίνει σε μία γεώτρηση είναι θετικό με πιθανότητα 98% εάν όντως η γεώτρηση έχει χτυπήσει κοίτασμα και είναι αρνητικό με πιθανότητα 95% εάν η γεώτρηση δεν έχει χτυπήσει κοίτασμα. (α) Έστω ότι σε μία τυχαία γεώτρηση πήραμε θετικό τεστ. Ποια η πιθανότητα η γεώτρηση να έχει χτυπήσει κοίτασμα; (β) Έστω ότι σε μία τυχαία γεώτρηση πήραμε αρνητικό τεστ. Ποια η πιθανότητα η γεώτρηση να έχει χτυπήσει κοίτασμα; () (Α) Σε ένα ορυχείο ο αριθμός των έκτακτων περιστατικών ακολουθεί την κατανομή Poisson με ρυθμό λ=1 περιστατικό/βδομάδα. (α) Ποια η πιθανότητα να συμβούν τουλάχιστον περιστατικά σε μία βδομάδα. (β) Ποια η πιθανότητα σε ένα χρόνο (5 εβδομάδες) να συμβούν τουλάχιστον περιστατικά για το πολύ 10 εβδομάδες. (Β) Η εμπειρία έχει δείξει ότι οι ζημιές Χ ενός τυχαίου σεισμού είναι κανονικά κατανεμημένες με μέσο μ = 100 και διασπορά σ = 144. Εάν γνωρίζουμε ότι ένας σεισμός έδωσε ζημιές Χ > 11, ποια η πιθανότητα να είναι τελικά Χ > 14; (Δίνονται Φ(0) = 0.5, Φ ( 1 ) = , Φ(1) = 0,8413, Φ ( 3 ) = 0.933, Φ() = 0.977, Φ (5 ) = , Φ(3) = ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΕΤΑΣΗ 1. Πρέπει να απαντηθούν όλα τα θέματα παραπάνω. Τα (1) και () είναι ισοδύναμα, αλλά όχι τα (Α) και (Β).. Για τα παραπάνω θέματα γίνονται δεκτές μόνο λύσεις που έχουν γραφεί στις κόλλες του Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας. Εάν σταματάτε τη λύση μιας άσκησης και τη συνεχίζετε παρακάτω, πρέπει υποχρεωτικά να το σημειώνετε στο σημείο που σταματήσατε («συνέχεια σελ.») και στο σημείο που συνεχίζετε τη λύση («συνέχεια από σελ.»).

2 3. Οι απαντήσεις οφείλουν να είναι αιτιολογημένες. Σκέτα αριθμητικά αποτελέσματα δεν γίνονται δεκτά. (4) Οι αριθμητικές απαντήσεις μπορούν να περιέχουν κλάσματα, εκθετικά, συνδυασμούς καθώς και το σύμβολο του αθροίσματος, αλλά μόνο αν το άθροισμα είναι πάνω σε πεπερασμένο πλήθος όρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ (1) (Α) Το μάθημα των Πιθανοτήτων παρακολουθείται από το 10% των φοιτητών ενός έτους. Από μετρήσεις προηγουμένων ετών, γνωρίζουμε ότι περνούν τις εξετάσεις το 90% όσων παρακολουθούν και το 30% όσων δεν παρακολουθούν. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να παρακολουθούσε το μάθημα ένας (τυχαίος) φοιτητής που δεν το πέρασε. (Β) Ο κατασκευαστής ενός δορυφορικού ανιχνευτή θέσης προδιαγράφει ότι το σφάλμα στην εκτίμηση της συντεταγμένης ενός σημείου ενδιαφέροντος πάνω σε έναν άξονα (δηλ. η απόσταση D μεταξύ των συντεταγμένων της ανιχνευόμενης και της πραγματικής θέσης) είναι κανονικά κατανεμημένο με μέσο μ = 0 και τυπική απόκλιση σ = 10m. (α) Ποια η πιθανότητα η συντεταγμένη του σημείου ενδιαφέροντος να απέχει το πολύ 30m από την υποδεικνυόμενη από το μηχάνημα θέση; (β) Εάν γνωρίζουμε ότι η συντεταγμένη του σημείου ενδιαφέροντος απέχει πάνω από 10m από την υποδεικνυόμενη θέση, ποια η πιθανότητα να απέχει λιγότερο από 30m από τη θέση αυτή; (Δίνονται Φ(0) = 0.5, Φ ( 1 ) = , Φ(1) = 0,8413, Φ (3 ) = 0.933, Φ() = 0.977, Φ ( 5 ) = , Φ(3) = ). () (Α) Κατά τη χρονική στιγμή 0, η Μετεωρολογική Υπηρεσία προβλέπει ότι τις επόμενες 4 ώρες η περιοχή στην οποία βρίσκεται ένα εργοτάξιο θα χτυπηθεί από τροπική καταιγίδα (π.χ. τυφώνας) και δίνει ότι οποιαδήποτε στιγμή αυτού του 4ώρου είναι εξίσου πιθανή ως στιγμή έναρξης της. Στο εργοτάξιο έχει προγραμματιστεί μια εργασία, η οποία θα ξεκινήσει σε 14 ώρες (χρον. στιγμή 14) και θα διαρκέσει 1 ώρα. Η εργασία θα αστοχήσει εάν οποιαδήποτε στιγμή κατά τη διάρκειά της χτυπήσει η καταιγίδα (αλλά έχουμε τη δυνατότητα να την αναβάλουμε, εάν η καταιγίδα εκδηλωθεί νωρίτερα). (α) Ποια η πιθανότητα κατά τη χρονική στιγμή 0, κάτω από τις παραπάνω συνθήκες, να αστοχήσει η εργασία εάν κρατήσουμε το πρόγραμμα εργασιών ως έχει; (β) Μια ώρα πριν την έναρξη της εργασίας (χρον. στιγμή 13) η καταιγίδα δεν έχει εκδηλωθεί ακόμη. Ποια η πιθανότητα να αστοχήσει τώρα (χρον. στιγμή 13) η προγραμματισμένη εργασία λόγω της καταιγίδας; (Υπόδ. Μοντελοποιήστε το πρόβλημα μέσω της ομοιόμορφης κατανομής). (Β) Ο αριθμός των καταιγίδων που πλήττουν την περιοχή αυτή μεταξύ της 1 ης Μαΐου και της 31 ης Οκτωβρίου ακολουθεί την κατανομή Poisson με ρυθμό λ=1/3 καταιγίδες/εβδομάδα. Η περιοχή κηρύσσεται σε κατάσταση «έκτακτης ανάγκης» εάν πληγεί από δύο ή περισσότερες καταιγίδες στη διάρκεια μιας εβδομάδας. (α) Ποια η πιθανότητα κήρυξης κατάστασης έκτακτης ανάγκης κατά τη διάρκεια μιας τυχαίας εβδομάδας στο παραπάνω διάστημα; (β) Υποθέτοντας ότι κάθε μήνας αποτελείται από 4 εβδομάδες, ποια η πιθανότητα στο διάστημα του εξαμήνου των καταιγίδων να έχουμε περισσότερες από 1 εβδομάδες σε κατάσταση έκτακτης ανάγκης; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΕΤΑΣΗ

3 1. Πρέπει να απαντηθούν όλα τα θέματα παραπάνω. Τα (1) και () είναι ισοδύναμα, αλλά όχι τα (Α) και (Β).. Για τα παραπάνω θέματα γίνονται δεκτές μόνο λύσεις που έχουν γραφεί στις κόλλες του Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας. Εάν σταματάτε τη λύση μιας άσκησης και τη συνεχίζετε παρακάτω, πρέπει υποχρεωτικά να το σημειώνετε στο σημείο που σταματήσατε («συνέχεια σελ.») και στο σημείο που συνεχίζετε τη λύση («συνέχεια από σελ.»). 3. Οι απαντήσεις οφείλουν να είναι αιτιολογημένες. Σκέτα αριθμητικά αποτελέσματα δεν γίνονται δεκτά. Το πρόχειρο παραδίδεται υποχρεωτικά. (4) Οι αριθμητικές απαντήσεις μπορούν να περιέχουν κλάσματα, εκθετικά, συνδυασμούς καθώς και το σύμβολο του αθροίσματος. Όπου είναι εύκολη η εξαγωγή τελικού αριθμητικού αποτελέσματος, χωρίς τη χρήση calculator, να το δώσετε. Δεν επιτρέπεται η χρήση calculator. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ (1) (Α) Γνωρίζουμε ότι ένα κοίτασμα βρίσκεται σε μία ακριβώς από τρεις διαβαθμίσεις βάθους (θέσεις) και σύμφωνα με το μοντέλο μας η πιθανότητα να βρίσκεται στην κάθε μία από αυτές είναι ίση. Για να βρούμε τη θέση του κοιτάσματος πραγματοποιούμε γεωτρήσεις, οι οποίες όμως δεν είναι βέβαιο ότι θα το εντοπίσουν, ακόμη και αν γίνουν στη σωστή θέση. Συγκεκριμένα, εάν το κοίτασμα είναι στη θέση i, i = 1,, 3, τότε θα βρεθεί με πιθανότητα 1, i = 1,, 3, εφόσον αναζητηθεί εκεί (και i δε θα βρεθεί με πιθανότητα 1 1 ). Φυσικά, εάν αναζητηθεί σε θέση στην οποία δεν είναι, τότε η i πιθανότητα εύρεσής του είναι 0. Προχωράμε σε μία αναζήτηση στη θέση 3, η οποία αποβαίνει άκαρπη. Ποια η πιθανότητα, με δεδομένο το αποτέλεσμα της αναζήτησης, (α) το κοίτασμα να είναι στη θέση 3, (β) το κοίτασμα να είναι στη θέση ; (Β) Θεωρούμε ότι μία σεισμογενής τουριστική περιοχή θα δώσει ισχυρό σεισμό κατά το επόμενο έτος (από 1/1 έως 31/1), αλλά δεν έχουμε καμία ιδέα για τον χρόνο εκδήλωσης του φαινομένου, οπότε μοντελοποιούμε την άγνοιά μας θεωρώντας ότι η στιγμή εκδήλωσης του σεισμού είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο έτος (διάστημα [0,1] ). Εάν μετά την πάροδο 6 μηνών δεν έχει πραγματοποιηθεί ο σεισμός, ποια η πιθανότητα αυτός να πραγματοποιηθεί κατά την τουριστική περίοδο αιχμής 1/7-31/8; () (Α) Το ετήσιο ύψος των βροχοπτώσεων σε μια περιοχή μοντελοποιείται ως τυχαία μεταβλητή κανονικά κατανεμημένη με μέσο μ = 1000 mm και τυπική απόκλιση σ = 100 mm. (α) Ποια η πιθανότητα να έχουμε βροχοπτώσεις φέτος ύψους πάνω από 150 mm; (β) Μία μελέτη προβλέπει ότι φέτος οι βροχοπτώσεις θα ξεπεράσουν τα 1100 mm. Θεωρώντας ως δεδομένη την ακρίβεια της πρόβλεψης της μελέτης αυτής, ποια η πιθανότητα οι βροχοπτώσεις φέτος να ξεπεράσουν τα 150 mm. (Δίνονται Φ(0) = 0.5, Φ ( 1 ) = , Φ(1) = 0,8413, Φ (3 ) = 0.933, Φ() = 0.977, Φ ( 5 ) = , Φ(3) = ). (Β) Η Διεύθυνση Ποιοτικού Ελέγχου των έργων οδοποιίας, η οποία παραλαμβάνει εκ μέρους του Δημοσίου τις κατασκευές Εθνικών Οδών από εργολαβίες, έχει από την πείρα της συμπεράνει ότι ο αριθμός ελαττωμάτων που θα χρειαστούν επιδιόρθωση πριν την οριστική παραλαβή ακολουθεί την κατανομή Poisson με ρυθμό λ=1 ελάττωμα/km. Σύμφωνα με τη σύμβαση, στον εργολάβο επιβάλλεται πρόστιμο ύψους c ευρώ για κάθε χιλιόμετρο με περισσότερα από 3 ελαττώματα. (α) Ποια η

4 πιθανότητα να επιβληθεί πρόστιμο για ένα τυχαίο τμήμα μήκους 1km της νέας Εθνικής Οδού και ποιο το μέσο ύψος προστίμου που θα καταβάλλει ο εργολάβος ανά km; (β) Ο εργολάβος μπαίνει σε «μαύρη λίστα» εάν του επιβληθούν πρόστιμα για περισσότερα από το 40% του μήκους του τμήματος της Εθνικής Οδού που κατασκεύασε. Ποια η πιθανότητα να μπει στη μαύρη λίστα ένας εργολάβος, εάν υποθέσουμε ότι τα ελαττώματα που παραδίδει ακολουθούν την παραπάνω κατανομή και ότι κατασκεύασε 100 km εθνικής οδού; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΕΤΑΣΗ 1. Πρέπει να απαντηθούν όλα τα θέματα παραπάνω. Τα (1) και () είναι ισοδύναμα, αλλά όχι τα (Α) και (Β).. Για τα παραπάνω θέματα γίνονται δεκτές μόνο λύσεις που έχουν γραφεί στις κόλλες του Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας. Εάν σταματάτε τη λύση μιας άσκησης και τη συνεχίζετε παρακάτω, πρέπει υποχρεωτικά να το σημειώνετε στο σημείο που σταματήσατε («συνέχεια σελ.») και στο σημείο που συνεχίζετε τη λύση («συνέχεια από σελ.»). 3. Οι απαντήσεις οφείλουν να είναι αιτιολογημένες. Σκέτα αριθμητικά αποτελέσματα δεν γίνονται δεκτά. Το πρόχειρο παραδίδεται υποχρεωτικά. (4) Οι αριθμητικές απαντήσεις μπορούν να περιέχουν κλάσματα, εκθετικά, συνδυασμούς καθώς και το σύμβολο του αθροίσματος. Όπου είναι εύκολη η εξαγωγή τελικού αριθμητικού αποτελέσματος, χωρίς τη χρήση calculator, να το δώσετε. Δεν επιτρέπεται η χρήση calculator. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (1) Κατασκευάζουμε ένα φυσικό αριθμό a {0,1,,,999} επιλέγοντας διαδοχικά και ανεξάρτητα τρία ψηφία από το σύνολο {0,1,,9} τελείως στην τύχη. Να βρεθούν οι πιθανότητες: (α) Ο αριθμός a διαιρείται με το 10, (β) Ο αριθμός a ανήκει στο {10,11,,99} δεδομένου ότι διαιρείται με το 10, (γ) Τουλάχιστον δύο ψηφία του αριθμού a συμπίπτουν. (Σημ. Το 0 θεωρείται ψηφίο και στην αρχή ενός αριθμού, π.χ. ο αριθμός 9 είναι ο 009. Επίσης το 0 διαιρείται με κάθε αριθμό). () Ένας πομπός αποστέλλει σήματα μέσω ενός καναλιού με θόρυβο. Κάθε σήμα αποτελείται από το σύμβολο 0 ή 1, τα σήματα στέλλονται στοχαστικά ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και επιλέγονται τυχαία, το 0 με πιθανότητα 1 π και το 1 με πιθανότητα π. Συμβολίζουμε με 0 και 1 την αντίστοιχη λήψη 0 ή 1, όπου όμως, λόγω του θορύβου, μπορεί να συμβεί σφάλμα (π.χ. να έχει σταλεί 0 και να ληφθεί 1 ). Ο ακόλουθος πίνακας συμβολίζει τις πιθανότητες σφάλματος ή όχι σε κάθε περίπτωση. 0 ( 1 1 ε 0 ε 0 ε ε 1 1 )

5 (α) Εάν ο δέκτης λάβει 0, ποια η πιθανότητα να έχει όντως σταλεί 0; (β) Στην i δοκιμή θεωρούμε ότι έχουμε επιτυχία εάν το σήμα που θα λάβουμε συμπίπτει με αυτό που αποστάλθηκε. Να υπολογιστεί η πιθανότητα επιτυχίας p. Ποια η πιθανότητα κατά την αποστολή 10 σημάτων να έχουμε το πολύ 1 αποτυχία; (ΣΗΜ. Τα βελάκια δε βγαίνουν καλά. Το 0 πάει στο 0 με πιθανότητα 1 ε 0 και στο 1 με πιθανότητα ε 0. Αντίστοιχα, το 1 πάει στο 0 με πιθανότητα ε 1 και στο 1 με πιθανότητα 1 ε 1 ) (3) Έστω (απολύτως) συνεχής τ.μ. Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = ce λ x, x R, λ > 0. (α) Να υπολογιστεί η σταθερά c (απ. c = λ ), (β) Να βρεθούν η Ε[Χ] και η Var[X], (γ) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής F X (x), (δ) Να βρεθεί η P(X > X > 1). (Σημ. Αν δεν κάνετε το (α), μπορείτε να συνεχίσετε χρησιμοποιώντας την απάντηση που δίνεται). Το θέμα (4) παραλείπεται, επειδή ανήκει σε ύλη που δεν έγινε στο Φυσικό. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (1) Οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες. Να βρεθούν η P(X = Y) και η P(X Y) εάν είναι γνωστό ότι (α) Οι X και Y είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στο {0,1,,, Ν}. (β) Οι X και Y ακολουθούν τη διωνυμική με παραμέτρους (Ν, 1 ). () Αναζητούμε ένα αντικείμενο, το οποίο έχει κρυφτεί σε μία από 3 θέσεις με ίση πιθανότητα. Εάν αυτό έχει τοποθετηθεί στη θέση i, i = 1,, 3, τότε θα βρεθεί με πιθανότητα 1 i, i = 1,, 3, εφόσον αναζητηθεί εκεί (και δε θα βρεθεί με πιθανότητα 1 1 i ). Προχωράμε σε μία αναζήτηση στη θέση 3 και το αντικείμενο δε βρίσκεται. Ποια η πιθανότητα, μετά την αναζήτηση, (α) το αντικείμενο να βρίσκεται στη θέση 3, (β) το αντικείμενο να βρίσκεται στη θέση ; (3) Ένας πομπός αποστέλλει ένα δυαδικό σήμα S {+1, 1} μέσω ενός καναλιού το οποίο προσθέτει θόρυβο ε, όπου ε τυχαία μεταβλητή κανονικά κατανεμημένη με μέσο 0 και διασπορά σ [ ε ~ (0, σ )]. Έτσι, η τιμή X που λαμβάνει ο δέκτης είναι X = S + ε. Ο δέκτης συμπεραίνει ότι το σήμα ήταν το +1 εάν X 0 και το -1 εάν X < 0. Σφάλμα συμβαίνει όποτε ο δέκτης συμπεραίνει ότι στάλθηκε σήμα αντίθετο από εκείνο που είχε

6 πραγματικά αποσταλεί. Ονομάζουμε σφάλμα τύπου Ι (αντ. ΙΙ) το σφάλμα κατά το οποίο ο δέκτης συμπεραίνει ότι στάλθηκε +1 (αντ. -1) ενώ είχε σταλεί -1 (αντ. +1). (α) Να βρεθούν οι πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και ΙΙ εάν σ = 1. (β) Εάν η επιλογή του ψηφίου που θα αποσταλεί γίνεται με πιθανότητα ½, ποια η ολική πιθανότητα σφάλματος από τον δέκτη; (γ) Για την περίπτωση (β) και εάν σ = 1, ποια η πιθανότητα κατά τη λήψη μιας λέξης που αποτελείται από 9 στοχαστικά ανεξάρτητα σήματα (ψηφία) να έχουμε το πολύ ένα σφάλμα. (4) Έστω (απολύτως) συνεχής τ.μ. Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = cx(1 x)1 (0,1) (x) (α) Να υπολογιστεί η σταθερά c, (β) Να βρεθούν η Ε[Χ] και η Var[X], (γ) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής F X (x). Το θέμα (5) παραλείπεται, επειδή ανήκει σε ύλη που δεν έγινε στο Φυσικό. ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (1) Επιλέγουμε εντελώς στην τύχη και ανεξάρτητα 150 αριθμούς από το σύνολο των 1000 μη αρνητικών ακεραίων {1,,, 1000}. Η επιλογή γίνεται με επανάθεση, δηλαδή ο ίδιος αριθμός μπορεί να επιλεγεί πολλές φορές. Ποια η πιθανότητα (α) Όλοι οι αριθμοί να είναι μεγαλύτεροι του 00; (β) Ακριβώς 37 αριθμοί ανήκουν στο διάστημα [401, 700]; (γ) Τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς συμπίπτουν; () Κάποιος διαθέτει δύο εντελώς όμοια κατά τα άλλα νομίσματα, από τα οποία το ένα είναι τίμιο και έχει πιθανότητα ½ να φέρει Κεφάλι (Κ) σε μία ρίψη (και ½ Γ) ενώ το άλλο είναι πλαστό και έχει πιθανότητα ¼ να φέρει Κεφάλι (Κ) σε μία ρίψη (και ¾ Γ). Επειδή δε μπορεί να τα ξεχωρίσει, διαλέγει εντελώς στην τύχη ένα νόμισμα και το ρίχνει Κεφάλι- Γράμματα δύο φορές. Εάν το αποτέλεσμα και των δύο ρίψεων ήταν Κ, ποια η πιθανότητα το νόμισμα να είναι το τίμιο; (3) Έστω ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli, η κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p και έστω X ο αριθμός των δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία. (α) Πώς λέγεται η κατανομή της τ.μ. Χ; Να δοθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X και από αυτή να εξαχθεί η συνάρτηση κατανομής της. (β) Θεωρούμε δύο ανεξάρτητες ακολουθίες της παραπάνω μορφής, η πρώτη με πιθανότητα επιτυχίας p 1 και η δεύτερη με πιθανότητα επιτυχίας p και έστω X 1 (αντ. X ) o

7 αριθμός των δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία στην πρώτη (αντ. στη δεύτερη) ακολουθία. Εάν q 1 1 p 1 και q 1 p, να δειχθεί ότι p 1 P(X 1 X ) = 1 q 1 q (4) Έστω (απολύτως) συνεχής τ.μ. Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = cx α 1 1 (0,) (x) με α > 0 (α) Να υπολογιστεί η σταθερά c, (β) Να βρεθούν η Ε[Χ] και η Var[X], (γ) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής F X (x).